高中数学专题复习讲座曲线的轨迹方程的求法
高中数学专题复习讲座曲线的轨迹方程的求法
高中数学专题复习讲座曲线的轨迹方程的求法
高考要求
求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点
重难点归纳
求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法
(1)直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程
(2)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求
(3)相关点法根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程
(4)参数法若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程
求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念
典型题例示范讲解
例1如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一
点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求
矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程
命题意图
高三数学第一轮复习 轨迹方程的常用求法素材
【本讲主要内容】 轨迹方程 求轨迹方程的基本方法 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 求曲线轨迹方程的基本步骤： ⑴建立适当的平面直角坐标系，设轨迹上任一点的坐标为(),M x y ； ⑵寻找动点与已知点满足的关系式； ⑶将动点与已知点坐标代入； ⑷化简整理方程； ⑸证明所得方程为所求曲线的轨迹方程。 通常求轨迹方程时，可以将步骤⑵和⑸省略。 2. 几种常用的求轨迹的方法： ⑴直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x y 、的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤，但最后的证明可以省略。 ⑵定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。 ⑶代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点(),P x y 却随另一动点()','Q x y 的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将','x y 表示为,x y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然后整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。 ⑷参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使,x y 之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。 说明：利用参数法求动点轨迹也是解决问题的常用方法，应注意如下几点： ①参数的选择要合理，应与动点坐标,x y 有直接关系，且易以参数表达。可供选择作参数的元素很多，有点参数、角参数、线段参数、斜率参数等。②消参数的方法有讲究，基本方法有代入法、构造公式法等，解题时宜注意多加积累。③对于所选的参数，要注意其取值范围，并注意参数范围对,x y 的取值范围的制约。 ⑸几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然后得出动点的轨迹方程。 ⑹交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时
轨迹方程的求法及典型例题(含答案)
轨迹方程的求法 、知识复习轨迹方程的求法常见的有（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5） 交轨法；（6）相关点法 注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点一、知识复习 例1：点P（—3, 0）是圆x2+y2- 6x—55=0内的定点，动圆M与已知圆相切，且过点P, 求圆心M的轨迹方程。
例2、如图所示，已知P(4, 0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠ 解：设AB 的中点为 R 坐标为(x,y),则在Rt △ ABP 中,|ARl=IPR|. 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △ OAR 中，|AR|2=|AO|2—|OR|2=36 —(χ2+y 2) 又 ∣AR ∣=∣PR ∣= (χ^4)Ly 2 所以有(x — 4)2+y 2=36 — (x 2+y 2),即 x 2+y 2 — 4x —10=0 设Q(x,y), R(x 1,y 1),因为R 是PQ 的中点，所以X i =宁,y 1=号, 代入方程x 2+y 2— 4x — 10=0,得 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程. APB=90°,求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程? 因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时, Q 点即在所求的轨迹上运动? —10=0 ,X 4 -4
例3、如图,直线L i和L2相交于点M, L-L2,点N ?L i.以A, B为端点的曲线段C上 的任一点到L2的距离与到点N的距离相等.若厶AMN为锐角三角形,∣AM∣= 17 , IANl = 3,且∣BN∣=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程. ??. P=4,X A=1 解法一：如图建立坐标系，以I i为X轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点 依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以∣2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点。 2 设曲线段C的方程为y =2PX(P ?0),(X Am XmX B,y ?0)， 其中X A,X B分别为A，B的横坐标, P=IMNl 所以M ^-,0), N(-,0) 2 2 由| AM I hf I7,∣ AN | = 3 得(XA -p)2 2P X A =17 2 (X A -夕)2 2PX A =9 2 (1) 由①，②两式联立解得 4 X A Z P O 因为△ AMN是锐角三角形，所以 再将其代入①式并由p>0解得「 "P = 2 I X A= 2 P = 4或」 X A =1 P = 2 JXA = 2 2 XA,故舍去
【高考数学解题指导】高中数学轨迹方程求法梳理
高中数学轨迹方程求法梳理 1．求轨迹方程的常用方法 (1)直接法 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式，就得到曲线的轨迹方程．由于这种求轨迹方程的过程直接以曲线方程的定义为依据求解，所以称之为直接法． 步骤：（1）建系，目前大部分题目都已经建好坐标系了，一般可以省略； x y； （2）设点，直接设动点坐标为(,) （3）写式，运用一定平面几何知识，写出题目中动点满足的几何关系式； （4）代入，将动点坐标、已知数据全部代入关系式； （5）化简，化简式子，注意等价性； （6）证明，证明轨迹的完备性和纯粹性，由于前几步的等价性，所以现已省略此步. (2)几何法 若所求的轨迹满足某些几何性质(如线段的垂直平分线、角平分线的性质等)，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标，较简单(一般通过几何法分析转变为直接法和定义法)．几个常见定义：（1）到定点的距离等于定值的点的轨迹--------圆； （2）到定直线的距离等于定值的点的轨迹------两条平行线； （3）到两定点的距离之和为定值的点的轨迹（该和大于两定点间的距离）------椭圆 （4）到两定点的距离之和为定值的点的轨迹（该和等于两定点间的距离）------线段 （5）到两定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹（差绝对值小于两定点间的距离）------双曲线（6）到两定点的距离之差的为定值的点的轨迹（差绝对值小于两定点间的距离）------双曲线的一支（7）到两定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹（差绝对值等于两定点间距离）-----两条射线（8）到两定点的距离之差的为定值的点的轨迹（差的绝对值等于两定点间距离）----------一条射线（9）到定点与到定直线距离相等的点的轨迹（该定点不在定直线上）------抛物线 （10）到定点与到定直线距离相等的点的轨迹（该定点在定直线上）-------直线 注意：1..理论上，所有的几何定义法的题目都可以用直接法解决，但往往计算量大，容易出错 2.而在用几何定义法做题时，也不是万能的，一定要注意定义的细节以及等价原则 3.曲线的定义与方程无关，并不是说所有题一定都是标准方程
数学高考复习名师精品教案：第67课时：第八章 圆锥曲线方程-轨迹问题(2)
数学高考复习名师精品教案 第67课时：第八章 圆锥曲线方程——轨迹问题（2） 课题：轨迹问题（2） 一．复习目标： 1．掌握求轨迹方程的另几种方法——相关点法（代入法）、参数法（交规法）； 2．学会用适当的参数去表示动点的轨迹，掌握常见的消参法． 二．知识要点： 1．相关点法（代入法）：对于两个动点00(,),(,)P x y Q x y ，点P 在已知曲线上运动导致点Q 运动形成轨迹时，只需根据条件找到这两个点的坐标之间的等量关 系并化为00 (,) (,)x f x y y g x y =??=?然后将其代入已知曲线的方程即得到点Q 的轨迹方程． 2．参数法（交规法）：当动点P 的坐标,x y 之间的直接关系不易建立时，可适当 地选取中间变量t ，并用t 表示动点P 的坐标,x y ，从而动点轨迹的参数方程 () ()x f t y g t =?? =? 消去参数t ，便可得到动点P 的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等 价性，即有t 的范围确定出,x y 的范围． 三．课前预习： 1．已知椭圆 116 25 2 2 =+ y x 的右焦点为F ，Q 、P 分别为椭圆上和椭圆外一点，且点 Q 分FP 的比为2:1，则点P 的轨迹方程为 （ C ）
() A 148 75 )6(2 2 =+ -y x () B 148 75 )6(2 2 =+ +y x () C 1144 225 )6(2 2 =+ +y x () D 1144 4225 )32(2 2 =+ +y x 2．设动点P 在直线01=-x 上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰直角三角形OPQ ，则动点Q 的轨迹是 （ B ） ()A ()B 两条平行直线 ()C 抛物线 ()D 双曲线 3．已知点(,)P x y 在以原点为圆心的单位圆上运动，则点(,)Q x y xy +的轨迹是（ B ） ()A 圆 ()B 抛物线 ()C 椭圆 ()D 双曲线 4．双曲线 2 2 14 3 x y - =关于直线20x y -+=对称的曲线方程是 2 2 (2) (2) 14 3 y x --- = 5．倾斜角为4 π的直线交椭圆 14 2 2 =+y x 于B A ,两点，则线段AB 中点的轨迹方程是 40(||5 x y x +=< 四．例题分析： 例1．动圆22 :(1)1C x y -+=，过原点O 作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程． 解：（一）直接法：设O Q 为过O 的任一条弦(,)P x y 是其中点，则CP OQ ⊥，则 0C P O Q ?= ∴ (1,)(,)0x y x y -=，即22 11((01)24 x y x -+=<≤ （二）定义法：∵0 90OPC ∠=，动点P 在以1( ,0) 2 M 为圆心，O C 为直径的圆上， ∴所求点的轨迹方程为2 2 11()(01)2 4 x y x - += <≤ （三）参数法：设动弦PQ 的方程为y kx =，由22 (1)1 y kx x y =??-+=? 得： 2 2 (1)20k x x +-=，设1122(,),(,) P x y Q x y ，PQ 的中点为(,)x y ，则： 12 2 12 1x x x k += = +，2 1k y kx k == + 消去k 得2 2 11((01)2 4 x y x - += <≤ 例2．求过点(1,2)A ，离心率为1 2 ，且以x 轴为准线的椭圆的下方的顶点轨迹方程． 解：设椭圆下方的焦点00(,)F x y ，椭圆的下方的顶点为
高中数学解析几何｜求轨迹方程方法最全总结
高中数学解析几何｜求轨迹方程方法最全总结 一、直接法 若动点运动的条件是一些较为明确的几何量的等量关系，而这些条件易于表达成关于x，y的等量关系式，可以较为容易地得到轨迹方程（即遵循求轨迹方程的一般程序），这种方法我们一般称之为直接法.用直接发求轨迹方程一般都要经过建系、设点、列式、化简、验证这五个环节. 二、定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本而常见轨迹的定义（如圆、椭圆、
双曲线、抛物线等）已从定义来确定表示其几何特征的基本量而直接写出其轨迹方程，或从曲线定义来建立等量关系式从而求出轨迹方程． 三、代入法 若动点运动情况较为复杂，不易直接表述或求出，但是能够发现形成轨迹的动点P（x,y）随着另一动点Q （X,Y）的运动而有规律的运动，而且动点Q的运动轨迹方程已经给定或极为容易求出，故只要找出两动点P，Q之间的等量关系式，用x，y表示X,Y再代入Q的轨迹方程整理即得动点P的轨迹方程，称之为代入法，也叫相关点法.
四、参数法 若动点运动变化情况较为复杂，动点的纵坐标之间的等量关系式难以极快找到，可以适当引入参数，通过所设参数沟通动点横坐标之间的联系，从而得到轨迹的参数方程进而再消去所设参数得出轨迹的（普通）方程，称之为参数法.
点悟：注意落实好图形特征信息提供的解题方向，前提是自信，实力是运算过关.本题还可有一些较为简捷的解法，不妨试试五、交轨法 若所求轨迹可以看成是某两条曲线（包括直线）的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，也可引入参数来建这两条动曲线之间的联系，再消参而得到轨迹方程，称之为交轨法.可以认为交轨法是参数法的一种特殊情况.
高中数学求轨迹方程六种常用技法
求轨迹方程的六种常用技法 轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。 1．直接法 根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。 例1．已知线段6=AB ，直线BM AM ,相交于M ，且它们的斜率之积是 49，求点M 的轨迹方程。 解：以AB 所在直线为x 轴，AB 垂直平分线为y 轴建立坐标系，则(3,0),(3,0)A B -， 设点M 的坐标为(,)x y ，则直线AM 的斜率(3)3 AM y k x x =≠-+，直线BM 的斜率(3)3 AM y k x x = ≠- 由已知有4(3)339y y x x x ∙=≠±+- 化简，整理得点M 的轨迹方程为22 1(3)94 x y x -=≠± 练习： 1．平面内动点P 到点(10,0)F 的距离与到直线4x =的距离之比为2，则点P 的轨迹方 程是 。 2．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于A 、B 两点，P 是l 上满足 1PA PB ⋅=的点，求点P 的轨迹方程。 3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线 的平面内的轨迹是 （ ） A ．直线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 2．定义法 通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。 例2．若(8,0),(8,0)B C -为ABC ∆的两顶点，AC 和AB 两边上的中线长之和是30，
求曲线轨迹方程的五种方法
求曲线轨迹方程的五种方法 一、直接法 如果题目中的条件有明显的等量关系,或者可以利用平面几何知识推出等量关系,求方程时可用直接法; 例1 长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动,求AB中点P的轨迹方程; 解：设点P的坐标为x,y, 则A2x,0,B0,2y,由|AB|=2a得 2) 2 x- 2(y + -=2a 2 0( )0 化简得x2+y2=a,即为所求轨迹方程 点评：本题中存在几何等式|AB|=2a,故可用直接法解之; 二、定义法 如果能够确立动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可用曲线定义写出方程,这种方法称为定义法; 例2 动点P到直线x+4=0的距离减去它到M2,0的距离之差等于2,则点P的轨迹是 A、直线 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 解法一：由题意,动点P到点M2,0的距离等于这点到直线x=-2的距离,因此动点P的轨迹是抛物线,故选D; 解法二：设P点坐标为x,y,则 |x+4|-2 2 -=2 x+ (y )2
当x ≥-4时,x+4-22)2(y x +-=2化简得 当时,y 2=8x 当x ＜-4时,-x-4-22)2(y x +-=2无解 所以P 点轨迹是抛物线y 2=8x 点评：解法一与解法二分别用定义法和直接法求轨迹方程,明显,解法一优于后一种解法,对于有些求轨迹方程的题目,若能采用定义法,则优先采用定义法,它能大量地简化计算; 三、 代入法 如果轨迹点Px,y 依赖于另一动点Qa,b,而Qa,b 又在某已知曲线上,则可先列出关于x 、y 、a 、b 的方程组,利用x 、y 表示出a 、b,把a 、b 代入已知曲线方程便得动点P 的轨迹方程,此法称为代入法; 例3 P 在以F 1、F 2为焦点的双曲线19 1622=-y x 上运动,则△F 1F 2P 的重心G 的轨迹方程是 ; 解：设Px 0,y 0,Gx,y,则有 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧++=+-=)00(31)4(3100y y x x x 即⎩⎨⎧==y y x x 3300,代入 191622=-y x 得19 91692 2=-y x 即116 922 =-y x 由于G 不在F 1F 2上,所以y ≠0 四、 参数法
专题――常用求轨迹方程的技法(高三)
专题――常用求轨迹方程的技法 一、直接法 根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。 （一）代入题设中的已知等式 若动点的规律由题设中的已知等式明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹. 1.动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2|||| PB PA ），求动点P 的轨迹方程？ （二）列出符合题设条件的等式 有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程. 2.动点P 到一高为h 的等边△ABC 两顶点A 、B 的距离的平方和等于它到顶点C 的距离平方，求点P 的轨迹？ （三）使用相关公式 有时要使用符合题设的相关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相对应的恒等变换即得其轨迹方程. 3.△ABC 的两顶点是B （－3，0），（3，0），两底角B 、C 之和恒为135°，求第三顶点A 的轨迹方程.
（四）借助平几中的相关定理和性质 有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的相关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法. 4.一条线段AB 的长等于2a ,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点P 的轨迹方程？ 5.已知动点M 到定点A （1，0）与到定直线L ：x=3的距离之和等于4，求动点M 的轨迹方程. 6.在直角△ABC 中，斜边是定长2a (0)a >，求直角顶点C 的轨迹方程。 二、定义法 圆锥曲线是解析几何中研究曲线和方程的典型问题，当动点符合圆锥曲线定义时，可直接写出其轨迹方程。 7．已知动点),(y x P 满足1243)2()1(522++=-+-y x y x 则P 点轨迹为（ ） A. 抛物线 B. 直线 C. 双曲线 D. 椭圆
高考数学复习考点题型专题讲解 题型36 圆锥曲线中的轨迹(解析版)
高考数学复习考点题型专题讲解 题型:圆锥曲线中的轨迹 【高考题型一】：定义法求轨迹。 『解题策略』：紧扣曲线的定义。 【解题公式一】：一般涉及到动圆与两定圆相切问题．．．．．．．．．．．．．．．(．包括内切、外切．．．．．．．)．，利用定义．．．．．求圆心轨迹，轨迹为椭圆或双曲线，主要确定和还是差能消去动圆半径．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．r ．。． 【高考母题】与两圆22221,8120x y x y x +=+-+=都外切的圆的圆心在 ( ) A.一个椭圆上 B.双曲线的一支上 C.一条抛物线上 D.一个圆上 【解析】：选B 。 1.(2013年新课标全国卷I20)已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并 且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C 。 （1）求C 的方程； （2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A 、B 两点，当圆P 的半径最长时，求||AB 。 【解析】：（1）设圆P 的半径为r ，1+=r PM ，r PN -=3，4=+PN PM ，动点P 到两定点M 、N 距离之和等于定值4，所以P 的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，2=a ，1=c ， C 的方程为：)2(13 42 2-≠=+x y x 。
（2）从图得半径最长时圆的方程为：4)2(22=+-y x ，公切线有三条：242,0+±==x y x ，与椭圆联立，代入弦长公式得弦长分别为：32，7 18。 【解题公式二】：如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上的动点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是以O 、A 为焦点，r 为长轴长的椭圆。 1.(高考题)已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21A ，B 是圆:F 42122=+⎪⎭⎫ ⎝ ⎛-y x (F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 。 【解析】：,A F 关于原点对称，2FB PB PF =+=，PA PB =，2PA PF +=，点P 到两定点A 、F 距离之和为定值21AF >=，动点p 的轨迹是以A 、F 为焦点，以2为 2a 的椭圆，即131,,22 a c b ===，所以椭圆方程为：22413y x +=。 【解题公式三】：如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 外一个定点，P 是圆上的动点，线段AP 的垂直平 分线l 和直线OP 交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是以O 、A 为焦点，r 为实轴长的双曲线。
高考数学专题 轨迹方程的求法(学生版)
高考数学专题 轨迹方程问题 【一】定义法 1.例题 【例1】已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 4 5sin sin C A B =+求点C 的轨迹。 【例2】一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆22 6910x y x +--=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
【例3】已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程. 2.巩固提升综合练习 【练习1】已知圆()25422=++y x 的圆心为M 1，圆()1422 =+-y x 的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。 【练习2】一动圆与圆O ：122=+y x 外切，而与圆C ：0862 2=+-+x y x 内切，那么动圆的圆心M 的轨迹是（ ） A. 抛物线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线一支 【练习3】已知ΔABC 中，∠A,∠B,∠C 所对应的边为a ,b ,c ,且a >c >b ，a ,c ,b 成等差数列，|AB|=2,求顶点C 的轨迹方程 【二】直译法
1.例题 【例1】一条线段AB 的长等于2a ,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点P 的轨迹方程？ 【例2】双曲线的两焦点分别是1F 、2F ，其中1F 是抛物线1)1(4 12++-=x y 的焦点，两点A （-3，2）、B （1，2）都在该双曲线上． （1）求点1F 的坐标； （2）求点2F 的轨迹方程，并指出其轨迹表示的曲线． 【例3】已知点)0,2(-A 、).0,3(B 动点),(y x P 满足2x PB PA =⋅，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 2.巩固提升综合练习 【练习1】动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2| |||=PB PA ），求动点P 直译法： 如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
圆锥曲线之轨迹方程讲义-2024届高三数学一轮复习
第 24 练 圆锥曲线之轨迹方程 【题型解读】 【题型精讲】 【题型一 直译法求轨迹方程】 例1 在平面直角坐标系xOy 中，点 B 与点A(1，1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于 13,求动点 P 的轨迹方程. 【跟踪精练】 1. 在平面直角坐标系xOy 中,已知点A(0,1),B 点在直线y=3上,M 点满足 MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求M 点的轨迹方程. P(x ，y)的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点 P 关于y 轴对称，O 为坐标原点. 若 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗ ,且 OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1, 则点 P 的轨迹方程是( ) A.32x 2+3y 2=1(x ⟩0,y >0) B.32 x 2−3y 2=1(x ⟩0,y >0) C.3x 2−32y 2=1(x ⟩0,y >0) D.3x 2+32 y 2=1(x ⟩0,y >0) 【题型二 定义法求轨迹方程】 例2 已知圆 C₁:(x +3)²+y²=1,C₂:(x −3)²+y²=81, 动圆 C 与圆C ₁，C ₂都相切，则动圆 C 的圆心轨迹E 的方程为 ；斜率为 √2的直线l 与曲线E 仅有三个公共点，依次为P ，Q ，R ，则|PR|的值为 .
【跟踪精练】 1.如图，O 为坐标原点，双曲线 C 1:x 2 a 12−y 2 b 12=1(a 1⟩0,b 1>0)和椭圆 C 2:y 2a 22+x 2b 22=1(a 2⟩b 2>0)均过点 P (2√33 ,1),且以C ₁的两个顶点和C ₂的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. (1)求C ₁,C ₂的方程; (2)是否存在直线l ， 使得l 与C ₁交于A ，B 两点，与C ₂只有一个公共点， 且 |OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |?证明你的结论. 2. 已知定圆 F₁:(x +1)²+y²=1, 圆 F₂:(x −1)²+y²=25, 动圆M 与定圆F ₁外切，与定圆F ₂内切. (1) 求动圆圆心M 的轨迹方程E ； (2)直线l 的方向向量 a =(−1,2),直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，若∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 纵截距m 的取值范围. 【题型三 相关点法求轨迹方程】
曲线方程与轨迹问题专题复习讲义-2024届高考数学一轮复习专题讲义 (学生版)
目录 曲线与轨迹问题 (2) 【课前诊断】 (2) 【知识点一：求曲线方程】 (4) 【典型例题】 (4) 考点一：定义法 (4) 考点二：直接法 (5) 考点三：相关点法 (6) 考点四：参数法 (7) 【小试牛刀】 (8) 【巩固练习——基础篇】 (9) 【巩固练习——提高篇】 (9)
曲线与轨迹问题 【课前诊断】 成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差 1． 已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定 2． 圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．以上都有可能 3． 直线1 0x ky 与圆2 21x y 的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．相交或相切 D ．相切 4． 设m ＞0，则直线)1 0l x y m 与圆22:O x y m 的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交 C ．相切或相离 D ．相交或相切 5． 直线l 与圆2 2240(3)x y x y a a 相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为 (2,3)C ，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋5＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y －5＝0 D ．x ＋y －3＝0
6． 与圆2 2:420C x y x 相切，且在,x y 轴上的截距相等的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 7． 过原点O 作圆2 268200x y x y 的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为________． 8．已知两圆分别为圆C 1：x 2＋y 2＝81和圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0，这两圆的位置关系 是( ) A ．相离 B ．相交 C ．内切 D ．外切 9．两圆2 22x y r ，222(3)(1)x y r 外切，则正实数r 的值是( ) D ．5 10．圆2 2616480x y x y 与圆2248440x y x y 的公切线条数为( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条 11．圆2 2460x y x y 和圆2260x y x 交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的 方程是( ) A ．x ＋y ＋3＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．3x －y －9＝0 D ．4x －3y ＋7＝0
高考数学常见题型解法归纳反馈训练第77讲轨迹方程的求法
第77讲轨迹方程的求法 【知识要点】 一、“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义 在直角坐标系中，如果曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（纯粹性）；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上（完备性）.那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 二、求简单的曲线方程的一般步骤：建设限代化 （1）建立直角坐标系：利用垂直性和对称性建立适当的坐标系； （2）设点：用有序实数对表示曲线上任意一点的坐标（不要把其它的点的坐标设成）； （3）列出动点满足的限制条件：用坐标表示条件,列出方程； （4）代点坐标到方程； （5）化简：化方程为最简形式； （6）检验：检验某些特殊点是否满足题意，把不满足的点排除，把满足的点补充上来.（可以省略） 三、求轨迹方程的四种主要方法：轨迹四法待代直参 （1）待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数，从而得到动点的轨迹方程. （2）代入法：如果点的运动是由于点的运动引起的，可以先用点的坐标表示点的坐标，然后代入点满足的方程，即得动点的轨迹方程. （3）直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程. （4）参数法：动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设 参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参. 四、轨迹和轨迹方程 轨迹和轨迹方程是两个不同的概念，轨迹表示的曲线的简单特征的描述，而求轨迹方程
只求那个方程即可，不需描述曲线的特征. 【方法讲评】 方法一直接法 使用情景已知中或图形中有动点满足的方程. 解题步骤直接把动点的坐标代入已知的方程化简即可. 【例1】线段与互相垂直平分于点，，，动点满足，求动点的轨迹方程． 【解析】 【点评】（1）这种题目由于已知中没有直角坐标系，所以首先要根据垂直性和对称性建立直角坐标系，由于建立坐标系的方法有多种，所以求出的轨迹方程有多种，但是都是对的；（2）这道题是直接用坐标化简已知中的得到的轨迹方程，运用的是直接法. 【例2】已知圆：，由动点向圆引两条切线、，
高中数学求轨迹方程的六种常用技法
求轨迹方程六种常用技法 轨迹方程探求是解析几何中根本问题之一，也是近几年来高考中常见题型之一。学生解这类问题时，不善于提醒问题内部规律及知识之间相互联系，动辄就是罗列一大堆坐标关系，进展无目大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结与归纳探求轨迹方程常用技法，对提高学生解题能力、优化学生解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程常用技法。 1．直接法 根据条件及一些根本公式如两点间距离公式，点到直线距离公式，直线斜率公式等，直接列出动点满足等量关系式，从而求得轨迹方程。 例1．线段，直线相交于，且它们斜率之积是，求点轨迹方程。 解：以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立坐标系，那么，设点坐标为，那么直线斜率 ，直线斜率 由有 化简，整理得点轨迹方程为
练习： 1．平面内动点到点距离与到直线距离之比为2，那么点轨迹方程是。 2．设动直线垂直于轴，且与椭圆交于、两点，是上满足点，求点轨迹方程。 3. 到两互相垂直异面直线距离相等点,在过其中一条直线且 平行于另一条直线平面内轨迹是〔〕 A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线2．定义法 通过图形几何性质判断动点轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹定义，如线段垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何一些性质定理。 例2．假设为两顶点，与两边上中线长之与是，那么重心轨迹方程是_______________。 解：设重心为，那么由与两边上中线长之与是可得 ，而点为定点，所以点轨迹为以为焦点椭圆。 所以由可得 故重心轨迹方程是 练习：
高考数学专题解析：求轨迹方程的方法
求轨迹方程的常用方法 一、求轨迹方程的一般方法： 1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭 圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件， 待定方程中的常数,即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。 2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以 判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的 几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得 到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动 的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的， 而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知 曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线 的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。 6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这 类问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得 所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到 轨迹方程），该法经常与参数法并用。 二、求轨迹方程的注意事项： 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律， 即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。 )() ()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨ ⎧=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通
高考数学专题讲座 第13讲 轨迹方程
高考数学专题讲座 第13讲 轨迹方程 一、考点要求 1．求平面曲线（整体或部分）的方程（或轨迹）是近几年高考中的热点之一． 2．掌握求曲线的轨迹方程常用的一些思想方法，同时也要注意检验轨迹的完备性及纯粹性． 二、基础过关 1．坐标满足方程|3|)1(2 2+-=+-y x y x 的),(y x P 的轨迹是（ ）． A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．两条直线 2．以原点为焦点，相应准线为2-=x 的椭圆短轴端点的轨迹方程是 ． 3．一动圆与两圆122=+y x 和01282 2=+-+x y x 都外切，则动圆圆心的轨迹是（ ）． A ．抛物线 B ．圆 C ．双曲线的一支 D ．椭圆 4．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →=OA → +λ（AB →|AB|→＋AC → |AC|→），λ∈[0， +∞），则P 点的轨迹一定通过△ABC 的（ ）． A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 5．椭圆14 22 =+y x 中斜率为1的平行弦中点的轨迹方程是 ． 6．已知圆2 2 (4)25x y ++=的圆心为1M ，圆2 2 (4)1x y -+=的圆心为2M ，一动圆P 与这两个圆都外 切，则动圆圆心P 的轨迹是 ． 三、典型例题
例1 已知双曲线13 2 2 =-y x ，且双曲线上存在关于直线l ：y=kx+4对称的两点A 、B ，如图所示，求实数k 的取值范围，并求AB 的中点M 的轨迹方程．
例2 已知动点P 与双曲线13 22 2=-y x 的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值2a （a ＞5），且cos ∠F 1PF 2的最小值为－1 9 ． （1）求动点P 的轨迹方程； （2）若已知D （0，3），M ，N 在动点P 的轨迹上，且DM →=λDN → ，求实数λ的取值范围．
高中高考轨迹方程的求法总结
轨迹方程的求法 【方法介绍】方法一:直接法 课本中主要介绍的方法。若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标),(y x 后，就可根据命题中的已知条件研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有x 、y 的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法。 例题1 等腰三角形的顶点为)2,4(A ，底边一个端点是)5,3(B ，求另一个端点C 的轨迹方程。 练习一 1.已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点),(y x P 满足2 x PB PA =⋅→→。求点P 的轨迹方程。 2. 线段AB 的长等于2a,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点P 的轨迹方程？
3.动点P （x,y ）到两定点)0,3(-A 和)0,3(B 的距离的比等于2（即： 2=PB PA ） 。 求动点P 的轨迹方程？ 4.动点P 到一高为h 的等边△ABC 两顶点A 、B 的距离的平方和等于它到 顶点C 的距离平方，求点P 的轨迹？ 5.点P 与一定点)0,2(F 的距离和它到一定直线8=x 的距离的比是2:1。求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。 6.已知)0,4(P 是圆3622=+y x 内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足△APB=90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程。
7.过原点作直线l 和抛物线642 +-=x x y 交于A 、B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。 方法二：相关点法 利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。 例题2 已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在X 、Y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM : MB=1 : 2，求动点M 的轨迹方程。 练习二 1.已知点)(00，y x P 在圆12 2=+y x 上运动，求点M ),2(0y x 的轨迹方程。 2.设P 为双曲线14 22=-y x 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点。求点M 的轨迹方程。 y Q O x N P
备战2021年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题51曲线与方程——求轨迹方程
备战2021年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题51曲线与 方程——求轨迹方程 【热点聚焦与扩展】 纵观近几年的高考试题，高考对曲线与方程的考查，要紧有以下两个方面：一是确定的轨迹的形式或特点；二是求动点的轨迹方程，同时考查到求轨迹方程的差不多步骤和常用方法.一样地，命题作为解答题一问，小题则常常利用待定系数法求方程或利用方程判定曲线类别. 本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求点的轨迹方程问题的常见解法. 1、求点轨迹方程的步骤： （1）建立直角坐标系 （2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示） （3）列式：从已知条件中挖掘,x y 的关系，列出方程 （4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范畴 2、求点轨迹方程的方法 （1）直截了当法：从条件中直截了当查找到,x y 的关系，列出方程后化简即可 （2）代入法：所求点(),P x y 与某已知曲线()00,0F x y =上一点()00,Q x y 存在某种关系，则可依照条件用,x y 表示出00,x y ，然后代入到Q 所在曲线方程中，即可得到关于,x y 的方程 （3）定义法：从条件中能够判定出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程.常见的曲线特点及要素有： ① 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹 直角→圆：若AB AC ⊥，则A 点在以BC 为直径的圆上 确定方程的要素：圆心坐标(),a b ，半径r ② 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹 确定方程的要素：距离和2a ，定点距离2c ③ 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹 注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支 确定方程的要素：距离差的绝对值2a ，定点距离2c ④ 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹 确定方程的要素：焦准距：p .若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可
轨迹方程的求法及典型例题(含答案)
轨迹方程的求法 一、知识复习 轨迹方程的求法常见的有（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5）交轨法；（6）相关点法 注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点. 一、知识复习 例1：点P（－3，0）是圆x2+y2－6x－55=0内的定点，动圆M与已知圆相切，且过点P，求圆心M的轨迹方程。
例2、如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠ APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |. 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2) 又|AR |=|PR |= 2 2)4(y x +- 所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0 因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2 ,2 41+= +y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得 2 4 4)2()24( 22+⋅ -++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.
例3、如图, 直线L 1和L 2相交于点M, L 1L 2, 点N L 1. 以A, B 为端点的曲线段C 上的任一点到L 2的距离与到点N 的距离相等. 若 AMN 为锐角三角形, |AM|= 17 , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程. 解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点。 依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点。 设曲线段C 的方程为)0,(),0(22 >≤≤>=y x x x p px y B A ， 其中x A,x B 分别为A ，B 的横坐标，P=|MN|。 ) 2(92)2() 1(172)2(3||,17||)0,2 (),0,2(22=+-=++==- A A A A px p x px p x AN AM p N p M 得 由所以