圆的一般方程
圆的标准方程和一般方程
圆的标准方程和一般方程圆是平面上一点到定点的距离等于定长的点的集合，是平面几何中非常重要的图形之一。
在代数几何中，我们通常会用方程来描述圆的性质和特点。
本文将介绍圆的标准方程和一般方程，帮助读者更好地理解和掌握圆的代数表达方法。
首先，让我们来看看圆的标准方程。
对于平面上的一个圆，假设圆心坐标为（a，b），半径为r，则圆的标准方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²。
其中，（x，y）为平面上任意一点的坐标。
这个方程描述了平面上任意一点到圆心的距离平方与半径平方之间的关系，从而确定了圆的位置和形状。
接下来，我们来讨论圆的一般方程。
一般方程的形式为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0。
其中D、E、F为常数。
通过一般方程，我们可以得到圆的圆心和半径。
具体来说，可以通过以下步骤完成：1. 将一般方程化为标准方程的形式，即完成平方项的配方。
2. 通过比较标准方程和一般方程的系数，得到圆心的坐标（a，b）和半径的值r。
需要注意的是，一般方程中的系数D、E、F的取值会影响到圆的位置和形状，因此在使用一般方程时需要格外小心，确保计算的准确性和可靠性。
在实际问题中，我们经常需要根据已知条件来确定圆的方程。
例如，已知圆上的三点坐标，我们可以通过代数方法求解出圆的标准方程或一般方程。
这需要运用到代数方程的解法和圆的性质，是对数学知识的综合运用和实际问题的抽象化处理。
总之，圆的标准方程和一般方程是描述圆形在代数上的重要工具，它们可以帮助我们更好地理解和分析圆的性质。
在学习和工作中，我们需要熟练掌握这些方程的推导和运用，从而更好地解决实际问题。
希望本文能够帮助读者更好地理解圆的代数表达方法，对圆的标准方程和一般方程有更清晰的认识。
让我们共同努力，提高数学水平，更好地应用数学知识解决实际问题。
4.1.2圆的一般方程
圆的方程
标准方程: ( x a ) ( y b) r
2 2 2
2 2
展开
x y 2ax 2by (a b r ) 0 圆心: (a , b) 半径: r ( r 0)
2 2 2
一般方程: 2 2 2 2 x y Dx Ey F 0 ( D E 4F 0)
（a）2+（b）2=r2 a=4 （1-a）2+（1-b）2=r2 解得 b=-3 （4-a）2+（2-b）2=r2 r=5
所求圆的方程为：
即（x-4）2+（y+3）2=25
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2） 的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标. 方法二： 几何方法
分别说出下列圆的圆心与半径 (1) 圆 (x－2)2+ (y+4)2=2 圆心 (2, －4) ，半径 2 . (2) 圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2 （m≠0） 圆心 (－1, －2) ，半径|m|
求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
待定系数法
( x a ) 2 ( y b) 2 r 2
的曲线是圆呢？
思考
(1) x y 2 x 4 y 1 0
2 2
配方得 ( x 1) ( y 2) 4
2 2
以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆
(2) x y 2 x 4 y 6 0 配方得 ( x 1)2 ( y 2)2 1
2 2
不是圆
x y Dx Ey F 0
圆的一般方程
练习 P124—B组 3 例2 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）
端点A在圆 x 12 y2 4 上运动，
求线段AB的中点M的轨迹方程
练习 P124—B组 1
小结 1、 x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（4） x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，表示圆，
圆心
-
D 2
,
E 2
（2）当 D2 E2 4F
r D2 E2 4F 2
0 时，表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，不表示任何图形
圆的一般方程
(x 3)2 ( y 4)2 6
展开得
x2 y2 6x 8y 19 0 x2 y2 Dx Ey F 0
任何一个圆的方程都是二元二次方程
反之是否成立？
圆的一般方程
方程 (1)x2 y2 2x 4 y 1 0 表示什么图形？
配方得
(x 1)2 ( y 2)2 4
4.1.2圆的一般方程
圆心 半径
定位条件 定形条件
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r2
标准方程
OC
x
若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
பைடு நூலகம்
课堂快练
1.圆心在原点,半径是3的圆的方程. 2.圆心在(3,4),半径是 的7 圆的方程. 3.经过点P(5,1),圆心在点C(4,1)的圆的方程.
圆的标准方程和一般方程
§4-1 圆的标准方程和一般方程
1.圆心为A （a ，b ），半径长为r 的圆的方程可表示为,称为圆的标准方程.
2.圆的一般方程为,其中圆心是，半径长为.
圆的一般方程的特点：
① x 2
② 3.③解出另外,4.点M （1（2（31.圆22(2)(3)2x y -++=的圆心和半径分别是(）.
A ．(2,3)-，1
B ．(2,3)-，3
C ．
(2,3)-．(2,3)-2.方程224250x y x y m ++-+=表示圆的条件是 A.114
m << B.1m >
C.14
m < D.1m <() 3.若(2,1)P -为圆22(1)25x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）.
A.30x y --=
B.230x y +-=
C.10x y +-=
D.250x y --=
4.
. 5.(1).(2).6.7.求经过8.如图12.曲线A.直线B.直线C.D.0）中心对称
3.若实数,x y 满足224240x y x y ++--=，则
（）.
3 B.1
4 C.3
D.14-
4.画出方程22
+=+所表示的图形,并求图形所围成的面积.
x y x y
5.设方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4-7m2+9=0,若该方程表示一个圆，求m的取值范围及圆心的轨迹方程.
6.已知线段AB的端点B的坐标是（6，3），端点A在圆上()22
14
++=运动，求线段
x y
AB。
圆的一般方程1
（2）没有形如 xy 的二次项．
（3）D2 + E2 - 4F > 0
圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋：
（1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然． （2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程 理论的运用．
②式无解, 不表示任何图形
2 2
x ＋y ＋Dx＋Ey＋F＝0
2 2
①
形 如 x y Dx Ey F 0 E 4F 0 D 的方程，
叫做圆的一般方程。
同步卫星运行轨道示意图
同步轨道
同步轨道
二元二次方程Ax2＋Bxy+Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 【问题】
圆的标准方程： （x－a）2＋（y－b）2 ＝ r 2
展开，得 x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0
任何圆的方程都可以通过展开化成形如：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
①
思考：
反过来，形如①的方程的曲线是不是圆？
左边配方，得
D E D E 4F x＋ ＋ y＋ ＝ 2 2 4
【小结】
（1）圆的一般方程及其特点． （2）用配方法化圆的一般方程为圆的标准方 程，求圆心坐标和半径． （3）用待定系数法求圆的方程．
2 2
2
2
②
Ⅰ.当 D2 + E2 － 4F > 0时，
表示以
Ⅱ.当 D2 +
E D , 2 2
为圆心，2
=
1
D2 E2 4F为半径的圆。
4.1.2圆的一般方程
（5）x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是
作业：124页 A组 3、4、5、6. B组 1、2、3.
1 D 2 + E 2 - 4F （1）a=-D/2，b=-E/2，r= 2 （2）标准方程易于看出圆心与半径
一般方程突出形式上的特点：
x2与y2系数相同并且不等于0； 没有xy这样的二次项
圆的一般方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0） 二元二次方程：A x2 +Bxy＋Cy 2＋Dx＋Ey＋F＝0 的关系:
(4)要学会根据题目条件 ,恰当选择圆方程 2 2 （5）x +y -3xy+5x+2y=0 不是 形式:(怎样选择?)
本节课所用的数学方法及数学思想： 思考：圆的一般方程与圆的标准方程在应用上
一、数学方法： 有何区别？
配方法（求圆心及半径）
（ 1）
二、数学思想方法：
（21 ） 2x2+2y2-12x+4y=0 是 圆心（3，-1）半径 10 、转化与化归思想和分类讨论的思想
的曲线是圆呢？
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 D 2 E 2 D2 + E 2 - 4F 配方可得： ( x + ) + ( y + ) = 2 2 4
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ 为圆心，以(
1 D 2 + E 2 - 4F 2
D E ,- ） 2 2
) 为半径的圆
（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解X=-D/2
（ 1）
１．根据题意设出所求圆的方程为标准式或一般式。
（5）x +y -3xy+5x+2y=0 不是
圆的一般式方程配方
圆的一般式方程配方
(x-a)²+(y-b)²=r²
其中，(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
下面我们来讨论如何将一般式方程配方。
一、配方圆心坐标(a,b)：
1.根据一般式方程，将右边的r²移到左边，变成(x-a)²+(y-b)²-
r²=0。
2.将(x-a)²+(y-b)²用二次整式展开得到：
x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² - r² = 0。
3.通过对比整理得到：
x² + y² - 2ax - 2by + (a² + b² - r²) = 0。
所以，圆的一般式方程配方的第一步就是确定圆心的坐标。
二、配方半径r：
r=√[(x0-a)²+(y0-b)²]
所以，配方半径r的第一步就是确定圆上的其中一点坐标。
三、总结：
配方圆的一般式方程的步骤包括确定圆心坐标(a,b)和半径r。
确定圆心坐标需要将一般式方程展开整理，确定圆上其中一点坐标可以通过已知条件或者其他几何知识来求解。
一旦确定了圆心坐标和半径，就可以得到圆的一般式方程。
需要注意的是，圆的一般式方程有时候也可以配方成其他形式，例如标准式方程(x-h)²+(y-k)²=r²或截距式方程(x-h)²+(y-k)²=p(x-a)²+q(y-b)²，但配方圆的一般式方程的原理和步骤基本相同。
4.1.2圆的一般方程
解析 由圆的一般方程的形式知，
a＋2＝a2，得a＝2或－1.
当a＝2时，该方程可化为x2＋y2＋x＋52y＋ ＝0，
∵D2＋E2－4F＝12＋22－54× ＜0， 2
∴a＝2不符合题意.
2
当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.
∴过O、A、B的圆方程为:
A. .O
.B .C
x
x2 y2 8x 6y 0
将C(7，1)代入方程：72 12 8 7 61 0成立.
∴ O、A、B、 C 四点共圆，圆心(4 ， 3) ，半径5 .
圆(心x(
4D)2，
E( y)
、 3半)2径
5D2
2
.
E
2
4F
.
22
2
例1.判断 O(0，0)、A(1，1)、B(4，2) 、 C(7，1
E2 4F 2
为半径的圆；
(2) 当 D2 E2 4F 0 时，
方程只有实数解
x
D 2
、y
E 2
，方程表示一个点
(
D 2
，
E 2
)
；
(3) 当 D2 E2 4F 0 时，
方程没有实数解 ，因而它不表示任何图形 .
综上：当 D2 E2 4F 0 时，
方程 x2 y2 Dx Ey F 0 表示一个圆，
圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0 (D2 E2 4F 0)
圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径， 而圆的一般方程和 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0比较突出了方 程形式上的特点（：1） x2 和 y2 的系数相同且不为0 ，即A=C≠0；
圆的一般方程
(b)没有x y项 (c)D2 +E2 -4F＞0
【变式 1】 方程 x2＋y2＋x＋2y＋a－1＝0 表示圆，试求实数 a 的范围．
解 由方程表示圆得， D2＋E2－4F＝12＋22－4(a－1)＝9－4a＞0，
9 解得a＜ ， 4
9 即a的取值范围是 ( , ) . 4
课前探究学习
课堂讲练互动
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x y Dx Ey F 0
2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
探究：是不是任何一个形如
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示
的曲线是圆呢？
思考
(1) x y 2 x 4 y 1 0
设圆的方程为 ( x 8) ( y 3) r
2 2
2
把点(5,1)代入得r 13,
2
( x 8) ( y 3) 13
2 2
故圆的方程为 x y 6x 8 y 0
2 2
圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较
(2).若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的一 般方程用待定系数法求解. 求过三点A(0,0), B(6,0), C(0,8)的圆的方程 . 练习：
2 2
2
(或x 2 y 2 Dx Ey F 0)
列关于a，b，r（或D，E ，F）的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F ），写出标准方程（或一 般方程）
2．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a 2 ＝0的距离为 ，则a的值为( )． 2 1 A．－2或2 B. 或 3 C．2或0 D．－2或0
(完整版)圆的一般方程教案(正式)
4.2.1圆的一般方程一、复习提问，引入课题问题：求过三点(0,0)，(1.1)，(4,2)的圆的方程？【师生互动】学生在教师指导下展开小组讨论，回顾旧知识，最后得出运用圆的知识很难解决问题。
因为圆的标准方程很麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性。
于是老师提问，有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们共同研究圆的一般方程。
【辅助手段】：多媒体课件幻灯片展示问题。
二、探索研究，讲授新课 请同学们写出圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=、圆心(a ，b)、半径r把圆的标准方程展开，并整理:22222220x y ax by a b r +--++-= 取D=-2a E=-2b F=222a b r +-220x y Dx Ey F ++++=这个方程就是圆的方程.反过来给出一个形如220x y Dx Ey F ++++=的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把220x y Dx Ey F ++++=配方得： 222224()()224D E D E Fx y +-+++= 【师生互动】配方和展开由学生完成，教师最后展示结果。
问题：这个方程是不是表示圆？⑴当2224D E F +-﹥0时，方程表示以(-2D ，2E)为圆心，以22142D E F +-为半径的圆. ⑴以复习回顾的形式提出新难题，引出新课程，指出本节课的主要内容. ⑵质疑提问，小组讨论，提高了学生学习的兴趣.⑴学生动笔、思考，老师引导、启发，让学生学会独立分析问题，解决问题，初步体会数学的魅力.⑵引导学生自己探索寻找圆的一般方程在什么时候表示圆，形成分类讨论、等价转化等数学思想，培养学生思维的多样性、创造性，体验成功解决问题的喜悦.⑶通过对一个方程的讨论，得出圆的一般方程，并指出不是所有的方程都可以 表示圆。
使得学生的认识不断加深，同时一般方程则只需确定三个系数，而条件给出了三个坐标，不妨试着先写出圆的一般方程。
【教师讲解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=∵A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解，代入方程得到：2042200F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩即D=-8 E=6 F=O∴所求的方程为22860x y x y +-+=222142r D E F =+-=5、2D -=4、2E-=-3∴圆心坐标为(4,-3)或将220x y Dx Ey F ++++=化为圆的标准方程： 22(4)(3)25x y -++=【归纳总结】应用待定系数法的一般步骤 ⑴根据条件，选择是标准方程还是一般方程。
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试卷第1页，总2页
圆的一般方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为 （ ）
A．（4，－6），r＝16 B．（2，－3），r＝4
C．（－2，3），r＝4 D．（2，－3），r＝16
2．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是（ ）
A．R B．（－∞，1） C．（－∞，1] D．[1，＋∞）
3．方程x2＋y2＋4x－2y＋5＝0表示的曲线是 （ ）
A．两直线 B．圆 C．一点 D．不表示任何曲线
4．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0）所表示的曲线关于y＝x对称，则
必有 （ ）
A．D＝E B．D＝F C．F＝E D．D＝E＝F
5．两圆x2＋y2－4x＋6y＝0和x2＋y2－6x＝0的圆心连线方程为（ ）
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
6．若圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴切于原点，则（ ）
A．D＝0，E＝0，F≠0 B．F＝0，D≠0，E≠0
C．D＝0，F＝0，E≠0 D．E＝0，F＝0，D≠0
7．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过
（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E（0,1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四
边形ABCD的面积为（ ）
A．52 B．102 C．152 D．202
9．圆心是（－3，4），经过点M（5，1）的圆的一般方程为 ．
10．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A（0,1），则点B的
坐标为________．
11．若实数x，y满足x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则22xy的最大值是__________.
12．求经过两点P（－2，4），Q（3，－1），并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方
程．
13．已知方程x2＋y2－2（m＋3）x＋2（1－4m2）y＋16m4＋9＝0表示一个圆．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求该圆的半径r的取值范围.
试卷第2页，总2页
14．已知圆经过点（4,2）和（－2，－6），该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求
圆的方程．
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答案第1页，总3页
参考答案
1．C
【解析】由圆的一般方程可知圆心坐标为（－2，3），
半径2214(6)124.2r故选C.
考点：圆的一般方程.
2．B
【解析】由D2＋E2－4F＝（－4）2＋22－4×5k＝20－20k>0，得k<1.
考点：圆的一般方程.
3．C
【解析】原方程变形为222)(1)0xy（，所以方程表示的曲线是一个点（−2,1），故
选C.
考点：方程的曲线.
4．A
【解析】由题知圆心（2D , 2E）在直线y＝x上，即2E＝2D，
∴D＝E.故选A.
考点：圆的一般方程.
5．C
【解析】两圆的圆心分别为（2，－3）、（3,0），直线方程为y＝3（x－3），即3x－y－9＝0，
故选C．
考点：圆的一般方程及直线方程.
6．C
【解析】点（0,0）在圆上，代入圆的方程可得F＝0.因为圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴
切于原点，所以圆心的横坐标为0，即02D，∴D＝0.由D2＋E2－4F＞0，可得E2＞0，
∴E≠0，故选C.
考点：圆的一般方程.
7．D
【解析】圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为（a，32b），则a<0，b>0.直线y＝1xa －ba，
其斜率k＝1a>0，在y轴上的截距为－ba>0，所以直线不经过第四象限，故选D．
考点：圆与直线.
8．B
【解析】x2＋y2－2x－6y＝0化成标准方程为（x－1）2＋（y－3）2＝10，则圆心坐标为M（1,3），
半径为10.由圆的几何性质可知：过点E的最长弦AC为点E所在的直径，则|AC|＝
210
.BD是过点E的最短弦，则点E为线段BD的中点，且AC⊥BD，E为AC与BD的交点，
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答案第2页，总3页
则由垂径定理可是|BD|＝22222210103125BMME.从而四
边形ABCD的面积为12|AC||BD|＝12×210×25＝102.故选B.
考点：圆的弦长及四边形的面积.
9．x2＋y2＋6x－8y－48＝0
【解析】圆的半径22354173r，
∴圆的标准方程为（x＋3）2＋（y－4）2＝73，
整理得，x2＋y2＋6x－8y－48＝0．
考点：圆的一般方程.
10．（2，－3）
【解析】由x2＋y2－2x＋2y－3＝0，得（x－1）2＋（y＋1）2＝5，所以圆心为C（1，
－1）．设B（x0，y0），由中点坐标公式得0002,12,xy解得002,3,xy所以点B的坐标为（2，
－3）．
考点：圆心及中点坐标.
11．5＋3
【解析】实数x，y满足方程x2＋y2＋4x－2y－4＝0，所以（x，y）为方程所表示的曲线上
的动点. 2222(0)(0)xyxy，几何意义为：动点（x，y）到原点（0,0）的距
离．对方程进行配方得：（x＋2）2＋（y－1）2＝9，它表示以C（－2,1）为圆心，半径R=3
的圆，原点在圆内．连接CO，由圆的几何性质可知，所求的最大值为|OC|+R=5＋3．
考点：利用曲线的几何意义求最值.
12．x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
【解析】设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将P（－2，4），Q（3，－1）代入圆的方程得2420,310,DEFDEF
令y＝0得x2＋Dx＋F＝0.设x1，x2为方程x2＋Dx＋F＝0的两根．由|x1－x2|＝6有D2－4F＝
36，解得D＝－2，E＝－4，
F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.
∴圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
考点：求圆的方程.
13．（1）－17＜m＜1 （2）0＜r≤477
【解析】（1）要使方程表示圆，则4（m＋3）2＋4（1－4m2）2－4（16m4＋9）＞0，即4m2＋
24m＋36＋4－32m2＋64m4－64m4－36＞0，
整理得7m2－6m－1＜0，解得－17＜m＜1.
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（2）2224214341441697612rmmmmm
2
316
777m
，∴0＜r≤477.
考点：圆的方程与轨迹.
14．x2＋y2－2x＋4y－20＝0
【解析】设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵圆经过点（4,2）和（－2，－6），
∴42200,26400,DEFDEF①②
设圆在x轴上的截距为x1、x2，它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，得x1＋x2＝－D．设圆
在y轴上的截距为y1、y2，它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，得y1＋y2＝－E.由已知，得
－D＋（－E）＝－2，即D＋E－2＝0. ③
由①②③联立解得D＝－2，E＝4，F＝－20.
∴所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
考点：圆的方程.