训练3不等式及线性规划问题

常考问题3 不等式及线性规划问题
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1．(2013·枣庄二模)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1
ab 的最小值为
( )．
A.14 B ．4 C.1
2 D ．2
解析 由4＝2a ＋b ≥22ab ，得ab ≤2，又a >0，b >0，所以1ab ≥1
2，当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立． 答案 C
2．(2013·湖北卷)已知全集为R ，集合
A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
(12)x ≤1，B ＝
{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩∁R B 等于
( )．
A ．{x |x ≤0}
B ．{x |2≤x ≤4}
C ．{x |0≤x <2，或x >4}
D ．{x |0<x ≤2，或x ≥4}
解析 A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}． ∴A ∩∁R B ＝{x |x ≥0}∩{x |x >4，或x <2} ＝{x |0≤x <2，或x >4}． 答案 C
3．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则
( )．
A ．a <v <ab
B ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b
2
D ．v ＝a ＋b
2
解析 设甲、乙两地之间的距离为s . ∵a <b ，∴v ＝2s s
a ＋s b
＝
2sab (a ＋b )s ＝2ab a ＋b <2ab
2ab
＝ab .
又v －a ＝2ab
a ＋
b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a 2a ＋b
＝0，∴v >a .
答案 A
4．(2013·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎨⎧
2x －y －2≥0，
x ＋2y －1≥0，
3x ＋y －8≤0
所表示的区域上一动点，
则直线OM 斜率的最小值为( )． A ．2 B ．1 C ．－1
3 D ．－1
2
解析 已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－13. 答案 C
5．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
x ≥1，
x ＋y ≤3，
y ≥a (x －3)，
若z ＝2x ＋y 的最小值为1，
则a 等于
( )．
A.14
B.1
2 C ．1 D ．2
解析 由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC 内部及边界部分，由目标函数z ＝2x ＋y 的几何意义为直线l ：y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，知当直线l 过可行域内的点B (1，－2a )时，目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为1 ，则2－2a ＝1，解得a ＝12，故选B. 答案 B
6．(2013·四川卷)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．
解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0,5)，
又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5,5)．由于f (x )向左平移两个单位即得f (x ＋2)，故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7<x <3}． 答案 {x |－7<x <3} 7．设a >b >0，则a 2＋1ab ＋
1
a (a －
b )
的最小值是________．
解析 a 2＋1
ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )
＋ab ＋1
ab ≥2＋2＝4.当且仅
当a (a －b )＝1且ab ＝1，即a ＝2，b ＝2
2时取等号． 答案 4
8．(2013·广东卷)给定区域D ：⎩⎨⎧
x ＋4y ≥4，
x ＋y ≤4，
x ≥0，
令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y
在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同
的直线．
解析 作出图形可知，△ABF 所围成的区域即为区域D ，其中A (0,1)是z 在D 处取得最小值点，B ，C ，D ，E ，F 是z 在D 上取得最大值的点，则T 中的点共确定AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BF 共6条不同的直线． 答案 6 9．已知函数f (x )＝
2x
x 2
＋6
. (1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3，或x >－2}，求k 的值； (2)对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围． 解 (1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0.
由已知{x |x <－3，或x >－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2. 由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－2
5. (2)∵x >0，f (x )＝
2x x 2＋6
＝2x ＋6x
≤226＝
6
6，当且仅当x ＝6时取等号．由已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立，故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
66，＋∞.
10．(2013·金华十校模拟)已知函数f (x )＝13ax 3－1
4x 2＋cx ＋d (a ，c ，d ∈R )满足f (0)＝0，f ′(1)＝0，且f ′(x )≥0在R 上恒成立． (1)求a ，c ，d 的值； (2)若h (x )＝34x 2－bx ＋b 2－14，
解不等式f ′(x )＋h (x )<0.
解 (1)∵f (0)＝0，∴d ＝0，∵f ′(x )＝ax 2－12x ＋c .又f ′(1)＝0，∴a ＋c ＝1
2.∵f ′(x )≥0在R 上恒成立，即ax 2－12x ＋c ≥0恒成立，∴ax 2－12x ＋1
2－a ≥0恒成立，显然当a ＝0时，上式不恒成立．∴a ≠0，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12－a ≤0， 即⎩
⎪⎨⎪
⎧
a >0，a 2－12a ＋1
16≤0，解得a ＝14，c ＝1
4.
(2)由(1)知f ′(x )＝14x 2－12x ＋1
4.
由f ′(x )＋h (x )<0，得14x 2－12x ＋14＋34x 2－bx ＋b 2－14<0，即x 2－⎝ ⎛
⎭⎪⎫b ＋12x ＋b 2<0，
即(x －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0，当b >12时，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，b ，
当b <12时，解集为⎝
⎛
⎭⎪⎫b ，12，当b ＝12时，解集为∅. 11．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，对任意的x ∈R ，恒有f ′(x )≤f (x )． (1)证明：当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2；
(2)若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式f (c )－f (b )≤M (c 2－b 2)恒成立，求M 的最小值． (1)证明 易知f ′(x )＝2x ＋b .由题设，对任意的x ∈R ，2x ＋b ≤x 2＋bx ＋c ，即x 2＋(b －2)x ＋c －b ≥0恒成立，所以(b －2)2
－4(c －b )≤0，从而c ≥b 2
4＋1.于是c ≥1，
且c ≥2
b 2
4×1＝|b |，因此2c －b ＝c ＋(c －b )＞0.
故当x ≥0时，有(x ＋c )2－f (x )＝(2c －b )x ＋c (c －1)≥0.即当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2. (2)解 由(1)知c ≥|b |.当c ＞|b |时，有M ≥f (c )－f (b )c 2－b 2＝c 2－b 2＋bc －b 2c 2－b 2＝c ＋2b
b ＋
c .
令t ＝b c ，则－1＜t ＜1，c ＋2b b ＋c ＝2－1
1＋t .
而函数g (t )＝2－
11＋t
(－1＜t ＜1)的值域是⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，32.
因此，当c ＞|b |时，M 的取值集合为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
32，＋∞.
当c ＝|b |时，由(1)知b ＝±2，c ＝2.此时f (c )－f (b )＝－8或0，c 2－b 2＝0，从而f (c )－f (b )≤3
2(c 2－b 2)
恒成立．
综上所述，M的最小值为3 2.。