材料力学 第十一章 连续分段独立一体化积分法

##################求之者也。# #######################################
第11章电脑求解弯曲变形 的一种快速解析法
提出了一种求解复杂载荷作用下梁弯曲变形 问题的连续分段独立一体化积分法。连续分段独 立一体化积分法首先将梁进行分段，独立建立具 有４阶导数的挠曲线近似微分方程，然后分段独 立积分４次，得到挠度的通解。根据边界条件和 连续性条件，确定积分常数，得到剪力、弯矩、 转角和挠度的解析函数，同时绘出剪力图、弯矩 图、转角图和挠度图。工程实例表明，连续分段 独立一体化积分法建立方程简单,计算编程程式化， 利用计算机求解速度快，与有限元法相比其优点 是可以得到精确的解析解。
图11-1复杂载荷作用下的简支梁
解：利用连续分段独立一体化积分法求解步骤为：
第一步：本题分为两段 n 2，各段的挠曲线近似微分方程如下：
d 4v1 0, 0 x L 4 dx d 4v2 q , L x 2L 4 dx EI
(1a)
(1b)
第二步：对(1)式各段的挠曲线近似微分方程分别积分四次， 得到剪力、弯矩、转角和挠度的通解。在通解中，包含有 8个积分常数 Ci i 1,2,,8。
(11-5)
（iii）利用位移边界条件、力边界条件和连续性条件建立 4n
个边界条件约束方程
f Ci , j 0
i 1,2,, n, j 1,2,3,4
(11-6)
（iv）将积分常数 Ci, j i 1,2,, n, j 1,2,3,4
代入(11-2)~(11-5)式就可得到剪力、弯矩、转角和挠度 的解析表达式。
1 x 0
解得 x 0.963L ，代入第一段挠度函数 v1 x ， 即得最大挠度。 求出剪力、弯矩、转角和挠度的最大值如下：
5.75kN （ x 0）， 剪力最大值： FS,max FS,max 34.25kN （ x 10m ）；
(3)
第三步：利用如下的位移边界条件、力边界条件和连续性条件
v1 0 0
v1 L v2 L
EIv1 L EIv2 L
，
0 Me EIv1
L v2 L v1
L EIv2 L F EIv1
qi x 1 dvi dx dx dx Ci ,1 x2 Ci ,2 x Ci ,3 2 dx E I i i i 1,2,, n
(11-4)
1 1 3 Ci ,1 x Ci ,2 x2 Ci ,3 x Ci ,4 i 1,2,, n 6 2
11.2静定梁的快速解析法
11.2.1等截面梁的快速解析法
1. 复杂载荷作用下的简支梁 例11-1简支梁的载荷和尺寸如图11-1所示，弯曲刚度 EI 为常数，试利用计算机求解剪力、弯矩、转角和 挠度的最大值。 已知： L 5m ，M e 80kN m ，F 15kN ，q 5kN/m 。
i 1, 2,, n
(11-2)
积分两次，得到弯矩方程通解
qi x d 2vi dx dx Ci ,1 x Ci ,2 2 dx Ei I i
积分三次，得到转角方程通解
i 1,2,, n
(11-3)
积分四次，得到挠度方程通解 qi x vi dx dx dx dx E I i i
图11-2复杂载荷作用下的悬臂梁
解：利用连续分段独立一体化积分法求解步骤为
第一步：本题分为三段 n 3 ，各段的挠曲线 近似微分方程如下：
d 4v1 0, 0 x L 4 dx d 4v2 q , L x 2L 4 dx EI d 4v3 2q , 2 L x 3L 4 dx EI
FB FS2 2L 。
FB 34.25kN 。
第六步：利用支座约束力与剪力函数的关系：
FAy FS1 0，
可以得到支座约束力：
FAx 0 ，
FAy 5.75kN，
2. 复杂载荷作用下的悬臂梁
例11-2悬臂梁的载荷和尺寸如图11-2所示，弯曲刚度 EI 为常数，试利用计算机求解剪力、弯矩、转角和挠度 的函数表达式。已知： F 2 qL L 5m q 3kN/m 。 ， ， 3
2L 0 EIv2
(2a) (2b)
， ，
(2c) (2d)
v2 2L 0
，
联立解方程组(2)式，得出8个积分常数 Ci i 1,2,,8。
第四步：将积分常数 Ci i 1,2,,8 代入剪力、弯矩、转角和 挠度的通解得到剪力、弯矩、转角和挠度的解析表达式 第五步：通过观察图形与解析求解相结合的方法， 最大挠度位置发生在第一段转角为零的位置，即
11.1连续分段独立一体化积分法
连续分段独立一体化积分法的解题步骤如下：
（i）首先把梁在突变处自然分成 n 段，
建立独立的四阶导数挠曲线微分方程
d 4 vi qi x 4 dx Ei I i
i 1, 2,, n
(11-1)
（ii）积分一次，得到剪力方程通解
qi x dx d3vi Ci ,1 3 dx Ei I i
弯矩最大值： M max 108.8kN m （ x 5m ）； 转角最大值： max
max
挠度最大值：vmax


qL3 0.7225 EI qL3 0.5508 EI
（ x 0 ）， （ x 2 L ）；

qL4 （ x 0.9624 L ）。 0.3647 EI