浅谈多元函数微积分学理论与应用
高等数学多元函数微积分
高等数学多元函数微积分多元函数微积分是高等数学中的一个重要分支。
它研究在多变量空间中的单变元函数的微分和积分问题。
这对学习曲面、平面的渐变、凹凸和分界、曲面的体积、局部极值等问题具有重要意义。
一、基本概念1. 超曲面：一般讲，超曲面就是在n维空间中的一类曲面，它们由至少n+1个函数组成。
它是由n维变量组成的，因而可以容纳n维量空间中所有的事物，从而形成一个多维结构。
2. 多元函数微分：多元函数微分就是对在多元空间内变量中的一个函数进行微分的一类函数，它可以应用于求解曲面的斜率，曲面的凹凸和分界，比如计算椭圆曲线、抛物曲线等的曲率和斜率等问题。
3. 多元函数积分：多元函数积分是指在多元空间中的一个函数的积分运算，它可以用于计算曲面的体积，曲面的拉伸与缩小等问题，它也可以用于计算曲面的累积，例如计算三维抛物面、回旋曲线等曲率积分的体积等。
二、求解方法1. 黎曼微积分法：黎曼微积分法是指在进行多元函数微积分时，识别出包含所求函数的一组导函数，然后根据黎曼公式将这些导函数求和，不断缩小未知函数的范围，最终确定出未知函数的表达式的一类方法。
2. 光滑函数的变换法：光滑函数的变换法指的是在进行多变量函数积分时，先将所给函数进行光滑变换，然后根据变换法则和对称性，极限性和旋转对称性等等属性，运用变换法，不断将多变量函数转化为单变量函数，最后将单变量函数进行积分。
三、应用1. 力学中的应用：多元函数微积分在力学中有着重要的作用，通过多元函数微积分，可以研究分析物体的运动轨迹，甚至可以预测未来的物体的状态。
2. 热物理学的应用：多元函数微积分可以用来研究热物理学中各种复杂多变量的函数，如热力学量在温度和压力变化时的变化情况，揭示物质性质在热状态时的性质变化，以及热流、热量变化的关系等。
3. 数学建模的应用：多元函数微积分也可以用来进行数学建模，如多元微积分可以用来描述一个普通一般问题的结构特性，如一个多边形的周长、三角形的体积、四棱锥的表面积等。
多元函数微分学的基本原理及其在实际问题中的应用
多元函数微分学的基本原理及其在实际问题中的应用多元函数微分学是微积分的一个分支，主要研究多元函数在某点处的变化率及其相关性质。
在实际问题中，多元函数微分学有广泛的应用，可以帮助我们理解和解决各种实际问题。
一、多元函数微分学的基本原理1. 偏导数：对于多元函数，偏导数是指将其他所有自变量固定，只对一个自变量求导的过程。
偏导数可以表示函数在某一方向上的变化率。
2. 全微分：给定一个多元函数，如果函数在某一点可导，则存在一个线性映射，将各个自变量的变化与函数值的变化联系起来。
这个线性映射称为全微分，表示函数在某一点的变化。
3. 方向导数：方向导数表示函数在给定方向上的变化率。
对于足够光滑的函数，在某一点处的方向导数可以通过对该点处的梯度与方向向量取内积得到。
4. 雅可比矩阵：雅可比矩阵是偏导数的推广，用于描述多元函数的变化率。
它是一个 m×n 的矩阵，其中 m 表示函数的输出维度，n 表示函数的输入维度。
二、多元函数微分学在实际问题中的应用1. 最优化问题：多元函数微分学可以帮助我们解决最优化问题。
通过求解多元函数的导数以及方程组，我们可以找到函数的最值点。
这在经济学、工程学和物理学等领域中有广泛的应用，如最大化收益、最小化成本、优化产品设计等。
2. 凸优化问题：凸优化问题在机器学习和数据分析中起着重要的作用。
多元函数微分学可以帮助我们判断一个函数是否是凸函数，并且通过求解函数的导数和二阶导数，可以找到函数的凸区域和凸包络。
这对于解决凸优化问题和设计高效算法至关重要。
3. 方程组求解：多元函数微分学可以应用于求解多元方程组。
通过对方程组中的各个方程进行偏导数运算，并联立求解方程组，我们可以求得方程组的根。
这在工程学和科学研究中经常用到，如电路分析、物理问题求解等。
4. 曲面拟合：多元函数微分学可以帮助我们对实际观测的数据进行曲面拟合。
通过求解多元函数的一阶导数和二阶导数，我们可以确定曲面的局部特性，并找到最适合观测数据的拟合曲面。
高等数学中的多元函数与多元微分
高等数学中的多元函数与多元微分导言：高等数学是大学数学的重要组成部分，它包括微积分、线性代数、概率论等多个分支。
其中，多元函数与多元微分是微积分的重要内容之一。
本文将围绕这一主题展开，探讨多元函数的概念、性质以及多元微分的应用。
一、多元函数的概念与性质1.1 多元函数的定义在高等数学中，多元函数是指自变量有两个或两个以上的函数。
一般地，我们可以将一个多元函数表示为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是自变量，f是因变量。
多元函数可以用来描述现实生活中的复杂问题，如经济学中的供求关系、物理学中的力学问题等。
1.2 多元函数的性质多元函数与一元函数相比，具有更加丰富的性质。
其中，连续性、可导性和偏导数是多元函数的重要性质之一。
连续性：多元函数在定义域内的每一个点都满足连续性要求。
也就是说，在自变量的取值变化过程中，函数值变化连续，没有突变的情况。
可导性：多元函数在某一点处可导，意味着该点处的切线存在，并且切线的斜率可以通过求偏导数得到。
可导性是多元函数的重要特征，它与函数的平滑性和变化趋势密切相关。
偏导数：多元函数的偏导数是指在其他自变量保持不变的情况下，对某一个自变量求导的结果。
偏导数可以用来描述多元函数在不同方向上的变化率，它在物理学、工程学等领域具有广泛的应用。
二、多元微分的应用2.1 多元微分的定义多元微分是指对多元函数进行微分的过程。
在一元函数的微分中，我们通过求导数来描述函数在某一点的变化率。
而在多元函数的微分中，我们需要使用偏导数来描述函数在不同自变量方向上的变化率。
2.2 多元微分的应用多元微分在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：最优化问题：在经济学、管理学等领域中，我们经常需要求解最优化问题，即在一定的约束条件下，找到使得目标函数取得最大或最小值的自变量取值。
多元微分可以帮助我们求解这类问题，通过求偏导数和约束条件，得到最优解的自变量取值。
多元函数微积分的应用
多元函数微积分的应用随着科学技术的不断发展，多元函数微积分日益成为一种重要的数学工具。
多元函数微积分主要是研究多变量的函数，它是单变量微积分的推广和拓展。
其中最重要的内容就是求多变量函数的偏导数、全微分、求极值、积分等。
多元函数微积分在工程、物理、化学等学科中都得到了广泛的应用。
以下将主要介绍多元函数微积分在科学技术领域中的应用。
1. 物理学领域的应用在物理学中，多元函数微积分可以被用来描述物体的运动以及物体与其他物体之间的相互作用。
最常见的例子是牛顿运动定律。
牛顿第一定律说，如果物体不受到任何力的作用，则它将保持运动状态，或保持静止状态。
如果我们要确定一个物体的运动状态，我们需要知道该物体所受到的外力，以及它的初始位置和速度。
这个问题可以用多元函数微积分中的运动学方程来解决，它基于加速度与速度、位移之间的关系。
另一个物理学中的例子是电场的计算。
电场是由电荷在空间中所产生的电力作用，因此了解电场是研究电荷和电流行为的先决条件。
在多元函数微积分中，我们可以利用电场的公式来计算电场的介质性质、电势的强度等。
2. 工程学领域的应用在工程学领域中，多元函数微积分通常用于设计机器和设备，使得它们在运行时能够以最佳的方式工作。
例如，可以使用多元函数微积分来得出一个最佳的轮廓参数，以便使得机器人能够在一定范围内移动。
此外，它还可以被用于热力学方程的求解，以此来改进空调、锅炉、汽车发动机、炉子等工业设备的设计。
另外，多元函数微积分还可以在土木建筑工程领域中得到应用。
例如，在桥梁设计中，可以利用多元函数微积分求得桥梁的建筑比例和强度，从而确保它们可以承受使用过程中的载荷。
在建筑设计中，则可以使用多元函数微积分来计算建筑物的稳定性和质量等方面的参数。
3. 医学领域的应用多元函数微积分在医学领域中的应用也越来越多，它可以帮助研究人体的治疗方法和药物的研发。
例如，它可以帮助研究血液循环系统、神经系统、肺功能等方面的生理现象。
多元函数的泰勒展开与应用
多元函数的泰勒展开与应用多元函数的泰勒展开是微积分中的重要概念，它在数学、物理和工程等领域有着广泛的应用。
本文将介绍多元函数的泰勒展开的基本原理，以及其在数学和科学问题中的应用。
一、多元函数的泰勒展开的基本原理多元函数的泰勒展开可以看作是一种用多项式逼近真实函数的方法。
与一元函数的泰勒展开类似，多元函数的泰勒展开也是基于函数在某一点的导数。
设函数f(x₁, x₂, ..., xn)在点(x₀₁, x₀₂, ..., x₀ₙ)处有各阶连续偏导数，则可以使用泰勒展开公式进行逼近：f(x₁, x₂, ..., xn) ≈ f(x₀₁, x₀₂, ..., x₀ₙ) + ∑(∂f/∂xi)(xi - x₀i) +1/2!∑∑(∂²f/∂xi∂xj)(xi - x₀i)(xj - x₀j) + ... + 1/n!∑...∑(∂ⁿf/∂xi∂xj∂xk...)(xi - x₀i)(xj - x₀j)(xk - x₀k)...其中，∂f/∂xi表示关于xi的偏导数，∑表示对所有指标进行求和，n是展开的阶数。
泰勒展开公式中的每一项都是各个偏导数在展开点的值与自变量与展开点之间的差值的乘积。
二、多元函数的泰勒展开的应用多元函数的泰勒展开有许多应用，下面将介绍其中的几个重要应用。
1. 函数近似计算多元函数的泰勒展开可以用于计算函数的近似值。
通过将函数使用泰勒展开进行逼近，可以将原本复杂的函数化简为多项式，从而方便进行数值计算。
在科学计算和工程计算中，这种逼近方法常常被使用。
2. 函数最值求解多元函数的泰勒展开可以用于求解函数的最值。
通过泰勒展开的近似，可以将原始函数转化为一个简单的多项式表达式。
进而，通过对该多项式进行求导和解方程，可以得到函数的极值点。
3. 函数优化问题多元函数的泰勒展开可以用于解决函数的优化问题。
在实际问题中，我们常常需要求解一个多元函数的最小值或最大值，这样的问题可以转化为对应函数泰勒展开的多项式的最小值或最大值问题。
多元函数与多元微积分
多元函数与多元微积分多元函数是数学分析的一个重要分支，它描述了多个自变量与一个因变量之间的关系。
多元微积分则研究多元函数的导数、积分和微分方程等问题。
本文将介绍多元函数的定义、连续性和偏导数，以及多元微积分的应用。
一、多元函数的定义与连续性多元函数可以定义为具有多个自变量和一个因变量的数学函数。
例如，一个具有两个自变量x和y的多元函数可以表示为f(x, y)。
多元函数的定义域即为自变量所在的数学空间。
对于多元函数而言，连续性是一个重要的性质。
多元函数在某一点连续，意味着当自变量在该点附近发生微小改变时，函数值也会发生微小变化。
连续性可用极限来描述，即函数在某一点的极限存在且与函数在该点的取值相等。
二、多元函数的偏导数偏导数是多元函数的导数在某一点上对各个自变量的偏导数。
对于一个具有n个自变量的多元函数f(x₁, x₂, ..., xₙ)，其偏导数可表示为∂f/∂x₁, ∂f/∂x₂, ..., ∂f/∂xₙ。
偏导数描述了在其他自变量保持不变的情况下，函数在某一自变量上的变化率。
例如，对于二元函数f(x, y)，∂f/∂x表示当y保持不变时，函数f在x方向上的变化率。
三、多元微积分的应用多元微积分在物理学、经济学和工程学等领域中有广泛的应用。
以下是一些应用领域的例子：1. 曲面的切平面与法线：在多元微积分中，通过偏导数可以求得曲面在某一点上的切平面与法线。
这在计算机图形学、机械设计等领域中具有重要意义。
2. 二重积分与三重积分：多元函数的积分可以用于计算平面区域的面积、质心以及立体体积等问题。
例如，在物理学中，可以通过二重积分计算平面物体的质心坐标。
3. 最优化问题：多元微积分可以帮助解决最优化问题，即寻找多元函数在一定约束条件下的最大值或最小值。
这在经济学中的优化模型、工程中的最佳设计等问题中有应用。
4. 微分方程：多元微分方程是描述自然界和工程问题中的多变量关系的数学模型。
通过多元微分方程的求解，可以得到解析解或数值解，并找到问题的解释。
多元函数微分学及其应用归纳总结
多元函数微分学及其应用归纳总结一、多元函数的微分与偏导数1. 多元函数的微分定义为函数在其中一点上的线性逼近。
对于二元函数，微分为 dz=f_x*dx+f_y*dy，其中 f_x 和 f_y 分别为函数的偏导数。
对于一般的 n 元函数也可类似定义。
2.多元函数的偏导数表示函数沿着其中一个变量的变化率。
对于二元函数f(x,y)，其偏导数f_x表示x方向上的变化率，f_y表示y方向上的变化率。
一般而言，当存在偏导数且连续时，函数在该点可微分。
3.偏导数的计算方法与一元函数相似，利用极限的定义求出偏导数表达式，对于高阶偏导数，可以反复求导。
4.混合偏导数表示函数在二个或二个以上变量上求偏导数后再对另外一个或另外几个变量求偏导数，其次序不影响结果。
二、多元函数的求导法则1. 多元函数的和、差、常数倍法则：设函数 f 和 g 在其中一点连续可导，则(f±g)'=f'±g'，(kf)'=kf'。
2.多元函数的乘积法则：设函数f和g在其中一点连续可导，则(f·g)'=f'·g+g'·f。
3.多元函数的商法则：设函数f和g在其中一点连续可导且g不为零，则(f/g)'=(f'·g-g'·f)/g^24. 复合函数求导法则：设函数 y=f(u) 和 u=g(x) 在其中一点可导，则复合函数 y=f(g(x)) 的导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)，其中 x 和 u 为中间变量。
三、多元函数的极值与梯度1.多元函数的极值包括极大值和极小值。
在二元函数中，极值的必要条件为偏导数为零，充分条件为偏导数存在且满足一定条件。
2.多元函数的梯度是一个向量，其方向与函数在其中一点上变化最快的方向一致，大小表示变化率的大小。
梯度为零的点可能为极值点。
多元函数微分学的几何应用
多元函数微分学的几何应用一、多元函数微分学多元函数微分学是微积分的一个分支，研究的是多个自变量的函数的导数、微分和全微分等概念。
与一元函数微分学不同的是，多元函数在求导时需要通过偏导数来计算，而全微分可以看做多元函数在某一点上的线性近似。
多元函数微分学在实际生活中有着广泛的应用，尤其是在几何学方面。
二、几何应用1. 向量场和梯度向量场是一个函数与向量的映射关系，在几何学中经常用于描述速度场、磁场等。
其中，梯度是向量场的一个重要概念。
梯度表示在某一点上函数变化增加最快的方向。
例如，在平面上的某一点上，一个函数的梯度表示了函数值增加最快的方向及增加的速率。
2. 方向导数和梯度的应用方向导数表示函数在某一点上沿着某一给定方向上的导数。
在平面几何中，方向导数可以用来求解曲面的切平面方程。
具体来说，可以通过梯度和方向向量的点积计算出方向导数，从而得到曲面上某一点的切平面方程。
3. 曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分，类似于线积分。
在计算曲面积分时，需要用到曲面的面积元素，这里面积元素的计算需要用到微积分中的偏微分。
具体来说，可以通过将曲面分成小的面元，计算每个面元的面积和函数值，然后将它们累加起来，从而得到曲面上的积分值。
4. 极值和拐点在多元函数中，类似于一元函数中的极值和拐点的概念。
在平面几何中，可以将这些概念应用于曲线的局部特征的分析中。
通过极值和拐点的计算，可以得到曲线上的最大和最小值，以及拐点的位置和拐点的类型等信息。
总之，多元函数微分学在几何学中有着广泛的应用。
通过对向量场、梯度、方向导数、曲面积分、极值和拐点等概念的研究，可以深入分析曲线、曲面的本质特征和局部特征，从而为实际问题的求解提供了精确的数学工具。
高中数学知识点多元函数微积分应用
高中数学知识点多元函数微积分应用在高中数学学习中，多元函数微积分是一个非常重要的知识点。
多元函数微积分可以用来研究多元函数的导数、极值、曲线、曲面、变化率、微分、积分等等，具有广泛的应用。
本文将探讨多元函数微积分在实际中的应用。
一、多元函数的导数和极值多元函数的导数不仅可以用于研究函数的变化率，还可以指导实际生活中的问题。
例如，在物理学中，速度就是位移对时间的导数，加速度就是速度对时间的导数。
利用这些知识，可以研究行人、汽车、火车、飞机等移动物体的速度和加速度问题。
一般来说，多元函数的极值是在优化问题中经常用到的，例如，求解一个开销最小的问题，或者求解一个最大利润的问题。
例如，存在一个工厂需要购买原材料和粉尘，对于这个问题，我们可以建立一个多元函数模型，以此求出最优方案。
这个方案的最小值或者最大值就是整个问题的解。
二、曲线和曲面多元函数也可以用来研究曲线和曲面等几何问题。
例如，在计算机图形学中，平面和立体的图形都是由曲线和曲面组成的。
利用多元函数微积分，可以研究图形的曲率、曲面的法向量等几何问题。
在物理学中，曲率也有着非常重要的应用。
例如，曲率可以用来研究弯曲物体的形态，如桥梁、大棚、玻璃等的形态。
三、微分和积分微分是多元函数微积分中的另一个重要概念。
它的主要作用是确定一个函数的局部变化率和切线方程，进而可以用来解决各种实际问题。
例如，微分可以用来确定一个物体在某个瞬间的位置、速度和加速度。
积分也是多元函数微积分中的一个重要概念。
它可以用来求解面积、体积、质量、重心等问题。
例如，在建筑工程中，如何确定一个建筑物的体积？在机械制造中，如何确定一个机器的质量和重心？这些问题都可以通过积分来求解。
总之，多元函数微积分的应用范围非常广泛，可以用来研究各种实际问题。
在生活中，我们经常遇到需要用到多元函数微积分来解决的问题。
掌握了多元函数微积分的相关知识，对我们的生活和工作都有显著的帮助。
多元函数的极值概念及其应用
多元函数的极值概念及其应用在微积分领域中，极值是函数理论中一个重要的概念。
当我们研究多元函数时，我们也需要理解多元函数的极值概念以及应用。
本文将介绍多元函数的极值概念，并探讨其在实际问题中的应用。
一个多元函数可以定义为一个以多个变量为自变量的函数，通常表示为f(x₁, x₂, ..., xn)。
多元函数的极值概念是指函数取得的最大值或最小值。
对于单变量函数，我们可以使用导数来判断其极值点；而对于多元函数，我们可以利用偏导数和二阶偏导数来判断其极值。
在多元函数的极值问题中，我们首先要找到函数的临界点。
临界点是函数的偏导数等于零或者不存在的点。
对于一个具有n个自变量的多元函数，我们需要计算出这n个自变量的偏导数，然后令其等于零来求解各个自变量的值。
只有在这些值处取得的函数值才有可能是极值。
接下来，我们需要对求解得到的临界点进行判断，以确定是否为极值点。
我们可以使用二阶偏导数来判断这些点的性质。
如果所有二阶偏导数都存在且满足一定条件，我们可以通过计算二阶偏导数的行列式（即海森矩阵）来判断这些点是极小值、极大值还是鞍点。
除了求解多元函数的极值点，我们还可以利用极值概念来解决一些实际问题。
例如，在经济学中，我们可以利用多元函数的极值概念来最大化或最小化一个经济指标。
假设我们有一个多元函数表示一个企业的成本，我们可以通过求解该函数的最小值来确定最佳生产策略。
类似地，我们也可以利用多元函数的极值概念来解决最优控制问题、最优化问题等多个领域的实际问题。
此外，在物理学和工程学中，多元函数的极值概念也具有广泛的应用。
例如，在物理学中，我们可以通过求解多元函数的最小值来确定物体在重力作用下的平衡位置；在工程学中，我们可以利用多元函数的极大值来确定最优设计方案。
总之，多元函数的极值概念在数学和其他学科中都具有广泛的应用。
通过理解多元函数的极值概念，我们可以更好地解决实际问题，并优化我们的决策和设计。
因此，对于任何研究多元函数的学生或研究人员来说，深入理解和应用多元函数的极值概念是非常重要的。
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浅谈多元函数微积分学理论与应用机电工程学院力学1班刘俊1203040110摘要：在我们的生活中，很多时候一个事物的变化是由许多其他事物共同作用的结果，反映到数学上，就是一个变量依赖于多个变量的情形。
我们在研究这类问题时，需要建立数学模型，来更好的研究变量的性质和它们之间的作用关系等等，这就是我们要学习多元函数微积分学。
关键词：多元函数、偏导数、全微分、求导、隐函数等。
1、多元函数的概念例、圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间的具有关系V=πr2h 这里r、h在集合｛（r、h）｜r>0，h>0｝内取定一对值（r，h）时，V的对应值随之确定。
定义设D是R2的一个非空子集，称映射f：D→R为定义在D上的二元函数，通常记为z=f（x，y），（x，y）∈D，把定义中的D换成n维空间Rn内的点集D，映射f：D→R就称为定义在D上的n元函数。
多元函数的定义域的求法与一元函数类似，也是先写出其构成部分的各简单函数的定义域的不等式，然后解联立不等式组，得出各变量的依存关系，即定义域。
与一元函数一样，二元和二元以上的函数也只与定义域和定义关系有关，而与用什么字母表示自变量和因变量无关。
第一节还有几个"集"的概念，比较重要的像连通集：点集D中任意两点均可用完全落在D中的折线连接起来。
2、多元函数的极限定义设二元函数f（P）= f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）是D的聚点，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点P（x，y）∈D∩U（P0，δ）时，都有｜f（P）-A｜=｜f（x，y）-A｜<ε成立，那么就称常数A为函数f（x，y）当（x，y）→（x0，y0）时的极限，记作lim f （x，y）=A。
与一元函数极限不同的是：二元函数的极限要求点P（x，y）以任何方式、任何方向、任何路径趋向于P0（x0，y0）时，都有f（x，y）→f（x0，y0）。
3、多元函数的连续性定义设二元函数f（P）= f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）是D的聚点，且P0∈D，如果lim f（x，y）=f（x0，y0），则称函数f（x，y）在点P0（x0，y0）连续。
在有界闭区域上连续的函数有这样一些性质①有界性②最大值、最小值③介值。
定义设函数f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）是D的聚点。
如果函数f（x，y）在点P0（x0，y0）不连续，则称P0（x0，y0）为函数f（x，y）的间断点。
4、偏导数的定义其实就是把一个自变量看成常数再对另一个自变量求导。
要注意的就是：对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续，这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时，函数f（P）趋于f（P0），但不能保证点P按任何方式趋于P0时，函数值f（P）都趋于f （P0）。
多元函数对子变量可导与否与函数在某一点是否连续无关。
它的几何意义就是：Z 在x0，y0处对X 的偏导数表示曲面Z= f （x ，y ）与平行与xoz 平面y= y0x 交线上过点（x0，y0）的切线斜率。
一般讲求某点处的偏导数是先求偏导函数，然后再求偏导函数在该点处的值。
多元函数求偏导问题的实质仍是一元函数的求导问题，故一元函数的求导公式、法则仍可直接应用。
求偏导时，关键是要分清对哪个变量求导，把哪个变量暂时当作常量。
分段函数在分界点处的偏导数用定义求。
设函数z f x y =(,)在点(,)x y 00的某一邻域内有定义，当y 固定在y 0，而x 在x 0处有增量∆x 时，相应地函数有增量f x x y f x y (,)(,)0000+-∆如果极限lim (,)(,)∆∆∆x f x x y f x y x →+-00000存在，则称此极限为函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处对x 的偏导数，并记作),(,,,00000000y x f z x f x z x y y x x x y y x x y y x x ======∂∂∂∂即 f x y f x x y f x y x x x (,)lim (,)(,)0000000=+-→∆∆∆ (1)类似地，函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处对y 的偏导数定义为f x y f x y y f x y y y y (,)lim (,)(,)0000000=+-→∆∆∆如果函数z f x y =(,)在区域D 内每一点(,)x y 处对x 的偏导数都存在，那未这个偏导数就是x y ,的函数，称它为函数zf x y =(,)对自变量x 的偏导函数，记作 ∂∂∂∂z x f x z f x y x x ,,,(,)。
类似地，可以定义函数z f x y =(,)对自变量y 的偏导函数，并记作∂∂∂∂z y f y z f x y y y ,,,(,)由偏导函数概念可知，f x y (,)在点(,)x y 00处对x 的偏导数f x y x (,)00，其实就是偏导函数f x y x (,)在点(,)x y 00处的函数值；f x y y (,)00就是偏导函数),(y x f y 在点),(00y x 处的函数值。
高阶偏导数:二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。
二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关，同样，二阶以上的高阶混合偏导数在相应高阶偏导数连续的条件下也与求导的次序无关。
设函数z f x y =(,)在区域D 内具有偏导数∂∂∂∂z x f x y z y f x y x y ==(,),(,)于是，在D 内f x y x (,)、f x y y(,)均是x y ,的函数，若这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数的二阶偏导数。
按照对变量求导次序有下列四种二阶偏导数∂∂∂∂∂∂x z x z x f x y xx ⎛⎝ ⎫⎭⎪==22(,)∂∂∂∂∂∂∂y z x z x y f x y xy ⎛⎝ ⎫⎭⎪==2(,)∂∂∂∂∂∂∂x z y z y x f x y yx ⎛⎝ ⎫⎭⎪==2(,)∂∂∂∂∂∂y z y z y f x y yy ⎛⎝ ⎫⎭⎪==22(,)其中：称f x y xy(,)、f x y yx (,)为二阶混合偏导数，类似地，可得到三阶、四阶和更高阶的导数。
二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。
对于二阶偏导数的符号，有必要引入如下简洁记法：∂∂2211z x f x y =(,)，∂∂∂212z x y f x y =(,)∂∂∂221z y x f x y =(,)，∂∂2222z y f x y =(,)5、全微分的定义如果函数z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量△z=f(x+△x ，y+△y)-f(x,y)可以表示为△z=A △x+B △y+o(ρ)，其中A 、B 不依赖于△x, △y ，仅与x,y 有关，ρ=根号下（（△x ）^2+（△y ）^2），此时称函数z=f(x, y)在点（x ，y ）处可微分，A △x+B △y 称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记为dz 即dz=A △x +B △y 。
该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于△x, △y)的全微分。
6.多元复合函数的求导法则①复合函数的中间变量均为一元函数的情形如果函数)(t u φ=及)(t v ψ=都在点t 可导，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数)](),([t t f z ψφ=在点t 可导，且其导数可用下列公式计算：dz dt z u du dt z v dv dt =⋅+⋅∂∂∂∂②复合函数的中间变量均为多元函数的情形设),(v u f z =，),(y x u φ=，),(y x v ψ=复合而得复合函数)],,(),,([y x y x f z ψφ= )3( 如果),(y x u φ=及),(y x v ψ=都在点),(y x 具有对x 及对y 的偏导数，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数)3(在点),(y x 的两个偏导数存在，且可用下列公式计算：∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z x z u u x z v v x z y z u u y z v v y =⋅+⋅=⋅+⋅⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪7．隐函数的求导①二元方程所确定的隐函数的情形由二元方程F x y (,)=0可确定一个一元的隐函数y f x =(),将之代入原方程,得到一个恒等式 F x f x [,()]≡0对恒等式两边关于变量x 求导,左边是多元复合函数,它对变量x 的导数为F F dy dx x y +右边的导数自然为0,于是有F F dy dx x y +=0解出dy dx ,得到隐函数的导数dy dx F F x y =-。
由多元复合函数的求导定理可知,当F x y (,)=0在(,)x y 具有一阶连续偏导数,而y f x =()在x 可导时,才可求出复合函数F x f x [,()]的导数,若F y ≠0时,才有dy dx F F xy =-这一求导方法,实际上就是以往的直接求导数。
②由三元方程所确定的二元隐函数的偏导数既然二元方程F x y (,)=0可以确定一个一元的隐函数y f x =(),那么三元方程F x y z (,,)=0便可确定一个二元的隐函数z f x y =(,)。
下面,我们介绍用直接求导法求此函数的偏导数。
对F x y z (,,)=0两边关于变量x 求偏导,并注意z 是x y ,的函数,有F F z x x z +⋅=∂∂0 解出∂∂z x ,得到二元隐函数的偏导数 ∂∂z xF F x z =-。
类似地，可得到F F z y y z +⋅=∂∂0, ∂∂z yF F y z =-。
例如：设 x y z z 22240++-=, 求 ∂∂22z x 。
解: 将方程x y z z 22240++-=中的z 视为x y ,的隐函数,对x 求偏导数有 2240x z z x z x +⋅-⋅=∂∂∂∂∂∂z x x z =-2再一次对x 求偏导数,仍然将z 视为x y ,的隐函数有∂∂∂∂222202z x z x z x z =--⋅--()()()=--⋅--()()2222z x xz z =-+-()()22223z x z小结：以上内容对多元函数微分法做了一个简单的总结，它能更好的使我们对多元函数的微分法的了解和学习，有一个总体的认识。
参考文献：《高等数学》柳翠华、熊德之主编，科学出版社 《高等数学》方明亮、郭正光主编，广东科技出版社，2008.8《微积分》(第三版)赵树嫄主编，中国人民大学出版社，2007.《高等数学》·上／下册，刘光旭、张效成、赖学坚编,高等教育出版社, 2008. 《高等数学》·上／下册，南京理工大学应用数学系编,高等教育出版社,2008.。