21数学归纳法及其应用举例
数学归纳法的应用知识点总结
数学归纳法的应用知识点总结数学归纳法是一种重要的证明方法，常被应用于数学、逻辑以及计算机科学的领域。
它的核心思想是通过建立一个基础情形的真实性，以及在基础情形成立的前提下推导出一个一般情形的真实性，从而得出结论。
本文将对数学归纳法的基本概念和应用进行总结。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法包括三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳证明。
首先，我们需要证明当n取某个特定值时，结论成立，这称为基础步骤。
接下来，我们假设当n=k时，结论成立，这称为归纳假设。
最后，通过归纳证明，我们将证明当n=k+1时，结论也成立。
二、数学归纳法的应用举例1. 求和公式数学归纳法可以用来证明一些求和公式的正确性。
例如，我们要证明正整数n的前n项和公式为：1+2+3+...+n = n(n+1)/2。
首先，我们可以验证当n=1时，等式左边为1，右边也等于1(1×2/2)，因此基础步骤成立。
然后，我们假设当n=k时，等式成立，即1+2+3+...+k = k(k+1)/2。
接下来，我们需要证明当n=k+1时，等式也成立。
我们将等式左边的前k+1项展开，得到1+2+3+...+k+(k+1)。
根据归纳假设，前k项的和为k(k+1)/2，再加上第k+1项(k+1)，则等式左边的和为(k+1)(k+2)/2。
与等式右边相比，我们可以得出结论，即当n=k+1时，等式也成立。
2. 整数性质证明数学归纳法也可以用来证明一些关于整数的性质。
例如，我们要证明任意正整数n的平方是奇数。
首先，我们验证当n=1时，等式成立，因为1的平方是1，是奇数。
然后，假设当n=k时，等式成立，即k的平方是奇数。
接下来，我们通过归纳证明，证明当n=k+1时，等式也成立。
我们将等式左边展开，得到(k+1)的平方。
根据归纳假设，k的平方是奇数，那么k的平方加上2k再加1，仍然是奇数。
因此，当n=k+1时，等式也成立。
三、数学归纳法的注意事项1. 基础步骤的正确性是数学归纳法的基础，必须确保基础步骤成立。
数学归纳法及其应用举例(教案)
数学归纳法及其应用举例(教案)章节一：数学归纳法的概念与步骤教学目标：1. 了解数学归纳法的定义与基本步骤。
2. 掌握数学归纳法的一般形式。
教学内容：1. 引入数学归纳法的概念。
2. 讲解数学归纳法的基本步骤。
3. 示例说明数学归纳法的应用。
教学活动：1. 引导学生思考数学归纳法的定义。
2. 通过具体例子讲解数学归纳法的步骤。
3. 让学生尝试使用数学归纳法解决简单问题。
作业与练习：1. 完成课后练习，巩固数学归纳法的概念与步骤。
2. 选取一些简单的数学问题，尝试使用数学归纳法解决。
章节二：数学归纳法的证明步骤教学目标：1. 掌握数学归纳法的证明步骤。
2. 能够运用数学归纳法证明简单的不等式或定理。
教学内容：1. 讲解数学归纳法的证明步骤。
2. 示例说明数学归纳法在证明不等式和定理中的应用。
教学活动：1. 引导学生理解数学归纳法的证明步骤。
2. 通过具体例子讲解数学归纳法在证明不等式和定理中的应用。
3. 让学生尝试使用数学归纳法证明简单的不等式或定理。
作业与练习：1. 完成课后练习，巩固数学归纳法的证明步骤。
2. 选取一些简单的不等式或定理，尝试使用数学归纳法进行证明。
章节三：数学归纳法的扩展与应用教学目标：1. 了解数学归纳法的扩展形式。
2. 掌握数学归纳法在解决实际问题中的应用。
教学内容：1. 讲解数学归纳法的扩展形式。
2. 示例说明数学归纳法在解决实际问题中的应用。
教学活动：1. 引导学生思考数学归纳法的扩展形式。
2. 通过具体例子讲解数学归纳法在解决实际问题中的应用。
3. 让学生尝试使用数学归纳法解决实际问题。
作业与练习：1. 完成课后练习，巩固数学归纳法的扩展形式。
2. 选取一些实际问题，尝试使用数学归纳法解决。
章节四：数学归纳法的局限性与改进教学目标：1. 了解数学归纳法的局限性。
2. 学会改进数学归纳法的证明过程。
教学内容：1. 讲解数学归纳法的局限性。
2. 示例说明如何改进数学归纳法的证明过程。
数学归纳法及应用举例
数学归纳法及应用举例重点难点分析：（1）第一步递推基础，第二步是递推依据，密切相关缺一不可。
（2）归纳思想充分体现了特殊与一般的思想，数学归纳法体现了有限与无限的辩证关系与转化思想。
（3）归纳—猜想—证明是经常运用的数学方法，观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理猜想，从而达到解决问题的目的。
（4）数学归纳法的应用通常与数学的其它方法联系在一起，如比较、放缩、配凑、分析和综合法等。
典型例题：例1．证明：=-n(n+1)(4n+3)。
证明：①当n=1时，左，右=-1(1+1)(4+3)=-14，等式成立。
②假设n=k时等式成立，即=-k(k+1)(4k+3)。
n=k+1时，+[(2k+1)(2k+2)2-(2k+2)(2k+3)2] =-k(k+1)(4k+3)-2(k+1)(4k2+12k+9-4k2-6k-2) =-(k+1)[4k2+3k+2(6k+7)]=-(k+1)(4k2+15k+14)=-(k+1)(k+2)(4k+7)=-(k+1)[(k+1)+1][4(k+1)+3]，等式成立。
由①②知，当n∈N′时等式成立例2．试证S n=n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除。
证明：①n=1时，S1=4×9，能9整除。
②假设，n=k时，S k能被9整除，则S k+1=(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=S k+(k+3)3-k3=S k+9(k3+3k+3)由归纳假设知S k+1能被9整除，也就是说n=k+1时命题也成立。
综上所述：命题成立。
点评：用数学归纳法证明整除问题时，关键是把n=k+1时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除。
例3．通过一点有n个平面，其中没有任何3个平面交于同一条直线，用数学归纳法证明这些平面把空间分成(n2-n+2)个部分。
证明：设适合条件的n个平面把空间分成p n个部分，∴p n=n2-n+2①当n=1时，p1=1-1+2=2，显然符合条件，故命题成立。
数学归纳法
根据(1)、(2)可知,命题对一切大于1的正整数都 成立.
说明:用数学归纳法证明几何问题,难点是处理好当 n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.
练习：平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任 何三条不过同一点,证明这n条直线把平面分成 (n2+n+2)/2个区域.
小结:
1.与正整数有关的数学命题可以考虑用数学归 纳法证明,但注意不要滥用. 并非任何与正整数 有关的命题都可以用它来证明。如果命题没有 “递推”关系，数学归纳法将会失去其效力。 2.掌握数学归纳法的实质与步骤
1 1 1 k 1 2 2 3 k (k 1) k 1
(2)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k
命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之 间的逻辑递推关系,造成推理无效.
(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要 分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什 么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清应 增加的项.
1 3K 2
C:
1 1 f (k ) D: 3K 4 K 1
例3．对于n∈N*用数学归纳法证明：
1 n 2 (n 1) 3 (n 2) (n 1) 2 n 1 1 n(n 1)( n 2) 6
分析:找到“递推关系”就等于把握住解决问题的“灵魂” f (k ) 1 k 2 (k 1) 3 (k 2) (k 1) 2 k 1 有几项？
又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的 k个交点两两不相同,且与平面内其他的k(k-1)/2个 交点也两两不相同. 从而平面内交点的个数是k(k-1)/2+k=k[(k-1)+2]/2 =[(k+1)-1](k+1)/2. 这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数为: f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2.
数学公式知识：数学归纳法的定义与应用
数学公式知识：数学归纳法的定义与应用数学归纳法是一种常用的证明方法，用于证明一些有关自然数的性质。
其基本思想是：首先证明当n=1时命题成立，然后利用假设n=k 时命题成立推断出n=k+1时命题也成立，从而得证当n为任意正整数时命题都成立。
一、数学归纳法的基本原理假设我们要证明对于任意正整数n，命题P(n)成立。
使用归纳法证明该命题时，需要完成以下两个步骤：（1）证明当n=1时，命题P(n)成立。
（2）证明当n=k时命题成立时，n=k+1时命题也成立。
在第一步中，需要证明的是当n=1时P(1)成立。
证明的方法可以是直接证明，也可以是通过推理证明。
例如，对于命题P(n)为“1+2+3+...+n=n(n+1)/2”，可以对n=1时P(1)进行直接证明：当n=1时，左边为1，右边为1(1+1)/2=1所以1=1，命题成立。
在第二步中，需要证明的是当n=k时命题成立时，n=k+1时命题也成立。
证明的方法可以是直接证明，也可以是通过推理证明。
例如，对于命题P(n)为“1+2+3+...+n=n(n+1)/2”，可以通过下列步骤证明当n=k时命题成立时，n=k+1时命题也成立：假设当n=k时命题P(k)成立，即：1+2+3+...+k=k(k+1)/2现在需要证明当n=k+1时命题P(k+1)也成立：1+2+3+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2对于左边式子，我们可以将其拆分为前面k项的和加上最后一项，即：1+2+3+...+k+(k+1)=(1+2+3+...+k)+(k+1)根据假设，左边等于k(k+1)/2+(k+1)，即k(k+1)/2+k/2+k/2+1=k(k+1)/2+k+1=k(k+1+2)/2而右边等于(k+1)(k+2)/2，两边相等。
因此，当n=k+1时，命题P(n)成立。
二、数学归纳法的应用举例数学归纳法可以应用于各种数学问题的证明，下面举几个例子。
例1：证明1+2+3+...+n=n(n+1)/2我们已经在第一部分进行了证明，这里再次重点强调一下：首先证明当n=1时命题成立，即1=1(1+1)/2，然后根据假设n=k时命题成立推导得出当n=k+1时命题也成立，即1+2+3+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2例2：证明2的n次幂大于n例如，证明2的n次幂大于n，即2^n>n。
数学归纳法及应用列举
2
已知数列｛an｝的通项公式
an
4 (2n 1)2
数列｛bn｝的通项满足
bn (1 a1)(1 a2 )...(1 an )
用数学归纳法证明:
bn
2n 1
1 2n
2.1 数学归纳法及其应用举例
练习：
课后练习：1，2，3 课堂小结 ①归纳法； ②数学归纳法； ③数学归纳法证题程序化步骤 ； 作业： P67 习题2.1 1，2
新授课
递推基础
数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当 n 取第一个值 n（0 如 n0 1或2等）时结论正确；
（2）假设时 n k(k N且k n0 ) 结论正确，证明
n k 1 时结论也正确．
递推依据
(3)由（1）（2）得最后下结论
练习：
用数学归纳法证明“不等式
1
(3)用数学归纳法证明： 2+4+6+……+2n=n2+n
例题讲解：
题1：用数学归纳法证明：
13 23 33 .... n3 1 n2 (n 1)2 4
例题讲解：
题2：用数学归纳法证明： 122334.....n(n1) 1n(n1)(n2)
3
练习： 用数学归纳法证明以下等式： （1）12 22 32 .... n2 n(n 1)(2n 1)
2.1 数学归纳法及其应用举例
2.1 数学归纳法及其应用举例
先证明当n 取第一个值 n（0 如 n0 1 ）时
命题成立，然后假
设当 n k(k N , k n0 )时命题成立，
再证明当 n k 1 时命题
也成立，那么就证明这个命题成立， 这种证明方法叫做数学归纳法．
数学归纳法的应用与证明技巧
数学归纳法的应用与证明技巧数学归纳法是我们在学习数学的过程中经常会接触到的一种证明方法。
它的应用范围很广，可以用来证明各种数学定理、性质和命题。
在本文中，我将介绍数学归纳法的基本原理以及一些常用的证明技巧。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法是一种用来证明命题在自然数集上成立的方法，它包含两个基本步骤：基础步和归纳步。
1. 基础步：首先，我们需要证明命题在最小的自然数上成立，通常是证明命题在n=1时成立。
2. 归纳步：接下来，我们假设命题在自然数k上成立（k为任意自然数），然后通过这个假设证明命题在自然数k+1上也成立。
通过这两个步骤，我们就可以得出结论，命题在自然数集上成立。
二、数学归纳法的应用举例在数学中，有很多可以使用数学归纳法进行证明的命题。
下面，我将通过几个具体的例子来说明数学归纳法的应用。
1. 证明1+2+...+n = n(n+1)/2首先，我们需要证明基础步。
当n=1时，左边的和式为1，右边的表达式为1(1+1)/2，两边相等，命题成立。
接下来，我们假设命题在自然数k上成立，即1+2+...+k = k(k+1)/2。
然后，我们可以通过这个假设来证明命题在自然数k+1上也成立。
当n=k+1时，左边的和式为1+2+...+k+(k+1)，根据假设，我们知道1+2+...+k = k(k+1)/2，将其代入等式中得到：1+2+...+k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2右边的表达式为(k+1)(k+2)/2，所以命题在自然数k+1上也成立。
通过基础步和归纳步，我们可以得出结论，命题1+2+...+n =n(n+1)/2在自然数集上成立。
2. 证明2的n次方大于n，当n≥4时成立首先，我们证明基础步。
当n=4时，2的4次方等于16，大于4，命题成立。
接下来，我们假设命题在自然数k上成立，即2的k次方大于k。
然后，我们通过这个假设来证明命题在自然数k+1上也成立。
2.1数学归纳法及其应用举例(一)
例1 那么
用数学归纳法证明：如果 { an } 是等差数列, an = a1 + (n - 1) d 对一切 n N* 都成立 .
证明 (1)当n=1时，左边=a1，右边=a1+0· d=a1， 等式是成立的 (2)假设当n=k时等式成立，就是ak=a1+(k－1)d. 那么ak+1=ak+d=［a1+(k－1)d］+d=a1+［(k+1)－1］d， 这就是说，当n=k+1时，等式也成立. 由(1)和(2)可以判定，等式对任何n∈N*都成立.
计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果,猜想Sn的表达式,并用 数学归纳法进行证明. 解： S 1 1 , 1
.
1 4 4 1 1 2 S2 , 4 4 7 7 2 1 3 S3 , 7 7 10 10 3 1 4 S4 . 10 10 13 13
猜想结论，证明结论从而解决数学问题的思想方法 根据(1)、(2),可知猜想对任何n∈N*都成立.
练
习
n( n 1) 2
1. 用数学归纳法证明：1+2+3+…+n=
1 (1 1) 1 证明：(1)当n=1时，左边=1，右边= 2
∴等式成立.
.
(2)假设当n=k时，等式成立，即1+2+3+…+k=
2归纳法是一种由特殊到一般的推理方法分类是完全归纳法和不完全归纳法二种完全归纳法只局限于有限个元素而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性必须用数学归纳法进行严格证明
2018年5月30日星期W
2.1
数学归纳法及其 应用举例(一）
复习回顾
回忆等差数列的通项公式的推导过程： a1 = a1 + 0 d a2 = a1 + d = a1 + 1 d a3 = a2 + d = a1 + 2 d a4 = a3 + d = a1 + 3 d · · · · · · 由此得到等差数列的通项公式是 an = a1 + ( n –1 ) d 这里，我们由等差数列 { a n } 的一些具体的项 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ，· · · 归纳出了它的通项公式，这 种方法我们称为归纳法，用这种方法可以帮助我们费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他是 解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最 多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许 n 2 多贡献．但是，费马曾认为，当n∈N时，2 1一定都 是质数，这是他对n=0，1，2，3，4时的值分别为3, 5, 17, 257, 65537作了验证后得到的． 18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（ Euler）却证明了 n 当n=5时， 22 1 =4 294 967 297=6 700 417×641，从而 否定了费马的推测． 那么，怎样判断用归纳法得到的某些与正整数 有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是 有关的命题的真假呢？这就要使用数学归纳法 . 无法回答的．但是，失误的关键不在于多算一个上！
《数学归纳法及其应用举例》教案
《数学归纳法及其应用举例》教案一、教学目标1. 理解数学归纳法的概念和原理。
2. 学会使用数学归纳法证明与n有关的数学命题。
3. 掌握数学归纳法的应用，能够解决一些实际问题。
二、教学内容1. 数学归纳法的定义和原理。
2. 数学归纳法的步骤和注意事项。
3. 数学归纳法的应用举例。
三、教学重点与难点1. 数学归纳法的概念和原理的理解。
2. 数学归纳法的步骤和注意事项的掌握。
3. 数学归纳法在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解、演示和练习相结合的方法，让学生理解和掌握数学归纳法。
2. 通过例题和练习题，培养学生的动手能力和思维能力。
3. 鼓励学生提问和讨论，提高学生的参与度和学习兴趣。
五、教学准备1. 教案、PPT和教学素材。
2. 练习题和答案。
3. 教学工具和设备。
教案内容：一、教学目标1. 理解数学归纳法的概念和原理。
2. 学会使用数学归纳法证明与n有关的数学命题。
3. 掌握数学归纳法的应用，能够解决一些实际问题。
二、教学内容1. 数学归纳法的定义和原理。
2. 数学归纳法的步骤和注意事项。
3. 数学归纳法的应用举例。
三、教学重点与难点1. 数学归纳法的概念和原理的理解。
2. 数学归纳法的步骤和注意事项的掌握。
3. 数学归纳法在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解、演示和练习相结合的方法，让学生理解和掌握数学归纳法。
2. 通过例题和练习题，培养学生的动手能力和思维能力。
3. 鼓励学生提问和讨论，提高学生的参与度和学习兴趣。
五、教学准备1. 教案、PPT和教学素材。
2. 练习题和答案。
3. 教学工具和设备。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入数学归纳法的话题，让学生猜测数学归纳法的含义。
2. 引导学生思考数学归纳法在数学证明中的应用。
二、数学归纳法的定义和原理（15分钟）1. 讲解数学归纳法的定义和原理。
2. 通过PPT和示例，解释数学归纳法的步骤和注意事项。
三、数学归纳法的应用举例（20分钟）1. 通过具体的例题，演示数学归纳法的应用过程。
数学归纳法课件.ppt
材
生
学 法 学 书 趣和课堂效率．让学生经历知识的构建过 程, 体会类比的数学思想．
分学
目
手 程 设 让学生领悟数学思想和辩证唯物
析
情情感态度标价值观段主一义种观方点法；,序体激会发研学究生数的学学计问习题热的情，
使学生初步形成做数学的意识和
科学精神．
数学归纳法及其应用举例
教学方法 类比启发探究式教学方法进行教学
在教学过程中，我不仅要传授学生课
教
学学法指导教
本知识，还要培养学生主动观察、主
方 教 板 动思考、亲自动手、自我发现等学习
能力，增强学生的综合素质，从而达
材
生
学 到较为法理想的教学学终极目标．书
分学 目 手 程 设
析
教情学手段标
借助多段媒体呈现多序米诺骨牌等计生活素
材,真正辅助课堂教学.
数学归纳法及其应用举例
数学归纳法及其应用举例
教学 教 方 教 板 材生 学 法 学 书 分学 目 手 程 设 析情 标 段 序 计
数学归纳法及其应用举例
教学内容
数学归纳法及其应用举例是人民教育 出版社全日制普通高级中学教科书数 学第三册(选修II)第二章第一节的内 容，根据教学大纲，本节共3课时，这 是第1课时, 主要内容是数学归纳法理 解与简单应用．
第一阶段:输入阶段
创设问题情境，启动学生思维; 回顾数学旧知，追溯归纳意识; 借助数学史料, 促使学生思辨.
第二阶段:新旧知识相互作用阶段
教
学 教 方 搜索生活实例，激发学习兴趣;
教
板
材 分 析
生 学 法 类比数学
第学情三阶段目 标:操作阶手 段段
学书 教 12..程序知思学识想设线方计法;三线条;设计线: