中考讲通练透专题26 一次函数与反比例函数(练透)-【讲通练透】中考数学一轮(全国通用)(学生版)

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2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—一次函数的图象与性质

的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行．
4）一次函数与正比例函数有着共同的性质：
①当k>0时，y的值随x值的增大而增大；②当k<0时，y的值随x值的增大而减小．
考点二一次函数的图象与性质
1. 正比例函数y= kx中，|k|越大，直线y= kx越靠近y轴；反之，|y|越小，直线y= kx越靠近x轴.
C．3
D．−3或3
∴9 = 2 ，∴ = ±3，又∵正比例函数 = 的图象经过第二、
∴ < 0，∴ = −3，故选：B．
【对点训练1】（2023·浙江杭州·统考一模）已知 − 与 − 1成正比例，且当 = −2时， = 3．若关
于的函数图象经过二、三、四象限，则m的取值范围为（
用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：
1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)；
2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组；
3）解方程或方程组求出k，b的值；
4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式.
考点二一次函数的图象与性质
两点即可，
图象确定
b
k
1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(− ，0)两点；
2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可.
考点二一次函数的图象与性质
三、k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系

在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=− ，即直线y=kx+b与x轴交于(− ,0)
综上所述，0 > 1 > 2

一次函数与反比例函数的综合+第26章反比例函数精讲课件+2024-2025学年人教版数学九年级下册

微专题一次函数与反比例函数的综合
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训练 1.如图8，已知直线y＝x＋a与双曲线y＝ kx交于点A(－1，2)，
B，连接OA，OB.
(1)求直线及双曲线的解析式；解：将A(－1，2)代入直线y＝x＋a，得2＝－1＋a.
解得a＝3.
∴直线的解析式为y＝x＋3.
将 A(－1，2)代入双曲线 y＝kx ，得 2＝－k1 .解得 k＝－2.
ON＝MP＝____1______，BP＝_____6_____，AP＝_____6_____.
∴S△OAB ＝ S△ABP － S△OAM － S△OBN － S 四边形 ONPM ＝ ______9____.
图6
微专题一次函数与反比例函数的综合
典例分析
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例1
如图7，直线y＝－x＋6与双曲线y＝
5 x
交于点A(1，m)，B，与
x轴交于点C，连接OA，OB.
(1)求m的值及点B的坐标；
解：将直线 y＝－x＋6 与双曲线 y＝5x 联立，
y＝－x＋6，得 y＝5x．
解得
x 1＝1， y1＝5，
x 2＝5， y2＝1.
∵点A横坐标为1，
图7
∴点A的坐标为(1，5)，点B的坐标为(5，1).∴m＝5.
∴S△OAB
＝
S△OCB
＋
S△OCD
＋
S△ODA
＝
1 2OC·BN＋源自1 2OC·OD＋12 OD·AM＝_____9_____. 图5
微专题一次函数与反比例函数的综合
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方法3：如图6，过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，

专题：反比例函数与一次函数结合

26.26(4)专题：反比例函数与一次函数结合一．【知识要点】1.反比例函数与一次函数结合二．【经典例题】k S 的取值范围。

3.如图，已知直线l :6-=x y 与x 轴，y 轴交于点A,B 两点，与反比例函数xk y =（x ＞0）的图象交于点C （a,-1）和点D 。

（1）求k 的值及点D 的坐标。

（2）若点P 在反比例函数图象上且位于直线l 上方，过点P 作PM ⊥x 轴于点M 交AB 于E ，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，交AB 于点F ，求BE AF •的值。

4．如图，直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数y＝（x＞0），图象上位于直线y＝﹣x+4下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F，并且AF•BE＝4（1）求k的值；（2）若反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x+4交于C、D两点，求三角形OCD的面积．三．【题库】【A】1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（a，3），与x轴相交于点B．（1）求反比例函数的表达式；（2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标．2.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则一次函数y＝ax+b2﹣4ac与反比例函数y＝．在同一坐标系内的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【B 】【C 】 1.（绵阳2018第22题本题满分11分）如图，一次函数2521+-=x y 的图像与反比例函数)0(＞k xk y =的图像交与A ，B 两点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，△AOM 面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）在y 轴上求一点P ，使P A +PB 的值最小，并求出其最小值和P 点坐标.2．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y ＝（x ＞0）的图象经过点A （3，4），过点A 的直线y ＝kx +b 与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）若△AOB 的面积为△BOC 的面积的2倍，求此直线的函数表达式．【D 】1.（2020年绵阳期末第12题）如图，已知点A(m ，m+3)，点B(n ，n-3)是反比例函数()0>=k xk y 在第一象限的图象上的两点，连接AB.将直线AB 向下平移3个单位得到直线l ，在直线l 上任取一点C ，则△ABC 的面积为（） A.29 B.6 C. 215 D.92.在平面直角坐标系xOy 中，对于不在坐标轴上的任意一点P （x ，y ），我们把点P ′（，）称为点P 的“倒影点”，直线y ＝﹣x+1上有两点A ，B ，它们的倒影点A ′，B ′均在反比例函数y ＝的图象上．若AB ＝2，则k ＝．。

2024年中考数学专题讲解：反比例函数与一次函数的综合+课件

(2)连接OA，OB，求△AOB的面积；
∵直线 AC：y＝－23x＋83与曲线 y＝2x(x>0)相交于 A(1,2)，B 两点，
∴y＝－23x＋38， y＝2x，
解得xy11＝＝12，，
x2＝3， y2＝23，
∴点 B 的坐标为3，23，
∴S△AOB＝S△AOC－S△OBC
＝12×4×2－12×4×23＝83.
9.如图，点 A 在反比例函数 y＝kx(x>0)的图象上，AB⊥x 轴，垂足为 B(3,0)，过 C(5,0)作 CD⊥x 轴，交过点 B 的一次函数 y＝32x＋b 的图象于点 D，交反比例函数的图象于点 E，S△AOB＝3.
(1)求反比例函数 y＝kx(x>0)和一次函数 y＝32x＋b 的表达式；
(3)直接写出当 x>0 时，关于 x 的不等式 kx＋b>mx 的解集.
观察图象， ∵A(1,2)，B3，23， ∴当 x>0 时，关于 x 的不等式 kx＋b>mx 的解集是 1<x<3.
13.如图，正比例函数 y＝x 与反比例函数 y＝4x的图象交于 A，B 两点. (1)求A，B两点的坐标；
4.如图，一次函数y1＝k1x＋b(k1＞0)的图象与反比例函数y2＝
k2 x
(k2＞0)的
图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为－2，当y1＜y2 时，x的取值范围是
A.x＜－2或x＞1
√B.x＜－2或0＜x＜1
C.－2＜x＜0或x＞1
D.－2＜x＜0或0＜x＜1
由图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围是x＜－2或0＜x＜1.
7.如图，正比例函数 y＝－23x 的图象与反比例函数 y＝kx(k≠0)的图象都经过点 A(a,2).

2023中考数学一轮复习资料(全国通用)：一次函数与反比例函数(练透)(教师版)

专题26 一次函数与反比例函数一、单选题1．（2022·全国九年级课时练习）下列函数中，是反比例函数的是（） A ．2x y =-B ．21y x=+ C ．2y x=-D ．21y x =+【答案】C 【分析】由题意利用反比例函数的定义对各选项逐一进行判断即可．【详解】解：A 、是正比例函数，排除； B 、不是反比例函数，排除； C 、是反比例函数，当选； D 、是一次函数，排除；故选：C.2．（2022·北京市第十三中学九年级期中）已知点A （1，a ）与点B （3，b ）都在反比例函数y 12x=-的图象上，则a 与b 之间的关系是（） A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ≥b D ．a ＝b【答案】B 【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．【详解】∵点A （1，a ）与点B （3，b ）都在反比例函数y 12x=-的图象上，-12<0， ∴每个象限内y 随x 的增大而增大， ∵1<3， ∴a ＜b ．故选B ．3．（2022·哈尔滨风华中学九年级开学考试）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论正确的是（）A ．乙前3秒行驶的路程为15米B ．在0到6秒内甲的速度每秒增加6米/秒C ．两车到第2.5秒时行驶的路程相等D ．在0至6秒内甲的速度都大于乙的速度【答案】B 【分析】前3s 内，乙的速度−时间图象是一条平行于x 轴的直线，即速度不变，速度×时间＝路程；甲是一条过原点的直线，则速度均匀增加；求出两图象的交点坐标，2.5秒时两速度大小相等，2.5s 前甲的图象在乙的下方，所以2.5秒前路程不相等；图象在上方的，说明速度大，图在下方的说明速度小．【详解】解：A 、根据图象可得，乙前3秒的速度不变，为15米/秒，则行驶的路程为15×3＝45米，故A 不正确； B 、根据图象得：在0到6秒内甲的速度是一条过原点的直线，即甲的速度从0均匀增加到36米/秒，则每秒增加36÷6＝6米/秒，故B 正确； C 、由于甲的图象是过原点的直线，速度每秒增6米/秒，可得v ＝4t （v 、t 分别表示速度、时间），将v ＝15m/s 代入v ＝4t 得t ＝2.5s ，则t ＝2.5s 前，甲的速度小于乙的速度，所以两车到第2.5秒时行驶的路程不相等，故C 错误；D 、由图象知，在0到2.5秒内甲的速度小于乙的速度，2.5秒时甲、乙速度相等，大于2.5秒时，甲的速度大于乙的速度，故D 错误．故选：B ．4．（2022·建昌县教师进修学校九年级）在平面直角坐标系中，函数2y mx m =++的图象如图所示，则m 的取值范围是（）A ．0m ＜B ．2m -＞C ．20m -＜＜D ．02m ＜＜【答案】C 【分析】由一次函数y =kx +b 中，k 决定了直线的倾斜方向，k >0，直线向右上方倾斜；k <0，直线向右下方倾斜；b 决定了直线与y 轴的交点位置，b >0，直线与y 轴交与y 轴正半轴；b <0直线与y 轴交与y 轴负半轴. 【详解】解：由一次函数图象性质可得： 020m m <⎧⎨+>⎩，解得：20m -＜＜，故选C.5．（2022·武汉一初慧泉中学九年级月考）下表反映的是某地区用电量x （千瓦时）与应交电费y （元）之间的关系：用电量x （千瓦时） 1 234…应交电费y （元）0.55 1.1 1.65 2.2 …下列说法：①x 与y 都是变量，且x 是自变量，y 是x 的函数；②用电量每增加1千瓦时，应交电费增加0.55元；③若用电量为8千瓦时，则应交电费4.4元；④若所交电费为2.75元，则用电量为6千瓦时，其中不正确的是（） A ．① B ．②C ．③D ．④【答案】D 【分析】根据函数的定义判断①，通过表格求出应交电费与电量的变化规律求出每一千瓦时的电费，然后判断②③④三项即可．【详解】解：①x 与y 都是变量，且x 是自变量，y 随x 的变化而变化，故y 是x 的函数，此项正确； ②从表格可以看出，用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元，故此项正确； ③若用电量为8千瓦时，则应交电费=80.55=4.4⨯元,故此项正确； ④若所交电费为2.75元，则用电量 2.75==50.55千瓦时，故此项不正确；故选：D ．6．（2022·武汉一初慧泉中学九年级月考）已知反比例函数32y x=-，直线24y x =-+交于(),P a b 、(),Q m n 两点，则代数式33m a b n+++的值是（）A ．2B ．－2C ．4D ．－4【答案】B 【分析】联立两个函数解析式，得到关于x 的一元二次方程，从而得a +m =2，把(),P a b 、(),Q m n 代入32y x=-可得3b =-2a ，3n=-2m ，进而即可求解．【详解】联立32y x =-，24y x =-+，得：3224y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩， ∴24830x x --=， ∵反比例函数32y x=-，直线24y x =-+交于(),P a b 、(),Q m n 两点， ∴24830x x --=的两个根为：x =a ，x =m ， ∴a +m =2， ∵32b a =-，32n m=-， ∴3b =-2a ，3n=-2m ， ∴33m a b n+++=-（a +m ）=-2．故选B ．7．（2022·沙坪坝区·重庆八中九年级）如图：四边形ABCD 为菱形，且对角线BD ∥x 轴，A 、C 两点在y 轴上，E 点在BC 上，且BE ＝2CE ，双曲线y ＝kx（x ＞0）经过E 、B 两点，且8EFB S =△，则k 的值为（）A ．3B ．83C ．4D ．6【答案】C 【分析】作EF 垂直于y 轴，EG ，BH 垂直于x 轴，设点E 横坐标为m ，点B 横坐标为n ，根据BE ＝2CE 和k 的几何意义求出m 与n 的关系，再通过m 表示菱形面积求解．【详解】解：作EF 垂直于y 轴，EG ，BH 垂直于x 轴，设点E 横坐标为m ，点B 横坐标为n ， ∴点E 坐标为（m ，km ），点B 坐标为（n ，k n）．∵EF ∥BD ∥x 轴，BE ＝2CE ， ∴13E B x m x n ==，即n ＝3m ． ∴点B 坐标为（3m ，3k m）， ∵11()()2233E B k k kCF y y m m m=-=-=∴433C k k k y m m m=+=，∵12,23EFB BEFA BEFA ABCD S S S S ∆==， ∴S ABCD ＝3S △EFB ＝24．∴113()6422ABCD B B S x yc y k =⋅-==， ∴k ＝4．故选：C ．8．（2022·江苏泰州中学附属初中）在平面直角坐标系中，一次函数 2y x b =-+（b 为常数）的图像与x 、y 轴分别交于点A 、B ，直线AB 与双曲线4y x=分别交于点P 、Q ，则AP ·BP 的值是（）A ．4B ．8C ．10D ．与b 的取值有关【答案】C 【分析】如图，过P 向,x y 轴作垂线，垂足分别为,N M ，由于P 点在4y x =上，设4(,)P m m，代入一次函数解析式，得到关系式，根据BPM BAO ∠=∠，由正切的定义可知2,2BM MP PN AN ==，勾股定理求得,AP BP ，结合已知关系式，即可求得答案．【详解】如图，过P 向,x y 轴作垂线，垂足分别为,N M ，BPM BAO ∴∠=∠，P 点在4yx =上，设4(,)P m m，代入2y x b =-+得： 42m b m=-+， (2)4m b m ∴-=，一次函数 2y x b =-+（b 为常数）的图像与x 、y 轴分别交于点A 、B ，令0x =，y b =，则(0,)B b ，令0y =，2bx =，则(,0)2b A ， ,2bOA OB b ∴==，4(,)P mm， 4,OM ON m m∴==， ,2bAN m PM m ∴=-=， BPM BAO ∠=∠，tan tan 2OBBPM BAO OA∴∠=∠==， 2,2BM MP PN AN ∴==，22225,5AP AN PN AN BP BM MP BM ∴=+==+=，5AP BP AN PM ∴⋅=⋅5()2bm m =-⨯，(2)4m b m -=，10AP BP ∴⋅=．故选C ．9．（2022·南宁市天桃实验学校九年级）如图，在平面直角坐标系中，若折线241y x =--+与直线交2y kx k =+（0k >）有且仅有一个交点，则k 的取值范围是（）A ．01k <<或14k = B ．1k >或14k =C ．02k <<或14k =D ．2k >或14k =【答案】D 【分析】先求出折线的最高点的坐标，然后直线经过最高点时，此时恰好有一个交点，然后分析直线与折线2x <的那部分图像的交点问题即可得到答案. 【详解】解：∵直线的解析式为2y kx k =+， ∴直线y kx k =+经过点（-2，0）， ∵折线的解析式为21y x =--+， ∴折线的最高点坐标为（2，1）∴当直线恰好经过（2，1）时，此时只有一个交点， ∴122k k =+，解得14k =，当2k =时，直线2y kx k =+与折线在2x <的那部分图像平行，此时没有交点， ∴当2k >时直线2y kx k =+与折线在2x <的那部分图像有一个交点， ∴综上所述2k >或14k =，故选D.10．（2022·湖南新田县·九年级期中）如图，11122233,,,OA B A A B A A B △△△…是分别以123,,,A A A …为直角顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点111222333(,),(,),(,),C x y C x y C x y …均在反比例函数4y x=（x ＞0）的图象上，则12100y y y +++的值为（）A ．210B ．20C ．42D ．27【答案】B 【分析】作辅助线如图，根据等腰直角三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特点依次求出1234C C C C 、、、点的纵坐标，找到规律，再求和即可．【详解】解：过123C C C 、、……分别作x 轴的垂线，垂足分别为123D D D 、、……其斜边的中点1C 在反比例函数4y x=上， ∴12,2C （），即12y =， ∴1112OD D A ==，设12A D a =，则22C D a =，此时2(4,)C a a +，带入4y x=，解得：222a =，2222y =，同理32322y =，42423y =……1002100299y =-， 12100=2+2222322+2100299=2100=20y y y +++（-）+（-）……（-）故选：B ．二、填空题11．（2022·陕西西安·高新一中九年级月考）如果一个正比例函数的图象与反比例函数y ＝4x 的图象交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，那么（x 2﹣x 1）（y 2﹣y 1）的值为___．【答案】16．【分析】正比例函数的图象与反比例函数y =4x 的图象交于的两交点坐标关于原点对称，依此可得x 1=-x 2，y 1=-y 2，将（x 2-x 1）（y 2-y 1）展开，依此关系即可求解．【详解】∵正比例函数的图象与反比例函数y ＝4x 的图象交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，关于原点对称，依此可得x 1＝﹣x 2，y 1＝﹣y 2， ∴（x 2﹣x 1）（y 2﹣y 1）＝x 2y 2﹣x 2y 1﹣x 1y 2+x 1y 1 ＝x 2y 2+x 2y 2+x 1y 1+x 1y 1 ＝4×4 ＝16．故答案为：16．12．（2022·浙江省杭州市上泗中学九年级）如图，在直角坐标系中，第一象限内的点A ，B 都在反比例函数的图象上，横坐标分别是3和1，点C 在x 轴的正半轴上，满足AC BC ⊥．且BC AC =，则k 的值是_______________________．【答案】32【分析】作AD ⊥x 轴，BE ⊥x 轴，由AC 丄BC ，利用各角之间的关系，先证明ACD CBE ≅，然后利用全等的性质，得到二元一次方程组，即可求出答案．【详解】解：如图，作AD ⊥x 轴，BE ⊥x 轴，设反比例函数为(0)ky k x=> ∵点A ，B 都在反比例函数ky x=的图象上，横坐标分别是3和1， ∴设点(3,)3kA ，(1,)B k ，∴点(3,0)D ，(1,0)E ，点C 在x 轴的正半轴上，满足AC 丄BC ，则设点C 为（m ，0），∴1CE m =-，3CD m =-，BE k =，3kAD =； ∵AC 丄BC ，AD ⊥x 轴，BE ⊥x 轴，∴90CBE BCE ∠+∠=︒，90BCE ACD ∠+∠=︒，90ADC CEB ∠=∠=︒， ∴CBE ACD ∠=∠，在ACD 与CBE 中，ADC CEB BC ACCBE ACD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ ∴ACD CBE ≅，∴CD BE k ==，3k AD EC ==，即：313m k k m -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得： 3232m k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故答案为：32．13．（2022·宜兴市实验中学九年级）如图，点B 在x 的正半轴上，且BA OB ⊥于点B ，将线段BA 绕点B 逆时针旋转60︒到BB '的位置，且点B '的坐标为()1,1．若反比例函数ky x=()0x >的图象经过A 点，则k =______．【答案】223+ 【分析】过点B′作B′D ⊥x 轴于点D ，根据BA ⊥OB 于点B 及图形旋转的性质求出∠B′BD 的度数，再由直角三角形的性质得出BD 及BB′的长，故可得出点A 的坐标，进而可得出结论．【详解】解：如图，过点B′作B′D ⊥x 轴于点D ，∵BA ⊥OB 于点B ， ∴∠ABD ＝90°．∵线段BA 绕点B 逆时针旋转60°到BB′的位置，∴∠ABB′＝60°，∴∠B′BD＝90°−60°＝30°．∵点B′的坐标为（1，1），∴OD＝B′D＝1，∴BB′＝2B′D＝2，BD＝13 tan30=︒∴13OB=+，AB＝BB′＝2，∴(13,2)A+，∴2(13)223 k=⨯+=+．故答案为：223+．14．（2022·山东济宁学院附属中学九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝32x与双曲线y＝6x相交于A、B两点，C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP、BC，若△PBC 的面积是30，则C点的坐标为__________________．【答案】（8，34）【分析】设C点坐标为（a，6a），根据反比例函数与一次函数的交点问题解方程组求得A点坐标为（2，3），B点坐标为（-2，-3），再利用待定系数法确定直线BC的解析式，直线AC的解析式，于是利用y轴上点的坐标特征得到D、P点坐标，然后利用S△PBC=S△PBD+S△CPD得到关于a的方程，求出a的值即可得到C点坐标．【详解】解：BC交y轴于D，如图，设C 点坐标为（a ，6a），解方程组632y xy x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得23x y =⎧⎨=⎩或23x y =-⎧⎨=-⎩，∴A 点坐标为（2，3），B 点坐标为（-2，-3），设直线BC 的解析式为y =kx +b ，把B （-2，-3）、C （a ，6a ）代入得236k b ak b a -+=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得363k ab a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线BC 的解析式为363y x a a=+-，当x =0时，36633y x a a a=+-=-， ∴D 点坐标为（0，6a-3）设直线AC 的解析式为y =mx +n ，把A （2，3）、C （a ，6a ）代入得236m n am n a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得363m an a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， ∴直线AC 的解析式为363y x a a =-++，当x =0时，36633y x a a a =-++=+，∴P 点坐标为（0，6a+3），∵S △PBC =S △PBD +S △CPD ， ∴12×2×6+12×a ×6=30，解得a =8， ∴C 点坐标为（8，34）．故答案为：（8，34）．15．（2022·厦门海沧实验中学九年级开学考试）设函数1y x=与1y x =+的图象的交点坐标为(),m n ，则()()11m n ++的值为___________．【答案】2或2【分析】由两函数的交点坐标为(),m n ，代入反比例解析式，求出mn 的值，代入一次函数解析式，得出1n m =+，联立两函数解析式，求得m 的值，进而求得代数式的值．【详解】两函数的交点坐标为(),m n11mn n m =⎧∴⎨=+⎩()()11m n ++1mn m n =+++22mn m =++32m =+ 11y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩ 即11x x+=210x x +-= 解得12x x==12m m∴==当m 时，原式322=+=当m322=+=+故答案为：22三、解答题16．（2022·全国九年级专题练习）已知点A （0，2）和点B （0，－2），点P 在函数1y x=-的图象上，如果△P AB 的面积是6，求P 点的坐标．【答案】113,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭或213,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由已知的点A 、B 的坐标，可求得AB ＝4，再由△P AB 的面积是6，可知P 点到y 轴的距离为3，因此可求P 的横坐标为±3，由于点P 在1y x=-的图象上，则由横坐标为±3可求其纵坐标．【详解】解：如图所示，不妨设点P 的坐标为00(,)x y ，过P 作PC ⊥y 轴于点C ．∵A (0，2)、B (0，－2)， ∴AB ＝4．又∵0||PC x =且6PAB S =△， ∴01||462x =， ∴0||3x =， ∴03x =±．又∵00(,)P x y 在曲线1y x=-上，∴当03x =时，031y =-；当03x =-时013y =．∴P 的坐标为113,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭或213,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．17．（2022·广西贺州市·九年级期中）若反比例函数y ＝mx与一次函数y ＝kx +b 的图象都经过点（﹣2，﹣1），且当x ＝1时，这两个函数值相等．（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式．【答案】（1）2y x=；（2）y ＝x +1 【分析】（1）先把点（-2，-1）代入y =mx，求出反比例函数解析式；（2）把x =1代入求出y 的值，把点（-2，-1）和x =1时y 的值代入一次函数解析式即可求出一次函数的解析式．【详解】解：（1）∵反比例函数y =mx的图象经过点（-2，-1）， ∴-1=2m-，解得：m =2，∴反比例函数的解析式：y =2x ；（2）当x =1时，y =21=2，∴一次函数y =kx +b 的图象经过点（1，2）（-2，-1），∴212k b k b -+=-⎧⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式：y =x +1．18．（2022·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级开学考试）在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣x ﹣1与直线y 34=x +6交于点A ，直线y ＝﹣x ﹣1与x 轴交于点B ，直线y 34=x +6与x 、y 轴分别交于点D 、C ．（1）求点A 的坐标；（2）求△ABD 的面积．【答案】（1）()4,3A -；（2）212【分析】（1）联立方程组求解即可；（2）分别求出点B 和点D 的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可；【详解】（1）联立方程组1364y x y x =--⎧⎪⎨=+⎪⎩①②，将①代入②中得：3164x x --=+，解得：4x =-，把4x =-代入①中得：3y =， ∴()4,3A -；（2）当0y =时，10x --=， ∴1x =-，即()1,0B -，当0y =时，3604x +=∴8x =-,即D （-8,0） ∵点B 、D 在x 轴上， ∴()187BD =---=，∴1217322ABD S =⨯⨯=△．19．（2022·重庆实验外国语学校）如图，直线y kx b =+与双曲线my x=的图象分别交于点(2,2)A ，点B ，与x 轴交于点C ，过点A 作线段AD 垂直x 轴于点D ，1tan 2ACD ∠=，连接AO ，BO ．（1）直线y kx b =+与双曲线my x=的解析式；（2）求AOB ∆的面积；（3）在直线AB 上是否存在点P ，使得3AOB AOP S S ∆∆=？若存在，请直接写出所有满足条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）112y x =+，4y x=；（2）3；（3）存在，(0,1)P 或(4,3)．【分析】（1）由题意利用待定系数法代入A 、C 即可求出直线的解析式，继而代入A 求出双曲线的解析式；（2）根据题意联立直线的解析式和双曲线的解析式求出交点B ，进而以OC 为公共底边求出ΔAOC 和ΔCOB 的面积，相加即可得出ΔAOB 的面积；（3）根据题意设直线与y 轴的交点为E ，以及AF =AE 时，可知P 在E 、F 点上满足条件，进而结合三角形等底等高以及中位线性质进行分析计算可得. 【详解】解：（1）(2,2)A ，2AD ∴=，1tan 2ACD ∠=， ∴12AD CD =， 4CD ∴=，(2,0)C ∴-，直线y kx b =+经过A 、C ， ∴2220k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线的解析式为112y x =+；双曲线my x=经过点(2,2)A ， 224m ∴=⨯=．∴双曲线的解析式为4y x=．（2）由题意可得1124y x y x⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得22x y =⎧⎨=⎩或41x y =-⎧⎨=-⎩， (4,1)B ∴--，112221322AOB AOC BOC S S S ∆∆∆∴=+=⨯⨯+⨯⨯=．（3）存在，理由如下，设直线与y 轴的交点为E ，则(0,1)E ，OC OD =，AD CD ⊥，∴OE 是ΔACD 的中位线，则有AE CE =，111221222AOE COE AOC S S S ∆∆∆∴===⨯⨯⨯=， 3AOB S ∆=，1BOC AOE COE S S S ∆∆∆∴===，AE CE BC ∴==（三角形等底等高），在直线AB 上点P ，使得3AOB AOP S S ∆∆=，则P 在E 的横坐标为0，此时有(0,1)P ；当AF =AE 时，3AOB AOF S S ∆∆=，即P 在F 点时满足条件，此时过F 作FG CD ⊥， ∵AE CE AF ==，∴CO OD DG ==，224OG OD DG =+=+=, 即P 在F 的横坐标为4，此时有P (4,3)．综上所述(0,1)P 或P (4,3)．20．（2022·福建三明一中）如图，折线ABC 是在某市乘出租车所付车费y （元）与行车里程x （千米）之间的函数关系图象．（1）根据图象，写出射线BC 的函数关系式并写出定义域；（2）某人乘坐2.5千米，应付元；某人乘坐13千米，应付元；（3）若某人付车费30.8元，出租车行驶了多少千米？【答案】（1）y =1.4x +2.8，x ≥3；（2）7，21；（3）20千米【分析】（1）根据图象，得到B （3，7），C （8，14），设射线BC 的函数关系式为：y =kx +b ，把点B 和点C 的坐标代入，用待定系数法求出k 和b 的值即可得到射线BC 的函数关系式，由图象可知定义域；（2）根据图象可知，当x =2.5时，位于函数图象AB 上，从而得到答案；根据图象可知，当x =13时，位于函数图象BC 上，结合（1）的答案，把x =13代入即可；（3）根据y =30.8可知，位于函数图象BC 上，把y =30.8代入（1）求出的函数解析式中，即可得到答案．【详解】解：（1）设射线BC 的函数关系式为：y =kx +b ，把B （3，7），C （8，14）代入得：37814k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得： 1.42.8k b =⎧⎨=⎩，即射线BC 的函数解析式为：y =1.4x +2.8，定义域为：x ≥3，（2）根据图象可知：当x =2.5时，位于函数图象AB 上，此时y =7， ∴应付7元，根据图象可知：当x =13时，位于函数图象BC 上，把x =13代入y =1.4x +2.8得： y =1.4×13+2.8=21，∴应付21元；（3）根据y =30.8可知：位于函数图象BC 上，把y =30.8代入y =1.4x +2.8得： 1.4x +2.8=30.8，解得：x =20，答：出租车行驶了20千米．21．（2022·北京市第十三中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝﹣2x ﹣3与双曲线ky x=交于M （a ，2），N （1，b ）两点．（1）求k ，a ，b 的值；（2）若P 是y 轴上一点，且△MPN 的面积是7，直接写出点P 的坐标．【答案】（1）k ＝﹣5，a ＝﹣2.5，b ＝﹣5；（2）（0，1）或（0，﹣7）．【分析】（1）根据直线y ＝﹣2x ﹣3过点M （a ，2），N （1，b ），代入求解即可得到a 、b 的值，从而可以求出k ；（2）设直线y ＝﹣2x ﹣3与y 轴交于点C ，则C （0，-3）OC ＝3，根据题意得：S △MPN ＝S △MPC +S △CPN 12=PC ×2.512+PC ×1＝7，由此求解即可．【详解】解：（1）∵直线y ＝﹣2x ﹣3过点M （a ，2），N （1，b ）， ∴﹣2a ﹣3＝2，b ＝﹣2﹣3， ∴a ＝﹣2.5，b ＝﹣5． ∵双曲线ky x=过点N （1，﹣5）， ∴k ＝﹣5；（2）如图，设直线y ＝﹣2x ﹣3与y 轴交于点C ． ∵y ＝﹣2x ﹣3，∴x ＝0时，y ＝﹣3，即C （0，﹣3），OC ＝3．根据题意得：S △MPN ＝S △MPC +S △CPN 12=PC ×2.512+PC ×1＝7，解得：PC ＝4， ∵C （0，﹣3），∴P （0，﹣3+4）或（0，﹣3﹣4），即P （0，1）或（0，﹣7）．故答案为：（0，1）或（0，﹣7）．22．（2022·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级开学考试）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y ＝kx +4交x 轴、y 轴分别于点A 、点B ，且△ABO 的面积为8．（1）如图1，求k 的值；（2）如图2，点P 是第一象限直线AB 上的一个动点，连接PO ，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，设点P 的横坐标为t ，△AOC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点B 作直线BM ⊥OP ，交x 轴于点M ，垂足为点N ，∠PMB ＝2∠OPB ，求点P 的坐标．【答案】（1）1；（2）2S t =；（3）(4,8)P 【分析】（1）令0x =即可求得点B 的坐标，根据函数图像以及△ABO 的面积为8求得A 点的坐标，将A 的坐标代入直线解析式即可求得k 的值；（2）过点P ，C ，分别引,y x 轴的垂线，垂足分别为,E D ，证明PEO CDO △≌△，进而求得,AO CD ，根据三角形面积公式即可求得S 与t 之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，在NM 上截取NQ BN =，连接PQ ，证明PEO BOM △∽△，PBQ MBP △∽△，分别根据（2）的条件求得,BQ BM ，根相似三角形对应边成比例，求得t 的值，进而求得P 的坐标．【详解】（1）如图1，直线4y kx =+交x 轴、y 轴分别于点A 、点B ，令0x =，解得4y =，(0,4)B ∴△ABO 的面积为8． 182OA OB ∴⨯= 4∴=OA点A 在x 的负半轴 (4,0)A ∴-将(4,0)A -代入4y kx =+ 即440k -+= 解得1k =∴4y x =+（2）过点P ，C ，分别引,y x 轴的垂线，垂足分别为,E DPEO CDO ∴∠=∠将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，90POC ∴∠=︒，POOCPOE POD POD DOC ∠+∠=∠+∠POE COD ∴∠=∠PEO CDO ∴△≌△,PE CD OE OD ∴==点P 是第一象限直线AB 上的一个动点，点P 的横坐标为t ，∴(,4)P t t + (0)t >∴,4CD PE t OD OE t ====+(4,)C t t ∴+- 11422AOC S AO CD t ∴=⨯=⨯⨯△2t = 2S t ∴=(0)t >（3）如图，在（2）的条件下，在NM 上截取NQ BN =，连接PQ ，4,OE t PE t =+=，(),4P t t ∴+，(0,4)B ， BE t ∴=，PE OE ⊥，222PB PE BE t ∴=+， 24OBP OP BN OB PE S t ⨯=⨯==△，8t BQ OP∴=， BM PO ⊥，90BNO ∴∠=︒，90BON OBN ∴∠+∠=︒，90BMO OBM∠+∠=︒，BON BMO∴∠=∠，90PEO BOM∠=∠=︒，PEO BOM∴△∽△，OB BMPE OP∴=，PE t =，4OB=，4OPBMt∴=，PN BM⊥，BPN NPQ∴∠=∠，2PMB OPB∠=∠，PMB BPQ∴∠=∠，PBM PBQ∠=∠，PBQ MBP∴△∽△，BQ PBPB BM∴=，∴8tt=，解得124,4t t==-（舍）4t∴=，(4,8)P∴，23．（2022·浙江诸暨市暨阳初级中学）如图，直线483y x=-+分别与x轴，y轴相交于点A，点B，作矩形ABCD，其中点C，点D在第一象限，且满足AB∶BC＝2∶1．连接BD．（1）求点A，点B的坐标．（2）若点E是线段AB（与端点A不重合）上的一个动点，过E作EF∥AD，交BD于点F，作直线AF．①过点B作BG⊥AF，垂足为G，当BE＝BG时，求线段AE的长度．②若点P是线段AD上的一个动点，连结PF，将△DFP沿PF所在直线翻折，使得点D的对应点D落在线段BD或线段AB上．直接写出线段AE长的取值范围．【答案】（1）A （6，0），B （0，8）；（2）①4；②02AE <≤555-5AE ≤≤ 【分析】（1）分别令483y x =-+中x =0、y =0，求出与之对应的y 、x 值，由此即可得出点A ，点B 的坐标；（2）①由题意证()BEF BGF HL ∆≅∆，得出AF ＝AD ，设BE ＝x ，EF ＝0.5x ，AE ＝10－x ，即可求出线段AE 的长度；② D 在线段AB 上时：（考虑以F 为圆心的圆与AB 相交的情况），分情况讨论即可．【详解】（1）令483y x =-+中x =0，则y =8，()0,8B ∴；令483y x =-+中y =0，则x =6，()6,0A ∴；（2）①由BE ＝BG ，BF BF ∴=，()BEF BGF HL ∴∆≅∆，∠BDA ＝∠BFE ＝∠BFG ＝∠AFD ，可得：AF ＝AD ， 6,8OA OB ==，22226810AB OA OB ∴+=+=，又 AB ∶BC ＝2∶1，5BC AD ∴==，5AF ∴=，设BE ＝x ，EF ＝0.5x ，AE ＝10－x ，在Rt △AEF 中：222(10)(0.5)5x x -+=，可得x ＝6，AE ＝4；②当D 在BD 上时，当P 与A 重合时，AE 最长，即AF BD ⊥时，AE 最长，AFD BFA BAD ∆∆∆， 12DE AF AD AF BF AB ===， 14DF BF ∴=， //EF AD ，14AE DF EB FB ∴==， 15AE AB ∴=， ∴当02AE <≤时，可把D 翻折到BD 上；当D 在线段AB 上时：当DP ＝D P 时，D 与A 重合， PF 为AD 中垂线，PF 为BAD ∆中位线， AE ＝5，（若此时E 再上移，以F 为圆心，FD 为半径作圆，与AB 不会有交点，所以=5AE 最大）；当FE ＝FD 时：D 与 E 重合，设,EF FD x ==则2BE x =， 5,102BF x AE x ==-，由55BF FD +=555x x +=，55255551x -∴=+，2555555102AE --∴=-=555AE -=最小 ∴当D 在AB 555-5AE ≤≤．综上，02AE <≤555-5AE ≤≤．。

第26章中考热点加餐反比例函数与一次函数的综合应用市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件

数学
(3)如图，作 C 关于 y 轴的对称点 C′，连接 C′D 交 y 轴于 M，
则
d＝MC＋MD
最小，∴C′－
33，
3.
设直线 C′D 的解析式为 y＝kx＋b，
∴
3＝－ 33k＋b，
1＝k＋b，
∴bk＝＝23－32－23，，
∴y＝(3－2 3)x＋2 3－2，
当 x＝0 时，y＝2 3－2，∴M(0,2 3－2)．
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数学
(2)∵一次函数 y＝x 的图象与反比例函数 y＝1x的图象交于 A， B 两点，且点 A 坐标为(1,1)，∴B(－1，－1)， ∴当－1＜x＜0 或 x＞1 时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，即一次函数 y＝x 的值大于反比例函数 y＝1x的值．
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数学
8．如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形 ABCD 关于 y 轴对称，边 AD 在 x 轴上，点 B 在第四象限，直线 BD 与反比例函数 y＝mx 的图象交于点 B，E. (1)求反比例函数及直线 BD 的解析式； (2)求点 E 的坐标．
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数学
(2)y＝－x－2 中，令 y＝0，则 x＝－2，即直线 y＝－x－2 与 x 轴交于点 C(－2,0)，∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝12×2×2＋21×2×4 ＝6. (3)不等式 kx＋b－mx ＞0 的解集为 x＜－4 或 0＜x＜2.
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数学【例 2】如图，反比例函数 y＝kx(k≠0，x＞0)的图象与直线 y ＝3x 相交于点 C，过直线上点 A(1,3)作 AB⊥x 轴于点 B，交反比例函数图象于点 D，且 AB＝3BD. (1)求 k 的值； (2)求点 C 的坐标； (3)在 y 轴上确定一点 M，使点 M 到 C， D 两点距离之和 d＝MC＋MD 最小，求点 M 的坐标．

2024年中考数学专题训练—一次函数与反比例函数的交点问题

2024年中考数学专题训练—一次函数与反比例函数的交点问题1．如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数()0,0k y k x x=>>的图象相交于(),4A m m ，()3,1B m +两点．(1)求反比例函数的表达式；(2)观察图象，直接写出不等式k ax b x+>的解集； (3)将一次函数y ax b =+的图象向下平移()0n n >个单位，若平移后一次函数的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求n 的值．2．如图，一次函数y kx b =+的图像与反比例函数m y x=的图象相交于()1,3A ，(),1B n -两点．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)根据图象，直接写出满足m kx b x +<的x 的取值范围； (3)若点P 在x 轴上，且8ABP S =，求点P 的坐标．3．如图，一次函数12(0)y kx k =+≠的图象与反比例函数23y x =的图象交于A 、B 两点，已知点A 的纵坐标为3．(1)求一次函数的表达式和B 点坐标；(2)已知点()1,C x m 在一次函数12y kx =+上，点()2,D x m 在反比例函数23y x=上，若12x x <，观察图象，直接写出m 的取值范围．4．一次函数1y kx b =+（k ，b 为常数，0k ≠）的图象与反比例函数28y x =的图象交于点(2,)A m 与点(,2)B n -；(1)求一次函数的解析式；(2)点C 在一次函数1y kx b =+的图象上，将点C 向右平移4个单位长度得到点D ，若点D 恰好落在反比例函数28y x=的图象上，求点C 的坐标. 5．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，矩形OABC 的顶点()2,4B 在反比例函数ky x=的图象上，AB x ⊥轴于点A ．点D 为边AB 中点，过点D 作DE AB ⊥交该函数图象于点E ，过点E 作EF x ⊥轴于点F ，过点E 的正比例函数y ax =的图象与该函数的另一个交点为点G ．(1)k = ．(2)求点E 的坐标及四边形ADEF 的面积．(3)当正比例函数y ax =的值大于反比例函数k y x=的值时，直接写出x 的取值范围． 6．如图，一次函数1y kx =+的图象与反比例函数m y x =的图象交于点()1,2A 与点B ．(1)求一次函数1y kx =+和反比例函数m y x =的解析式． (2)求AOB 的面积．7．如图，直线3y x =与反比例函数k y x=图像交于点()1,A m ，B 点，5AC =．(1)求反比例函数的解析式；(2)直接写出不等式30k x x-<的解集为______；（直接写出结果，无需解答过程） (3)过点B 作y 轴的垂线，垂足为D ，求ACD 的面积．8．如图，一次函数y kx b =+与反比例函数m y x=的图象交于点()2,1A -、()1,B n ．(1)试求AOB 的面积；(2)试根据图象写出使得一次函数的值小于反比例函数值的x 的取值范围．9．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数2y x =的图象与反比例函数()00m y m x x=≠>，的图象交于点()4A a ，，点B 为直线2y x =上一点，且AB OA =．(1)求反比例函数m y x=的解析式； (2)过点B 作BC x ∥轴，交反比例函数m y x =的图象于点C ，求ABC 的面积． 10．如图，反比例函数()10k y k x=≠与一次函数()20y ax b a =+≠的图象交于),,(16)(,6A B m 两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)结合图象，请直接写出满足12y y <的x 的取值范围；11．已知一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于点()()3,,1,6A m B --；与x 轴交于点C ．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)若点P 在y 轴上，且满足89AOB BPC S S =△△求点P 的坐标； (3)我们将有一个内角为45︒的三角形称为“半直角三角形”，这个45︒角所对的边为“半直角边”．反比例函数2k y x=在第四象限的图象上是否存在点Q ，使得OBQ △是不以OB 为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点`Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，一次函数．()0y ax b a =+≠的图象与反比例函数()0k y k x=≠的图象交于点()()1,4,1A B n -、．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)利用图象，直接写出不等式k ax b x+<的解集； (3)已知点D 在x 轴上，点C 在反比例函数图象上．若以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点C 的坐标．13．如图，反比例函数k y x=（0k ≠）与—次函数y x b =-+的图象在第一象限交于()1,3A 、()3,1B 两点．(1)k =______，b =______；(2)求ABO 的面积；(3)已知点(),0P a （0a >），过点P 作平行于y 轴的直线，在第一象限内交一次函数y x b =-+的图象于点M ，交反比例函数k y x=的图象于点N ．若PM PN >结合函数图象直接写出a 的取值范围______．14．如图1，反比例函数 ()0m y m x=≠与一次函数()0y kx b k =+≠的图象交于点 ()13A ，，点()1B n ，，一次函数()0y kx b k =+≠与y 轴相交于点 C ．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)连接OA 、OB ，在x 轴上是否存在一点D 使ACD 的面积是OAB 面积的2倍，请求出点D 的坐标；(3)如图2，点E 是反比例函数图象上A 点右侧一点，连接AE ，把线段AE 绕点A 顺时针旋转90︒，点E 的对应点F 恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E 的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)k y x x=<的图象与直线2y x =+交于点(3,)A m -．(1)求k ，m 的值；(2) 已知点(),P a b 是直线y x =上位于第三象限的点，过点P 作平行于x 轴的直线，交直线2y x =+于点M ，过点P 作平行于y 轴的直线，交反比例函数(0)k y x x=<的图象于点N ． ①当1a =-时，判断线段PM 与PN 的数量关系，并说明理由；①若PM PN ≤，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围．。

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专题26 一次函数与反比例函数
一、单选题
1．（2022·全国九年级课时练习）下列函数中，是反比例函数的是（） A ．2
x y =-
B ．21y x
=+ C ．2
y x
=-
D ．21y x =+
2．（2022·北京市第十三中学九年级期中）已知点A （1，a ）与点B （3，b ）都在反比例函数y 12
x
=-
的图象上，则a 与b 之间的关系是（） A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ≥b D ．a ＝b
3．（2022·哈尔滨风华中学九年级开学考试）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论正确的是（）
A ．乙前3秒行驶的路程为15米
B ．在0到6秒内甲的速度每秒增加6米/秒
C ．两车到第2.5秒时行驶的路程相等
D ．在0至6秒内甲的速度都大于乙的速度
4．（2022·建昌县教师进修学校九年级）在平面直角坐标系中，函数2y mx m =++的图象如图所示，则m 的取值范围是（）
A ．0m ＜
B ．2m -＞
C ．20m -＜＜
D ．02m ＜＜
5．（2022·武汉一初慧泉中学九年级月考）下表反映的是某地区用电量x （千瓦时）与应交电费y （元）之间的关系：
用电量x （千瓦时） 1 2 3 4 …
应交电费y （元）
0.55 1.1 1.65 2.2 …
下列说法：①x 与y 都是变量，且x 是自变量，y 是x 的函数；②用电量每增加1千瓦时，应交电费增加0.55元；③若用电量为8千瓦时，则应交电费4.4元；④若所交电费为2.75元，则用电量为6千瓦时，其中不正确的是（） A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
6．（2022·武汉一初慧泉中学九年级月考）已知反比例函数3
2y x
=-
，直线24y x =-+交于(),P a b 、(),Q m n 两点，则代数式33
m a b n
++
+的值是（） A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4
7．（2022·沙坪坝区·重庆八中九年级）如图：四边形ABCD 为菱形，且对角线BD ∥x 轴，A 、C 两点在y 轴上，E 点在BC 上，且BE ＝2CE ，双曲线y ＝k x
（x ＞0）经过E 、B 两点，且8EFB S =△，
则k 的值为（）
A ．3
B ．83
C ．4
D ．6
8．（2022·江苏泰州中学附属初中）在平面直角坐标系中，一次函数 2y x b =-+（b 为常数）的图像与x 、y 轴分别交于点A 、B ，直线AB 与双曲线4
y x
= 分别交于点P 、Q ，则AP ·BP 的值是（）
A ．4
B ．8
C ．10
D ．与b 的取值有关
9．（2022·南宁市天桃实验学校九年级）如图，在平面直角坐标系中，若折线241y x =--+与直线交2y kx k =+（0k >）有且仅有一个交点，则k 的取值范围是（）
A ．01k <<或1
4
k =
B ．1k >或14
k =
C ．02k <<或14k =
D ．2k >或14
k =
10．（2022·湖南新田县·九年级期中）如图，11122233,,,OA B A A B A A B △△△…是分别以123,,,A A A …为直角顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点
111222333(,),(,),(,),C x y C x y C x y …均在反比例函数4
y x
=（x ＞0）的图象上，则12100
y y y ++
+的值为（）
A ．10
B ．20
C ．42
D ．7二、填空题
11．（2022·陕西西安·高新一中九年级月考）如果一个正比例函数的图象与反比例函数y ＝4
x
的图象交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，那么（x 2﹣x 1）（y 2﹣y 1）的值为___． 12．（2022·浙江省杭州市上泗中学九年级）如图，在直角坐标系中，第一象限内的点A ，B 都在反比例函数的图象上，横坐标分别是3和1，点C 在x 轴的正半轴上，满足AC BC ⊥．且BC AC =，则k 的值是_______________________．
13．（2022·宜兴市实验中学九年级）如图，点B 在x 的正半轴上，且BA OB ⊥于点B ，将线段BA 绕点B 逆时针旋转60︒到BB '的位置，且点B '的坐标为()1,1．若反比例函数k
y x
=
()0x >的图象经过A 点，则k =______．
14．（2022·山东济宁学院附属中学九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝3
2x
与双曲线y ＝6
x
相交于A 、B 两点，C 是第一象限内双曲线上一点，连接CA 并延长交y 轴
于点P ，连接BP 、BC ，若△PBC 的面积是30，则C 点的坐标为__________________．
15．（2022·厦门海沧实验中学九年级开学考试）设函数1
y x
=与1y x =+的图象的交点坐标为
(),m n ，则()()11m n ++的值为___________．
三、解答题
16．（2022·全国九年级专题练习）已知点A （0，2）和点B （0，－2），点P 在函数1
y x
=-的
图象上，如果△P AB 的面积是6，求P 点的坐标． 17．（2022·广西贺州市·九年级期中）若反比例函数y ＝m
x
与一次函数y ＝kx +b 的图象都经过点（﹣2，﹣1），且当x ＝1时，这两个函数值相等．
（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式．
18．（2022·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级开学考试）在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣x ﹣1与直线y 34=
x +6交于点A ，直线y ＝﹣x ﹣1与x 轴交于点B ，直线y 3
4
=x +6与x 、y 轴分别交于点D 、C ．（1）求点A 的坐标；（2）求△ABD 的面积．
19．（2022·重庆实验外国语学校）如图，直线y kx b =+与双曲线m
y x
=
的图象分别交于点(2,2)A ，点B ，与x 轴交于点C ，过点A 作线段AD 垂直x 轴于点D ，1
tan 2
ACD ∠=
，连接AO ，BO ．
（1）直线y kx b =+与双曲线m
y x
=的解析式；（2）求AOB ∆的面积；
（3）在直线AB 上是否存在点P ，使得3AOB AOP S S ∆∆=？若存在，请直接写出所有满足条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
20．（2022·福建三明一中）如图，折线ABC 是在某市乘出租车所付车费y （元）与行车里程x （千米）之间的函数关系图象．
（1）根据图象，写出射线BC 的函数关系式并写出定义域；
（2）某人乘坐2.5千米，应付元；某人乘坐13千米，应付元；
（3）若某人付车费30.8元，出租车行驶了多少千米？
21．（2022·北京市第十三中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x
﹣3与双曲线
k
y
x
=交于M（a，2），N（1，b）两点．
（1）求k，a，b的值；
（2）若P是y轴上一点，且△MPN的面积是7，直接写出点P的坐标．22．（2022·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级开学考试）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx+4交x轴、y轴分别于点A、点B，且△ABO的面积为8．
（1）如图1，求k的值；
（2）如图2，点P是第一象限直线AB上的一个动点，连接PO，将线段OP绕点O顺时针旋转90°至线段OC，设点P的横坐标为t，△AOC的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点B作直线BM⊥OP，交x轴于点M，垂足为点N，∠PMB＝2∠OPB，求点P的坐标．
23．（2022·浙江诸暨市暨阳初级中学）如图，直线
4
8
3
y x
=-+分别与x轴，y轴相交于点A，
点B，作矩形ABCD，其中点C，点D在第一象限，且满足AB∶BC＝2∶1．连接BD．（1）求点A，点B的坐标．
（2）若点E是线段AB（与端点A不重合）上的一个动点，过E作EF∥AD，交BD于点F，作直线AF．
①过点B作BG⊥AF，垂足为G，当BE＝BG时，求线段AE的长度．
②若点P是线段AD上的一个动点，连结PF，将△DFP沿PF所在直线翻折，使得点D的对应点D落在线段BD或线段AB上．直接写出线段AE长的取值范围．。