秦九韶算法求多项式
matlab秦九韶算法程序例子
matlab秦九韶算法程序例子秦九韶算法，又称为秦九韶求值算法，是一种用于求解多项式值的算法。
它可以在O(n)的时间复杂度内计算一个多项式在给定点的值，相对于普通的计算方法而言，具有更高的效率。
本文将以MATLAB语言为例，介绍秦九韶算法的实现过程，并提供一些示例代码。
1. 算法原理秦九韶算法的核心思想是利用累积计算的方式，将多项式的求值过程转化为一个累积乘法的过程。
具体而言，算法通过反复利用上一次的计算结果，不断累积乘以给定点的值，并加上下一个系数，从而逐步求得多项式在给定点的值。
2. 算法实现下面是一个简单的MATLAB函数实现秦九韶算法的例子：```matlabfunction res = evaluatePolynomial(coefficients, x)n = length(coefficients);res = coefficients(n);for i = n-1:-1:1res = res * x + coefficients(i);endend```3. 示例代码下面给出一个示例，假设我们要计算多项式P(x) = 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5在x = 2的值，可以使用上述实现的秦九韶算法函数evaluatePolynomial：```matlabcoefficients = [2, 3, 4, 5];x = 2;result = evaluatePolynomial(coefficients, x);disp(result);```运行上述代码，输出结果为33，表示多项式在x = 2的值为33。
4. 复杂度分析根据秦九韶算法的实现，计算多项式在给定点的值的时间复杂度为O(n)，其中n为多项式的阶数。
这是由于算法只需要进行一次遍历，累积乘法的操作次数与多项式的阶数相同。
5. 算法优势相对于普通的计算方法，秦九韶算法具有较高的效率。
在求解多项式值时，传统的计算方法需要进行多次乘法和加法运算，而秦九韶算法通过累积乘法的方式，大大减少了乘法和加法的次数，从而提升了计算效率。
秦九韶算法介绍和实例分析
秦九韶算法介绍和实例分析具体而言，秦九韶算法通过构建一个累加器，用来存储每一次迭代计算的结果。
首先，将多项式的最高次项系数存入累加器中。
然后，通过迭代计算，将每一个次高次项的系数与上一次迭代的结果相乘，并加上该项的常数部分。
依次迭代计算，直到将所有的项都计算完毕。
最终，累加器中的值即为多项式的求值结果。
下面以一个实例来说明秦九韶算法的应用。
假设我们要求解如下多项式的值：P(x)=2x^4+3x^3-5x^2+6x-4首先，我们可以将多项式表示为累加的形式：P(x)=(((2x+3)x-5)x+6)x-4然后，我们可以使用秦九韶算法进行计算。
首先，将最高次项系数2存入累加器中。
累加器=2接下来，进行迭代计算。
首先，将累加器乘以x，并加上次高次项的常数部分3，得到结果5x+3累加器=(5x+3)然后，将累加器再次乘以x，并加上次高次项的常数部分-5，得到结果-5x^2+(5x+3)。
累加器=(-5x^2+5x+3)依次类推，进行下一次迭代计算。
最终，得到累加器的值为-4累加器=(-4)因此，多项式P(x)在x=1处的值为-4通过以上实例分析，我们可以看到，秦九韶算法通过使用累加的方式进行计算，大大减少了乘法和加法运算的次数，提高了算法的效率。
在实际应用中，秦九韶算法常用于求解多项式的值，例如在计算机图形学中，可用于求解曲线上的点的坐标。
同时，该算法还可以用于多项式的除法和求导等运算中。
总结起来，秦九韶算法是一种用于求解多项式的高效算法，通过使用累加的方式进行计算，减少了乘法和加法运算的次数。
该算法在实际应用中具有广泛的应用价值，可以提高计算效率，同时也为其他相关运算提供了基础。
高二数学秦九韶算法-18页PPT资料
ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１ ) ＋１ =5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ ) ＋１ =5×(5×(5×(5２+5 +１) +１ ) +１ ) +１ =5×(5×(5×(5 ×(5 +１) +１ )+１)+１) +１
共做了4次乘法运算，5次加法运算。
算法案例
第二课时
复习引入:
1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是 （ ）和（ ）。
2、两个数21672，8127的最大公约数是 （ ） A、2709 B、2606 C、2703 D、2706
新课讲解:
怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？
计算多项式ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即
然后，由内到外逐v层1 计a算n x一次an多1项式的值，即
v2 v1x an2 v3 v2 x an3
vn vn1x a0
最后的一 项是什么？
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一 次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
多项式的值
思考：你能设计程序把“秦九韶算法”表示出来
吗？
(1)、算法步骤：
第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x 的值. 第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1.
第三步：输入i次项的系数an.
第四步：v=vx+ai, i=i-1.
第五步：判断i是否大于或等于0，若是，则返回第 三步；否则，输出多项式的值v。
1.3秦九韶算法
知识探究(一):秦九韶算法的基本思想
问题1:多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1，怎 样求f(5)的值.
程序
x=5 f=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1
PRINT f
END
点评:上述算法一共做了10次乘法运算,5 次加法运算.优点是简单,易懂;缺点 是不通用,不能解决任意多项多求值 问题,而且计算效率不高.
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0.
这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个 一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.
小结
秦九韶算法是求一元多项式的值的一 种方法. 它的特点是:把求一个n次多项式的值 转化为求n个一次多项式的值,通过这种转 化,把运算的次数由至多n(n+1)/2次乘法运 算和n次加法运算,减少为n次乘法运算和n 次加法运算,大大提高了运算效率.
n n i
i
例 阅读下 列程序，说明 它解决的实际 问题是什么？
INPUT “a=”；a n=0 y=0 WHLE n<5 y=y+(n+1)*a∧n n=n+1 WEND PRINT y END
小结作业
评价一个算法好坏的一个重要标志 是运算的次数，如果一个算法从理论上 需要超出计算机允许范围内的运算次数 ，那么这样的算法就只能是一个理论算 法.在多项式求值的各种算法中，秦九韶 算法是一个优秀算法.
作业： P45练习：2. P48习题1.3A组：2.
所以,当x=5时,多项式的值是2677.
132秦九韶算法
132秦九韶算法秦九韶算法，又称陈子算经，是中国古代的一种快速计算多项式值的算法。
秦九韶是南宋时期的数学家，他发明此算法是为了计算高次多项式的值，提高了计算速度，对于古代数学的发展起到了重要的推动作用。
秦九韶算法的核心思想是利用代数恒等式的性质，将一个多项式表达式转化为多个相同形式的和式，从而减少重复计算的次数。
具体实现上，秦九韶算法采用了一种类似于“二分”的分治策略，将多项式按照相同的幂次进行组合，然后再进行逐步的计算。
对于一个次数为n的多项式：f(x) = a0 + a1 * x + a2 * x^2 + ... + an * x^n利用秦九韶算法，可以将其转化为如下形式：f(x) = (a0 + (a1 + (a2 + ... + (an * x) * x) * x) * x...)其中，an通过不断的迭代乘法与加法运算得到最终的结果。
秦九韶算法的优点在于大大减少了重复计算的次数，通过上述的递归过程，每一次迭代都将多项式的次数减小1，节省了大量的时间和计算资源。
这使得秦九韶算法在计算高次多项式值时具有很高的效率。
除了计算多项式的值，秦九韶算法还可以用于多项式的乘法和除法运算。
在乘法运算中，可以利用类似的思路，将多项式拆分为多个相同形式的和式，分别计算后再进行累加得到最终结果。
在除法运算中，可以通过逆向运算，从高次项逐渐减小到低次项。
在实际应用中，秦九韶算法被广泛应用于科学计算、数据处理和图像处理等领域。
由于其高效的计算速度，能够大大提高计算的效率，尤其对于大规模数据的处理非常有效。
此外，秦九韶算法也被一些编程语言内置为库函数，方便开发者直接调用。
虽然秦九韶算法在计算多项式值时十分高效，但是需要注意的是，该算法对于多个不同的多项式，每次计算的系数都需要重新初始化。
此外，秦九韶算法对于一些特殊情况的处理可能会出现误差，例如除法运算中的除零错误，开发者需要在实际应用中进行适当的处理。
总之，秦九韶算法是中国古代的一种重要数学算法，通过利用代数恒等式的性质，将多项式转化为和式进行计算，大大减少了重复计算的次数，提高了计算效率。
秦九韶算法
4次的乘法运算,5次的加法运算 ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =5×（5４＋5３＋5２＋5＋１） ＋１ =5×（5×（5３＋5２＋5 ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5２＋5 ＋１） ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5× （5＋１ ） ＋１ ） ＋１ ）＋１ ） ＋１
设 f ( x) 是一个n次的多项式
f ( x) an x an1x
n
n1
a1x a0
对该多项式按下面的方式进行改写：
f ( x) an x an1x
n
n1
a1x a0
(an x
n1
an1x
n 2
a1 ) x a0
这种将求一个n次多项式f（x）的值转化成求n个 一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
例2 已知一个五次多项式为
f ( x)=4x5 2x4 3.5x3 2.6x2 1.7 x 0.8
f ( x) ((((4 x 2) x 3.5) x 2.6) x 1.7) x 0.8
乘法？多少 v0 4 次加法？ v1 4 5 2 22 v2 22 5 3.5 113.5 v3 113.5 5 2.6 564.9 v4 564.9 5 1.7 2826.2 v5 2826.2 5 0.8 14130.2
((an x
n 2
an1x
n3
a2 ) x a1 ) x a0
((an x an1 ) x an2 ) x a1 ) x a0
f ( x) ((an x an1 ) x an2 ) x a1 ) x a0
秦九韶算法胡
这种方法 叫秦九韶 算法
秦九韶简介
秦九韶（约公元1202年－1261年），字道古，南宋末年人，出 生于鲁郡（今山东曲阜一带人）。早年曾从隐君子学数术，后因其 父往四川做官，即随父迁徙，后也认为是普州安岳（今四川安岳县） 人。秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。 秦九韶聪敏勤学，宋绍定四年（公元 1231），秦九韶考中进 士，先后担任县尉、通判、参议官、州守等职。先后在湖北、安 徽、江苏、浙江等地做官。南宋理宗景定元年（公元 1260年）出 任梅州（今广东梅县）守，翌年卒于梅州。据史书记载，他“性 及机巧，星象、音律、算术以至营造无不精究”，还尝从李梅亭 学诗词。他在政务之余，以数学为主线进行潜心钻研，且应用范 围至 为广泛：天文历法、水利水文、建筑、测绘、农 耕、军事、商业金融等方面。 从历史上来看，秦九韶的《数书九章》可与 《九章算术》相媲美；从世界范围来看，秦九韶的 《数书九章》也不愧为世界数学名著。
胡 美 蓉 制 作
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0.
秦九韶算法就是将一个求n次多项式f(x)的 值转化为求n个一次多项式的值.
直到今天，这种算法仍是世界上多项式 求值的最先进的算法。 这种方法的计算量仅为：
胡 美 蓉 制 作
v0 an v k v k 1 x an k ( k 1, 2, , n)
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