第一节多元函数的基本概念

第八章 多元函数微分法及应用第一节 多元函数的基本概念要求：掌握二元函数及其定义域的概念，会用平面图形表示定义域，知道二元函数的几何意义。

了解二元函数的极限余连续的概念，并且知道它与一元函数的差别。

重点： 二元函数极限的概念，它与一元函数的差别。

难点：二元函数极限的定义与计算。

作业：习题8－1（12P ）2)4)6)2)3)1)1,3,4,5,6,7在现实中，许多客观现象或过程的发生和发展都是受多种因素制约的，在数学上表现为一个变量依赖于多个变量的问题，涉及多个变量的函数称为多元函数．本章多元函数微分学及应用，我们主要针对二元函数展开讨论，这不仅因为有关的概念和方法有比较直观的解释，便于理解，而且这些概念和方法大都能自然地推广到二元以上的多元函数．讨论一元函数时，常用到邻域和区间概念，由于讨论多元函数的需要，首先把邻域和区间概念加以推广称邻域和区域．一．区域1．邻域定义1 设),(000y x P 是xoy 平面上的一个点，δ是某一正数，与点),(000y x P 距离小于δ的点),(y x P 的全体，称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ．即{}{}δδδ<-+-=<=202000)()(|),(|),(y y x x y x PP P P U 几何解释：),(0δP U 是xoy 平面上以),(000y x P 点为中心，0>δ为半径圆的内部点),(y x P 的全体．去心邻域：点0P 的去心邻域{}00()|0U P P PP δ∧=<<={}(,)|0x y δ<<2．区域设E 是平面上的一点集，P 是平面上的一点．内点：如果存在点P 的某一邻域)(P U ，使得E P U ⊂)(，则称P 为E 的内点． 开集：如果点集E 的点都是内点，则称E 为开集．如 {}41|),(221<+<=y x y x E 是开集边界点：如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点， 也有不属于E 的点，则称P 为E 的边界点． 边界：E 的边界点的全体称为E 的边界．如 1E 的边界是122=+y x 和422=+y x连通：设D 是开集，如果对于D 内任何两点，都可用属于D 的折线将其连接起来，则称开集D 是连通的．定义2 连通的开集称为区域．如 {}41|),(22≤+≤y x y x 有界闭区域 {}1|),(>+y x y x 无界开区域有界区域与无界区域：对于区域D ，如果存在正数δ，使得),(0δP U D ⊂，那么称区域D 为有界区域，否则称无界区域．3．n 维空间 我们知道，数轴上的点与实数有一一对应关系，从而实数全体表示数轴上一切点的集合，即直线．在平面直角坐标系下，平面上的点与有序二元数组),(y x 一一对应，从而有序二元数组),(y x 全体表示平面上一切点的集合，即平面．在空间直角坐标系下，空间上的点与有序三元数组),,(z y x 一一对应，从而有序三元数组),,(z y x 全体表示空间上一切点的集合，即空间——三维空间．一般地，设n 为取定的一个自然数，称有序n 元数组),,(21n x x x ⋯⋯的全体为n 维空间，而每个有序n 元数组),,(21n x x x ⋯⋯称为n 维空间中的一个点，数i x 称为该点的第i 个坐标，n 维空间记为nR ．设维空间中两点),,(21n x x x P ⋯⋯及),,(21n y y y Q ⋯⋯的距离为2222211)()()(n n x y x y x y PQ -++-+-=说明：前面平面点集的一系列概念，可推广到n 维空间中去如 点0P 的邻域，设nR P ∈0 ，数0>δ．定义3 {}nRP PP P P U ∈<=,|),(00δδ为点0P 的δ邻域．二．二元函数概念以前所研究的函数都依赖于一个自变量，即一元函数，但在许多自然现象和实际问题中所遇到的函数关系，常依赖于两个或两个以上自变量．下面举几例子．例1. 圆柱体的体积V 和它的底半径r ，高h 之间有关系式h r V 2π=这里，当h r ,在集合{}0,0|),(>>h r h r 内取定一对值),(h r 时，V 的对应值就随之确定．例2．设R 是电阻21,R R 并联后的总电阻，它们之间关系 2121R R R R R +=这里，当21,R R 在集合{}0,0|),(2121>>R R R R 内取定一对值),(21R R 时，R 的对应值就随之确定．上面二个例子具体意义虽各不同，但它们确有共同的性质，抽象出这些共同性就可得到下列二元函数定义．1．二元函数定义定义4 设D 是平面上的一个点集，如果对于每个点D y x P ∈),(，变量z 按照一定法则总有确定的值和它对应，则称z 是变量y x ,的二元函数(或点P 的点函数)，记为),(y x f z =，(或)(P f z =)其中y x ,称为自变量，z 称因变量，D 称该函数的定义域．数集{}D y x y x f z z ∈=),(),,(|称该函数的值域．说明：（1）判断z 是否是变量y x ,的函数，只要看它们是否有对应关系，根据这个对应关系，当变量y x ,给定一组值，就能确定出z 的值，至于这个对应关系是什么形式，如何表达的，函数定义并不要求．例如 二元函数c z =，120()I ax b dx =+⎰是b a ,的二元函数，二元函数222222,00,0xy x y x y z x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩．（2）二元函数的定义也可以表示为f ： 2D R R ⊂→． 2．二元函数定义域求法二元函数定义域与一元函数的定义域求法相类似．（1）用算式表达的二元函数),(y x f z =，那么使这个算式表达式有意义的自变量的取值范围，就是函数的定义域；（2）当函数的自变量具有某种实际意义时，应根据实际意义确定其定义域． 如：在例1中，0,0>>h r ．例3．求二元函数)ln(y x z +=的定义域． 解 要使对数有意义，必须0>+y x ．所以{}0|),(>+=y x y x D 满足0>+y x 的点的全体在几何上如何画出:（1）先找边界0=+y x ， （2）再以点示面，确定位置．函数的定义域{}0|),(>+=y x y x D是无界开区域．例4．求函数)arcsin(22y x z +=的定义域． 解 定义域122≤+y x ，所以{}1|),(22≤+=y x y x D例5．求函数21y x z -=的定义域．解 定义域02>-y x ， 所以{}2|),(yx y x D >= 无界开区域． 例6．求函数(,)f x y =(2,3)f ．解 定义域10,1x y x ++≥≠，所以{}(,)|10,1D x y x y x =++≥≠，不连通，则不是区域．(2,3)21f ==-3．二元函数几何意义一元函数)(x f y =通常表示xoy 平面上一条曲线， 二元函数),(y x f z =，D y x ∈),(，其定义域D 是平 面xoy 上的一个区域，对于D 中任意一点),(y x P 必 有数z 与其对应，因此三元有序数组)),(,,(y x f y x 就 确定了空间的一点)),(,,(y x f y x M ，则空间点集{(,,)|(,),(,)}S x y z z f x y x y D ==∈为函数),(y x f z =的图形，通常是空间曲面．例7．作2222a z y x =++的图形．解 2222a z y x =++所确定的图形是球心在原点，半径为a 的球面，它所确定的二元函数222y x a z --±=，其定义域为{}222|),(ay x y x D ≤+=．在D 内任取一点),(y x ，对应两个函数值222y x a z --=及222y x a z ---=，因此它是多值函数，即可分为两个单值函数222y x a z --=(上半球面)与222y x a z ---= (下半球面)讨论，以后无特别声明，总假定所讨论函数为单值函数，若多值函数，可分为几个单值函数后分别讨论．4．点函数概念（可类似定义三元以上函数，为此引入点函数）对于一元函数)(x f y =，若把x 视为数轴上点P 的坐标，那么y 可视为点P 的函数，记 )(P f y =，对于二元函数),(y x f z =，若把),(y x 视为平面上点P 的坐标，那么z 可视为点P 的函数，记 )(P f z =，对于n 元函数),,(21n x x x f z ⋯⋯=，若把),,(21n x x x ⋯⋯视为nR 中点P 坐标，那么z 可视为点P 的函数， 记 )(P f z =．称上述函数)(P f z =为点P 的点函数．三．二元函数的极限回忆：一元函数极限A x f x x =→)(lim 0．上述极限中：0x x →是在x 轴上从0x 的左，右两侧向0x 趋近时，函数A x f →)(． 二元函数极限，当0x x →，0y y →即00(,)(,)P x y P x y →时，函数A y x f →),(． 这里的0P P →表示点P 以任何方式趋于点0P ，也就是点P 与点0P 之间的距离趋于零，即 00PP =→ 与一函数极限概念类似，如果在点00(,)(,)P x y P x y →的过程中，函数),(y x f 无限接近于一个确定的常数A ，我们就说A 为函数),(y x f z =当0x x →，0y y →时的极限，下面用δε-语言描述这个极限概念．定义4 设函数),(y x f 在开区域(或闭区域)D 内有定义，000(,)P x y 是D 的内点或边界点，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式00PP δ<=< 的一切点(,)P x y D ∈，都有ε<-A y x f ),(成立，则称常数A 为函数),(y x f 当0x x →，0y y →时的极限，记作 A y x f y y x x =→→),(lim 0或A y x f →),(，)),(),((00y x y x →．二元函数极限称做二重极限．例8. 设函数22221sin)(),(y x y x y x f ++=，022≠+y x ，求证00lim (,)0x y f x y →→=． 证明 任给0>ε，找定义中的δ，使得当δ<+=-+-<222020)()(0y x y y x x时，有ε<-0),(y x f成立．因为22222222221sin 01sin)(y x yx y x y x y x +≤++=-++， 所以，对于任给0>ε，取εδ=，则当δ<+=-+-<2222)0()0(0y x y x时，总有ε<-++01sin)(2222yx y x 成立．于是 00lim (,)0x y f x y →→=．对于点函数()z f P =极限有定义，对任0>ε，总存在0>δ，当00||PP δ<<时，有()f P A ε-<成立．注意（1）动点),(y x ⇒⇒任何方式任何方向),(00y x 时，函数A y x f →),(，此时可以说函数),(y x f 都趋于A ．这里说的当),(),(00y x y x →时，函数A y x f →),(是指),(y x 以任何方式趋于),(00y x 时，函数),(y x f 都趋于A ，因为平面上由一点到另一点有无数条路线，因此二元函数当),(),(00y x y x →时，要比一元函数中当0x x →复杂的多．（2）动点),(y x ⇒⇒特定方式特定方向),(00y x 时，函数A y x f →),(，此时不能断定函数的极限存在．如果),(y x 以某一特殊方式趋于),(00y x 时，即使函数无限接近于某一确定的值，我们还不能由此断定函数的极限存在．（3）动点),(y x ⇒⇒不同方式不同方向),(00y x 时，函数(,)f x y →不同值，此时可以断定函数的极限不存在．如果当),(y x 以不同方式趋于),(00y x 时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在．例9．函数222222,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩．解 当点),(y x 沿x 轴趋于点)0,0(时，00lim )0,(lim 0==→→x x x f ，当点),(y x 沿y 轴趋于点)0,0(时，00lim ),0(lim 0==→→y y y f ，虽然点),(y x 以上述两种特殊方式趋于原点时函数极限存在并相等，但当点(,)P x y 沿直线kx y =趋于点)0,0(时，有222220220,1lim lim kkx k x kx y x xy x x kx y +=+=+→→=， 它随k 值的不同而改变，所以上述函数在点)0,0(极限不存在．注意：该题也可以令cos ,sin x r y r θθ==，则2222cos sin (,)cos sin xy r f x y x y rθθθθ===+，随着θ的变化，方向是变化的，则取得不同的值．说明：（1）以上关于二元函数的极限概念，可以方便推广到n 元函数中， （2）关于二元函数的极限运算，有与一元函数类似的运算法则．例10. 求极限x xy y x )sin(lim20→→．解 函数xxy y x f )sin(),(=在区域{}0|),(1<=x y x D 和{}0|),(2>=x y x D 内都有定义，又点)2,0(同时为1D 及2D 的边界点，无论在1D 内还是在2D 内考虑，都有00222sin()sin()limlim lim 122x x y y y xy xy y x xy →→→→→==⋅=．四、多元函数的连续性1．连续函数概念定义5 设函数),(y x f z =在区域D 内有定义，且000(,)P x y D ∈，若),(),(lim 000y x f y x f y y x x =→→则称函数),(y x f 在点000(,)P x y 处连续．若令x x x ∆+=0，y y y ∆+=0，则当00,x x y y →→时，0,0x y ∆→∆→，因此有连续的另一种形式的定义．定义5' 设函数),(y x f z =在区域D 内有定义，且000(,)P x y D ∈，若0000000lim lim[(,)(,)]0x x y y z f x x y y f x y ∆→∆→∆→∆→∆=+∆+∆-=，则称函数),(y x f 在点),(00y x 处连续．定义5'' 设点函数()f P 的定义域为D ，且0P D ∈，若0lim ()()P P f P f P →=则称函数()f P 在点0P 处连续．说明：（1）如果函数),(y x f 在区域D 内的每一点连续，则称函数),(y x f 在D 内连续或),(y x f 是D 内的连续函数．（2）若函数),(y x f 在点000(,)P x y 不连续，则称000(,)P x y 为函数),(y x f 的间断点．例如：函数⎪⎩⎪⎨⎧+=0),(22y x xyy x f 002222=+≠+y x y x 在点)0,0(没极限，故不连续，所以点)0,0(为函数的间断点，此点为函数),(y x f 的孤立点．再如，函数11sin22-+=y x z 在圆周122=+y x 上没定义，所以圆周122=+y x 上各点都是函数的间断点．2．有界闭区域上连续函数的性质 （1）最大值和最小值定理在有界闭区域D 上的连续函数，在D 上一定有最大值和最小值； （2）介值定理在有界闭区域D 上的连续函数，必取得介于函数最大值与最小值之间的任何值． 即 若M m <<μ，则必有P D ∈，使得()f P μ=．3．连续函数的四则运算及其复合运算连续函数的和、差.及、商(分母不为零)及连续函数的复合函数是连续函数． 4．二元初等函数基本初等函数与常数经过有限次的四则运算和复合步骤用一个表达式表示的函数，称为二元初等函数．注意 这里基本初等函数是一元函数，在构成二元初等函数时，它们与二元函数复合．如：)sin(y x z +=是一元基本初等函数u z sin =与二元函数u x y =+复合成的． 5．初等函数的连续性一切多元初等函数在其定义区域内是连续函数(定义域包含定义区域)． 如果()f P 是初等函数，且0P 是函数()f P 的定义域内的点，则有 00lim ()()P P f P f P →=．例11. 求极限xy yx y x +→→21lim．解 因为函数在点)2,1(处有定义，所以23)2,1(lim21==+→→f xy y x y x ．例12．求极限11lim-+→→xy xy y x ．解 11lim0-+→→xy xy y x 2)11(lim 11)11(lim000=++=-+++=→→→→xy xy xy xy y x y x ． 例13．求极限22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→．解 22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→2222222222002)2(2sinlim y x y x y x y x y x +++=→→ ∞=+=→→→)11(21lim )sin (lim 220020x y t t y x t ． 思考题1．指出一元函数极限A x f x x =→)(lim 0与二元函数极限A y x f y x y x =→),(lim),(),(00异同．2．能否把极限),(lim),(),(00y x f y x y x →理解为先求),(lim 0y x f x x →，再求),(lim 00y x f y y →或者先求),(lim 0y x f y y →再求),(lim 00y x f x x →？。