材料力学压杆稳定概述
第九章压杆稳定
9-1由五根圆截面钢杆组成的正方形平面桁架，杆的直径均为d＝40mm，材料的弹性模量E=200GPa, a=1m，试求使结构到达临界状态时的最小荷载。如F力向里作用，则最小荷载又是多少？
答：F t=124kN, F c=350.2kN
F
题 9 - 1 图解：当F的杆受压
由静力学平衡方程可知该杆所受压力为
F
294
2
2
200100.04
124 ()
124
cr
t cr
EI
F kN
l
F F kN
π
π
π
μ
????
===∴==
当F
为压力时，长为a的杆受压
由静力学平衡方程可知该杆所受压力为
2
F
294
2
22
200100.04
64248 ()(11)
248
2
350.7
cr
c
c
EI
F kN
l
F kN
F kN
π
π
π
μ
????
===
?
=
∴=
9-2 如图所示细长杆，试判断哪段杆首先失稳。
答：（d）
解：0.5
μ=
a
0.7
μ=
b
0.7
μ=
c
2
μ=
d
2
2
()
π
μ
μμμμ
=
>=>
cr
d c b a
EI
F
l
crd F ∴最小
∴d 杆最容易失稳
9-3 试求图示压杆的临界力，材料是HPB235。 答：F cr
=19.7kN
题 9 - 3 图
30X
30X 4
解：一端为自由端，一端为固定端，则2μ
=
22
()cr EI F l πμ=
查表可知：
84084
0 2.92100.7710x y I m I m --=?=?
因为最容易失稳的方向是惯性矩最小的方向 所以8400.7710y I
I m -==? 298
2
210100.771019.7(20.45)
cr
F kN π-????∴=
=?
9-4两端为球铰的压杆的横截面为图示各种不同形状时，压杆会在哪个平面内失稳（即失稳时，横截面绕哪根轴转动）？
F
题 9 - 4 图
答：最易失稳方向即惯性矩最小方向，也即形心主惯性轴方向
对于圆来说，各个方向的的惯性矩都相同，所以各个方向失稳容易程度相同 对于正方形： 对于长方形：
对于等边三角形： 对于等腰三角形：
对于工字钢： 不等边角钢： 等边角钢：
9-5 在图示结构中，AB 为圆截面杆，直径d =80mm, BC 杆为长方形截面，边长为60mm ×40mm ，两杆材料均为钢材，它们可以各自独立发生弯曲而互不影响。已知：5
210MPa, 200MPa p E σ=?=，A
端为固定，B、C为球铰，稳定安全系数k=2.5。试求此结构的许用载荷[P]。
答：[P]=160kN
4
解：AB、BC段的柔度分别为：
BC
AB
max AB
2211
cr22
max
1 1.2
104
0.04
0.7 4.5
157.5
0.02
157.5
E210
79.8MPa
157.5
?
λ==
?
λ==
∴λ=λ=
ππ??
∴σ===
λ
[]
[][]2
79.8
31.92
2.5
0.08160
4
σ
σ===
π
=σ??=
cr MPa
k
P kN
9-6图示铝合金桁架承受一集中荷载F，已知两杆的横截面均为50mm×50mm，材料的E=70GPa, 假设失稳只能发生在桁架的平面内，试用欧拉公式确定引起失稳的F值。
解：由图知，AE、EC为二力杆，AEC
∠为90°，
3
cos
5
α=，
4
sin
5
α=；
故
1
cos0.6
F F F
α
==，
2
sin0.8
F F F
α
==,由欧拉公式可知，AE、CE杆的临界荷载分别为：2
12
1
EI
F
l
π
=，
2
22
2
EI
F
l
π
=，代入上式得：
题 9 - 6 图
2
2
1
0.6
EI
F
l
π
=①
2
2
2
0.8
EI
F
l
π
=②
由①得：
4
29
2
22
1
0.05
3.147010
12149.8kN
0.60.62
π???
===
?
EI
F
l
；
由②得：
4
29
2
22
2
0.05
3.147010
12199.7kN
0.80.8 1.5
π???
===
?
EI
F
l
；
所以失稳的149.8kN
F=。
9-7图示托架承受均布荷载q，撑杆AB为细长杆，其两端铰支，试求q达到何值时，杆AB处于临界状态。
答：q=
2
3
24
EI
a
π
q
题 9 - 7 图
a
2a
解：由欧拉公式可知AB杆的临界荷载为：
222
22
2
3
4
()16
)
cr
EI EI EI
F
l a
πππ
μ
===
取梁为研究对象，对梁端取矩，即
2
1
2c o s60(3)0
2
9
2
=?-=
=
得
O
M a F q a
F q a
22
23
3916224ππ===
由得即cr
F F EI qa a EI q a 9-8 两根矩形截面柱，横截面尺寸为a ×b ，用来承受一重的刚性板，柱脚埋置在混凝土中，已知两柱间的距离为2a ，试求最合适的截面边长比a /b ，其长方向应沿图示哪个方向？
答：
=a b b 沿x 方向。
题 9 - 8 图
x
解:当立柱在oxz 平面内失稳时:
3
y 23121I ab 21221
E b a 2
12F (2l)=
?μ=π??∴=
cr
当立柱在oyz 平面内失稳时:
323
23
22
113(2=b 1261136(1)μπ=+??=?∴=
?）x cr I a b ab a a E ba F l
当1
2cr cr F F =时设计最合理
2323
22113
66(2)ππ??=?=
E a b
E ab l l a b
9-9 图示结构中AB 为刚性杆，CD 及EF 均为细长杆，抗弯刚度均为EI 。因变形微小，故可认为压杆受力到达F cr 后，其承载能力不能再提高，试求结构所受荷载F 的极限值F max 。
答：2max
2
34EI
F L π=
B
解:以A 为矩心240A CD EF M F a F a F a =?+?-?=
当EF 、CD 都达到临界力时，结构才失稳
此时
2CD EF cr 2
22max
22
EI
F F F L EI 3a 3EI F L 4a 4L πππ===
?∴==?
9-10图示结构中，AB 和BC 皆为圆截面钢杆，直径d =80mm, 材料的容许应力
[σ]=160MPa ，试求结构的容许竖向荷载[F ]。
答：[F ]＝
581kN.
题 9 - 10 图
解:由已知可得，圆截面杆的截面积：
232
5.03104
0.024
12
100=0.638
0.02
173.2=0.361π
μλ?μλ?-=
=?=
=?======惯性半径：杆的柔度：，查表得AB 杆折减系数，查表得BC 杆折减系数，
AB AB BC BC A d m d
i m l i l i
又由B 点的平衡可知：
[
][][]AB AB
AB 63BC BC BC 63F 2AB A
F 0.63816010 5.0310593kN 1F F 2
1F 2BC A
F 0.36116010 5.03102581kN F 581kN
σ?σσ?σ--=
=≤≤????==
=≤≤?????=∴=杆应力：杆应力：
9-11图a 所示为四根∠45×5等边角钢组成的等截面电杆塔，图b 为其计算简图。若顶端受压力F =154kN ，材料为Q235钢，b 类截面，其[σ]=150MPa 。试求四根角钢间的最小距离b （图c ）。又若每段角钢的两端可简化为球铰，试求每段节间最大距离a 。
答：b =513mm, a =822mm
F
( a )
( b )
( c )
题 9 - 11 图
解：（1）查型钢表得：每根等边角钢面积421
A 4.29210m -=? 848.0410-=?x I m
34
1F 1541089.7MPa 4A 4 4.29210
σ-?===?? []
0.598σ
?
σ=
= 查表得93.43λ= 2120.257μλ?=
=
=即：l
i i i m
244
12
14 1.133104()
4
513-∴=??=?=?+?=得z z x I i A m b I I A b mm
(2)查表最小惯性半径为0
0.88y i cm =
2
1113.60.8810μλ-?=
=
=?，
y a
a
a i 若整体与局部稳定性一致，则 93.43
822λ=?=a mm
9-12 图示焊接组合柱的截面，柱长L =7.2m ，材料为钢材，[σ]=160MPa ，柱的上端可视为铰支，下端当截面绕y 轴转动时可视为铰支，绕z 轴转动时可视为固定，已知轴向压力F =2500kN ，试校核柱的稳定性。
答：安全
题 9 - 12 图
解：当截面绕y 轴转动时：
[]622
22344
y y y y y st y 3
2
st
A (36018240018)10 2.01610m 11
I (3601836018209)218400 6.6210m 1212i 0.1812m
L 17.239.7,i 0.18120.942
151MPa
F 250010124MPa A 2.01610
μλ?σ?σσσσ---=??+??=?=??+???+??=?==?======?===?<查表知杆承担的压力：
所以安全
当截面绕z 轴转动时：
[]3344z z z st z st
11
I 183******** 1.410m 1212i 0.0833m
L 0.77.260.5
i 0.08330.881141MPa μλ?σ?σσσ-=
???+??=?==?======< 所以安全
9-13 图示结构中圆截面杆AB 的直径d =160mm ，AC 及CD 杆的截面为40×60mm 的矩形，材料均为木材，[σ]=10 MPa ，试求容许荷载。
答：[F ]=2.4kN
1 m
1 m
题 9 - 13 图
解：取C 节点为研究对象
利用静力学平衡方程可求得：AC F = 受压
CD F F = 受拉
AB 梁受弯，最大弯矩max
11242
M F F =??= 取AC 压杆研究，312
84642604010I 3210m A 4060102410m 12
----??=
=?=
??=?，
[]2st i 0.0115m l
112375
i 0.0115
3000
0.198
1.98MPa
μλ?λ
σ?σ∴=
==
=
=>∴==∴==
AC st
F A A
F 3.36kN
σσ=
=≤≤解得： 对CD 杆，由强度条件F A
σ
= []
F 2.4kN
σσ≤≤得
对AB 梁，由强度条件，
[]max max 31F M 2W d 32
F 8.04kN
σσπ==≤≤ 综上所述，取
[]F 2.4kN =
9-14 吊车梁AB 由两个200×125×12的角钢组成，[σ]＝1600kg/cm 2，长l ＝5m ，F ＝5t ，稳定安全系数st n =1.6，弹性模量E=200GPa ，试对AB 梁进行强度和稳定校核。（AB 梁受的压力沿着轴线，又铆钉孔位于梁AB 中间截面上。）
答：不安全。
200 125 12
解：AB 梁受力图如图所示
:
AC l
F sin14l F 2
??=?
得AC
F F 2sin14
=
AB 杆受压力为:N AC F
F F cos14cot142
=?=
AB 杆受压力为:
F l
M 4
?=
AB 杆强度校核：[]46z z F l M 510541070.8MPa 2W 2W 2116.7310
σσ-???====>?? 强度条件不满足 AB 杆稳定性校核：
4
z 24
y I 21570.903141.8cm I (483.1637.912 2.83)21573.58cm =?==+??=
即y
方向柔度大y
l
109.77i
μλ=
=
==
229
cr 22
E 20010163.65MPa 109.77
ππσλ??=== 稳定许用荷载：
[]cr
st st
163.65
102.3MPa n 1.6
σσ=
=
=
实际压杆压应力：[]4N 4st F 510cot141322.4MPa A 2237.91210
σσ-??===>??? 故不稳定 9-15 图示结构，由三根具有相同抗弯刚度EI 的细长杆组成，其B 、D 二点用铰链连接，而A 、C 为固定端，α＝30o，试求系统失稳破坏时的临界F 。
答：2
36.03
=EI F l
解：∵AD 、CD 对称 ∴AD 、CD 同时失稳
∴系统失稳破坏时三杆将同时达到临界荷载，系统在微弯状态下平衡。
2crAD crCD 2
2crBD 2
EI
F F 2(0.7EI
F (1l)ππ==
=
?
由节点D 平衡方程得：crAD crBD 2EI F 2F F 36.03l
=+=
9-16 如图所示的结构，两支座处于同一水平位置，细长杆AB 、BC 的EI 相同，试求临界F ，β为何值时，两杆材料充分发挥作用？
答：β＝arctg(0.49)
解：要使两杆材料充分发挥作用，则两杆同时失稳
2222
2
2
2
2
2
2
sin (0.7l )0.49cos (1l )ππβππβ=
=
?=
=
?crAB AB crcB BC EI
EI
F h EI
EI
F h
22sin 1
tan cos 0.49tan 0.49arctan(0.49)
βββββ=?=∴=∴=crAB crcB F F
9-17
解：由DE 杆平衡得BD q 42
F 2q 4??== 由B 点平衡可知AB
BC BD 155
F F F q 233
==?=
AB 、BC 杆的临界荷载为
()
4
4
29
29
8
2
cr 2
2
2
d 0.5200102001010EI
56464
F q 553
l πππππμ-????
???
?=
==
= 解得[]q 1.45N /m =
《材料力学》压杆稳定习题解
第九章 压杆稳定 习题解 [习题9-1] 在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式2 2l EI P cr π= 。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形 状时，压杆在cr F 作用下的挠曲线微分方程是否与图a 情况下的相同，由此所得cr F 公式又是否相同。 解： 挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。 因为（b ）图与（a ）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是 )("x M EIw -=。（c ）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：)("x M EIw =，显然，这微分方程与（a ）的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：2 2l EI P cr π=。
[习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f 所示杆在中间支承处不能转动）？ 解：压杆能承受的临界压力为：2 2).(l EI P cr μπ=。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆， 它们能承受的压力与 原压相的相当长度l μ的平方成反比，其中，μ为与约束情况有关的长 度系数。 （a ）m l 551=?=μ （b ）m l 9.477.0=?=μ （c ）m l 5.495.0=?=μ （d ）m l 422=?=μ （e ）m l 881=?=μ （f ）m l 5.357.0=?=μ（下段）；m l 5.255.0=?=μ（上段） 故图e 所示杆cr F 最小，图f 所示杆cr F 最大。 [习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a ）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图b ）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为2 min 2) .2(l EI P cr π= ？为什么？并由此判断压杆长因数μ是否可能大于2。
《材料力学》压杆稳定习题解
第九章 压杆稳定 习题解 [习题9-1] 在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式2 2l EI P cr π= 。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形 状时，压杆在cr F 作用下的挠曲线微分方程是否与图a 情况下的相同，由此所得cr F 公式又是否相同。 解： 挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。 因为（b ）图与（a ）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是 )("x M EIw -=。（c ）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：)("x M EIw =，显然，这微分方程与（a ）的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：2 2l EI P cr π=。 ?
[习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f 所示杆在中间支承处不能转动） 解：压杆能承受的临界压力为：2 2).(l EI P cr μπ=。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆， 它们能承受的压力与 原压相的相当长度l μ的平方成反比，其中，μ为与约束情况有关的长 度系数。 （a ）m l 551=?=μ （b ）m l 9.477.0=?=μ （c ）m l 5.495.0=?=μ （d ）m l 422=?=μ （e ）m l 881=?=μ \ （f ）m l 5.357.0=?=μ（下段）；m l 5.255.0=?=μ（上段） 故图e 所示杆cr F 最小，图f 所示杆cr F 最大。 [习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a ）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图b ）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为2 min 2).2(l EI P cr π=
《材料力学》第9章压杆稳定习题解
第九章压杆稳定习题解 [ 习题9-1] 在§9-2 中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线 形状，导出了临界应力公式 2 EI P cr 。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形2 l 状时，压杆在F作用下的挠曲线微分方程是否与图 a 情况下的相同，由此所得F cr 公式又cr 是否相同。 解：挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。 因为（b）图与（a）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是 " M x EIw ( ) 。（c）、(d) 的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程： " M x EIw ( )，显然，这微分方程与（a）的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的 位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即： 2 EI P cr 。 2 l
1
[ 习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图 f 所示杆在中间支承处不能转动）？ 解：压杆能承受的临界压力为： 2 EI P cr 。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆，2 ( .l) 它们能承受的压力与原压相的相当长度l 的平方成反比，其中，为与约束情况有关的长度系数。 （a）l 1 5 5m （b）l 0.7 7 4. 9m （c）l 0.5 9 4.5m （d）l 2 2 4m （e）l 1 8 8m （f ）l 0.7 5 3.5m （下段）；l 0.5 5 2. 5m （上段） 故图 e 所示杆F最小，图 f 所示杆F cr 最大。 cr [ 习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a）的基础放在弹性 地基上，第二根杆（图b）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为P cr 2 EI min 2 ( 2.l ) ？为什么？并由此判断压杆长因数是否可能大于2。
材料力学习题册答案第9章 压杆稳定
第 九 章 压 杆 稳 定 一、选择题 1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q 时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。 A 、弯曲变形消失，恢复直线形状； B 、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C 、微弯状态不变； D 、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P ，则压杆的微弯变形（ C ） A 、完全消失 B 、有所缓和 C 、保持不变 D 、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。 A 、长度 B 、横截面尺寸 C 、临界应力 D 、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ A ）对临界应力的影响。 A 、长度，约束条件，截面尺寸和形状； B 、材料，长度和约束条件； C 、材料，约束条件，截面尺寸和形状； D 、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 试判断哪一根最容易失稳。答案：（ a ） 6、两端铰支的圆截面压杆，长1m ，直径50mm 。其柔度为 ( C ) A.60； B.66.7； C .80； D.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ D ）所示截面形状，其稳定性最好。 8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。 A 、弹性模量E 越大或柔度λ越小； B 、弹性模量E 越大或柔度λ越大； C 、弹性模量E 越小或柔度λ越大； D 、弹性模量 E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ） A 、λ≤ P E πσ B 、λ≤s E πσ C 、λ≥ P E π σ D 、λ≥s E π σ
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第 九 章 压 杆 稳 定 一、选择题 1、一理想均匀直杆受轴向压力 P=P Q 时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后 发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。 A 、弯曲变形消失，恢复直线形状 ； B 、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C 、微弯状态不变； D 、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力 P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态， 此时若解除压力 P ，则压杆的微 弯变形（ C ） A 、完全消失 B 、有所缓和 C 、保持不变 D 、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。 A 、长度 B 、横截面尺寸 C 、临界应力 D 、柔度 A ） 对临界应力的影响。 ； 试判断哪一根最容易失稳。答案： （ a ） 6、两端铰支的圆截面压杆，长 1m ，直径 50mm 。其柔度 为 ( C ) A.60 ； B.66.7 ； C.80 ； D.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下， 压杆采用图 （ D ）所示截面形状，其稳定性最好。 8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。 A 、弹性模量 E 越大或柔度λ越小； B 、弹性模量 E 越大或柔度λ越大； C 、弹性模量 E 越小或柔度λ越大； D 、弹性模量 E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ） A 、λ≤ E B 、λ≤ E P s C 、λ≥ E D 、λ≥ E P s B 、材料，长度和约束条件； C 、材料，约束条件，截面尺寸和形状； D 、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（A 、长度，约束条件，截面尺寸和形状
材料力学 压杆稳定答案
9-1(9-2)图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f所示杆在中间支承处不能转动）？ 解：对于材料和截面相同的压杆，它们能承受的压力与成反比，此处，为与约束情况有关的长度系数。 （a）=1×5=5m （b）=0.7×7=4.9m （c）=0.5×9=4.5m （d）=2×2=4m （e）=1×8=8m （f）=0.7×5=3.5m 故图e所示杆最小，图f所示杆最大。 返回 9-2(9-5) 长5m的10号工字钢，在温度为时安装在两个固定支座之间， 这时杆不受力。已知钢的线膨胀系数。试问当温度升高至多少度时，杆将丧失稳定？ 解：
返回 9-3(9-6) 两根直径为d的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。试根据杆端的约束条件，分析在总压力F作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力F之临界值的算式（按 细长杆考虑），确定最小临界力的算式。 解：在总压力F作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况： （a）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳： （b）两根立柱一起作为下端固定而上 端自由的体系在自身平面内失稳 失稳时整体在面内弯曲，则1，2两杆 组成一组合截面。 （c）两根立柱一起作为下端固定而上端 自由的体系在面外失稳
故面外失稳时最小 =。 返回 9-4(9-7)图示结构ABCD由三根直径均为d的圆截面钢杆组成，在点B铰支，而在点A和点C固定，D为铰接点，。若结构由于杆件在平面ABCD内弹性失稳而丧失承载能力，试确定作用于结点D处的荷载F的临界值。 解：杆DB为两端铰支，杆DA及DC为一端铰支一端固定，选取。此结构为超静定结构，当杆DB失稳时结构仍能继续承载，直到杆AD及DC也失稳时整个结构才丧失承载能力，故 返回 9-5(9-9) 下端固定、上端铰支、长m的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所示，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。已知杆的材料为Q235钢，强度许用应力，试求压杆的许可荷载。
材料力学压杆稳定分析
第九章压杆稳定 9-1由五根圆截面钢杆组成的正方形平面桁架，杆的直径均为d＝40mm，材料的弹性模量E=200GPa, a=1m，试求使结构到达临界状态时的最小荷载。如F力向里作用，则最小荷载又是多少？ 答：F t=124kN, F c=350.2kN F 题 9 - 1 图解：当F的杆受压 由静力学平衡方程可知该杆所受压力为F 294 2 2 200100.04 124 () 124 cr t cr EI F kN l F F kN π π π μ ???? ===∴== 当F 为压力时，长为a的杆受压 由静力学平衡方程可知该杆所受压力为 2 F 294 2 22 200100.04 64248 ()(11) 248 2 350.7 cr c c EI F kN l F kN F kN π π π μ ???? === ? = ∴= 9-2 如图所示细长杆，试判断哪段杆首先失稳。 答：（d） 解：0.5 μ= a 0.7 μ= b 0.7 μ= c 2 μ= d 2 2 () π μ μμμμ = >=> cr d c b a EI F l
crd F ∴最小 ∴d 杆最容易失稳 9-3 试求图示压杆的临界力，材料是HPB235。 答：F cr =19.7kN 题 9 - 3 图 30X 30X 4 解：一端为自由端，一端为固定端，则2μ = 22 ()cr EI F l πμ= 查表可知： 8408 4 0 2.92100.7710x y I m I m --=?=? 因为最容易失稳的方向是惯性矩最小的方向 所以8400.7710y I I m -==? 298 2 210100.771019.7(20.45)cr F kN π-????∴= =? 9-4两端为球铰的压杆的横截面为图示各种不同形状时，压杆会在哪个平面内失稳（即失稳时，横截面绕哪根轴转动）？
材料力学教案 第10章 压杆稳定分析
第10章压杆稳定 教学目的：深入理解弹性平衡稳定性的概念；熟练应用压杆的临界压力公式，掌握杆端约束对临界力的影响；压杆的分类与临界应力曲线；掌握压杆 稳定性计算的方法。 教学重点：欧拉临界力公式、压杆的分类、压杆稳定性计算。 教学难点：欧拉临界力公式、压杆的分类、压杆稳定性计算。 教具：多媒体。 教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 教学内容：稳定的概念；两端铰支细长压杆的欧拉临界力；杆端约束的影响；临界应力总图；压杆稳定性计算。 教学学时：4学时。 教学提纲： 10.1 压杆稳定的概念 在第2章中，曾讨论过受压杆件的强 度问题，并且认为只要压杆满足了强度条 件，就能保证其正常工作。但是，实践与 理论证明，这个结论仅对短粗的压杆才是 正确的，对细长压杆不能应用上述结论， 因为细长压杆丧失工作能力的原因，不是 因为强度不够，而是由于出现了与强度问 题截然不同的另一种破坏形式，这就是本图10－1 章将要讨论的压杆稳定性问题。 当短粗杆受压时(图10-1a)，在压力F由小逐渐增大的过程中，杆件始终保持原有的直线平衡形式，直到压力F达到屈服强度载荷F s(或抗压强度载荷F b)，杆件发生强度破坏时为止。但是，如果用相同的材料，做一根与图10-1a所示的
同样粗细而比较长的杆件(图10-1b)，当压力F比较小时，这一较长的杆件尚能保持直线的平衡形式，而当压力F逐渐增大至某—数值F1时，杆件将突然变弯，不再保持原有的直线平衡形式，因而丧失了承载能力。我们把受压直杆突然变弯的现象，称为丧失稳定或失稳。此时，F1可能远小于F s(或F b)。可见，细长杆在尚未产生强度破坏时，就因失稳而破坏。 失稳现象并不限于压杆，例如狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会出现侧向弯曲和绕轴线的扭转(图10-2)；受外压作用的圆柱形薄壳，当外压过大时，其形状可能突然变成椭圆(图10-3)；圆环形拱受径向均布压力时，也可能产生失稳(图10-4)。本章中，我们只研究受压杆件的稳定性。 所谓的稳定性是指杆件保持原有直线平衡形式的能力。实际上它是指平衡状态的稳定性。我们借助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明。 第一种状态，小球在凹面内的O点处于平衡状态，如图10-5a所示。先用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置，然后再把干扰力去掉，小球能回到原来的平衡位置。因此，小球原有的平衡状态是稳定平衡。 第二种状态，小球在凸面上的O点处于平衡状态，如图10-5c所示。当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，小球将继续下滚，不再回到原来的平衡位置。因此，小球原有的干衡状态是不稳定平衡。 第三种状态，小球在平面上的O点处于平衡状态，如图10-5b所示，当用外
《材料力学》压杆稳定习题解
第九章压杆稳定习题解 ［习题9-1］在§ 9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a所示坐标系及挠度曲线 状时，压杆在F cr作用下的挠曲线微分方程是否与图a情况下的相同，由此所得F cr公式又是否相同。 因为(b)图与(a)图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是 Elw" M(x)°( c)、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程: Elw" M (x)，显然，这微分方程与(a)的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的 形状，导出了临界应力公式P cr 2EI 。试分析当分别取图b,c,d所示坐标系及挠曲线形解：挠曲线微分方程与坐标系的y轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。 位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即: P er 2EI
?为什么？并由此判断压杆长因数 是否可能大于2。 ［习题9-2］图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图 所示杆在中间支承处不能转动）？ 它们能承受的压力与原压相的相当长度 丨的平方成反比，其中，为与约束情况有关的长 度系数。 （a ） l 1 5 5m （b ） l 0.7 7 4.9m （e ） l 0.5 9 4.5m （d ） l 2 2 4m （e ） l 1 8 8m （f ） l 0.7 5 3.5m （下段）； l 0.5 5 2.5m （上段） 故图e 所示杆F cr 最小，图f 所示杆F cr 最大。 ［习题9-3］图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接， 但第一根杆（图a ）的基础放在弹性 解：压杆能承受的临界压力为: P er 2 EI （.l ）2 由这公式可知, 对于材料和截面相同的压杆,
材料力学习题册答案-第9章压杆稳定
第九章压杆稳定 一、选择题 1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。 A、弯曲变形消失，恢复直线形状； B、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C、微弯状态不变； D、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力P=P Q时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P，则压杆的微弯变形（ C ） A、完全消失 B、有所缓和 C、保持不变 D、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。 A、长度 B、横截面尺寸 C、临界应力 D、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ A ）对临界应力的影响。 A、长度，约束条件，截面尺寸和形状； B、材料，长度和约束条件； C、材料，约束条件，截面尺寸和形状； D、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 试判断哪一根最容易失稳。答案：（ a ） 6、两端铰支的圆截面压杆，长1m，直径50mm。其柔度为 ( C ) ；；； 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ D ）所示截面形状，其稳定性最好。 8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。 A、弹性模量E越大或柔度λ越小； B、弹性模量E越大或柔度λ越大； C、弹性模量E越小或柔度λ越大； D、弹性模量E越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ） A、λ≤ 、λ≤ C、λ≥ D 、λ≥
10、在材料相同的条件下，随着柔度的增大（ C ） A 、细长杆的临界应力是减小的，中长杆不是； B 、中长杆的临界应力是减小的，细长杆不是； C 、细长杆和中长杆的临界应力均是减小的； D 、细长杆和中长杆的临界应力均不是减小的； 11、两根材料和柔度都相同的压杆（ A ） A.?临界应力一定相等，临界压力不一定相等； B.?临界应力不一定相等，临界压力一定相等； C.?临界应力和临界压力一定相等； D. 临界应力和临界压力不一定相等； 12、在下列有关压杆临界应力σe 的结论中，（ D ）是正确的。 A 、细长杆的σe 值与杆的材料无关； B 、中长杆的σe 值与杆的柔度无关； C 、中长杆的σe 值与杆的材料无关； D 、粗短杆的σe 值与杆的柔度无关； 13、细长杆承受轴向压力P 的作用，其临界压力与（ C ）无关。 A 、杆的材质 B 、杆的长度 C 、杆承受压力的大小 D 、杆的横截面形状和尺寸 二、计算题 1、 有一长l =300 mm ，截面宽b =6 mm 、高h =10 mm 的压杆。两端铰接，压杆材料为Q235钢，E =200 GPa ，试计算压杆的临界应力和临界力。 解：（1）求惯性半径i 对于矩形截面，如果失稳必在刚度较小的平面内产生，故应求最小惯性半径 mm 732.112 612 1 123min min == =?== b bh hb A I i （2）求柔度λ λ=μl /i ，μ=1， 故 λ=1×300/=519>λp =100 （3）用欧拉公式计算临界应力 () MPa 8.652.1731020ππ2 4 22 2cr =?= = λ σE （4）计算临界力 F cr =σcr ×A =×6×10=3948 N= kN 2、一根两端铰支钢杆，所受最大压力KN P 8.47=。其直径mm d 45=，长度mm l 703=。 钢材的E =210GPa ，p σ=280MPa ，2.432=λ。计算临界压力的公式有：(a) 欧拉公式；(b) 直线公式cr σ=λ(MPa)。 试 （1）判断此压杆的类型； （2）求此杆的临界压力；
材料力学习题册答案-第9章-压杆稳定
第 九 章 压 杆 稳 定 一、选择题 1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q 时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。 A 、弯曲变形消失，恢复直线形状； B 、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C 、微弯状态不变； D 、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P ，则压杆的微弯变形（ C ） A 、完全消失 B 、有所缓和 C 、保持不变 D 、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。 A 、长度 B 、横截面尺寸 C 、临界应力 D 、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ A ）对临界应力的影响。 A 、长度，约束条件，截面尺寸和形状； B 、材料，长度和约束条件； C 、材料，约束条件，截面尺寸和形状； D 、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 试判断哪一根最容易失稳。答案：（ a ） 6、两端铰支的圆截面压杆，长1m ，直径50mm 。其柔度为 ( C ) A.60； B.66.7； C .80； D.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ D ）所示截面形状，其稳定性最好。 8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。 A 、弹性模量E 越大或柔度λ越小； B 、弹性模量E 越大或柔度λ越大； C 、弹性模量E 越小或柔度λ越大； D 、弹性模量 E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ） A 、λ≤ P E πσ B 、λ≤s E πσ C 、λ≥ P E π σ D 、λ≥s E π σ
材料力学考试习题压杆稳定
压 杆 稳 定 基 本 概 念 题 一、选择题 1. 如果细长压杆有局部削弱，削弱部分对压杆的影响有四种答案，正确的是（ ）。 A ．对稳定性和强度都有影响 B ．对稳定性和强度都没有影响 C ．对稳定性有影响，对强度没有影响 D ．对稳定性没有影响，对强度有影响 2. 图示长方形截面压杆，h ／b = 1／2；如果将b 改为h 后仍为细长杆，临界力cr P 是原来的（ ）倍。 A ．2倍 B ．4倍 C ．8倍 D ．16倍 3. 细长压杆，若长度系数μ增加一倍， 则临界压力cr P 的变化是（ ）。 题2图 A ．增加一倍 B ．为原来的四倍 C ．为原来的四分之一 D ．为原来的二分之一 4. 图示四根压杆的材料、截面均相同，它们在纸面内失稳的先后次序是（ ）。 题4图 A ．（a ）、（b ）、（c ）、（d ） B ．（d ）、（a ）、（b ）、（c ） C ．（c ）、（d ）、（a ）、（b ） D ．（b ）、（c ）、（d ）、（a ） 5. 正方形截面杆，横截面边长a 和杆长l 成比例增加，它的长细比（ ）。 A ．成比例增加 B ．保持不变 C ．按2 ??? ??a l 变化 D ．按2 ?? ? ??l a 变化 6. 如图所示直杆，其材料相同，截面和长度相同，支承方式不同，在轴向压力下，他 们的柔度是（ ）。 A ．a λ大，c λ小 B ．b λ大，d λ小 C ．b λ大，c λ小 D ．a λ大，b λ小 -46-
7. 若压杆在两个方向上的约束情况不同，且y μ＞z μ。那么该压杆的合理截面应满足的条件是（ ）。 A ．z y I I = B ．y I ＜z I C ．y I ＞z I D ．y z λλ= 题6图 8. 两压杆为管状薄壁容器式的细长杆，管两端封闭，且为铰支承。(a )杆无内压，(b ) 杆有内压，其它条件相同。则两杆临界应力的关系是（ ）。 A ．()()b cr a cr σσ= B ．()a cr σ＞()b cr σ C ．()a cr σ＜()b cr σ D ．无法比较 9. 两根细长杆，直径、约束均相同，但材料不同，且212E E =，则两杆临界应力的关系是（ ）。 A ．()()21cr cr σσ= B ．()()212cr cr σσ= C ．()()212 1 cr cr σσ= D ．()()213cr cr σσ= 10. 由稳定条件][σ?A P ≤，可求[P ]，当A 增加—倍时，则[P ]增加的规律有四种答案： A ．增加一倍 B ．增加二倍 C ．增加2 1 倍 D ．与A 不成比例 二、判断题(正确的打“√”，错的打“×”) 1. 当压杆的中心压力P 大于临界压力cr P 时，杆原来的直线形式的平衡是 不稳定的平衡。( ) 2. 临界力cr P 只与压杆的长度及两端的支承情况有关。( ) 3. 对于细长压杆，临界压力cr P 的值不应大于比例极限p σ。( ) 4. 压杆的柔度λ与压杆的长度、横截面的形状和尺寸以及两端的支承情况有关。（ ） 5. 对压杆进行稳定计算时，公式中压杆的横截面面积A 应采用所谓的“毛面积”。（ ） 6. 压杆的长度系数μ与压杆的长度以及横截面的形状和大小有关。（ ） 7.计算压杆临界力的欧拉公式2 ) (l EI P cr μπ= 只适用于λ＞p λ，的大柔度压杆。（ ） -47-