2019高中数学 第1章 点、直线、面的位置关系5 线面平行的综合运用学案 苏教版必修2
2019-2020年高中数学第1章立体几何初步第10课时直线与平面的位置关系2教学案无答案苏教版必修2
2019-2020年高中数学第1章立体几何初步第10课时直线与平面的位置关
系2教学案无答案苏教版必修2
一、学习目标
1. 初步掌握并能应用直线和平面平行的性质定理；
2. 能应用直线和平面平行的判定定理和性质定理；
3. 体会类比思想在数学中的应用.
重点：直线和平面平行的性质定理.
难点：直线和平面平行的判定定理和性质定理的综合应用.
二、数学活动
1.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线是否与这个平面内的任意一条直线都平行？在什么条件下平行呢？
2．已知是异面直线，下列说法中正确的是 .(填序号)
①过不在上的任意一点,可作一个平面与都平行;
②过不在上的任意一点,可作一条直线与都平行;
③过不在上的任意一点,可作一条直线与都相交;
④过有且仅有一个平面与平行.
三、数学建构
直线和平面平行的性质定理
四、数学应用
例1 一个长方体木块如图所示，要经过平面内一点和棱将木块锯开，应该怎样画线？为什么?
例2 四棱锥的底面是平行四边形,是的中点,过作平面,设平面与分别交于点.
求证:∥.
1
A
C
例3 求证：如果三个平面两两相交于三条直线，并且其中两条直线平行，那么第三条直线也和它们平行.
思考:如果三个平面两两相交于三条直线，并且其中两条直线相交呢?
五、巩固与小结
反馈：《必修二》P35 练习T2、T6 小结：。
2019_2020学年高中数学第1章立体几何初步1.2.3直线与平面的位置关系(第2课时)直线与平面垂直讲义苏教版
第2课时 直线与平面垂直1．直线与平面垂直的定义如果一条直线a 与一个平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线a 与平面α互相垂直，符号表示：a ⊥α．直线a 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a 的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．图形表示：2．直线与平面垂直的判定定理(1)距离①点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离． ②直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离．(2)直线与平面所成的角平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．特别地：如果直线和平面垂直，那么就说这条直线与平面所成的角是直角；如果直线与平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角．1.思考辨析(1)若直线l 与平面α内无数条直线垂直，则l ⊥α.( )(2)若直线l 垂直于平面α，则l 与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．( ) (3)若a ∥b ，aα，l ⊥α，则l ⊥b .( ) (4)若l ⊥平面ABCD ，则l ⊥BC .( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．下列条件中，能判定直线l ⊥平面α的是( ) A ．l 与平面α内的两条直线垂直 B ．l 与平面α内的无数条直线垂直 C ．l 与平面α内的某一条直线垂直 D ．l 与平面α内的任意一条直线垂直D [由直线与平面垂直的定义及判定定理知D 正确．]3．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝1，则点C 到平面B 1BDD 1的距离为________，AB 到平面A 1B 1CD 的距离为________．22 22[连结AC ，BD ，则AC ⊥BD ，又BB 1⊥AC ，故AC ⊥平面B 1BDD 1，所以点C 到平面B 1BDD 1的距离为12AC ＝22，AB 到平面A 1B 1CD 距离等于A 到该平面的距离，等于22.] 4．如图所示，三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝AB ，则直线PB 与平面ABC 所成的角等于________．45°[∵PA⊥平面ABC，∴∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角，在Rt△PAB中，PA＝AB，∴∠PBA＝45°.]一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.思路探究：只要证AE垂直于平面PBC内两相交直线即可，已知AE⊥PC，再证AE⊥BC，即转为证BC垂直于平面PAC即可．[证明]∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又∵AE平面PAC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.1.用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法．2.线线垂直与线面垂直的转化关系线线垂直线面垂直1.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.[证明]∵E，F分别是棱AB，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC.∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO，EF⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，EF平面ABCD，∴EF⊥BB1.又BO∩BB1＝B，∴EF⊥平面BB1O.11111AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.思路探究：利用线面垂直的性质定理证明EF，BD1垂直于平面AB1C 可得结论．[证明] 如图所示，连结AB1，B1C，BD，B1D1，∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.空间中证明两条直线平行的方法(1)利用线线平行定义证两线无公共点；(2)若a∥b，b∥c，则a∥c(公理4)；(3)利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行；(4)若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b (线面垂直的性质定理)．2.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中， M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC .求证：MN ∥AD 1.[证明] ∵在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，四边形ADD 1A 1为正方形， ∴A 1D ⊥AD 1.又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，AD 1平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1. ∵A 1D ∩CD ＝D ，A 1D 平面A 1DC ，CD平面A 1DC ，∴AD 1⊥平面A 1DC . 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1.1．如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1.点B 与D 1到平面A 1C 1CA 的距离分别是多少 ？BC 1到平面ADD 1A 1的距离是多少？[提示] 由题意知BD ＝B 1D 1＝22，B ，D 1到平面AC 1的距离分别为BD 2和B 1D 12，都为2；BC 1到平面AD 1的距离等于AB 的长，为2.2．如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，(1)直线BD 1与平面AC 及平面A 1C 1所成的角相等吗？ (2)A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角是多少度？[提示] (1)因为平面AC 与平面A 1C 1平行，所以BD 1与两平面所成的角相等．(2)A 1B 与平面A 1C 所成的角为30°，连结BC 1交B 1C 于点O ，连结A 1O .设正方体的棱长为a ，因为A 1B 1⊥B 1C 1，A 1B 1⊥B 1B ， 所以A 1B 1⊥平面BCC 1B 1， 所以A 1B 1⊥BC 1.又因为BC 1⊥B 1C ，A 1B 1∩B 1C ＝B 1， 所以BC 1⊥平面A 1B 1CD .所以A 1O 为斜线A 1B 在平面A 1B 1CD 内的射影，即∠BA 1O 为A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角． 在Rt △A 1BO 中，A 1B ＝2a ，BO ＝22a ， 所以BO ＝12A 1B ，∠BA 1O ＝30°.因此，直线A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角为30°.【例3】 如图所示，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝CC 1，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1的中点．(1)求证：MN ⊥平面A 1BC ；(2)求直线BC 1与平面A 1BC 所成的角的大小．思路探究：(1)证明MN ∥AC 1.(2)C 1点在平面A 1BC 上的射影为A 1C 中点．[解] (1)证明：如图所示，由已知BC ⊥AC ，BC ⊥CC 1，AC ∩CC 1＝C ，得BC ⊥平面ACC 1A 1. 连结AC 1，则BC ⊥AC 1.由已知，可知侧面ACC 1A 1是正方形，所以A 1C ⊥AC 1. 又BC ∩A 1C ＝C ， 所以AC 1⊥平面A 1BC .因为侧面ABB 1A 1是正方形，M 是A 1B 的中点，连结AB 1，则点M 是AB 1的中点． 又点N 是B 1C 1的中点，则MN 是△AB 1C 1的中位线， 所以MN ∥AC 1.故MN ⊥平面A 1BC .(2)因为AC 1⊥平面A 1BC ，设AC 1与A 1C 相交于点D ，连结BD ， 则∠C 1BD 为直线BC 1与平面A 1BC 所成的角． 设AC ＝BC ＝CC 1＝a ，则C1D＝22a，BC1＝2a.在Rt△BDC1中，sin∠C1BD＝C1DBC1＝12，所以∠C1BD＝30°，故直线BC1与平面A1BC所成的角为30°.求直线与平面所成角的步骤：(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连结垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．3．如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，E，F分别为CC1，DD1的中点．(1)求证：A1F⊥平面BEF；(2)求直线A1B与平面BEF所成的角的正弦值．[解](1)证明：连结AF.∵E，F分别为CC1，DD1的中点，∴EF∥AB且EF＝AB，∴四边形ABEF为平行四边形．又在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，A1F平面AA1D1D，∴AB⊥A1F，∴EF⊥A1F.由已知，得AF＝2，A1F＝2，AA1＝2，∴A1F2＋AF2＝AA21，∴AF⊥A1F.又AF∩EF＝F，∴A1F⊥平面ABEF，即A1F⊥平面BEF.(2)∵A1F⊥平面BEF.∴A1B在平面BEF上的射影为BF，∴∠A1BF为直线A1B与平面BEF所成的角．由已知，得A1F＝2，A1B＝5，∴sin∠A1BF＝105，即A1B与平面BEF所成角的正弦值为105.1．本节课的重点是理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性；掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题．难点是了解直线和平面所成的角的含义，并知道其求法．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)证明线面垂直的方法．(2)求斜线与平面所成角的方法步骤．3．本节课的易错点是用线面垂直的判定定理时漏掉两条直线相交这一条件．求线面角时不注意出现的线面垂直条件．1．直线l⊥平面α，直线mα，则l与m不可能( )A．平行B．相交C．异面D．垂直[答案] A2．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是________．垂直[∵l⊥AC，l⊥BC，且AC∩BC＝C，∴l⊥平面ABC，又∵AB平面ABC，∴l⊥AB.]3．已知平面α外两点A，B到平面α的距离分别是2和4，则A，B的中点P到平面α的距离是______．1或3[A，B在α同一侧时，P到α的距离为3；A，B在α异侧时，P到α的距离为1.]4.(2019·全国卷Ⅰ)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．(1)证明：MN∥平面C 1DE ； (2)求点C 到平面C 1DE 的距离．[解] (1)连结B 1C ，M E ，因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以M E ∥B 1C ，且M E ＝12B 1C ，又因为N 为A 1D 的中点，所以N D ＝12A 1D .由题设知A 1B 1DC ，可得B 1C A 1D ，故M E N D ，因此四边形MN DE 为平行四边形，MN∥ED .又MN ⊄平面C 1DE ，所以MN∥平面C 1DE .(2)过C 作C 1E 的垂线，垂足为H .由已知可得DE ⊥BC ，DE ⊥C 1C ，所以DE ⊥平面C 1CE ，故DE ⊥CH .从而CH ⊥平面C 1DE ，故CH 的长即为C 到平面C 1DE 的距离． 由已知可得CE ＝1，C 1C ＝4，所以C 1E ＝17，故CH ＝41717.从而点C 到平面C 1DE 的距离为41717.。
2019高中数学 第1章 点、直线、面的位置关系4 直线与平面平行的性质习题 苏教版必修2
直线与平面平行的性质（答题时间：40分钟）*1. 已知不重合的直线a、b和平面α，①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α。
上面命题中正确的是________（填序号）。
*2. 正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上。
若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________。
*3. 如图所示，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N是AD的中点，若MN∥平面BDC，则AM∶MB＝________。
**4. 空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是________。
**5. 设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α。
以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个判断，写出你认为正确的一个判断：________（用序号表示）。
**6.（宁德高一检测）空间四边形ABCD中，对角线AC＝BD＝4，E是AB中点，过E与AC、BD都平行的截面EFGH分别与BC、CD、DA交于F、G、H，则四边形EFGH的周长为________。
**7. 如图，棱柱ABC—A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值。
**8. 如图所示，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α。
求证：CD∥EF。
***9. 如图，直线CD、AB分别平行于平面EFGH，E、F、G、H分别在AC、AD、BD、BC上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB。
（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）点E在AC上的什么位置时，四边形EFGH的面积最大？1. ④解析：①若a∥α，b⊂α，则a，b平行或异面；②若a∥α，b∥α，则a，b平行、相交、异面都有可能；③若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α。
2019高中数学 第1章 点、直线、面的位置关系9 面面平行的判定习题 苏教版必修2
面面平行的判定（答题时间：40分钟）*1.（郑州高一检测）正方体的六个面中互相平行的平面有_____________对。
*2. 下列说法中正确的是_____________（填写序号即可）。
①如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行②如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行③如果一个平面内的任何直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行④如果两个平面平行于同一直线，则这两个平面平行**3. 在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是_____________（填写序号即可）。
①平面E1FG1与平面EGH1；②平面FHG1与平面F1H1G③平面F1H1H与平面FHE1；④平面E1HG1与平面EH1G*4.（威海高一检测）平面α与β平行的条件可能是_____________（填写序号即可）。
①α内有无穷多条直线与β平行；②直线a∥α，a∥β③直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α；④α内的任何直线都与β平行**5. 平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为_____________。
*6.（咸阳高一检测）已知直线a，平面α、β，且a∥α，a∥β，则平面α与β的位置关系是________。
**7. 如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面BDC1。
**8. 已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，求证：平面DEF∥平面SAB。
***9. 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q 是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?1. 3 解析：如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，故六个面中互相平行的平面有3对。
2019高中数学 第1章 点、直线、面的位置关系3 直线与平面平行的判定习题 苏教版必修2
直线与平面平行的判定（答题时间：40分钟）*1. 若直线a不平行于平面α，且a α，则下列结论成立的是（）A. α内的所有直线与a异面B. α内的直线与a都相交C. α内存在唯一的直线与a平行D. α内不存在与a平行的直线*2. 长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为BB1的中点，与EF平行的长方体的面有________个。
**3. （天津二模）如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系是________。
**4.（泰州检测）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为1的中点，则1与过点A、C、E的平面的位置关系是________。
**5. 如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱C1C、C1D1、D1D、DC的中点，点M在四边形EFGH 及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1，其中N是BC的中点。
（填上一个正确的条件即可，不必考虑全部可能的情况）*6. 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，与BC平行的平面是________；与BC1平行的平面是________；与平面A1C1和平面A1B都平行的棱是________。
**7. 空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。
求证：（1）EH∥平面BCD；（2）BD∥平面EFGH。
平面BCE。
F，使得DF∥平面ABC？若存在指出F的位置，不存在说明理由。
1. D 解析：如图，若直线a 不平行于平面α，且a α，则a 与平面α相交。
例如，直线A′B 与平面ABCD 相交，直线AB 、CD 在平面ABCD 内，直线AB 与直线A′B 相交，直线CD 与直线A′B 异面，所以A 、B 都不正确；平面ABCD 内不存在与a 平行的直线，所以应选D 。
高中数学第一章立体几何初步1.2点线面之间的位置关系素材苏教版必修2
点、线、面之间的位置关系知识点一：空间中点、直线、平面之间的位置关系 （1）三个公理平面含义：平面是无限延展的平面的画法及表示：①平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）②平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
三个公理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈αB ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据（2）空间中直线与直线之间的位置关系①空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
② 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
③ 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；L A · α C · B· A · α P · α L β D C B A α 共面直线 =>a ∥c2④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
1.5.2 点到直线的距离(课件)高二数学(苏教版2019选择性必修第一册)
y
P0(x0，y0)
直线 l 的方程
直线P0Q的方程 交点
Q o
x
点P0的坐标
点Q的坐标
两点间距离公式
l 点P0、Q之间的距离|P0Q |（ P0到l的距离）
探究二：
求出点R的坐标
过点P0分别作x轴，y轴的 平行线交直线l与R，S 求出|P0R|
求出点S的坐标 求出|P0S|
R oQ
P0(x0，y0)
＝
，
k2＋1
k2＋1
k＋b＝2， k＋b＝2，
化简得
或
k＝－4
3k＋b＋1＝0，
k＝－4， 所以
b＝6
或kb＝＝－27. 32，
所以所求直线 l 的方程为
2.点(a,2)(a>0)到直线 l：x－y＋3＝0 的距离为 1，则 a 等于( ) A. 2 B．2－ 2 C. 2－1 D. 2＋1
答案 C
此时原点O(0,0)到直线l的距离为d 2k 3 2 k2 1
所以(2k 3)2 4(k 2 1),k 5 12
此时l的方程为5x 12 y 26 0
综上，所求直线方程为 x 2或5x 12 y 26 0
例4变式：求过点 M (1，2)，且与点A(2,3), B(4,5)距离相等的直线 l的方程
此时l的方程为 x 3y 5 0
综上所述，直线 l的方程为x 1或x 3y 5 0
例4变式：求过点 M (1，2)，且与点A(2,3), B(4,5)距离相等的直线 l的方程
B
另解：由题意得l // AB或l过AB的中点
y
当l // AB时，则AB的斜率等于直线l的斜率
A
所以l的斜率为 5 - 3 - 1 -4-2 3
2020高中数学 第1章 点、直线、面的位置关系10 面面平行的性质学案 苏教版必修2
面面平行的性质知识点课标要求题型 说明两平面平行的性质理解并掌握平面与平面平行的性质定理选择题 填空题 解答题注意面面、线面、线线这些几何关系的相互转化，领会立体几何图形间关系的转化思想二、重难点提示重点：平面与平面平行的性质定理及其应用。
难点：平面与平面平行的性质定理的理解及应用。
考点一：两平面平行的性质1. 两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面。
α∥β，a α⊂⇒a ∥β。
2. 夹在两个平行平面间的平行线段相等。
α∥β，,A C B D αβ∈∈、、，且AB ∥CD ⇒AB CD =。
3. 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行。
A β∉⇒有且只有一个平面α，使得A α∈且α∥β。
4. 性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行。
若α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，则a ∥b 。
5. 两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例。
α∥β∥γ，直线a 、b 与α、β、γ分别交于A C EB D F 、、、、、AC CEBD DF⇒=。
考点二：两平行平面间的距离1. 公垂线：与两个平行平面都垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂线段。
2. 两个平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段都相等，公垂线段的长度就叫做两个平行平面间的距离。
例题1 （利用平面与平面平行的性质证明）已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条异面直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F 。
求证：AB DEBC EF=。
思路分析：（1）证明线段成比例问题，常用什么方法？（2）如何寻求线线平行？ 答案：如图，连接DC ，设DC 与平面β相交于点G ，则平面ACD 与平面α、β分别相交于直线AD 、BG ，平面DCF 与平面β、γ分别相交于直线GE 、CF ，因为α∥β，β∥γ，所以BG ∥AD ，GE ∥CF ，于是在△ADC 内有AB BC ＝DG GC ， 在△DCF 内有DG GC ＝DEEF，∴AB DE BC EF=。
【必备】最新2020高中数学 第1章 点、直线、面的位置关系1 平面的基本性质及推论学案 苏教版必修2
平面的基本性质及推论二、重难点提示重点：平面的概念及其表示，平面的基本性质——三大公理及其推论，注意它们的条件、结论、作用，图形、符号、文字语言的相互转化。
难点：平面的基本性质——三大公理及其推论，图形、符号、文字语言的相互转化。
考点一：平面的概念及表示 1. 平面的概念平面是从现实世界中抽象出来的几何概念，它没有厚薄，是无限延展的。
2. 平面的表示 （1）图形表示平面通常用平行四边形来表示。
当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图。
【要点诠释】也可以根据需要用其他平面图形表示平面，例如三角形、圆、矩形等。
（2）字母表示平面通常用希腊字母α、β、γ…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面α、平面AC 等。
3. 平面的画法一般用平行四边形表示平面，当平面水平放置时，一边画成水平线，另一边与此边成45︒，且横边画成邻边的两倍；当平面竖直放置时，一边画成竖直，另一边与此边成45︒。
如图画相交平面时的画法是先定位，后交线，邻边对边依次添，挡住部分成虚线。
如下图=BC B⊂平面AC⊄平面ACβ=a【随堂练习】不共面的四点可以确定________个平面。
思路分析：四点不共面―→任意三点不共线―→不共线三点确定一平面答案：设四点构成的集合为{A ，B ，C ，D }，当A 、B 、C 、D 四点不共面时，经过该四点的平面是不存在的，但（A ，B ，C ），（B ，C ，D ），（C ，D ，A ），（A ，B ，D ）各可以确定一个平面，所以空间不共面的四点可以确定四个平面。
技巧点拨：公理2是判断或确定平面的依据，对涉及这方面的应用，务必分清它们的条件，立足不共线的三点可以确定一个平面。
例题1 （三种语言的转换）用符号语言表示下列语句，并画出图形。
（1）三个平面α、β、γ相交于一点P ，且平面α与平面β交于PA ，平面α与平面γ交于PB ，平面β与平面γ交于PC ；（2）平面ABD 与平面BDC 相交于BD ，平面ABC 与平面ADC 交于AC 。
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线面平行的综合运用
一、考点突破
知识点 课标要求 题型 说明
线面平行的综合
运用
掌握直线与平面的判定与性质定理，并会灵活进行。 选择题 填空题 解答题 判定定理与性质定理常常综合使
用，注意牢记定理得
适用条件，灵活进行
知识的相互转化。
二、重难点提示
重点：掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理。
难点：直线与平面平行的判定定理和性质定理的相互转化。
考点：直线与平面平行的判定定理与性质定理
1. 直线与平面平行的判定与性质
判定
性质
定义 定理
图形
条件 a∩α＝∅ a⊂α，b⊄α，a∥b a∥α
a∥α，a
⊂β，
α∩β＝b
结论 a∥α b∥α a∩α＝∅ a∥b
【随堂练习】下列四个命题中不正确的是______。（填序号）
①一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面平行；
②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行；
③过平面外一点和这个平面平行的直线有且只有一条；
④平行于同一平面的两条直线互相平行。
答案：一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面（但不包括这两
平行线确定的平面）平行，所以命题①不正确；命题②显然不正确；过平面外一点和这个平
面平行的直线有无数多条，这无数多条直线形成了与这个平面平行的一个平面，所以命题③
不正确；命题④显然不正确。故应填①②③④。
思路分析：根据直线与平面平行的判定定理和性质定理判断。
技巧点拨：牢记直线与平面平行的判定定理和性质定理的适用条件。
例题1 （直线与平面平行的判定定理与性质定理在立体证明中的应用）
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如图，平行四边形EFGH的顶点分别在空间四边形ABCD各边上，求证：BD∥平面EFGH。
思路分析：
答案：∵EH∥FG，EH⊄平面BCD，FG⊂平面BCD，
∴EH∥平面BCD。
又∵EH⊂平面ABD，平面BCD∩平面ABD＝BD，
∴EH∥BD。
又∵EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，
∴BD∥平面EFGH。
技巧点拨：1. 线线平行与线面平行的相互转化：
2. 要证线线平行，需证线面平行，而线面平行又要由线线平行来证，故线线平行与线面
平行的相互转化，即线面平行的判定定理与性质定理的灵活应用是解决这类问题的关键。
例题2 （利用直线与平面平行的判定定理与性质定理找出两平面的交线）
如图所示的直三棱柱ABC－A1B1C1中，如何作出过点A1、B、C1的平面与平面ABC的交线？
并说明理由。
思路分析：利用直线和平面的判定定理和性质定理解决。
答案：在△ABC中，过B作直线l使l∥AC，
理由如下：三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC，AC⊂平面ABC，A1C1⊄平面ABC，
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∴A1C1∥平面ABC。
又l∥AC，A1C1∥AC，
∴l∥A1C1。
即过B且满足与AC平行的直线l即为所求。
技巧点拨：利用直线和平面的判定定理和性质定理寻找两平面的公共棱是一种常见方
法，除此利用平面基本定理寻找两平面的公共棱也是一种常见方法。
巧用线面平行的性质定理和判定定理的互化关系解题
【满分训练】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点P∈BB1（P不与B、B1重合）。PA∩A1B＝
M，PC∩BC1＝N
。
求证：MN∥平面ABCD。
思路分析：连接AC、A1C1AC∥A1C1 AC∥平面
A1BC1AC∥MN MN∥平面ABCD。
答案：如图，连接AC、A1C1，
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥CC1，且AA1＝CC1，
∴四边形ACC1A1是平行四边形。
∴AC∥A1C1
∵AC⊄平面A1BC1，
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A1C1⊂平面A1BC
1
，
∴AC∥平面A1BC1。
∵AC⊂平面PAC，平面A1BC1∩平面PAC＝MN，
∴AC∥MN。
∵MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD。
技巧点拨：1. 由线线平行线面平行线线平行线面平行，体现了转化
思想的应用。
2. 证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“见了已知想性质，见了求证想判
定”，也就是说“发现已知，转化结论，沟通已知与未知的关系”。这是分析问题和解决问
题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段。