2015-2016年广东省广州市海珠区高一下学期期末数学试卷及答案
高一下期末数学试卷4(文)含答案解析
高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（每题5分）1．设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}2．若sinαcosα＜0，则角α的终边在（）A．第二象限 B．第四象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限3．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A．B．C．D．4．已知过点A（﹣2，m），B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．2 C．﹣8 D．105．函数f（x）=x﹣4+log2x的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）6．已α，β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；③若l上有两个点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β．其中正确命题的序号是（）A．①②B．①④C．②④D．③④7．执行如图所示的程序框图，如果输入的x∈[﹣1，3]，则输出的y属于（）A．[0，2]B．[1，2]C．[0，1]D．[﹣1，5]8．过（2，2）点且与曲线x2+y2+2x﹣2y﹣2=0相交所得弦长为的直线方程为（）A．3x﹣4y+2=0 B．3x﹣4y+2=0或x=2C．3x﹣4y+2=0或y=2 D．x=2或y=29．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πB．π C．8πD．16π10．函数y=的图象可能是（）A．B．C．D．11．若函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是这段图象的最高点和最低点，且•=0，则A•ω=（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则x i=（）A．0 B．m C．2m D．4m二、填空题（每题5分）13．已知函数f（x）=，则的值是．14．已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为．15．某次考试后，抽取了40位学生的成绩，并根据抽样数据制作的频率分布直方图如图所示，从成绩为[80，100]的学生中随机抽取了2人进行某项调查，则这两人分别来自两个不同分数段内的频率为．16．如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将直角△ABE沿BE边折起，A点在平面BCDE上的射影为D点，则对翻折后的几何体中有如下描述：①AB与DE所成角的正切值是；②三棱锥B﹣ACE的体积是a3；③直线BA与平面ADE所成角的正弦值为．④平面EAB⊥平面ADE．其中错误叙述的是．三、解答题17．已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．18．某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．19．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象，如图所示．（1）求函数解析式；（2）若方程f（x）=m在[﹣，]有两个不同的实根，求m的取值范围．20．如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．（1）求证：AC∥平面BEF；（2）求四面体BDEF的体积．21．已知坐标平面上三点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．（1）若（O为原点），求向量与夹角的大小；（2）若，求sin2α的值．22．已知直线l：y=kx+1与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于A，B两点（1）求弦AB的中点M的轨迹方程；（2）若O为坐标原点，S（k）表示△OAB的面积，若f（k）=[S（k）•（k2+1）]2，求f （k）的最大值．2015-2016学年河南省焦作市高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}【考点】交集及其运算．【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可．【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B={3，5}．故选：B．2．若sinαcosα＜0，则角α的终边在（）A．第二象限 B．第四象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限【考点】三角函数值的符号．【分析】由题意转化为正弦函数，余弦函数的符号，然后确定角α的终边所在象限．【解答】解：因为sinαcosα＜0，所以或，所以角α的终边在四、二象限；故选C．3．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率．【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数n==10，甲被选中包含的基本事件的个数m==4，∴甲被选中的概率p===．故选：B．4．已知过点A（﹣2，m），B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．2 C．﹣8 D．10【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】先由已知条件求出过点A（﹣2，m），B（m，4）的直线的斜率和直线2x+y﹣1=0的斜率，再由两直线平行斜率相等的性质能求出m的值．【解答】解：∵过点A（﹣2，m），B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，∴k==﹣2，解得m=﹣8．故选：C．5．函数f（x）=x﹣4+log2x的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【分析】连续函数f（x）=log2x+x﹣4在（0，+∞）上单调递增且f（2）=﹣1＜0，f（3）=log23﹣1＞0，根据函数的零点的判定定理可求【解答】解：∵连续函数f（x）=log2x+x﹣4在（0，+∞）上单调递增∵f（2）=﹣1＜0，f（3）=log23﹣1＞0∴f（x）=log2x+x﹣4的零点所在的区间为（2，3）故答案为C6．已α，β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；③若l上有两个点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β．其中正确命题的序号是（）A．①②B．①④C．②④D．③④【考点】命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．【分析】①若α⊥β，l⊥β，则l∥α或l⊆α，②由平面与平面垂直的判定定理可得α⊥β，③若直线l上的两个点到平面α的距离相等，则直线l∥α或直线l∩α=M，且在直线上的点到M的距离相等的点满足条件④一个平面垂直于两平行平面中的一个必垂直于另一个【解答】证明：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α或l⊆α，故①错误②由l∥β，可知在平面β内存在直线l′，使得l′∥l，则由l⊥α可得l′⊥α且l′⊆β，由平面与平面垂直的判定定理可得α⊥β，故②正确③若l∥α，则直线l上的所有的点到平面α的距离相等，若直线l∩α=M，则在直线上且在平面α的两侧存在点满足距M相等的点到平面的距离相等，故③错误④一个平面垂直于两平行平面中的一个必垂直于另一个，则可得α⊥β，α∥γ，则γ⊥β正确故选C7．执行如图所示的程序框图，如果输入的x∈[﹣1，3]，则输出的y属于（）A．[0，2]B．[1，2]C．[0，1]D．[﹣1，5]【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，分析程序的功能，结合输出自变量的范围条件，利用函数的性质即可得到结论．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值．若﹣1≤x＜0，则不满足条件输出y=2﹣x﹣1∈（0，1]，若0≤x≤3，则满足条件，此时y=log2（x+1）∈[0，2]，输出y∈[0，2]，故选：A．8．过（2，2）点且与曲线x2+y2+2x﹣2y﹣2=0相交所得弦长为的直线方程为（）A．3x﹣4y+2=0 B．3x﹣4y+2=0或x=2C．3x﹣4y+2=0或y=2 D．x=2或y=2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】曲线x2+y2+2x﹣2y﹣2=0化为标准方程，确定圆心与半径，设出直线方程，利用条件可得圆心到直线的距离为1，从而可求直线方程．【解答】解：曲线x2+y2+2x﹣2y﹣2=0化为标准方程为：（x+1）2+y﹣1）2=4，表示圆心为（﹣1，1），半径为2的圆设过点（2，2）的直线方程为y﹣2=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+2=0∵过（2，2）点且与曲线x2+y2+2x﹣2y﹣2=0相交所得弦长为∴圆心到直线的距离为∴∴4k2+3k=0∴k=0，或k=﹣∴所求直线方程为：3x﹣4y+2=0或y=2故选C．9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πB．π C．8πD．16π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥，分别计算柱体和圆锥的体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥，圆柱和圆锥的底面直径为4，故底面半径为2，故底面面积S=4π，圆柱和圆锥的高h=2，故组合体的体积V=（1﹣）Sh=，故选：B10．函数y=的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】当x＞0时，，当x＜0时，，作出函数图象为B．【解答】解：函数y=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．当x＞0时，，当x＜0时，，此时函数图象与当x＞0时函数的图象关于原点对称．故选B11．若函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是这段图象的最高点和最低点，且•=0，则A•ω=（）A．B．C．D．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【分析】根据图象求出函数的周期，再求出ω的值，根据周期设出M和N的坐标，利用向量的坐标运算求出A的值，即求出A•ω的值．【解答】解：由图得，T=4×=π，则ϖ=2，设M（，A），则N（，﹣A），∵，A＞0，∴×﹣A×A=0，解得A=，∴A•ω=．故选C．12．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则x i=（）A．0 B．m C．2m D．4m【考点】二次函数的性质；带绝对值的函数；函数迭代．【分析】根据已知中函数函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），分析函数的对称性，可得函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f（x）图象的交点关于直线x=1对称，进而得到答案．【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），故函数f（x）的图象关于直线x=1对称，函数y=|x2﹣2x﹣3|的图象也关于直线x=1对称，故函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f（x）图象的交点也关于直线x=1对称，故x i=×2=m，故选：B二、填空题（每题5分）13．已知函数f（x）=，则的值是．【考点】对数的运算性质；函数的值．【分析】直接利用分段函数由里及外逐步求解即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（log2）=f（﹣2）=5﹣2=．故答案为：．14．已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．【解答】解：∵向量=（1，），=（，1），∴与夹角θ满足：cosθ===，又∵θ∈[0，π]，∴θ=，故答案为：．15．某次考试后，抽取了40位学生的成绩，并根据抽样数据制作的频率分布直方图如图所示，从成绩为[80，100]的学生中随机抽取了2人进行某项调查，则这两人分别来自两个不同分数段内的频率为．【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图得成绩为[80，90）的学生有4人，成绩为[90，100]的学生有2人，由此利用等可能事件概率计算公式能求出结果．【解答】解：由频率分布直方图得：成绩为[80，90）的学生有：0.010×10×40=4人，成绩为[90，100]的学生有：0.005×10×40=2人，∴从成绩为[80，100]的学生中随机抽取了2人进行某项调查，基本事件总数n==15，这两人分别来自两个不同分数段内，包含的基本事件个数m==8，∴这两人分别来自两个不同分数段内的频率为：．故答案为：．16．如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将直角△ABE沿BE边折起，A点在平面BCDE上的射影为D点，则对翻折后的几何体中有如下描述：①AB与DE所成角的正切值是；②三棱锥B﹣ACE的体积是a3；③直线BA与平面ADE所成角的正弦值为．④平面EAB⊥平面ADE．其中错误叙述的是③．【考点】棱锥的结构特征．【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．利用向量与三棱锥的有关知识计算即可得出．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．D（0，0，0），C（0，﹣a，0），B（﹣a，﹣a，0），E（﹣a，0，0），A（0，0，a）．下描述：①=（﹣a，﹣a，﹣a），=（﹣a，0，0）．cos===．∴tan=，因此AB与DE所成角的正切值是正确．=×AD==a3，正确．②三棱锥B﹣ACE的体积=V A﹣BCE③取平面ADE的法向量=（0，1，0），=（a，a，a），设直线BA与平面ADE所成角为θ，则sinθ====，因此不正确．④∵AD⊥平面BCDE，∴AD⊥BE，又BE⊥DE，BE∩DE=E，∴BE⊥平面ADE，BE⊂ABE，∴平面EAB⊥平面ADE，因此正确．其中错误叙述的是③．故答案为：③．三、解答题17．已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【考点】复合三角函数的单调性；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得ω的值；（2）直接由相位在正弦函数的增区间内求解x的取值范围得f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx==．由T=，得ω=1；（2）由（1）得，f（x）=．再由，得．∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）．18．某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【分析】（1）根据小矩形的高=，故频数比等于高之比，由此可得a、b的值；（2）计算分层抽样的抽取比例为=，用抽取比例乘以每组的频数，可得每组抽取人数；（3）利用列举法写出从6人中随机抽取2人的所有基本事件，分别计算总个数与恰有1人在第3组的个数，根据古典概型概率公式计算．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，[25，30）与[30，35）两组的人数相同，∴a=25人．且人．总人数人．（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为，第2组的人数为，第3组的人数为，∴第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．（3）由（2）可设第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4人分别为C1，C2，C3，C4，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：（A，B），（A，C1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），（C1，C2），（C1，C3），（C1，C4），（C2，C3），（C2，C4），（C3，C4），共有15种．其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：（A，C1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），共有8种．所以恰有1人年龄在第3组的概率为．19．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象，如图所示．（1）求函数解析式；（2）若方程f（x）=m在[﹣，]有两个不同的实根，求m的取值范围．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）根据已知中函数的图象求出函数的周期，要求出ω，进而根据“第一点向左平移量”法可求出φ值，代入可得函数的解析式；（2）分析函数在[﹣，]图象和性质，进而得到方程f（x）=m在[﹣，]有两个不同的实根，即函数y=f（x）和y=m的图象在[﹣，]有两个不同的交点时，m的取值范围．【解答】解：（1）∵=﹣=，故T=π，又∵ω＞0，故ω=2，故函数图象第一点的坐标为（﹣，0）点，即向左平移量L=，故φ=ω•L=，故…（2）由（1）中函数解析式可得当x∈[﹣，]或x∈[，]时，函数为减函数，当x∈[，]时，函数为减函数，又∵f（﹣）=cos=，f（）=cos=0，故当时，函数y=f（x）和y=m的图象在[﹣，]有两个不同的交点即方程f（x）=m有两个不同的实根，故m的取值范围为…20．如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．（1）求证：AC∥平面BEF；（2）求四面体BDEF的体积．【考点】直线与平面平行的判定；组合几何体的面积、体积问题；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）设正方形ABCD的中心为O，取BE中点G，连接FG，OG，由中位线定理，我们易得四边形AFGO是平行四边形，即FG∥OA，由直线与平面平行的判定定理即可得到AC∥平面BEF；（2）由已知中正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，我们可以得到AB⊥平面ADEF，结合DE=DA=2AF=2．分别计算棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式即可求出四面体BDEF的体积．【解答】证明：（1）设AC∩BD=O，取BE中点G，连接FG，OG，所以，OG∥DE，且OG=DE．因为AF∥DE，DE=2AF，所以AF∥OG，且OG=AF，从而四边形AFGO是平行四边形，FG∥OA．因为FG⊂平面BEF，AO⊄平面BEF，所以AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．…解：（2）因为平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，所以AB⊥平面ADEF．因为AF∥DE，∠ADE=90°，DE=DA=2AF=2所以△DEF的面积为S△DEF=×ED×AD=2，所以四面体BDEF的体积V=•S△DEF×AB=21．已知坐标平面上三点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．（1）若（O为原点），求向量与夹角的大小；（2）若，求sin2α的值．【考点】二倍角的正弦；数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】（1）首先根据，求出cosα，再根据向量的积求出夹角即可．（2）先表示出向量AC和BC，然后根据向量垂直的条件得出，，从而求出，然后得出它的平方，进而求得sin2α．【解答】解：（1）∵，，∴（2+cosα）2+sin2α=7，∴．又B（0，2），C（cosα，sinα），设与的夹角为θ，则：，∴与的夹角为或．（2）解：∵，，由，∴，可得，①∴，∴，22．已知直线l：y=kx+1与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于A，B两点（1）求弦AB的中点M的轨迹方程；（2）若O为坐标原点，S（k）表示△OAB的面积，若f（k）=[S（k）•（k2+1）]2，求f （k）的最大值．【考点】轨迹方程．【分析】（1）欲求弦AB的中点M的轨迹方程，设点M（x，y），只须求出其坐标x，y的关系式即可，由题意知MN与MC所在直线垂直得到一个关系式，化简即得点M的轨迹方程．（2）先将y=kx+1代入方程（x﹣2）2+（y﹣3）2=1得到一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出4S△OAB2=|x2﹣x1|2=（x1+x2）2﹣4x1•x2，最后结合配方法求解函数f （k）的最大值即可．【解答】解：（1）直线l与y轴的交点为N（0，1），圆心C（2，3）．设M（x，y），∵MN与MC所在直线垂直，∴（x≠0且x≠2），当x=0时不符合题意，当x=2时，y=3符合题意，∴AB中点的轨迹方程为：x2+y2﹣2x﹣4y+3=0（＜x＜）；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵S△OAB=S△ONB﹣S△ONA，且|ON|=1，∴S△OAB=|x2﹣x1|．将y=kx+1代入方程（x﹣2）2+（y﹣3）2=1得（1+k2）x2﹣4（1+k）x+7=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴4S△OAB2=|x2﹣x1|2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=∴S2（k）=，∴f（k）=[S（k）•（k2+1）]2=﹣3k2+8k﹣3，∵△＞0得＜k＜，∴k=时，f（k）的最大值为．2016年8月9日。
2016年广东省惠州市高一下学期期末数学试卷与解析答案
2015-2016学年广东省惠州市高一（下）期末数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜2}，则（）A．M∩N=N B．N⊆M C．M∩N={0}D．M∪N=N2．（5分）若a＜b＜0，下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．a2＜ab C．D．3．（5分）已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m∥α⇒n∥α②α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β③m∥n，m⊥α⇒n⊥α④α⊥β，m∥α⇒m⊥β其中正确命题的序号是（）A．①③B．②④C．①④D．②③4．（5分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12 B．6 C．4 D．25．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角ABC所对的边，若a=15，b=10，A=60°，则cosB的值为（）A．﹣B．C．﹣D．6．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线B1C与DC1所成角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．（5分）已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）A．B．C．10 D．128．（5分）直线kx﹣y﹣k+1=0与圆x2+y2=4的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定9．（5分）已知点（sinθ，cosθ）到直线：xcosθ+ysinθ+1=0的距离为d，则d的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[0，2]C．（﹣2，2]D．[0，]10．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4 C．D．511．（5分）已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O的表面积为（）A．πB．πC．πD．π12．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）在空间直角坐标系中，已知点A（2，4，﹣3），B（0，6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的面积等于．14．（5分）直线y=3x+1绕其与y轴的交点逆时针旋转90°所得到的直线方程为．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=2，2a n﹣2=S n（其中n∈N*），则S n=．16．（5分）不等式ax2+2ax+1＞0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）某工厂生产甲、乙两种产品．已知生产甲种产品每吨需耗矿石2t、煤2t；生产乙种产品每吨需耗矿石4t、煤2t．如果甲种产品每吨能获利600元，乙种产品每吨能获利800元．工厂在生产这两种产品的计划中要求每天消耗矿石不超过8t、煤不超过6t．每天甲、乙两种产品应各生产多少能获利最大？最大利润为多少？18．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC ﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．19．（12分）已知等差数列{a n}，满足a3=7，a5+a7=26．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．20．（12分）如图，AB为圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，点C为圆O上的一点．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若AB=2，BC=AC，PA=AB，点M为PC的中点，求三棱锥B﹣MOC的体积．21．（12分）已知圆方程为：x2+y2=4．（Ⅰ）直线L过点P（1，2），且与圆C交于A、B两点，若|AB|=，求直线L 方程．（Ⅱ）过圆C上一动点M作平行于X轴的直线m，设m与y轴交点为N，若向量（O为原点），求动点Q轨迹方程．22．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．2015-2016学年广东省惠州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜2}，则（）A．M∩N=N B．N⊆M C．M∩N={0}D．M∪N=N【解答】解：因为M={x|﹣1＜x＜1}，，所以M⊂N，所以M∪N=N．故选：D．2．（5分）若a＜b＜0，下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．a2＜ab C．D．【解答】解：方法一：若a＜b＜0，不妨设a=﹣2，b=﹣1代入各个选项，错误的是A、B、D，故选C．方法二：∵a＜b＜0∴a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）＞0即a2＞b2，故选项A不正确；∵a＜b＜0∴a2﹣ab=a（a﹣b）＞0即a2＞ab，故选项B不正确；∵a＜b＜0∴﹣1=＜0即＜1，故选项C正确；∵a＜b＜0∴＞0即，故选项D不正确；故选：C．3．（5分）已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m∥α⇒n∥α②α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β③m∥n，m⊥α⇒n⊥α④α⊥β，m∥α⇒m⊥β其中正确命题的序号是（）A．①③B．②④C．①④D．②③【解答】解：①m∥n，m∥α⇒n∥α还可能有n⊂α，故不正确；②α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β，根据“两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面”，可知正确；③m∥n，m⊥α⇒n⊥α，根据“两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面”，可知正确；④α⊥β，m∥α⇒m⊥β还可能是m⊂β或m∥β或m与β相交但不垂直，故不正确．故选：D．4．（5分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12 B．6 C．4 D．2【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，如图：一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2，∴四棱锥的体积是=2，故选：D．5．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角ABC所对的边，若a=15，b=10，A=60°，则cosB的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：由正弦定理可得，即，解得sinB=．再由a＞b可得A＞B，故B为锐角．∴cosB==，故选：D．6．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线B1C与DC1所成角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：如图所示，直线A1D∥B1C，所以直线A1D与DC1所成的角∠A1DC1即为异面直线B1C与DC1所成角．∵△A1DC1为正三角形，∴∠A1DC1=60°．故选：C．7．（5分）已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）A．B．C．10 D．12【解答】解：∵{a n}是公差为1的等差数列，S8=4S4，∴8a1+×1=4×（4a1+），解得a1=．则a10=+9×1=．故选：B．8．（5分）直线kx﹣y﹣k+1=0与圆x2+y2=4的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定【解答】解：直线kx﹣y﹣k+1=0恒过（1，1），（1，1）是圆x2+y2=4内的一定点（1，1），故直线与圆相交．故选：A．9．（5分）已知点（sinθ，cosθ）到直线：xcosθ+ysinθ+1=0的距离为d，则d的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[0，2]C．（﹣2，2]D．[0，]【解答】解：由点到直线的距离公式得到，∵sin2θ∈[﹣1，1]，∴|sin2θ+1|∈[0，2]，即d∈[0，2]，∴d的取值范围是[0，2]．故选：B．10．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4 C．D．5【解答】解：∵a+b=2，∴=1∴=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）故选：C．11．（5分）已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O的表面积为（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：在△ABC中，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴BC==2，由正弦定理可得平面ABC截球所得圆的半径（即△ABC的外接圆半径），r==2，又∵球心到平面ABC的距离d=R，∴球O的半径R=，∴R2=故球O的表面积S=4πR2=π，故选：D．12．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．【解答】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，由图象可知当P，M，N，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：|AC2|﹣3﹣1=﹣4=﹣4=5﹣4．故选：B．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）在空间直角坐标系中，已知点A（2，4，﹣3），B（0，6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的面积等于3π．【解答】解：∵点A（2，4，﹣3），B（0，6，﹣1），∴|AB|=，∴以线段AB为直径的圆的半径为，面积等于．故答案为：3π．14．（5分）直线y=3x+1绕其与y轴的交点逆时针旋转90°所得到的直线方程为x+3y﹣3=0．【解答】解：直线y=3x+1与y轴的交点是（0，1），直线y=3x+1的斜率是3，故所求直线的斜率是：﹣，旋转900所得到的直线与原直线互相垂直，在y轴上的截距不变，故所求直线方程是：y=﹣x+1=0，即x+3y﹣3=0，故答案为：x +3y ﹣3=0．15．（5分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=2，2a n ﹣2=S n （其中n ∈N *），则S n = 2n +1﹣2 ．【解答】解：由题意知：2a n ﹣2=S n 可得2a n +1﹣2=S n +1，∴a n +1=2a n ． ∴数列{a n }是等比数列，公比为2． ∴a n =2n ．∴S n =2×2n ﹣2=2n +1﹣2． 故答案为：2n +1﹣2．16．（5分）不等式ax 2+2ax +1＞0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为 [0，1） ．【解答】解：当a=0时，不等式化为1＞0，恒成立； 当a ≠0时，若ax 2+2ax +1＞0对一切x ∈R 恒成立， 则，即，解得0＜a ＜1；综上，实数a 的取值范围是[0，1）． 故答案为：[0，1）．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）某工厂生产甲、乙两种产品．已知生产甲种产品每吨需耗矿石2t 、煤2t ；生产乙种产品每吨需耗矿石4t 、煤2t ．如果甲种产品每吨能获利600元，乙种产品每吨能获利800元．工厂在生产这两种产品的计划中要求每天消耗矿石不超过8t 、煤不超过6t ．每天甲、乙两种产品应各生产多少能获利最大？最大利润为多少？【解答】解：设每天甲乙两种产品各生产x ，y 吨，则每天的生产利润z=600x +800y…（1分）且满足…（3分）如右图，作出可行域，…（5分）当z=600x+800y经过点A时取得最大值，…（7分）由解得A（2，1），故z max=600×2+800×1=2000…（9分）答：当每天生产甲2吨，乙1吨时产品能获利最大，最大利润为2000元．…（10分）18．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC ﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【解答】解：（1）c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC•（sinA﹣cosA﹣1）=0，又，sinC≠0，所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣）=1，所以A=；（2）S=bcsinA=，所以bc=4，△ABCa=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，即有，解得b=c=2．19．（12分）已知等差数列{a n}，满足a3=7，a5+a7=26．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的首项为a1，公差为d，∵a 5+a7=26∴a6=13，，∴a n=a3+（n﹣3）d=2n+1；（Ⅱ）由（1）可知，∴．20．（12分）如图，AB为圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，点C为圆O上的一点．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若AB=2，BC=AC，PA=AB，点M为PC的中点，求三棱锥B﹣MOC的体积．【解答】（1）证明：如图，∵C为圆O上的一点，AB为圆O的直径，∴BC⊥AC，又PA垂直圆O所在的平面，∴PA⊥BC，则BC⊥平面PAC；（2）解：∵AB=2，BC=AC，∴在Rt△ABC中，可得，又PA=AB=2，点M为PC的中点，∴点M到平面ABC的距离等于点P到平面ABC的距离的，∴．21．（12分）已知圆方程为：x2+y2=4．（Ⅰ）直线L过点P（1，2），且与圆C交于A、B两点，若|AB|=，求直线L 方程．（Ⅱ）过圆C上一动点M作平行于X轴的直线m，设m与y轴交点为N，若向量（O为原点），求动点Q轨迹方程．【解答】解：（I）①直线L的斜率不存在时，方程为x=1，代入圆的方程：1+y2=4，解得，满足|AB|=，此时：直线L的方程为，x=1．②直线L的斜率存在时，设直线L的斜率为，则方程为：y﹣2=k（x﹣1），kx﹣y+2﹣k=0．圆心到直线L的距离d=，∵|AB|=，∴2=，∴，化为4k=3，解得，此时方程为：，化为3x﹣4y+5=0．综上可知：直线L的方程为x=1或3x﹣4y+5=0．（II）设Q（x，y），M（s，t），则N（0，t），s2+t2=4．（*）∵向量（O为原点），∴，解得，代入（*）得，化为．因此动点Q轨迹方程为：．22．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．【解答】解：（1）由方程x2+y2+2x﹣4y+3=0知（x+1）2+（y﹣2）2=2，所以圆心为（﹣1，2），半径为．当切线过原点时，设切线方程为y=kx，则=，所以k=2±，即切线方程为y=（2±）x．当切线不过原点时，设切线方程为x+y=a，则=，所以a=﹣1或a=3，即切线方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0．综上知，切线方程为y=（2±）x或x+y+1=0或x+y﹣3=0；（2）因为|PO|2+r2=|PC|2，所以x12+y12+2=（x1+1）2+（y1﹣2）2，即2x1﹣4y1+3=0．要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．当直线PO垂直于直线2x﹣4y+3=0时，即直线PO的方程为2x+y=0时，|PM|最小，此时P点即为两直线的交点，得P点坐标（﹣，）．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
广东省广州市海珠区2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题
广东省广州市海珠区2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题一、单选题1．在ABC V 中，3BE EC =u u u r u u u r ，则AE =u u u r（ ）A ．1233AB AC +u u ur u u u rB ．2133AB AC +u u ur u u u rC ．1344AB AC +u u ur u u u rD ．3144AB AC +u u ur u u u r2．下列的表述中，正确的是（ ）A ．过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直B ．过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行C ．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直D ．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行3．若两个非零向量,a b rr 的夹角为θ，且满足||2||,(3)a b a b a =+⊥r r r r r ，则cos θ=（ ） A ．23-B ．13-C ．13D ．234．有一组从小到大排列的样本数据12,,,n x x x ⋯，由这组数据得到新样本数据12,,,n y y y ⋯，其中i i y ax b =+(1,2,,)i n =⋯，0,0a b >≠，则（ ）A ．数据231,,,n y y y -⋯的标准差不小于数据12,,,n y y y ⋯的标准差B ．数据231,,,n y y y -⋯的中位数与数据12,,,n y y y ⋯的中位数相等C ．若数据12,,,n x x x ⋯的方差为m ，则数据12,,,n y y y ⋯的方差为amD ．若数据12,,,n x x x ⋯的极差为d ，则数据12,,,n y y y ⋯的极差为ad b + 5．为了得到2πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把sin y x =图象上所有的点（ ）A ．先向右平移2π3个单位长度，横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变B ．先向右平移2π3个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 C ．先向左平移2π3个单位长度，横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变D ．先向左平移2π3个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变6．已知ABC V 的外接圆圆心为O ，且2,|||AO AB AC AB AO =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则BA u u u r 在BC u u ur 上的投影向量为（ ）A BC u urB ．34BC uu u r C ．58BC u u u rD u ur 7．设π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1tan tan cos αββ+=，则（ ）A ．π22αβ+=B ．π22αβ-=C ．π22βα-=D ．π22βα+=8．通常以24小时内降水在平地上积水厚度（单位：mm ）来判断降雨程度，其中小雨（10mm <），中雨（10mm 25mm -），大雨（25mm 50mm -），暴雨（50mm 100mm -）．小明用一个近似圆台的水桶（如图，计量单位1cm 10mm =）连续接了24小时的雨水，桶中水的高度约为桶高的16，则当天的降雨等级是（ ）A ．小雨B ．中雨C ．大雨D ．暴雨二、多选题9．已知向量(2,),(1,3)a m b ==-r r，则下列说法中正确的是（ ）A ．若||a b +rr 4m = B ．若||||a b a b +=-r rr r ，则23m =C ．若//a b rr ，则6m =-D ．若向量,a b rr 的夹角为钝角，则m 的取值范围是2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭10．已知复数1z ，2z ，则下列说法中正确的是（ ）．A ．1212z z z z +≤+B ．若2121z z z =，则12z z =C ．若1212z z z z -=+，则120z z =D ．1122z z z z = 11．在正三棱柱111ABC A B C -中，已知动点P 满足1BP BC BB λμ=+u u u r u u u r u u u r，[0,1],[0,1]λμ∈∈，且1AB AA =，则下列说法中正确的是（ ）A ．若1λ=，则三棱锥1B AB P -的体积是定值 B ．若1μ=，则三棱锥1B AB P -的体积是定值C ．若12λμ==，则三棱锥1B AB P -的体积是三棱柱111ABC A B C -的体积的16D ．若1λμ+=，则直线AP 与平面11BB C C三、填空题12．已知复数z 满足(1i)2i z +=+，则||z =．13．某班有男学生20人、女学生30人，为调查学生的课后阅读情况，现将学生分成男生、女生两个小组对两组学生某个月的课后阅读时长进行统计，情况如下表：则该班学生这个月的课后阅读时长平均数为小时，方差为．14．已知点,G O 在ABC V 所在平面内，满足0,||||||GA GB GC OA OB OC ++===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rr ，且3AG AO ⋅=u u u r u u u r，||AG =u u u r BC 的长为．四、解答题15．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，P 分别为CD ，11A B 的中点．AB E；(1)求证：直线//DP平面1BB E的距离．(2)求点A到平面116．一家品牌连锁公司旗下共有100所加盟店．公司在年底对所有加盟店本年度营销总额（单位：百万元）进行统计，制作频率分布表如下：(1)请求出频率分布表中x，y的值，并画出频率分布直方图；(2)请估计这100所加盟店去年销售总额的平均数（同一组中的数据，用该组区间的中点值作代表）；(3)为了评选本年度优秀加盟店，公司将依据营销总额制定评选标准，按照“不超过60%的加盟店获评优秀加盟店称号”的要求，请根据频率分布直方图，为该公司提出本年度“评选标准”建议．17．已知甲船在A海岛正北方向B处，以7海里/小时的速度沿东偏南60︒的方向航行．(1)甲船航行3小时到达C处，求AC；(2)在A海岛西偏南60︒方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由．-中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为18．在四棱锥P ABCD矩形，M是PD的中点，且PB与平面ABCD(1)求证：AM⊥平面PCD；(2)求直线AM与直线PB所成角的余弦值；(3)求平面ABM与平面PBC所成二面角的正弦值．19．如图，E为线段AD的中点，C为DA延长线上的一点，以A为圆心，AE长度为半径作半圆，B 为半圆上一点，连接BC ，BD ．(1)若2AD =，以BD 为边作正三角形BFD ，求四边形ABFD 面积的最大值； (2)在ABC V 中，记BAC ABC ACB ∠∠∠，，的对边分别为a ，b ，c ，且满足2()c b b a += ①求证：2BAC ABC ∠=∠； ②求4cos c bb ABC+∠的最小值．。
东莞市2015-2016学年高一下期末数学试卷(B)(有答案)AwwqnM
2015-2016学年广东省东莞市高一（下）期末数学试卷（B卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）1．已知=（x，3），=（3，1），且⊥，则x等于（）A．﹣1 B．﹣9 C．9 D．12．某校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为27的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（）A．6，12，9 B．9，9，9 C．3，9，15 D．9，12，63．如果某种彩票的中奖概率为，那么下列选项正确的是（）A．买1000张彩票一定能中奖B．买999张这种彩票不可能中奖C．买1000张这种彩票可能没有一张中奖D．买1张这种彩票一定不能中奖4．当输入x=1，y=2时，如图中程序运行后输出的结果为（）A．5，2 B．1，2 C．5，﹣1 D．1，﹣15．已知0＜θ＜π，sinθ+cosθ=，则角θ的终边落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．为了得到函数y=cos（2x+），x∈R的图象，只需要把y=cos2x曲线上所有的点（）A．向左平行移动个单位B．向右平行移动个单位C．向左平行移动个单位D．向右平行移动个单位7．已知x，y的值如表所示：如果y与x呈线性相关且回归直线方程为y=x﹣1.4，则b=（）x 2 3 4 5 6y 2 3 5 7 8A．1.6 B．2.6 C．3.6 D．4.68．如图是某校十大歌手比赛上，七位评委为某同学打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．85，4.84 B．85，1.6 C．86，1.6 D．86，49．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．10．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．0 B．C．D．11．函数f（x）=（+cosx）x在[﹣4，4]的图象大致为（）A．B．C．D．12．若f（x）=cos（2x+φ）+b，对任意实数x都有f（x）=f（﹣x），f（）=﹣1，则实数b的值为（）A．﹣2或0 B．0或1 C．±1 D．±2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．）13．已知=（1，2），=（﹣3，2），则|﹣3|的值为．14．要在半径OA=90cm的圆形木板上截取一块扇形，使其弧的长为30πcm，则圆心角∠AOB=（填弧度）15．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为75°，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为．16．已知tan（α﹣π）=，化简计算：sin2α+2cos2α=（填数值）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答过程必须写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．）17．已知向量=（4，3），=（1，﹣1）．（1）求与的夹角的余弦值；（2）若向量3+4与λ﹣平行，求λ的值．18．为了解某地房价环比（所谓环比，简单说就是与相连的上一期相比）涨幅情况，如表记录了某年1月到5月的月份x（单位：月）与当月上涨的百比率y之间的关系：时间x 1 2 3 4 5上涨率y 0.1 0.2 0.3 0.3 0.1（1）根据如表提供的数据，求y关于x的线性回归方程y=x+；（2）预测该地6月份上涨的百分率是多少？（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式=，=﹣）19．从某次知识竞赛中随机抽取100名考生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图，分数落在区间[55，65），[65，75），[75，85）内的频率之比为4：2：1．（Ⅰ）求这些分数落在区间[55，65]内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2个分数，求这2个分数都在区间[55，75]内的概率．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做锐角α和钝角β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的纵坐标分别为，．（1）求tan（2α﹣β）的值；（2）求β﹣α的值．21．已知函数f（x）=sin2x+2cos2x（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若f（x0）=，x0∈[，]，求sin（2x0﹣）的值．22．已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（1，3），B（6，﹣2），又点P（﹣2，1），点Q是边AB上一点，且•=﹣10．（1）求点Q的坐标；（2）若R为线段OQ（含端点）上的一个动点，试求（+）•（+）的取值范围．2015-2016学年广东省东莞市高一（下）期末数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）1．已知=（x，3），=（3，1），且⊥，则x等于（）A．﹣1 B．﹣9 C．9 D．1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由已知中，=（x，3），=（3，1），且⊥，根据向量垂直的坐标表示，我们易得到一个关于x的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：∵=（x，3），=（3，1），又∵⊥，∴•=3x+3=0解得x=﹣1故选A2．某校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为27的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（）A．6，12，9 B．9，9，9 C．3，9，15 D．9，12，6【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各年级中抽取的人数．【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，则在高一年级抽取的人数是900×=9人，高二年级抽取的人数是1200×=12人，高三年级抽取的人数是600×=6人，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为9，12，6．故选：D．3．如果某种彩票的中奖概率为，那么下列选项正确的是（）A．买1000张彩票一定能中奖B．买999张这种彩票不可能中奖C．买1000张这种彩票可能没有一张中奖D．买1张这种彩票一定不能中奖【考点】概率的意义．【分析】根据事件的运算及概率的性质对四个说法进行验证即可得出正确的说法的个数，选出正确答案．【解答】解：如果某种彩票的中奖概率为，则买1000张这种彩票可能没有一张中奖，故选：C．4．当输入x=1，y=2时，如图中程序运行后输出的结果为（）A．5，2 B．1，2 C．5，﹣1 D．1，﹣1【考点】选择结构．【分析】模拟执行程序代码，根据条件计算可得x，y的值．【解答】解：模拟执行程序代码，可得x=1，y=2满足条件x＜y，则得x=5，y=2故选：A．5．已知0＜θ＜π，sinθ+cosθ=，则角θ的终边落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用已知结合三角函数的基本关系式，判定角θ的正弦和余弦的符号．【解答】解：因为0＜θ＜π，sinθ+cosθ=，所以（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=，所以sinθcosθ＜0，又sinθ＞0，所以cosθ＜0，所以角θ的终边落在第二象限；故选：B．6．为了得到函数y=cos（2x+），x∈R的图象，只需要把y=cos2x曲线上所有的点（）A．向左平行移动个单位B．向右平行移动个单位C．向左平行移动个单位D．向右平行移动个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】把y=cos2x曲线上所有的点向左平行移动个单位，可得函数y=cos（2x+）的图象，可得答案．【解答】解：由于y=cos（2x+）=cos2（x+），故把y=cos2x曲线上所有的点向左平行移动个单位，可得函数y=cos2（x+）=cos（2x+）的图象．故选：C．7．已知x，y的值如表所示：如果y与x呈线性相关且回归直线方程为y=x﹣1.4，则b=（）x 2 3 4 5 6y 2 3 5 7 8A．1.6 B．2.6 C．3.6 D．4.6【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心，利用回归直线方程求解即可．【解答】解：由题意，=4，=5，∴样本中心坐标（4，5），回归直线经过样本中心，可得5=4b﹣1.4，解得b=1.6．故选：A．8．如图是某校十大歌手比赛上，七位评委为某同学打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．85，4.84 B．85，1.6 C．86，1.6 D．86，4【考点】茎叶图．【分析】根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分94和一个最低分78后，把剩下的五个数字求出平均数和方差．【解答】解：由茎叶图知，去掉一个最高分94和一个最低分78后，所剩数据85，85，87，85，88的平均数为86；方差为 [（85﹣86）2+[（85﹣86）2+[（87﹣86）2+[（85﹣86）2+[（88﹣86）2]=1.6．故选：C．9．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．【考点】向量的三角形法则．【分析】D，F分别为△ABC的三边BC，AB的中点，可得，=，=．代入即可得出．【解答】解：∵D，F分别为△ABC的三边BC，AB的中点，∴，=，=．∴+=﹣﹣﹣==．故选：C．10．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．0 B．C．D．【考点】程序框图．【分析】本题循环结构是当型循环结构，根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论．【解答】解：如图，这个循环结构是当型循环结构，第一次循环：S=，n=2；第二次循环：S=，n=3；第三次循环：S=，n=4；第四次循环：S=，n=5；第五次循环：S=0，n=6；…n=2015÷5=403，S=0n+1=2016，退出循环，∴输出S=0．故选：A．11．函数f（x）=（+cosx）x在[﹣4，4]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据奇函数的图象关于原点对称，故排除C；根据函数在（0，）上的值大于零，故排除D；根据当x=或x=时，当cosx=﹣，f（x）=0，故排除B，从而得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=（+cosx）x为奇函数，故它的图象关于原点对称，故排除C；∵f（x）=+xcosx 在（0，）上的值大于零，故排除D；∵当x=或x=时，当cosx=﹣，f（x）=0，故排除B，故选：A．12．若f（x）=cos（2x+φ）+b，对任意实数x都有f（x）=f（﹣x），f（）=﹣1，则实数b的值为（）A．﹣2或0 B．0或1 C．±1 D．±2【考点】余弦函数的图象．【分析】由题意可得f（x）的图象关于直线x=对称，求得φ=kπ﹣，k∈Z．再根据f（）=﹣1求得b的解析式，利用余弦函数的最值，求得b的值．【解答】解：若f（x）=cos（2x+φ）+b，对任意实数x都有f（x）=f（﹣x），∴f（x）的图象关于直线x=对称，∴+φ=kπ，即φ=kπ﹣，k∈Z．∵f（）=cos（+φ）+b=cos（+kπ﹣）+b=cos（k+1）π+b=﹣1，b=﹣1﹣cos（k+1）π，当k为偶数时，b=2；当k为奇数时，b=0，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．）13．已知=（1，2），=（﹣3，2），则|﹣3|的值为2．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量的坐标运算与模长公式，进行计算即可．【解答】解：因为=（1，2），=（﹣3，2），所以﹣3=（1﹣3×（﹣3），2﹣3×2）=（10，﹣4），所以|﹣3|==2．故答案为：．14．要在半径OA=90cm的圆形木板上截取一块扇形，使其弧的长为30πcm，则圆心角∠AOB=（填弧度）【考点】弧度制的应用；弧长公式．【分析】把已知数据代入弧长公式计算可得．【解答】解：由题意可知扇形的弧长l=30π，扇形的半径r=OA=90，∴则圆心角∠AOB的弧度数α==，故答案为：．15．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为75°，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为．【考点】几何概型．【分析】由题意，所求属于几何概型；要计算投中阴影部分的概率，根据每次都投镖都能投入圆盘内，圆盘对应的圆心角的度数为360°，阴影部分的圆心角为75°，代入几何概型概率公式，即可得到答案．【解答】解：圆盘对应的圆心角的度数为360°，阴影部分的圆心角为75°故投中阴影部分的概率P==．故答案为：．16．已知tan（α﹣π）=，化简计算：sin2α+2cos2α=（填数值）．【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数的化简求值．【分析】由条件求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．【解答】解：∵tan（α﹣π）=tanα=，∴sin2α+2cos2α===，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答过程必须写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．）17．已知向量=（4，3），=（1，﹣1）．（1）求与的夹角的余弦值；（2）若向量3+4与λ﹣平行，求λ的值．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用向量夹角公式即可得出．（2）利用向量坐标运算性质、向量共线定理即可得出．【解答】解：（1）设与的夹角为θ，则，∴与的夹角的余弦值为．（2）∵=（4，3），=（1，﹣1）．∴，，∵向量与平行，∴16（3λ+1）=5（4λ﹣1）．解得．18．为了解某地房价环比（所谓环比，简单说就是与相连的上一期相比）涨幅情况，如表记录了某年1月到5月的月份x（单位：月）与当月上涨的百比率y之间的关系：时间x 1 2 3 4 5上涨率y 0.1 0.2 0.3 0.3 0.1（1）根据如表提供的数据，求y关于x的线性回归方程y=x+；（2）预测该地6月份上涨的百分率是多少？（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式=，=﹣）【考点】线性回归方程．【分析】（1）利用已知条件求出回归直线方程的有关数据，即可求出回归直线方程．（2）代入回归直线方程，即可预测该地6月份上涨的百分率．【解答】解：（1）由题意，=3，=0.2…12+22+32+42+52=55，…1×0.1+2×0.2+3×0.3+4×0.3+5×0.1=3.1…所以……∴回归直线方程为y=0.01x+0.17…（2）当x=6时，y=0.01×6+0.17=0.23…预测该地6月份上涨的百分率是0.23…19．从某次知识竞赛中随机抽取100名考生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图，分数落在区间[55，65），[65，75），[75，85）内的频率之比为4：2：1．（Ⅰ）求这些分数落在区间[55，65]内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2个分数，求这2个分数都在区间[55，75]内的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和，利用之比为4：2：1，即可求出这些产品质量指标值落在区间[55，65]内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，利用列举法确定基本事件，从而求出概率．【解答】解：（Ⅰ）设区间[75，85）内的频率为x，则区间[55，65），[65，75）内的频率分别为4x和2x．…依题意得（0.004+0.012+0.019+0.030）×10+4x+2x+x=1，…解得x=0.05．所以区间[55，65]内的频率为0.2．…（Ⅱ）由（Ⅰ）得，区间[45，55），[55，65），[65，75）内的频率依次为0.3，0.2，0.1．用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，则在区间[45，55）内应抽取件，记为A1，A2，A3．在区间[55，65）内应抽取件，记为B1，B2．在区间[65，75）内应抽取件，记为C．…设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间[55，75]内”为事件M，则所有的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，C}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，C}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，C}，{B1，B2}，{B1，C}，{B2，C}，共15种．…事件M包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，C}，{B2，C}，共3种．…所以这2件产品都在区间[55，75]内的概率为．…20．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做锐角α和钝角β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的纵坐标分别为，．（1）求tan（2α﹣β）的值；（2）求β﹣α的值．【考点】两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．【分析】（1）根据题意，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，cosβ，tanα，tanβ，进而利用二倍角的正切函数公式可求tan2α，根据两角差的正切函数公式即可计算tan（2α﹣β）的值．（2）由（1）利用两角差的余弦函数公式可求cos（β﹣α）的值，结合范围β﹣α∈（0，π），即可得解β﹣α的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）根据题意得sinα=，sinβ=，…∴，，…∴，，…，…∴tan（2α﹣β）==3．…（2）cos（β﹣α）=cosβcosα+sinβsinα…=，…∵由题意β﹣α∈（0，π），∴β﹣α=．…21．已知函数f（x）=sin2x+2cos2x（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若f（x0）=，x0∈[，]，求sin（2x0﹣）的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（I）利用倍角公式与和差公式可得f（x）=+1，再利用三角函数的周期性、单调性即可得出．（II）由（I）可知，可得=，由x0∈[，]，可得∈．可得．再利用弧长公式即可得出．【解答】解：（I）由，得，∴函数f（x）的最小正周期为π．由得单调增区间是：，k∈z．（Ⅱ）由（1）可知得=，∵x0∈[，]，∴∈．∴．∴sin（2x0﹣）==﹣=．22．已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（1，3），B（6，﹣2），又点P（﹣2，1），点Q是边AB上一点，且•=﹣10．（1）求点Q的坐标；（2）若R为线段OQ（含端点）上的一个动点，试求（+）•（+）的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．【分析】（1）先设=λ，根据向量数量积关系•=﹣10解方程求出λ即可．（2）由R为线段OQ上的一个动点可设R（2t，2t），且0≤t≤1，分别求出，，，的向量坐标，由向量的数量积+）•（+整理可得关于t的一元二次函数，利用二次函数的知识可求取值范围．【解答】解：（1）=（﹣3，﹣2），=（5，﹣5），∵点Q是边AB上一点，∴设=λ=（5λ，﹣5λ），=+=（1，3）+（5λ，﹣5λ）=（1+5λ，3﹣5λ），∵•=﹣10．∴﹣3（1+5λ）﹣2（3﹣5λ）=﹣10，即λ=，则=（1+5×，3﹣5×）=（2，2）．即Q（2，2）．（2）∵R为线段OQ上的一个动点，∴设R（2t，2t），且0≤t≤1，则=（﹣2t，﹣2t），=（﹣2﹣2t，1﹣2t），=（1﹣2t，3﹣2t），=（6﹣2t，﹣2﹣2t），则（+）•（+）=（﹣2﹣4t，1﹣4t）•（7﹣4t，1﹣4t）=（﹣2﹣4t）（7﹣4t）+（1﹣4t）（1﹣4t）=32t2﹣28t﹣13=32（t﹣）2﹣，∵0≤t≤1，∴当t=时，函数取得最小值﹣，当t=1时，函数取得最大值﹣9，即（+）•（+）的范围是[﹣，﹣9]．2016年8月21日。
广东省广州市南沙区2015-2016学年高一下学期期末考试数学试卷 无答案
2015—2016学年第二学期期末教学质量检测高一数学本试卷共5页,22小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项:1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．5．本次考试不允许使用计算器．一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1。
已知 a ÎR ,b ÎR ，且 a >b ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A 。
1>baB 。
22b a >C 。
ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛2121 D 。
0)lg(>-b a2.角a 终边过点 (1,-2)，则 sin a =( ） A 。
55B 。
552 C.55-D.552-3.cos(-16p 3)的值是（ ）A ． -12B 。
-2C 。
12 D.24.若 tan a =2，则 sin a -cos a sin a +cos a =（ ） A 。
41B. 31C 。
32 D. 435。
在 D ABC 中， AB =BC =AC =2，则（ ）A.2-B. 1-C. 1 D 。
26.设平面向量 a =(1,2),b =(-2,y )，若 a //b ，则 2a -b 等于（ ） A 。
4 B. 5 C 。
53D.547。
在等差数列 a n{}中， a 3+a 8=8,则 S 10=（ ）A.20 B 。
广东省汕头市2015-2016学年高一下学期期末教学质量检测考试数学试卷 Word版含答案
绝密★启用前 试卷类型：A汕头市2015~2016学年度普通高中教学质量监测高 一 数 学本试卷共4页，22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}02A x x =<<，{}220B x x x =+-≥，则A B ⋂=( )A ．(]0,1B ．[)1,2C ．[)2,2-D ．()0,22．sin 160cos 10cos 20sin 10︒︒+︒︒=( )A ．12B ．﹣12C D ． 3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) A ．3,y x x R =∈ B ．sin ,y x x R =∈ C ．Rx x y ∈-=,D ．1(),2x y x R =∈4．已知a ⊥b ，并且a =(3,x )，b =(7,12), 则x =( )A ．﹣74B ．74C ．﹣73D ．735．若4tan 3α=，则cos 2α等于( )A ．725B ．725-C ．1D 6．某学校数学兴趣班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m n +的值是( )A ．10B ．11C ．12D ．137．已知01x y a <<<<，则有A ．()log 0<a xyB ．()0log 1a xy <<C ．()1log 2a xy <<D ．()log 2a xy >8．要得到sin(2)4y x π=-+的图象，只需将sin(2)y x =-的图象( )A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位C ． 向左平移8π个单位D ．向右平移8π个单位9．已知平面向量a 、b 满足：22a b a b ==-≠0，则a 与bA ．3π B ．6π C ．23πD ．56π10．如果执行右面的框图，输入N =5，则输出的数等于( )A ．54B ．45C ．65D ．5611．已知a ，b 均为正数，且1a b +=，则49a b+的最小值为( A ．24B ．25C ．26D ．2712．已知x R ∈，用()A x 表示不小于x 的最小整数，如2A =( 1.2)1A -=-，若(21)3A x +=，则x 的取值范围是( )A ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．高一(4)班有5位同学参加夏令营植树活动，其中男生2人，女生3人，从这5人中任意选出2人去浇水，选出的2人都是男生的概率是 ；14．已知x ，y 满足不等式4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且函数2z x y a =+-的最大值为8，则常数a 的值为 ；15．已知函数21()sin cos sin 2f x a x x x =-+的一条对称轴方程为6π=x ，则函数()f x 的最大值为 ；16．定义一种运算,,a a b a b b a b≤⎧⊗=⎨>⎩，令()()2236(23)f x x x x x =+⊗+-，则函数()f x 的最大值是 ；三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且115a =-，555S =-． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若不等式n S t >对于任意的*∈n N 恒成立，求实数t 的取值范围．18．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin c Acos C =0． (1)求角C 的大小；(2)若2c =，求△ABC 的面积S 的最大值．19．(本小题满分12分)从某大学一年级女生中，选取身高分别是150cm 、155cm 、160cm 、165cm 、170cm 的学生各一名，其身高和体重数据如表所示：(1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，计算身高为168cm 时，体重的估计值yˆ为多少？ 参考公式：线性回归方程ˆˆˆy bx a =+，其中1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x y nxyb xx xnx====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-.20．(本小题满分12分)设函数2()(1)1f x ax a x =-++．(1)若不等式()f x mx <的解集为{}12x x <<，求实数a 、m 的值； (2)解不等式()0f x <．21．(本小题满分12分)已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且24n n S a n =+-．(1)求1a 的值；(2)若1n n b a =-，试证明数列{}n b 为等比数列； (3)求数列{}n a 的通项公式，并证明：121111na a a +++<．22．(本小题满分12分)对于函数()f x ，若0x 满足00()f x x =，则称0x 为函数)(x f 的一阶不动点；若0x 满足[]00()f f x x =，则称0x 为函数()f x 的二阶不动点．(1)若()23f x x =+，求()f x 的二阶不动点；(2)若()f x 是定义在区间D 上的增函数，且0x 是函数()f x 的二阶不动点，求证：0x 也必是函数()f x 的一阶不动点；(3)设()x f x e x a =++，a R ∈，若()f x 在[]0,1上存在二阶不动点0x ，求实数a 的取值范围．汕头市2015—2016学年度普通高中教学质量监测高一数学答案一、选择题（每小题5分,共60分）二、填空题：（每小题5分，共20分）13.101； 14. 4； 15. 1； 16. 4 三、解答题（满分70分）17.解: ⑴ 设等差数列{}n a 的公差为d ， 则由151-=a ，d a s 245515⨯+= ……… 1分 得5510515-=+⨯-d ， ……… 2分 解得2=d ， ……… 3分∴1722)1(15-=⋅-+-=n n a n ， ……… 4分所以数列{}n a 的通项公式为172-=n a n ， ……… 5分 ⑵由⑴得n n n n S n 162)17215(2-=-+-=， ……… 6分∵6464)8(1622-≥--=-=n n n S n ……… 7分 ∴对于任意的*n ∈N ，64-≥n S 恒成立，……… 8分∴若不等式t S n >对于任意的*n ∈N 恒成立，则只需64-<t ，……… 9分 因此所求实数t 的取值范围为)64,(--∞。
广东省广州市荔湾区2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题-含答案
2016-2017学年第二学期期末质量监测试题高一数学本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的． 1. 与60-角的终边相同的角是A. 300B. 240C. 120D. 602. 不等式240x y -+>表示的区域在直线240x y -+=的A. 左上方B. 左下方C. 右上方D. 右下方 3. 已知角α的终边经过点(3,4)P --，则cos α的值是A. 45-B. 43C. 35-D. 354. 不等式23100x x -->的解集是A ．{}|25x x -≤≤B ．{}|5,2x x x ≥≤-或C ．{}|25x x -<<D ．{}|5,2x x x ><-或 5. 若3sin ,5αα=-是第四象限角，则cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值是Ａ．45B ．10Ｃ．10Ｄ．176. 若,a b ∈R ，下列命题正确的是A ．若||a b >，则22a b >B ．若||a b >，则22a b >C ．若||a b ≠，则22a b ≠D ．若a b >，则0a b -<7. 要得到函数3sin(2)5y x π=+图象，只需把函数3sin 2y x =图象A ．向左平移5π个单位 B ．向右平移5π个单位C ．向左平移10π个单位 D ．向右平移10π个单位 8. 已知M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，P 为平面ABCD 内任意—点，则PA PB PC PD +++等于A. 4PMB. 3PMC. 2PMD. PM 9. 若3cos 25α=，则44sin cos αα+的值是 A.1725 B ．45Ｃ．65 D ． 332510. 已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形的面积的最大值是 A. 4B. C. 2D.11. 已知点(),n n a 在函数213y x =-的图象上，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值为A ．36B ．36-C ．6D ．6-12. 若钝角ABC ∆的内角,,A B C 成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m的取值范围是A ．1,2（）B ．2+∞（，）C ．[3,)+∞D ．(3,)+∞第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 把答案填在答题卡上. 13. 若向量(4,2),(8,),//x ==a b a b ，则x 的值为 ．14. 若关于x 的方程20x mx m -+=没有实数根，则实数m 的取值范围是 ．15. 设实数,x y 满足,1,1.y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值是 ．16.设2()sin cos f x x x x =，则()f x 的单调递减区间是 ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分10分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q (1)q ≠，证明：1(1)1n n a q S q-=-．DA18．（本小题满分12分）已知平面向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ．（1）若a 与b 的夹角120θ=，求||+a b 的值； （2）若()()k k +⊥-a b a b ，求实数k 的值.19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin c a B b A =+． （1）求A ；（2）若2a =，b c =，求ABC ∆的面积．20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12n n n a S n++=(1,2,3,)n =． （1）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）设2112n n n n b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．21.(本小题满分12分)某电力部门需在A 、B 两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A 、B 两地距离.km 的C 、D 两地（假设A 、B 、C 、D 在同一平面上）测得∠75ACB =，45BCD ∠=，30ADC ∠=，45ADB ∠=（如图），假如考虑电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A 、B 倍，问施工单位应该准备多长的电线？22.(本小题满分12分)已知,,A B C 为锐角ABC △的内角，sin ,sin sin A B C =（）a ，(1,2)=-b ，⊥a b . （1）tan B ，tan tan B C ，tan C 能否构成等差数列？并证明你的结论； （2）求tan tan tan A B C 的最小值.2016-2017学年第二学期期末质量监测高一数学参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题13. 4 14. (0,4) 15. 3 16. ()7+,1212k k k ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分10分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q (1)q ≠，证明：1(1)1n n a q S q-=-．证法1：（错位相减法）因为11n n a a q -=， (2)分所以1111n n S a a q a q -=+++ (4)分211111n n n qS a q a q a q a q -=++++ …………………………………6分所以11(1)nn q S a a q -=- (8)分当1q ≠时，有1(1)1n n a q S q-=-． (10)分证法2：（叠加法）因为}{n a 是公比为q 的等比数列，所以21a a q =，32a a q =，1,n n a a q +=L (2)分所以112)1(a q a a -=-，223)1(a q a a -=-，...，n n n a q a a )1(1-=-+， (6)分相加得n n S q a a )1(11-=-+. (8)分所以当q ≠1时，111(1)11n n n a a a q S q q+--==--. …………………………………10分证法3：（拆项法）当q ≠1时，11111111a a q qa a q q q-=⋅=----， …………………………………2分 211211111a q a q q a a q q q q-=⋅=----，……，11111111n nn n a q a q q a a q q q q---=⋅=----， …………………………………8分以上n 个式子相加得qq a q q a q a S n n n --=---=1)1(11111. …………………………………10分18．（本小题满分12分）已知平面向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ．（1）若a 与b 的夹角120θ=，求||+a b 的值； （2）若()()k k +⊥-a b a b ，求实数k 的值. 题根：《数学4》2.4.1例1、例2、例4．（综合变式）解：（1）1|||cos1201212⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭a b =|a b ，…………………………………2分 22||()+=+a b a b 222=++a a b b …………………………………3分22|2|=++a |a b b | …………………………………4分 又||1=a ，||2=b ，所以2||+a b 22|2|1243=++=-+=a |a b b |，…………………………………5分所以||+=a b …………………………………6分（2）因为()()k k +⊥-a b a b ，所以()()0k k +-=a b a b ， …………………………………7分 即2220k -=a b …………………………………9分 因为||1=a ，||2=b ，所以240k -=， …………………………………11分 即2k =±. …………………………………12分19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin c a B b A =+． （1）求A ；（2）若2a =，b c =，求ABC ∆的面积．（根据2013课标卷Ⅱ理数17改编，正弦、余弦定理及三角变换的综合问题） 解：（1）解法1：由cos sin c a B b A =+及正弦定理可得sin sin cos sin sin C A B B A =+. …………………………………2分在ABC ∆中，CA B π=--，所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+. …………………………………4分由以上两式得sin cos A A =，即tan 1A =， …………………………………5分又(0,)A π∈，所以4A π=． …………………………………6分解法2：由cos sin c a B b A =+及余弦定理可得222sin 2a c b c a b A ac+-=⨯+， …………………………………2分即2222sin b c a bc A +-=， …………………………………3分 由余弦定理得2222cos b c a bc A +-=由以上两式得sin cos A A =，即tan 1A =， …………………………………5分又(0,)A π∈，所以4A π=． …………………………………6分（2）ABC ∆的面积1sin 24S bc A bc ==， …………………………………7分由2a =，及余弦定理得222242cos b c bc B b c =+-=+， (8)分因为b c =，所以2242b =，即24b ==+， (10)分故ABC ∆的面积2144S bc ===． ………………………………12分20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12n n n a S n++=(1,2,3,)n =． （1）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）设2112n n n n b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．题根：《数学5》2.2习题B 组第4题. （变式题）解：（1）因为，11n n n a S S ++=-， …………………………………1分又12n n n a S n++=， 所以1(2)()n n n n S n S S ++=-， …………………………………2分即12(1)n n nS n S +=+， 所以12()1n n S Sn n n*+=⋅∈+N ． …………………………………4分DA故数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列． …………………………………6分（2）由（1）得2n nS n=，即2n n S n =． …………………………………8分所以21211122111=2(1)2(1)1n n n n n n n b S S n n n n n n ++++===-+++，……………………10分 故数列{}n b 的前n 项和11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． …………………12分21.(本小题满分12分)某电力部门需在A 、B 两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A 、B 两地距离.km 的C 、D 两地（假设A 、B 、C 、D 在同一平面上）测得∠75ACB =，45BCD ∠=，30ADC ∠=，45ADB ∠=（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A 、B问施工单位应该准备多长的电线？题根：《数学5》1.2例2. （改编题）解：在ACD ∆中，由已知得30CAD ∠=，又30ADC ∠=,所以AC CD ==． (2)分在BCD ∆中，由已知可得60CBD ∠=，由正弦定理得753sin 45+306BC +===（） (6)分在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC BCA=+-⋅∠2(cos75522+=+-⋅=， ………………………9分所以，AB = (10)分故施工单位应该准备电线长为5km . ………………………………………………12分22.(本小题满分12分)已知,,A B C 为锐角ABC △的内角，sin ,sin sin A B C =（）a ，(1,2)=-b ，⊥a b . （1）tan B ，tan tan B C ，tan C 能否构成等差数列？并证明你的结论； （2）求tan tan tan A B C 的最小值.（据2016年江苏卷第14题改编，三角变换、平面向量、数列及基本不等式的综合问题） 解：（1）依题意有sin 2sin sin A B C =. ……………………………………………2分 在ABC △中，A B C π=--，所以sin sin +=sin cos cos sin A B C B C B C =+（），………………………………3分所以2sin sin =sin cos cos sin B C B C B C +. …………………………………4分 因为ABC △为锐角三角形，所以cos 0,cos 0B C >>，所以tan tan 2tan tan B C B C +=， ……………………………………………5分所以tan B ，tan tan B C ，tan C 成等差数列. ……………………………………6分（2）法一：在锐角ABC △中，tan tan tan tan()tan()1tan tan B C A B C B C B Cπ+=--=-+=--，……………………7分 即tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++， ……………………………………8分 由（1）知tan tan 2tan tan B C B C +=，于是tan tan tan tan 2tan tan A B C A B C =+≥， …………10分 整理得tan tan tan 8A B C ≥， …………………………………………11分 当且仅当tan 4A =时取等号，故tan tan tan A B C 的最小值为8. …………………………………………12分 法二：由法一知tan tan tan 1tan tan B C A B C+=--， ………………………………………7分 由（1）知tan tan 2tan tan B C B C +=，于是2tan tan 2(tan tan )tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan B C B C A B C B C B C B C+=-⨯=---， ……8分 令tan tan (1)B C x x =>，则222tan tan tan 2(1)4811x A B C x x x ==-++≥--，……………………………11分 当且仅当2x =，即tan 4A =时取等号，故tan tan tan A B C 的最小值为8. …………………………………………12分。
2021年广东省广州市海珠区高一下学期期末考试数学试题 答案和解析
【最新】广东省广州市海珠区高一下学期期末考试数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（ ）A ．出租车车费与出租车行驶的里程B ．商品房销售总价与商品房建筑面积C ．铁块的体积与铁块的质量D ．人的身高与体重2．在某次测量中得到A 样本数据如下：43,50,45,55,60，若B 样本数据恰好是A 样本每个数都增加5得到，则A 、B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A ．众数 B ．中位数 C ．方差 D ．平均数 3．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（ ）A ．2，5B ．5，5C ．5，8D ．8，8 4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）A ．588B ．480C ．450D ．120 5．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ） A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m6．设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C =（ ）A ．3π B ．23π C ．34π D ．56π 7．若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[3,1]--B ．[1,3]-C ．[3,1]- D ．(,3][1,)∞-+∞ 8．已知直线10():ay a l x +-=∈R 是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则=AB （ ）A ．2B ．C ．D ．69．在三棱锥A BCD -中，已知所有棱长均为2，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（ ）A B ．16 C ．13 D ．3 10．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．411．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π 12．已知点A ,B ,C 在圆221x y +=上运动，且90ABC ∠=，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为 （ ）A ．9B ．8C ．7D ．6二、填空题13．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体的侧面积是_____．14．若直线l 过点()3,4，且平行于过点(1,2)M 和(1,5)N --的直线，则直线l 的方程为_____、、、15．如图，⊙O的半径为1，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，从A B CD E F、、的概率是_____．16．如图，一热气球在海拔60m的高度飞行，在空中A处测得前下方河流两侧河岸B，C的俯角分别为75°，30°，则河流的宽度BC等于_____m．三、解答题17．某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据分组如下表(1)请在上表中补充完成频率分布表(结果保留两位小数)，并在上图中画出频率分布直方图；(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[)39.9940.01，的中点值是40.00作为代表.据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数).18．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．（I ）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．（II ）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，（1）列出所有可能的抽取结果；（2）求抽取的2所学校均为小学的概率．19．已知圆C 经过()1,0M -、()23,0M 、()30,1M 三点．（1）求圆C 的标准方程；（2）若过点()1N -的直线l 被圆C 截得的弦AB 的长为4，求直线l 的倾斜角． 20．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c a B b--= （1） 求sin sin C A的值 （2） 若1cos ,24B b == ，求ABC ∆的面积. 21．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ．(1)证明：1B C AB ⊥；(2)若1AC AB ⊥，o 160CBB ∠=，1BC =，试画出二面角1A BC B --的平面角，并求它的余弦值．22．已知圆O ：221x y +=和点(2,0)A -，1,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， (2,0)C ，1,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1)若点P 是圆O 上任意一点，求||||PA PD ； (2)过圆O 上任意一点M 与点B 的直线，交圆O 于另一点N ,连接MC ，NC ，求证：MCB NCB ∠=∠.参考答案1．D【解析】【分析】根据函数的概念来进行判断。
广东省广州市海珠区2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题(含答案)
海珠区2023学年第二学期期末教学质量检测高一数学本试卷共4页，19小题，全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，再用2B 铅笔将考生号、座位号对应的信息点涂黑．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在中，，则（ ）．A ．B ．C ．D ．2．下列的表述中，正确的是（）．A ．过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直B ．过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行C ．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直D ．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行3．若两个非零向量，的夹角为，且满足，，则（ ）．A ．B ．C ．D ．24．有一组从小到大排列的样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中，，，则（）．A ．数据，，…，的标准差不小于数据，，…，的标准差B ．数据，，…，的中位数与数据，，…，的中位数相等C ．若数据，，…，的方差为m ，则数据，，…，的方差为amD ．若数据，，…，的极差为d ，则数据，，…，的极差为ABC △3BE EC =AE = 1233AB AC+2133AB AC+1344AB AC+3144AB AC+a b θ2a b = ()3a b a +⊥cos θ=23-13-13231x 2x n x 1y 2y n y ()1,2,,i i y ax b i n =+=L 0a >0b ≠2y 3y 1n y -1y 2y n y 2y 3y 1n y -1y 2y n y 1x 2x n x 1y 2y n y 1x 2x n x 1y 2y n y ad b+5．为了得到的图象，只需把正弦曲线上所有点（ ）．A．先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变B ．先向右平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变C ．先向左平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变D ．先向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变6．已知的外接圆圆心为O ，且，在上的投影向量为（）．AB ．C ．D7．已知，，且，则（ ）．A ．B ．C ．D ．8．通常以24小时内降水在平地上积水厚度（单位：mm ）来判断降雨程度，其中小雨，中雨，大雨，暴雨．小明用一个近似圆台的水桶（如图，计量单位）连续接了24小时的雨水，桶中水的高度约为桶高的，则当天的降雨等级是（）．A ．小雨B ．中雨C ．大雨D ．暴雨二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．已知向量，，则下列说法中正确的是（ ）．A ．若，则B ．若，则2πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2π3122π32π3122π3ABC △2AO AB AC =+ AB = BA BC 34BC58BCBCπ0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1tan tan cos αββ+=π22βα-=π22βα+=π22αβ-=π22αβ+=()10mm <()10mm 25mm ~()25mm 50mm ~()50mm 100mm ~1cm 10mm =16()2,a m =()1,3b =- a b +=4m =a b a b +=-23m =C ．若，则D ．若向量，的夹角为钝角，则m 的取值范围是10．已知复数，，则下列说法中正确的是（ ）．A ．B ．若，则C ．若，则D ．11．在正三棱柱中，已知动点P 满足，，，且，则下列说法中正确的是（ ）．A ．若，则三棱锥的体积是定值B ．若，则三棱锥的体积是定值C ．若，则三棱锥的体积是三棱柱的体积的D ．若，则直线AP 与平面三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知复数z 满足，则__________．13．某班有男学生20人，女学生30人，为调查学生的课后阅读情况，现将学生分成男生、女生两个小组．对两组学生某个月的课后阅读时长进行统计，情况如下表：课后阅读时长平均数（小时）方差男生组251女生组261.1则该班学生这个月的课后阅读时长平均数为__________，方差为__________．14．已知点G ，O 在所在平面内，满足，，且，BC 的长为__________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，在棱长为2的正方体中，点E ，P 分别为CD ，的中点．a b ∥6m =-a b 2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1z 2z 1212z z z z +≤+2121z z z =12z z =1212z z z z -=+120z z =1122z z z z =111ABC A B C -1BP BC BB λμ=+[]0,1λ∈[]0,1μ∈1AB AA =1λ=1B AB P -1μ=1B AB P -12λμ==1B AB P -111ABC A B C -161λμ+=11BB C C ()1i 2i z +=+z =ABC △0GA GB GC ++= OA OB OC ==3AG AO ⋅= AG =1111ABCD A B C D -11A B（1）求证：直线平面；（2）求点A 到平面的距离．16．（15分）一家品牌连锁公司旗下共有100所加盟店．公司在年底对所有加盟店本年度营销总额（单位：百万元）进行统计，制作频率分布表如下：分组频数频率100.1x 0.15200.230y 150.1550.0550.05合计1001.00（1）请求出频率分布表中x ，y 的值，并画出频率分布直方图；（2）请估计这100所加盟店去年销售总额的平均数（同一组中的数据，用该组区间的中点值作代表）；（3）为了评选本年度优秀加盟店，公司将依据营销总额制定评选标准，按照“不超过60％的加盟店获评优秀加盟店称号”的要求，请根据频率分布直方图，为该公司提出本年度“评选标准”建议．17．（15分）已知甲船在A 海岛正北方向海里的B 处，以7海里/小时的速度沿东偏南的方向航行．（1）甲船航行3小时到达C 处，求AC ；DP ∥1AB E 1BB E [)12,14[)14,16[)16,18[)18,20[)20,22[)22,24[)24,2660︒（2）在A 海岛西偏南方向6海里的E 处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A 海岛正东方向的D 处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A 海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE 方向航行前往救援？请说明理由．18．（17分）在四棱锥中，侧面底面ABCD ，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为矩形，M 是PD 的中点，且PB 与平面ABCD（1）求证：平面PCD ；（2）求直线AM 与直线PB 所成角的余弦值；（3）求平面ABM 与平面PBC 所成二面角的正弦值．19．（17分）如图，E 为线段AD 的中点，C 为DA 延长线上的一点，以A 为圆心，AE 长度为半径作半圆，B 为半圆上一点，连接BC ，BD ．（1）若，以BD 为边作正三角形BFD ，求四边形ABFD 面积的最大值：（2）在中，记，，的对边分别为a ，b ，c ，且满足．①求证：；②求的最小值．60︒P ABCD -PAD ⊥AM ⊥2AD =ABC △BAC ∠ABC ∠ACB ∠()2c b b a +=2BAC ABC ∠=∠4cos c bb ABC+∠参考答案1.C2.B3.A4.B5.C6.B7.D8.B9.BC10.AD11.ACD12.10213.25.6；1.314.3215.(1)证明：因为A1B1=DC又因为点P，E分别为A1B1，CD的中点，∴P B1//DE，P B1=DE∴四边形P B1ED为平行四边形．∴DP//E B1，又E B1⊂平面AE B1，DP⊄平面AE B1∴DP//平面AE B1．(2)解：由ABCD−A1B1C1D1是正方体，∴点E到平面AB B1A1的距离是BC=2，又S△ABB1=12×2×2=2，设三棱锥E−AB B1体积为V，∴V=13×BC×S△ABB1=13×2×2=43，在△B B1E中，BE=B C2+C E2=22+12=5，B B1⊥BE，∴SΔB B1E =12×B B1×BE=12×2×5=5，又三棱锥B1−ABE的体积就是三棱锥B−A B1E的体积，设点A到平面B B1E的距离为ℎ，则43=V=13×SΔB B1E×ℎ=13×5×ℎ，解得ℎ=455，∴点A到平面B B1E的距离为455．16.解：(1)x=100−(10+20+30+15+5+5)=15，y=1.00−(0.1+0.15+0.2+0.15+0.05+0.05)=0.3频率分布表中，“频数”列的x为15，“频率”列的y为0.3频率分布直方图如下：(2)设这100所加盟店去年销售总额的平均数为x则x=1100(13×10+15×15+17×20+19×30+21×15+23×5+25×5)=1100×1820=18.2估计这100所加盟店去年销售总额的平均数为18.2(3)由频率分布直方图可知，从右往左，第一至第五组的频率分别为0.05，0.05，0.15，0.3，0.2，前4组的频率和为0.55，这五组的频率和为0.75．则可知，“正好60%的加盟店获评优秀加盟店称号”的“评选标准”值x∈[16,18)且x满足(18−x)×0.1+0.55=0.6解得x=17.5．要满足公司的要求，建议本年度“评选标准”不低于17.517.(1)解：由已知得，AB=153，BC=7×3=21，∠ABC=30∘由A C2=A B2+B C2−2AB⋅BC⋅cos30∘=(153)2+212−2×153×21×32解得AC=171=319即甲船航行3小时后距离海岛AC=319海里．(2)解：甲船到D处时，△ABD为∠BAD=90∘，∠ABD=30∘的直角三角形又AB=153，故AD=15在ΔADE中，AE=6，AD=15，∠EAD=120∘所以E D2=A E2+A D2−2AE⋅AD⋅cos∠EAD=62+152−2×6×15×(−12)=351由EDsin120∘=ADsin∠AED，ED=339，得sin∠AED=51326过A向ED作垂线交ED于F，在Rt△AEF中，AF=AE⋅sin∠AED=6×51326=22513又3=11713，所以AF>3故甲船沿DE方向前往救援时，始终航行在航行安全区域18.(1)证明：∵底面ABCD为矩形，∴CD⊥AD又∵侧面PAD⊥底面ABCD，交线为AD，∴CD⊥侧面PAD又∵AM⊂侧面PAD，∴AM⊥CD又∵侧面PAD为正三角形，M是PD的中点，∴AM⊥PD又∵PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PCD∴AM⊥平面PCD．(2)设AD的中点为G，连接PG∵ΔPAD为正三角形，∴PG ⊥AD又∵面PAD ⊥面ABCD ，交线为AD ∴直线PG ⊥底面ABCD∴PB 与平面ABCD 所成角即∠PBG 设AD =1，AB =m 则PG =AM =32，PB = m 2+12由sin ∠PBG =64，解得m =1连接AC ，BD ，AC ∩BD =F ，∵M 为PD 中点，底面ABCD 为矩形∴MF//PB ，MF =12PB =22，AF =12AC =22在ΔAMF 中，∴cos ∠AMF =AM 2+MF 2−AF 22×AM ×MF= 64故直线AM 与直线PB 所成角的余弦值等于64．(3)以AP ，AD 为邻边构造▱ADQP ，则M 是AQ 的中点连接CQ ，则四边形BCQP 是平行四边形，又N 为PC 中点故B ，N ，Q 三点共线，平面ABM 与平面ABQ 为同一平面;故所求二面角为二面角P−BQ−A 或二面角C−BQ−A易知二面角P−BQ−A 与二面角C−BQ−A 的大小互补，故其正弦值相等．由(1)(2)知PM ⊥平面ABQ ，BQ ⊂平面ABQ ∴PM ⊥BQ在Rt △BAQ 中，过M 作MT ⊥BQ ，垂足为T ，则BQ ⊥平面PMT 连接PT ，则PT ⊥BQ ，故二面角P−BQ−A 的平面角为∠PTM 由Rt △BAQ ∽Rt △MTQ ，得AB BQ =MTMQ 由(2)可知，设AD =1，则MP =12，AQ =2MQ = 3，∴BQ = A B 2+A Q 2=2，得MT =34在Rt △MTP 中，PT =M P 2+M T 2=74所以，sin ∠PTM =MPPT =2 77故平面ABM与平面PBC所成的二面角的正弦值为277．19.解：过B向CD作垂线，垂足为G，设∠BAD=θ(0<θ<π)则BG=sinθ，B D2=A B2+A D2−2×AB×AD×cosθ=5−4cosθSΔABD=12×2×sinθ=sinθ，SΔBFD=34B D2=34(5−4cosθ)∴SABFD =SΔABD+SΔBFD=sinθ+34(5−4cosθ)=sinθ−3cosθ+534=534+2sin(θ−π3)∵0<θ<π，∴−π3<θ−π3<2π3∴当θ−π3=π2，即θ=5π6时，S ABFD有最大值为=534+2 ①证明：在△ABC中，由已知及余弦定理，得(b+c)b=a2=b2+c2−2bc cos∠BAC即b=c−2b cos∠BAC 根据正弦定理，得sin∠ABC=sin∠ACB−2sin∠ABCcos∠BAC11又∠ACB =π−∠ABC−∠BAC ，故sin ∠ACB =sin(∠ABC +∠BAC)所以sin ∠ABC =sin(∠ABC +∠BAC)−2sin ∠ABCcos ∠BAC 得sin ∠ABC =sin(∠BAC−∠ABC)又∠BAC ∈(0,π)，∠ABC ∈(0,π)故∠ABC =π−(∠BAC−∠ABC)，得∠BAC =π(舍去)或∠ABC =∠BAC−∠ABC ，即∠BAC =2∠ABC ②解：由 ①∠BAC =2∠ABC ，得∠BAC +∠ABC =3∠ABC ∈(0,π)∴∠ABC ∈(0,π3)，cos ∠ABC ∈(12,1)∴c +4b b cos ∠ABC =sin ∠ACB +4sin ∠ABC sin ∠ABC cos ∠ABC =sin (π−3∠ABC)+4sin ∠ABCsin ∠ABC cos ∠ABC=sin (3∠ABC)+4sin ∠ABCsin ∠ABC cos ∠ABC=sin (2∠ABC +∠ABC)+4sin (2∠ABC−∠ABC)sin ∠ABC cos ∠ABC=4cos 2∠ABC +3cos ∠ABC=4cos ∠ABC +3cos ∠ABC≥2 4cos ∠ABC ×3cos ∠ABC =4 3当且仅当cos ∠ABC = 32，即∠ABC =π6时，等号成立∴当∠ABC =π6时，c +4bb cos ∠ABC 的最小值为4 3。
2015-2016学年广东汕头市高一下学期期末数学试题(解析版)
2015-2016学年广东汕头市高一下学期期末数学试题一、选择题1．设集合{}02A x x =<<，{}220B x x x =+-≥，则A B ⋂=（ ） A ．(]0,1 B ．[)1,2 C ．[)2,2- D ．()0,2 【答案】B【解析】试题分析：{}{}220=|21B x x x x x x =+-≥≤-≥或,所以A B ⋂=[)1,2 【考点】集合运算2．sin 160cos 10cos 20sin 10︒︒+︒︒=（ ）A ．12 B ．-12C D ．【答案】A 【解析】试题分析：1sin160cos10cos20sin10sin 20cos10cos20sin10sin302︒︒+︒︒=︒︒+︒︒== 【考点】两角和的正弦公式3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．3,y x x R =∈ B ．sin ,y x x R =∈C R x x y ∈-=,D ．1(),2x y x R =∈【答案】C【解析】试题分析：A 是奇函数不是减函数；B 是奇函数不是减函数；C 既是奇函数又是减函数；D 不是奇函数 【考点】函数奇偶性单调性4．已知a ⊥b ，并且a =（3,x ），b =（7,12）, 则x =（ ）A ．-74B ．74C ．-73D ．73 【答案】A 【解析】试题分析：由向量垂直可知70371204a b x x =∴⨯+=∴=- 【考点】向量的坐标运算 5．若4tan 3α=，则cos 2α等于（ ）A ．725B ．725- C ．1 D【答案】B【解析】试题分析：222222cos sin 1tan 7cos 2cos sin 1tan 25ααααααα--===-++【考点】同角间三角函数关系及二倍角公式6．某学校数学兴趣班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m n +的值是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13 【答案】C【解析】试题分析：：∵甲组学生成绩的平均数是88， ∴由茎叶图可知78+86+84+88+95+90+m+92=88×7，∴m=3 又乙组学生成绩的中位数是89，∴n=9， ∴m+n=12【考点】茎叶图7．已知01x y a <<<<，则有A ．()log 0<a xyB ．()0log 1a xy <<C ．()1log 2a xy <<D ．()log 2a xy > 【答案】D【解析】试题分析：：∵0＜x ＜y ＜a ＜1∴log log 1a a x a >=，log log 1a a y a >= ∴()log log log 2a a a xy x y =+> 【考点】对数值大小的比较8．要得到sin(2)4y x π=-+的图象，只需将sin(2)y x =-的图象（ ）A ．向左平移4π个单位B ．向右平移4π个单位 C ． 向左平移8π个单位 D ．向右平移8π个单位【答案】D【解析】试题分析：sin(2)sin 248y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以只需将sin(2)y x =-的图象向右平移8π个单位 【考点】三角函数图像平移变换9．已知平面向量a 、b 满足：22a b a b ==-≠0，则a 与b 的夹角为（ ） A ．3π B ．6π C ．23π D ．56π【答案】A【解析】试题分析：根据条件，2222444a b a a b b ==-+，且2a b =；∴2248cos ,0a a a b -=；∴48cos ,0a b -=；∴1cos ,2a b =； ∴a 与b 的夹角为3π 【考点】平面向量数量积的运算10．如果执行下面的框图，输入N =5，则输出的数等于（ ）A ．54 B ．45 C ．65 D ．56 【答案】D【解析】试题分析：程序执行中的数据变化如下：15,1,0,,15,2,12n k s s k ====<=⨯ 11,1223s =+⨯⨯ 11125,3,,35,4,122334k s k <==++<=⨯⨯⨯1111,45,12233445s =+++<⨯⨯⨯⨯ 5,k =11111,55,1223344556s =++++<⨯⨯⨯⨯⨯不成立，输出56S =【考点】程序框图11．已知a ，b 均为正数，且1a b +=，则49a b+的最小值为（ ） A ．24 B ．25 C ．26 D ．27 【答案】B【解析】试题分析：()494994131325a ba b a b a b b a⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当94a bb a=时等号成立，取得最小值25 【考点】不等式性质12．已知x R ∈，用()A x 表示不小于x 的最小整数，如2A =，( 1.2)1A -=-，若(21)3A x +=，则x 的取值范围是（ ）A ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】试题分析：∵A （2x+1）=3，∴2＜2x+1≤3，解得，x ∈（12，1]， 【考点】进行简单的合情推理二、填空题13．高一（4）班有5位同学参加夏令营植树活动，其中男生2人，女生3人，从这5人中任意选出2人去浇水，选出的2人都是男生的概率是 ； 【答案】101 【解析】试题分析：由题意得，选出的2人都是男生的概率是：2225110C C =【考点】古典概型及其概率计算公式14．已知x ，y 满足不等式4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且函数2z x y a =+-的最大值为8，则常数a的值为 ； 【答案】4【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y-a 得y=-2x+z+a ， 平移直线y=-2x+z+a ，由图象可知当直线y=-2x+z+a 经过点C 时，直线y=-2x+z+a 的截距最大， 此时z 最大．由433525x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，即C （5，2），代入目标函数z=2x+y-a 得z=2×5+2-a=8． 得12-a=8，则a=4， 【考点】简单线性规划15．已知函数21()sin cos sin 2f x a x x x =-+的一条对称轴方程为6π=x ，则函数()f x 的最大值为 【答案】1【解析】试题分析：()sin 2cos 22af x x x =+， ∵6π=x 是对称轴，f （0）=f （3π）， ∴a()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，最大值为1． 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的对称性16．定义一种运算,,a a ba b b a b≤⎧⊗=⎨>⎩，令()()2236(23)f x x x x x =+⊗+-，则函数()f x 的最大值是 ； 【答案】4【解析】试题分析：∵,,a a ba b b a b ≤⎧⊗=⎨>⎩，∴()()22223136,2236(23)1323,22x x x f x x x x x x x x x ⎧+-≤≤⎪⎪=+⊗+-=⎨⎪+-><-⎪⎩或，当3122x -≤≤时，()()2236313f x x x x =+=+-，可得f （x ）在x=-1处取得最小值-3；在12x =处取得最大值154；当1322x x ><-或时，()()222314f x x x x =-++=--+，当x=1时，f （x ）取得最大值4． 综上可得，f （x ）的最大值为4 【考点】函数的最值及其几何意义三、解答题17．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且115a =-，555S =-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若不等式n S t >对于任意的*∈n N 恒成立，求实数t 的取值范围． 【答案】（1） 172-=n a n （2） )64,(--∞【解析】试题分析：（1）利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出．（2）利用等差数列的求和公式、二次函数的单调性即可得出 试题解析：⑴ 设等差数列{}n a 的公差为d ， 则由151-=a ，d a s 245515⨯+= 得5510515-=+⨯-d ， 解得2=d ，∴1722)1(15-=⋅-+-=n n a n ， 所以数列{}n a 的通项公式为172-=n a n ， ⑵由⑴得n n n n S n 162)17215(2-=-+-=，∵6464)8(1622-≥--=-=n n n S n ∴对于任意的*n ∈N ，64-≥n S 恒成立，∴若不等式t S n >对于任意的*n ∈N 恒成立，则只需64-<t ， 因此所求实数t 的取值范围为)64,(--∞。
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第1页（共17页） 2015-2016学年广东省广州市海珠区高一（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）对于a∈R，下列等式中恒成立的是（ ） A．cos（﹣α）=﹣cosα B．sin（﹣α）=﹣sinα C．sin（90°﹣α）=sinα D．cos（90°﹣α）=cosα 2．（5分）下列各式中，值为的是（ ） A．sin15°cos15° B．cos2﹣sin2
C．cos12°sin42°﹣sin12°cos42° D．
3．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A=135°，B=30°，a=，则b等于（ ） A．1 B． C． D．2 4．（5分）已知||=2，||=4，且与的夹角为，则在方向上的投影是（ ） A． B．﹣2 C．2 D．﹣ 5．（5分）在等差数列{an}中，已知S9=90，则a3+a5+a7=（ ） A．10 B．20 C．30 D．40
6．（5分）不等式组所表示的平面区域的面积为（ ） A． B． C． D． 7．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（ ） 第2页（共17页）
A．y=2sin（2x+） B．y=2sin（2x+） C．y=2sin（﹣） D．y=2sin（2x﹣） 8．（5分）已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是（ ） A．a+b≥2 B．a2+b2＞2ab C．+≥2 D．||≥2 9．（5分）在△ABC中，若sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则角A的取值范围是（ ） A．（0，] B．[，π） C．（0，] D．[，）
10．（5分）若角α的终边过点（﹣1，2），则tan的值为（ ） A． B． C．或 D．或 11．（5分）把函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，且g（﹣x）=g（x），则（ ） A．y=g（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称
B．y=g（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称 C．y=g（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称 D．y=g（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称 12．（5分）在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=（ ） A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13．（5分）已知||=2，||=1，与的夹角θ为60°，且||=，则实数 第3页（共17页）
k的值为 ． 14．（5分）已知等比数列{an}的公比为正数，且a1=2，4a2•a8=a42，则a3= ． 15．（5分）已知sin（π﹣α）=，且α是第一象限的角，则cos（α+）的值为 ． 16．（5分）已知关于x的不等式ax2﹣bx+c≥0的解集为{x|1≤x≤2}，则cx2+bx+a≤0的解集为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知向量=（4，3），=（2，﹣1），O为坐标原点，P是直线AB上一点． （Ⅰ）若点P是线段AB的中点，求向量与向量夹角θ的余弦值； （Ⅱ）若点P在线段AB的延长线上，且||=||，求点P的坐标． 18．（12分）已知{an}是各项都为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且S2=3，S4=15． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}是等差数列，且b3=a3，b5=a5，试求数列{bn}的前n项和Mn． 19．（12分）一个化肥厂生产甲种混合肥料1车皮、乙种混合肥料1车皮所需要的主要原料如表： 原料 种类 磷酸盐（单位：吨） 硝酸盐（单位：吨）
甲 4 20 乙 2 20 现库存磷酸盐8吨、硝酸盐60吨，计划在此基础上生产若干车皮的甲、乙两种混合肥料． （Ⅰ）设x，y分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数，试列出x，y满足的数学关系式，并画出相应的平面区域； （Ⅱ）若生产1车皮甲种肥料，利润为3万元；生产1车皮乙种肥料，利润为2万元．那么分别生产甲、乙两种肥料多少车皮，能够产生最大利润？最大利润是 第4页（共17页）
多少？ 20．（12分）已知向量=（，cos），=（cos，1），且f（x）=•． （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣π，π]上的最大值和最小值及取得最值时x的值． 21．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=acosc+csinA． （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）当a=3时，求△ABC周长的取值范围． 22．（12分）已知数列{an}的各项均为正数，前n和为Sn，且Sn=（n∈N*）． （Ⅰ）求证：数列{an}是等差数列； （Ⅱ）设bn=an•3n，求数列{bn}的前n项的和Tn． 第5页（共17页）
2015-2016学年广东省广州市海珠区高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）对于a∈R，下列等式中恒成立的是（ ） A．cos（﹣α）=﹣cosα B．sin（﹣α）=﹣sinα C．sin（90°﹣α）=sinα D．cos（90°﹣α）=cosα 【解答】解：因为cos（﹣α）=cosα；sin（﹣α）=﹣sinα；sin（90°﹣α）=cosα；cos（90°﹣α）=sinα； 故B正确； 故选：B．
2．（5分）下列各式中，值为的是（ ） A．sin15°cos15° B．cos2﹣sin2
C．cos12°sin42°﹣sin12°cos42° D．
【解答】解：对于A，sin15°cos15°=sin30°=； 对于B，cos2﹣sin2=cos=； 对于C，cos12°sin42°﹣sin12°cos42°=sin（42°﹣12°）=sin30°=； 对于D，原式=tan45°=1； 故选：C．
3．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A=135°，B=30°，a=，则b等于（ ） 第6页（共17页）
A．1 B． C． D．2 【解答】解：∵A=135°，B=30°，a=，
∴由正弦定理=得：b===1． 故选：A． 4．（5分）已知||=2，||=4，且与的夹角为，则在方向上的投影是（ ） A． B．﹣2 C．2 D．﹣ 【解答】解：根据条件，在方向上的投影为：
===． 故选：D．
5．（5分）在等差数列{an}中，已知S9=90，则a3+a5+a7=（ ） A．10 B．20 C．30 D．40 【解答】解：在等差数列{an}中，由S9=9a5=90，得a5=10， 则a3+a5+a7=3a5=3×10=30． 故选：C．
6．（5分）不等式组所表示的平面区域的面积为（ ） A． B． C． D． 【解答】解：由图象可知不等式对应的平面区域为三角形BCD．
由解得，即A（，）． 由得，即B（﹣1，﹣1）． 第7页（共17页）
由得，即C（2，﹣1）， 所以三角形ABC的面积S=×3×=， 故选：A．
7．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（ ） A．y=2sin（2x+） B．y=2sin（2x+） C．y=2sin（﹣） D．y=2sin（2x﹣） 【解答】解：由已知可得函数y=Asin（ωx+ϕ）的图象经过（﹣，2）点和（﹣，2） 则A=2，T=π即ω=2 则函数的解析式可化为y=2sin（2x+ϕ），将（﹣，2）代入得
﹣+ϕ=+2kπ，k∈Z， 即φ=+2kπ，k∈Z， 当k=0时，φ= 此时 故选：A． 第8页（共17页）
8．（5分）已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是（ ） A．a+b≥2 B．a2+b2＞2ab C．+≥2 D．||≥2 【解答】解：对于A，若a，b＜0，a+b≥2不成立；当a，b＞0，不等式成立，且a=b时取等号．故A不恒成立； 对于B，若a=b，则a2+b2=2ab，若a≠b，a2+b2＞2ab成立．故B不恒成立； 对于C，若ab＜0，则+＜2；若ab＞0，则+≥2成立．故C不恒成立；
对于D，||=||+||≥2恒成立，且|a|=|b|时取得等号． 故选：D．
9．（5分）在△ABC中，若sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则角A的取值范围是（ ） A．（0，] B．[，π） C．（0，] D．[，） 【解答】解：∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC， ∴由正弦定理得a2≤b2+c2﹣bc，则b2+c2﹣a2≥bc， 由余弦定理得，cosA=≥， ∵0＜A＜π，∴A∈（0，]， 故选：C．
10．（5分）若角α的终边过点（﹣1，2），则tan的值为（ ） A． B． C．或 D．或 【解答】解：若角α的终边过点（﹣1，2），则有cosα==﹣，sinα==，
∴tan===， 故选：A．