北师版八上数学第二章 实数-知识点

北师版八上数学第二章：实数
一、无理数
1.
定义：
无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。

2.
常见无理数的几种类型：
（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；
（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）
等。（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-是无理数
（4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。如2,
（5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；
无理数也不一定带根号，如：）
3.有理数与无理数的区别：

（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；
（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75、④π、⑤252.、⑥32、⑦0.3030003000003……
（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。（填序号）
（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-,4,32其中无理数有 ( )个

二、算术平方根
1.
定义：
如果一个正数x的平方等于a，即ax2，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“a”，

读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。例如32=9，那么9的算术平方根是3，即39。
特别规地，0的算术平方根是0，即00，负数没有算术平方根
2.算术平方根具有双重非负性：
（1）若a 有意义，则被开方数a是非负数。（2）算术平方根本身

是非负数。
3.算术平方根与平方根的关系：
算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成

了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a；而平方根具有两个互为相反
数的值，表示为：a。
例：（1）下列说法正确的是 （ ）
A．1的立方根是1； B．24；（C）、81的平方根是3； （ D）、0没有平方根；
（2）下列各式正确的是（ ）
A、981 B、14.314.3 C、3927 D、235
（3）2)3(的算术平方根是 。
（4）若xx有意义，则1x___________。
（5）已知△ABC的三边分别是,,,cba且ba,满足0)4(32ba，求c的取值范围。

三、平方根
1.定义：
如果一个数x的平方等于a，即ax2，那么这个数x就叫做a的平方根；，我们称x是a的平

方（也叫二次方根），记做：)0(aax
2.性质：
（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；

（2）0只有一个平方根，它是0本身； （3）负数没有平方根
例（1）若x的平方根是±2，则x= ；16的平方根是 （2）当x 时，x23－有意义。
（3）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？
3.
的性质与22)0()(aaa

（1）77)0()22）如：（aaa（2）||2aa中，a可以取任意实数。如5|5|52
3|3-|3-2）（
例：1.求下列各式的值
（1）27 （2）27-）（ （3）249-）（
2.已知1)12aa（，那么a的取值范围是 。3.已知2＜x＜3,化简|3|)-22xx（ 。
四、立方根

1.定义：一般地，如果以个数x的立方等于a，即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）记
为3a，读作，3次根号a。如23=8，则2是8的立方根，0的立方根是0。
2.性质：
正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0,1，-1.

例：
（1）64的立方根是

（2）若9.28,89.233aba，则b等于
（3）下列说法中：①3都是27的立方根，②yy33，③64的立方根是2，④4832。
其中正确的有 （ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

五、估算
用估算法确定无理数的大小：对于带根号的无理数的近似值得确定，可以通过平方运算或立方运算并采
用“夹逼法”，即两边无限逼近，逐级夹逼来完成。首先确定其整数部分的范围，再确定十分位，百分
位等小数部分。
“精确到”与“误差小于”的区别：精确到1m，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1m，答案在其值左
右1m内都符合题意，答案不唯一。
方法点拨：解决此类问题的关键是依据平方根（立方根）及开平方（开立方）的定义，进而采取两边夹
逼的办法求解。
例：估算下列各数的大小

（1））（误差小于1.0327 （2））（精确到1.0327 （3））（误差小于133453

用估算的方法比较数的大小
用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，且在比较大小时，一般先采用分析法，估算出无
理数的大致范围，再作具体比较
当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论：

（1）若a＞b≥0,则ba （2）若a＞b，则3333baba或
（3）若a、b都为正数，且a＞b时，则a2＞b2
例：通过估算比较下列各组数的大小
比较两个数的大小：
方法一：估算法。如3＜10＜4 方法二：作差法。如a＞b则a-b＞0.
方法三：乘方法.如比较3362与的大小。
例：比较下列两数的大小

（1） 2123-10与 （2）5325与

六、实数
定义：（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数
是0，最大的负整数是-1。
（2）实数也可以分为正实数、0负实数。
实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是a1（a≠0）；实数a的绝对值|a|=)0()0(aaaa，它的几何意
义是：在数轴上的点到原点的距离。
实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正
数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大
于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。
实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数
的一样
实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的
（1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。
（2）数轴上的每个点都表示已个实数。
例：（1）下列说法正确的是（ ）；
A、任何有理数均可用分数形式表示 ； B、数轴上的点与有理数一一对应 ；
C、1和2之间的无理数只有2 ； D、不带根号的数都是有理数。
（2）a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )

A、ba B、ab C、ba D、ab
（3）比较大小(填“>”或“<”).

3 10， 3 320， 76______67， 215 21，
（4）数 7,2,3 的大小关系是 ( )
A. 732 B. 372 C. 273 D.
327
（5）将下列各数：51,3,8,23，用“＜”连接起来；______________________________________。
（6）若2,3ba，且0ab，则：ba= 。

七、二次根式
定义：形如）（0aa的式子叫做二次根式，a叫做被开方数
注意：（1）从形式上看二次根式必须有二次根号“”，如9是二次根式，而9=3,3显然就不是二次根式。
（2）被开方数a可以是数，也可以是代数式。若a是数，则这个数必须是非负数；若a是代数式，则这
个代数式的取值必须是非负数，否则没有意义。

a
0 b
例：下列根式是否为二次根式
（1）3- （2）｜｜3- （3）a- （4）32
二次根式的性质：
性质1：)0,0(.babaab 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个性质也可
以对二次根式进行化简。

性质2：)0,0.(bababa 商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。
最简二次根式：被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。
例：1.化简：

（1）1512 （2）)0(2724bba （3）x94
（2）
2.计算：

3
2
278115.04

1

3

2
3
8116

1
3125.0