高考数学复习考点知识专题讲解课件37---空间向量及其运算

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新高考 大一轮复习 · 数学
题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量 a，b 共面．( √ ) (2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．( × ) (3)对于非零向量 b，由 a·b＝b·c，则 a＝c.( × ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( × ) (5)若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0.( √ ) (6)若 a·b<0，则〈a，b〉是钝角．( × )
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新高考 大一轮复习 · 数学 跟踪训练 1 (1)如图所示，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，O 为 AC 的中点．用A→B， A→D，A→A1表示O→C1，则O→C1＝________.
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解析：∵O→C＝12A→C ＝12(A→B＋A→D)， ∴O→C1＝O→C＋C→C1＝12(A→B＋A→D)＋A→A1 ＝12A→B＋12A→D＋A→A1. 答案：12A→B＋12A→D＋A→A1
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题型分类 深度剖析
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题型一 空间向量的线性运算 例 1 如图所示，在空间几何体 ABCD－A1B1C1D1 中，各面为平行四边形，设A→A1 ＝a，A→B＝b，A→D＝c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量： (1)A→P； (2)M→P＋N→C1.
B．－13，12
C．－3,2
D．2,2
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解析：∵a∥b，∴b＝ka(k∈R)， 即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，
∴62＝ μ－k1λ＝＋01，， 2λ＝2k，
λ＝2， 解得μ＝12
λ＝－3， 或μ＝12，
故选 A.
答案：A
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A．共线
B．共面
C．不共面
D．无法确定
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解析：A→B＝(2,0，－4)，A→C＝(－2，－3，－5)，A→D＝(0，－3，－4)，由不存在 实数 λ，使A→B＝λA→C成立知，A，B，C 不共线，故 A，B，C，D 不共线；假设 A，
B，C，D
共面，则可设A→D＝xA→B＋yA→C(x，y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解得 λ＝675.
答案：675
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新高考 大一轮复习 · 数学 题型三 空间向量数量积的应用 例 3 如图所示，已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a，点 M，N 分别是 AB，CD 的中点． (1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD； (2)求异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值．
高考数学复习考点知识 专题讲解
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§7.5 空间向量及其运算
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基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析
衡中作业
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最新考纲
考情分析
1.了解空间向量的概念，了解空间向 量的基本定理及其意义，掌握空间向 量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标 表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表 示，能运用向量的数量积判断向量的 共线和垂直.
共面向量
平行于同一个 平面 的向量
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2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量 a 与 b(b≠0)共线的充要条件是存在实数 λ，使得 a＝λb. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p＝ xa＋yb ，其中 x，y∈R，a，b 为不共线向量． (3)空间向量基本定理 如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组{x，y， z}，使得 p＝ xa＋yb＋zc ，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
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又N→C1＝N→C＋C→C1＝12B→C＋A→A1 ＝12A→D＋A→A1＝12c＋a， 所以M→P＋N→C1＝12a＋12b＋c＋a＋12c ＝32a＋12b＋32c.
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【思维升华】 用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形． (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中． (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．
本节是空间向量的基础内容，涉及空 间直角坐标系、空间向量的有关概 念、定理、公式及四种运算等内 容．一般不单独命题，常以简单几何 体为载体；以解答题的形式出现，考 查平行、垂直关系的判断和证明及空 间角的计算，解题要求有较强的运算 能力.
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基础知识 自主学习
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4．空间向量的坐标表示及其应用
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量表示
数量积
a·b
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R)
垂直
a·b＝0 (a≠0，b≠0)
坐标表示 a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
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解析：N→M＝N→A＋A→M＝(O→A－O→N)＋12A→B ＝O→A－12O→C＋12(O→B－O→A) ＝12O→A＋12O→B－12O→C＝12(a＋b－c)． 答案：B
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新高考 大一轮复习 · 数学 题型二 共线定理、共面定理的应用 例 2 (1)若 A(－1,2,3)，B(2,1,4)，C(m，n,1)三点共线，则 m＋n＝________. 解析：∵A→B＝(3，－1,1)，A→C＝(m＋1，n－2，－2)， 且 A，B，C 三点共线，∴存在实数 λ，使得A→C＝λA→B.
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2．证明空间四点共面的方法 对空间四点 P，M，A，B 除空间向量基本定理外也可通过证明下列结论成立来证 明四点共面： (1)M→P＝xM→A＋yM→B； (2)对空间任一点 O，O→P＝O→M＋xM→A＋yM→B； (3)P→M∥A→B(或P→A∥M→B或P→B∥A→M)．
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新高考 大一轮复习 · 数学 (2)如图，在三棱锥 O—ABC 中，M，N 分别是 AB，OC 的中点，设O→A＝a，O→B＝ b，O→C＝c，用 a，b，c 表示N→M，则N→M等于( ) A.12(－a＋b＋c) B.12(a＋b－c) C.12(a－b＋c) D.12(－a－b＋c)
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3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB 叫做
向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉，其范围是 0≤〈a，b〉≤π 则称 a 与 b 互相垂直 ，记作 a⊥b.
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解：(1)因为 P 是 C1D1 的中点， 所以A→P＝A→A1＋A→1D1＋D→1P ＝a＋A→D＋12D→1C1＝a＋c＋12A→B＝a＋c＋12b. (2)因为 M 是 AA1 的中点， 所以M→P＝M→A＋A→P＝12A→1A＋A→P ＝－12a＋a＋c＋12b＝12a＋12b＋c.
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模 夹角
|a| 〈a，b〉 (a≠0，b≠0)
a12＋a22＋a23
cos〈a，b〉＝ a1b1＋a2b2＋a3b3
__a_21＋__a_22_＋__a_32_·__b_12＋__b_22_＋__b_23
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[熟记常用结论] 1．证明空间任意三点共线的方法 对空间三点 P，A，B 可通过证明下列结论成立来证明三点共线： (1)P→A＝λP→B(λ∈R)； (2)对空间任一点 O，O→P＝O→A＋tA→B(t∈R)； (3)对空间任一点 O，O→P＝xO→A＋yO→B(x＋y＝1)．
(2)已知 a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若 a，b，c 三向量共面，
则实数 λ 等于________． 解析：由题意，可设 a＝xb＋yc， 故(2，－1,3)＝x(－1,4，－2)＋y(7,5，λ)，
即－ 4x＋x＋57y＝y＝－2， 1， －2x＋λy＝3，
0＝2x－2y， 为实数)，即－3＝－3y，
由
－4＝－4x－5y，
于该方程组无解，故 A，B，C，D 不共面，故选 C.
答案：C
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跟踪训练 2 (1)已知 a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若 a∥b，则 λ 与 μ 的值可
以是( ) A．2，12
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即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1,1)＝(3λ，－λ，λ)，
∴mn－＋21＝＝－3λλ，， －2＝λ，
解得 λ＝－2，m＝－7，n＝4.
∴m＋n＝－3.
答案：－3
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(2)空间四点 A(2,3,6)，B(4,3,2)，C(0,0,1)，D(2,0,2)的位置关系为( )
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题组三 易错排查
4．在空间直角坐标系中，已知 A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则