2021-2022学年上海市虹口区高一(上)期末数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共7小题，共35.0分）1. 设a 、b 都是实数，则“a >1且b >2”是“a +b >3且ab >2”的( )条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要2. 函数y =x(2x −2−x )的图像关于( )对称A. x 轴B. y 轴C. 原点D. 直线y =x 3. 函数y =2x −1x 的零点所在的区间为( )A. (−1,0)B. (0,12)C. (12,1)D. (1,2)4. 已知a 、b ∈R ，有以下3个命题：①若0<a <b <1，则a a <b b ；②若0<a <b <1，则log a b <log b a ；③若a >b >1，则a b <b a ．其中真命题的个数是( )A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个5. 设关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +c ≤0与dx 2+ex +f ≤0的解集分别为(−∞,2]∪[3,+∞)与⌀，则不等式(ax 2+bx +c)(dx 2+ex +f)≥0的解集为( )A. (2,3)B. [2,3]C. RD. 06. 已知函数f(x)={log 12x,x >0a ⋅(13)x ,x ≤0，若关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,0)∪(0,1)B. (−∞,0)∪(1,+∞)C. (−∞,0)D. (0,1)∪(1,+∞) 7. 已知函数f(x)={log 13x,x >13a ⋅(13)x ,x ≤13，若函数f(x)在R 上是严格减函数，则实数a 的取值范围是( )A. (√33,+∞)B. (0,+∞)C. [√33,3)D. [√33,+∞)二、填空题（本大题共13小题，共55.0分）8. 已知集合A ={−1,0,1}，B ={x|x 2−2x =0}，则A ∪B =______．9. 不等式2022x ≤1的解集为______．10. 已知a 、b 是方程3x 2−4x +1=0的两个根，则1a +1b =______．11. 已知0<x <4，则x(4−x)的最大值为______．12. 设α：m +1≤x ≤2m +4(m ∈R)，β：1≤x ≤3.若β是α的充分条件，则实数m 的取值范围为______．13. 已知2a =3b =6，则1a +1b =______．14. 如图所示，在锐角三角形空地中欲建一个面积不小于300m 2的矩形花园(阴影部分)，则其边长x 的取值范围为______．15. 若存在实数x 满足|x +1|+|x −2|≤−a 2+a +5，则实数a 的最小值为______．16. 不等式|x +1|+|x −3|≤6的解集为______．17. 若函数f(x)=x −1x (x >0)的反函数为y =f −1(x)，则关于x 的不等式f −1(x)≤3的解集为______．18. 已知函数y =a x (a >0,a ≠1)在[1,2]的最大值与最小值之差等于a 2，则实数a 的值为______．19. 若函数f(x)={x|x|−2x,x <a 1−x,x ≥a 有2个零点，则实数a 的取值范围是______． 20. 在实数运算中定义新运算“⊕”：a ⊕b ={a,a ≥b b 2,a <b，则函数y =(x 2−3)⊕(2x)的零点个数为______．三、解答题（本大题共7小题，共72.0分）21. 设全集为R ，已知A ={x|x−3x+1>0}，B ={x|2−a <x <2a +3}．(1)若a =1，求A −∩B ；(2)若A ∪B =R ，求实数a 的取值范围．22.设函数y=f(x)，且f(x)={|x−2|,x≥1 |xx−1|,x<1．(1)作出函数y=f(x)的大致图像，并指出它的单调区间；(2)当实数a变化时，讨论关于x的方程f(x)=a的解的个数．23.某小微公司每年燃料费约20万元．为了“环评”达标，需要安装一面积为x(x≥0)(单位：平方米)可用10年的太阳能板，其工本费为x2(单位：万元)，并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为k10x+40(x≥0,k为常数)万元．记y为该公司10年的燃料费与安装太阳能板的费用之和．(1)求k的值，并写出函数y=f(x)的表达式：(2)求y的最小值，并指出此时所安装的太阳能板的面积x．24.已知函数f(x)=log2(1−x)−log2(1+x)，g(x)=4x+2x+1m−m+1．(1)判断函数y=f(x)的奇偶性与单调性，并说明理由；(2)若对满足f(p)+f(q)=0的实数p、q，都有g(p)+g(q)≥0，求实数m的取值范围．(3)若g(x)≥0对任意x∈[0,+∞)都成立，求实数m的取值范围．25.已知函数f(x)=x2−1x2．(1)求函数y=f(x)的值域；(2)若不等式x2f(x)+1≥x3+kx在x∈[1,2]时恒成立，求实数k的最大值；(3)设g(x)=t⋅f(x)+1(x∈[1 m ,1n]，m>n>0，t>0)，若函数y=g(x)的值域为[2−3m,2−3n]，求实数t的取值范围．26.若函数y=f(x)满足f(x)⋅f(−x)=1，则称函数y=f(x)为“倒函数”．(1)判断函数f(x)=1+x1−x和g(x)=3x+1是否为倒函数，并说明理由；(2)若φ(x)=[p(x)]q(x)(p(x)恒为正数)，其中p(x)是偶函数，q(x)是奇函数，求证：φ(x)是倒函数；(3)若ℎ(x)=√x2+m+nx(n>0)为倒函数，求实数m、n的值；判定函数y=ℎ(x)的单调性，并说明理由．27.设函数y=f(x)，且f(x)=|x2−1|−1．(1)作出函数y=f(x)的大致图像，并指出它的单调区间；(2)当实数a变化时，讨论关于x的方程f(x)=a的解的个数．答案和解析1.【答案】A【解析】解：根据同向不等式的性质，前者能推出后者，反之，不成立，比如a=0.5，b=10，a+b>3，ab>2，推不出前者，故前者是后者的充分非必要条件，故选：A．根据同向不等式的性质，前者能推出后者，举反例得到，后者推不出前者，得出结论．本题考查四个条件的判断，并考查不等式的性质，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：根据题意，设f(x)=x(2x−2−x)，其定义域为R，有f(−x)=(−x)(2−x−2x)=x(2x−2−x)=f(x)，则函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故选：B．根据题意，分析函数的奇偶性，由函数奇偶性的定义可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由题意，定义域为(0,+∞)．∵y=2x与y=−1x在(0,+∞)上同为单调递增函数，∴函数f(x)=2x−1x在(0,+∞)上为单调递增函数．又∵f(12)=√2−2<0，f(1)=2−1>0，∴函数f(x)在区间(12,1)内必有一个零点．故选：C．判断函数f(x)=2x−1x 为单调递增函数，然后代入x=12，x=1，算出结果与0比较大小即可得到零点所在的区间．本题主要考查增函数的性质应用能力，以及零点定理的具体应用，本题属中档题．4.【答案】C【解析】解：当0<a <b <1时，取a =14，b =12，则a a =(14)14=[(12)2]14=(12)12=b b ，即命题①不正确；当0<a <b <1时，函数y =log a x ，y =log b x 在(0,+∞)都是减函数，于是得log a b <log a a =1=log b b <log b a ，即命题②正确；当a >b >1时，取a =3，b =2，则a b =32=9，b a =23=8，即a b <b a 不成立，命题③不正确，所以真命题个数是1．故选：C ．取值验证判断命题①、③；利用对数函数性质分析判断命题②作答．本题考查了对命题真假的判断，也考查了指数、对数函数的性质，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：因为关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +c ≤0与dx 2+ex +f ≤0的解集分别为(−∞,2]∪[3,+∞)与⌀，所以x =2，x =3是ax 2+bx +c =0的解且a <0，dx 2+ex +f ≥0恒成立， 由(ax 2+bx +c)(dx 2+ex +f)≥0得，2≤x ≤3．故选：B ．由题意得x =2，x =3是ax 2+bx +c =0的解且a <0，dx 2+ex +f ≥0恒成立，从而可求．本题主要考查了二次不等式的解集的应用，属于基础题．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数与方程的综合应用，指数函数与对数函数的性质，考查数形结合思想，属于较难题．利用换元法设f(x)=t ，则方程f[f(x)]=0等价于f(t)=0，根据指数函数和对数函数的图象和性质求出t =1，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：令f(x)=t ，则方程f[f(x)]=0等价于f(t)=0，由选项知a ≠0，则f(x)=a ⋅(13)x ≠0，由f(t)=log 12t =0，得t =1， 则关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根，等价于关于x 的方程f(x)=1有且只有一个实数根，作出f(x)的图象如图：当a <0时，由图象可知直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，恒满足条件； 当a >0时，要使直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，则只需要当x ≤0时，直线y =1与f(x)=a ⋅(13)x 的图象没有交点，所以f(0)>1，即a ⋅(13)0>1，解得a >1，综上所述，实数a 的取值范围是(−∞,0)∪(1,+∞)，故选：B ． 7.【答案】D【解析】解：因为函数f(x)={log 13x,x >13a ⋅(13)x ,x ≤13是R 上的严格减函数， 所以{a >0log 1313≤a ⋅(13)13， 解得，a ≥√33．由已知结合分段函数单调性列出不等式组，求解即可．本题考查分段函数的单调性，涉及指数函数的性质，属于基础题．8.【答案】{−1,0,1,2}【解析】解：∵集合A ={−1,0,1}，B ={x|x 2−2x =0}={0,2}，∴A ∪B ={−1,0,1,2}．故答案为：{−1,0,1,2}．求出集合B ，利用并集定义能求出A ∪B ．本题考查集合的运算，考查交集定义、一元二次方程性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】(−∞,0]【解析】解：由2022x ≤1=20220，得x ≤0，∴不等式2022x ≤1的解集为(−∞,0]．故答案为：(−∞,0]．直接由指数函数的单调性得答案．本题考查不等式的解法，考查指数函数的性质，是基础题．10.【答案】4【解析】解：a 、b 是方程3x 2−4x +1=0的两个根，a +b =43，ab =13， 所以1a +1b =a+b ab =4313=4，故答案为：4．通过韦达定理，转化求解表达式的值即可．本题考查函数零点与方程根的关系，韦达定理的应用，是基础题．【解析】解：因为0<x <4，则4−x >0，所以x(4−x)≤(x+4−x 2)2=4，当且仅当x =4−x ，即x =2时取等号，此时取得最大值为4，故答案为：4．利用基本不等式即可求解．本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．12.【答案】[−12,0]【解析】解：∵α：m +1≤x ≤2m +4(m ∈R)，β：1≤x ≤3， 若β是α的充分条件，令A ={x|1≤x ≤3}，B ={x|m +1≤x ≤2m +4,m ∈R,}∴集合A ⊆B ，得{m +1≤12m +4≥3，即−12≤m ≤0， ∴实数m 的取值范围为[−12,0]故答案为：[−12,0]．根据充分条件的定义可得关于m 的不等式组，解出即可．本题考查了不等式，充分必要条件的定义，属于简单题目，难度不大．13.【答案】1【解析】解：∵2a =3b =6，∴a =log 26，b =log 36，∴1a +1b =1log 26+1log 36=log 62+log 63=log 66=1，故答案为：1．先把指数式化为对数式求出a ，b 的值，再利用对数的运算性质进行求解． 本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．14.【答案】[10,30]【解析】解：如图所示，△ADE∽△ABC ， 设矩形的另一边长为y ， 则S △ADES△ABC=(40− y 40)2=(x40)2，所以y =40−x ，由题意可知xy ≥300，则x(40−x)≥300， 即x 2−40x +300≤0，解得10≤x ≤30， 所以实数x 的取值范围为[10,30]， 故答案为：[10,30]．设矩形的另一边长为y ，然后利用三角形相似得出x 与y 的关系，再由xy ≥300解出不等式的解集即可求解．本题考查了根据实际问题建立函数模型的应用，涉及到一元二次不等式的解法，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．15.【答案】−1【解析】解：由|x +1|+|x −2|≥|(x +1)−(x −2)|=3， 当且仅当(x +1)(x −2)≤0，即−1≤x ≤2时等号成立，若存在实数x 满足|x +1|+|x −2|≤−a 2+a +5，则−a 2+a +5≥3， 即a 2−a −2≤0，解得−1≤a ≤2． ∴实数a 的最小值为−1． 故答案为：−1．利用含绝对值的三角不等式求出|x +1|+|x −2|的最小值，问题转化为−a 2+a +5≥3，求解不等式可得实数a 的最小值．本题考查含绝对值的三角不等式的解法，考查化归与转化思想，是基础题．16.【答案】[−2,4]【解析】解：f(x)=|x +1|+|x −3|， ∵|x +1|+|x −3|≤6， 作图如下，∵|x +1|+|x −4|≥|x +1+3−x|=4，∴由绝对值的几何意义得：当数轴上与x 对应的点位于−2，4之间时，f(x)=|x +1|+|x −3|≤6，∴不等式|x +1|+|x −3|≤6的解集为[−2,4]． 故答案为：[−2,4]．令f(x)=|x +1|+|x −3|，利用绝对值的几何意义即可求得答案．本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的几何意义，考查作图能力，属于中档题．17.【答案】(−∞,83]【解析】解：函数f(x)=x −1x 在(0,+∞)上单调递增，值域为R ， 则其反函数在R 上也为单调递增函数， 又∵f(3)=3−13=83，则3=f −1(83)， ∴不等式f −1(x)≤3可化为f −1(x)≤f −1(83)， ∴x ≤83，即关于x 的不等式f −1(x)≤3的解集为(−∞,83]， 故答案为：(−∞,83].根据原函数的单调性可得反函数的单调性，再根据f(3)=83将不等式f −1(x)≤3转化为f −1(x)≤f −1(83)，即可求出解集．本题主要考查了反函数的定义，考查了利用函数的单调性解不等式，属于中档题．18.【答案】32或12【解析】解：①当a >1时，函数y =a x 在[1,2]上单调递增， ∴a 2−a =a 2， 解得a =32，②当0<a <1时，函数y =a x 在[1,2]上单调递减， ∴a −a 2=a 2，解得a =12，综上所述，实数a 的值为32或12， 故答案为：32或12．对a 分情况讨论，利用指数函数的单调性进行求解． 本题主要考查了指数函数的单调性，属于基础题．19.【答案】(−2,0]∪(1，2]【解析】解：作出y =x|x|−2x ，y =1−x 的图象如图所示；当a ≤−2时，函数f(x)={x|x|−2x,x <a1−x,x ≥a只有1个零点，不符合题意，当−2<a ≤0时，函数f(x)={x|x|−2x,x <a1−x,x ≥a 的零点为−2，1，有2个零点，符合题意，当0<a ≤1时，函数f(x)={x|x|−2x,x <a1−x,x ≥a 的零点为−2，0，1，有3个零点，不符合题意，当1<a ≤2时，函数f(x)={x|x|−2x,x <a1−x,x ≥a 的零点为−2，0，有2个零点，符合题意，当a >2时，函数f(x)={x|x|−2x,x <a1−x,x ≥a 的零点为−2，0，2有3个零点，不符合题意，综上所述：实数a 的取值范围是(−2,0]∪(1，2]． 故答案为：(−2,0]∪(1，2]．画出函数f(x)={x|x|−2x,x <a1−x,x ≥a的图象，分a ≤−2，−2<a ≤0，0<a ≤1，1<a ≤2，a >2讨论观察图象可得答案．本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．20.【答案】2【解析】解：当x 2−3<2x 时，即x 2−2x −3<0，可得−1<x <3，由y =2x =0，可得x =0，符合题意，当x 2−3≥2x 时，即x 2−2x −3≥0，可得x ≤−1或x ≥3，由y =x 2−3=0，可得x =−√3，符合题意，综上所述，函数y =(x 2−3)⊕(2x)的零点个数为2． 故答案为：2．化简函数解析式，利用代数式可求得原函数的零点个数． 本题考查了求函数零点问题，考查分类讨论思想，属中档题．21.【答案】解：(1)a =1时，A ={x|x−3x+1>0}={x|x <−1或x >3}，B ={x|2−a <x <2a +3}={x|1<x <5}， A −={x|−1≤x ≤3}， ∴A −∩B ={x|1<x ≤3}；(2)∵A ={x|x−3x+1>0}={x|x <−1或x >3}， B ={x|2−a <x <2a +3}，A ∪B =R ， ∴{2−a <2a +32−a <−12a +3>3，解得a >3， ∴实数a 的取值范围是(3,+∞)．【解析】(1)a =1时，求出集合A ，B ，A −，由此能求出A −∩B ；(2)由A ={x|x <−1或x >3}，B ={x|2−a <x <2a +3}，A ∪B =R ，列出不等式组，能求出实数a 的取值范围．本题考查集合的运算，考查交集、补集、并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22.【答案】解：(1)当x≥1时，f(x)=|x−2|，此时y=f(x)的图象是射线y=x−2(x≥1)在x轴上方的部分保留，下方的部分沿x轴翻折到上方，当x<1时，f(x)=|xx−1|(x<1)，此时y=f(x)的图象是先把反比例函数y=1x在y轴左侧部分向右平移1个单位，再向上平移1个单位得f(x)=xx−1(x<1)，此的图象，然后将所得图象在x轴上方的部分保留，下方的部分沿x轴翻折到上方，如图所示，观察图象得函数y=f(x)的单调递减区间为(−∞,0)，(1,2)；单调递增区间为(0,1)，(2,+∞)，(2)依题意，关于x的方程f(x)=a的解转化为直线y=a与y=f(x)图象的交点的横坐标，如图，当a<0时，直线y=a与y=f(x)图象无公共点，方程f(x)=a的解的个数为0．当a=0或a>1时，直线y=a与y=f(x)图象有2个公共点，方程f(x)=a的解的个数为2．当0<a<1时，直线y=a与y=f(x)图象有42上公共点，方程f(x)=a的解的个数为4．当a=1时，直线y=a与y=f(x)图象有3个公共点，方程f(x)=a的解的个数为3．综上所述：当a<0时，方程f(x)=a的解的个数为2.当a=0或a>1时，方程f(x)=a 的解的个数为2．当0<a<1时，方程f(x)=a的解的个数为4.当a=1时，方程f(x)=a的解的个数为3．【解析】(1)根据给定条件结合函数y=x−2(x≥1)和y=xx−1(x<1)，借助图象变换作出的大致图象，再利用图象写出函数的单调区间．(2)把方程f(x)=a的解转化为直线y=a与y=f(x)图象的交点即可求解．本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．23.【答案】解：(1)由题意，当x=0时，k40=20，解得k=800，则该公司10年的燃料费与安装太阳能板的费用之和为10⋅80010x+40+x2=800x+4+x2，所以k=800，函数的表达式为y=f(x)=800x+4+x2,x≥0；(2)由(1)可知，x≥0时，y=800x+4+x2=800x+4+x+42−2≥2√800x+4⋅x+42−2=40−2=38，当且仅当800x+4=x+42，即x=36时取等号，此时取得最小值，所以y的最小值为38万元，此时所安装的太阳能板的面积为36平方米．【解析】(1)根据每年的燃料费计算可得k的值，进而得出函数的解析式；(2)利用(1)中函数表达式结合均值不等式计算即可求解．本题考查了根据实际问题建立函数模型的应用，涉及到基本不等式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．24.【答案】解：(1)函数f(x)=log2(1−x)−log2(1+x)，可得1−x>0，且1+x>0，解得−1<x<1，即定义域为(−1,1)，关于原点对称，f(−x)+f(x)=log2(1+x)−log2(1−x)+log2(1−x)−log2(1+x)=0，则f(x)为奇函数；又f(x)=log21−x1+x =log2(−1+2x+1)，由t=−1+2x+1在(−1,1)递减，又y=log2t在t∈(0,+∞)递增，可得f(x)在(−1,1)为减函数；(2)f(p)+f(q)=0即为f(p)=−f(q)=f(−q)，可得q=−p，−1<p<1，则g(p)+g(q)≥0即为4p+4−p+2m(2p+2−p)−2m+2≥0，设t=2p+2−p，由−1<p<1，可得2≤t<52，则t2+2m(t−1)≥0对2≤t<52恒成立，则−2m≤(t−1)+1t−1+2对2≤t<52恒成立，由ℎ(t)=(t−1)+1t−1+2在2≤t<52递增，可得ℎ(t)∈[4,256)，所以−2m ≤4，即m ≥−2，即m 的取值范围是[−2,+∞)； (3)若g(x)≥0对任意x ∈[0,+∞)都成立，可得4x +2x+1m −m +1≥0对任意x ∈[0,+∞)都成立，设k =2x ，k ∈[1,+∞)，则k 2+1+m(2k −1)≥0对k ≥1恒成立． 因为2k −1≥1，所以−m ≤k 2+12k−1对k ≥1恒成立，设s =2k −1，则k 2+12k−1=(s+1)24+1s=14(s +5s +2)≥14(2+2√5)，当且仅当s =5s ，即s =√5，也即k =1+√52时取得等号， 所以−m ≤1+√52，即m ≥−1+√52，即m 的取值范围是[−1+√52,+∞)．【解析】(1)由函数的奇偶性的定义，结合对数的运算性质可得f(x)的奇偶性；由对数函数的单调性和复合函数的单调性，可得f(x)的单调性；(2)求得p +q =0，运用指数的运算性质和换元法、参数分离和对勾函数的单调性，可得最值，进而得到所求范围；(3)运用参数分离和换元法、基本不等式求得最值，进而得到所求取值范围． 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．25.【答案】解：(1)f(x)=x 2−1x 2=1−1x 2， 由x 2>0，得1x 2>0，∴f(x)∈(−∞,1)， ∴函数f(x)的值域(−∞,1)；(2)若不等式x 2f(x)+1≥x 3+kx 在x ∈[1,2]时恒成立，则不等式变为k ≤−x 2+x ，令g(x)=−x 2+x =−(x −12)2+14，x ∈[1,2]， 对称轴是x =12，g(x)在[1,2]单调递减， 故g(x)的最小值是g(2)=−2， 故实数k 的取值范围(−∞,−2]， 故k 的最大值是−2；(3)由题意g(x)=−tx 2+t +1，∵t>0，在[1m ,1n]上显然单调递增，∴{g(1m)min=2−3mg(1n)max=2−3n，即{t(1−m2)+1=2−3mt(1−n2)+1=2−3n，∴m，n是方程t(1−x2)+1=2−3x的两个不相等的正根，∴tx2−3x+1−t=0(t>0)，∴Δ=9−4t(1−t)>0，且对称轴x=32t >0，1−tt>0，解得0<t<1，故实数t的取值范围(0,1)．【解析】(1)函数整理后根据x2在定义域内的取值范围求出函数的值域；(2)不等式整理后，分离出k的表达式，求出另一边的最小值即可；(3)由t大于零求出函数的单调递增，求出m，n是方程的两个正根，二次方程的正根为对称轴大于零，两根之和，两根之积都大于零求出t的取值范围．本题考查函数恒成立的应用，考查常见函数的性质，属于中档题．26.【答案】解：(1)根据题意，对于函数f(x)=1+x1−x，其定义域为{x|x≠1}，不能满足f(x)⋅f(−x)=1，不是“倒函数”，对于g(x)=3x+1，其定义域为R，g(−x)=3−x+1，则g(x)g(−x)=9，不是“倒函数”，(2)证明：根据题意，φ(x)=p(x)q(x)，其定义域为R，由于p(x)是偶函数，q(x)是奇函数，则φ(−x)=p(−x)q(−x)=p(x)q(−x)，则φ(x)φ(−x)=1，故φ(x)是“倒函数”，(3)根据题意，若ℎ(x)=√x2+m+nx(n>0)为倒函数，则有ℎ(x)ℎ(−x)=(√x2+m+nx)(√x2+m−nx)=x2+m−nx2=1恒成立，必有m=1，n2=1，则m=1，n=±1，又由n>0，则m=n=1，则ℎ(x)=√x2+1+x，在R上为增函数；设x1<x2，则f(x1)−f(x2)=√x12+1+x1−√x22+1−x2=√x12+1−√x22+1+x1−x2=1222√x1+1+√x2+1x1−x2=(x1−x2)(12√x1+1+√x2+1+1)，又由x1<x2，易得f(x1)−f(x2)<0，故ℎ(x)在R上为增函数．【解析】(1)由“倒函数”的定义验证f(x)、g(x)是否符合，即可得答案；(2)根据题意，先分析函数的定义域，再分析φ(x)φ(−x)的值，即可得结论，(3)根据题意，由倒函数”的定义可得ℎ(x)ℎ(−x)=1在定义域中恒成立，变形可得关于m、n的方程，分析可得m、n的值，即可得ℎ(z)的解析式，分析其单调性可得答案．本题考查函数与方程的关系，涉及函数奇偶性和单调性的应用，属于难题．27.【答案】解：(1)函数y=f(x)的图像可视为函数y=|x2−1|的图像向下平移一个单位而得，而y=|x2−1|的图像是二次函数y=x²−1的图像在x轴上方的不动，把x轴下方的图像沿x轴向上翻折而得，作出图像如图：由图可得f(x)的递减区间为(−∞,−1)，(0,1)，递增区间为(−1,0)，(1,+∞)；(2)由题可知于x的方程f(x)=a的解就是直线y=a与函数y=f(x)图像的交点的横坐标，如图：当a<−1时，直线y=a与函数y=f(x)的图像无交点，即方程f(x)=a的解的个数为0；当a=−1或a>0时，直线y=a与函数y=f(x)的图像有2个交点，即方程f(x)=a的解的个数为2；当−1<a<0时，直线y=a与函数y=f(x)的图像有4个交点，即方程f(x)=a的解的个数为4；当a=0时，直线y=a与函数y=f(x)的图像由3个交点，即方程f(x)=a的解的个数为3；综上：当a<−1时，方程f(x)=a的解的个数为0；当a=−1或a>0时，方程f(x)=a 的解的个数为2；当a=0时，即方程f(x)=a的解的个数为3；当−1<a<0时，即方程f(x)=a的解的个数为4．【解析】(1)根据给定条件结合二次函数y=x²−1，借助图像变换作出y=f(x)的大致图像，再利用图像写出函数单调区间；(2)把方程f(x)=a的解转化为直线y=a与函数y=f(x)图像的交点即可作答．本题考查函数图像的作图，函数零点与方程根的关系，数形结合思想，分类讨论思想，属于中档题．。