【圆锥曲线】--点差法
2023高考数学二轮专题复习——圆锥曲线点差法求斜率
F 1F 2PABOxy4P x 0,y 0 是椭圆E ：x 24+y 2=1上的动点，设椭圆的左右焦点分别为F 1,F 2，若直线PF 1,PF 2与椭圆E 的另一个焦点分别为A ,B ，求△PAB 面积的最大值.定比点代法设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,P x 0,y 0 ，由对称性不妨设0<y 0≤1设PA =λAF 1 ，PB =μBF 2 ，则A x 0-3λ1+λ,y 01+λ将A 代入E 整理得：λ=23x 0+4 ，同理μ=23x 0-4 S △PAB =λλ+1⋅μμ+1⋅S △PF 1F2=3y 0x 02-64x 02-4912=3y 0y 02+13y 02+148设f y 0 =3y 0y 02+13 y 02+148，y 0∈0,1 下面证明f x ≤f 1 =64349，x ∈0,1只需证：f x =3x x 2+13 x 2+148=483x 3+163x48x 2+1≤64349，即证3x 3+x 48x 2+1≤449⟺x -1 147x 2-45x +4 ≤0，x ∈0,1 ，显然成立.故f x max =f 1 =64349.故△PAB 面积的最大值为64349.5椭圆x 25+y 2=1的左右焦点分别为F 1,F 2，P x 0,y 0 x >0,y >0 为椭圆上一点，直线PF 1,PF 2分别交椭圆于M ,N 两点，则当直线MN 的斜率为-19时，x 0y 0=.不联立 对偶式求斜率设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，MN 中点Q m ,n ，由点差法k OQ ⋅k MN =n m ⋅-19 =-15，所以n m =95x 0y 1-x 1y 0=-2y 1-y 0 ①x 0y 1+x 1y 0=-52y 1+y 0 ② ，x 0y 2-x 2y 0=2y 2-y 0③x 0y 2+x 2y 0=52y 2+y 0④①+③：x 0y 1+y 2 -y 0x 1+x 2 =2y 2-y 1 ⑤②+④：x 0y 1+y 2 +y 0x 1+x 2 =52y 2-y 1 ⑥⑥+⑤得：2x 0y 1+y 2 =92y 2-y 1⑥-⑤得：2y 0x 1+x 2 =12y 2-y 1两式相除：x 0y 0⋅y 1+y 2x 1+x 2=9，即x 0y 0⋅n m =9，所以x 0y 0=5.F 1F 2PMNOxyQF 1F 2PA BO xyQP x 0,y 0 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1上一点，PF 1,PF 2交椭圆于A ,B 两点.结论1PF 1 F 1A +PF 2F 2B =2a 2+c 2 b 2=21+e 2 1-e 2.结论2k AB ⋅k OP =-1-e 221+e 2 .结论3Q 在以F 1,F 2为焦点的椭圆上，且k AB ⋅k PQ =-1-e 21+e 2 2.结论4△PAB 面积问题.证明：1y 0y 1=2cx 0+a 2+c 2-b 2，y 0y 2=-2cx 0+a 2+c 2-b 2，PF 1 F 1A +PF 2F 2B =-y 0y 1+y 0y 2=2a 2+c 2 b 2.2 设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2x 0y 1-x 1y 0=-c y 1-y 0 x 0y 1+x 1y 0=-a 2c y 1+y 0可得x 1=-2a 2c -a 2+c 2 x 02cx 0+a 2+c 2y 1=-b 2y 02cx 0+a 2+c 2 ，同理x 2=2a 2c -a 2+c 2 x 0-2cx 0+a 2+c 2y 2=-b 2y 0-2cx 0+a 2+c 2于是k AB =y 2-y 1x 2-x 1=-b 2y 0-2cx 0+a 2+c 2--b 2y 02cx 0+a 2+c 22a 2c -a 2+c 2 x 0-2cx 0+a 2+c 2--2a 2c -a 2+c 2 x 02cx 0+a 2+c 2=-b 2y 0⋅4cx 02a 2c -a 2+c 2 x 0 2cx 0+a 2+c 2 --2a 2c -a 2+c 2 x 0 -2cx 0+a 2+c 2=-4b 2cx 0y 04c a 2+c 2 a 2-x 02 =-4b 2cx 0y 04c a 2+c 2a 2-a 21-y 02b 2=-b 4x 0a 2a 2+c 2 y 0=-1-e 2 21+e 2 ⋅x 0y 0.证法二：不联立设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，MN 中点Q m ,n ，由点差法k OQ ⋅k MN =n m ⋅-19 =-15，所以n m =95x 0y 1-x 1y 0=-c y 1-y 0 ①x 0y 1+x 1y 0=-a 2c y 1+y 0②，x 0y 2-x 2y 0=c y 2-y 0③x 0y 2+x 2y 0=a 2c y 2+y 0④①+③：x 0y 1+y 2 -y 0x 1+x 2 =c y 2-y 1 ⑤②+④：x 0y 1+y 2 +y 0x 1+x 2 =a 2cy 2-y 1 ⑥⑥+⑤得：2x 0y 1+y 2 =a 2c +c y 2-y 1 ，⑥-⑤得：2y 0x 1+x 2 =a 2c-cy 2-y 1两式相除：y 0x 0⋅x 1+x 2y 1+y 2=b 2a 2+c 2，又y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1+y 2x 1+x 2=-b 2a2，所以y 0x 0⋅y 1-y 2x 1-x 2=-b 4a 2a 2+c 2 ，即k AB ⋅k OP =-1-e 2 21+e 2.3AF 2：x =x 1-cy 1y +c BF 1：x =x 2+c y 2y -c，可得y Q =2c x 2+c y 2-x 1-c y 1=2c x 2+c y 2-x 1-c y 1=-b 23a 2+c 2y 0x Q =12x 1-c y 1+x 2+c y 2y Q =-a 2+3c 23a 2+c2x 0于是点Q 在椭圆x 2a 3+3ac 23a 2+c 2 2+y 2b 33a 2+c 22=1上.k PQ =y Q -y 0x Q -x 0=-b 23a 2+c 2y 0-y0-a 2+3c 23a 2+c2x 0-x 0=a 2a 2+c 2⋅y 0x 0=11+e 2⋅y 0x 0k AB ⋅k PQ =11+e 2⋅y 0x 0⋅-1-e 2 21+e 2 ⋅x 0y 0=-1-e 21+e 22.4 记S 1=S △PAB ，S 2=S △PF 1F 2S 1S 2=12PA ⋅PB ⋅∠Psin 12PF 1⋅PF 2⋅∠P sin =y 0-y 1y 0⋅y 0-y 2y 0=1-y 1y 0 1-y 2y 0，由S 2=12⋅2c ⋅y 0=cy 0从而S 1=1-y 1y 0 1-y 2y 0cy 0，把y 0y 1=2cx 0+a 2+c 2-b 2，y 0y 2=-2cx 0+a 2+c 2-b 2代入,即可求函数S 1=f y 0 的最值，经验证在y 0=±b 时取得面积最大值4a 4bca 2+c 22.。
圆锥曲线点差法拓展的几个小结论,快速解题
点差法拓展的常考结论点差法拓展的结论有四个，但是推导的方法都是高度一致的。
如下结论1：如下图，直线l 为任意直线，与椭圆22221x y a b+=有两个交点A 、B ，M 为线段AB的中点，则有结论22OM ABb k k a=-推导：根据点差法，设()11,A x y 和()22,B x y ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭则2212121222121212OM ABy y y y y y k k x x x x x x +--==+-- 又因为2211221x y a b +=和2222221x y a b +=，二者做差可得22221212220x x y y a b--+= 整理得2221222212y y b x x a-=--，即22OM AB b k k a =- 结论2：如下图，直线l 过原点，交椭圆22221x y a b+=于A 、B 两点，C 为椭圆上任意一点，则有结论22CA CBb k k a=-推导：因为直线过原点，所以必有点A 和点B 关于原点对称，因为可设()11,A x y 和()11,B x y --，设()22,C x y则2221212122212121CA CBy y y y y y k k x x x x x x -+-==-+- 剩下的就跟结论1的推导一模一样的，如下又因为2211221x y a b +=和2222221x y a b +=，二者做差可得22221212220x x y y a b--+= 整理得2221222212y y b x x a-=--，即22CA CB b k k a =- 结论3：如下图，l 为任意直线，交双曲线22221x y a b-=于A 、B 两点，M 为AB 的中点，则有结论22OM ABb k k a=推导：与结论1的过程一样。
根据点差法，设()11,A x y 和()22,B x y ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭则2212121222121212OM ABy y y y y y k k x x x x x x +--==+-- 又因为2211221x y a b -=和2222221x y a b -=，二者做差可得22221212220x x y y a b---= 整理得2221222212y y b x x a-=-，即22OM AB b k k a = 结论4：如下图，直线l 过原点，交双曲线22221x y a b-=于A 、B 两点，点C 为双曲线上任意一点，则有结论22CA CBb k k a=推导：推导与结论2一样。
高中数学圆锥曲线点差法
点差法及其应用一、方法背景弦的中点问题是解析几何中的一类经典问题，除了联立方程组，利用韦达定理并借助设而不求的方法实现问题的求解外，还可以借助点差法进行求解.点差法是解析几何中一种非常经典的思想方法，是体现解析几何核心思想——设而不求的另一重要载体，在解题中占有重要地位，这种方法将直线与曲线的两个交点代入曲线方程，然后作差并进行因式分解运算，借助斜率与中点公式进行求解，这种方法尤其适用于解决圆锥曲线中涉及弦的中点问题通过研究可发现，点差法不仅可以解决弦的中点问题，对其它相关问题也能较为圆满的解决，如涉及圆锥曲线弦的垂直平方线问题、圆锥曲线直径的斜率问题、切线问题等，并且可以类比点差法的思想方法，得到点乘法，解决一些圆锥曲线中的面积问题 二、方法介绍 1.椭圆中的点差法（1）设点B A ,是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上两点，点),(00y x P 为弦AB 的中点，若直线AB ，OP 的斜率存在，则=⋅OP AB k k证明：设),(),,(2211y x B y x A ，则2212122121222222221221))(())((11b y y y y a x x x x b y a x b y a x +--=+-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+ 2221212121ab x x y y x x y y -=++⋅--⇒=⋅⇒OP AB k k同理可得：（2）设点B A ,是椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 上两点，点),(00y x P 为弦AB 的中点，若直线AB ，OP 的斜率存在，则=⋅OP AB k k 2.双曲线中的点差法（1）设点B A ,是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上两点，点),(00y x P 为弦AB 的中点，若直线AB ，OP 的斜率存在，则=⋅OP AB k k（2）设点B A ,是双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 上两点，点),(00y x P 为弦AB 的中点，若直线AB ，OP 的斜率存在，则=⋅OP AB k k 3.抛物线中的点差法（1）设点B A ,是抛物线px y 22=上两点，点),(00y x P 为弦AB 的中点，若直线AB 的斜率存在，则=AB k（2）设点B A ,是抛物线py x 22=上两点，点),(00y x P 为弦AB 的中点，若直线AB 的斜率存在，则=AB k 三．典例分析例1.（2014年江西卷理15）过点)1,1(M 作斜率为21-的直线，与椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x相交于B A ,两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于例2.（2013年全国Ⅰ卷理10）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,3(F ，过点F 的直线交E 于B A ,两点，若AB 的中点坐标为)1,1(-P ，则E 的方程为（ ）A.1364522=+y x B.1273622=+y x C.1182722=+y x D.191822=+y x例3.（2003年江苏卷文10理8）已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于N M ,两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（ ） A.14322=-y x B.1342=-x C.12522=-y x D.15222=-y x例4.（2014年浙江卷理6）设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =，则双曲线的离心率是例5.（2012年浙江卷理8）如图所示，21,F F 分别是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线B F 1与C 的两条渐近线分别交于Q P ,两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，若221MF F F =，则C 的离心率是（ ）A.332 B.26C.2D.3例6.已知椭圆13422=+y x 上存在两点关于直线m x y +=2对称，则实数m 的取值范围为例7.已知双曲线1322=-y x 上存在两点B A ,关于直线l ：4+=kx y 对称，则实数k 的取值范围为例8.（1992年全国卷理28）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x ，B A ,是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线l 与x 轴交于点)0,(0x P ，求证：ab a x a b a 22022-<<--例9.（2006年福建卷理20）已知椭圆1222=+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点 （1）求过点F O ,且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程（2）如图所示，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于B A ,两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 的横坐标的取值范围例10.（2010年天津卷文理21）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率23=e ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4（1）求椭圆的方程（2）设直线l 与椭圆相交于不同的两点B A ,，已知点A 的坐标为)0,(a -，),0(0y Q 在线段AB 的垂直平分线上，且4=⋅QB QA ，求0y 的值例11.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，离心率为21，A 为椭圆上一动点（异于左右顶点），21F AF ∆的面积的最大值为3 （1）求椭圆C 的方程（2）设过点1F 的直线l （l 的斜率存在且不为0）与椭圆C 相交于B A ,两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，试判断ABPF 1是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由注：设圆锥曲线Γ的离心率为e ，过其焦点F 且不与轴垂直的弦AB 的垂直平分线交焦点所在的轴于点P ，则=ABFP例12.（2011年江苏卷文理18）在平面直线坐标系xOy 中，N M ,是椭圆12422=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于A P ,两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC 并延长，交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k（1）当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值 （2）当2=k 时，求点P 到直线AB 的距离d （3）对任意0>k ，求证：PB PA ⊥例13.（2015年上海卷理21）已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点B A ,和D C ,，记得到的平行四边形ACBD 的面积为S（1）设),(),,(2211y x C y x A ，用C A ,的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明：12212y x y x S -=（2）设21,l l 的斜率之积为21-，求S 的值例14.（2013年山东卷文22）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22 （1）求椭圆C 的方程（2）B A ,为椭圆C 上满足AOB ∆的面积为46的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P ，设OE t OP =，求实数t 的值例15.（2011年山东卷理21）已知动直线l 与椭圆C ：12322=+y x 交于两不同点),(11y x P ，),(22y x Q ，且OPQ ∆的面积26=∆OPQ S ，其中O 为坐标原点 （1）证明：2221x x +和2221y y +均为定值（2）设线段PQ 的中点为M ，求PQ OM ⋅的最大值（3）椭圆C 上是否存在点G E D ,,，使得26===∆∆∆OEG ODG ODE S S S ？若存在，判断DEG ∆的形状；若不存在，请说明理由练习：例1.（2010年全国新课标卷理12）已知双曲线E 的中心为原点，)0,3(F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于B A ,两点，且AB 的中点为)15,12(--N ，则E 的方程为（ ） A.16322=-y x B.15422=-y x C.13622=-y x D.14522=-y x例2.（2006年北京卷文19）椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点为21,F F ，点P 在椭圆C 上，且211F F PF ⊥，341=PF ，3142=PF （1）求椭圆C 的方程（2）若直线l 过圆02422=-++y x y x 的圆心M ，交椭圆C 于B A ,两点，且B A ,关于点M 对称，求直线l 的方程例3.（2014年浙江卷理21）如图所示，设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限（1）已知直线l 的斜率为k ，用k b a ,,表示点P 的坐标（2）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -例4.（2015年陕西卷理20）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的半焦距为c ，原点O 到经过两点),0(),0,(b c 的直线的距离为c 21 （1）求椭圆E 的离心率（2）如图所示，AB 是圆M ：25)1()2(22=-++y x 的一条直径，若椭圆E 经过B A ,两点，求椭圆E 的方程例5.（2019年全国II 卷理21）已知),(),0,2(),0,2(y x M B A -为坐标系内任意一点，且满足直线MA 和MB 的斜率之积为21-，设M 的轨迹为曲线C （1）求C 的方程，并说明表示什么曲线（2）过坐标原点的直线交C 于Q P ,，点P 在第一象限，⊥PE x 轴，垂足为E ，连接QE 并延长交C 于点G（i ）证明：PQG ∆为直角三角形（ii ）求PQG ∆面积的最大值例6.（2012年湖北卷文理21）设A 是单位圆122=+y x 上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足0(>=m DA m DM ，且)1≠m ，当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C（1）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标（2）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于Q P ,两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H ，是否存在m ，使得对任意的0>k ，都有PH PQ ⊥若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由。
圆锥曲线专题解析5：点差法分析中点及斜率（附参考答案）
圆锥曲线专题解析5：点差法分析中点及斜率（附参考答案）点差法分析中点及斜率（圆锥曲线）Ø方法导读我们在解答圆锥曲线题目时,经常会碰到一些中点弦的问题,比如根据弦的斜率求中点坐标,根据中点坐标求弦的斜率,或者其它一些跟中点弦相关的计算和证明等等.按照常规思路,我们会联立直线和圆锥曲线方程,消去或,然后通过韦达定理来处理中点弦的问题,这样能得到我们所要求的结果,但计算量会比较大,一不小心就会算错,造成失分.今天来介绍下圆锥曲线中的点差法,专门针对中点弦的问题进行简化运算,快速得到答案.Ø高考真题【2018年高考Ⅲ卷理20】已知斜率为的直线与椭圆交于,两点.线段的中点为.(1)证明:;(2)设为的右焦点,为上一点,且.证明:,,成等差数列,并求该数列的公差.Ø解题策略【过程分析】我们来分析下第一问,第二问不在本专题研究范围之内,学生可自行总结.题目中出现了弦的中点坐标条件,证明的结论是弦的斜率范围.根据正常思路,先设出直线方程为,代入中点坐标可得,联立直线和椭圆,消去y得,然后将代入得到不等式,再结合中点的条件及的范围得到的范围,又或者先求出的表达式,然后结合的范围分析求解. 解题思路上不算太复杂,套路也是常用的处理方式,但计算量大,非常容易算错,费事费力,一不小心就会造成选择不对,努力白费的局面,所以这个时候选择一个好方法就显得尤为重要,点差法就是专门处理这类中点弦的问题的快捷方法,通过将点的坐标代入曲线方程,然后作差能快速得到斜率和中点的关系,从而大大简化运算,轻松得分.Ø解题过程(1)设,,则,,两式相减,并由得.由题设知,,,于是.①又数形结合可知,故;(2)由题意得,设,则,由(1)及题设得,.又点在上,所以,从而,. ∴. 同理,所以,故,即,,成等差数列.设该数列的公差为,则.②将代入①得.所以的方程为,代入的方程,并整理得.故,,代入②解得.所以该数列的公差为或.Ø解题分析从解析第一问中可以看出,我们用点差法来处理中点弦的问题是极为方便的,计算量小,思路也很简单.设出弦与曲线的交点坐标,,因为点在曲线上,故代入曲线方程可得,,然后作差,作差是点差法的精髓所在,作差之后我们可以得到,平方差公式展开得,然后根据两点间的斜率公式和中点坐标公式,代入就可以得到,表达式中中点坐标和弦的斜率关系一目了然,简明扼要,然后在根据的范围得到的范围. 所以点差法用在弦的中点和斜率关系的求解上绝对可以起到事半功倍的效果,没有了冗长的计算,学生学起来不但轻松了,而且学习兴趣也会大大提高,增强学习数学的自信心.Ø拓展推广点差法:设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为,,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点坐标和斜率有关的式子,我们称这种代点作差的方法为“点差法”.结论:结论1:斜率为的直线与椭圆交于,两点,中点为,则.结论2:斜率为的直线与双曲线交于,两点,中点为,则.结论3:斜率为的直线与抛物线交于,两点,中点为,则.若圆锥曲线的焦点在y轴上,结论如何,请同学们结合点差法自己动手推理试试.点差法应用题型:1.以定点为中点的弦所在的直线方程2.过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹3.圆锥曲线上两点关于某直线对称问题4.求与中点弦有关的圆锥曲线的方程或离心率等5.与中点弦有关的证明定值,求参数范围,存在性问题等等注意事项:利用点差法时,有时要验证求出的结果是否满足直线与曲线相交的要求,可用判别式分析.举例说明:已知双曲线的方程,问是否存在被点平分的弦,如果存在,求出弦所在的直线方程,如果不存在,请说明理由.按照常规的解法:设直线的方程为,与双曲线方程联立,由得,且,但是由“点差法”仍然可得到一条直线的斜率,显然不符合题意,由此可见“点差法”是有局限性的.事实上,(1)若中点在圆锥曲线(包括圆)内部,则满足条件的直线必定存在;(2)若中点在圆锥曲线(包括圆)上,则满足条件的直线必不存在;(3)若中点在圆锥曲线(除双曲线外)外部,则满足条件的直线必不存在.特别地,对于点在双曲线的外部时,满足时直线必定存在,否则一定不存在(当点在坐标轴上时属于特殊情况,应当特殊考虑). 拓展:定比点差法圆锥曲线中涉及“中点、中点弦”等问题可以考虑使用“点差法”. 有时问题中不出现“中点”,而是“定比分点”,这时可以考虑使用“定比点差法”. 定比点差法与点差法类似,都是根据某两点在圆锥曲线上,则这两点满足曲线方程,然后作差. 定比点差法代点后一个等式不变,另一个等式两边同乘以,再相减.设,在二次曲线上,则,两式作差得,即①,若,则,即②,将②代入①得③,然后根据条件进行相应分析即可.变式训练1已知直线与抛物线交于,两点,则线段中点坐标是__________.变式训练2已知双曲线,经过点能否作一条直线,使与双曲线交于、两点,且点是线段的中点.若存在这样的直线,求出它的方程,若不存在,请说明理由.变式训练3已知椭圆,(1)求斜率为的平行弦的中点轨迹方程;(2)过的直线的椭圆相交,求被椭圆截得的弦的中点轨迹方程;(3)求过点且被点平分的弦所在直线的方程. 变式训练4已知过点的直线与椭圆且相交于,两点,中点坐标为且(为坐标原点).(1)求直线的方程;(2)证明:为定值. 变式训练5 如图,在中,,,,椭圆以,为焦点且过点,点为坐标原点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若点满足,问是否存在不平行的直线与椭圆交于不同的两点,且,若存在,求出直线的斜率的取值范围,若不存在,说明理由. 答案变式训练1设中点坐标为,则①又由点差法知,即②由①②知:,故所求为.变式训练2见解析设存在被点平分的弦,且,,则,.∵点在曲线上,∴,, 两式相减,得,∴,故直线.由消去y,得,,方程无解,故不存在这样的直线. 变式训练3见解析(1)设这些平行弦的方程为,弦的中点为.联立直线方程和椭圆方程:,消去y得,因此,,∴,的横纵坐标是,,,消去得平行弦的中点轨迹方程为:,.(2)设弦的端点为,,弦的中点为.∴,∴,∵,因此,化简得.(包含在椭圆内部的部分) (3)由(2)可得弦所在直线的斜率为,因此所求直线方程是:,化简得:.变式训练4 见解析(1)设,,∴,①-②得,∵中点坐标为,∴.∴直线的方程为。
(完整版)圆锥曲线中点差法的应用(归纳)
圆锥曲线中点差法的应用一、知识点归纳：1、若椭圆的方程为，即焦点在轴上，若直线与椭圆相交，被椭22221(0)x y a b a b+=>>x l 圆所截得弦为，其中点设为，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之积为AB P 常数，即；22l PO b k k a=-A 若椭圆的方程为，即焦点在轴上，若直线与椭圆相交，被椭22221(0)y x a b a b+=>>y l 圆所截得弦为，其中点设为，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之积为AB P 常数，即；22l PO a k k b=-A 2、若双曲线的方程为，即焦点在轴上，若直线与椭圆相交，22221(0,0)x y a b a b-=>>x l 被椭圆所截得弦为，其中点设为，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之AB P 积为常数，即；22l PO b k k a=A 若双曲线的方程为，即焦点在轴上，若直线与椭圆相交，22221(0,0)y x a b a b-=>>y l 被椭圆所截得弦为，其中点设为，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之AB P 积为常数，即；22l PO a k k b=A 二、练习题1、已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F 的直线与相交于A ，B 两E (3,0)P E l E 点，且AB 的中点为,则的方程式为(12,15)N --E (A) (B) (C) (D) 22136x y -=22145x y -=22163x y -=22154x y -=2、已知椭圆：的右焦点为（3,0），过点的直线交于，E )0(12222>>=+b a by a x F F E A两点.若的中点坐标为（1，-1），则的方程为B A B E （A ） （B ） （C ） （D ）1364522=+y x 1273622=+y x 1182722=+y x 191822=+y x 3、设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。
高考专题——点差法在圆锥曲线中的应用
角的比较与运算教案第一章：角的定义与分类1.1 角的概念引入角的定义：由一点引出的两条射线所围成的图形叫做角。
强调角的顶点和两条边。
1.2 角的分类锐角：大于0°且小于90°的角直角：等于90°的角钝角：大于90°且小于180°的角平角：等于180°的角周角：等于360°的角第二章：角的测量2.1 量角器的使用介绍量角器的结构：中心点和两个可转动的刻度盘演示如何测量角的度数：将量角器的中心点对准角的顶点，将刻度盘对准角的一条边，读取另一条边的刻度。
2.2 角的度量单位度、分、秒：角度的度量单位，1度等于60分，1分等于60秒。
第三章：角的比较3.1 角的比较方法比较角的大小：通过观察角的度数或使用量角器进行测量。
强调锐角、直角、钝角的比较。
3.2 角的排序练习将给定的角按照大小进行排序。
第四章：角的运算4.1 角的加法介绍角的两边可以进行加法运算，强调结果仍为角的度数。
示例：30°+ 45°= 75°4.2 角的减法介绍角的两边可以进行减法运算，强调结果仍为角的度数。
示例：135°45°= 90°第五章：综合练习5.1 角的大小比较给出不同大小的角，练习比较它们的大小。
5.2 角的运算练习给出角度的加减运算题目，练习计算结果。
第六章：角的应用6.1 角的实际意义解释角在日常生活中的应用，如钟表、自行车把手、房屋设计等。
引导学生理解角的概念与实际生活的联系。
6.2 角的问题解决提供实际问题，要求学生运用角的知识解决问题。
示例：一个自行车的车把形成的角度是多少？第七章：邻补角的定义与运算7.1 邻补角的定义介绍邻补角的概念：两个角互为邻补角，当它们的度数之和为180°时。
强调邻补角的互补性质。
7.2 邻补角的运算演示如何计算邻补角的度数之和。
示例：若一个角的度数为50°，求其邻补角的度数。
浅谈圆锥曲线中“点差法”的应用缺陷及解决办法
浅谈圆锥曲线中“点差法”的应用缺陷及解决办法
张波
【期刊名称】《成功：教育》
【年(卷),期】2017(000)013
【摘要】点差法：又叫带点相减法，是解决圆锥曲线中的点弦问题非常重要、也非常简便的方法之一。
利用这个设而不求的方法能快速、准确地得到弦的中点坐标与弦的斜率之间的关系式。
“点差法”常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线、定值问题。
针对中点弦问题，“点差法”的应用能大大减少我们解题的计算量，但是在某些情况下，学生在运用“点差法”的时候会“莫名其妙”的出现错误，很多学生根本意识不到自己错误的原因，让人防不胜防。
本文就此情况进行粗浅的分析和讨论，得出解决办法，以飨读者。
【总页数】1页(P64-64)
【作者】张波
【作者单位】[1]富顺第二中学校，四川自贡643000
【正文语种】中文
【中图分类】A
【相关文献】
1.点差法在圆锥曲线中的应用和局限性
2.点差法在圆锥曲线中的应用
3.浅谈“点差法”在求圆锥曲线范围问题中的应用
4.点差法在圆锥曲线中的应用探究
5.圆锥曲线第三定义及点差法的应用
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用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题
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用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题
作者：赖宗虎
来源：《中学课程辅导·教学研究》2013年第28期
与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式求解，但运算量较大。
若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A（x1，y1）、B（x2，y2），将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
下面就如何用点差法计算举几个例子供大家参考。
一、求以定点为中点的弦所在直线的方程
这说明直线AB与双曲线不相交，故被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线l。
策略：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。
由此题可看到中点弦问题中判断点的M位置非常重要。
（1）若中点M在圆锥曲线内，则被点M平分的弦一般存在；（2）若中点M在圆锥曲线外，则被点M平分的弦可能不存在。
二、求弦的中点坐标和中点轨迹方程
三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
四、求圆锥曲线上两点关于某直线对称的问题
五、注意的问题
利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题、对称性问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。
但不能忽略弦中点的轨迹应在曲线内的条件。
（作者单位：四川省南充市白塔中学 637100）。
圆锥曲线点差法应用个性化教案
圆锥曲线点差法应用个性化教案第一章：圆锥曲线点差法概述1.1 圆锥曲线点差法的定义1.2 圆锥曲线点差法的意义1.3 圆锥曲线点差法与传统解法对比第二章：圆锥曲线点差法的基本原理2.1 圆锥曲线点差法的数学原理2.2 圆锥曲线点差法的适用范围2.3 圆锥曲线点差法的局限性第三章：圆锥曲线点差法的应用实例3.1 求解圆锥曲线的方程3.2 求解圆锥曲线与直线的交点3.3 求解圆锥曲线的切线和法线第四章：圆锥曲线点差法在高考题中的应用4.1 2010年高考题解析4.2 2024年高考题解析4.3 2024年高考题解析第五章：圆锥曲线点差法的拓展与延伸5.1 圆锥曲线点差法在实际问题中的应用5.2 圆锥曲线点差法与其他数学方法的结合5.3 圆锥曲线点差法在数学竞赛中的应用第六章：圆锥曲线点差法在求解轨迹问题中的应用6.1 利用点差法求解动点的轨迹方程6.2 利用点差法判断动点的轨迹形状6.3 实际问题中的轨迹问题求解案例第七章：圆锥曲线点差法在求解参数问题中的应用7.1 利用点差法求解圆锥曲线中的参数问题7.2 利用点差法求解动点在圆锥曲线上的参数问题7.3 参数问题在实际应用中的案例分析第八章：圆锥曲线点差法在求解交点问题中的应用8.1 利用点差法求解圆锥曲线与直线的交点8.2 利用点差法求解圆锥曲线与圆的交点8.3 交点问题在实际应用中的案例分析第九章：圆锥曲线点差法在求解切线和法线问题中的应用9.1 利用点差法求解圆锥曲线的切线9.2 利用点差法求解圆锥曲线的法线9.3 切线和法线问题在实际应用中的案例分析第十章：圆锥曲线点差法在求解最值问题中的应用10.1 利用点差法求解圆锥曲线上的最值问题10.2 利用点差法求解圆锥曲线与直线、圆的最值问题10.3 最值问题在实际应用中的案例分析第十一章：圆锥曲线点差法在解决几何问题中的应用11.1 利用点差法解决圆锥曲线与几何图形的位置关系11.2 利用点差法求解圆锥曲线中的角度和距离问题11.3 几何问题在实际应用中的案例分析第十二章：圆锥曲线点差法在解决函数问题中的应用12.1 利用点差法求解圆锥曲线与函数的关系12.2 利用点差法解决圆锥曲线中的函数最值问题12.3 函数问题在实际应用中的案例分析第十三章：圆锥曲线点差法在解决物理问题中的应用13.1 利用点差法解决圆锥曲线与物理运动的关系13.2 利用点差法解决物理中的力学和光学问题13.3 物理问题在实际应用中的案例分析第十四章：圆锥曲线点差法在解决实际生活中的问题14.1 利用点差法解决工程和测量问题14.2 利用点差法解决地理和天文问题14.3 实际生活问题在案例分析中的应用第十五章：圆锥曲线点差法的教学实践与反思15.1 圆锥曲线点差法教学设计与实践15.2 圆锥曲线点差法教学效果评估与反思15.3 圆锥曲线点差法教学的改进与优化建议重点和难点解析本文主要介绍了圆锥曲线点差法的应用，共分为十五个章节。
圆锥曲线专题点差法
点差法的应用技巧
定义：点差法是一种通过将两点坐标代入方程，然后相减来消元，简化计算的方法
应用场景：适用于求圆锥曲线中点坐标的问题
步骤：设两点坐标，代入圆锥曲线方程并相减，整理得到中点坐标的表达式
注意事项：需确保两点确实在圆锥曲线上，否则计算结果可能不准确
设两个点$P_1(x_1,y_1)$和 $P_2(x_2,y_2)$在圆锥曲线上
将两点代入圆锥曲线方程，得到两个等 式
将两个等式相减，消除$x_1, y_1, x_2, y_2$中的任意三个
整理得到一个关于$x_1, y_1, x_2, y_2$的二次方程
利用二次方程的性质，求出所求点的坐 标
点差法在圆锥曲线 中的应用
适用范围：点差法适 用于求两条平行直线 间的距离
解题步骤：利用点差法 求出两条平行直线间的 中点坐标，然后利用距 离公式求出距离
注意事项：在应用点差 法求距离时，需要注意 平行直线的斜率相等， 并且中点坐标的求解要 准确
实例解析：通过具体实 例解析点差法在求距离 中的应用，并给出相应 的解题步骤和答案
圆锥曲线专题点差法
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点差法的基本原理
点差法在圆锥曲线 中的应用
点差法的应用技巧
点差法的注意事项
添加章节标题
点差法的基本原理
点差法是一种通 过将两个相交曲 线的交点坐标代 入方程，然后相 减来消去变量， 简化计算的方法。
点差法适用于解 决与中点、斜率 等有关的圆锥曲 线问题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ尤其在 处理弦的斜率和 中点问题时非常 方便。
点差法的核心思想 是利用点差法公式 将两个交点的坐标 代入方程后相减， 得到一个关于斜率 的等式，从而解决 问题。
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用点差法解圆锥曲线的中点弦问题
与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
(特点：“设而不求”)
一、 以定点为中点的弦所在直线的方程
例1、过椭圆14
162
2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
例2、已知双曲线122
2
=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。
若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
例3、已知椭圆125
752
2=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
例4、已知椭圆125
752
2=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
三、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为
21，求椭圆的方程。
四、 圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
例6、已知椭圆13
42
2=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
五、 注意的问题
（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。
利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。
【答案】
例1、解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B
)1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y
又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642
222=+y x
两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x
于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴2
1244)(421212121-=⨯-=++-=--y y x x x x y y 即21-
=AB k ，故所求直线的方程为)2(211--=-x y ，即042=-+y x 。
例2、策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满
足题设的条件。
本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B
则221=+x x ，221=+y y
122121=-y x ，122
222=-y x 两式相减，得
0))((21))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22
121=--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由⎪⎩
⎪⎨⎧=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ 08324)4(2<-=⨯⨯--=∆
这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。
评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。
由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。
（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2）若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。
例3、解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则2
10=x
12021==+x x x ， 0212y y y =+
又 125752121=+x y ，125
752222=+x y 两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y 即0)(3)(221210=-+-x x y y y ∴0212123y x x y y -=-- 32
121=--=x x y y k ∴ 3230=-y ，即210-=y ∴点M 的坐标为)2
1,21(-。
例4、解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(y x M ，则
x x x 221=+， y y y 221=+
又 125752121=+x y ，125
752222=+x y 两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y 即0)(3)(2121=-+-x x x y y y ，即y x x x y y 32121-=-- 32
121=--=x x y y k ∴33=-y x ，即0=+y x 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+125
75022x y y x ，得)235,235(-P )235,235(-Q 点M 在椭圆内
∴它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为)2
35235(0<<-=+x y x
例5、解：设椭圆的方程为122
22=+b
x a y ，则5022=-b a ┅┅① 设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则 210=x ，2
12300-=-=x y ∴12021==+x x x ，12021-==+y y y 又1221221
=+b x a y ，1222222
=+b
x a y 两式相减得0))(())((2121221212=-++-+x x x x a y y y y b 即0)()(212212=-+--x x a y y b
∴ 22
2121b
a x x y y =-- ∴ 322=
b a ┅┅② 联立①②解得752=a ，252
=b ∴所求椭圆的方程是125
752
2=+x y
例6、解：设),(111y x P ，),(222y x P 为椭圆上关于直线m x y +=4的对称两点，),(y x P 为
弦21P P 的中点，则12432121=+y x ，12432222=+y x 两式相减得，0)(4)(322212221=-+-y y x x 即0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x x x x 221=+，y y y 221=+，412121-=--x x y y ∴x y 3= 这就是弦21P P 中点P 轨迹方程。
它与直线m x y +=4的交点必须在椭圆内
联立⎩⎨⎧+==m x y x y 43，得⎩⎨⎧-=-=m
y m x 3 则必须满足22433x y -<， 即22433)3(m m -<，解得1313213132<<-m。