盈亏问题与比较法
小升初数学：盈亏问题三种类型,找准数量差,用比较法化难为简!
小升初数学：盈亏问题三种类型，找准数量差，用比较法化难为简！我国有本古老的世界数学名著，叫《九章算术），此书是因书中共有九章有关实际应用问题及解法的内容而得名，这本书的第六章是“盈不足章，也就是专门讨论盈亏问题的。
盈，就是多余；，就是不足、不够的意思。
解有关盈亏问题，常常通过比较进行。
一、基本知识点1、含义按一定人数等分一定物品，每人分得少一些则有剩余，就叫盈；每人分得多一些则不足，就叫亏。
在两次分配中，一次有余（盈）一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求分配的份数或被分配的总量的应用题，叫做盈亏问题，也叫做余不足问题。
2、特点对象总量和总的组数是不变的。
3、类型（1）一盈一亏；（2）全盈；（3）全亏。
4、数量关系（1）（盈+亏）÷两次分配的每份数量差=份数；（2）（大盈-小盈）÷两次分配的每份数量差=份数；（3）（大亏-小亏）÷两次分配的每份数量差=份数。
（4）总数=每份数量×份数+盈数总数=每份数量×份数-亏数5、口诀一盈一亏，盈亏加在一起；全盈全亏，大的减去小的；除以分配差，结果就是分配的物或人。
6、解题思路先将两种分配方案进行比较，分析由于分配标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量。
关键问题：确定对象总量和总的组数。
注意数量差与每份之间的对应关系。
☞二、一张思维导图归纳总结☞三、经典应用（1）一盈一亏例1、幼儿园老师给小朋友们发皮球，如果每入发5个，还剩3个；如果每人发7少9个.问：有多少个小朋友，多少个皮球？【分析】比较两种分球法中各个量之间的关系：每人发5个，还剩3个；每人发7个，则少9个。
这两种分法，每人相差7-5=2（个），第一种余3个，第二种少9个，那么两次总共相差9+3=12（个），每人相差2个，结果总数就相差12个，所以有（12÷2）个小朋友，6×5+3=33（个）皮球。
盈亏问题
盈亏问题盈亏问题的基本解法是：份数=（盈＋亏）÷两次分配数的差。
1、幼儿园的小朋友分饼干，如果每个人分6块饼干，那么还多出12块，如果每个人分8块饼干，那还差24块。
问幼儿园一共用多少小朋友？一共有多少块饼干？2.某校安排学生宿舍，如固果每间5人，则有14人没有床位，如果每间7人，则多4个空床位，问宿舍几间？学生几人？3. 用一根绳子绕树三圈，余3米.如果绕树四圈，则差4米。
树周长有几米？绳长有几米？4.小聪用一根绳来测量一口井的深度，他把绳子的一端放入井底，井口外绳子长9米，小葱把这根绳子对折后，将一端放入井底，这时在井口外的绳子还有3米，求这口井的深度？5.人民路小学三四五年级的同学乘汽车去春游。
如果每车坐45人，有10人不能坐车；如果每车多坐5人，又多出一辆汽车。
一共有多少辆汽车？有多少名同学去春游？6. 三年级1班和2班两个班级的学生到东湖春游，他们租了一些船。
如果每个船坐3人，则多出了25人，如果每只船坐5人，则还空出3只船。
问：他们一共租借了多少只船？两个班的一共有多少人？7.学校安排学生听报告，如果每3人坐一条长椅，则剩下48人没有座位；如果每5人坐一条长椅，则刚好空出2条长椅，参加会议的学生有多少人？8.学校分配宿舍，每个房间住3人，则多出20人，每个房间住5人，恰恰安排好，问房间和学生各有多少？9、少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。
请问，共有多少名少先队员？共挖了多少树坑？10、钢笔与圆珠笔每支相差1元2角，小明带的钱买5支钢笔差1元5角，买8支圆珠笔多6角。
问小明带了多少钱？11、某校到了一批新生，如果每个寝室安排8个人，要用33个寝室；如果每个寝室少安排2个人，寝室就要增加10个，问这批学生可能有多少人？12、有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。
如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。
解盈亏问题常常用到比较法
解盈亏问题常常用到比较法。
思路是比较两种不同的做事方法，把盈余数与不足数之和看作总差数，用每个单位的差去除，就可得到单位的数目，对本题就是栽树的人数。
我们有如下的公式：(盈+亏)÷(每个单位的差)=单位数(盈一盈)÷(每个单位的差)=单位数(亏一亏)÷(每个单位的差)=单位数【真题讲解】例1、若干学生住若干房间，如果每间住4人则有20人没地方住，如果每间住8人则有一间只有4人住，问共有多少名学生( )(2002年国家公务员考试行测第32题)A.30人B.34人C.40人D.44人解析：每间住4人，剩余20人没地方住;每间住8人，有一间缺4人没住满。
我们可以假设这些学生先4人一间，然后再每间加4人，那么第一次剩余的20人可以分配到20÷4=5间，还有一间只有4人，可以很容易得到房间为5+1=6间，那么总人数为6×4+20=44人。
通过做这道题目，我们可以进一步总结，第一次分配人到房间是盈，第二次分配人到房间是亏，(盈+亏)÷(分配方法之差)=房间数。
例2、单位安排职工到会议室听报告。
如果每3人坐一条长椅，那么剩下48个人没有坐;如果每5人坐一条长椅，则刚好空出两条长椅。
听报告的职工有多少人?(2009年河北省公务员考试行测第119题)A.128B.135C.146D.152解析：每3人坐一条长椅，剩余48人;每5人坐一条长椅，缺10人没地方坐。
48+10=58人，58÷(5-3)=29条长椅，则人数=(29-2)×5=135人。
当然本题还可以直接用人数能被5整除来进行判断，选择B。
例3、某单位以箱为单位向困难职工分发救济品，如果有12人每人各分7箱，其余的每人分5箱，则余下148箱;如果有30人每人各分8箱，其余的每人分7箱，则余下20箱。
由此推知该单位共有困难职工( )(2008年山西省公务员考试行测第43题)A.61人B.54人C.56人D.48人解析：本题和别的盈亏问题的区别在于，每次的救济品分发的过程中，有一部分人的分配方法和其他人不同。
盈亏问题
盈亏问题“盈”就是剩余，“亏”就是不够的意思。
这类题目的共同特点就是：已知两个分配方案，一次分配不足，一次分配有余，求参加分配的人数及被分配的数量。
这种一盈一亏得情况就是人们所说的盈亏问题。
1.解答盈亏问题，常常通过比较法，根据除法的含义列式计算。
一般会出现三种情况：（1）两次分配，一次盈，一次亏：（盈+亏）÷两次分配的相差数=分配的份数（2）两次分配都有盈：（大盈-小盈）÷两次分配的相差数=分配的份数（3）两次分配都有亏：（大亏-小亏）÷两次分配的相差数=分配的份数2.由于参加分配的总人数不变，参加分配的物品的总个数不变，所以也可以根据：（1）第一种分法的人数=第二种分法的人数（2）第一种分法的物品数=第二种分法的物品数列出方程来解答。
[例1.] 三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？[例2.]猴王带领一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王开始分配．若大猴分5个，小猴分3个，猴王可留10个．若大、小猴都分4个，猴王能留下20个．在这群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多多少只？[例3.]学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人．已知这些宿舍中共住了168人，那么其中有多少间大宿舍？[例4.]王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍.桔子每人分3个，多4个；苹果每人分7个，少5个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？[例5.]阳光小学学生乘汽车到香山春游．如果每车坐65人，则有5人不能乘上车；如果每车多坐5人，恰多余了一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生？1.有一批练习本发给学生，如果每人5本，则多70本，如果每人7本，则多10本，那么这个班有多少学生，多少练习本呢？2.幼儿园给获奖的小朋友发糖，如果每人发6块就少12块，如果每人发9块就少24块，总共有多少块糖呢？3.智康学校三年级精英班的一部分同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？4.一位老师给学生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，问：有多少位学生？共多少粒糖果？5.幸福小学少先队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则多出7人，若每条长椅上多坐4人则多出3条长椅．问：到会议室开会的少先队员有多少人？6.老师拿来一批树苗，分给一些同学去栽，每人每次分给一棵，一轮一轮往下分，当分剩下12棵时不够每人分一棵了，如果再拿来8棵，那么每个同学正好栽10棵。
五星难度辅导讲义---数学人教版小五C专题(应用问题之盈亏问题与比较法
--------盈亏问题与比较法(★★★★★)1.学习解决简单应用题的方法；2.学习处理盈亏问题，并且能进行简单的实际应用。
知识结构1.定义：人们在分东西的时候，经常会遇到剩余（盈）或不足（亏），根据分东西过程中的盈或亏所编成的应用题叫做盈亏问题。
2.相关公式：（1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：（盈+亏）÷（两次每份分配数的差）=平均分的份数（2）两次都有余（盈），可用公式：（大盈-小盈）÷（两次每份分配数的差）=平均分的份数（3）两次都不够（亏），可用公式：（大亏-小亏）÷（两次每份分配数的差）=平均分的份数（4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式：亏÷（两次每份分配数的差）=平均分的份数（5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式：盈÷（两次每份分配数的差）=平均分的份数(★★★★★)学校把一批乒乓球分给各个班。
每班5盒，还剩18盒；每班分7盒，还差6盒。
有多少班？有多少盒乒乓球？解：每班分7盒比每班分5盒，多分7－5＝2(盒)，不但会把多余的18盒用掉，还要再添上3盒，说明由于每班多分2盒，总共就要多分18＋6＝24(盒)，因此，有24÷2＝12(个)班。
求乒乓球的盒数，既可以按第一种分法计算，也可以按第二种分法计算。
第一种分法计算，乒乓球有5×12＋18＝78(盒)；按第二种分法计算，乒乓球有7×12－6＝78(盒)。
答：学校有12个班，有78盒乒乓球。
像这类问题叫做“盈亏问题”。
解决盈亏问题的关键，是要根据“盈”、“亏的原因，找到两个对应的量。
盈亏问题有“一盈一亏”、“双盈”、“双亏”等种不同的情况，但是，解决问题的基本思路是相同的。
(★★★★★)某寄宿学校的宿舍，如果每间住6人，就会有34人安排不下；如果每间住7人，就会多出来4间宿舍。
这所寄宿学校的学生有多少人？宿舍有多少间？“如果每间住7人，就会多出来4间宿舍”，也就是可以多住7×4＝28(人)。
小学数学题，奥数盈亏问题比较法解题，小学常考典型题
小学数学题，奥数盈亏问题比较法解题，小学常考典型题小学数学盈亏问题，常常用到比较法，也就是常说的画图比较法。
当方法熟练以后就可以学习公式法，可以快速算出答案。
例1 三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动.如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖.这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？比较法比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块.这两次搬砖，每人相差5-4=1（块）。
第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数：7+2=9（块）每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员9÷1=9（人）。
共有砖：4×9＋7＝43（块）。
解：（7+2）÷（5-4）=9（人）4×9+7=43（块）或5×9-2=43（块）答：共有少先队员9人，砖的总数是43块。
如果把例1中的“少2块砖”改为“多1块砖”，你能计算出有多少少先队员，有多少块砖吗？由本题可见，解这类问题的思路是把盈余数与不足数之和看作采用两种不同搬法产生的总差数，被每人搬砖的差即单位差除，就可得出单位的个数，对这题来说就是搬砖的人数.例2 妈妈买回一筐苹果，按计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个苹果；如果每天吃6个，则又少8个苹果.那么妈妈买回的苹果有多少个？计划吃多少天？分析题中告诉我们每天吃4个，多出48个苹果；每天吃6个，少8个苹果.观察每天吃的个数与苹果剩余个数的变化就能看出，由每天吃4个变为每天吃6个，也就是每天多吃2个时，苹果从多出48个到少8个，也就是所需的苹果总数要相差48＋8＝56（个）.从这个对应的变化中可以看出，只要求56里面含有多少个2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共有多少个苹果了。
解：（48+8）÷（6-4）=56÷2=28（天）6×28-8=160（个）或4×28＋48=160（个）答：妈妈买回苹果160个，计划吃28天。
小学三年级奥数 第43讲：盈亏问题(二)
【例6】 (★★★★★)) 食堂管理员带着一笔钱去买肉，若买10 千克牛肉还差6 元钱，若买12 千克猪肉还剩4 元钱，已知每千克牛肉比每千克猪肉贵3 元，问：食 堂管理员带了多少钱？
【本讲总结】 一、 解题步骤 1．找总量、单位量 2．列表 3．求单位量 4．求总量 二、复杂盈亏问题注意事项： 1．盈与亏针对的是总量 2．总量和单位量是不变的数(题目中有两个总量或单位量时要转化为一个) 3．每一次分配方案中要统一
【例2】(★★★) 一个班的学生去划船，如果增加一条船，正好每条船坐6人，如果减 少一条船，正好每条船坐9人，这个班一共有多少人？
【例3】(★★★★) 大猴采到一堆桃子，分给一群小猴吃，如果其中两个小猴各分得4 个 桃，其余每只小猴各分得2 个桃，则最后剩4 个桃，如果其中一只小 猴分得6个桃，其余每只小猴各分共有多少只？
【课前复习】 一、基本型盈亏问题核心
1．分东西 2．两种分配方案 二、解题思路 比较法 三、 解题步骤 1．找总量、单位量 2．列表 3．求单位量 4．求总量
盈亏问题（二）
基本型 【例1】(★★★)
A、B 两人买了相同张数的信纸，A 在每个信封里装1 张信纸，最后 用完所有的信封还剩40 张信纸，B 在每个信封里装3 张信纸，最后用 完所有的信纸还剩40 个信封，他们都买了多少张信纸？
如果转化成两次都买猪肉呢？同学们自己试试吧。
2
1
【例4】(★★★) 某铅笔厂进行成本核算，发现某种铅笔的价格若按每打(12支)9 元6角 计算，则每天亏损82元，若按每盒(144支)129元6角计算，则每天可得 利润918元，该厂每天生产这种铅笔多少支？
【例5】(★★★★★) 苹果和梨各有若干个，如果5 个苹果和3 个梨装一袋，还多4 个苹果， 梨正好装完；如果7 个苹果和3 个梨装一袋，苹果恰好装完，梨还多 12 个。苹果和梨各有多少个？
四年级数学盈亏问题与比较法例题讲解(一)
第14讲盈亏问题与比较法（一）人们在分东西的时候，经常会遇到剩余（盈）或不足（亏），根据分东西过程中的盈或亏所编成的应用题叫做盈亏问题。
例1 小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。
问：有多少个小朋友分多少粒糖？分析：由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数是不变的。
比较两种分配方案，第一种方案每人分4粒就多9粒，第二种方案每人分5粒就少6粒，两种不同的方案一多一少相差9＋6＝15（粒）。
相差的原因在于两种方案的分配数不同，第一种方案每人分4粒，第二种方案每人分5粒，两次分配数之差为5－4＝1（粒）。
每人相差1粒，多少人相差15粒呢？由此求出小朋友的人数为15÷1＝15（人），糖果的粒数为4×15＋9＝69（粒）。
解：（9＋6）÷（5-4）＝15（人），4×15＋9＝69（粒）。
答：有15个小朋友，分69粒糖。
例2 小朋友分糖果，若每人分3粒则剩2粒；若每人分5粒则少6粒。
问：有多少个小朋友？多少粒糖果？分析：本题与例1基本相同，例1中两次分配数之差是5-4=1（粒），本题中两次分配数之差是5-3＝2（粒）。
例1中，两种分配方案的盈数与亏数之和为9＋6＝15（粒），本题中，两种分配方案的盈数与亏数之和为2＋6=8（粒）。
仿照例1的解法即可。
解：（6＋2）÷（4——2）＝4（人），3×4＋2＝14（粒）。
答：有4个小朋友，14粒糖果。
由例1、例2看出，所谓盈亏问题，就是把一定数量的东西分给一定数量的人，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求出分配的总人数与被分配东西的总数量。
解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额（盈数+亏数），由此得到求解盈亏问题的公式：分配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差。
需要注意的是，两种分配方案的结果不一定总是一“盈”一“亏”，也会出现两“盈”、两“亏”、一“不盈不亏”一“盈”或“亏”等情况。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
盈亏问题与比较法
盈亏问题与比较法（二）
有些问题初看似乎不像盈亏问题，但将题目条件适当转化，就露出了盈亏问题的“真相”。
例1 某班学生去划船，如果增加一条船，那么每条船正好坐6人；如果减少一条船，那么每条船就要坐9人。
问：学生有多少人？
分析：本题也是盈亏问题，为清楚起见，我们将题中条件加以转化。
假设船数固定不变，题目的条件“如果增加一条船……”表示“如果每船坐6人，那么有6人无船可坐”；“如果减少一条船……”表示“如果每船坐9人，那么就空出一条船”。
这样，用盈亏问题来做，盈亏总额为6＋9=15（人），两次分配的差为9——6＝3（人）。
解：（6＋9）÷（9——6）＝5（条），
6×5＋6=36（人）。
答：有36名学生。
例2 少先队员植树，如果每人挖5个坑，那么还有3个坑无人挖；如果其中2人各挖4个坑，其余每人挖6个坑，那么恰好将坑挖完。
问：一共要挖几个坑？
分析：我们将“其中2人各挖4个坑，其余每人挖6个坑”转化为“每人都挖6个坑，就多挖了4个坑”。
这样就变成了“典型”的盈亏问题。
盈亏总额为4＋3＝7（个）坑，两次分配数之差为6——5＝1（个）坑。
解：[3＋（6-4）×2]÷（6-5）＝7（人）
5×7＋3＝38（个）。
答：一共要挖38个坑。
例3在桥上用绳子测桥离水面的高度。
若把绳子对折垂到水面，则余8米；若把绳子三折垂到水面，则余2米。
问：桥有多高？绳子有多长？
分析与解：因为把绳子对折余8米，所以是余了8×2=16（米）；同样，把绳子三折余2米，就是余了3×2＝6（米）。
两种方案都是
“盈”，故盈亏总额为16——6=10（米），两次分配数之差为3-2＝1（折），所以
桥高（8×2-2×3）÷（3-2）＝10（米），绳子的长度为2×10＋8×2＝36（米）。
例4有若干个苹果和若干个梨。
如果按每1个苹果配2个梨分堆，那么梨分完时还剩2个苹果；如果按每3个苹果配5个梨分堆，那么苹果分完时还剩1个梨。
问：苹果和梨各有多少个？
分析与解：容易看出这是一道盈亏应用题，但是盈亏总额与两次分配数之差很难找到。
原因在于第一种方案是1个苹果“搭配”2个梨，第二种方案是3个苹果“搭配”5个梨。
如果将这两种方案统一为1个苹果“搭配”若干个梨，那么问题就好解决了。
将原题条件变为“1个苹果搭配2个梨，缺4个梨；
有梨15×2-4＝26（个）。
例5乐乐家去学校上学，每分钟走50米，走了2分钟后，发觉按这样的速度走下去，到学校就会迟到8分钟。
于是乐乐开始加快速度，每分钟比原来多走10米，结果到达学校时离上课还有5分钟。
问：乐乐家离学校有多远？
分析与解：乐乐从改变速度的那一点到学校，若每分钟走50米，则要迟到8分钟，也就是到上课时间时，他离学校还有50×8＝400（米）；若每分钟多走10米，即每分钟走60米，则到达学校时离上课还有5分钟，如果一直走到上课时间，那么他将多走（50＋10）×5＝300（米）。
所以盈亏总额，即总的路程相差
400＋300＝700（米）。
两种走法每分钟相差10米，因此所用时间为
700÷10＝70（分），
也就是说，从乐乐改变速度起到上课时间有70分钟。
所以乐乐家到学校的距离为
50×（2＋70＋8）＝4000（米），
或 50×2＋60×（70——5）＝4000（米）。
例6王师傅加工一批零件，每天加工20个，可以提前1天完成。
工作4天后，由于改进了技术，每天可多加工5个，结果提前3天完成。
问：这批零件有多少个？
分析与解：每天加工20个，如果一直加工到计划时间，那么将多加工20个零件；改进技术后，如果一直加工到计划时间，那么将多加工（20＋5）×3＝75（个）。
盈亏总额为75——20＝55（个）。
两种加工的速度比较，每天相差5个。
根据盈亏问题的公式，从改进技术时到计划完工的时间是55÷5＝11（天），计划时间为11＋4＝15（天），这批零件共有20×（15——1）＝280（个）。
练习15
1.筑路队计划每天筑路720米，实际每天比原计划多筑80米，这样在完成规定任务的前三天，就只剩下1160米未筑。
问：这条路共有多长？
2.小红家买来一篮桔子，分给全家人。
如果其中二人每人分4只，其余每人分2只，那么多出4只；如果一人分6只，其余每人分4只，那么缺12只。
问：小红家买来多少只桔子？小红家共有几人？
3.食堂采购员小李去买肉，如果买牛肉18千克，那么差4元；如果买猪肉20千克，那么多2元。
已知牛肉、猪肉每千克差价8角，求牛肉、猪肉每千克各多少钱。
4.李老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍。
桔子每人分3个，多4个；苹果每人分7个，少5个。
问：有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？
5.用绳子测量井深。
如果把绳子三折垂到水面，余7米；如果把绳子5折垂到水面，余1米。
求绳长与井深。
6.老师给幼儿园小朋友分苹果。
每两人三个苹果，多两个苹果；每三人五个苹果，少四个苹果。
问：有多少个小朋友？多少个苹果？
7.小明从家到学校去上学，如果每分钟走60米，那么将迟到5分钟；如果每分钟走80米，那么将提前3分钟。
小明家距学校多远？。