2020年高考数学一轮复习第九章概率与统计第2讲二项式定理课件理

考点 3 二项式展开式中系数的最值问题
例
3：已知x＋2
1
n
x
的展开式中前三项的系数成等差数列.
(1)求 n 的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)求展开式中系数最大的项.
解：(1)由题设，x＋2 1 xn 的展开式的通项公式为：
Tr＋1＝Cnr xn－r2
方法二，用组合提取法，把原式看作 6 个因式相乘，若第 1 个括号提出 x，从余下的 5 个括号中选 2 个提出 x，选 3 个提 出1x；若第 1 个括号提出1x，从余下的括号中选 2 个提出1x，选 3 个提出 x.故常数项＝x·C25(2x)2·C33－1x3＋1x·C25－1x2·C33(2x)3＝ －40＋80＝40.
的系数为 C25C13＝30.方法二，(x2＋x＋y)5 表示 5 个 x2＋x＋y 之积.
所以 x5y2 可从其中 5 个因式中选两个因式取 y，两个取 x2，一个
取 x.因此 x5y2 的系数为 C25C23C11＝30. 答案：C
(4)(2018
年浙江)二项式
3
x

1 2x
8

的展开式的常数项是
1
k＝ x
12kCk5
15 7 k
x2
，令
15－72k＝8，解得
k＝2.因此
x8
的系数为122C25
＝52.
4.(2016 年新课标Ⅰ)(2x＋ x)5 的展开式中，x3 的系数是
___1_0___.(用数字填写答案)
解析：(2x＋ x)5 的展开式的通项为 Cr5(2x)5－r·( x)r＝
21rCr8≥2r1－1Cr8－1，
8－1 r≥2r＋1 1， 即21r≥9－1 r. 解得 r＝2 或 r＝3.
7
故系数最大的项为 T3＝7x5，T4＝7x 2 .
【规律方法】(1)求二项式系数最大项： ①若 n 是偶数，则中间一项第n2＋1项的二项式系数最大； ②若 n 是奇数，则中间两项第n＋2 1项与第n＋2 3项的二项式系数 相等且最大. (2)求展开式系数最大的项：如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开 式系数最大的项，一般采用待定系数法，设展开式各项系数分
解析：因为1＋x12(1＋x)6＝1·(1＋x)6＋x12·(1＋x)6，则(1＋x)6 展开式中含 x2 的项为 1·C26x2＝15x2，x12·(1＋x)6 展开式中含 x2 的 项为x12·C46x4＝15x2，故 x2 前系数为 15＋15＝30.故选 C.
答案：C
(2)(2017年新课标Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数
＝(－2)rCr8x
84 33
r
.令83－43r＝0，得
r＝2.所以
T3＝112.
2.x＋ax2x－1x5 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式 中常数项为( )
A.－40
B.－20
C.20
D.40
解析：方法一，令 x＝1，得 a＝1.故原式＝x＋1x2x－1x5. 2x－1x5 的通项 Tr＋1＝C5r(2x)5－r(－x－1)r＝Cr5(－1)r25－rx5－2r，由 5－2r＝1 得 r＝2，对应的常数项为 80，由 5－2r＝－1，得 r＝ 3，对应的常数项为－40，故所求的常数项为 40.故选 D.
解析：由题意(x－y)(x＋y)8 的展开式中得到 x2y7 可能为 xC78xy7－yC68x2y6＝[C78－C68]x2y7＝－20x2y7，其系数为－20.
3.(2015 年重庆)x3＋2
1
5
x
的展开式中
x8
5 的系数是___2____.
(用数字作答)
解析：二项展开式通项为
Tk＋1＝Ck5(x3)5－k·2
为( )
A.－80
B.－40
C.40
D.80
解析：(x＋y)(2x－y)5＝x(2x－y)5＋y(2x－y)5，(2x－y)5 的展 开式的通项公式为 Tr＋1＝C5r(2x)5－r(－y)r 可得：
Tr＋1＝C5r (2x)5－r(－y)r＝25－r(－1)rCr5x5－ryr. 当 r＝3 时，x(2x－y)5 展开式中 x3y3 的系数为 C3522(－1)3＝ －40； 当 r＝2 时，y(2x－y)5 展开式中 x3y3 的系数为 C2523(－1)2＝ 80； ∴(x＋y)(2x－y)5 的展开式中的 x3y3 的系数为 80－40＝40.
答案：D
3.x＋1x2x－ax5 的展开式中各项系数之和为 2，则该展开式
中常数项为( D )
A.－40
B.－20
C.20
D.40
解析：令 x＝1 代入得1＋112－a15＝2，∴(2－a)5＝1， a＝1.
则该展开式中常数项为 xC35(2x)2－1x3＋1xC25(2x)3·－1x2＝ 40.
答案：C
(3)(2015年新课标Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为
()
A.10
B.20
C.30
D.60
解析：方法一，(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含 y2 的项为 T3
＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3 中含 x5 的项为 C13x4·x＝C13x5.所以 x5y2
解析：∵(1＋x)10＝(－1－x)10＝[(－2)＋(1－x)]10， (1＋x)10＝ax)10， ∴a8＝C810·(－2)2＝180. 故答案为 180. 答案：180
【规律方法】本题主要考查二项式定理及其运算求解能力， 属于容易题，解答此题关键在于熟记二项式展开式的通项即展 开式的第 r＋1 项为：Tr＋1＝Cnran－rbr(n∈N*且 n≥2，r∈N).解此 类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项) 和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 k 的隐含条件，即 n，k 均为非负整数，且 n≥k)；第二步 是根据所求的指数，再求特定项.
1.(2018 年新课标Ⅲ)x2＋2x5 的展开式中 x4 的系数为( C )
A.10
B.20
C.40
D.80
解析：x2＋2x5 的展开式中含 x4 的项为 C25(x2)32x2＝40x4.其 系数为 40.
2.(2014年新课标Ⅰ)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为 ___－__2_0___.(用数字填写答案)
第2讲 二项式定理
1.能用计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1.二项式定理 (a＋b)n＝C0nanb0＋C1nan－1b1＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnna0bn， (n∈N*)所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做 (a＋b)n 的二项式展开式.
即 Cnr＝Cnn－r.
(2)增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间一项的二项式系
n
n1
n1
数
C
2 n
最大；当
n
是奇数时，中间两项的二项式系数Cn2
，Cn2
相
等且最大.
(3)各二项式系数的和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝___2_n____， 其中 C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1，即奇数项的二 项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于 2n－1.
2.二项式定理的特征 (1)项数：二项式展开式共有__n_＋__1___项. (2)通项公式：Tr＋1＝Crnan－rbr(r＝0,1,2，…，n)表示展开式 中的第 r＋1 项. (3)二项式系数： 二项式展开式第 r＋1 项的二项式系数为 __C__nr ____.
3.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，
考点 2 二项式系数和与各项的系数和 例 2：在(2x－3y)10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和； (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和.
解：设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，① 各项系数和为a0＋a1＋…＋a10， 奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10， 偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9， x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9， x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10.
别为 A1，A2，…，An＋1，且第 k 项系数最大，应用AAkk≥≥AAkk－＋11，， 从而解出 k.
【互动探究】
4.在
3
x

2 x
n
的二项展开式中，只有第
5
项的二项式系数
最大，则二项展开式的常数项等于__1_1_2__.
解析：∵
3
x

2 x
n
的二项展开式中，只有第
【互动探究】
1.(2016
年上海)在 3
x

2 x
n

的二项式中，所有项的二项式
系数之和为 256，则常数项等于__1_1_2__.
解析：因为二项式所有项的二项式系数之和为 2n，所以 2n
＝256.所以 n＝8.二项式展开式的通项为 Tr＋1＝C8r( 3 x )8－r·－2xr
1
xr＝12rCrnx
n
3 2
r
.
故 C0n＋14C2n＝2×12C1n，即 n2－9n＋8＝0.
解得 n＝8，n＝1(舍去)，即 n＝8.
(2)展开式中二项式系数最大的为第五项，
则
T5＝124C48x
8
34 2
＝385x2.
(3)设第 r＋1 项的系数最大，