(完整word版)点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用

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中点弦公式点差法

中点弦公式点差法
中点弦公式是指通过连接曲线上两点中点的弦来近似曲线的斜率。

点差法是指对于曲线上的两个点，通过用极限的思想来逼近它们之间的点差（即横坐标之差），从而计算斜率。

中点弦公式的具体步骤为：
1. 选取曲线上两个不同的点，标记其坐标为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$。

2. 计算这两个点的中点坐标
$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。

3. 计算连接这两个点的弦的斜率，即$\frac{y_2-y_1}{x_2-
x_1}$。

点差法的具体步骤为：
1. 选取曲线上两个不同的点，标记其坐标为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$。

2. 计算这两个点之间的点差（即横坐标之差），即$\Delta
x=x_2-x_1$。

3. 通过极限思想，将点差逐渐缩小为0，即$\Delta x\rightarrow 0$。

4. 计算这两个点之间的斜率的极限值，即$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{y_2-y_1}{\Delta x}$。

这个极限值即为这两点之间的切线斜率。

需要注意的是，中点弦公式是一种近似计算方法，只有在两点之间的曲线变化不太剧烈时才适用；而点差法则是一种精确计算方法，可以得到任何两点之间的切线斜率。

椭圆点差法

例2一. ：如图：AB为椭圆
x2 a2

y2 b2
1( a b 0 )
的弦，
点P为弦AB的中点，求证： kOP
kAB

b2 a2
.
点差法
思例考一：若改为：AB为椭圆
x2 b2

y2 a2
1(a
b 0)
的弦，
点P为弦AB的中点，则： kOP k AB .
小结：
y
P P
o
x
P
2.弦长公式：
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在
这点被平分，求此弦所在直线的方程.
解法一：
由
消去 y得:
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.

x12 x22

4 y12 4 y22

16 16
点作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
x2 4 y2 16
(4

x)2

4(2

y)2

16
所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0
从而A ,B在直线x+2y-4=0上
而过A,B两点的直线有且只有一条
解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点” 这一条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；
2、弦长的计算方法：（适用于任何曲线）

椭圆的简单几何性质(4)--点差法

变式1:已知直线过点变式已知直线l过点已知直线 M(1,0.5), 且与椭圆相交且与椭圆C相交两点，于E,F两点，若EF的中点两点的中点的方程. 为M，求直线的方程，求直线l的方程
l F
O
y
M
x
E
变式2:已知直线过点且与椭圆C相交于变式已知直线l过点已知直线过点M(1,0.5),且与椭圆相交于且与椭圆 E,F两点，求弦的中点的轨迹方程两点，的中点的轨迹方程. 两点求弦EF的中点的轨迹方程变式3:已知直线与椭圆C相交于变式已知直线l:y=x+m (m∈R)与椭圆相交于已知直线 ∈ 与椭圆 E,F两点，求弦的中点的轨迹方程两点，的中点的轨迹方程. 两点求弦EF的中点的轨迹方程
y
点差法步骤：点差法步骤： 1.设点设点A(x1,y1),B(x2,y2); 设点 2.代入圆锥曲线方程作差代入圆锥曲线方程作差; 代入圆锥曲线方程作差
A
O
M
x
B
3.利用平方差公式变形，把中点坐标与直线利用平方差公式变形，利用平方差公式变形斜率代入得到式子. 斜率代入得到式子点差法用途：可以解决与中点弦有关的一切问题点差法用途：可以解决与中点弦有关的一切问题.
2 2
1 = (1 + 2 )[( y1 + y2 ) 2 − 4 y1 ⋅ y2 ] k
中心在原点、一个焦点为F( 3 ,0)的椭圆被例中心在原点、一个焦点为的椭圆被直线x-2y-2=0截得的弦的中点的横坐标为，求截得的弦的中点的横坐标为1，直线截得的弦的中点的横坐标为此椭圆的方程. 此椭变式已知直线l:y=x+m (m∈R)与椭圆相交于已知直线 ∈ 与椭圆 E,F两点，且OE⊥OF,求直线的方程两点，求直线l的方程两点 ⊥ 求直线的方程.

点差法

C、[ 1，5）∪（5，+ ∞ ）
3、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线，
16 则弦长 |AB|= _______ , 5
练习：已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F， (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.
(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点
y12 y2 2 8( x1 x2 ) y1 y2 8 8 4 x1 x2 y1 y2 2
直线为y 1 4( x (1))
即4 x y 3 0
练习：过点Q(4,1)作抛物线y 2 8x的弦AB, 恰Q被平分，求AB所在的直线方程.
解：（ 1 ）设交点坐标为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 2 y12 1 x1 y1 y2 2( x1 x2 ) 2 相减得: 即k 4 2 x1 x2 y1 y2 y 2 x 2 1 2 2 直线方程为： y 4x 7
2 2.(2014·临汾模拟)椭圆 x
则这条弦所在的直线方程是______.
2
y 1
2
的一条弦被点 1 1 平分，
( ，) 2 2
【解析】设该弦与椭圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由点
1 1 (，，y ) )代入椭圆方程后作差可得 B(x 2 2 22
答案：2x+4y-3=0
椭圆的弦所在的直线方程.
解 : (2)5 12 9 12 45
5x 9 y 14 0
例5：已知椭圆方程为x 2 4 y 2 2 x 12 y 6 0 (1)求这椭圆中以A(2,1)为中点的弦所在直线方程 (2)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程。

“点差法”在解析几何题中的应用.

“点差法”在解析几何题中的应用在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为 x 「y i 、X 2,y 2 ，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法” ，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率•本文列举数例，以供参考• 1 求弦中点的轨迹方程2例1已知椭圆七y 21，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程内）.AB ，则弦AB 的中点轨迹方程是X 1 x 2解设弦的两个端点分别为 P NA,Q X 2,y 2 ，PQ 的中点为M x,y .X 1 y 12 1，（ 1）2 得: 2 2 X-IX 22 2 X22 y12 y2(2)X22 % y 2X-I X 2 y 1y 20.X 1 X 22x, y 1y 2汕y2X 12， X 4y 0.X 2Q 弦中点轨迹在已知椭圆内,所求弦中点的轨迹方程为X 4y （在已知椭圆例2 直线l : ax y a 50（ a 是参数）与抛物线f2的相交弦是解设A x 1,y 1 > B x 2,y 2，AB 中点 M x, y ，则 X 1 X 22x .l 过定点N 1, 5，kABkMN口2又 y 1 X 1 1 ，y 2X 2 21 ，12 得：％y 2x 1X 221x 1 x 2 x 1 x 2 2X 1 X 2 2.于是y-^ 2x 2，即y 2x27 .x 1Q弦中点轨迹在已知抛物线内，所求弦中点的轨迹方程为y 2x2 7 （在已知抛物线内）•2 求曲线方程例3 已知ABC的三个顶点都在抛物线y232x上，其中A 2,8，且ABC的重心G是抛物线的焦点，求直线BC的方程.解由已知抛物线方程得G 8,0 .设BC的中点为M X o,y o，则A、G、M三点共2 2X o 8uuuu 1 28线，且AG 2GM，G分AM所成比为2，于是 1 2，氓01 2—x011解得0, M 11, 4 .y 4设 B X1,y1 ,C X2,讨2，则y1 y2 8.又yj 32X1，（1）y22 32x2，（2）1 2 得：yj 2y32 X j x2，kBC y1X1y2X232 32 /4 .8y 1 y2BC所在直线方程为 y 4 4 x 11，即4X y 40 0.例4 已知椭圆2X2占1 a b 0的一条准线方程是X 1,有一条倾斜角为a b2一的直线交椭圆于A、B两点，若AB的中点为C 1 1 求椭圆方程.4 2 42 2解设A %, %、 B x2,y2，则X1 X2 1,y1 y2 1 ，且笃吉1，（1）2 a b2 2X22 号1，（2）a b2 2 2 2 .21 2得：仝-X22 y y22 ，y1 y2 b2X1 X2 b 1a b X1 X2 a y1 y2 a 丄21 k AByy 2 2b 2a 2 2b 2，( 3)X 2a 2， 2又—1c2ac ，（ 4）而a 2 b 2 2c ， (5)由( 3), (4), (5)可得 a 2 1,b 2 1 ,242 2所求椭圆方程为—1.1 1243 求直线的斜率F 4,0的距离成等差数列.（1）求证：X i X 2 8 ；（ 2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k .（1）证略•(2) 解Q x-i x 2 :8，设线段 AC 的中点为D 4,y o .222 2又C 在椭圆上，X1y11，（1）生丝 1，（2）259 259222 212 得:X 1 X 2 屮y 2259*y 2 9 x X 2 9 8 36 X 1X 2 25 y 1 y 225 2y o 25y o '4 确定参数的范围 2 2已知椭圆—' 2591上不同的三点A X i , y i ,B,C X 2, y 2与焦点直线DT 的斜率k D T25 y ° 36 ，直线DT 的方程为令y o ，得x6425，即T 64,0 ，直线BT 的斜率2536X95 5 4 64 4 25例6若抛物线C : y 2 x 上存在不同的两点关于直线l : y m x3对称，求实数ky 0 25y0m 的取值范围.解当m 0时，显然满足.5 证明定值问题2 71a b o不垂直于X 轴的任意一条弦，p是AB 的中点，O 为椭圆的中心.求证：直线AB 和直线OP 的斜率之积是定值. 证明设A X -，Y I ,B X 2 ,y 2 且 X iX 2，222 2则Xi 2y i.2i ，（i）X 2 2y2i ，（2）abab222 2i2 得: X i X2y iY.2abY i Y 2b 2 X X 2rY i Y 2b 2 X X 22AB2.X -X 2a Y I Y 2X T X 2a Y i Y 2.2 .2又k opy i y 2k ABb i，k ABkOP（定值）X iX 2ak OPa6 处理存在性问题1例8 已知双曲线X 2- y 2 i ，过B i,i 能否作直线I ，使I 与双曲线交于P ，Q2当m 0时，设抛物线C 上关于直线 l:y 对称的两点分别为P 为，％、Q X 2,y 2，且PQ 的中点为M X o ,y o，则 2y iX1，(i ) y 22，（2）得: 2y i2y2X i X 2，k pQy i X i y X 2y iy 2i2y o又k pQy oQ 中点 X o ,y o 在直线l : y m 上,y oX o 3，于是 X oQ 中点在抛物线y 2X 区域内2 yoX o ，即i，解得综上可知，所求实数的取值范围是命.X2已知AB 是椭圆「a两点，且B是线段PQ的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由•解假设这样的直线存在，设P,Q的坐标分别为x1, y1 , x2,y2，则x1x22，y1 y22，又捲21 2尹1,（1）2X21 2尹1，（2）1 2 得：X1 X2 X1 X2 12 y1y2y1 y20，2 x1x2 * y2 0PQ的斜率k y1 y2 2X1 X2又直线I过P,Q,B三点，I的方程为y 1 2 x 1，即y 2x 1.但若将y 2x 1代入x2 ^y2 1整理得方程2x2 4x 3 0,而此方程无实数解, 2 所以满足题设的直线不存在.发表于《数理化解题研究》。

第3章专题12 点差法解决中点弦问题

点差法解决中点弦问题考向一利用点差法求中点弦所在直线方程1、已知椭圆C:x23+y2=1内有一条以点P(1,13)为中点的弦AB，则直线AB的方程为.【答案】3x+3y−4=0【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x22=1，y1+y22=1由A，B在椭圆上可得x123+y12=1，x223+y22=1,两式相减可得，(x1−x2)(x1+x2)3+(y1−y2)(y1+y2)1=0∴K AB=y1−y2x1−x2=−(x1+x2)3（y1+y2）=−23⋅23=−1直线AB的方程为y−13=−1(x−1)即3x+3y−4=0.2、已知双曲线2x2−y2=2，则以点A(2,3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为______.【答案】4x−3y+1=0【解析】设以A（2，3）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x2＝4，y1+y2＝6．又2x12−y12=2，①2x22−y22=2，②①﹣②得：2（x1+x2）（x1﹣x2）＝（y1+y2）（y1﹣y2），又由对称性知x1≠x2，∴A（2，3）为中点的弦所在直线的斜率k=y1−y2x1−x2=2（x1+x2）y1+y2=2×4 6=43，所以中点弦所在直线方程为y﹣3＝43（x﹣2），即4x−3y+1=0．故答案为：4x−3y+ 1=0．3、椭圆x 236+y 29=1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A,B 两点．当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．【答案】x +2y −8=0. 【解析】由P 的坐标，可得1636+49<1，可得P 在椭圆内，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1236+y 129=1，①x 2236+y 229=1，②由中点坐标公式可得x 1+x 2=8，y 1+y 2=4，③ 由①−②可得，(x 1−x 2)(x 1+x 2)36+(y 1−y 2)(y 1+y 2)9=0，④将③代入④，可得k AB =y 1−y 2x 1−x 2=−12，则所求直线的方程为y −2=−12(x −4)，即为x +2y −8=0．4、已知双曲线x 24－y 2＝1，求过点A (3，－1)且被点A 平分的弦MN 所在直线的方程.【答案】3x ＋4y －5＝0.【解析】解法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y ＋1＝k (x －3)，即y ＝kx －3k －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3k －1，x 24－y 2＝1，消去y ，整理得(1－4k 2)x 2＋8k (3k ＋1)x －36k 2－24k －8＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝8k 3k ＋14k 2－1.∵A (3，－1)为MN 的中点，∴x 1＋x 22＝3，即8k 3k ＋124k 2－1＝3，解得k ＝－34.当k ＝－34时，满足Δ>0，符合题意，∴所求直线MN 的方程为y ＝－34x ＋54，即3x ＋4y－5＝0.解法二：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∵M ，N 均在双曲线上，∴⎩⎨⎧x 214－y 21＝1，x224－y 22＝1，两式相减，得x 22－x 214＝y 22－y 21，∴y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 14y 2＋y 1. ∵点A 平分弦MN ，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－2.∴k MN ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 14y 2＋y 1＝－34.经验证，该直线MN 存在．∴所求直线MN 的方程为y ＋1＝－34(x －3)，即3x ＋4y －5＝0.5、已知抛物线y 2＝6x ，过点P (4，1)引一条弦P 1P 2使它恰好被点P 平分，求这条弦所在的直线方程及|P 1P 2|.【答案】3x －y －11＝022303【解析】设直线上任意一点坐标为(x ，y )，弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．∵P 1，P 2在抛物线上，∴y 21＝6x 1，y 22＝6x 2.两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)． ∵y 1＋y 2＝2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6y 1＋y 2＝3，∴直线的方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3x －11得y 2－2y －22＝0， ∴y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22.∴|P 1P 2|＝1＋19·22－4×（－22）＝22303. 考向二利用点差法求曲线方程1、已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交E 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为()1,1M -，则E 的方程为（）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ． 2212718x y +=D ．221189x y +=答案：D解析：设()()1122,,,A x y B x y，则又2229a b c -==，即有2229b b -=，得229,18b a ==2、平面直角坐标系xoy 中，过椭圆()2222:10x y M a b ab+=>>右焦点的直线0x y +交M 于,A B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，求M 的方程解析：设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ，所以222a b =因此226,3a b ==3、椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭、AB 、在椭圆E 上，且PA PB mOP +=，求椭圆E 的方程及直线AB 的斜率。

解-点差法公式在抛物线中点弦问题中的妙用教案资料

“点差法”公式在抛物线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。

它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。

本文就抛物线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。

定理在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =⋅0.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧==)2(.2)1(,2222121ΛΛΛΛmx y mx y)2()1(-，得).(2212221x x m y y -=-.2)(121212m y y x x y y =+⋅--∴又01212122,y y y x x y y k MN =+--=Θ.m y k MN =⋅∴0.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在. 同理可证，在抛物线)0(22≠=m my x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m x k MN=⋅01.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且不等于零.例1．抛物线x y 42=的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（） A. 12-=x y B. )1(22-=x y C. 212-=x y D. 122-=x y 解：2=m ，焦点)0,1(在x 轴上. 设弦的中点M 的坐标为),(y x . 由m y k MN =⋅得：21=⋅-y x y，整理得：)1(22-=x y .∴所求的轨迹方程为)1(22-=x y .故选B.例2．抛物线22x y =上一组斜率为2的平行弦中点的轨迹方程是（）A. 21=x （y ＞21）B. 21=y （x ＞21） C. x y 2=（x ＞1） D. 12+=x y 解：由22x y =得y x 212=，41=∴m ，焦点在y 轴上. 设平行弦的中点M 的坐标为),(y x .由m x k MN=⋅1得：4121=⋅x ，21=∴x . 在22x y =中，当21=x 时，21=y . ∴点M 的轨迹方程为21=x （y ＞21）.故答案选A.例3．（03上海）直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得的线段的中点坐标是___________.解：2=m ，焦点)0,1(在x 轴上. 设弦MN 的中点P 的坐标为),(y x ，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则.1=MN k 由m y k MN =⋅0得：20=y ，.120-=∴x 从而30=x .∴所求的中点坐标是)2,3(.例4．抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，它和直线1-=x y 相交，所得的弦的中点在522=+y x 上，求抛物线的方程.解：设抛物线的方程为)0(22≠=m mx y ，直线与抛物线的两个交点为M 、N ，弦MN 的中点P 的坐标为),(00y x .由m y k MN =⋅0得：m y =0，.1100+=+=∴m y x又Θ点),1(m m P +在圆522=+y x 上，.5)1(22=++∴m m解之得：,2-=m 或.1=m由⎩⎨⎧=-=.2,12mx y x y 得：.01)1(22=++-x m x Θ直线与抛物线有两个不同的交点，4)1(42-+=∆∴m ＞0. ∴m ＜2-，或m ＞0..1=∴m故所求的抛物线方程为.22x y =例5．已知抛物线x y 122=上永远有关于直线m x y l +=4:对称的相异两点，求实数m 的取值范围.解：设抛物线上A 、B 两点关于直线l 对称，且弦AB 的中点为),(00y x P . 根据题意，点P 在直线l 上，l AB ⊥，∴41-=AB k . 又x y 122=，mx y 22=，∴6=m .由m y k AB =⋅0，得：6410=⋅-y ，∴240-=y . 又由m x y +=004，得：4240+-=m x .点),(00y x P 在抛物线的开口内，∴2)24(-＜)424(12+-⨯m . 解之得：m ＜216-.故实数m 的取值范围)216,(--∞.例6. （05全国Ⅲ文22）设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线. （Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论. （Ⅱ）当3,121-==x x 时，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）y x 212=Θ，∴)81,0(,41F p =. 设线段AB 的中点为),(00y x P ，直线l 的斜率为k ，则0212x x x =+.若直线l 的斜率不存在，当且仅当021=+x x 时，AB 的垂直平分线l 为y 轴，经过抛物线的焦点F. 若直线l 的斜率存在，则其方程为00)(y x x k y +-=，kk AB 1-=.由p x k AB=⋅01得：410=-kx ，∴kx 410-=. 若直线l 经过焦点F ，则得：0004181y y kx +=+-=，410-=y ，与00≥y 相矛盾. ∴当直线l 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.综上所述，当且仅当021=+x x 时，直线l 经过抛物线的焦点F. （Ⅱ）当3,121-==x x 时，.102,12),18,3(),2,1(210210=+=-=+=-y y y x x x B A 由p x k AB=⋅01得：41=k . ∴所求的直线l 的方程为10)1(41++=x y ，即.0414=+-y x 例7．已知直线02=--y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是________. 解：x y 42=，mx y 22=，∴2=m . 直线的斜率为1. 由m y k MN =⋅0得：20=y . 代入0200=--y x 求得40=x .∴线段AB 的中点坐标是)2,4(.例8．直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于不同的两点P 、Q ，若PQ 中点的横坐标是2，则||PQ =____.解：x y 82=，mx y 22=，∴4=m .在2-=kx y 中，20=x 时，220-=k y ，∴若PQ 中点的纵坐标是220-=k y .由m y k AB =⋅0得：4)22(=-k k ，即022=--k k .解之得：2=k 或1-=k . 由⎩⎨⎧=-=.8,22x y kx y 得：04)2(422=++-x k x k .Θ直线与抛物线交于不同的两点，∴⎪⎩⎪⎨⎧-+=∆≠.016)2(16,0222φk k k解之得：k ＞1-且0≠k . ∴2=k .由⎩⎨⎧=-=.8,222x y x y 得：041642=+-x x . 即0142=+-x x . 设),(),,(2211y x Q y x P ，则1,42121==+x x x x .∴[]152)416(54)()1(||212212=-=-++=x x x x k PQ .例9．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线14:+-=x y l 被抛物线C 所截得的弦AB 的中点M 的纵坐标为2-，则抛物线C 的方程为____________.解：x y 82=，mx y 22=，∴4=m .由m y k AB =⋅0得：4=AB k .∴AB 所在的直线方程为)4(41-=-x y ，即0154=--y x .例10．设1P 2P 为抛物线y x =2的弦，如果这条弦的垂直平分线l 的方程为3+-=x y ，求弦1P 2P 所在的直线方程.解：设抛物线的方程为mx y 22=（m ＞0）. 在14+-=x y 中，斜率为4-，2-=y 时，43=x . ∴弦AB 的中点M 的坐标为)2,43(--. 由m y k AB =⋅0得：m =-⨯-)2(4，∴8=m .∴所求的抛物线的方程为x y 162=.例11．过点)1,4(Q 作抛物线x y 82=的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，则AB 所在的直线方程为_______.解：y x =2，my x 22=，∴21=m . 弦1P 2P 所在直线的斜率为 1. 设弦1P 2P 的中点坐标为),(00y x .由m x k P P =⋅0211得：210=x . 弦1P 2P 的中点也在直线3+-=x y 上，∴253210=+-=y .弦1P 2P 的中点坐标为)25,21(. ∴弦1P 2P 所在的直线方程为)21(125-⋅=-x y ，即02=+-y x . 例12．已知抛物线22x y =上有不同的两点A 、B 关于直线m x y l +=:对称，求实数m 的取值范围. 解：设弦AB 的中点为),(00y x P .根据题意，l AB ⊥，∴1-=AB k . 又y x 212=，my x 22=，∴41=m . 由m x k AB=⋅01，得：4110=⋅-x ，∴410-=x . 又由m x y +=00，得：m y +-=410. 点),(00y x P 在抛物线的开口内，∴2)41(-＜)41(21m +-⨯.解之得：m ＞83.故实数m 的取值范围),83(+∞.例13．（05全国Ⅲ理21）设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线. （Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论. （Ⅱ）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上的截距的取值范围. 解：（Ⅰ）y x 212=Θ，∴)81,0(,41F p m ==. 设线段AB 的中点为),(00y x P ，直线l 的斜率为k ，则0212x x x =+.若直线l 的斜率不存在，当且仅当021=+x x 时，AB 的垂直平分线l 为y 轴，经过抛物线的焦点F. 若直线l 的斜率存在，则其方程为00)(y x x k y +-=，kk AB 1-=. 由m x k AB=⋅01得：410=-kx ，∴kx 410-=. 若直线l 经过焦点F ，则得：0004181y y kx +=+-=，410-=y ，与00≥y 相矛盾. ∴当直线l 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.综上所述，当且仅当021=+x x 时，直线l 经过抛物线的焦点F.（Ⅱ）当2=k 时，由（Ⅰ）知，810-=x ，直线l 的方程为4120++=y x y ， ∴它在y 轴上的截距410+=y b ，410-=b y . 直线AB 的方程为00)(21y x x y +--=，即16521-+-=b x y .代入22x y =并整理得：085242=+-+b x x . Θ直线AB 与抛物线有两个不同交点，∴)852(161+--=∆b ＞0，即932-b ＞0.∴b ＞329.故l 在y 轴上的截距的取值范围是),329(+∞.例14．(08陕西文理20) 已知抛物线22x y C =：，直线2+=kx y 交C 于A 、B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N.（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0=⋅NB NA ，若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由. 证明：（Ⅰ）41,212===p m y x ，设点M 的坐标为),(00y x . 当0=k 时，点M 在y 轴上，点N 与原点O 重合，抛物线C 在点N 处的切线为x 轴，与AB 平行. 当0≠k 时，由p x k AB=⋅01得：40k x =. ∴8222k x y N ==. 得点N 的坐标为)8,4(2k k . 设抛物线C 在点N 处的切线方程为)4(82k x m k y -=-，即8)4(2k k x m y +-=. 代入22x y =，得：8)4(222k k x m x +-=，整理得：084222=-+-k km mx x . 0)(2)84(822222=-=+-=--=∆k m k km m k km m ，∴k m =，即抛物线C 在点N 处的切线的斜率等于直线AB 的斜率.故抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行.（Ⅱ）解：若0=⋅NB NA ，则NB NA ⊥，即︒=∠90ANB .∴||2||2||2||MN BM AM AB ===.482200+=+=k kx y ，∴816848||2220+=-+=-=k k k y y MN N . 由⎩⎨⎧=+=.2,22x y kx y 得0222=--kx x .设),(),,(2211y x B y x A ，则1,22121-==+x x kx x . ∴)16)(1(21)44)(1(]4))[(1(||2222212212++=++=-++=k k k k x x x x k AB .∴8162)16)(1(21222+⨯=++k k k . 即4)16()16)(1(2222+=++k k k . 化简，得：416122+=+k k ，即42=k .∴2±=k .故存在实数2±=k ，使0=⋅.。

椭圆拓展 (一) 椭圆中的中点弦点差法

椭圆拓展（一）椭圆内的中点弦点差法【学习重点】1.点差法的基本思想方法：设而不求2.点差法适用范围：斜率固定的平行线截二次曲线所得线段中点的轨迹，一般用于椭圆内的中点弦问题。

（在圆内应该用特殊方法）3.点差法的核心：求直线斜率和中点弦坐标的等量关系。

【核心推论】1.过定点直线和封闭曲线恒有公共点的充要条件是定点在曲线内部或曲线上。

过定点直线和封闭曲线恒有两个公共点的充要条件是定点在曲线内部。

2.斜率为k1的直线，交椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)于两点，弦中点与原点连线的斜率为k2，则k1•k2=b2a2。

斜率为k 1的直线，交椭圆y2a2x2b2=1(a>b>0)于两点，弦中点与原点连线的斜率为k 2，则k 1•k 2=2。

3. 平行弦的中点轨迹方程是过原点的、一条无端点、取椭圆内部分的线段。

【重点例题解析】例题已知P(-3,0),过点P 作直线l 交椭圆x24+y 2=1于A 、B 两点，求A 、B 的中点M 的轨迹方程。

解：设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)、M(x,y)x 124+y 12=1x 224+y 22=1x 12-x 224+(y 12-y 22)=014(x 1+x 2)(x 1-x 2) +(y 1+y 2)(y 1-y 2)=014(x 1+x 2)+(y 1+y 2)(y 1-y 2)(x 1-x 2)=0∴轨迹方程为：14(2x)+(2y)•k AB=014(2x)+(2y)•k MP =014(2x)+(2y)•y x+3=0x 2+3x+4y 2=0(取x 224+y 22=1的内部）。

椭圆点差法-证明-结论-例题-解析

椭圆弦中点点差法
定理
x2 y2
在椭圆 a 2 b 2 1（a＞b＞0）中，若直线 l 与椭圆相交
于 M、N 两点，点 P( x0 , y 0 ) 是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直
y0
b2
k MN
2
k
MN
线 l 的斜率为
，则
x0
a .
证明：设 M、N 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) ，
1
线段 AB 的中点，若|AB|＝2 5，直线 OM 的斜率为2，求椭圆的方程．
y＝－21x＋2，
由 2
x y2
a2＋b2＝1，
消去 y 整理，得(a2＋4b2)x2－8a2x＋16a2－4a2b2＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得
16a2－4a2b2
8a2
4
2
弦 MN 的中点 (1,1) ，由 k MN
y
b2
2
x
a
2
得 k MN
4, b 2 2 .
1
，
2
1
y

1

( x 1) .
直线 MN 的方程为
2
1
即 x 2 y 3 . k 2 .
x 2 2 y 2 4
2
6
y

由 x 2 y 3 得：
由b a
消去 y 得
y＝3x－2
(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0.
x1＋x2 1
6b2
1
∵ 2 ＝2，∴ 2
＝
，
a ＋9b2 2

椭圆点差法中点弦斜率公式

椭圆点差法中点弦斜率公式
椭圆点差法是一种用于确定椭圆的参数的一种数值方法。

椭圆点差法的基本思想是建立一个椭圆和已知点之间的差分方程，通过解决这个方程，求出最优参数，从而拟合出最佳椭圆。

在椭圆点差法中，求得椭圆的参数最重要的是求解点弦斜率公式。

点弦斜率公式是椭圆点差法中用来求椭圆的参数的一种重要的方法，它可以用于计算椭圆上任意点的斜率。

设特定椭圆F为方程：
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$，点P(x,y)位于椭圆上，点弦斜率公式可以表示为：$\frac{dy}{dx}=\frac{b^2x}{a^2y}$ 。

椭圆点差法中使用点弦斜率公式可以求解椭圆的参数。

首先，我们需要选择有限个已知点，例如P1(x1,y1)，P2(x2,y2)、P3(x3,y3)…，计算点弦斜率，求得其总和Σdy/dx。

然后将Σdy/dx代入椭圆的极坐标方程F中，以b2/a2 为未知数，可以求出a2、b2，进而获得椭圆的长轴、短轴长度。

通过点弦斜率公式，我们可以实现椭圆点差法求椭圆参数的目标。

结合实际应用，通过该方法可以获得准确的椭圆参数，为图像处理、3D计算等领域提供有效的方法。

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1 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理在椭圆12222byax（a＞b＞0）中，若直线l与椭圆相交于M、N两点，点),(00yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为MNk，则2200abxykMN. 证明：设M、N两点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，

则有)2(.1)1(,1222222221221byaxbyax )2()1(，得.02222122221byyaxx

.2212121212abxxyyxxyy 又.22,21211212xyxyxxyyxxyykMN.22abxykMN 同理可证，在椭圆12222aybx（a＞b＞0）中，若直线l与椭圆相交于M、N两点，点),(00yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为MNk，则2200baxykMN. 典题妙解例1 设椭圆方程为1422yx，过点)1,0(M的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足1()2OPOAOB，点N的坐标为21,21.当l绕点

M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程；

（2）||NP的最大值和最小值. 解：（1）设动点P的坐标为),(yx.由平行四边形法则可知：点P是弦AB的中点 . 2

焦点在y上，.1,422ba 假设直线l的斜率存在. 由22baxykAB得：.41xyxy 整理，得：.0422yyx 当直线l的斜率不存在时，弦AB的中点P为坐标原点)0,0(O，也满足方程。 所求的轨迹方程为.0422yyx

（2）配方，得：.141)21(16122yx.4141x

127)61(341)21()21()21(||222222x

yxNP

当41x时，41||minNP；当61x时，.621||maxNP

例2 在直角坐标系xOy中，经过点)2,0(且斜率为k的直线l与椭圆1222yx有两个不同的交点P和Q. （1）求k的取值范围；

（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量OQOP

与AB共线？如果存在，求k的取值范围；如果不存在，请说明理由. 解：（1）直线l的方程为.2kxy

由.12,222yxkxy得：.0224)12(22kxxk

直线l与椭圆

2yx

有两个不同的交点， 3

)12(83222kk＞0.解之得：k＜22或k＞22.

k的取值范围是,2222,.

（2）在椭圆1222yx中，焦点在x轴上，1,2ba，).1,2(),1,0(),0,2(ABBA 设弦PQ的中点为),(00yxM，则).,(100yxOM 由平行四边形法则可知：.2OMOQOP OQOP与AB共线，OM与AB共线.

1200yx

，从而.2200xy

由2200abxykPQ得：2122k，.22k 由（1）可知22k时，直线l与椭圆没有两个公共点，不存在符合题意的常数k. 例3已知椭圆12222byax（a＞b＞0）的左、右焦点分别为1F、2F，离心率22e，右准线方程为2x. (Ⅰ) 求椭圆的标准方程；

(Ⅱ) 过点1F的直线l与该椭圆相交于M、N两点，且3262||22NFMF，求直线l的方程. 解：（Ⅰ）根据题意，得







.2,222caxac

1,1,2cba.所求的椭圆方程为1222yx.

（Ⅱ）椭圆的焦点为)0,1(1F、)0,1(2F. 设直线l被椭圆所截的弦MN的中点为),(yxP. 由平行四边形法则知：PFNFMF2222. 由3262||22NFMF得：326||2PF..926)1(22yx……………① 4

若直线l的斜率不存在，则xl轴，这时点P与)0,1(1F重合，4|2|||1222FFNFMF，与题设相矛盾，故直线l的斜率存在.

由22abxykMN得：.211xyxy).(2122xxy ………②

②代入①，得.926)(21)1(22xxx 整理，得：0174592xx.解之得：317x，或32x. 由②可知，317x不合题意.32x，从而31y..11xyk 所求的直线l方程为1xy，或1xy.

例4 已知椭圆1:2222byaxC（a＞b＞0）的离心率为33，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点. 当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为22. （1）求ba,的值；（2）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OBOAOP成立？若存在，求出所有点P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由. 解：（1）椭圆的右焦点为)0,(cF，直线l的斜率为1时，则其方程为cxy，即0cyx.

原点O到l的距离：22222|00|ccd，1c. 又33ace，3a. 从而2b.3a， 2b. （2）椭圆的方程为12322yx. 设弦AB的中点为),(yxQ. 由OBOAOP可知，点Q是线段OP的中点，点P的坐标为)2,2(yx.123422yx.…………………① 若直线l的斜率不存在，则xl轴，这时点Q与)0,1(F重合，)0,2(OP，点P不在椭圆上，故直线l的斜率存在.

由22abxykAB得：.321xyxy)(3222xxy.………………………② 5

由①和②解得：42,43yx. 当42,43yx时，21xykAB，点P的坐标为)22,23(，直线l的方程为

022yx；

当42,43yx时，21xykAB，点P的坐标为)22,23(，直线l的方程为022yx.

金指点睛 1. 已知椭圆4222yx，则以)1,1(为中点的弦的长度为（）

A. 23 B. 32 C. 330 D. 263 2.（06江西）椭圆1:2222byaxQ（a＞b＞0）的右焦点为)0,(cF，过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P为线段AB的中点. （1）求点P的轨迹H的方程；（2）略.

3．（05上海）（1）求右焦点坐标是)0,2(且过点)2,2(的椭圆的标准方程；

（2）已知椭圆C的方程为12222byax（a＞b＞0）.设斜率为k的直线l，交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M. 证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上；（3）略.

4. (05湖北)设A、B是椭圆223yx上的两点，点)3,1(N是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点. （1）确定的取值范围，并求直线AB的方程；（2）略.

5. 椭圆C的中心在原点，并以双曲线12422xy的焦点为焦点，以抛物线yx662的准线为 6

其中一条准线. （1）求椭圆C的方程；

（2）设直线)0(2:kkxyl与椭圆C相交于A、B两点，使A、B两点关于直线

)0(1:'mmxyl对称，求k的值.

参考答案

1. 解：由4222yx得12422yx，2,422ba. 弦MN的中点)1,1(，由22abxykMN得21MNk，直线MN的方程为)1(211xy. 即32yx. .21k 由324222yxyx得：051262yy. 设),(),,(2211yxNyxM，则65,22121yyyy. 

330)3104(54)()11(||212212yyyykMN

故答案选C. 2. 解：（1）设点P的坐标为),(yx，由22abxykAB得：22abxycxy，

整理，得：022222cxbyaxb. 点P的轨迹H的方程为022222cxbyaxb.

3．解：（1）右焦点坐标是)0,2(，左焦点坐标是)0,2(. 2c. 由椭圆的第一定义知，24)2()22()2()22(22222a，22a. 4222cab.

所求椭圆的标准方程为14822yx.