概率的定义及性质

一.预习案：

目标：通过预习，了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；

区别频率和概率的区别。

1、必然事件：在条件s下，，叫做相对于条件S的必然事件。

2、不可能事件：在条件S下，，叫做相对于条件S的不可能事件。

必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的。

3、随机事件：在条件S下，叫做相对于条件S的随机事件。

4、频数与频率：

在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称

为事件A出现的频数，称为事件A出现的频率。

5、概率是用来度量。

对于给定的事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率f n(A)稳定在

把这个记做P(A)，称为事件A的概率。

。

例1：指出下列事件是必然事件、不可能事件、还是随机事件。

1、明天,地球仍会转动

2、某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军；

3、同一门炮向同一目标发射炮弹，其中百分之五十的炮弹击中目标；

4、某人给其朋友打电话，却忘记朋友电话号码的最后一个数字，就随意在键盘上按了一个数字，恰巧是

朋友的电话号码；

5、若a为实数，则｜a+1｜＋｜a+2｜＝０；

练习：

给出下列事件：

（1）明天进行的某场足球赛的比分是3：1；

（2）下周某地的最高气温与最低气温差十度；

（3）同时掷两枚骰子，向上一面的两个点数之和不小于2；

（4）射击一次命中靶心；

（5）当x为实数时，x2+4x+4<0。

其中是必然事件，是不可能事件，是随机事件。

例2：指出下列实验的结果：

（1）某人射击一次命中的环数；

（2）从集合A={a,b,c,d}中任取两个元素构成的A的子集。

二、课堂授课：

1．事件间的关系与运算：

（1）包含关系：。

（2）和事件：。

（3）交事件：。

（4）互斥事件：。

（5）对立事件：。互斥与对立的区别和联系：

例1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?

事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；

事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6、7、8、9、10环.

实战练习：判断下列各事件是否是互斥事件，并说明道理。

某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中

（1）恰有1名男生和恰有2名男生；

（2）至少有1名男生和至少一名女生；

（3）至少1名男生和全是男生；

（4）至少一名男生和全是女生。

2．概率的加法公式：

如果事件A与事件B互斥，则。

思考:若事件A与事件B不互斥,则________________________________.

例二：从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是

，取到方片（事件B）的概率是

。问：

（1）取到红色牌（事件C）的概率是多大？

（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？

实战练习：一个射手射击中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24、0.28、0.19、0.16、0.13。计算这个射手在一次射击中：

(1)射中10环或9环的概率，（2）至少射中7环的概率

（3）射中环数小于8环的概率。

例3: 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为

，得到黑

球或黄球的概率是

，得到黄球或绿球的概率也是

，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？

自我评价与课堂练习：

1．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；（2）至少有1件次品和全是次品；

（3）至少有1件正品和至少有1件次品；（4）至少有1件次品和全是正品；

2．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数，事件B 为出现2点，已知P （A ）=2

，P （B ）=

，求出现奇数点或2点的概率。

3．某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：

（1）射中10环或9环的概率；（2）少于7环的概率。

4．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是7

，

从中取出2粒都是白子的概率是35

，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？

八、达标检测：（日作业，时间：25分钟） 1 下列叙述错误的是（）

A.频率是随机的，在试验前不能确定，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

B.若随机事件A 发生的概率为()A p ，则()10≤≤A p

C.互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件

D 5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性相同

2．若()()()1P A B P A P B ?=+=，则事件A 、B 的关系是（） A.互斥事件 B.对立事件 C.不是互斥事件 D.以上都不对

3从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8的概率为0.32质量小于4.85的概率为0.34，那么质量在

[4.8,4.85)的概率是（）

A.0.62

B.0.38

C.0.02

D.0.68

4.从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（） A. 3个都是正品 B 至少有1个是次品 C 3个都是次品 D 至少有1个是正品

5 某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为03.0,出现丙级品的概率为01.0,则对产品抽查一次抽得正品的概率是( ) A 09.0 B 98.0 C 97.0 D 96.0

6.甲、乙两个人下棋，甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则甲乙两人下成和棋的概率为（） A.0.6 B.0.3 C.0.1 D.0.5

7．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分的红牌”是（）

A.对立事件

B.互斥但不对立事件

C.不可能事件

D.以上都不对

8.袋中分别有红、白、黑球3、2、1个，从中任取两个，则互斥而不对立的事件是（） A.至少有一个白球，都是白球

B. 至少有一个白球，至少有一个红球

C. 至少有一个白球，一个白球一个黑球

D.至少有一个白球，红黑球各一个

9．设A 、B 为两个事件，且()0.3P A =，则当时，一定有()0.7P B =。

10 有一种电子产品，它可以正常使用的概率为0.992，则它不能正常使用的概率是

八、登高望远，开拓视野：（选做）

1．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是。

2.已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是7

1，从中取出2粒都是白子的概率是

，现从中任意取出2粒恰好是1白1黑的概率是________________

3．抛掷2颗质地均匀的骰子，求点数和为8的概率。

九、预习作业：

古典概率模型、古典概型的概率公式。

(完整版)等比数列的概念与性质练习题

等比数列的概念与性质练习题 1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 2. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=L 则（A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 4.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 5.．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 7.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（） A.4 B.5 C.6 D.7 8.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=?a a a a ，则 =10 20 a a （） A. 32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 9.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（） A ．16 B ．24 C ．48 D ．128 10.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中1a =2，5a =8，则3a 的值为（） A. －4 B.4 C. ±4 D. 5 11.等比数列 {}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a +++L ＝ A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋3log 5 12. 设函数()()() * 2 ,311N n x n x x f ∈≤≤-+-=的最小值为n a ，最大值为n b ，则2n n n n c b a b =-是( ) A.公差不为零的等差数列 B.公比不为1的等比数列 C.常数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 13. 三个数c b a ,,成等比数列，且0,>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（） A. ??????3, 0m B. ??????--3,m m C . ??? ??3,0m D. [)?? ? ???-3,00,m m 14.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则 10 429 31a a a a a a ++++的值为． 15.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则 =+2 2 1b a a ______．

正方形的性质和判定定理

《正方形的判定》的教学设计教学目的：使学生掌握正方形的定义、性质和判定，会用正方形的概念和性质进行有关的论证和计算，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的内在联系和区别，进一步加深对“特殊与一般的认识。教学重点：正方形的定义．教学难点：正方形与矩形、菱形间的关系．教学方法：双边合作如：在教学时可播放转换动画使学生获得生动、形象的可视思维过程，从而掌握判定一个四边形是正方形的方法．为了活跃学生的思维，可以得出下列问题让学生思考：（1）对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？（2）对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？（3）对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？（4）能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？（5）说“四个角相等的四边形是正方形”，对吗？教学过程：让学生将事先准备好的矩形纸片，按要求对折一下，裁出正方形纸片．问：所得的图形是矩形吗？它与一般的矩形有什么不同？所得的图形是菱形吗？它与一般的菱形有什么不同？所得的图形在小学里学习时称它为什么图形？它有什么特点？由此得出正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（一）新课由正方形的定义可以得知：正方形是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，因此正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．请同学们推断出正方形具有哪些性质？性质１、（１）正方形的四个角都是直角。（２）正方形的四条边相等。性质２、（１）正方形的两条对角线相等。（２）正方形的两条对角线互相垂直平分。（３）正方形的每条对角线平分一组对角。例1 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O．求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD，AC⊥BD，AO=CO=BO=DO （正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）． ∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△ BCO≌△CDO≌△DAO．问：如何判定一个四边形是正方形呢？正方形的判定方法： 1.先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形； 2.先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形．

等比数列的概念和通项公式(教学设计)

《等比数列》（第1课时）教学设计授课地点：武威八中授课时间：20XX年4月22日授课人：武威六中杨志隆一、教学目标知识与技能 1.理解等比数列的概念； 2.掌握等比数列的通项公式； 3.会应用定义及通项公式解决一些实际问题。过程与方法培养运用归纳类比的方法去发现并解决问题的能力。通过实例，归纳并理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式，培养学生严密的思维习惯。情感态度与价值观充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。二、教学重点、难点教学重点：等比数列的概念及通项公式；教学难点：通项公式的推导及初步应用。三、教学方法发现式教学法，类比分析法四、教学过程（一）旧知回顾，情境导入 1. 回顾等差数列的相关性质设计意图：通过复习等差数列的相关知识，类比学习本节课的内容，用熟知的等差数列内容来分散本节课的难点，为等比数列的学习做铺垫。 2.情境展示

情境1：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 情境2：一张纸的折叠问题把以上实例表示为数学问题，并引导学生通过观察、联想，得到两个数列： ① ??????16 1,81,41,21,1 ② 1,2,4,8,16,32,64?????? 设计意图：让学生通过观察，得到两个数列的共同特点：从第二项起，每一项与它前面一项的比都等于同一个常数．由此引入等比数列。（二）概念探究 1．引导学生通过联想并类比等差数列给出该数列的名称：等比数列 2．归纳总结，形成等比数列的概念．一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比（引导学生经过类比等差数列的定义得出）。同时给出等比中项的定义，并和等差中项做比较，加深学生对概念的理解。 3．对等比数列概念的深化理解给出几个数列让学生判断是否是等比数列，以加深对概念的理解。问题1：等比数列的项可以为零吗？问题2：等比数列的公比可以为零吗？问题3：若0>q ，等比数列的项有什么特点？0

等比数列的概念与性质

等比数列的概念与性质一、知识归纳 1. ________________________________________________________________ 等比数列的概念：一般的，____________________________________________________________ ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做，公比通常用字母q表示。即 a n J 2. 若a,G,b成等比数列，则G叫做a与b的___________ 。此时G=_____________ . 3. 等比数列的通项公式为： __________________________ 。 4. 首项为正数的等比数列的公比q =1时，数列为 ___________ 数列；当q ：：： 0时，数列为数列；当0 ：：：q ::: 1时，数列为___ 数列；当q时，数列为_______________ 数列。5. 等比数列性质：在等比数列｛a.｝中，若m ? n二P q ,则a m a^a p a q 6. 等比数列的前n项和当q =1 时，S n 二_____________ ；

当q =1 时，S n 二_______________ . 7用函数的观点看等比数列：（1）等比数列的通项公式是 ____________ 二、经典题目 1、判断正误： ① 1，2，4，8，16是等比数列； 1 1 1 ②数列1, — ,,，…是公比为2的等比数列; 2 4 8 a b . ③若，则a,b,c成等比数列； ④若= n n ? N ，则数列On 成等比数列; a n ⑤0,2,4,8,16 是等比数列； 2.判断下列数列玄［是否为等比数列：（1）a n =（-1 厂（W N* ；（3）a n= n 2n,n N* （）（）（）（）（）. ⑵ a n+2 n：N* ；（4）a n 二-1,n N* 思考：如何证明（判断）一个数列是等比数列？

正方形的定义性质判定

正方形的定义性质判定执笔：陈振华课型：新课审稿：八年级数学组教学目标：理解正方形的定义，掌握正方形的性质和判定方法预习导航一、理解定义 1、如何将长方形纸片折叠后得到正方形图形，折一折 2 由上面的操作可给正方形定义为______________的矩形叫正方形 3、如何将顶点不固定的棱形变为正方形因此，我们还可以把_____________的棱形叫正方形二、找性质 1、因为正方形是特殊的矩形，所以它具有矩形的性质，对边_________，四角都是__________，对角线_______________ 2、因为正方形是特殊的棱形，所以它具有棱形的性质，四边_____，对角线___ ___且_________ 讲例与探究探究一、（1）求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成了四个全等的等腰直角三角形（2）若边长为a，求BO的长 D 探究二、边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30度到正方形AB 1C 1 D 1 的位置，则图中阴影部分的面积是

1、求证：对角线互相垂直的矩形是正方形 2、在边长为12cm 的正方形纸片ABCD 的BC 边上有一点P ，已知PB ＝5cm ，如果将纸折起，使点A 落在点P 上，试求折痕的长度。 3、设P 是正方形ABCD 内的一点，满足PA ∶PB ∶PC ＝1∶2∶3，求∠APB ． 4、 ABCD 为正方形，MN ∥AB 且MN 分别交OA 、OB 于M 、N ，求证：BM ＝CN 。

2、如图，正方形ABCD 中，△BEC 为等边三角形，求∠EAD 的度数 3、四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 上任一点，∠AEF=90°，且EF 交正方形的外角的平分线CF 于点F ，求证：AE=AF 1．如图(5)，在AB 上取一点C ，以AC 、BC 为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC 和BCFG 连结AF 、BD 延长BD 交AF 于H 。试猜想AF 与BD 的关系并证明 B A

等比数列的概念与性质练习题

等比数列的概念与性质练习题 1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 2. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=则（A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 4.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 5.．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 7.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（） A.4 B.5 C.6 D.7 8.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=?a a a a ，则 =10 20 a a （） A. 32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 9.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（） A ．16 B ．24 C ．48 D ．128 10.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中1a =2，5a =8，则3a 的值为（） A. －4 B.4 C. ±4 D. 5 11.等比数列 {}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a ++ +＝ A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋3log 5 12. 设函数()()() * 2 ,311N n x n x x f ∈≤≤-+-=的最小值为n a ，最大值为n b ，则2n n n n c b a b =-是( ) A.公差不为零的等差数列 B.公比不为1的等比数列 C.常数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 13. 三个数c b a ,,成等比数列，且0,>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（） A. ??????3, 0m B. ??????--3,m m C . ??? ??3,0m D. [)?? ? ???-3,00,m m 14.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则 10 429 31a a a a a a ++++的值为． 15.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则 =+2 2 1b a a ______．

6概率的基本性质

3.1.3 概率的基本性质（第三课时）一、教学目标： 1、知识与技能：（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；（2）概率的几个基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)（3）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系. 2、过程与方法：通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类化与归纳的数学思想。 3、情感态度与价值观：通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学习数学的情趣。二、重点与难点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。三、学法与教学用具：1、讨论法，师生共同讨论，从而使加深学生对概率基本性质的理解和认识；2、教学用具：投灯片四、教学设想： 1、创设情境：（1）集合有相等、包含关系，如{1，3}={3，1}，{2，4}С{2，3，4，5}等；（2）在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C 1={出现1点}，C 2={出现2点}，C 3={出现1点或2点}，C 4={出现的点数为偶数}……师生共同讨论：观察上例，类比集合与集合的关系、运算，你能发现事件的关系与运算吗？ 2、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本P115；（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)．3、例题分析：例1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件A ：命中环数大于7环；事件B ：命中环数为10环；事件C ：命中环数小于6环；事件D ：命中环数为6、7、8、9、10环. 分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生。解：A 与C 互斥（不可能同时发生），B 与C 互斥，C 与D 互斥，C 与D 是对立事件（至少一个发生）. 例2 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A 为“出现奇数点”，B 为“出现偶数点”，已知P(A)=21，P(B)=2 1，求出“出现奇数点或偶数点”．

等比数列的性质总结

等比数列性质 2. 通项公式： a n a 1q n 1 a i q n A B n a 1 q 0, A B 0 , 首项：a 1;公比：q q 推广：a n a m q n m , 从而得q n m 也或q n a m a m 3. 等比中项（1）如果a,A,b 成等比数列，那么 A 叫做a 与b 的等差中项?即： A ab 或A 、. Ob 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数） 2 （2）数列a n 是等比数列 a n a n 1 a n 1 4.等比数列的前n 项和S n 公式: ⑴当q 1时，S n na 1 A B n A'B n A'（代 B,A',B'为常数） a 亠 q （q 为常数，a n 0） {a .}为等比数列 a n 0） {a n }为等比数列 {a n }为等比数列 A'B n A' A,B,A',B'为常数 {a n }为等比数列 6. 等比数列的证明方法 … a * 依据定义：若 — q q 0 n 2,且n N 或a n 1 qa n {a n }为等比数列 a n 1 7. 注意（1）等比数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5个元素：a 1、q 、n 、a n 及&，其中a 1、基本元素。只要已知这 5个元素中的任意 3个，便可求出其余 2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项； a n aq n1 1.等比数列的定义: a n a n 1 q q On 2,且 n N ,q 称为公比 ⑵当 a 11 q n a 1 1 a n q q h 1 q a 1 a 〔 n -q A 1 q 1 q 5.等比数列的判定方法 (1) 用定义：对任意的 n,都有 a n 1 qa n 或 (2) 2 等比中项：a n a n 1a n 1 ( a n 1a n 1 (3) 通项公式：a n A B n A B 0 (4) 前n 项和公式： & A A B^S n q 称作为

正方形的定义和性质探究

正方形性质教学设计梁镇辉 2017年3月28日课题：正方形的定义与性质探究科目：数学教学对象：初二年级课时： 1课时提供者：梁镇辉单位：广州市第十六中学一、教学内容分析本教学设计通过展示生活中的正方形，回忆关于正方形定义，对正方形定义从矩形、菱形角度再次理解分析后，重新定义正方形，并在重新定义过程中自主探究获取正方形性质。正方形的性质探究是在已学矩形和菱形的基础上，在研究它们的特殊情况，教材给出了正方形的概念，让学生自己研究正方形的性质定理。观整个教材，《正方形的性质》是在学生掌握了平行线、三角形、平行四边形、矩形、菱形等有关知识及简单图形的平移和旋转等平面几何知识，并且具备有初步的观察、操作等活动经验的基础上出现的。目的在于让学生通过探索正方形的性质，进一步学习、掌握说理和进行简单推理的数学方法。这一节课既是前面所学知识的延续，又是对平行四边形、菱形、矩形进行综合的不可缺少的重要环节。教材从学生年龄特征、文化知识实际水平出发，先让学生动手做，动脑思考，然后与同伴交流、探索、总结归纳，升华得出正方形的概念，再由概念去探索正方形的性质。这样的安排使学生在整个学习过程中真正享受到探索的乐趣。二、教学目标：（一）知识目标： 1、要求学生掌握正方形的概念及性质； 2、能正确运用正方形的性质进行简单的计算、推理、论证；（二）能力目标： 1、通过本节课培养学生观察、动手、探究、分析、归纳、总结等能力； 2、发展学生合情推理意识，主动探究的习惯，通过对正方形性质推理论证的过程，逐步掌握说理的基本方法；（三）情感目标： 1、让学生树立科学、严谨、理论联系实际的良好学风； 2、培养学生互相帮助、团结协作、相互讨论的团队精神；三、学习者特征分析学生已经历平行四边形、矩形、菱形性质与判定的探究，具有正方形性质研究的基础，即从边长、角、对角线角度研究正方形性质就顺理成章。学生可能对平行四边形、矩形、菱形的性质有所混乱（6班更容易混乱，4班稍好）四、教学策略选择与设计

概率的基本性质教案

《概率的基本性质》教案使用教材：人教版数学必修3 教学内容：1、事件间的关系及运算 2、概率的基本性质教学目标：1、了解事件间各种关系的概念，会判断事件间的关系； 2、了解两个互斥事件的概率加法公式，知道对立事件的公式，会用公式进行简单的概率计算； 3、通过学习，进一步体会概率思想方法应用于实际问题的重要性。教学的重点：事件间的关系，概率的加法公式。教学的难点：互斥事件与对立事件的区别与联系。教学的具体过程：引入：上一次课我们学习了概率的意义，举了生活中与概率知识有关的许多实例。今天我们要来研究概率的基本性质。在研究性质之前，我们先来一起研究一下事件之间有什么关系。一、事件的关系与运算老师做掷骰子的实验，学生思考，回答该试验包含了哪些事件（即可能出现的结果）学生可能回答：﹛出现的点数＝1﹜记为C 1， ﹛出现的点数＝2﹜记为C 2， ﹛出现的点数＝3﹜记为C 3， ﹛出现的点数＝4﹜记为C 4， ﹛出现的点数＝5﹜记为C 5， ﹛出现的点数＝6﹜记为C 6. 老师：是不是只有这6个事件呢？请大家思考，﹛出现的点数不大于1﹜（记为D 1）是不是该试验的事件？（学生回答：是）类似的，﹛出现的点数大于3﹜记为D 2，﹛出现的点数小于5﹜记为D 3，﹛出现的点数小于7﹜记为E ，﹛出现的点数大于6﹜记为F ，﹛出现的点数为偶数﹜记为G ，﹛出现的点数为奇数﹜记为H ，等等都是该试验的事件。那么大家思考一下这些事件之间有什么样的关系呢？ 1、学生思考若事件C 1发生（即出现点数为1），那么事件H 是否一定也发生？学生回答：是，因为1是奇数我们把这种两个事件中如果一事件发生，则另一事件一定发生的关系，称为包含关系。具体说：一般地，对于事件A 和事件B ，如果事件A 发生，则事件B 一定发生，称事件B 包含事件A （或事件A 包含于事件B ），记作B A ?（或A B ?）特殊地，不可能事件记为 ?，任何事件都包含 ?。练习：写出 D 3与E 的包含关系（D 3 ?E ） 2、再来看一下C 1和D 1间的关系：先考虑一下它们之间有没有包含关系？即若C 1发生，D 1 是否发生？（是，即C 1 ?D 1）；又若D 1发生，C 1是否发生？（是，即D 1? C 1）两个事件A ，B 中，若A B B A ??，且，那么称事件A 与事件B 相等，记作A ＝B 。所以C 1 和D 1相等。 “下面有同学已经发现了，事件的包含关系和相等关系与集合的这两种关系很相似，很好，下面我们就一起来考虑一下能不能把事件与集合做对比。” 试验的可能结果的全体 ←→ 全集 ↓ ↓ 每一个事件 ←→ 子集这样我们就把事件和集合对应起来了，用已有的集合间关系来分析事件间的关系。 3、集合之间除了有包含和相等的关系以外，还有集合的并，由此可以推出相应的，事件A 和事件B 的并事件，记作A ∪B ，从运算的角度说，并事件也叫做和事件，可以记为A+B 。我们知道并集A ∪B 中的任一个元素或者属于集合A 或者属于集合B ，类似的事件A ∪B 发生等

概率的基本性质教学设计

《概率的基本性质》教学设计蓟县第四中学于海存一、说教材： 1、教材的地位及作用：本节课是高中数学3（必修）第三章概率的第一节第三课时概率的基本性质，本节课主要是结合具体实例以螺旋上升的方式由浅入深地学习概率的一些基本性质，学生在前面已经学习了集合的表示方法（Venn图）和随机事件的概率，已具有一定的归纳、抽象的能力，这些都是学习本节内容的基础。本节在教材中起着承上启下的作用。一方面把所学的概率知识应用于实际生活，另一方面为今后学习概率其他知识做了理论上的准备。 2、教学目标：知识与技能：（1）了解事件之间的相互包含关系、相等关系，知到和事件、积事件的意义，（2）通过实例，理解互斥事件、对立事件的概念及实际意义；（3）掌握概率的几个基本性质并能简单应用。过程与方法：类比集合，揭示事件的关系与运算，培养学生的类比与归纳的数学思想，情感态度与价值观：通过各种有趣的，贴近学生生活的素材，激发学生学习数学的热情和兴趣，在参与探究活动中，培养学生的合作精神.在观察发现中树立探索精神，在探索成功后体验学习乐趣。 3、教学重点与难点：根据本节课内容即尚未学习排列组合，以及学生的心理特点和认知水平，制定如下教学重难点。重点：互斥事件、对立事件的概念及概率的加法公式的应用。难点：正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系. 4、课时安排：1课时二、说教法：根据本节课的内容、教学目标和学生的实际水平等因素，在教法上，本节课我采用“开放性教学”，充分了解学生的最近发展区，精心创设问题情景，以导为主，重视多媒体的作用，充分调动学生，展示学生的思维过程，使学生能准确理解、判断和运用所学知识。 1) 立足基础知识和基本技能，掌握好典型例题，做到重点突出； 2）紧扣数学的实际背景，多采用学生日常生活中熟悉的例子来突破难点。三、说学法：引导学生用观察、类比、归纳、推导方式来实现预定教学目标。创设、再现知识发生的情境，让每个学生都能动手、动笔、动口、动脑、动心、动情。从而在知识产生迁移中发现规律，进一步把知识纳入学生已有认知结构中，形成新的认知结构。达到教育学“最近发展区”要求，并培养学生学会观察、分析、归纳、等适应客观世界的思维方法，养成良好学习习惯和思维习惯。 1格式已调整，word版本可编辑.

正方形的定义和性质

八年级下数学导学稿 18.2.3正方形的定义和性质、学习目标 1. 掌握正方形的概念，理解它具有矩形和菱形一切性质，并会应用它们计算和证明。 2. 掌握正方形、矩形和菱形间的概念、性质的区别和联系。 3. 学会用正方形的性质解决一些问题，进一步发展学生的推理能力。二、学习重点、难点 1 ?学习重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的性质的联系. 2 ?学习难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质的灵活运用. 三、学习过程（一）知识回顾 1 ?做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形. 学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系?问题：什么样的四边形是正方形？ 2. 分别说说平行四边形、矩形、菱形的定义和性质。（二）自主学习（1） . 正方形有什么特点？它是矩形吗？它是菱形吗? （2） . 正方形和矩形、菱形相比有什么特殊的地方（3） . 正方形如何定义？它有什么性质？（4） . 命题的证明包括几个步骤？（三）创设情景一创设情景二（四）正方形的定义四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系用图如何表达（五）正方形有什么性质？它是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形. 所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质. 1个僮

学生分组讨论，得出正方形的性质（六）、例习题分析例1 （教材P111的例4）求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC BD相交于点0 （如图）. 求证：△ ABO △ BCO △ CDO △ DAO 是全等的等腰直角三角形. 例2 （补充）已知：如图，正方形ABCD中,对角线的交点为O, E是OB上的一点，DGLAE于G, DG 交OA于F. 求证：OE=OF 分析：要证明OE=OF只需证明厶AEO^^ DFO由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到/ AOE= / DOF=90°, AO=DO再由同角或等角的余角相等可以得到/ EAO2 FDQ根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得. 证明：???四边形ABCD是正方形， ???/ AOE M DOF=90 , AO=D（正方形的对角线垂直平分且相等）. 又DGL AE ?- / EAO# AEO N EDG￡AEO=90 . / EAO# FDO ?△ AEO ◎△ DFO ?OE=OF . 四、尝试练习 1、正方形具有而矩形不定具有的性质是() A 、四个角相等? B 、对角线互相垂直平分 C、对角互补? D 、对角线相等? ) 2、正方形具有而菱形不 A 、四条边相等? 定具有的性质（ B 、对角线互相垂直平分? C 、对角线平分一组对角? D 、对角线相等? 3. 一个正方形的面积等于8，则其对角线的长为________ D U

高中数学必修三3.1.3《概率的基本性质》

3.1.3《概率的基本性质》【学习目标】 1.说出事件的包含，并，交，相等事件，以及互斥事件，对立事件的概念； 2..能叙述互斥事件与对立事件的区别与联系 3. 说出概率的三个基本性质；会使用互斥事件、对立事件的概率性质求概率。【重点难点】教学重点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。教学难点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算，概率的几个基本性质【知识链接】 1. 两个集合之间存在着包含与相等的关系，集合可以进行交、并、补运算，你还记得子集、等集、交集、并集和补集的含义及其符号表示吗？ 2我们可以把一次试验可能出现的结果看成一个集合（如连续抛掷两枚硬币），那么必然事件对应全集，随机事件对应子集，不可能事件对应空集，从而可以类比集合的关系与运算，分析事件之间的关系与运算，使我们对概率有进一步的理解和认识．育网【学习过程】 1. 事件的关系与运算思考：在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件： C1＝｛出现1点｝，C2＝｛出现2点｝，C3＝｛出现3点｝，C4＝｛出现4点｝，C5＝｛出现5点｝，C6＝｛出现6点｝，D1＝｛出现的点数不大于1｝，D2＝｛出现的点数大于4｝，D3＝｛出现的点数小于6｝，E＝｛出现的点数小于7｝，F＝｛出现的点数大于6｝，G＝｛出现的点数为偶数｝，H＝｛出现的点数为奇数｝，等等. 你能写出这个试验中出现其它一些事件吗？类比集合与集合的关系，运算，你能发现它们之间的关系和运算吗？上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件? (1) 显然，如果事件C1发生，则事件H一定发生，这时我们说事件H包含事件C1，记作H C1。一般地，对于事件A与事件B，如何理解事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）？特别地，不可能事件用Ф表示，它与任何事件的关系怎样约定？如果当事件A发生时，事件B一定发生，则B A ( 或A B )；任何事件都包含不可能事件. [来源:https://www.360docs.net/doc/a66245217.html,]（2）分析事件C1与事件D1之间的包含关系，按集合观点这两个事件之间的关系应怎样描述？一般地，当两个事件A、B满足什么条件时，称事件A与事件B相等？若B A，且A B，则称事件A与事件B相等，记作A=B. （3）如果事件C5发生或C6发生，就意味着哪个事件发生？反之成立吗？[来源:https://www.360docs.net/doc/a66245217.html,] 事件D2称为事件C5与事件C6的并事件（或和事件），一般地，事件A与事件B的并事件（或和事件）是什么含义？当且仅当事件A发生或事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作C=A∪B(或A+B). （4）类似地，当且仅当事件A发生且事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B 的交事件（或积事件），记作C=A∩B（或AB），在上述事件中能找出这样的例子吗？例如，在掷骰子的试验中D2∩D3=C4 （5）两个集合的交可能为空集，两个事件的交事件也可能为不可能事件，即A∩B＝Ф，此时，称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生例如，上述试验中的事件C1与事件C2互斥，事件G与事件H互斥。（6）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B有且只有一个发生.

等比数列性质教学教案

等比数列（二）教学重点等比数列的通项公式、性质及应用．教学难点灵活应用等比数列的定义及性质解决一些相关问题．教学过程一、复习 1.等比数列的定义． 2.等比数列的通项公式: ) 0,(11 1≠?=-q a q a a n n ， ) 0,(≠?=-q a q a a m m n m n ， ) 0,(≠=B A AB a n n 3．｛an ｝成等比数列?) 0,( 1 ≠∈=+ +q N n q a a n n 二、讲解新课：思考：类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？ 1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a, G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G=±ab （a,b 同号），则ab G ab G G b a G ±=?=?=2 ，反之，若G 2 =ab,则G b a G = ，即a,G ,b 成等比数列 ∴a,G ,b 成等比数列?G 2 =ab （a ·b ≠0）例1．三个数成等比数列,它的和为14,它们的积为64,求这三个数. 解:设m,G ,n 为所求的三个数, 有已知得m+n+ G =14, 64=??G n m , ,2 mn G = ,4643 =?=∴G G ???=?=+∴,16,10n m n m ?? ?==???==∴. 8, 2,2,8n m n m 或 ∴这三个数为8,4,2或2,4,8. 解法二:设所求三个数分别为 , ,,aq a q a 则 , 4,643 =∴=a a 又 ,14=++aq a q a 14 444=++∴ q q 解得 , 21,2= =q q 或 ∴这三个数为8,4,2或2,4,8. 2．等比数列的性质：若m+n=p+k ，则k p n m a a a a = 在等比数列中，m+n=p+q ， k p n m a a a a ,,,有什么关系呢？

等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题(经典版)

等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义：()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式： ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -== =??≠?≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=?=?=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab = 或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q q --= = -- 11''11n n n a a q A A B A B A q q = -=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有1 1(0){}n n n n n n a a qa q q a a a ++==≠?或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列（3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若 ()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列 7、等比数列的性质：（2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。（3）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ?=?。特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ?= 注：12132n n n a a a a a a --?=?=??? 等差和等比数列比较：

(完整版)等比数列的概念与性质练习题.doc

等比数列的概念与性质练习题 1. 已知等比数列 { a n } 的公比为正数，且 a 3 · a 9 =2 a 2 ， a 2 =1，则 a 1 = 5 A. 1 B. 2 C. 2 D.2 2 2 2. 如果 1, a,b,c, 9 成等比数列，那么（） A 、 b 3, ac 9 B 、 b 3, ac 9 C 、 b 3, ac 9 D 、 b 3, ac 9 3、若数列 a n 的通项公式是 a n ( 1)n (3n 2), 则 a 1 a 2 L a 10 （ A ） 15 （ B ） 12 （ C ） D ） 4. 在等比数列 { a } 中， a ＝8， a ＝ 64，，则公比 q 为（） n 2 5 A ． 2 B ．3 C ． 4 D ． 8 5.．若等比数列 { a n } 满足 a n a n+1 =16 n ，则公比为 A ．2 B ． 4 C ． 8 D ． 16 6. 若互不相等的实数 a, b,c 成等差数列， c, a,b 成等比数列，且 a 3b c 10 ，则 a A ． 4 B ． 2 C ．－ 2 D ．－ 4 7.公比为 3 2 等比数列 { a n } 的各项都是正数，且 a 3a 11 16 ，则 log 2 a 16 =（） A. 4 B. 5 C. D. 8.在等比数列 a n 中， a 7 a 11 6, a 4 a 14 a 20 （） 5 ，则 a 10 A. 2 B. 3 C. 2 或 3 D. － 2 或－ 3 3 2 3 2 3 2 9.等比数列 { a n } 中，已知 a 1a 2 a 12 6 4 ，则 a 4 a 6 的值为（） A ． 16 B ．24 C ．48 D ． 128 10. 实数 a 1, a 2 , a 3 , a 4 ,a 5 依次成等比数列，其中 a 1 =2， a 5 =8，则 a 3 的值为（） A. － 4 B.4 C. ± 4 D. 5 11.等比数列 a n 的各项均为正数，且 a 5a 6 a 4 a 7 ＝ 18，则 log 3 a 1 log 3 a 2 L log 3 a 10 ＝ A ． 12 B ．10 C ． 8 D ． 2＋ log 3 5 12. 设函数 f x x 1 2 n 1 x 3, n N * 的最小值为 a n ，最大值为 b n ，则 c n b n 2 a n b n 是( ) A. 公差不为零的等差数列 B. 公比不为 1的等比数列 C. 常数列 D. 既不是等差数列也不是等比数列 13. 三个数 a,b,c 成等比数列，且 a b c m, m 0 ，则 b 的取值范围是（） A. 0, m B. m, m C. 0, m D. m,0 0, m 3 3 3 3 14. 已知等差数列 { a n } 的公差 d 0 ，且 a 1 , a 3 , a 9 成等比数列，则 a 1 a 3 a 9 的值为． a 2 a 4 a 10 15. 已知 1 2 1 2 3 a 1 a 2 ______ ． 1, a , a , 4 成等差数列， 1, b , b , b , 4 成等比数列，则 b 2 1

10.1.4 概率的基本性质

10.1.4 概率的基本性质课标要求素养要求通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.通过具体实例，抽象出概率的性质，掌握概率的运算方法，发展数学抽象及数学运算素养 . 教材知识探究甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3. 问题甲获胜的概率是多少？提示甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3，则甲胜的概率是p＝0.6－0.3＝0.3. 概率的基本性质一般地，概率有如下性质：概率的基本性质是解决与概率问题有关问题的重要依据，望同学们一定要牢记性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 性质5：如果A?B，那么P(A)≤P(B). 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 教材拓展补遗 [微判断] 1.任一事件的概率总在(0，1)内.(×) 2.不可能事件的概率不一定为0.(×) 3.必然事件的概率一定为1.(√) 4.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级属于次品，若生产中出现乙级品的

概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件，恰好是正品的概率为0.96.(√) 5.掷一枚均匀的正六面体骰子，设A 表示事件“出现2点”，B 表示“出现奇数点”，则P (A ∪B )等于2 3.(√) 提示任一事件的概率总在[0，1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故1、2错. [微训练] 1.在掷骰子的游戏中，向上的数字是5或6的概率是( ) A.16 B.13 C.12 D.1 解析事件“向上的数字是5”与事件“向上的数字是6”为互斥事件，且二者发生的概率都是16，所以“向上的数字是5或6”的概率是16＋16＝13. 答案 B 2.事件A 与B 是对立事件，且P (A )＝0.2，则P (B )＝________. 解析因A 与B 是对立事件，所以P (A )＋P (B )＝1，即P (B )＝1－P (A )＝0.8. 答案 0.8 3.事件A 与B 是互斥事件，P (A )＝0.2，P (B )＝0.5，求P (A ∪B ). 解因为A 与B 互斥，故P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.2＋0.5＝0.7. [微思考] 1.在同一试验中，设A ，B 是两个随机事件，若A ∩B ＝?，则称A 与B 是两个对立事件，此说法对吗？提示不对，若A ∩B ＝?，仅能说明A 与B 的关系是互斥的，只有A ∪B 为必然事件，A ∩B 为不可能事件时，A 与B 才互为对立事件. 2.在同一试验中，对任意两个事件A ，B ，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )一定成立吗？提示不一定.只有A 与B 互斥时，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )才成立. 题型一互斥事件概率公式的应用应用公式时要首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和