2010中科院数学分析真题解析

2010 年中国科学院数学分析真题解析

一、（20 分）计算：

sin 2 x

ln(1 t )dt

（1）

x 0

；（2）?? xy dxdy .

x y 1

1

解：（1）利用洛必达法则

sin 2x

ln(1 t )dt sin 2 x) 2 s in x cos x sin 2 x)

ln(1 sin x ln(1

lim

x

lim

x 0

lim

x 0

cos x

3x2

1 x

2

2 sin x cos x

cos x sin x

lim 1 s i n2 x lim 1

sin 2 x

2x x 0 1 x

x 0

（2）设区域D0 ，则

( x, y) x y 1, x, y

2

1

4? 1 x?xydy dx14?x(1 x)dx

?? 4??

xy dxdy xydxdy

3 x y 1 D0 0 0

二、（20 分）（1）令

?

x2 sin

1

, x 0

?

f ( x) x

???0,

x0

求f (0) ，并证明f ( x) 在x0 处不连续.

n

∑1 ，证明e

（2）若n 1.

k 1

k

解：（1）由题意可得

x2 sin

1

lim

f ( x) f (0)

lim x sin

1

lim x

f (0) 0

x0 x

x 0x 0x 0

0 时，f ( x)

?

x2 sin

1

?

2x sin

1

cos

1

，故lim f ( x) 不存在，所以f

当x( x) 在

x ? x x

? ? x 0

x 0 处不连续.

（2）对n 应用数学归纳法，n 1 时，e e 2 n 1 结论成立；

n 1 1

∑

e k 1 k

假设对 1 结论成立，即有n ；对n ，∵e x

n 1 0 ( x

n 1

0)

1 1

e x e x e x

(1 x) lim

x 0

(1 x) 0 1 x ( x0) e n 1

n n

n1n 11

∑

e

∑

e

1 n 1

k 1

k

k 1

k1结论成立.

e n n n

n

故对n有e

N n 1.

三、（20 分）若f ( x) 在[0,1] 上连续，在(0,1) 上二次可微，并且

3

f (1) .

f

?1 ? 1

0 ，以及 f ( y)dy

?1

f (0)

4 ? 4

??

4

求证：(0,1) ，使得f ( ) 0 .

证明：由题意可得在(0,1) 上f ( x) 存在且可微.

f

?1 ? ?

0,

1 ?

，使f (

∵f (0)0 由罗尔中值定理可得) 0 .

4 ? 4 ? 1

1

?? ??

3

f (1)?1 ,1?，使f ( 1 ? 3 f (1)

)

?

1 1

∵? f ( y)dy由积分中值定理可得 ? 2 ?

1 2

4 ?4 4 ? 4

? ?

0 .

4

即f (

2

) f (1) ，由罗尔中值定理可得

2

,1 ，使f(

3

)

3

)

3

在[

1

,

3

] 上，对f ( x) 利用罗尔中值定理可得

f ( ) 0 .

(

1

,(0,1) ，使

n

四、（15 分）求级数∑ .

n 1

(n1)!

n

，则lim

a

n 1

n 1

解：该级数是正项级数. 设a 1 ，故

lim

n

n

(n 1)! a n(n2)

n

n

n

∑ 收敛.

n 1

(n 1)!

n a

n

∑ n 1 ，则收敛半径R

令f ( x) . 故) ，有

lim

n

x( ,

n 1

(n 1)!a

n 1

e x

∑(n 1) 1x x∑1 x n∑1 x n

n 1 e x( x1)e x

f ( x) x 1 x 1 1

(n 1)!

n

n 1

n! n 2 n!

n 1

所以，∑ f (1) 1.

n 1

(n 1)!

五、（15 分）求证：

n?2n 1

3 2

?

k 1

n

1

，则要证的结论等价于

证明：设S

n

n

k 1

2 2 1

S

n

.

2n

3 3

应用数学归纳法，先证左边不等式成立.

2 2

n 1 时，S

1

1结论成立；假设n) 时结论成立，即S；

t (t N t

3

当n

1

t 1 时，t 1 2t 1 2t

?

1

t t t

2

?

t

3

1 ，即

t t 1

1

2 t 1

?

t t 1 t 1t

S

t 1

S

t

t 1

k 1

t 1

2 ?

t

k 1

t 1

3 ?

?

?2

t t 1

3 3 t 1 1 ?

t 1 2 t

? ? ?

2 2

3 t 1 3 故，左边不等式成立. 下证右边不等式成立.

2 1

2 1

n 1 时， S 1 1 结论成立；假设 n t (t N ) 时结论成立，即 S . t

3 2 2 3 2t

t 1 时，∵ 4t 1 当 n 1 1 4t 3 4t 3 (4t 4t 3 ，即 4 4 4(t 1) 3

1 3 1

t t 1 4(t 1)

? S ? 2 ?

t 1 S 3 t 1 t

t 1 t

? 1 2t

2 ? ? 2 2 ?1 ? 1

3 1

结论成立. 故 3 4(t 1) ? 3 1 ? t 3 2(t 1)

? ? ? 右边的不等式成立.

所以， 2 2 1

，即 2n

S n

3 3 n

? 2n 1 k 1

3 2 ? 六、（15 分）计算

( x 3 y 3 z 3 )dxdydz ， ??? V

其中V 表示曲面 x 2 解：由题意可得

V

采用坐标变换：

y 2 z 2

z ) 2a 2 0) 所围成的区域. 2a ( x y 0 (a ( x , y , z ) ( x a )2 a )2 ( z a )2 a 2

( y ?u x y z a a a ? v

? ?w ?

则V 化为：

(u , v , w ) u 2 v 2 w 2 a

2

有

??? ( x

3

y 3 z 3 )dxdydz

???

(u a )

3

(v a )

3

(w a )3

dudvdw ? J

V

由u , v , w 的对称性可得

3??? (w a )3 dudvdw

J 采用球坐标变换：

?u r sin cos , 0 r sin sin , 0 r a ?v

?

? w r cos , 0 2 ?

则

1 J a ? ? 2

?

(r cos

a )3 r 2 sin d d dr 3 0 0 0

a ? ?

r 2

a 2 sin 3a 2 r sin cos

3ar 2 cos 2 r 3 cos 3 sin

2

sin

d dr

sin 4 )?

d dr

0 0 3 ar 4

(sin 3 sin )

1 r 5

(2 sin 2 ?2a 2 r 2 sin a

3a 2 r 3 sin 2

?0 ?0 ??

2

4

16 a

? (2a 2 r 2 2ar 4 )dr a 5

15

所以

16 a 5

.

J

七、（15 分）应用Green 公式计算积分

5 e x ( x sin y e x

( x cos y y cos y )dx y sin y )dy ?L

I . x 2 y 2

其中 L 是包围原点的简单光滑曲线，逆时针方向. 解：由题意可得，在 L 所谓区域内部能找到以原点为圆心，r 为半径的圆（ r 0 可以任意小），记该圆为C ，若记曲线的逆时针方向为正方向，顺时针方向为负 方向，则

e x ( x sin y y cos y )dx e x ( x cos y y sin y )dy I ?L

?L ?C

x 2 y 2

e x ( x sin y y cos y )dx e x

( x cos y y sin y )dy x 2 y 2

C

e x ( x sin y y cos y )dx e x

( x cos y y sin y )dy x 2 y 2

设 L C 所围区域为 D ，则 D 不包含原点.

e x ??( x 3 xy 2 x 2 y 2 ) cos y ( x 2

y y 3 2 x y ) sin y ? e x ( x cos y y sin y ) ? x ? ? x 2 y 2 2

x 2 y 2

? ? e x ( x sin y y cos y ) ?

y ? ?

x 2 y 2 ? 故由Green 公式可得

e x ( x sin y e x

( x cos y y cos y )dx y sin y )dy ?L x 2 y 2

C

? ? ? e ( x cos y y sin y ) ? x ? e ( x sin y y cos y ) ? dxdy x ?? ? 0 x ? ? y ?? x 2 y 2 x 2 y 2 D ? ? ?

?? ? x r cos

r sin 采用极坐标变换： ?

，则 ? y

e x ( x sin y y cos y )dx e x

( x cos y y sin y )dy

I

?

C

x 2 y 2

1 2 e r cos

r 2 ?0

? r cos sin(r sin ) r sin cos(r sin ) ( r sin )

? r cos cos(r sin ) r sin sin(r sin ) r cos ?? d

2

? e r cos

cos(r sin )d 0 ，则

0 由 r 的任意性，令 r 2

?

I

d

2 .

0 连续，并且对所有 x , y

八、（10 分）设 f ( x ) 定义在 ( 有

) 上，且在 x ,

(

, )

f ( x y ) f ( x ) f ( y ). f (1) x .

求证： f ( x ) 在 ( ,

证明：由题意可得 ) 上连续，且 f ( x ) lim f ( x ) x 0

f (0)

, ) 有

x , y (

lim f ( x ) lim f ( x

∵ f (0) f (0 0) f (0) f (0) 0 y ) lim f ( x ) x 0

f (0) f ( y ) lim f ( x ) x 0

f ( y ) f (0) f ( y )

x y

x 0

lim f ( x ) f ( y ) x y

由 y 的任意性可得

f ( x ) 在 ( ) 上恒成立.

,

) 上连续.

下证 f ( x ) 首先证明 f (1) x 在 ( ,

，有 f (ax ) ax . 由题意可得： a

,

f ( x ) 2 f ( x ) ，f (3x ) f ( x ) 3 f ( x ) ， f (2 x ) f ( x x ) f ( x ) f (2 x x ) f (2 x ) ? ， f ((n 1) x ) (n 1) x

1) x x ) 则 故 f (nx ) f ((n f ((n 1) x ) f ( x ) (n 1) f ( x ) f ( x ) nf ( x ) N ，有 f (nx ) n nf ( x ) ..

对上式，用 x 替换 x ，则有 f ( x ) nf ? x ? ，故 f ? x ? 1

f ( x ) ，所以 m , n N n ? n ? n n

? ? ? ? 有

f ? m x ? x ? mf ? x ? m 1 f ( x ) m

f ( x )

f ? m n ? n ? n ? n n ? ? f ( x ) ? f ( x )

? ? ?

∵ f (0) f ( x x ) f ? m x ? f ? m x ? f ? m x ? f ? m x ? m f ( x )

0 ? n ? ? ? n ? n n n ? ? ? ? ? ? ? ? a Q 有 f (ax ) af ( x ) . 由实数的稠密性可知， a 性可得

R Q ， a n Q ，使 lim a n a ，利用 f ( x ) 的连续

n

af ( x ) R 有 f (ax ) R 有

lim a n f ( x ) lim f (a n x ) f (lim a n x ) f (ax )

n n n

所以， c 故， x af ( x ) . f ( x ) f ( x 1) xf (1) f (1) x .

九、（10 分）求证：

1 dx 1 ∑ n .

?0 x x n 1 1 1

证明：当 n 2 时， .

n n n 2

1 1

∵ ∑ 2 收敛 ∑ 收敛 n n 1 n n 1 n

( n

∑ x

∵ e

x

1 , x , )

n 1 n !

n

1 ( x ln x ) ∑ x

e

x ln x

x

1 x

x n ! n 1

( x ln x ) 1

?

1 n ?

n 1

dx

( 1) 1 x n (ln x )n dx ∑ ∑ n 1 ?0 x x ?0 ?0

dx 1 ? n ! n ! ?

?

n 1 ( 1)1 ( 1)2

1 1 1 ∵ x n (ln x )n dx x n (ln x )n 1 dx x n (ln x )n

2 dx ?0 ?0 ?0 n n (n 1) (n 1)2

n 1 1)n 1

( 1)n ( 1)n

( 1 1 1)? 2 x n ln xdx n ! x n

dx ?0 ?0

1 ? n (n n ! 1)n 1 (n 1)n (n 1)n 1 (n n n 1 dx ( 1) ( 1) 1 1 1

∑ ∑ (n ∑ n n ∑ n

n ?0 x x

1 n ! 1 1)n 1 1)n 1 n ! (n n 1 n 1 n

2 n 1 十、（10 分）设函数 f ( x ) 在[0,1] 上连续且 f ( x ) 0 ，讨论函数

dx

yf ( x ) 1 ?0 x 2 y 2

g ( y ) 在 ( ) 上的连续性.

, 解：∵ 函数 f ( x ) 在[0,1] 上连续 由于 f ( x ) 0 ，则 m 0 .

由 y 的对称性，只需研究 0,

f ( x ) 在[0,1] 上有最大、小值，设 m min f ( x ) ， x

0,1

上的连续性. 设 y 0 ，则

y m arctan 1

1 ?0 x

2 y 2 g ( y ) m dx

y

0 处连续.

m

所以， lim g ( y )

x 0

g (0) ，这表明 g ( y ) 不在 y 0 2

yf ( x )

是初等函数 g ( y ) 在 (0, ) 上连续 ∵ x 2 y

2 yf ( x )

1 综上可得， g ( y ) ?0 x

2 y 2

dx 在 ( , ) 上有且只有一个不连续点： y 0 .