高一数学向量的坐标表示及向量的数量积苏教版知识精讲.doc
向量坐标表示与运算+课件-2022-2023学年高一下学期数学苏教版(2019)必修第二册
,
变式三
向量垂直的坐标运算
在△ 中，设 = , ， = , ，
(1)若已知 = − ，问：三角形是什么三角形？
(2)若已知△ 是直角三角形，求实数的取值.
解：（2） = , ， = , ，所以 = −, −
考虑三种情况：
若为直角，则 ⋅ = − + = ，
解得： =
2
− .
3
变式三
向量垂直的坐标运算
在△ 中，设 = , ， = , ，
(1)若已知 = − ，问：三角形是什么三角形？
(2)若已知△ 是直角三角形，求实数的取值.
解：（2） = , ， = , ，所以 = −, −
因为 + 与 − 垂直，所以 + ⋅ − =
解得， = .
变式三
向量垂直的坐标运算
在△ 中，设 = , ， = , ，
(1)若已知 = − ，问：三角形是什么三角形？
(2)若已知△ 是直角三角形，求实数的取值.
题目
展示组
cosθ<0时 ， 有两 种 情况 ： 一是 θ 是钝 角 ，二 是 θ 为 180° ；
cosθ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.
探究三
向量垂直的坐标运算
已知向量 = (, ), = (−, )且 + 与 − 垂直，
求实数的取值.
解： + = ( − , + ), − = (, −)
+ =
⋅
∠ =
=
.
9.3.2第2课时 向量数量积的坐标表示-【新教材】苏教版(2019)高中数学必修第二册课件
素 养
合 作 探
∴|A→B|＝ x2－x12＋y2－y12.
课 时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
8
·
情
课
景
堂
导
小
学
1．已知 a＝(1，－1)，b＝(2，3)，则 a·b＝( )
·
结
探
提
新 知
A．1
B．－1
C．5
D．－5
素 养
合
作 探
B [∵a＝(1，－1)，b＝(2，3)，
课 时
究
分
释
∴a·b＝1×2－3＝－1.]
情
课
景 导
a 与 b 的夹角为________．
堂 小
学
结
探 新
52
3π 4
[∵a·b＝－15，|a|＝
－52＋52＝5
2，|b|＝3，∴cos
提 素
·
知
养
合 作 探
θ＝|aa|·|bb|＝5－21×53＝－ 22，
课 时
究
分
释 疑
又 θ∈[0，π]，∴θ＝34π.]
层 作 业
难
·
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11
·
x1x2＋y1y2 x21＋y21 x22＋y22
.
课 时
究 释
特别地，若 a⊥b，则 x1x2＋y1y2＝0
分
；反之，若 x1x2＋y1y2＝
层 作
疑
难 0，则 a⊥b.
业
返 首 页
·
7
·
情
课
景 导 学
思考：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量A→B的模？
苏教版数学高一苏教版必修42.4向量的数量积第二课时
互动课堂疏导引导 从数学角度考虑，我们希望向量的数量积也能像数量乘法那样满足某些运算律.由数量积定义a ·b =|a |·|b |·cos 〈a ·b 〉=|b |·|a |cos 〈b ，a 〉=b ·a ,知数量积运算满足交换律.我们知道一个向量与一个轴上单位向量的数量积等于这个向量在轴上正投影的数量，如果将分配律（a +b ）·c =a ·c +b ·c 中的向量c 换成它的单位向量c 0，则分配律变为（a +b ）·c 0=a ·c 0+b ·c 0（*）.证明分配律就变为证明：两个向量和在一个方向上的正投影的数量等于各个向量在这个方向上投影的数量和.为此，我们画出（*）式两边的几何图形进行推导.作轴l 与向量c 的单位向量c 0平行，作=a , =b ,作=a +b .设点O 、A 、B 在轴l 上的射影为O 、A′、B′，根据向量的数量积定义有OA ='·c 0=a ·c 0 A′B′=·c 0=b ·c 0OB′=·c 0=（a +b ）·c 0但对轴上任意三点O 、A′、B′，都有''''B A OA OB +=,于是（*）式成立.（*）式两边同乘以|c |，得（a +b ）·c =a ·c +b ·c .容易验证数乘以向量的数量积，可以与任一向量交换结合，即对任意实数λ,有λ(a ·b )=（λa ）·b =a ·（λb ）.规律总结 （1）数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律.（2）从力做功的情况看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有（λa ）·b =λ(a ·b ).（3）两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律：（a +b ）·c =a ·c +b ·c .(4)平面向量的数量积不满足结合律a ·（b ·c ）=(a ·b )·c 是错误的，这是因为a ·b 与b ·c 都是数量，所以a ·（b ·c ）代表的是与a 共线的向量；（a ·b ）·c 代表的是与c 共线的向量，向量a 与c 不一定共线，当然就不一定相等.活学巧用【例1】 下列等式中，其中正确的是（ ）①|a |2=a 2;②a b ab a =•2;③（a ·b ）2=a 2·b 2;④（a +b ）2=a 2+2a ·b +b 2.A.1个B.2个C.3个D.4个解析：①|a |2=a 2是向量数量积的性质，在求模计算中常用； ②a b a b a b a a b a ≠=•=•θθcos ||||||cos ||||22. ③（a ·b ）2=（|a |·|b |cosθ）2=|a |2·|b |2cos 2θ④(a +b )2=(a +b )·（a +b ）=a 2+a ·b +b ·a +b 2=a 2+2a ·b +b 2.答案：B【例2】 已知|a |=6，|b |=8，〈a ,b 〉=120°，求|a +b |2，|a +b |.解析：可以利用运算律结合性质处理.由题有|a +b |2=（a +b ）2=a 2+2a ·b +b 2=62+2×6×8·cos120°+82=52，∴|a +b |=132.【例3】运用内积证明矩形对角线相等.解析：设AB =a , AD =b ,且a ⊥b ，则AC =a +b ，BD =AD -AB =b -a .于是|AC |2=2AC =（a +b ）2=a 2+2a ·b +b 2；|BD |2=2BD =（b -a ）2=b 2-2a ·b +b 2.又a ⊥b ，即a ·b =0，∴|AC |2=|BD |2，即|AC |=|BD |，故矩形的两对角线长相等.【例4】 求证：直径上的圆周角为直角.已知：AC 为⊙O 的直径，∠ABC 是直径AC 上的圆周角，如图所示.求证：∠ABC=90°.分析：欲证∠ABC=90°,只须证⊥.证明：设=a ，=b ，有=a .∵=a +b ,BC =a -b ，且|a |=|b |，∴AB ·BC =（a +b ）·（a -b ）=0，∴⊥，即∠ABC=90°.【例5】设e 1,e 2是夹角为45°的两个单位向量，且a =e 1+2e 2,b =2e 1+e 2,求|a +b |的值. 解：因a +b =3e 1+3e 2，所以|a +b |2=|3e 1+3e 2|2=9(e 1+e 2)2=9(e 12+2e 1e 2+e 22)=9(1+2×1×1×cos45°+1) =9(2+2)，∴|a +b |=223 .。
苏教版高中数学必修4§2.3 向量的坐标表示.docx
§2.3 向量的坐标表示2．3.1 平面向量基本定理课时目标1．通过实例了解平面向量的基本定理及其意义.2.能选取适当的基底来表示其它的向量，并能解决一些简单几何问题．1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个________________的向量，那么对于这一平面内的________向量a ，________________________实数λ1，λ2，使a ＝____________. (2)基底：把____________的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内________向量的一组基底． 2．正交分解一个平面向量用一组基底e 1，e 2表示成a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式，我们称它为向量a 的________，当e 1，e 2所在直线互相________时，就称为向量的正交分解．一、填空题1．下面三种说法中，正确的是________．(填序号)①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． 2．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是________．(写出所有满足条件的序号)①e 1－e 2，e 2－e 1；②2e 1＋e 2，e 1＋12e 2；③2e 2－3e 1,6e 1－4e 2；④e 1＋e 2，e 1－e 2.3．若a ，b 不共线，且(λ－1)a ＋(μ＋1)b ＝0(λ，μ∈R )，则λ＝________，μ＝________.4．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，试用m ，n 表示p 的结果是________．5．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________.6．若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2可以作为平面内的一组基底，若e 1与e 2不共线，则实数k 的取值范围为________． 7．如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．(填对应说法的序号)①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④若实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0.8．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________. 9.如图所示，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且OP →＝xOA →＋yOB →，则x 的取值范围是________；当x ＝－12时，y 的取值范围是______________．10．设e 1、e 2是平面的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝________a ＋________b . 二、解答题 11.已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AD →，AE →，AF →.12．如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1.能力提升13．设I 为△ABC 的内心，当AB ＝AC ＝5，BC ＝6时，AI →＝xAB →＋yBC →，则x ＋y 的值是________．14．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF FD ＝15，连结CF 并延长交AB 于E ，则AE EB＝________.1．对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不惟一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是惟一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．3．关于向量的分解及正交分解向量的正交分解是平面向量基本定理的特殊形式，此时e1⊥e2，它类似于平面直角坐标系中的两条相互垂直的坐标轴，它是平面向量的直角坐标表示的理论基础，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一组有序实数对惟一表示，从而建立了向量与实数的关系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．§2.3 向量的坐标表示2．3.1 平面向量基本定理知识梳理1．(1)不共线 任一 有且只有一对 λ1e 1＋λ2e 2 (2)不共线 所有 2．分解 垂直 作业设计1．②③ 2.①②③ 3.1 －14．p ＝－74m ＋138n解析 设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3－3x －2y ＝2，解得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－74y ＝138.5.23b ＋13c 解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝23b ＋13c . 6．k ≠±1解析 要作为基底，则k e 1＋e 2与e 1＋k e 2不共线，可知当k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线时，k ＝±1，在这里，得k ≠±1. 7．②③解析 由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的．对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个． 8.43 解析设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.9．(－∞，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 解析 由题意得： OP →＝aOM →＋bOB →(a ，b ∈R ＋，0<b <1)＝a λAB →＋bOB →(λ>0)＝a λ(OB →－OA →)＋bOB →＝－a λOA →＋(a λ＋b )OB →.由－a λ<0，求得x ∈(－∞，0)．又由OP →＝xOA →＋yOB →，则有0<x ＋y <1，当x ＝－12时，有0<－12＋y <1，求得y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. 10.23 －13解析 由方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b .所以e 1＋e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －23b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋13b＝23a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13b . 11．解 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ； AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b . 12．证明 设AB →＝b ，AC →＝c ，则AM →＝12b ＋12c ，AN →＝23AC →＝23c ，BN →＝BA →＋AN →＝23c －b .∵AP →∥AM →，BP →∥BN →， ∴存在λ，μ∈R ，使得AP →＝λAM →，BP →＝μBN →，又∵AP →＋PB →＝AB →，∴λAM →－μBN →＝AB →，∴由λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c －μ⎝ ⎛⎭⎪⎫23c －b ＝b 得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μb ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－23μc ＝b . 又∵b 与c 不共线． ∴⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μ＝1，12λ－23μ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.故AP →＝45AM →，即AP ∶PM ＝4∶1.13.1516解析 如图，设AI 交BC 于点D ，∵△ABC 是等腰三角形，故D 为BC 的中点，BD ＝3，在△ABD 中，由内角平分线定理可知： AI ID ＝AB BD ＝53，故AI →＝58AD →， 又AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →.AI →＝58(AB →＋12BC →)＝58AB →＋516BC →，即x ＝58，y ＝516.∴x ＋y ＝1516.14.110解析 设AB →＝a ，AC →＝b ，AE EB＝λ.∵AF FD ＝15，∴CF →＝CA →＋AF → ＝CA →＋16AD →＝112(AB →＋AC →)－AC →＝112AB →－1112AC →＝112a －1112b . CE →＝CA →＋AE →＝CA →＋λ1＋λAB →＝λ1＋λAB →－AC →＝λ1＋λa －b . ∵CF →∥CE →，∴λ1＋λ112＝11112.∴λ＝110.。
新教材苏教版必修第二册932第二课时向量数量积的坐标表示课件
向量坐标运算与平面几何的交汇
[例3] 已知三点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)． (1)求证：AB⊥AD； (2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度．
[解] (1)证明：∵A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)， ∴―A→ B ＝(1，1)，―AD→＝(－3，3)， 则―A→ B ·―AD→＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴―A→ B ⊥―AD→，即AB⊥AD. (2)∵―AB→⊥―AD→，四边形ABCD为矩形，∴―AB→＝―D→C . 设点C的坐标为(x，y)，则―D→C ＝(x＋1，y－4)， 从而有xy－＋41＝＝11，，即xy＝＝50，，∴点C的坐标为(0，5)． ―AC→＝(－2，4)，―AC→＝ （－2）2＋42＝2 5， 故点C的坐标为(0，5)，矩形ABCD的对角线的长度为2 5.
若两个非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角吗？
提示：不一定，有可能θ＝180°.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若a ＝(1，0)，b ＝(0，2)，则a ⊥b . (2)若a ＝(1，2)，b ＝(－1，－2)，则a ＝b . (3)若a ＝(1，2)，b ＝(－1，－2)，则|a |＝|b |. (4)若a ＝(1，2)，b ＝(0，1)，则|a ＋2b |＝4. 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
π 答案： 4
向量数量积的坐标运算
[例1] (链接教科书第32页例1)已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，－1)，则(a ＋2b )·(a －
3b )等于
A．10
B．－10
C．3
D．－3
[解析] ∵a ＋2b ＝(4，－3)，a －3b ＝( )＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. [答案] B
高一数学苏教版必修4课件：2.4 向量的数量积(三)
28
1234
4.已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R. (1)若a⊥b，求x的值； 解 若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋ x(－x)＝0， 即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
2.4 向量的数量积(二)
29
1234
(2)若a∥b，求|a－b|. 解 若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解 得x＝0或x＝－2. 当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2. 当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
AD 为 BC 边上的高，求|A→D|与点 D 的坐标.
解 设D点坐标为(x，y)， 则A→D＝(x－2，y＋1)，B→C＝(－6，－3)， B→D＝(x－3，y－2)，
2.4 向量的数量积(二)
20
∵D 在直线 BC 上，即B→D与B→C共线， ∴－6(y－2)＋3(x－3)＝0，即x－2y＋1＝0.① 又∵AD⊥BC，∴A→D·B→C＝0，
积相等，横横纵纵积相反.
2.4 向量的数量积(二)
4
2.
你
能
用
向
量
法
推
导
两
点
间
距
离
公
式
|
→ AB
|
＝
x2－x12＋y2－y12吗？ 答 A→B＝(x2－x1，y2－y1)， ∴A→B·A→B＝A→B2＝|A→B|2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2， 即|A→B|＝ x2－x12＋y2－y12.
∴(a＋b)·(2a－b)＝(3,8)·(0,1)＝3×0＋8×1＝8.
2.4 向量的数量积(二)
(新教材)2020-2021学年高中苏教版数学必修2课件：9.3.2.2 向量数量积的坐标表示
2.已知平面向量 AB (1,2)，AC (3,4)，则向量 CB 的模是
(
)
A. 2
B. 5
C.2 2
D.5
【解析】选C.因为向量 AB (1,2)，AC (3,4)，
所以 CB AB AC (1,2) (3,4) (2, 2)，
所以 CB 2 2.
3.已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=______. 【解析】因为向量a=(-4,3),b=(6,m),a⊥b,所以a·b=0,即-4×6+3m=0,m=8. 答案:8
【补偿训练】 已知|a|=2 13 ,b=(3,-2),若a∥b,求a+b的坐标及|a+b|.
类型三 向量夹角、垂直问题(数学运算) 角度1 平面向量的夹角问题
【典例】已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角θ为钝角,求实数λ的取值范 围. 【思路导引】a,b的夹角θ为钝角等价于a·b<0且θ≠180°.
2.平面向量数量积的坐标表示的结论 (1)结论
条件
结论
a,b都是非零向量, a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b 的夹角
cos
θ=
ab ab
=
x1x2 y1y2 x12 y12 x22 y22
(2)本质:平面向量数量积的坐标表示及其结论实现了向量运算的完全代数化, 并将数与形紧密结合起来. (3)应用:①求向量的模;②求向量的夹角;③判断两个向量垂直.
【解题策略】
1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤
(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积.
(2)求模.利用|a|= x2 y2 计算两向量的模.
高一数学苏教版必修4(江苏专用)课件2.4.2 向量数量积的坐标运算
解方程组得
则|b|= ������ 2 + ������ 2 =5.
问题导学
当堂检测
平面向量数量积的坐标运算主要解决的问题. 向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数 化. 主要解决以下三方面的问题: (1)求两点间的距离(求向量的模). (2)求两向量的夹角. (3)证明两向一、数量积的坐标运算
活动与探究 已知向量 a=(3,-1),b=(1,-2), 求:(1)a· b;(2)(a+b)2;(3)(a+b)· (a-b). 思路分析:题目中给出了两向量的坐标,欲求本题中的数量积,可根 据向量数量积的坐标运算公式,也可考虑其几何意义来求解.
问题导学
目标导航
预习导引
2.三个重要公式
目标导航
预习导引
预习交流 2
(1)平面向量 a 与 b 的夹角为 60° ,a=(2,0),|b|=1,则 |a+2b|= . .
4 3
(2)已知 a=(3,x),|a|=5,则 x= (3)若 a=(2,-3),b=(x,2x),且 a· b= ,则 x= 提示:(1)2 3 (2)± 4 (3)1 3
1 2
问题导学
当堂检测
(2)因为 a 与 b 的夹角为钝角, 所以 cos θ<0,且 cos θ≠-1. 所以 a·b<0,且 a 与 b 不反向. 由 a·b<0 得 1+2λ<0,故 λ<- , 由 a 与 b 共线得 λ=2,故 a 与 b 不可能反向. 所以 λ 的取值范围为 -∞,所以 cos θ>0,且 cos θ≠1. 所以 a·b>0,且 a,b 不同向. 由 a·b>0 得 λ>- ,由 a 与 b 不同向得 λ≠2. 所以 λ 的取值范围为 - ,2 ∪(2,+∞).
苏教版数学高一苏教版必修4素材2.3向量的坐标表示
疱丁巧解牛知识·巧学1.平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2使a=λ1e1+λ2e2.我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.对于平面向量基本定理应注意以下几点：(1)基底不唯一，关键是不共线；(2)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；(3)基底给定时，分解形式唯一,λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量.由平面向量基本定理知，平面内任意一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的.一个平面向量用一组基底e1、e2表示成a=λ1e1+λ2e2的形式，我们称它为向量的分解.特别地，当e1、e2互相垂直时，就称为向量的正交分解.深化升华对于一个平面内所有向量的基底必须是不共线的，对于一个平面向量，可以选择不同的基底，基底的选择不同，则对于同一个非零向量的表示也不同.由这个定理还可以看出，平面内任意一个向量都可以沿两个不共线的方向分解为两个向量的和.学法一得当沿两个不共线的方向分解一个向量时，可对比于物理中力的分解.λ1e1+λ2e2叫做e1、e2的一个线性组合.由平面向量的基本定理知，若e1、e2不共线，那么由e1、e2的所有线性组合构成的集合{λ1e1+λ2e2,λ1、λ2∈R}就是平面内的全体向量，所以我们把e1、e2叫做这一平面内所有向量的一组基底.平面向量基本定理虽然没有指出λ1、λ2的计算方法，但它却和平行向量、基本向量一起，深刻地揭示了平面向量的基本结构，是继续深入研究向量的基础.同时这个定理体现了化归的数学思想方法，在用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底化归，从而导致问题的解决.2.平面向量的坐标运算(1)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，任意一点M可以用坐标来表示，当一个点M确定之后，也可以确定一个以原点为起点而以M为终点的向量.由于平移不改变向量的方向和大小，所以，所有向量都可以通过平移，把它的起点移到原点，此时向量的终点就对应一个坐标，我们把该点坐标称为该向量的坐标.深化升华由于向量是可以平移的，模相等方向相同的向量是相等的向量，平面内任一向量所对应的坐标是指把该向量的起点移至原点，终点所对应的坐标.如图2-3-2，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一确定.图2-3-2则向量的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示.联想发散前面用有向线段来表示向量的几何特征，现在又用坐标将向量代数化，这样就达到了数与形的结合，为利用数形结合的思想方法解题奠定了基础.一般地，对于向量a，当它的起点移至原点时，其终点坐标(x,y)称为向量a的坐标.误区警示一个向量对应唯一一个坐标，但是反过来，一个坐标可以对应无数个向量，这些向量是相等的.所以平面上的向量与它们坐标之间并非是一一对应的，例如，若点A不与原点重合，点B的坐标为(x,y)，则向量的坐标不是(x,y).只有以原点为起点的向量和坐标之间具有一一对应的关系.当我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底时，任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i+y j,特别地，i=(1,0)，j=(0,1)，0=(0,0).辨析比较有了平面向量的坐标之后，要将点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，如A(0,1),B(2,3)，则=(2,2)；若C(1,2),D(3,4)，则=(2,2)，显然和是相等的向量，但A、B、C、D四点坐标各不相同.此外，向量和坐标之间是用“=”连接的，但点和坐标之间却无任何符号，比如“=(2,2)”和“A(0,1)”这些表示方法是正确的，但“(2,2)”和“A=(0,1)”这些表示方法却是错误的.联想发散平面内任一向量所对应的坐标与该向量分别在x轴、y轴上的投影线段的长度有关.根据两条线段的投影长度,结合终点所在象限的符号,即可确定坐标.(2)平面向量的坐标运算当向量用坐标表示时，向量的和、差及向量的数乘也都可以用相应的坐标来表示.①若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1+x2,y1+y2)，a-b=(x1-x2,y1-y2).即两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.证明如下：设基底为i、j，则a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j,即a+b=(x1+x2,y1+y2)，同理可得a-b=(x1-x2,y1-y2).②若a=(x,y)和实数λ，则λa=(λx,λy).即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.证明如下：设基底为i、j，则λa=λ(x i+y j)=λx i+λy j，即λa=(λx,λy).特别地，若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1).一个向量的坐标等于该向量的终点坐标减去始点的坐标.这是因为：==(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).-记忆要诀实数与向量积的坐标运算与实数与向量的积的分配律很类似.因此，可对比实数与向量的积的分配律进行记忆.深化升华向量的坐标表示为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁,向量的坐标表示实际是向量的代数表示,使向量的运算完全代数化,为几何问题的解决又提供了一种崭新的方法.这是因为这样可以使很多几何问题的证明，转化为我们熟知的数量运算，这也是中学数学学习向量的重要目的之一.3.向量平行的坐标表示设向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)(a≠0),如果a∥b，那么x1y2-x2y1=0;反过来，如果x1y2-x2y1=0，那么a ∥b . 证明：a =(x 1,y 1)，b =(x 2,y 2),因为a ≠0，所以x 1,y 1不全为0，不妨设x 1≠0.如果a ∥b ，则有b =λa ,得(x 2,y 2)=λ(x 1,y 1)⇒⎩⎨⎧==).2(),1(1212y y x x λλ消去λ，即可得x 1y 2-x 2y 1=0.但应注意消去λ时不能两式相除，这是因为y 1,y 2有可能为0.由于x 1≠0，则λ=12x x ，代入②即可. 反过来，如果x 1y 2-x 2y 1=0，由于x 1≠0，则有y 2=12x x y 1， 则(x 2,y 2)=(x 2,12x x y 1)=12x x (x 1,y 1)，即有b =λa ，所以a ∥b . 对于向量平行的坐标表示中x 1y 2-x 2y 1=0不能写成11x y =22x y ，这是因为x 1,x 2有可能为0. 有了向量平行的坐标表示,向量平行的条件有两种形式：a ∥b (b ≠0)⇔⎩⎨⎧=-=.0,1221y x y x b a λ 误区警示 在定理中没有说明向量b 是否是非零向量，a 明确说明是非零向量，这是因为当向量b 是零向量时，则存在λ=0使得b =λa 成立;而当a 是零向量时，即使等式b =λa 成立，等式中的实数λ也唯一确定，定理不成立.典题·热题知识点1 平面向量基本定理例1 如图2-3-3，OA ，OB 不共线，AP =AB t (t ∈R ),用OA ,OB 表示OP .图2-3-3思路分析：本题利用平面向量基本定理.解：∵t =,∴t +=+==+t(-)=t t -+=(1-t)+t .方法归纳 利用两个不共线的向量表示这两个向量所在平面内的任意一向量时，应把这些向量的起点平移到同一点，构造三角形，利用向量加、减法的三角形法则来处理问题. 例2 设两非零向量e 1和e 2不共线.(1)如果AB =e 1+e 2,BC =2e 1+8e 2,CD =3(e 1-e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线; (2)试确定实数k ，使k e 1+e 2和e 1+k e 2共线. 思路分析：要证明A 、B 、D 三点共线，需证明存在λ,使BD =λ(e 1+e 2)即可.而若k e 1+e 2和e 1+k e 2共线，则一定存在λ，使k e 1+e 2=λ(e 1+k e 2).(1)证明：∵AB =e 1+e 2,CD BC BD +==2e 1+8e 2+3e 1-3e 2=5(e 1+e 2)=AB 5，∴AB 、BD 共线.又有公共点B ，∴A 、B 、C 三点共线.(2)解：∵k e 1+e 2和e 1+k e 2共线，∴存在λ使k e 1+e 2=λ(e 1+k e 2),则(k-λ)e 1=(λk -1)e 2,由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎨⎧=-=-.01,0k k λλ 则k=±1.方法归纳 本题是两个向量共线的充要条件的应用，只需根据以其中某一点为起点，以另外两点为终点的向量a 、b 共线，则存在实数λ使得a =λb (b ≠0),然后利用待定系数法确定参数值.深化升华 由平面向量基本定理可以得到以下两条常用的性质：(1)设e 1、e 2是两个不共线的向量，若m e 1+n e 2=s e 1+t e 2(m 、n 、s 、t 为实数)，则有⎩⎨⎧==t.n s,m (2)设e 1、e 2是两个不共线的向量，若m e 1=n e 2,则有m=n=0.例3 如图2-3-4,设O 为△ABC 内一点,PQ ∥BC,且BC PQ =21,OA =a ,OB =b ,OC =c ,试求OP 、OQ .图2-3-4思路分析：根据条件，考虑用三角形法则求OP 、，即由AP OA OP +=，AQ OA OQ +=，再利用平面几何及向量知识求出、AQ 便可解决问题.解：由平面几何知识知△APQ ∽△ABC ，且对应边之比为t ，故AC AQ AB AP ==BC PQ =21. 又A 、P 、B 与A 、Q 、C 分别共线，即知 =21,=21， ∴OA AP OA OP =+=+21AB =OA +21(OA OB -)=a +21(b -a )， 即=21a +b . OA AC t OA AQ OA OQ =+=+=+21(-)=a +21(c -a )，即OQ =21a +c . 方法归纳 利用三角形法则求某一向量时,选取第三个点时,应注意恰当性,如本题中,若采用BP OB OP +=,+=,虽然也可求出OP 、,但计算过程就显得复杂些. 知识点2 平面向量的坐标运算例4 已知A(1,2),B(3,2)，向量a =(x+3,x 2-3x-4)与向量相等，则x 的值为__________. 思路解析：由于=(3，2)-(1，2)=(2，0)，a =(x+3,x 2-3x-4)，则有⎩⎨⎧==+0.4-3x -x 2,3x 2 解得x=-1.答案：-1误区警示 两个向量相等，则它们的横坐标与纵坐标分别相等.解这类题易出现只利用横坐标或纵坐标相等来建立方程求解，从而导致错误，比如在本题中若只利用纵坐标相等，则可得x 2-3x-4=0，解得x=-1或x=4，从而得出错误的结论.例5 (1)已知三个力F 1=(3,4),F 2=(2,-5),F 3=(x,y)的合力F 1+F 2+F 3=0，求F 3的坐标.(2)若M(3,-2),N(-5,-1)且=21,求P 点的坐标. 思路分析：本题利用向量的坐标表示及向量的坐标运算.解：(1)由题设F 1+F 2+F 3=0得(3,4)+(2,-5)+(x,y)=(0,0),即⎩⎨⎧=+=++0.y 5-40,x 23∴⎩⎨⎧==1.y -5,x ∴F 3=(-5,1). (2)设P(x,y),则(x-3,y+2)=21(-8,1)=(-4,21). ∴⎪⎩⎪⎨⎧.21 =2+y -4,=3-x ∴⎪⎩⎪⎨⎧==.23-y -1,x ∴P 点坐标为(-1,-23). 深化升华 定义了向量的坐标后，给向量的运算(加、减、向量的数乘)带来了方便，也为向量和代数建立起了联系的纽带.例6 (1)若向量a =(-1,x)与b =(-x,2)共线且方向相同，求x.(2)已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量与平行吗？直线AB 平行于直线CD 吗？ 思路分析：本题利用向量平行条件和运算及应用向量平行条件解决直线平行问题. 解：(1)∵a =(-1,x)与b =(-x,2)共线,∴(-1)×2-x·(-x)=0.∴x=±2.∵a 与b 方向相同,∴x=2.(2)∵=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),=(2-1,7-5)=(1,2),又∵2×2-4×1=0,∴∥.又∵AC =(1-(-1),5-(-1))=(2,6),=(2,4),2×4-2×6≠0,∴AC 与AB 不平行.∴A 、B 、C 不共线.∴AB 与CD 不重合.∴AB ∥CD.方法归纳 当向量用坐标表示时，在解决与向量平行的有关问题时，一般利用坐标表示向量平行的条件.但如果涉及到方向问题时，要进一步进行检验.例7 已知点A(2，3)、B(5，4)、C(7，10)，若AC AB AP λ+=(λ∈R ).(1)试求λ为何值时，点P 在第一、三象限角平分线上.(2)试求λ为何值时，点P 在第三象限.(3)四边形ABCP 能是平行四边形吗？若能,求出相应的λ值;若不能,请说明理由.思路分析：本题利用平面向量的坐标运算以及向量的坐标与点坐标之间的关系.解：设P 点坐标为(x,y)，则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),λ+=(5,4)-(2,3)+λ［(7,10)-(2,3)］=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ).由于λ+=(λ∈R ),所以(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ).所以⎩⎨⎧+=+=,713-y ,532-x λλ即⎩⎨⎧+=+=.74y ,55x λλ (1)若点P 在第一、三象限角平分线上,则有5+5λ=4+7λ，解得λ=21. 即当λ=21时，点P 在第一、三象限角平分线上. (2)若点P 在第三象限内，则有⎩⎨⎧+>+>.740,550λλ 解得λ＜-1.即当λ＜-1时，点P 在第三象限.(3)由于=(7，10)-(5，4)=(2，6)，AP =(3+5λ,1+7λ)，若四边形ABCP 是平行四边形，则应有⎩⎨⎧=+=+ 6.712,53λλ此方程组无解，即不存在λ使=，所以四边形ABCP 不能是平行四边形.方法归纳 引进向量的坐标后,向量的基本运算转化为实数的基本运算,可以解方程,可以解不等式,总之把问题转化为我们熟知的领域即可.误区警示 一个向量的坐标等于该向量的终点坐标减去起点坐标.而在进行向量的这种坐标运算时，容易混淆，易记成起点坐标减去终点坐标从而导致错误，例如本题中在求的坐标时，易出现AP =(2，3)-(x ，y)=(2-x ，3-y)的错误表示，从而导致本题的错解.深化升华 向量的坐标表示为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁,向量的坐标表示实际是向量的代数表示,使向量的运算完全代数化,为几何问题的解决又提供了一种崭新的方法. 例8 如果向量=i -2j ,BC =i +m j ,其中i 、j 分别表示x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A 、B 、C 三点共线.思路分析：本题利用向量平行的条件解决三点共线的问题.解法一：由于A 、B 、C 三点共线,即、共线，所以存在实数λ使AB =λ. 即i -2j =λ(i +m j )，由此可得⎩⎨⎧-==,2,1m λλ所以m=-2.解法二：由于i =(1,0),j =(0,1)，则=i -2j =(1,0)-2(0,1)=(1,-2),=i +m j =(1,m)，而、共线，所以有1×m-1×(-2)=0.所以m=-2.故当m=-2时，A 、B 、C 三点共线.方法归纳 向量共线的几何表示和坐标表示形式不同但实质一样，在解决问题时要注意选择适当的方法来使用.例9 将向量u =(x,y)与向量v =(y,2y-x)的对应关系用v =f(u )表示.(1)证明对于任意向量a 、b 及常数m 、n 恒有f(m a +n b )=mf(a )+nf(b )成立.(2)设a =(1,1),b =(1,0),求向量f(a )及f(b )的坐标.(3)求使f(c )=(p,q)(p,q 为常数)的向量c 的坐标.思路分析：为应用题设条件,必须将向量用坐标表示,通过坐标进行计算,从而使问题解决.(1)证明：设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则m a +n b =(m a 1+n b 1,m a 2+n b 2),∴f(m a +n b )=(m a 2+n b 2,2m a 2+2n b 2-m a 1-n b 1),mf(a )+nf(b )=m(a 2,2a 2-a 1)+n(b 2,2b 2-b 1)=(m a 2+n b 2,2m a 2+2n b 2-m a 1-n b 1).∴f(m a +n b )=mf(a )+nf(b )成立. (2)解：f(a )=(1,2×1-1)=(1,1);f(b )=(0,2×0-1)=(0,-1).(3)解：设c =(x,y),则f(c )=(y,2y-x)=(p,q),∴⎩⎨⎧==q.x -2y p,y ∴x=2p-q,即向量c =(2p-q,p).方法归纳 证明等式成立,可以从一边开始证得它等于另一边,也可证明左右两边等于同一式子,还可先证明一个式子成立,再推出要证明的式子成立.例10 已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量AB 与CD 平行吗？直线AB 平行于直线CD 吗？思路分析：本题利用向量共线的充要条件、共线的坐标表示及向量平行与直线平行的区别. 解：∵AB =(1-(-1),3-(-1))=(2,4)，CD =(2-1,7-5)=(1,2)，又∵2×2-4×1=0，∴AB ∥CD .又∵AC =(1-(-1)，5-(-1))=(2,6)，AB =(2,4)，2×4-2×6≠0，∴AC 与AB 不平行.∴A 、B 、C 不共线.∴AB 与CD 不重合.∴AB ∥CD.误区警示 向量平行不同于直线平行，向量平行可以共线也可以不共线，因此若向量AB 与CD 平行时，直线AB 与CD 可能平行也可能重合.例11 已知任意四边形ABCD 中,E 、F 分别是AD 、BC 的中点.如图2-3-5所示,求证:EF =21(DC AB +).图2-3-5思路分析：本题的证明方法比较多，可通过两个封闭图形得出，相加得出结论;也可以在平面内任选一点O ，构成三角形，在三角形中利用向量加、减法的三角形法则找出关系式求解;也可以建立坐标系，利用向量的坐标运算求解.证法一:∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点,∴+=+=0.又BF AB EA EF ++=,CF DC ED EF ++=, 两式相加得DC AB EF +=2, 即EF =21(DC AB +). 证法二:如图2-3-6,在平面内任取一点O.图2-3-6∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点,∴OE =21(OD OA +)，OF =21(OC OB +). ∴OE OF EF -==21［(OA OB -)+(OD OC -)］=21(DC AB +). ∴EF =21(DC AB +). 证法三:建立直角坐标系,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),D(x 4,y 4).则AB =(x 2-x 1,y 2-y 1),DC =(x 3-x 4,y 3-y 4),∴21(DC AB +)=(2,241324132y y y y x x x x --+--+). 又E(241x x +,241y y +),F(232x x +,232y y +), 则EF =(232x x +-241x x +,232y y +-241y y +),∴EF =21(DC AB +). 深化升华 利用平面向量基本定理证题的关键是选好与求证的结论相关的一组基底.基底选好后，平面内的任一向量都可用这组基底表示出来.一对相反向量的和等于零向量.在进行向量的加减运算时，可设法把向量转化成首尾相连的向量和的形式，有公共起点的向量的和差的形式等，以便于用向量的加减法法则去化简.问题·探究材料信息探究材料：在高一物理学习中，我们学习过力的分解，一个力可以分解为平面内任意两个方向上的力.如图2-3-7，图2-3-7拖拉机拉着耙，对耙的拉力是斜向上方的，我们可以说，这个力产生两个效果：使耙克服泥土的阻力前进，同时把耙向上提，使它不会插得太深.这两个效果相当于两个力分别产生的：一个水平的力F1使耙前进，一个竖直向上的力F2把耙上提，即力F可以用两个力F1和F2来代替，即力F被分解成两个力F1和F2.问题利用你所学知识，能不能将上面的物理知识抽象为数学知识？这一数学知识有何作用？探究过程：由物理学知识可知力是矢量，它可以抽象为数学中的向量.因此物理学中力的分解可以抽象为数学中一个平面内的向量都可以分解为两个不共线的向量，即平面内任意一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的，因为其实际就是平面向量基本定理.这一定理是向量坐标表示的理论基础.同时这个定理体现了化归的数学思想方法，在用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底化归，从而导致问题的解决. 探究结论:上面的物理知识可以抽象为数学中的平面向量基本定理，该定理是向量坐标化的理论基础，也是联系向量问题与几何问题的桥梁与纽带.。
第9章 9.3.2 第1课时 向量的坐标表示及坐标运算-高一数学课件(苏教版2019必修第二册)
解 如图，作AM⊥x轴于点M，则OM＝OA·cos 45° ＝4× 22＝2 2， AM＝OA·sin 45°＝4× 22＝2 2. ∴A(2 2，2 2)，故 a＝(2 2，2 2).
C.一个坐标对应于唯一的一个向量
√D.平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应
解析 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向 量，故C错误.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.已知 a－12b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则 a 等于
第九章 平面向量
9.3.2 第一课时 向量的坐标表示及坐标运算
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.掌握向量的坐标表示，会进行向量线性运算的坐标表示. 2.能够利用向量的坐标解决向量共线(平行)等有关的问题.
内
知识梳理
容
题型探究
索
随堂演练
引
课时对点练
1
PART ONE
知识梳理
知识点一 向量的坐标表示
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)向量的坐标表示. (2)向量加、减、数乘运算的坐标表示. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：混淆点的坐标与向量的坐标致错.
4 课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.已知 M(2,3)，N(3,1)，则N→M的坐标是
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°， ∴∠COy＝30°. 又∵OC＝AB＝3，
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高一数学向量的坐标表示及向量的数量积苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：向量的坐标表示及向量的数量积二、本周教学目标（1）理解平面向量的坐标的概念；掌握平面向量的坐标运算；会根据向量的坐标，判断向量是否共线；（2）理解平面向量的数量积的定义及平面向量数量积的重要性质及运算律；并能运用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题；（3）掌握平面向量数量积的坐标表示；能用所学知识解决有关综合问题。
三、本周知识要点1、平面向量的坐标表示如图，一般地，对于向量a 当它起点移至原点O 时，其终点的坐标（x ，y ）称为向量a的直角坐标，记作(,)a x y =…………②其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示。
与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x 。
特别地，(1,0)i = ，(0,1)j =，0(0,0)= 。
在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j作为基底。
任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj =+…………①2、平面向量的坐标运算（1）若),(11y x a =，),(22y x b = ，则b a +),(2121y y x x ++=，b a-),(2121y y x x --=。
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
（2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。
（3）若(,)a x y = 和实数λ，则(,)a x y λλλ=。
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
3、向量平行的坐标表示 ),(22y x b =，如果//a b ，那么设向量),(11y x a =，12210x y x y -=；反过来，如果12210x y x y -=，那么//a b。
从而向量共线的条件有两种形式：a ∥b （b ≠0 ）12210a b x y x y λ⎧=⎪⇔⎨-=⎪⎩4、向量的数量积（1）两个非零向量夹角的概念已知非零向量a 与b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠AOB ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b的夹角。
说明：①当θ＝０时，a 与b同向；②当θ＝π时，a 与b反向；③当θ＝2π时，a 与b 垂直，记a ⊥b ；④注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0︒≤θ≤180︒。
（2）平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫a 与b 的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b ＝ |a ||b|cos θ，（０≤θ≤π）。
并规定0 与任何向量的数量积为0。
说明：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由c os θ的符号所决定。
②两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ³b ，而a ⋅b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分。
符号“² ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“³”代替。
③在实数中，若a ≠0，且a ⋅b ＝0，则b ＝0；但是在数量积中，若a ≠0 ，且a ⋅b＝0，不能推出b ＝0。
因为其中c os θ有可能为0。
④已知实数a 、b 、c （b ≠0），则ab ＝bc ⇒ a ＝c 。
(0)a ≠但是a ⋅b＝ b ⋅ca ＝ c如下图：a ⋅b ＝ |a ||b|c os β ＝ |b ||OA|，b ⋅c ＝ |b ||c |c os α ＝ |b ||OA|⇒ a ⋅b ＝ b ⋅c 但a ≠ c⑤在实数中，有（a ⋅b ）c ＝ a （b ⋅c ），但是（a ⋅b ）c ≠ a （b ⋅c）显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线。
（3）平面向量数量积的运算律交换律：a ⋅ b ＝ b ⋅ a数乘结合律：（λa ）⋅b ＝λ（a ⋅b ） ＝ a⋅（λb ） 分配律：（a ＋ b ）⋅c ＝ a ⋅c＋ b ⋅c（4）两个向量的数量积的性质设a 、b为两个非零向量 1︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b＝ 02︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b ＝ |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b ＝ -|a ||b|。
特别的a ⋅a ＝ |a |2或||a 3︒ c os θ ＝||||a ba b ⋅4︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b|5、平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = ，试用a 和b 的坐标表示b a⋅。
设i 是x 轴上的单位向量，j是y 轴上的单位向量，那么j y i x a11+=，j y i x b 22+=所以))((2211j y i x j y i x b a++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i所以b a⋅2121y y x x +=这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
即b a⋅2121y y x x +=1）平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a = ，则222||y x a += 或22||y x a +=。
（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=（平面内两点间的距离公式）2）向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b = ，则b a ⊥⇔02121=+y y x x3）两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ ＝||||b a ba ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=【典型例题】例1. 已知三个力1F ＝（3， 4）， 2F ＝（2， -5）， 3F ＝（x ， y ）的合力1F ＋2F＋3F ＝0 ，求3F的坐标。
解：由题设1F ＋2F＋3F ＝0 得：（3， 4）＋ （2， -5）＋（x ， y ）＝（0， 0） 即：⎩⎨⎧=+-=++054023y x ∴⎩⎨⎧=-=15y x ∴3F ＝（-5，1）例2. 若向量a＝（－1，x ）与b ＝（－x ， 2）共线且方向相同，求x 。
解：∵a＝（－1，x ）与b ＝（－x ， 2） 共线 ∴（－1）³2－ x •（－x ）＝0∴x ＝±2 ∵a 与b方向相同 ∴x ＝2例3. 已知A （－1， －1）， B （1，3）， C （1，5） ，D （2，7） ，向量AB 与CD平行吗？直线AB 与平行于直线CD 吗？解：∵AB＝（1－（－1）， 3－（－1））＝（2， 4） ， CD ＝（2－1，7－5）＝（1，2）又 ∵2³2－4³1＝0 ∴AB ∥CD又 ∵ AC ＝（1－（－1）， 5－（－1））＝（2，6） AB ＝（2， 4） 2³4－2³6≠0 ∴AC 与AB不平行∴A ，B ，C 不共线 ∴AB 与CD 不重合 ∴AB ∥CD例4. 已知a 、b 都是非零向量，且a ＋ 3b 与7a - 5b 垂直，a - 4b 与7a- 2b垂直，求a 与b的夹角。
解：由（a ＋ 3b ）（7a - 5b ） ＝ 0 ⇒ 7a 2 ＋ 16a ⋅b-15b 2＝ 0 ① （a - 4b ）（7a - 2b ） ＝ 0 ⇒ 7a 2 - 30a ⋅b ＋ 8b 2＝ 0 ② 两式相减：2a ⋅b＝ b 2代入①或②得：a 2＝ b 2设a 、b 的夹角为θ，则cos θ ＝2212||||2||a b b a b b ⋅== ∴θ ＝ 60︒【模拟试题】1. 若a ＝（2，3），b ＝（4，－1＋y ），且a ∥b，则y ＝（ ）A. 6B. 5C. 7D. 8 2. 若A （x ，－1），B （1，3），C （2，5）三点共线，则x 的值为（ ） A. －3 B. －1 C. 1 D. 33. 若AB ＝i ＋2j ， DC ＝（3－x ） i＋（4－y ） j （其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量）。
AB 与DC共线，则x 、y 的值可能分别为（ ）A. 1，2 B . 2，2 C. 3，2 D. 2，44. 若a ＝（－4，3），b ＝（5，6），则3|a |２－４b a ⋅＝（ ）A. 23B. 57C. 63D. 83 5. 已知A （1，2），B （2，3），C （－2，5），则△ABC 为（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不等边三角形6. 已知a ＝（4，3），向量b 是垂直a的单位向量，则b 等于（ ）A. )54,53(或)53,54(B. )54,53(或)54,53(--C. )54,53(-或)53,54(-D. )54,53(-或)54,53(-7. 已知a ＝（4，2），b ＝（6，y ），且a ∥b，则y ＝ 。
8. 已知a ＝（1，2），b ＝（x ，1），若a ＋2b 与2a －b 平行，则x 的值为 。
9. 已知平行四边形ABCD 四个顶点的坐标为A （5，7），B （3，x ），C （2，3），D （4，x ），则x ＝ 。
10. a ＝（2，3），b ＝（－2，4），则（a ＋b ）²（a －b）＝ 。
11. 已知a （3，2），b （－1，－1），若点P （x ，－21）在线段a b 的中垂线上，则x＝ 。
12. 已知A （1，0），A （3，1），A （2，0），且a ＝BC ，b ＝CA ，则a 与b的夹角为 。
13.已知a ＋b＝2i －8j ，a －b ＝－8i ＋16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y轴正方向上的单位向量，那么a ²b＝ 。
14. 已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |＝1，|b |＝2，| c|＝3，则（a ＋2b －c ）２＝______。
二、解答题15. 判断正误，并简要说明理由。
①a ²0 ＝0 ；②0²a ＝０；③0 －AB ＝BA ；④｜a ²b ｜＝｜a｜｜b ｜；⑤若a ≠0 ，则对任一非零b 有a ²b ≠０；⑥a ²b ＝０，则a 与b中至少有一个为0 ；⑦对任意向量a ，b ，c 都有（a ²b ）c ＝a （b ²c ）；⑧a 与b 是两个单位向量，则a ２＝b ２。