数列求和方法归纳

数列求和

一、直接求和法（或公式法）

掌握一些常见的数列的前n 项和：123+++……+n=

(1)

2

n n +，1+3+5+……+(2n-1)=2n 2

2

2

2

123+++……+n =(1)(21)

6

n n n ++，3333123+++……+n =

2

(1)2n n +??

????

等. 例1 求2222222212345699100-+-+-+--+．

解：原式22222222(21)(43)(65)(10099)3711199=-+-+-++-=+++

+．

由等差数列求和公式，得原式50(3199)

50502

?+=

=．

变式练习：已知3

log 1

log 23-=

x ，求............32+++++n x x x x 的前n 项和. 解：1－n

21

二、倒序相加法

此方法源于等差数列前n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.

例2 求222

2

2

2222222123101102938101++++++++的和． 解：设222

2

2

222

2222123101102938101

S =++++++++ 则222

2

22222222109811012938

101

S =+++

+++++． 两式相加，得 2111105S S =+++=∴=，．

三、裂项相消法

常见的拆项公式有：

1

()n n k =+111()k n n k -+ ，

=1k

， 1(21)(21)n n =-+111()22121

n n --+，等.

例3 已知2221

12(1)(21)6

n n n n ++

+=++，

求 222222222

35721()11212312n n n

*

+++++∈++++++N 的和． 解：222

21216

112(1)(1)(21)6

n n n a n n n n n n ++===++++++，

11

161223(1)111116122311611ln .1

n S n n n n n n ??∴=++

+????+????????=-+-++

-

? ???+???????

?=- ?+??=+

小结：如果数列{}n a 的通项公式很容易表示成另一个数列{}n b 的相邻两项的差，即

1n n n a b b +=-，则有11n n S b b +=-.这种方法就称为裂项相消求和法.

变式练习：求数列

311?，421?，5

31

?，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S.

解：∵

)2(1+n n =2

1

1(21+-n n ）

S n =??????+-+???+-+-)211()4121()311(21n n =)2111211(21+-+--n n =4

21

22143+-

+-n n 四、错位相减法

源于等比数列前n 项和公式的推导，对于形如{}n n a b 的数列，其中{}n a 为等差数列，{}

n b 为等比数列，均可用此法. 例4 求2335(21)n x x x n x +++

+-的和．

解：当1x ≠时，211

2

2(1)(21)1(1)1n n n x x x n x S x x x

-+--=+----； 当1x =时，2n S n =． 小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列{}n b 的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n 项和公式求和.

)1(2

)

1(=+a n n

变式练习：求数列a,2a 2,3a 3,4a 4,…,na n , …(a 为常数)的前n 项和。

解：（1）若a=0, 则S n =0 （2）若a=1,则S n =1+2+3+…+n=(1)

2

n n + （3）若a ≠0且a ≠1

则S n =a+2a 2+3a 3+4a 4+…+ na n ， ∴aS n = a 2+2 a 3+3 a 4+…+na n+1

∴(1-a) S n =a+ a 2+ a 3+…+a n - na n+1

=

∴S n = 当a=0时，此式也成立。

∴S n =

五、分组求和法

若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求.

例5 求数列11111

246248162

n n ++，，，，，的前n 项和n S ．

23411

111111

(2462)(1)222

222n n n S n n n ++??=+++

+++++

+

=++- ???． 变式练习：求数列11111,2,3

,4,3

9

2781

的前n 项和

解：211

223n

n n ++-? 数列求和基础训练

1.等比数列{}n a 的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ

－１，则2232221n

a a a a ++++ ＝41

3

n -

2.设1357(1)(21)n n S n =-+-+-+--，则n S ＝ (1)n n -?.

3.

111

1447

(32)(31)n n +++

=

??-?+31

n n +. 4.

1111

...243546(1)(3)

n n ++++???++= 1111122323n n ??+-- ?++??

5. 数列2211,(12),(122),,(1222),

n -++++++

+的通项公式n a =12-n ，前n 项和n S =

221--+n n

11

1++---n n na a a a )1(1)1(1

21≠----++a a na a a a n n )

1(1)1(1

21≠----++a a

na a a a n n

6 . ;,2

12,,25,23,2132 n n -的前n 项和为 2332n n n S +=-

数列求和提高训练

1．数列{a n }满足：a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有：a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则

=++++2008

3211111a a a a ( A ) A ．

2009

4016

B ．

2009

2008

C ．

1004

2007

D ．

20082007

解：∵a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，∴a n ＋1＝a n ＋a 1＋n ＝a n ＋1＋n ，

∴利用叠加法得到：2

)

1(+=

n n a n ，∴

)111(2)1(21+-=+=n n n n a n ， ∴)200911(2)20091200813121211(211112008321-=-++-+-=++++ a a a a 2009

4016

=．

2．数列{a n }、{b n }都是公差为1的等差数列，若其首项满足a 1＋b 1＝5，a 1＞b 1，且a 1，

b 1∈N *，则数列{n

b a }前10项的和等于 ( B )

A ．100

B ．85

C ．70

D ．55

解：∵a n ＝a 1＋n －1，b n ＝b 1＋n －1 ∴n b a ＝a 1＋b n －1＝a 1＋(b 1＋n ―1)―1＝a 1＋b 1＋n －2＝5＋n －2＝n ＋3 则数列{n b a }也是等差数列，并且前10项和等于：

8510213

4=?+

答案：B.

3．设m =1×2+2×3+3×4+…+(n -1)·n ，则m 等于 ( A )

A.3)1(2-n n

B.21n (n +4)

C.21n (n +5)

D.2

1n (n +7)

3．解：因为 a n = n 2

- n .，则依据分组集合即得. 答案;A.

4．若S n =1-2+3-4+…+(-1)n -1·n ，则S 17+S 33＋Ｓ50等于 ( A ) A.1 B.-1 C.0 D.2

解：对前n 项和要分奇偶分别解决，即： S n =???????-+)(2)(2

1

为偶为奇n n n n

答案：A

5．设{a n }为等比数列,{b n }为等差数列，且b 1=0,c n =a n +b n ,若数列{c n }是1,1,2,…,则{c n }

的前10项和为 ( A ) A.978 B.557 C.467 D.979

解 由题意可得a 1=1,设公比为q ,公差为d ,则??

?=+=+2

212

d q d q

∴q 2

-2q =0,∵q ≠0,∴q =2,∴a n =2n -1

,b n =(n -1)(-1)=1-n,∴c n =2n -1

+1-n,∴S n =978. 答案：A

6. 若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝ ( A )

A ．15 B.12 C ．－12

D.－15

解析 A 设b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a 1＋a 2

＋…＋a 9＋a 10＝(－b 1)＋b 2＋…＋(－b 9)＋b 10＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 10－b 9)＝5×3＝15.

7．一个有2001项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为

解： 设此数列{a n },其中间项为a 1001,

则S 奇=a 1+a 3+a 5+…+a 2001=1001·a 1001,S 偶=a 2+a 4+a 6+…+a 2000=1000a 1001. 答案:

1000

1001

8．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c = .

解： 原式=.

6326)12()1(23n n n n n n +-=-?-

答案：61

;21;31-

9．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＞0，且其第二项、第五项、第十四项分别

是等比数列{b n }的第二、三、四项．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；

(2)设数列{c n }对任意自然数n 均有133

2211+=++++n n

n a b c b c b c b c 成立． 求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2014的值．

解：(1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2(d ＞0) 解得d ＝2，∴a n ＝2n －1，可得b n ＝3n －1

(2)当n ＝1时，c 1＝3； 当n ≥2时，由

n n n

n

a a

b

c -=+1，得c n ＝2·3n －1， 故??

?≥?==-).2(32),1(31

n n c n n

故c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2014＝3＋2×3＋2×32

＋…＋2×32002

＝3

2015

．

10.设数列{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列

?

??

???n S n 的前n 项和，求T n . 解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则S n ＝na 1＋1

2

n (n －1)d .∵S 7＝7，S 15＝75，

∴?????

7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，

即???

?

?

a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，

解得???

??

a 1＝－2，d ＝1.

∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋1

2

(n －1)． ∴

S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列?

??

???n S n 是首项为－2，公差为12的等差数列． ∴T n ＝14n 2－94n .

11.已知数列{a n }的首项a 1＝23，a n ＋1＝2a n

a n ＋1

(1)证明：数列??????-11n a 是等比数列；(2)求数列?

??

???n a n 的前n 项和S n .

解析 (1)∵a n ＋1＝

2a n a n ＋1，∴1a n ＋1＝a n ＋12a n ＝12＋12a n ，∴1a n ＋1－1＝???

? ?

?-11

21n

a

，又a 1＝23， ∴1

a 1－1＝12≠0，∴1a n －1≠0，∴1

a n ＋1－1

1a n

－1＝12，∴数列??????-11n a 是以12为首项，1

2

为公比的等比数 (2)由(1)知1

a n －1＝12·n

n ??

?

??=?

?

?

??=21211

即1a n ＝12n ＋1∴n a n ＝n 2n ＋n .设T n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n .......

①

则12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1 ．．．．．．． ② ， ①－②得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n

2

n ＋1 ＝2

1

121121-

?

?

? ??-n －n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1，∴T n ＝2－12n －1－n 2n ＝2－2＋n 2n .又∵1＋2＋3＋…＋n ＝

n n ＋1

2

， ∴ 数列?

??

???n a n 的前n 项和S n ＝2－2＋n 2n ＋

n n ＋12

＝

n 2＋n ＋4

2

－