高中数学解答题专题

(已做)1.已知函数()sin f x x ω= (0)ω>在区间[0,

]3π

上单调递增,在区间2[,]33

ππ

上单调递减;如图,四边形OACB 中,a ,b ,c 为ABC △的内角A B C ，，的对边,且满足

A

C

B A

C B cos cos cos 34sin sin sin --=+ω

. (1)证明:a c b 2=+

(2)若c b =,θ=∠AOB ,(0)θπ<<,22OA OB ==, 求四边形OACB 面积的最大值.

(已做)1.已知函数2

1

()sin cos sin (0)2

f x x x x ωωωω=?+-

>，其相邻两个零点间的距离为2

π． （1）求()f x 的解析式； （2）锐角ABC ?中，1

(),4,282

A f A

B AB

C π+==?的面积为6，求BC 的值．

(已做)2.已知正数数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足：022

=-+n n n S a a ，，

n n b a =n c （1）求数列}{n a 的通项公式；

（2）若 ),2(02 1*11，，N n n b b b n n ∈≥=-=-{}n n T n c 项和的前求出数列并判断是否存在整数m 、M ，使得M T m n <<对任意正整数n 恒成立，且4=-m M ？说明理由.

(已做)3.在ABC ?中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，

c .且满足C b B c a cos cos )2(=-， )..(sin sin sin sin sin 222R C B C B A ∈-+=λλ

（I ）求角B 的大小； （II ）若3=λ，求角C ； （Ⅲ）如果ABC ?为钝角三角形，求λ的

范围.

(已做)1.已知数列

{}n a 中，)(3

,1*1

1N n a a a a n n n ∈+==+ （1）求证：?

??

??

?+211n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n b 满足n n

n

n a n b ??-=2

)13(，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式 12

)1(-+

<-n n n n T λ对一切*

N n ∈恒成立，求λ的取值范围.

(已做)2.已知角α的顶点在原点，始边与x

轴的正半轴重合，终边经过点(P -.

(1)求sin 2tan αα-的值；

(2)若函数

()cos()cos sin()sin f x x x αααα=---，

求函数2(2)2()

2

y x f x π--在区间2π03??

????

，上的取值范围.

(已做)3.已知一非零向量列

{}

n a 满足：

)1,1(1=a ,

),(2

1

),(1111----+-==n n n n n n n y x y x y x a ()2n ≥.

（1

）证明：

是等比数列；

（2）设n θ是n n a a ,1-的夹角

()2n ≥，n b =21n n θ-，12n n S b b b =+++L

，求n S ；

（3）设

n c

=2l og ，问数列

{}n c 中是否存在最小项？若存在，求出最小值；

若不存在，请说明理由.

数学作业11.29

(已做)1.已知函数

''1()2()cos 2()2124

f x x f x f ππ=++． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最小值； （Ⅱ）若不等式3|)(|<-m x f 对任意m 的取值范围．

(已做)2.已知{}n a 是单调递增的等差数列，首项31=a ，前n 项和为n S ；数列{}n b 是等比数列，

首项.20,12,123221=+==b S b a b 且 （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令()cos 3n n n a c S n N π+??

=∈ ???

求{}n c 的前20项和20T .

(已做)3. 若三个正整数3,1,22

+a a 按某种顺序排列成等差数列． （I ）求a 的值；

（II ）若等差数列{}n a 的首项和公差都是a ，等比数列{}n b 的首项和公比也都是a ，前n 项和分别为n n T S ,，若1

2

n (n T ＋2)＞n S －208，求满足条件的正整数n 的最大值．

(已做)4.在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,．若A a sin 2=，cos 0cos 2B b

C a c

+=+． (I)求角B ；

(II)求ABC ?面积的最大值．

(已做)1. 如图,四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，22BC CD AB ===， PAD ?是等边三角形，M N 、分别为BC PD 、的中点． (1)求证：//MN PAB 平面；

(2)若MN PD ⊥，求二面角P AD C --的余弦值．

解析：（1）证明：取PC 中点Q ，可证面//NQM 面PAB ， 得//MN 面PAB ；

（2）解：取AD 中点O ，,PO AD MO AD ⊥⊥， POM ∠是二面角P AD C --平面角，1cos 3

POM ∠=．

(已做)2.过抛物线2:2C y px =上的点(4,4)M -作倾斜角互补的两条直线MA MB 、，分别交抛物线于A B 、两点．

(1)若AB =AB 的方程；

(2)不经过点M 的动直线l 交抛物线C 于P Q 、两点，且以PQ 为直径的圆过点M ，那么直线

l 是否过定点？如果是，求定点的坐标；如果不是，说明理由．

解析：（1）直线AB 的方程是220x y -+= （2）恒过(8,4)点

(已做)3.ABC ?中，,,a b c 分别是内角,,A B C 对边，且2

a bc =． （1）当cos 4,

cos b B a c C

==，求ABC ?的面积； （2）求函数()sin()3

f A A π

=+

的定义域和值域．

解析：(1)S =；（2）(0,],()3

A f A π

∈∈

A

B

P

N

M

C

(已做)1.在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2c =，3

C π

=

（Ⅰ）当()2sin 2sin 2sin A B C C ++=时，求ABC ?的面积； （Ⅱ）求ABC ?周长的最大值；

(已做)2.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1,60AD DC CB ABC ===∠=

，四边形

ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =.

（Ⅰ）求证：BC ⊥平面ACFE ；

（Ⅱ）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为(

)

90θθ≤

，

试求cos θ的取值范围.

(已做)3.已知椭圆22

22:1x y C a b

+=()0a b >>，经过椭圆C 上一点P

的直线

:42

l y x =-

+

与椭圆C 有且只有一个公共点，且点P 横坐标为2. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）若AB 是椭圆的一条动弦且直线方程为b kx y +=， （ⅰ）用b k ,表示AB ；（ⅱ）若2

5

=AB ，O 为坐标原点，求AOB ?面积的最大值.

第2题

第3题

数学作业12.12

(已做)1．如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，AB=BC=2，AD=CD=7，PA=3，∠ABC=120°，G 为线段PC 的中点. (Ⅰ)证明：PA//平面BGD ；

(Ⅱ)求直线DG 与平面PAC 所成的角的正切值.

(已做)2．如图，已知椭圆C ：，其左右焦点为()11,0F -及()21,0F ，过点1F 的直

线交椭圆C 于,A B 两点，线段AB

的中点为G ，AB

的中垂线与x 轴和y

轴分别交于,D E 两. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；

(Ⅱ)记△1GF D 的面积为1S ，△OED （O 为原点）的面积为2S ．试问：

是否存在直线AB ，使得12S S =？说明理由．

(已做)3.已知向量)1,4sin 3(x =，)4

cos ,4(cos 2x

x =．记x f ?=)( (Ⅰ) 若)(π,0∈x ，求函数)(x f 的值域；

(Ⅱ) 在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别是

a 、

b 、

c ，且满足C b B c a cos cos )2(=-，

若f (A )=，试判断ABC ?的形状．

数学作业12.14

1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足13-=n n a S )(*N n ∈. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设n

n n a a b -=12

，数列{}n b 前n 项的和为n T ，证明：n T ＜1

3．

2.已知数列{}n a 的前n 项和1

1

()22

n n n S a -=--+（n 为正整数）．

（Ⅰ）令2n n n b a =，求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令1n n n c a n +=

，12........n n T c c c =+++，试比较n T 与521

n

n +的大小，并予以证明．

3.如图，在四面体P ABC -，底面ABC 是边长为1的正三角形，AB BP ⊥，点P 在底面ABC 上的射影为H

，BH =

，平面ACP 与平面PBH

所成的锐二面角的余弦值为

．

（Ⅰ）求证：PA BC ⊥;

（Ⅱ）求二面角C AB P --的正切值．

4.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，且过点（2，1）， （Ⅰ）求抛物线的标准方程及焦点坐标；

（Ⅱ）与圆1)1(2

2

=++y x 相切的直线t kx y l +=:交抛物线于不同的两点N M ,，若抛物线上一点C 满足)(ON OM OC +=λ)0(>λ，求λ的取值范围．