浙江大学15-16高数上期末试卷
浙江省舟山市2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题Word版含答案
舟山市2015-2016学年第一学期期末检测高二数学试题卷（2016.1）一．选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分）1.0y a -+=的倾斜角为A.30︒B.60︒C.150︒D.120︒ 2.抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是A.28y x =- B. 28y x = C. 24y x =- D. 24y x =3.若四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则它的体积为A.23 B. 12 C. 34 D. 454.若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是A. α内的所有直线都与a 异面B. α内的直线都与a 相交C. α内不存在与a 平行的直线D. 直线a 与平面α有公共点5.若圆222(0)x y r r +=>上有且仅有4个点到直线:20l x y --=的距离为1，则实数r 的取值范围是A.1,)+∞B. 1)C. 1)D. 1) 6.把一副三角板ABC 与ABD 摆成如图所示的直二面角D AB C --,(其中2,BD AD BC AC ==)则异面直线,DC AB 所成角的正切值为B.D. 7.与圆228150x y x +++=及圆228120x y x +-+=都外切的圆的圆心在A. 一个椭圆上B. 一条抛物线上C. 双曲线的一支上D. 一个圆上8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围为A.,1]3B. 3C. 33D. [,1]39.已知椭圆22:143x y C +=的左右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上，且直线2PA 的斜率的取值范围是[2,1]--，那么直线1PA 的斜率的取值范围是A.13[,]24B. 3[,1]4C. 33[,]84D. 1[,1]210.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点A 在平面α内，点E 是底面ABCD 的中心，若1C E ⊥平面α，则1C AB ∆在平面α内的射影的面积为A.6 B. 12 C. 6 D. 12二．填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11.直线12:220,:420l x y l ax y ++=+-=，且12//l l ，则a =______________12.双曲线22:(0)C y x m m -=>的渐近线方程为________________ 13.如图：在三棱锥S ABC -中，SA ⊥面ABC ,1,SA ABC =∆是边长为2的等边三角形，则二面角S BC A --的大小为_______________14.椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ,上顶点为2B ,右顶点为2A ,过点2A 作x 轴的垂线交直线12F B 于点P ，若2||3PA b =，则椭圆的离心率为__________15.正三棱锥V A B C -的底面边长为2，,,,E F G H 分别是,,,VA VB BC AC 的中点，则四边形EFGH 的面积的取值范围是_____________16.已知正三棱锥P ABC -,点,,,P A B C 的球面上，若,,PA PB PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________________17.给定圆22:2P x y x +=及抛物线2:4S y x =，过圆心P 作直线l ，此直线与上述两曲线的四个交点，自上而下顺次为,,,A B C D ;如果线段,,AB BC CD 的长度按此顺序构成一个等差数列，则直线l 的方程为_______________三、解答题（本大题共4小题，满分49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18、（本题满分10分） 已知直线l 经过两条直线0243:1=-+y x l 与022:2=++y x l 的交点P 。
2015-2016年浙江省金华市十校高一(上)数学期末试卷与答案(b卷)
2015-2016学年浙江省金华市十校高一（上）期末数学试卷（B卷）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5.00分）设全集M={1，2，3，4，5}，N={2，5}，则∁M N=（）A．{1，2，3}B．{1，3，4}C．{1，4，5}D．{2，3，5}2．（5.00分）下列函数中，在区间（﹣1，）上单调递减的函数为（）A．y=x2 B．y=3x﹣1C．y=log2（x+1）D．y=﹣sinx3．（5.00分）下列各点中，可作为函数y=tanx的对称中心的是（）A．（，0）B．（，1）C．（﹣，0） D．（，0）4．（5.00分）设f（x）是定义域为R且最小正周期为2π的函数，且有f（x）=，则f（﹣）=（）A．B．﹣C．0 D．15．（5.00分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）对任意的x∈R满足f（x）≤|f（）|，若函数g（x）=cos（ωx+φ）﹣1，则g（）的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．1或﹣36．（5.00分）将函数f（x）=cos（ωx+φ）的图象向左平移个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于（）A．4 B．6 C．8 D．127．（5.00分）记f（x）=|log2（ax）|在x∈[，8]时的最大值为g（a），则g（a）的最小值为（）A．B．2 C．D．48．（5.00分）设集合A是实数集R的子集，如果x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x0|＜a，则称x0为集合A的聚点，给出下列集合（其中e为自然对数的底）：①{1+|x＞0}；②{2x|x∈N}；③{x2+x+2|x∈R}；④{lnx|x＞0且x≠e}，其中，以1为聚点的集合有（）A．①②B．②③C．③④D．①④二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）9．（6.00分）（）﹣0.5+8=，lg2+lg5﹣（）0=，10lg2=．10．（6.00分）设α是第三象限角，P（x，﹣4）是其终边上一点，且cosα=，则x=，tanα=，=．11．（6.00分）已知函数f（x）=x2+bx+c在（1，2）内有两个相异零点，且f（x0）＜0，用不等号“＞”“＜”表示下列关系：（1）b+c+10；（2）f（x0﹣1）0．12．（6.00分）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣），x∈[0，π]，当x=时，f（x）取到最大值为．13．（4.00分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是．14．（4.00分）已知cos（x+）=，＜x＜，则cos（2x+）=．15．（4.00分）若对一切正实数x，t，不等式﹣cos2x≥asinx﹣都成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分74分）16．（15.00分）已知A={x|x2﹣3x﹣4≤0}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0}，C={y|y=a x+b，a＞0，且a≠1，x∈R}．（1）若A∩B=[0，4]，求m的值；（2）若A∩C只有一个子集，求b的取值范围．17．（15.00分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω＞0，0＜|φ|＜π）在一个周期内的图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求g（x）=f（3x+）﹣1在[﹣，]上的值域．18．（15.00分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）解不等式f（x）＜；（3）求f（x）的值域．19．（15.00分）已知函数f（x）=2acos2x+2bsinxcosx，且f（0）=2，f（）=+1．（1）求f（x）的最大值及单调递减区间；（2）若α≠β，α，β∈（0，π），且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．20．（14.00分）已知f（x）=2x2+bx+c．（1）对任意x∈[﹣1，1]，f（x）的最大值与最小值之差不大于6，求b的取值范围；（2）若f（x）=0有两个不同实根，f（f（x））无零点，求证：﹣＞1．2015-2016学年浙江省金华市十校高一（上）期末数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5.00分）设全集M={1，2，3，4，5}，N={2，5}，则∁M N=（）A．{1，2，3}B．{1，3，4}C．{1，4，5}D．{2，3，5}【解答】解：∵全集M={1，2，3，4，5}，N={2，5}，∴∁M N={1，3，4}，故选：B．2．（5.00分）下列函数中，在区间（﹣1，）上单调递减的函数为（）A．y=x2 B．y=3x﹣1C．y=log2（x+1）D．y=﹣sinx【解答】解：A．y=x2在上没有单调性，∴该选项错误；B．y=3x在R上单调递增，∴y=3x﹣1在R上单调递增，∴该选项错误；C．y=log2（x+1）在上单调递增，∴该选项错误；D．y=sinx在上单调递增，∴y=﹣sinx在上单调递减，∴该选项正确．故选：D．3．（5.00分）下列各点中，可作为函数y=tanx的对称中心的是（）A．（，0）B．（，1）C．（﹣，0） D．（，0）【解答】解：对于函数y=tanx，令x=，k∈Z，可得它的图象的对称中心为（，0），k∈Z，结合所给的选项，故选：D．4．（5.00分）设f（x）是定义域为R且最小正周期为2π的函数，且有f（x）=，则f（﹣）=（）A．B．﹣C．0 D．1【解答】解：∵f（x）是定义域为R且最小正周期为2π的函数，∴f（﹣）=f（﹣+4π）=f（），∵f（x）=，∴f（）=sin=，故选：A．5．（5.00分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）对任意的x∈R满足f（x）≤|f（）|，若函数g（x）=cos（ωx+φ）﹣1，则g（）的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．1或﹣3【解答】解：由f（x）≤|f（）|，可得f（）=sin（ω•+φ）=±1，∴g（）=cos（ω•+φ）﹣1=0﹣1=﹣1，故选：C．6．（5.00分）将函数f（x）=cos（ωx+φ）的图象向左平移个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于（）A．4 B．6 C．8 D．12【解答】解：将函数f（x）=cos（ωx+φ）的图象向左平移个单位，可得y=cos[ω（x++φ]=cos（ωx+φ+）的图象的图象，若所得图象与原图象重合，则=2kπ，k∈Z，即ω=4k，则ω的值不可能等于6，故选：B．7．（5.00分）记f（x）=|log2（ax）|在x∈[，8]时的最大值为g（a），则g（a）的最小值为（）A．B．2 C．D．4【解答】解：0＜a＜1的图象如图10＜a＜时：f（）=|log2（a）|=log2，f（2）=log2，f（）＞f（2），即有g（a）=log2∈（2，+∞），当≤a＜1时，f（）=|log2（a）|=log2，f（2）=log2（2a），f（）＞f（2），即有g（a）=log2∈（1，2]；a≥1的图象如图2当1≤a＜时，f（）=|log2（a）|=log2，f（2）=log2（2a），f（）＞f（2），即有g（a）=log2∈（，1]；当a≥时，f（）=|log2（a）|=log2，f（2）=log2（2a），f（）＜f（2），即有g（a）=log2（2a）∈[，+∞）．综上可得g（a）的范围是[，+∞）．则M（a）的最小值为．故选：B．8．（5.00分）设集合A是实数集R的子集，如果x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x0|＜a，则称x0为集合A的聚点，给出下列集合（其中e为自然对数的底）：①{1+|x＞0}；②{2x|x∈N}；③{x2+x+2|x∈R}；④{lnx|x ＞0且x≠e}，其中，以1为聚点的集合有（）A．①②B．②③C．③④D．①④【解答】解：①{1+|x＞0}中的元素构成以1为极限的数列，故对任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣1|＜a成立，符合题意；②{2x|x∈N}，y=2x是单调增函数，对任意a＞0，不存在x∈A，使得0＜|x﹣1|＜a，不符合题意；③{x2+x+2|x∈R}，∵x2+x+2≥，对任意a＞0，不存在x∈A，使得0＜|x﹣1|＜a，不符合题意；④{lnx|x＞0且x≠e}，lnx≠1，满足：对任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x ﹣1|＜a，故此集合以1为聚点符合题意，故选：D．二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）9．（6.00分）（）﹣0.5+8=6，lg2+lg5﹣（）0=0，10lg2=2．【解答】解：（）﹣0.5+8=+（23）=2+4=6；lg2+lg5﹣（）0=lg10﹣1=1﹣1=0；10lg2=2．故答案为：6，0，2．10．（6.00分）设α是第三象限角，P（x，﹣4）是其终边上一点，且cosα=，则x=﹣3，tanα=，=﹣．【解答】解：∵α是第三象限角，P（x，﹣4）是其终边上一点，∴x＜0，∵cosα==，∴x=﹣3，∴tanα==，∴==﹣，故答案为：﹣3，，﹣．11．（6.00分）已知函数f（x）=x2+bx+c在（1，2）内有两个相异零点，且f（x0）＜0，用不等号“＞”“＜”表示下列关系：（1）b+c+1＞0；（2）f（x0﹣1）＞0．【解答】解：画出函数的草图，如图示：显然f（1）=b+c+1＞0，若f（x 0）＜0，则1＜x0＜2，∴0＜x0﹣1＜1，∴f（x0﹣1）＞0，故答案为：＞，＞．12．（6.00分）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣），x∈[0，π]，当x=时，f（x）取到最大值为．【解答】解：函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）=cosx+sinx=sin（x+），x∈[0，π]，故当x=时，函数f（x）取得最大值为，故答案为：；．13．（4.00分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．【解答】解：因为f（x）为偶函数，所以f（|x+2|）=f（x+2），则f（x+2）＜5可化为f（|x+2|）＜5，即|x+2|2﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0，所以|x+2|＜5，解得﹣7＜x＜3，所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．故答案为：（﹣7，3）．14．（4.00分）已知cos（x+）=，＜x＜，则cos（2x+）=﹣．【解答】解：∵＜x＜，∴＜x+＜2π，又∵cos（x+）=，∴＜x+＜2π，∴sin（x+）=﹣=﹣，∴sin（2x+）=2sin（x+）cos（x+）=﹣，cos（2x+）=cos2（x+）﹣sin2（x+）=﹣，∴cos（2x+）=cos[（2x+）﹣]=cos（2x+）+sin（2x+）=﹣故答案为：﹣15．（4.00分）若对一切正实数x，t，不等式﹣cos2x≥asinx﹣都成立，则实数a的取值范围是[﹣3，3] ．【解答】解：∵﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，∴≥asinx+cos2x恒成立．∵≥2=3，∴asinx+cos2x≤3恒成立．即sin2x﹣asinx+2≥0恒成立．令sinx=m，则m2﹣am+2≥0在[﹣1，1]上恒成立．令f（m）=m2﹣mt+2，则f（m）图象开口向上，对称轴为m=．（1）若≤﹣1，即a≤﹣2时，f（m）在[﹣1，1]上是增函数，∴f min（m）=f（﹣1）=3+a≥0，解得﹣3≤a≤﹣2．（2）若≥1，即a≥2，则f（m）在[﹣1，1]上是减函数，∴f min（m）=f（1）=3﹣a≥0，解得2≤a≤3．（3）若﹣1＜＜1，即﹣2＜a＜2，则f（m）在[﹣1，1]上先减后增，∴f min（m）=f（）=2﹣≥0，解得﹣2＜a＜2．综上，a的取值范围是[﹣3，3]．故答案为：[﹣3，3]．三、解答题（共5小题，满分74分）16．（15.00分）已知A={x|x2﹣3x﹣4≤0}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0}，C={y|y=a x+b，a＞0，且a≠1，x∈R}．（1）若A∩B=[0，4]，求m的值；（2）若A∩C只有一个子集，求b的取值范围．【解答】解：（1）A={x|x2﹣3x﹣4≤0}=[﹣1，4]，B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0}=[m﹣3，m+3]，∵A∩B=[0，4]，∴，解得，m=3；（2）C={y|y=a x+b，a＞0，且a≠1，x∈R}=（b，+∞），∵A∩C只有一个子集，∴A∩C=∅，∴b≥4．17．（15.00分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω＞0，0＜|φ|＜π）在一个周期内的图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求g（x）=f（3x+）﹣1在[﹣，]上的值域．【解答】解：（1）由图形可得：A=2，…2分将点（0，），（，）代入，有φ，…5分∵0＜|φ|＜π，∴，…7分故f（x）=2sin（+）．…8分（2）g（x）=f（3x+）﹣1=2sin[（3x+）+]﹣1=2sin（2x+）﹣1=2cos2x﹣1，…12分当x∈[﹣，]时，2x∈[﹣，]，cos2x∈[﹣，1]，故g（x）=f（3x+）﹣1在∈[﹣，]上的值域为：[﹣2，1]．…15分18．（15.00分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）解不等式f（x）＜；（3）求f（x）的值域．【解答】解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0⇒﹣1+b=0，解得b=1，又由f（1）=﹣f（﹣1）⇒，解得a=2．（2）不等式f（x）＜，即不等式＜，化简可得2x＞，∴x＞，∴不等式的解集为{x|x＞}；（3）f（x）=﹣+，∵2x+1＞1，∴﹣＜f（x）＜，∴f（x）的值域是（﹣，）．19．（15.00分）已知函数f（x）=2acos2x+2bsinxcosx，且f（0）=2，f（）=+1．（1）求f（x）的最大值及单调递减区间；（2）若α≠β，α，β∈（0，π），且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．【解答】解：；∴f（0）=2a=2；∴a=1；又；∴b=1；∴=；∴（1），即时，f（x）取得最大值3；令得，；∴f（x）的单调递减区间为；（2）由f（α）=f（β）得，；∵α≠β，α，β∈（0，π）；∴，；∴，或3π；∴，或；∴．20．（14.00分）已知f（x）=2x2+bx+c．（1）对任意x∈[﹣1，1]，f（x）的最大值与最小值之差不大于6，求b的取值范围；（2）若f（x）=0有两个不同实根，f（f（x））无零点，求证：﹣＞1．【解答】（1）解：f（x）=2x2+bx+c=+c﹣，x∈[﹣1，1]．①当﹣≤﹣1，即b≥4时，函数f（x）在x∈[﹣1，1]单调递增，∴f（1）﹣f （﹣1）≤6，化为：b≤3，舍去；②当﹣≥1，即b≤﹣4时，函数f（x）在x∈[﹣1，1]单调递减，∴f（﹣1）﹣f（1）≤6，化为：b≥﹣3，舍去；③当﹣1＜﹣＜1，即﹣4＜b＜4时，函数f（x）在内单调递减，在内单调递增，∴f（x）min=c﹣．∵f（1）﹣f（﹣1）=2b，当0≤b＜4时，f（x）max=f（1）=2+b+c，则2+b+c﹣≤6，解得0≤b≤．当﹣4＜b＜0时，f（x）max=f（﹣1）=2﹣b+c，则2﹣b+c﹣≤6，解得≤b＜0．综上可得：b的取值范围是．（2）证明：f（x）=2x2+bx+c=0有两个不同实根，∴△=b2﹣8c＞0．可得此方程的两个实数根：x1=，x2=．要使f（f（x））无零点，则方程f（x）=x1，f（x）=x2，均无解．∵x1＞x2，∴f（x）=2x2+bx+c的最小值c﹣＞x1=，即b2﹣8c+2+1＜2b+1，∴＜2b+1，∴+1＜．∴﹣＞1．。
浙江省杭州师范大学附中2015-2016学年高一上学期期末数学试卷Word版含解析
2015-2016学年浙江省杭州师范大学附中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={1，3，5，7，9}，B={0，3，6，9，12}，则A∩B等于（）A．{1，5，7}B．{3，5，7}C．{3，9}D．{1，3}2．代数式sin75°cos75°的值为（）A．B．C．D．3．函数f（x）=e x﹣的零点所在的区间是（）A．B．C．D．4．若0＜x＜y＜1，则（）A．3y＜3x B．log x3＜log y3 C．log4x＜log4y D．5．已知f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中b＜a），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A． B．C．D．6．若函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）=0，则＜0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）7．为了得到函数的图象，只需把y=2sinx的图象上所有的点（）A．向右平移，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）B．向左平移，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）C．向右平移，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）D．向左平移，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）8．设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则称f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是（）A．（0，）B．（﹣∞，）C．（0，]D．（﹣∞，]二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分，将答案填在题后的横线上．9．已知，则A∩B=．10．已知，，则=，cosx=．11．若函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，则ω的最大值为．且当ω取最大值时f（x）的值域为．12．已知，则sinθcosθ=，cosθ﹣sinθ=．13．函数y=2sinπx（x∈R）的部分图象如图所示，设O为坐标原点，P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，则tan∠OPB的值为．14．已知函数f（x）=函数g（x）=f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．15．若函数f（x）=x|2x﹣a|（a＞0）在区间[2，4]上单调递增，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（9分）已知tan（+α）=．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求的值．17．（9分）已知奇函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）满足f（x﹣1）+f（x）＜0，求x的取值范围．18．（10分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．19．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+1，a∈R．（1）求证：函数f（x）的图象与x轴有交点；（2）当a＞0时，求函数y=的定义域；（3）若存在m＞0使关于x的方程f（|x|）=m+有四个不同的实根，求实数a 的取值范围．2015-2016学年浙江省杭州师范大学附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={1，3，5，7，9}，B={0，3，6，9，12}，则A∩B等于（）A．{1，5，7}B．{3，5，7}C．{3，9}D．{1，3}【考点】交集及其运算．【分析】运用集合的交集的定义即可得到所求．【解答】解：集合A={1，3，5，7，9}，B={0，3，6，9，12}，则A∩B={3，9}，故选：C．【点评】本题考查集合的运算：交集，考查运算能力，属于基础题．2．代数式sin75°cos75°的值为（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用二倍角的正弦化简求值．【解答】解：sin75°cos75°=sin75°cos75°=．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角的正弦，是基础的计算题．3．函数f（x）=e x﹣的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据零点存在定理，对照选项，只须验证f（0），f（），f（），等的符号情况即可．也可借助于图象分析：画出函数y=e x，y=的图象，由图得一个交点．【解答】解：画出函数y=e x，y=的图象：由图得一个交点，由于图的局限性，下面从数量关系中找出答案．∵，，∴选B．【点评】超越方程的零点所在区间的判断，往往应用零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间[a，b]上有零点．4．若0＜x＜y＜1，则（）A．3y＜3x B．log x3＜log y3 C．log4x＜log4y D．【考点】对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据对数函数的单调性，y=log4x为单调递增函数，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=log4x为增函数∴log4x＜log4y故选C．【点评】本题主要考查指数函数与对数函数的单调性，即底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减．这也是高考中必考的内容．5．已知f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中b＜a），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据f（x）的图象可得b＜﹣1，且0＜a＜1，函数g（x）=a x+b是减函数，且图象与y轴的交点（0，﹣b）在y轴的负半轴上，结合所给的选项，可得结论．【解答】解：根据f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中b＜a）的图象可得b＜﹣1，且0＜a＜1，故函数g（x）=a x+b是减函数，且图象与y轴的交点（0，﹣b）在y轴的负半轴上，结合所给的选项，故选A．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，函数的单调性和特殊点，属于基础题．6．若函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）=0，则＜0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）=0，判断函数f（x）在R上的符号，根据奇函数把＜0转化为＜0，根据积商符号法则及函数的单调性即可求得＜0的解集．【解答】解：因为函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，f（2）=0，所以x＞2或﹣2＜x＜0时，f（x）＞0；x＜﹣2或0＜x＜2时，f（x）＜0；＜0，即＜0，可知﹣2＜x＜0或0＜x＜2．故选A．【点评】考查函数的单调性和奇偶性，以及根据积商符号法则转化不等式，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式，体现了数形结合和转化的思想，属中档题．7．为了得到函数的图象，只需把y=2sinx的图象上所有的点（）A．向右平移，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）B．向左平移，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）C．向右平移，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）D．向左平移，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．【解答】解：把y=2sinx的图象上所有的点向左平移，可得函数解析式为y=2sin （x+），再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），可得图象对应的解析式为：．故选：D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的应用，三角函数平移时一定要遵循左加右减上加下减的原则，属于基础题．8．设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则称f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是（）A．（0，）B．（﹣∞，）C．（0，]D．（﹣∞，]【考点】对数函数的图象与性质；函数的值．【分析】根据“倍缩函数”的定义，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，∴f（x）在[a，b]上是增函数；∴，即，∴a，b是方程2x﹣+t=0的两个根，设m==，则m＞0，此时方程为m2﹣m+t=0即方程有两个不等的实根，且两根都大于0；∴，解得：0＜t＜，∴满足条件t的范围是（0，），故选：A．【点评】本题主要考查函数的值域问题，利用对数函数和指数函数的性质，是解决本题的关键．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分，将答案填在题后的横线上．9．已知，则A∩B={x|2＜x ＜3} ．【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：2﹣3＜2﹣x＜2﹣1，即﹣3＜﹣x＜﹣1，解得：1＜x＜3，即A={x|1＜x＜3}，由B中不等式变形得：log2（x﹣2）＜1=log22，即0＜x﹣2＜2，解得：2＜x＜4，即B={x|2＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜3}，故答案为：{x|2＜x＜3}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．10．已知，，则=，cosx=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由x的范围求出x﹣的范围，再由同角三角函数的基本关系式求得；由cosx=cos[（x﹣）+]，展开两角和的余弦求得cosx．【解答】解：∵，∴＜，又，∴=．则cosx=cos[（x﹣）+]=cos（x﹣）cos﹣sin（x﹣）sin=．故答案为：；．【点评】本题考查三角函数的化简求值，关键是“拆角配角”思想的应用，是中档题．11．若函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，则ω的最大值为2．且当ω取最大值时f（x）的值域为[﹣2，2] ．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的单调性的性质求出ω的值，结合三角函数的值域和单调性的关系进行求解即可．【解答】解：∵ω＞0，∴函数的周期T=，则函数在[﹣，]上是增函数，若f（x）在区间上单调递增，则≤，即T≥π，即≥π，则ω≤2，则ω的最大值为2，此时f（x）=2sin2x，则函数的最大值为2，最小值为﹣2，即函数的值域为[﹣2，2]，故答案为：2，[﹣2，2]【点评】本题主要考查三角函数单调性和值域的求解，利用三角函数的周期公式以及三角函数单调性的性质是解决本题的关键．12．已知，则sinθcosθ=﹣，cosθ﹣sinθ=．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】推导出sinθ+cosθ=，从而（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=，由此能求出sinθcosθ，从而cosθ﹣sinθ==，由此能求出结果．【解答】解：∵，∴sin=（sinθ+cosθ）=，∴sinθ+cosθ=，∴（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=，解得sinθcosθ=﹣，∴cosθ﹣sinθ====．故答案为：﹣，．【点评】本题考查三角函数求值，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式的合理运用．13．函数y=2sinπx（x∈R）的部分图象如图所示，设O为坐标原点，P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，则tan∠OPB的值为．【考点】正弦函数的图象．【分析】过P作PQ垂直于x轴，根据正弦函数的图象与性质，得出点P、B和Q 的坐标，计算|PQ|，|OQ|，|BQ|的长，利用锐角三角函数定义表示出tan∠OPQ和tan∠BPQ，计算tan∠OPB的值即可．【解答】解：过P作PQ⊥x轴，如图所示：∵函数y=2sinπx，且P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，∴P（，2），B（2，0），即|PQ|=2，|OQ|=，|OB|=2，∴|QB|=|OB|﹣|OQ|=，在Rt△OPQ中，tan∠OPQ==，在Rt△PQB中，tan∠BPQ==，∴tan∠OPB=tan（∠OPQ+∠BPQ）==．故答案为：．【点评】本题考查了两角和与差的正切函数公式，锐角三角函数定义以及正弦函数的图象与性质，作出辅助线PQ，找P、B的坐标是解题的关键．14．已知函数f（x）=函数g（x）=f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是[﹣1，2）．【考点】函数零点的判定定理．【分析】化简g（x）=f（x）﹣2x=，而方程﹣x+2=0的解为2，方程x2+3x+2=0的解为﹣1，﹣2；故只需，从而可得答案．【解答】解：∵f（x）=，∴g（x）=f（x）﹣2x=，而方程﹣x+2=0的解为2，方程x2+3x+2=0的解为﹣1，﹣2；若函数g（x）=f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则，解得﹣1≤a＜2，即实数a的取值范围是[﹣1，2）．故答案为：[﹣1，2）．【点评】本题考查了分段函数的化简与函数零点的判断，属于中档题．15．若函数f（x）=x|2x﹣a|（a＞0）在区间[2，4]上单调递增，则实数a的取值范围是（0，4]∪[16，+∞）．【考点】函数单调性的性质．【分析】化为分段函数，根据函数的单调性，求的a的范围，利用了数形结合的思想．【解答】解：∵f（x）=x|2x﹣a|（a＞0），∴f（x）=，当x≥时，f（x）=2x2﹣ax，函数f（x）在[，+∞）为增函数，当x＜时，f（x）=﹣2x2+ax，函数f（x）在（﹣∞，）为增函数，在（，）为减函数又函数f（x）=x|2x﹣a|在[2，4]上单调递增，∴≤2或，又a＞0，∴0＜a≤4或a≥16．故答案为：（0，4]∪[16，+∞）．【点评】本题主要考查了根据函数的单调性求出参数的取值范围的问题，属于基础题．三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知tan（+α）=．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求的值．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦．【分析】（Ⅰ）求tanα的值可有变换出关于tanα的方程，解方程求值．（II）方法一：求的值可以将其变成由角的正切表示的形式，将（Ⅰ）中求出的正切值代入求值．方法二：利用同角三角函数的基本关系求出角α的正弦值与余弦值，【解答】解：（Ⅰ）解：，由，有，解得；（Ⅱ）解法一：==tanα﹣=﹣﹣=﹣．解法二：由（1），，得∴，∴于是，代入得．【点评】考查三角函数的同角三角函数的基本关系以及二倍角公式，两角和的正切公式．公式较多，知识性较强．17．已知奇函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）满足f（x﹣1）+f（x）＜0，求x的取值范围．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】（Ⅰ）根据f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，得出f（0）=0，求出a值；（Ⅱ）写出f（x）的解析式，根据f（x）的定义与解析式，把不等式f（x﹣1）+f（x）＜0化为关于x的不等式组，求出解集即可．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=a﹣是（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=a﹣=0，解得a=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=﹣，且x∈（﹣1，1），又f（x）满足f（x﹣1）+f（x）＜0，即，化简得，解得，即0＜x＜，∴x的取值范围是（0，）．【点评】本题考查了奇函数的定义与指数函数的运算问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目．18．（10分）（2015•菏泽一模）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且当x ∈[0，]时，f （x ）的最小值为2．（1）求a 的值，并求f （x ）的单调递增区间；（2）先将函数y=f （x ）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g （x ）的图象，求方程g （x ）=4在区间[0，]上所有根之和．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】（1）化简可得f （x ）=2sin （2x +）+a +1，由题意易得﹣1+a +1=2，解方程可得a 值，解不等式2kπ﹣≤2x +≤2kπ+可得单调区间；（2）由函数图象变换可得g （x ）=2sin （4x ﹣）+3，可得sin （4x ﹣）=，解方程可得x=或x=，相加即可．【解答】解：（1）化简可得f （x ）=2cos 2x +2sinxcosx +a=cos2x +1+sin2x +a=2sin （2x +）+a +1，∵x ∈[0，]，∴2x +∈[，]，∴f （x ）的最小值为﹣1+a +1=2，解得a=2，∴f （x ）=2sin （2x +）+3，由2kπ﹣≤2x +≤2kπ+可得kπ﹣≤x ≤kπ+，∴f （x ）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k ∈Z ）；（2）由函数图象变换可得g （x ）=2sin （4x ﹣）+3，由g （x ）=4可得sin （4x ﹣）=，∴4x ﹣=2kπ+或4x ﹣=2kπ+，解得x=+或x=+，（k ∈Z ），∵x ∈[0，]，∴x=或x=，∴所有根之和为+=．【点评】本题考查三角函数和差角的公式和三角函数图象的变换，属中档题．19．（12分）（2015秋•上城区校级期末）已知函数f （x ）=ax 2﹣（a +1）x +1，a ∈R ．（1）求证：函数f （x ）的图象与x 轴有交点；（2）当a ＞0时，求函数y=的定义域；（3）若存在m ＞0使关于x 的方程f （|x |）=m +有四个不同的实根，求实数a 的取值范围．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）利用分类讨论思想证明函数与x 轴的交点． （2）进一步利用分类讨论思想求函数的定义域．（3）根据方程有四个交点确定最后解不等式组求的结果．【解答】证明：（1）已知函数f （x ）=ax 2﹣（a +1）x +1，a ∈R ． ①当a=0时，f （x ）=﹣x +1， 则与x 轴的交点坐标为：（1，0）；②当a ＞0时，函数f （x ）为开口方向向上的抛物线， 则：△=（a +1）2﹣4a=（a ﹣1）2≥0；③当a ＜0时，函数f （x ）为开口方向向下的抛物线， 则：△=（a +1）2﹣4a=（a ﹣1）2≥0； 综上所述：函数f （x ）的图象与x 轴有交点；解：（2）当a＞0时，①当a=1时，=，所以x∈R；②当0＜a＜1时，=，则x的定义域为：{x|x或x＜1}；③当a＞1时，=，则x的定义域为：{x|x＞1或x}；解：（3）令t=，则：关于x的方程f（|x|）=t有四个不等的实数根．即：a|x|2+（a+1）|x|+1﹣t=0有四个不等的实数根．即：ax2+（a+1）x+1﹣t=0有两个正根．则：，解得：a＜﹣1．【点评】本题考查的知识要点：函数的分类讨论的应用，函数的定义域，及函数的根的情况．属于中等题型．。
2015-2016(1)高等数学期末试卷(A)答案
诚信应考 考出水平 考出风格浙江大学城市学院2015—2016学年第一学期期末考试试卷《高等数学》开课单位: 计算分院；考试形式:闭卷；考试时间:_2015_年_1_月_19_日;所需时间: 120 分钟一．单项选择题(（本大题共10小题，每题2分，共20分）1、函数1ln 1xy x+=-为 …………………………………………………（ a. ）.a. 奇函数 b . 偶函数 c .非奇非偶函数 d .既是奇函数，也是偶函数2、 下列各式中等于e 的是……………………………………………………………（ c ）.a . 1lim(1)x x x -→∞+b . 11lim(1)x x x →+ c. 10lim(1)x x x →+ d .22lim(1)xx x→∞+3、一元函数()f x 在点0x x =处可导是()f x 在该点处连续的……………………… ( a.).a. 充分条件.b.必要条件.c.充要条件. d.既非充分又非必要条件.4、设sin x 是()f x 的一个原函数，则()f x '=……………………………………（ c ）..sin .sin .sin .cos a x cb xc xd x +-5、若()F x =⎰，则()dF x dx= ……………………………………………（ d. ）.a. b d6、设,TTA B 分别是方阵,A B 的转置矩阵，下列命题中必定成立的是……………… (c) a. AB BA = b. TTTTA B B A =c. ()T T T AB B A =d. T TAB B A =7、如果A 是一个n 阶方阵，k 是一个常数，则kA = ……………………………… ( d. )...n a k Ab nk Ac k Ad k A8、000000000000ab c d 的值为…………………………………………………………（ c ）..0...a b ac abcd d abcd -9、一次随机地掷两枚均匀骰子（每个骰子1~6点），则出现两枚骰子点数之和大于9的概率为 ……………………………………………………………………………………（ b ） a .311 b . 16 c. 17 d . 1310、袋中有4个红球，2个绿球，从中任抽一个球，抽后不放回，然后再从袋中随机抽一个球，则抽得的第二个球为绿球的概率是…………………………………………………… ( a. ). a .13 b.16 c. 19 d. 115二．填空（本大题共10小题，每小题３分，共30分）1、 2221lim 3x x x x →∞-=+___ _23______ . 2、 若函数1sin 3, 0() , 0x x f x x k x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，在0x =处连续，则k =____3______3、函数()f x =dy2 .4、 函数3xy e =的n 阶导数为 33n xe .5、1x x +=⎰ 2ln 5x x C + . 6、 2x xe dx =⎰ 212x e C + .7、20cos x xdx π⎰＝12π- .8、 212410139xx =，则x = 2或3 .9、 一个口袋中装有6个黑球，4个白球，从中有放回．．．地任取3个球，则取得的3个球恰好 有2个是黑球的概率为54125. 10、3封信随机地投入5个邮筒，则至少有一个邮筒有二封或二封以上信的概率为1325.三.计算下列各题(本大题共3 小题,每小题 ５ 分，共15 分)1、计算 ln(1)lim x x e x→+∞+解：ln(1)lim lim lim 11x x xx x x x x e e e xe e →+∞→+∞→+∞+===+２、求曲线ln 1xy y +=在点(1,1)处的切线方程.解：两边关于x 求导：10,y xy y y''++⋅= 2,1y y xy '=-+在点(1,1)处斜率：1,2k =-切线方程: 11(1),2y x -=-- 即：230,x y +-=３、在抛物线24y x =上，找出到定点(10,0)P 最近的点.24(,)(10,0)0,8,8(8,y x x y P s ds dx dsx dxx ====⇒==±解：曲线任意点到点的距离令=得 由问题实际意义知，是最小点， 因此点为四.计算题(本大题共３小题,第１、２小题每题 5 分，第３小题7分共17分)1、求不定积分2(1)xdx x -⎰.解：2221111(1)(1)1(1)1ln 11x x dx dx dxx x x x x Cx -+==+----=--+-⎰⎰⎰ 2、设21,0;1()0;x x f x x ⎧≤⎪+=>，求11()f x dx -⎰.解：10111021013210()()()112arctan (13)91449f x dx f x dx f x dxdx x x x π----=+=++=++=+⎰⎰⎰⎰⎰ 3、设曲线21y x =+在点12（，）处的切线为l ，求：(1) l 的方程；(2)由该曲线、切线l 及y 轴所围成的平面图形的面积。
浙大期末高等数学试卷
考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，在区间（0，+∞）上连续且可导的是（）。
A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = e^xD. f(x) = x^32. 设f(x) = 3x^2 - 2x + 1，则f'(x) = （）。
A. 6x - 2B. 6xC. 6x + 2D. 63. 下列各数中，不属于等差数列的是（）。
A. 1, 4, 7, 10, ...B. 2, 5, 8, 11, ...C. 3, 6, 9, 12, ...D. 1, 3, 6, 10, ...4. 设f(x) = x^3 - 3x + 2，则f(x)的极值点为（）。
A. x = -1B. x = 0C. x = 1D. x = 25. 下列积分中，结果为π的是（）。
A. ∫0^π x^2 dxB. ∫0^π sin x dxC. ∫0^π cos x dxD. ∫0^π x dx二、填空题（每题5分，共25分）6. 若函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1在x=1处的导数为2，则f'(1) =________。
7. 数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，则数列的前10项和S10 = ________。
8. 设函数f(x) = x^2 + 3x + 2，则f(-2) = ________。
9. 设f(x) = e^x，则f'(x) = ________。
10. 设f(x) = ln(x)，则f'(x) = ________。
三、解答题（共55分）11. （10分）求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1的导数f'(x)。
12. （15分）已知数列{an}的通项公式为an = n^2 - 3n + 2，求证：数列{an}是等差数列。
13. （20分）设函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f(x)在区间[0, 3]上的最大值和最小值。
浙江大学城市学院2015-2016学年第一学期期末考试试卷高等数学
浙江大学城市学院2015-2016学年第一学期期末考试试卷《高等数学》一、填空或单项选择题（本题共13小题，每格2分，共30分）1、函数y =[)2,2-。
2、0tan3lim 3x x x→=。
3、函数()()3ln 2f x x x =+在1x =处的导数()513f '=。
4、函数arctan y x x =的微分2arctan 1x dy x dx x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭。
5、函数12y x =+的n 阶导数为()()()11!2n n n x -+-+。
6、2323x C =+。
7、由定积分的几何意义可知，积分⎰的值为4π。
8、220sin xdx π=⎰4π。
9、121x x dx -=⎰12。
11、方程1111011x x x=的解为1x =及2x =-。
12、设1214A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，23B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则AB =810⎛⎫ ⎪⎝⎭。
13、一个口袋中装有5个黑球，3个白球，从中无放回地任取2个球，则取得的2个球恰好颜色不同的概率为1153281528C C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭；取得的第二个球为白球的概率是38。
14、某企业有两个报警系统A 和B ，有效的概率分别为0.8和0.85，A 和B 同时有效的概率为0.7，则该企业报警系统有效的概率为 0.95 ；在A 失效的情况下B 也失效的概率为 0.25 。
二、计算下列各题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）15、计算（1）22lim 1x x x →+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭22lim 1xx x →+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭； 解()()()2424422422lim 1lim 122lim 1lim 1x x x x x x x x x x e x x ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭→+∞→+∞⋅⎛⎫⎛⎫-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ （直接写出4e -也给3分；能写出e 多少次方的给1分）（2）01lim sin 3xx e x→- 解：0011lim lim sin33cos33x x x x e e x x →→--==-（3分） （错一个符号的扣1分；是用洛必达法则解的，答案不是13或13-的可得1分） 16、讨论函数2xx y e =的单调性和极值。
浙江大学高等数学(上)试题册及参考答案
高数（上）试题库一、判断题1、集合{}0为空集。
（ ）2、集合{}1,2A =，集合{}1,3,4B =，则{}1,2,3,4A B =。
（ ）3、函数y x =与函数y =是相同的函数。
（ ）4、函数()cos f x x x =是奇函数。
（ ）5、函数arcsin y x =的定义域是(),-∞+∞。
（ ）6、函数arcsin y u =和22u x =+可以复合成函数2arcsin(2)y x =+。
（ ）7、函数()sin f x x =是有界函数。
（ ）8、函数()cos f x x =，()g x = （ ） 9、如果数列n x 发散，则n x 必是无界数列。
（ ） 10、如果数列n x 无界，则n x 必是发散数列。
（ ） 11、如果)(0x f =6，但00(0)(0)5,f x f x -=+=则)(lim 0x f x x →不存在。
（ ）12、)(x f 在0x x =处有定义是)(lim 0x f x x →存在的充分条件但非必要条件 。
（ ）13、0lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→=是)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件。
（ ）14、100000x是无穷大。
（ ）15、零是无穷小。
（ ） 16、在自变量的同一变化过程中，两个无穷小的和仍为无穷小。
（ ）17、1sin lim=∞→xxx 。
（ ）18、当0x →时，sin ~~tan x x x ，则330tan sin lim lim 0sin x x x x x xx x→∞→--==。
（ ） 19、)(x f 在0x 有定义，且0lim x x →)(x f 存在，则)(x f 在0x 连续。
（ ）20、)(x f 在0x x =无定义，则)(x f 在0x 处不连续。
（ ） 21、)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上有界。
2024年浙江省浙大附中数学高三第一学期期末质量检测试题含解析
2024年浙江省浙大附中数学高三第一学期期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数2sin 1x xy x +=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．2．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α,//m β,则//αβ B ．若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C ．若m α⊥,//m n ,则n α⊥D ．若αβ⊥,m α⊥,则//m β3．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（ ）A ．35B ．45C ．1D ．854．已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<5．已知函数()ln af x x a x=-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭D ．[)1,e - 6．已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=7．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．8．已知函数21,0()2ln(1),0x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若函数()()g x f x kx =-有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．(0,1)D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中错误的是（ ）A ．11//FM AC ，B ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CCD D C ．BM ⊥平面1CC FD ．三棱锥B CEF -的体积为定值10．已知集合{}0,1,2,3A =，}{21,B x x n n A ==-∈，P A B =⋂，则P 的子集共有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个11．已知i 为虚数单位，复数()()12z i i =++，则其共轭复数z =（ ） A ．13i + B ．13i - C ．13i -+D ．13i --12．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ） A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江大学附中玉泉校区2015-2016学年高一(上)期末数学试卷含解析
2015-2016学年浙江大学附中玉泉校区高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|x＞1}B．{x|x≥1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x≤2}2．函数f（x）=|cosx|的最小正周期为（）A．2πB．πC．D．3．若a=20.5，b=logπ3，c=log2，则有（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a4．函数f（x）=sin（2x+φ）|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则φ等于（）A．B．﹣C．D．5．在平面内，已知，则=（）A．3 B． C． D．6．已知sinα=m（|m|＜1），，那么tanα=（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．28．设二次函数f（x）=x2﹣bx+a（a，b∈R）的部分图象如图所示，则函数g（x）=lnx+2x﹣b的零点所在的区间（）A． B． C．D．（2，3）二、填空题：（本大题有7小题，每小题4分，共28分，请将答案填在答题卷中的横线上．）9．向量=（2，3），=（﹣1，2），若m+与﹣2平行，则m等于．10．在△ABC中，D是BC的中点，向量=a，向量=b，则向量=．（用向量a，b表示）11．函数y=sin2x+2cosx在R上的值域是．12．已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为cm2．13．已知a＞0且a≠1，若函数f（x）=，在[﹣2，2]的最大值为2，则f[f（﹣1）]=，a=．14．已知向量=（1，），=（3，m），若向量的夹角为，则实数m=．15．已知函数满足：对于实数a的某些值，可以找到相应正数b，使得f（x）的定义域与值域相同，那么符合条件的实数a的个数是．三、解答题：（本大题有5小题，共48分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．设角，求的值；（Ⅱ）已知，求值：．17．（8分）如图，图1是定义在R上的指数函数g（x）的图象，图2是定义在（0，+∞）上的对数函数h（x）的图象，设f（x）=h（g（x）﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求方程f（x）﹣x+1=0的解；（Ⅲ）求不等式f（x）＜2成立的x的取值范围．18．（10分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，）的周期为π，且图象上一个最低点为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当，求f（x）的值域．19．（10分）设非零向量向量=，=，已知||=2||，（ +）⊥．（1）求与的夹角；（2）在如图所示的直角坐标系xOy中，设B（1，0），已知M（，），=λ1+λ2（λ1，λ2∈R），求λ1+λ2的值．20．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），f（﹣2）=f（0）=0，f（x）的最小值为﹣1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设g（x）=f（﹣x）﹣λf（x）+1，若g（x）在[﹣1，1]上是减函数，求实数λ的取值范围；（3）设函数h（x）=log2[p﹣f（x）]，若此函数在定义域范围内不存在零点，求实数p的取值范围．2015-2016学年浙江大学附中玉泉校区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|x＞1}B．{x|x≥1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x≤2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由集合B，求出集合B的补集，然后求出集合A和集合B补集的交集即可．【解答】解：由B={x|x＜1}，得到C R B={x|x≥1}，又集合A={x|﹣1≤x≤2}，则A∩（C R B）={x|1≤x≤2}．故选：D．【点评】此题考查学生会进行补集及交集的运算，是一道基础题．学生在求补集时注意全集的范围．2．函数f（x）=|cosx|的最小正周期为（）A．2πB．πC．D．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据余弦函数的图象与性质，画出函数f（x）的图象，即可得出f（x）的最小正周期．【解答】解：根据余弦函数的图象与性质，画出函数f（x）=|cosx|的图象，如图所示，则函数f（x）的最小正周期为π．故选：B．【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．3．若a=20.5，b=logπ3，c=log2，则有（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数和指数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=20.5＞20=1，0＜b=logπ3＜logππ=1，＜log21=0．∴a＞b＞c．故选：A．【点评】本题考查了对数和指数函数的单调性，属于基础题．4．函数f（x）=sin（2x+φ）|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则φ等于（）A．B．﹣C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得+φ=kπ，k∈z，由此根据|φ|＜求得φ的值．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，k∈z，∴φ=﹣，故选：D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．5．在平面内，已知，则=（）A．3 B． C． D．【考点】向量在几何中的应用；两向量的和或差的模的最值；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的运算．【分析】利用向量模平方等于向量的平方列出等式；利用向量的数量积公式用模夹角余弦表示数量积，求出向量的模．【解答】解：∵=1+2 +16=13故故选B．【点评】本题考查向量模的平方等于向量的平方；向量的数量积公式．6．已知sinα=m（|m|＜1），，那么tanα=（）A．B．C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由sinα的值及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，即可确定出tanα的值．【解答】解：∵sinα=m，＜α＜π，∴cosα=﹣=﹣，则tanα=．故选：A．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．7．已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由奇函数定义得，f（﹣1）=﹣f（1），根据x＞0的解析式，求出f（1），从而得到f（﹣1）．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣1）=﹣f（1），又当x＞0时，f（x）=x2+，∴f（1）=12+1=2，∴f（﹣1）=﹣2，故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性及运用，主要是奇函数的定义及运用，解题时要注意自变量的范围，正确应用解析式求函数值，本题属于基础题．8．设二次函数f（x）=x2﹣bx+a（a，b∈R）的部分图象如图所示，则函数g（x）=lnx+2x﹣b的零点所在的区间（）A． B． C．D．（2，3）【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】由二次函数的图象确定出b的范围，计算出g（）和g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间．【解答】解：结合二次函数f（x）=x2﹣bx+a的图象知，f（0）=a∈（0，1），f（1）=1﹣b+a=0，∴b=a+1，∴b∈（1，2），∵g（x）=lnx+2x﹣b在（0，+∞）上单调递增且连续，g（）=ln+1﹣b＜0，g（1）=ln1+2﹣b=2﹣b＞0，∴函数g（x）的零点所在的区间是（，1）；故选：A．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质以及函数零点的应用，解题的关键是确定b的范围．二、填空题：（本大题有7小题，每小题4分，共28分，请将答案填在答题卷中的横线上．）9．向量=（2，3），=（﹣1，2），若m+与﹣2平行，则m等于．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由已知向量的坐标求得m+与﹣2的坐标，再由向量平行的坐标表示列式求得m的值．【解答】解：∵=（2，3），=（﹣1，2），∴m+=m（2，3）+（﹣1，2）=（2m﹣1，3m+2），﹣2=（2，3）﹣2（﹣1，2）=（4，﹣1）．又m+与﹣2平行，∴（2m﹣1）•（﹣1）﹣4（3m+2）=0，解得：m=﹣．故答案为：．【点评】平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2﹣a2b1=0，是基础题．10．在△ABC中，D是BC的中点，向量=a，向量=b，则向量=（+）．（用向量a，b表示）【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】直接利用向量的加法的平行四边形法则，求出结果即可【解答】解：因为D是△ABC的边BC上的中点，向量=，向量=，所以=（+）=（+），故答案为：（+）【点评】本题考查向量的四边形法则的应用，考查计算能力．11．函数y=sin2x+2cosx在R上的值域是[﹣2，2] ．【考点】函数的值域．【分析】根据同角三角函数关系，将函数的解析式化为y=1﹣cos2x+2cosx，结合函数的cosx为[﹣1，1]，将问题转化为二次函数在定区间上的值域问题，结合余弦函数及二次函数的性质，即可得到答案．【解答】解：y=sin2x+2cosx=1﹣cos2x+2cosx=﹣（cosx﹣1）2+2，∵cosx∈[﹣1，1]，cosx﹣1∈[﹣2，0]，∴﹣（cosx﹣1）2∈[﹣4，0]，∴﹣（cosx﹣1）2+2∈[﹣2，2]．∴y∈[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．【点评】本题考查的知识点是正弦函数的定义域和值域，考查二次函数在定区间上的最值问题，是解答本题的关键．12．已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为2πcm2．【考点】扇形面积公式．【分析】根据弧长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可．【解答】解：∵弧长为πcm的弧所对的圆心角为，∴半径r=，∴这条弧所在的扇形面积为S=cm2．故答案为：2π【点评】本题主要考查扇形的面积公式和弧长公式，要求熟练掌握相应的公式，比较基础．13．已知a＞0且a≠1，若函数f（x）=，在[﹣2，2]的最大值为2，则f[f（﹣1）]=0，a=．【考点】分段函数的应用．【分析】对a讨论，a＞1，0＜a＜1时，由指数函数和对数函数的单调性可得最值，判断a＞1不成立，计算即可得到a，再求f（﹣1），进而得到f[f（﹣1）]．【解答】解：当a＞1时，y=a x+1在[﹣2，1）递增，无最大值，y=log2x在[1，2]上递增，则最大值为log22=1，与题意不符，则舍去；当0＜a＜1时，y=a x+1在[﹣2，1）上递减，则最大值为a﹣1=2，即a=，f（﹣1）=（）0=1，f[f（﹣1）]=f（1）=log21=0，故答案为：0，．【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，考查指数函数和对数函数的单调性的运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．14．已知向量=（1，），=（3，m），若向量的夹角为，则实数m=．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量的数量积的定义以及两个向量的数量积公式，求得实数m 的值．【解答】解：∵向量=（1，），=（3，m），若向量的夹角为，则=||•||•cos，即3+m=2••，求得m=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义以及两个向量的数量积公式，属于基础题．15．已知函数满足：对于实数a的某些值，可以找到相应正数b，使得f（x）的定义域与值域相同，那么符合条件的实数a的个数是2．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】由于函数解析式中，被开方式是一个类一元二次式，故我们可分a=0，a＞0和a＜0，三种情况，分别分析是否存在正实数b，使函数f（x）的定义域和值域相同，进而综合讨论结果，即可得到答案．【解答】解：（1）若a=0，则对于每个正数b，f（x）=的定义域和值域都是[0，+∞）故a=0满足条件．（2）若a＞0，则对于正数b，的定义域为D=（﹣∞，﹣]∪[0，+∞），但f（x）的值域A⊆[0，+∞），故D≠A，即a＞0不合条件；（3）若a＜0，则对正数b，定义域D=[0，﹣]，（f（x））max=，f（x）的值域为[0，]，则﹣=⇔．综上所述：a的值为0或﹣4．故答案为2．【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，函数的值域，二次函数的图象和性质，其中熟练掌握一次函数和二次函数的图象和性质是解答本题的关键，解答中易忽略a=0时，也满足条件，而错解为a=﹣4．三、解答题：（本大题有5小题，共48分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（Ⅰ）设角，求的值；（Ⅱ）已知，求值：．【考点】三角函数的化简求值；同角三角函数基本关系的运用．【分析】（Ⅰ）利用诱导公式化简，再结合特殊角的三角函数值得答案；（Ⅱ）由已知求得tanα，再把转化为正切求值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴===；（Ⅱ）由，得tanα=3．∴==．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．17．如图，图1是定义在R上的指数函数g（x）的图象，图2是定义在（0，+∞）上的对数函数h（x）的图象，设f（x）=h（g（x）﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求方程f（x）﹣x+1=0的解；（Ⅲ）求不等式f（x）＜2成立的x的取值范围．【考点】指、对数不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由图象求出g（x）和h（x）的解析式，代入f（x）=h（g（x）﹣1）化简；（Ⅱ）由（Ⅰ）化简方程，利用指对互化和指数的运算求出方程的根；（Ⅲ）由（Ⅰ）化简不等式，由对数函数的性质、运算法则，指数函数的性质求出不等式的解集．【解答】解：（Ⅰ）由图知g（x）、h（x）的图象分别过（1，2）、（2，1）两点，∴g（x）=2x，h（x）=，∴f（x）=h（g（x）﹣1）=h（2x﹣1）=；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，方程f（x）﹣x+1=0是：﹣x+1=0，∴=x﹣1，则2x﹣1=2x﹣1=，即2x=2，解得x=1，∴方程f（x）﹣x+1=0的根是1；（Ⅲ）由（Ⅰ）得，不等式f（x）＜2是：＜2，∴＜，∵函数h（x）=在（0，+∞）上是增函数，∴，解得，∴不等式的解集是（0，）．【点评】本题考查指数函数、对数函数的解析式、图象与性质，指数、对数的运算性质的应用，以及有关对数、指数的方程、不等式的求解，注意对数的定义域的限定．18．（10分）（2015秋•西湖区期末）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，）的周期为π，且图象上一个最低点为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当，求f（x）的值域．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）根据函数的周期，最值过定点，求出A，ω和φ的值即可，（Ⅱ）结合三角函数的单调性进行求解即可．（Ⅲ）求出角的范围结合三角函数的单调性求出函数的最值即可求出函数的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵函数的最小正周期为π，最小值为﹣2，∴A=2，T=，即ω=2，则函数f（x）=2sin（2x+φ），∵图象上一个最低点为．∴2sin（2×+φ）=﹣2，即sin（+φ）=﹣1，则+φ=+2kπ，k∈Z，则φ=+2kπ，k∈Z，∵，∴当k=0时，φ=，即f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）；（Ⅱ）由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递减区间为为．由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（Ⅲ）当时，2x∈[0，]，则2x+∈[，]，则sin（2x+）=sin=，sin（2x+）=sin=，则≤f（x）≤2×，即1≤f（x）≤，即f（x）的值域为[1，]．【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解以及函数单调性和值域的求解，结合条件求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．19．（10分）（2015秋•西湖区期末）设非零向量向量=，=，已知||=2| |，（ +）⊥．（1）求与的夹角；（2）在如图所示的直角坐标系xOy中，设B（1，0），已知M（，），=λ1+λ2（λ1，λ2∈R），求λ1+λ2的值．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．【分析】（1）由（+）⊥．可得．又||=2||，利用向量夹角公式可得=．即可得出．（2）利用向量的线性运算及其相等即可得出．【解答】解：（1）∵（+）⊥．∴（+）•=+=0，∴．又||=2||，∴===﹣．∴与的夹角为；（2）由已知及（1）得A，∵=λ1+λ2，∴（，）=+λ2（1，0）=，∴，解得λ1=，λ2=．∴λ1+λ2=．【点评】本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）（2010秋•杭州期末）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），f（﹣2）=f（0）=0，f（x）的最小值为﹣1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设g（x）=f（﹣x）﹣λf（x）+1，若g（x）在[﹣1，1]上是减函数，求实数λ的取值范围；（3）设函数h（x）=log2[p﹣f（x）]，若此函数在定义域范围内不存在零点，求实数p的取值范围．【考点】二次函数的性质；对数函数的单调性与特殊点．【分析】（1）由已知中二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），f（﹣2）=f （0）=0，f（x）的最小值为﹣1．我们易根据出关于系数a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c值后，即可得到函数f（x）的解析式；（2）由（1）的结论及g（x）=f（﹣x）﹣λf（x）+1，我们可以得到g（x）的表达式，由于其解析式为类二次函数的形式，故要对二次项系数进行分类讨论，最后综合讨论结果即可得到实数λ的取值范围；（3）由函数h（x）=log2[p﹣f（x）]在定义域内不存在零点，则根据真数必须大于0，1的对数等于0的法则，我们可以构造出一个关于p的不等式组，解不等式组，即可得到答案．【解答】解：（1）设f（x）=ax（x+2），又a＞0，f（﹣1）=﹣1，∴a=1，∴f（x）=x2+2x．（2）∵g（x）=f（﹣x）﹣λf（x）+1，∴g（x）=（1﹣λ）x2﹣2（1+λ）x+1，①当λ=1时，g（x）=﹣4x=1在[﹣1，1]上是减函数，满足要求；②当λ≠1时，对称轴方程为：x=．ⅰ）当λ＜1时，1﹣λ＞0，所以≥1，解得0≤λ＜1；ⅱ）当λ＞1时，1﹣λ＜0，所以≤﹣1，解得λ＞1．综上，λ≥0．（7分）（3）函数h（x）=log2[p﹣f（x）]在定义域内不存在零点，必须且只须有p﹣f（x）＞0有解，且p﹣f（x）=1无解．即[p﹣f（x）]max＞0，且1不在[p﹣f（x）]的值域内．f（x）的最小值为﹣1，∴函数y=p﹣f（x）的值域为（﹣∞，p+1]．∴，解得﹣1＜p＜0．∴p的取值范围为（﹣1，0）．（10分）【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，对数函数的单调性与特殊点，其中根据已知条件确定出函数f（x）的解析式是解答本题的切入点和关键．。
浙江大学教授考试试卷真题
浙江大学教授考试试卷真题考试科目：高等数学考试时间：120分钟考试日期：2024年5月20日考试地点：浙江大学一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是周期函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = sin(x)C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)2. 函数f(x) = 2x - 3在x=2处的导数是：A. -1B. 1C. 4D. 23. 积分∫(1/x)dx从1到2的值是：A. 1B. ln(2)C. ln(3)D. 2ln(2)4. 方程x^2 - 4x + 4 = 0的解是：A. x = 2B. x = -2D. 无实数解5. 以下哪个是线性方程组？A. y = 2x + 1B. y^2 = 4xC. 3x + 2y = 7D. x^2 + y^2 = 16. 函数y = x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 无穷大7. 以下哪个是二阶微分方程？A. y'' = 0B. y' + 2y = 0C. y'' - y = 0D. y' = 2x8. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的极小值点是：A. x = -1B. x = -3C. x = 0D. x = 19. 以下哪个是二元函数的偏导数？A. ∂f/∂xB. ∂f/∂yC. f'(x)10. 以下哪个是泰勒级数展开？A. sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...B. e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...C. ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...D. 所有选项都是二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的拐点是x = _______。
12. 函数y = 3x^2 + 2x - 5的顶点坐标是(_______,______)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第5页共6页
七、（7 分）已知 f (x)
x2 et2 dt ， 求
1
xf (x)dx
1
0
得分
阅卷人
八、（7 分） 设函数 f (x) 在[0, 2a] 上连续，
得分
阅卷人
证明
2a f (x)dx
0
a
[
f
(x)
f
(2a
x)]dx
，并由此计算
0
0
1
x
sin x cos 2
( A) 发散
(B) 收敛于 1
）
(C)
1
收敛于
2
(D) 收敛于 1 2
5. 函数 f (x) 在[a, b] 上有定义，其导数 f (x) 的图形如右图所示，则（
）
( A) x1, x2 都是极值点
y
y f (x)
(B) (x1, f (x1)), (x2, f (x2)) 都是拐点 (C) x1 是极值点， (x2, f (x2 )) 是拐点 (D) (x1, f (x1)) 是拐点， x2 是极值点
a
x1 x2 b
x
三、计算下列各题（每小题 5 分，共 25 分）
1.
求极限
lim(
x0
1 x
e
1 x
) 1
得分
阅卷人
2. 求极限 lim ( 3x 2)2x1 x 3x 1
第2页共6页
x2
sin 5tdt
3.
求极限 lim x0
0
x4
4. 设方程 exy cos(xy) e 1 确定了函数 y y(x) ，求 y 及 y(0) 。
所作的功为
二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1. 当 x 0 时，下列变量中是无穷小量的有（
）
( A) sin 1 x
(B) 2x 1
(C) sin x x
2. 设函数 f (x) 具有连续的导数，则以下等式中错误的是（
得分
阅卷人
(D) ln | x |
）
( A) d ( b f (x)dx) f (x)
5.
求不定积分
x
dx 1 (ln x)2
第3页共6页
四、计算下列各题（每小题 6 分，共 18 分） 1. 求曲线 y x 36x2 2x3 x4 的凹凸区间和拐点。
得分
阅卷人
2. 求定积分 1 x2 arctan xdx 0
3. 求不定积分 dx
x2 1 x2
第4页共6页
五、（6 分） 当 x 0 时，试证： sin x cos x 1 x x 2
得分
阅卷人
得分
阅卷人
六、（7 分） 一平面图形由抛物线 y x2 2 与该抛物线上点 (1,3) 处的法线及 x 轴、y 轴所围 成。求：（1）该平面图形的面积。
（2）该平面图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积。
姓名
密封线内不要答题
浙江大学 2015－2016 学年第 1 学期
高等数学 A1 课程试题( A )卷
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分
学号
班级
专业
一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
得分
阅卷人
1. 已知函数 y (cos2 x) ln x ，则 dy
sin 2x
2.
已知
f
(x)
ln(x 1)
3x2 2x k
x0 在 x 0 处连续，则 k
x0
3.
定积分2 cos3x(sinx
1)dx
2
4.
已知
f
(x)dx
x 1 x2
C
，则
sec2 x f (tan x)dx
5. 设变力 F (x) ex 作用于一物体，物体沿力的方向从 x a 移动到 x b 处，则力 F 对物体
x
dx
第6页共6页
dx a
(C) d ( f (x)dx) f (x)dx
3.
x
2
是函数
f
(x)
arctan
2
1
x
的（
(B) d ( x f (t)dt) f (x)dx a
(D) f (t)dt f (t) C
）
第1页共6页
学院
密封线内不要答题
4. 反常积分 xex2 dx （ 0