行列式试题及答案

第一章行列式试题及答案

一选择题 (每小题3分，共30分)

⑴ n 元排列 i 1 i 2… i n 经过相邻对换，变为i n … i 2 i 1，则相邻对换的次数为( )

(A) n (B) n /2 (C) 2n

(D) n (n -1)/2

⑵ 在函数()x

x x x x x f 21421

12---=中，x 3的系数是( )

(A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4

⑶ 若D n =det(a ij )=1，则det(－a ij ) = ( )

(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n

(D) (-1)

n(n -1)/2

⑷ 设

n λλλλλλ

，则n 不可取下面的值是( )

(A)7 (B) 2k

+1(k 2) (C) 2k

2) (D) 17

⑸ 下列行列式等于零的是( )

(A)100123123- (B) 031010300- (C) 100003010- (D) 261422613-

⑹ 行列式D 非零的充分条件是( ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例

(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 ⑺

=+++1

222c bc ac

bc b ab ac

a ( ) (A) 1000100

01222

+c bc ac bc b ab ac ab a (B) 1

111122222

+++++c bc ac bc b ab ac ab c bc ac bc b ab ac ab a

+++++c bc bc b ac ab

c bc ac bc b ab ac ab

(D) 1

1122

bc ac bc ab ac

ab c bc ac bc b ab ac

ab a

⑻ 设a ,b ,c 两两不同，则02

22=+++c b a c b a b

a a c c

b 的充要条件是( )

(A) abc =0 (B) a+b+c =0 (C) a =1, b =-1, c =0 (D) a 2

=b 2

, c =0

⑼ 四阶行列式

3221

a b a b b a b a ( )

(A) (a 1a 2- b 1b 2) (a 3a 4- b 3b 4) (B) (a 1a 4- b 1b 4) (a 2a 3- b 2b 3) (C) (a 1b 2- a 2b 1) (a 3b 4- a 4b 3) (D) (a 1b 4- a 4b 1) (a 2b 3- a 3b 2)

⑽ 齐次线性方程组???

??=-+=+-=-+03020

223

21321321x x x x x x x x x λ只有零解，则应满足的条

件是( )

(A) λ=0 (B) λ=2 (C) λ=1 (D) λ

二填空 (每小题3分，共15分)

⑴ 在五阶行列式中，3524415312a a a a a 的符号是_________。

⑵ 五阶行列式=6

200357020381002

300031000___________。

⑶ 设7

4369

0211

1875

1----=

D ，则5A 14+A 24+A 44=_______。

⑷ 若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100

a b b a 0。

⑸ 设x 1,x 2,x 3是方程x 3+px +q =0的根，则行列式=1

32213

x x x x x x x x x __。

三计算行列式 (每小题6分，共30分)

⑴ 0

112

032101132

3211----- ⑵ ()()()()()()()()()()()()2

2222

2222321321321321++++++++++++d d d d c c c c

b b b b a a a a

⑶

y x x

-+-+111

1111

111111 ⑷

c b

a c b

a c

b a ⑸ x

b b b a x b b a

a x

b a

a a x D n =(a

b )

四证明题 (每小题10分，共20分)

⑴ 用归纳法证明: 任意一个由自然数1,2,…,n 构成的n 元排列，一定可以经过不超过n 次对换变成标准排列12…n

⑵ 设平面上三条不同的直线为 000

=++=++=++b ay cx a cy bx c by ax ，

证明: 三条直线交于一点的充分必要条件是0=++c b a

五解答题 (5分)

和取何值时，???

??=++=++=++0

200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？

参考答案

一、选择题

⑴ (D) ⑵ (A) ⑶ (C) ⑷ (A) ⑸ (D) ⑹ (D) ⑺ (C) ⑻ (B) ⑼ (B)； ⑽ (D) 二、填空题 ⑴ “-”

调换乘积中元素的位置，使行标成标准排列5341352412a a a a a ，此时列标排列的逆序数为t (24513)=5，故该项带负号。 ⑵ 42 4232

331)

1(6

2003570203810023000310003

2=??

-=?

⑶ -150

用5, 1, 0, 1替代原行列式中的第四列，按第四列展开，有

5A 14+A 24+A 44=

1501

343090211

1575

1-=---

⑷ a =0, b =0

0)(10100

22=+-=--=---b a a

b b

a a

b b a a =0, b =0

⑸ 0

由题意知()()()0321=---x x x x x x k ，其中x 3

的系数为k ，x 2

的系数为)(321x x x k ++-，与原方程比较，得k =1，x 1+x 2+x 3=0。将行列式的第2,3行加至第1行，并对第1行提取公因子，得

1)(1

32213321132213321=++=x x x x x x x x x x x x x x x x x x 三、计算题

⑴ 0

1032101132

031

1020

1032101132

132

114

1--------------r r r r

11322

513110112

113227513110

)1(53

4-------

+--------+r r 列展开

按第

51302713

1052112271310542

3---?------?-r r 行展开

按第

1705

133

151-=--?

列展开

按第

⑵ ()()()()()()()()()()()()2

222222

2222

2222321321321321++++++++++++d d d d c c c c

b b b b a a a a 5

232125232125

232125232122

2122334++++++++++++---d d d d

c c c c b b b b a a a a c c c c c c 02

21222122

212221222

2334=++++--d d c c b b a a c c c c ⑶

y y x x

-+-+111

11111

111111y

y x x x

r r r r ----111100

1100

4321

x xy --111

111001

1100

3,1行提取公因子

第

221

4110

1001

1100

y x y

x xy r r =---

⑷ 对n 阶行列式

a c

b a

按第一行展开，得递推公式 11---=n n n bcD aD D

于是有 abc a abc bc a a bcD aD D 2)(32123-=--=-= 2224232343)()2(c b bc a a bc a bc abc a a bcD aD D +-=---=-= 223534534c ab bc a a bcD aD D +-=-=

⑸ x b b b a x b b a

a x b

a a a x D n =)

(00

0a x a b b b a x b b a a

x b

a a a x -++++=

)

00a x b b b x b b a

x b

a a x a

b b b a x b b a

a x b

a a a x -+=

1)(1

1--+=n D a x b b b x b b a x b a a x a

1)(1

)

1,,2,1(--+-------=-n n i D a x b x b a b x b a b a b x a

n i bc c

得递推公式11)()(---+-=n n n D a x b x a D ① D n 的转置行列式相当于将a ,b 互换，于是有

11)()(---+-=n n n D b x a x b D ②

因为a b ，①?(x -b )-②?(x -a )，得

()()b

a a x

b b x a D n

n n ----=

四、证明题

⑴ 设n 元排列为i 1i 2…i n 。

当n =2时，最多只需1次对换即可得标准排列12，结论成立。假设结论对n -1元排列成立，下面证明对n 元排列也成立 ① 若元素i n =n 。

根据归纳法假设，i 1i 2…i n -1可经过不超过n -1次对换变成12… (n -1)，亦即i 1i 2…i n -1i n 可经过不超过n -1次对换(

n 。

不妨设i k =n ，只需对换元素i k 和i n ，即得第①种情形，故i 1i 2…i n 可经过不超过n 次对换变成12…n ⑵ 必要性

设三条直线交于一点(x 0,y 0)，则x =x 0，y =y 0，z ＝1可看成是如下的齐次线性方程组的非零解，

??=++=++=++000

bz ay cx az cy bx cz by ax 故系数行列式0==b

a c a c

b c

b a D 即

))((222ca bc ab c b a c b a D ---++++-= ])()()[()(2

222a c c b b a c b a -+-+-?++-=

由于三条直线不同，因此，a ,b ,c 不能全部相等，故0=++c b a 。充分性

已知0=++c b a ，要证明下列非齐次线性方程组有唯一解。

??-=+-=+-=+b ay cx a cy bx c by ax ① 将前两个方程相加，有

)()()(a c y c b x b a +-=+++

由于0=++c b a ，得b ay cx -=--，即第三个方程。

因此，满足前两个方程的解一定满足第三个方程(该方程是多余方程)，去掉第三个方程，方程组①变为

?-=+-=+a cy bx c

by ax ② 其系数行列式22)(c a ac b ac c

b b

a D +-=-==

])([2

)(22222c a c a ac c a -++-=-+-=

显然D 0 [否则，a =c =0，并由此得b =- (a +c )=0，这与0

=++c by ax 是直线方程矛盾]

因此，方程组②亦即方程组①有唯一解，三条直线交于一点。五、解答题

齐次方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零，即

0)1(1

011111211111

23=--=-=-=λμλμμμλμμλ

r r D

故1=λ或0=μ时，方程组有非零解。

行列式的定义及其性质证明

行列式的定义及其性质证明摘要:本文给出了与原有行列式定义不同的定义，利用此定义和引理导出定理，进一步导出行列式的性质，给出了行列式性质与以往教材不同的完整证明，形成了有关行列式的新的知识体系，通过定理性质的证明过程，重点在培养同学们的逻辑思维能力、推理能力和创新能力。关键词:行列式；定义；性质；代数余子式；逆序数 1 基本定理与性质的证明引理设t为行标排列q1q2…qn与列标排列p1p2…p n的逆序数之和，若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则t的奇偶性不变。证明根据对换定理:一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则行标排列的逆序数与列标排列的逆序数的奇偶性同时改变，因而它们的逆序数之和的奇偶性不变。定理1 n阶行列式也可定义为证明由定义1和引理即可证得。性质1 行列式与它的转置行列式相等(由定理1即可证得)。 (根据性质1知对行成立的性质对列也成立) 性质2 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。证明利用定理1和代数余子式的定义即可证得。性质3 如果行列式中有两行(两列)元素对应相等，则此行列式等于零。证明(利用递推方法来证)设行列式中第k行和第j行的元素对应相等，由性质2可知又A is=(-1)i+s(s=1，2，…，n)，根据性质2，M i+s又可以展开成n-1项的和，每一项都是一实数与n-1阶行列式的乘积，以此类推，M i+s 总可以展开成一个实数与一个二阶行列式的乘积之和，即 (mi为实数，Di为含有原行列式中k行和j行的二阶行列式)，这个二阶行列式的两行就是原n阶行列式中的k行j行对应的元素，由于这

工程数学教案行列式的性质与计算

教案头教学详案一、回顾导入（20分钟） ——复习行列式的概念，按照定义计算一个四阶行列式，一般需要计算四个三阶行列式，如果计算阶数较高的行列式利用定义直接计算会比较麻烦，为简化行列式的计算，我们需要研究行列式的主要性质。二、主要教学过程（60分钟，其中学生练习20分钟）一、行列式的性质定义将行列式D 的行换为同序数的列就得到D 的转置行列式，记为T D 。性质1 行列式与它的转置行列式相等。性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号。推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式。推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。性质４行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和。性质６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。二、行列式按行（列）展开定义在n 阶行列式中，把元素 ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的1-n 阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij A 。记ij j i ij M A +-=)1(，叫做元素ij a 的代数余子式。引理一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除ij a 外都为零，那末这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即 ij ij A a D =。定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 ),,2,1(,2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++=。推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 j i A a A a A a D jn in j i j i ≠+++=,2211 。行列式的代数余子式的重要性质： ???≠===∑=;,0,,1j i j i D D A a ij n k kj ki 当当δ???≠===∑=;,0, ,1j i j i D D A a ij n k jk ik 当当δ

行列式的性质

行列式的性质基本性质性质1 行列式与它的转置行列式相等。性质2 互换行列式的两行(列)，行列式变号。推论如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零。性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式。推论行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。性质5 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，例如第j 列的元素都是两数之和性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。一般利用行列式的定义计算高阶行列式比较繁琐，下面我们将推导出行列式的一些性质，为行列式的计算做准备. 设 111212122212 n n n n nn a a a a a a D a a a = ， 112111222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = 称行列式T D 为D 的转置行列式．T D 可以看成是D 的元素沿着主对角线旋转180所得，亦可看成是将D 的所有行（列）按序写成所有列（行）所得（即所谓行列互换）．性质1. 1 行列式的值与其转置行列式的值相等，即 111212122212 n n n n nn a a a a a a a a a 112111222212n n n n nn a a a a a a a a a = . 证明将等式两端的行列式分别记作D 和T D ，对行列式的阶数用数学归纳法. 当2n =时，可以直接计算出T D D =成立，假设结论对小于n 阶的行列式都成立，下面考虑n 阶的情况. 根据定义 1111121211n n D a A a A a A =++ +，

范德蒙行列式论文的开题报告

湖北文理学院毕业论文开题报告论文题目：范德蒙行列式的推广及应用系别：数学与计算机学院专业：数学与应用数学班级：数学与应用数学0911 姓名：李小兵学号：2009109157 二零一二年三月三日

一、范德蒙行列式的理论意义和现实意义行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。其定义域为n×n的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或| A | 。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。作为一种特殊的行列式——范德蒙行列式，是一类很重要的行列式。范德蒙行列式作为一种重要的行列式，在计算的过程中可以将一些特殊的或者近似于范德蒙行列式的行列式转化为范德蒙行列式，从而能够简化计算，有利于行列式的计算。范德蒙行列式的应用也比较广泛，不仅应用于一些行列式的计算当中，而且它可以应用于证明行列式的问题和一些关于多项式方面以及某些特征向量线性无关等问题上。二、研究的方向范德蒙行列式作为一种特殊的行列式，与有关数学知识的综合应用，将行列式的定理、性质融汇于一体，贯穿于证明及计算行列式之中并加以应用，体现较高的解题技巧解决较为复杂的问题。利用范德蒙行列式的结论计算并不复杂，难的是如何将给定的行列式化成范式的标准形式，并研究范德蒙行列式的推广及在向量空间理论、线性变换理论、多项式理论、行列式计算、微积分中的应用。三、主要的论文内容及提纲范德蒙行列式是一个很重要的行列式，本文将通过对n阶行列式的计算，讨论他的各种位置变化规律，然后主要研究一些与范德蒙行列式有关的例子，从中掌握行列式计算的某些方法和技巧。本文探讨了范德蒙行列式在向量空间理论、线性变换理论、多项式理论中以及行列式的计算中的应用。同时，行列式的一个性质，即n阶准范德蒙行列式的计算方法，并使其能解决一类行列式的计算问题。 (1)范德蒙行列式在n阶行列式计算中的应用

行列式的应用讲解

摘要行列式是数学研究中一类重要的工具之一，行列式最早出现在16世纪，用于解决线性方程组的求解问题。现在，行列式经过几世纪的发展已经形成了一整套完备的理论，并且在数学这门学科中占有很重要的位置。本论文通过对行列式理论和行列式在线性方程组和中学数学中的应用展开研究。首先论述了行列式的历史意义，其次展示了行列式在线性方程组中的应用以及在中学数学中的应用,重点论述了行列式在中学代数领域以及中学几何领域的应用。论文以求解线性方程组和解中学几何与代数问题为例，论述了行列式在实际中的应用。主要通过文献研究的方法对行列式的应用进行研究，充分阐释了行列式在不同方面的应用。关键词：行列式，线性方程组，中学代数，中学几何

The Application of The Determinant Abstract The determinant is one of a kind of important tools in mathematical research, determinant first appeared in the 16th century, used to solve linear equations to solve the problem. now, the determinant after centuries of development has formed a set of complete theory, and the mathematics occupies very important position in the subject. This paper based on the theory and determinant determinant in the system of linear equations and the application of the middle school mathematics study. First discusses the historical significance of determinant, the second shows the determinant in the application of linear equations, and the middle school mathematics, the application of the determinant is emphasized in the field of high school algebra and applied in the field of high school geometry. Paper to solve the linear system of equations and middle school geometry and algebra problem as an example, this paper discusses the determinant in the actual application. Mainly through the literature research methods to study the application of the determinant, fully illustrates the application of determinant in different aspects. Key words: determinant, system of linear equations, algebraic secondary school, high school geometry

行列式经典例题

大学-----行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

= 行列式即为y 2前的系数. 于是 = 所以的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解：方法1 递推法按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍，，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++

范德蒙行列式的历史回顾与应用

范德蒙行列式的历史回顾与应用摘要：行列式是高等代数的重要内容之一，它是线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础。n 级范德蒙行列式是著名的行列式，它有广泛的应用，证明过程是行列式定理及数学归纳法的综合应用。本文将通过对n 级范德蒙行列式的历史发展进程与范德蒙行列式和类似范德蒙行列式的计算方法，讨论它的各种位置变化规律, 介绍如何将类似范德蒙行列转换构造为标准的范德蒙行列式，并通过行列式的性质及定理，行列式的乘法规则，和行列式的加边法，来计算此类行列式，由此让人们能较为深入地了解到范德蒙行列式的魅力所在，同时也提高了分析、归纳与总结相关内容的能力，掌握解决此类问题的方法与技巧。关键词：行列式，范德蒙行列式，行列式的性质，乘法规则，加边法，拉普拉斯定理，子式，代数余子式，克莱姆法则，重根，充要条件，线性方程组。 1 .引言行列式 11312 1 1223222 13 2 1 1111----=n n n n n n n a a a a a a a a a a a a d 称为n 级的范德蒙行列式。（见文献[1]）我们来证明，对任意的n （n ≥2），n 级范德蒙行列式等于n a a a ,,,21 这n 个数的所有可能的差j i a a -（1≤j ＜i ≤n ）的乘积，即 ∏≤<≤-n i j j i a a 1)(。我们可以将范德蒙行列式或类似范德蒙行列式的行列式，用行列式的性质、乘法规则、加边法，计算出结果。 2.1.预备知识

性质1 行列互换，行列式不变，即 nn n n n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 212 221212111212222111211= 。在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立。性质2 nn n n in i i n nn n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a 21 21 112112 1 2111211=。这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式。性质3 nn n n n n nn n n n n nn n n n n n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a c b c b c b a a a 2 12 1 11211212 1112112 1 221111211+=+++。这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原来行列式的对应的行一样。性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零。所谓相同就是说两行的对应元素都相等。性质5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。

行列式的计算技巧与方法总结讲解

行列式的几种常见计算技巧和方法 2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式0 004003002001000. 解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑 1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有 41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故 004003002001000=() () 241413223144321=-a a a a τ. 2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：

nn n n n a a a a a a a a a a a a a 2211nn 333223221131211000000=，nn nn n n n a a a a a a a a a a a a a 22113 2 1 33323122211100 0000=. 例2 计算行列式n n n n b a a a a a b a a a a ++= + 21 211211n 1 11 D . 解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得 121n 1121000 0D 0 n n n a a a b b b b b += =. 2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．

高二数学上册 9.4《三阶行列式》教案(3) 沪教

9.4（1）三阶行列式一、教学内容分析三阶行列式是二阶行列式的后继学习，也是后续教材学习中一个有力的工具．本节课的教学内容主要围绕三阶行列式展开的对角线法则进行，如何理解三阶行列式展开的对角线法则和该法则的应用是本节课的重点内容．二、教学目标设计经历观察、比较、分析、归纳的数学类比研究，从二阶行列式的符号特征逐步形成三阶行列式的符号特征，从二阶行列式展开的对角线法则逐步内化形成三阶行列式展开的对角线法则，感悟类比思想方法在数学研究中的应用．三、教学重点及难点三阶行列式展开的对角线法则、三阶行列式展开的对角线法则形成的过程．四、教学用具准备可以计算三阶行列式值的计算器五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入 1．观察

(1)观察二阶行列式的符号特征： 1325 023 1 - 612 711 - a b c d (2)观察二阶行列式的展开式特征： 13112321=?-? 02013(2)3 1-=?-?- 6 12 6(11)712711 =?--?- a b a d c b c d =?-? 2．思考 (1)二阶行列式算式的符号有哪些特征？ (2)你能总结一下二阶行列式的展开式有哪些特征吗？ [说明] (1)请学生观察二阶行列式的符号特征，主要是观察二阶行列式有几个元素，这几个元素怎么分布？从而可以类比得到三阶行列式的符号特征． (2)请学生观察和总结二阶行列式的展开式特征，可以提示学生主要着力于以下几个方面： ① 观察二阶行列式的展开式有几项？ ② 二阶行列式的展开式中每一项有几个元素相乘；这几个元素在行列式中的位置有什么要求吗？ ③ 二阶行列式的元素在其展开式中出现了几次？每个元素出现的次数一样吗？二、学习新课 1．新课解析【问题探讨】结合情景引入的两个思考问题，教师可以设计一些更加细化的问题引导学生发现二阶行列式的符号特征以及二阶行列式的展开式特征，从而类比得到三阶行列式相应特征．比如教师可以设计如下几个问题：问题一，通过学习和观察，我们发现二阶行列式就是表示四个数(或式)的特定算式，这四个数分布成两行两列的方阵，那么三阶行列式符号应该有怎么样的特征呢？问题二，说出二阶行列式的展开式有哪些特征？ (① 二阶行列式的展开式共有两项；② 二阶行列式的展开式中每一项有两个元素相乘；③ 相乘的两个元素在行列式位于不同行不同列；④ 二阶行列式的元素在其展开式中出现了

范德蒙行列式的应用论文

1引言定义：形如 n D =113 12 1 1 2 2 32 22 1321 1111----n n n n n n n a a a a a a a a a a a a 的行列式叫做范德蒙行列式. 用递推法可以证明 n D =1 2322221 2 3 1 1 1 1 1 2 3 1111n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ---- () ?????→?=-+n i r a r i i ,2,111 21 31 1 2 2 2 2213311111100()()() n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a --------- = 2131122133112 2 2 2213311() () () () ()() n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ------------ =(12a a -)(13a a -)…(1a a n -) 2 2 3 2 2 32111 ---n n n n n a a a a a a ???→?依次类推 n D = ∏≤<≤-n j i j a a i 1)( 2 范德蒙行列式在解题中的应用 2.1 范德蒙行列式简单性质范德蒙行列式 1 1 2 1 1 21111 ---= n n n n n n x x x x x x D

性质一逆时针旋转 90得 D = 1 1 1 1 1111 11 -----n n n n n n n x x x x x x 转置 1 1 1 1 1 11111-----n n n n n n n x x x x x x 交换各列 1 1 2 1 1 2111 1---n n n n n x x x x x x .2 )1() 1(--n n =n n n D ?--2 ) 1() 1( 性质二逆时针旋转 180得 1 1 1 111 1 1 11 x x x x x x n n n n n n n -----交换各行n n n ) 1(1--）（1 1 1 1 1 11111 -----n n n n n n n x x x x x x = n n n )1(1--）（.n n n ) 1(1--）（n n D D = 性质三逆时针旋转 270得 1 112 1 22 21 2121 11 n n n n n n n n n x x x x x x x x x ------转置 1 1 1 1 2 22 21 1 1 21 1 ------n n n n n n n n x x x x x x 交换各行 n n n D ?--2 )1()1( 性质四逆时针旋转360 得 n D D = 所以：逆时针旋转2 π 的奇数倍则 D =n n n D ?--2 ) 1() 1( 逆时针旋转 2 π 的偶数倍则 D = n D 注①：类似三角公式中奇变偶不变.对此亦可进行顺时针旋转，结论一致. 2.2 范德蒙行列式在行列式计算中的应用例1 计算n+1阶行列式.

范德蒙行列式论文

范德蒙行列式的推广及应用目录一、摘要二、引言三、第一章 1、定义…………………………………………………………… 2、定义的证明……………………………………………………… 3、推广定义及证明………………………………………… 4、性质…………………………………………………………………… 第二章 1、范德蒙行列式在行列式计算中的应用…………………………………… 2、范德蒙行列式在微积分计算中的应用………………………………… 3、范德蒙行列式在向量空间计算中的应用………………………… 4、范德蒙行列式在线性空间计算中的应用…………………………… 第三章 1、范德蒙行列式在多项式插值中的应用……………………………… 2、利用编程计算范德蒙行列式……………………………………………… 第四章结论………………………………………………………………… 参考文献……………………………………………………………

摘要 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………（略）关键词：………………（略）引言 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………（略）英文 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………（略）

范德蒙行列式的证明及其应用

范德蒙德行列式的证明及其应用摘要：介绍了n阶范德蒙行列式的定义,用递推法和拉普拉斯定理两种方法证明了范德蒙行列式,辅以实例研究了它在高等代数中的一些应用.向量空间理论用来解决线性问题;在线性变换理论、多项式理论和微积分理论中,主要用它构造线性方程组,进而应用克拉默法则或相关定理判断根的情况;在行列式计算中,主要运用范德蒙行列式的结论简化n阶行列式的计算过程.探究范德蒙行列式的历史及相关应用,为更进一步钻研其相关性质与应用奠定了良好的基础. 关键词：范德蒙德行列式;向量空间;线性变换;应用 1引言行列式本身有着长远的历史发展过程.它的理论最早可追溯到十七世纪末, 在十九世纪末,其理论体系已基本形成. 1683年,定义行列式概念的是日本数学家关孝和.同一年,德国数学家莱布尼茨首先开始使用指标数的系数集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数.他这种解决方程组的思维方式为行列式理论的深入研究工作打下了坚实地基础.1771年,范德蒙创造性的在深入研究行列式理论的基础上,尝试解线性方程组.他这种勇于创新、敢于探索的精神为大家所认可,被公认为行列式的奠基人. 他以现在被大家所熟悉的拉格朗日著作中的相关知识为理论基础,进行了反复的钻研,为后来研究群的概念奠定了良好的基础.第一个阐述行列式的数学家便是范德蒙.他运用自己的聪明才智、活跃的思维、批判的科研态度给出了现代代数书中二阶子式及余子式的定义,经过推理,演绎这一系列严谨的过程,完善了行列式的概念,并给出了行列式的数学符号记录.1772年,皮埃尔-西蒙.拉普拉斯在范德蒙著作和自身灵感的启示下,思维方法发生了变化,得出了子类型的概念.自此起,人们对行列式展开了单独的研究. 人们为了深入了解行列式理论的本质特征,在19世纪展开了更深层次的研究.柯西积极吸收前人的劳动成果的同时,首次给出了行列式的系统理论.包括双重组标记法、行列式的乘法定理等.1832年至1833年,问卡尔.雅可给出了一个特殊的行列式的计算结果.基于此,1839年,卡塔兰发现了Jacobian行列式. 范德蒙行列式整齐、完美的结构形式让我们体验到数学之美.简单探索它的应用,感悟数学的魅力.如果我们能够深入探索范德蒙行列式并灵活运用它,未来将更广泛的应用在数学各个领域. 2范德蒙行列式的定义及证明 2.1定义

线代教案第1章行列式

第1章行列式（共4学时）一、教学目标及基本要求 1．了解逆序数的概念 2．掌握n阶行列式的定义和行列式的性质 3．掌握行列式的按行（列）展开定理 4．利用行列式的性质和展开定理计算行列式的值二、教学内容与学时分配 1．预备知识 2．n阶行列式的定义（2学时） 3．行列式的性质 4．行列式的展开（2学时）三、教学内容的重点及难点重点：利用行列式性质及展开计算行列式难点：行列式的计算技巧四、教学内容的深化和拓宽行列式的拉普拉斯展开定理及行列式在实际中的应用，或讲稿中部分结论推广五、思考题与习题思考题：见讲稿作业：2，（2），（4），（6）；3，（1），（3）；7，（1），（3），（5）六、教学方式与手段注意行列式定义的引入，应用启发式

讲稿内容 1.1 预备知识为什么要学习行列式呢？因为它是一个很重要的数学工具，在数学的各个分支中都经常用到，比如，用二阶行列式来解二元线性方程组，用三阶行列式来解三元方程线性组等；又如，已知平面的三点 ),(),,(),,(332211y x y x y x ，则以这三点为顶点的三角形面积为下面行列式的绝对值：.1112 1 3 3 22 11 y x y x y x 这一章主要引进行列式的概念并讨论行列式的性质，以及利用行列式的性来计算行列式的值。下面我们利用线性方程组的求解引入行列式的概念。设有二元线性方程组 ?? ?? ?=+=+)2()1(22221211212111b x a x a b x a x a 可用消元法来解该方程组。 1222211211222111222)(:)2()1(a b a b x a a a a a a -=-?-? 2111122211222112111)(:)1()2(a b a b x a a a a a a -=-?-? 若0)(21122211≠-a a a a ，则21 1222112111122211222111222211,a a a a a b a b x a a a a a b a b x --=--= 如果我们定义 bc ad d c b a -=， d c b a 称为二阶行列式，横排称为行，纵排称为列，二阶行列式共有二行二列四个元素，其值等于主对角线元素之积与次对角线元素之积的差。这样一来，二元线性方程组的解可简单表示为 D D x D D x 2211,== 其中22 211211a a a a D = 为方程组未知数的系数所组成的行列式称为方程组的系数行列式； 2221211a b a b D = （用方程组的常数项代替系数行列式的第1列） 2 211 11 2b a b a D = （用方程组的常数项代替系数行列式的第2列）类似地，我们可用三阶行列式来解三元线性方程组： ??? ??=++=+=++33332321 3123232221211 313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ＋定义32211331231233221133 32 31 23222113 1211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==

习题1-3 行列式的性质

1、用行列式的性质计算下列行列式： () 134215352152809229092 ；【分析】可见行列式中1，2两列元素大部分数字是相等的，列差同为1000，易于化为下三角行列式，于是，【解法一】 3421535215280922909221 c c -34215100028092100012 r r -61230 280921000 下三角6123000。【解法二】 34215352152809229092 12 r r -6123 6123 2809229092 21 c c -6123 280921000 下三角6123000。 () 2ab ac ae bd cd de bf cf ef ---；【分析】各行、列都有公因，抽出后再行计算。【解】 ab ac ae bd cd de bf cf ef ---123 a r d r f r ←←← b c e adf b c e b c e ---12 3 b c c c e c ←←←1111 111 1 1 adfbce --- 上三角2(1)2abcdef -?-?4abcdef =。 () 31111111111 1 1 1111 ------；【分析】将第一行加到以下各行即成为上三角行列式，【解】 1111111111 1 1 1111 ------213141 r r r r r r +++1111022200220002 上三角3 12 ?8=。 2、把下列行列式化为上三角形行列式，并计算其值：

() 12240 4135 31232 051-----；【解法一】 224 4 1353 1232 5 1 -----21 c c ?2240 143513230 2 5 1 ------21 r r ?1435 2240 13230 2 5 1 ----- 270=-。【解法二】 2 240 4 1353 1232 5 1 -----1 2 r ←1120 41352 31232 5 1 -----21 c c ?1120 1435 213230 2 5 1 ------ 上三角221(1)(135)??-?-270=-。 () 21234 234134124123 。【分析】该行列式属于同行元素之和相等的类型，应将2，3，4列加到第1列：【解】 1234 234134124123 1234 () c c c c +++10234 103411041210123213141 r r r r r r ---10 234011 3 02 22 111 ------ 3242 2 r r r r -+102 340113004 40 4 --- 上三角2 101(4) ??-160=。 3、设行列式 ij a m =(,1,2,,5)i j =L ，依下列次序对ij a 进行变换后，求其结果：交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有元素，再用(-3)乘以第二列加到第四列，最后用4除第二行各元素。【解】 ()1交换第一行与第五行，行列式变号，结果为m -； ()2再转置，行列式的值不变，m -；

特殊行列式与行列式计算方法总结

特殊行列式及行列式计算方法总结一、几类特殊行列式 1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式 11112112,1 221222,11,21,1 1,11 2 ,1 (1)2 12,11 000000 0000 0000 (1) n n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------===-L L L L L L M M M M M M M M M N L L L L 3. 分块行列式（教材P14例10）一般化结果： 00n n m n n m n m m n m m n m A C A A B B C B ????= =? 0(1)0n m n n m n mn n m m m n m m n A C A A B B C B ????= =-? 4. 范德蒙行列式（教材P18例12）注：4种特殊行列式的结果需牢记！以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！二、低阶行列式计算二阶、三阶行列式——对角线法则（教材P2、P3）三、高阶行列式的计算【五种解题方法】 1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式； 2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式； 3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算 ——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）

范德蒙德行列式的研究与应用

毕业设计（论文）题目范德蒙德行列式的研究与应用院（系）数理学院专业班级xxxxxx 学生姓名xxx 学号xxxx 指导教师xxxx 职称xxx 评阅教师xxxx 职称xxxx 2014年5 月30日注意事项

1.设计（论文）的内容包括： 1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作） 2）原创性声明 3）中文摘要（300字左右）、关键词 4）外文摘要、关键词 5）目次页（附件不统一编入） 6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论 7）参考文献 8）致谢 9）附录（对论文支持必要时） 2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。 3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。 4.文字、图表要求： 1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写 2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范。图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画 3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印 4）图表应绘制于无格子的页面上 5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档 5.装订顺序 1）设计（论文） 2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订 3）其它学生毕业设计（论文）原创性声明

本人以信誉声明：所呈交的毕业设计（论文）是在导师的指导下进行的设计（研究）工作及取得的成果，设计（论文）中引用他（她）人的文献、数据、图件、资料均已明确标注出，论文中的结论和结果为本人独立完成，不包含他人成果及为获得重庆科技学院或其它教育机构的学位或证书而使用其材料。与我一同工作的同志对本设计（研究）所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。毕业设计（论文）作者（签字）：年月日

行列式的计算技巧与方法总结(修改版)

行列式的若干计算技巧与方法内容摘要 1. 行列式的性质 2.行列式计算的几种常见技巧和方法定义法利用行列式的性质降阶法升阶法（加边法）数学归纳法递推法 3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法拆行（列）法构造法特征值法 4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法三角形行列式 “爪”字型行列式 “么”字型行列式 “两线”型行列式 “三对角”型行列式范德蒙德行列式 5. 行列式的计算方法的综合运用降阶法和递推法逐行相加减和套用范德蒙德行列式

构造法和套用范德蒙德行列式

行列式的性质性质1 行列互换，行列式不变．即 nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a n 2n 1n2 2212n12111nn n2n12n 2221 1n 1211 . 性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即 nn n2 n1in i2i1n 11211 k k k a a a a a a a a a k nn a a a a a a a a a n2n1in i2i1n 11211. 性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即 111211112111121112212121 2 1212.n n n n n n n n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a K K K M M M M M M M M M M M M K K K M M M M M M M M M M M M K K K 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即 k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in i i n 21 2121112 11nn n n in i i in i i n a a a a a a a a a a a a 212121112 11=0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即

方阵的行列式教案

第四章第一节行列式的定义『教案』一、教学目标： 1. 了解行列式的定义和性质； 2. 掌握二阶、三阶行列式的计算法，会计算简单的n 阶行列式； 3. 了解排列与对换； 4. 会用Gramer 法则解线性方程组。二、教学重点： 1. 行列式的计算方法。 2. 用行列式求矩阵的秩和逆矩阵。 3. 克莱姆法则。三、教学难点： 1、行列式的按行（列）展开。 2、、克莱姆法则。四、教学的必要条件及方法： 1.条件：多媒体网络教室（联网）、黑板 2.教学方法：讲练结合五、教学课时：2 课时六、教学环节：一．二阶行列式设二元一次方程组（*）?? ?=+=+2 221 11c y b x a c y b x a （其中y x ,是未知数，2121,,,b b a a 是未知数的系数且不全为零，21,c c 是常数项．）用加减消元法解方程组（*）: 当01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解：??? ? ??? --=--=1221122112211221b a b a c a c a y b a b a b c b c x ，引入记号 2 1a a 2 1b b 表示算式1221b a b a -，即 2 1a a 2 1b b 1221b a b a -=．举例说明：课本例1 从而引出行列式的相关概念，包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行

列式的元素、对角线法则等．记= D 2 1a a 2 1 b b ，= x D 2 1c c 2 1b b ，= y D 2 1a a 2 1c c ， ①则当= D 2 1a a 2 1b b =01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解，可用二阶行列式表示为??? ? ?? ?==D D y D D x y x ． ②当D =0时,0x y D D == 无穷组解； ③当D =0时,0,0x y D or D ≠≠ 无解。系数行列式1 1 2 2 a b D a b = 也为二元一次方程组解的判别式。二．三阶行列式对角线方式展开三．n 阶行列式七、教学反思与改进本次课，让学生掌握了求极限的方法，以及两个重要极限的应用，并举例子让学生练习巩固学生学习。第四章第三节行列式按行（列）展开『教案』一、教学目标： 1. 掌握行列式掌握； 2. 用行列式求矩阵的秩和逆矩阵. 二、教学重点： 1. 行列式的计算方法。 2. 用行列式求矩阵的秩和逆矩阵。