圆的基本性质
圆的基本性质
圆的基本性质一、圆的概念1、集合形式的概念： （1）、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合（平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图像叫做圆；（2）、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； （3）、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合2、轨迹形式的概念：圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；POOCBA3、圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线4、圆弧（简称：弧）：圆上任意两点的部分5、曲线BC 、BAC 都是圆中的弧，分别记为BC ︵、BAC ︵，其中像弧BC ︵这样小于半圆周的圆弧叫做 ，像弧BAC ︵这样的大于半圆周的圆弧叫做 ．6、弦：连接圆上任意两点的线段 经过圆心的弦叫做直径7．圆心角的概念： ，图中， 都是圆心角．8．同心圆的概念： ．9．等圆的概念： ．10．等弧．．的概念： ．典型例题：例1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（ ）．A ．4个B ．3个C ． 2个D ． 1个例2．点P 到⊙O 上的最近距离为cm 3，最远距离为cm 5，则⊙O 的半径为 cm ．例3．判断：（1）直径是弦，弦是直径 （ ） （2）半圆是弧，弧是半圆 （ ） （3）周长相等的两个圆是等圆 （ ）（4）长度相等的两条弧是等弧 （ ）（5）同一条弦所对的两条弧是等弧 （ ） （6）在同圆中，优弧一定比劣弧长 （ ）例4．如图,两个同心圆的圆心为O ,大圆的半径OC 、OD 交小圆于A 、B ,求证:AB ∥CDO DCB A例5．已知:如图,点O 是∠EPF 的平分线的一点,以O 为圆心的圆和∠EPF 的两边分别交于点A 、B 和C 、D ，求证: ∠OBA =∠OCDPFOE D CBA例6：如图，⊙O 中，直径为MN ，正方形ABCD 的四个顶点分别在半径OM 、OP 以及⊙O 上，并且∠POM =45O ，若AB =1，求 ⊙O 的半径．P NOM D CBA二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；rdd CBAO2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；例1．已知⊙O 的直径为8cm ，如果点P 到圆心O 的距离为4.5cm ，那么点P 与⊙O 有怎样的位置关系?如果点P 到圆心O 的距离为4cm 、3cm 呢?例2．已知，如图，BD 、CE 是△ABC 的高，M 为BC 的中点，试说明点B 、C 、D 、E 在以点M 为圆心的同一个圆上．MEDCBA例3．（1）点A 在以5cm 为半径的⊙O 上，且AB =8cm ，则点B （ ）A ．在⊙O 内B ．在⊙O 上C ．在⊙O 外D ．与⊙O 的位置不能确定（2）平面内有一点P ，点P 到⊙O 的最长距离为9，最小距离为3，⊙O 的半径为 ．例4． 已知：CD 为⊙O 的直径，∠EOD =60O ，AE 交⊙O 于B ，且AB =OC ，求∠A ．rdd=rdrDCBAQ O POEDCBA二、垂径定理1．圆的中心对称性：一个圆绕圆心旋转任何角度后，与它自身重合．因此，圆是______________，________是它的对称中心．2、圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等． 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的 ． 几何叙述已知：如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，根据本节定理及推论填空： （1）如果AB ＝CD ，那么______________，______________；（2）如果AB ︵= CD ︵，那么______________，______________；（3）如果∠AOB ＝∠COD ，那么______________，______________．3. 在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？我们把1°的圆心角所对的弧叫做 ，一般地，n °的圆心角对着 ，n °的弧对着 典例分析：例1．如图，在⊙O 中，有折线OABC ，其中8=OA ，12=AB ，︒=∠=∠60B A ，则弦BC 的长为（ ）。
第24课 圆的基本性质
(2)由 CD＝83AB，可设 CD＝3x，AB＝8x， ∴FG＝CD＝3x. ∵∠AOF＝∠COD，∴AF＝CD＝3x， ∴BG＝8x－3x－3x＝2x. ∵EG∥CF，∴BEEC＝BGGF＝23. ∵BE＝4，∴AC＝EC＝6，∴BC＝6＋4＝10， ∴AB＝ 102－62＝8＝8x，∴x＝1，∴AF＝3x＝3. 在 Rt△ ACF 中，∵AF＝3，AC＝6， ∴CF＝ 32＋62＝3 5， 即⊙O 的直径为 3 5.
⊙O 上的一个动点，且∠ABC＝45°.若 M，N 分别是
AC，BC 的中点，则 MN 的最大值是
．
【答案】
52 2
图 24-6
题型一 点和圆的位置关系
点与圆有三种位置关系：点在圆上，点在圆外，点在 圆内. 判断点与圆的位置关系主要是通过点到圆心的距 离与半径的比较．判断几个点是否在同一个圆上，主要是 看这几个点是否到某一点的距离都相等．
∴CCAE＝CCBA， ∴CA2＝CE·CB＝CE·(CE＋EB)＝1×(1＋3)＝4， ∴CA＝2(负值舍去)． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°， ∴AB＝ CA2＋CB2＝ 22＋42＝2 5， ∴⊙O 的半径为 5.
【类题演练 3】 (2019·株洲)如图 24-11，AB 为⊙O 的直 径，点 C 在⊙O 上，且 OC⊥AB，过点 C 的弦 CD 与 OB 相交于点 E，满足∠AEC＝65°，连结 AD，则∠BAD ＝______．
图 24-10
【解析】 (1)如解图，连结 OD． ∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠DBC． ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC． ∴∠OBC＝∠DBC，∴∠AOC＝∠COD，
︵︵ ∴AC＝CD. (2)如解图，连结 AC．
︵︵ ∵AC＝CD，∴∠CBA＝∠CAD． 又∵∠BCA＝∠ACE，∴△CBA∽△CAE，
圆的基本性质
圆的切线性质
定义
与圆只有一个公共点的直线叫圆的 切线
定理1
圆的切线垂直于经过切点的半径
定理2
圆的切线平分切点和圆心之间的线 段
定理3
圆的切线是曲线上圆在几何中的应用
确定弧长和角度
圆是一个基本的几何图形，在研究弧长、角度和面积等方面 有着广泛应用。
定义
圆的直径是圆内任意两点的最长距离
定理1
圆的直径平分圆周角
定理2
圆的直径是圆内接正多边形的边长
定理3
圆内任意一条直径所在的直线垂直于圆周
圆的中垂线性质
定义
垂直平分圆周的直线叫圆的中垂线
定理2
圆心到圆周上任意一点的距离等于圆内接 正多边形的边心距
定理1
圆心到圆周上任意一点的距离等于圆的半 径
定理3
圆在生活中的应用
工程设计
在工程设计中，经常需要使用圆形零件，如轴承、齿轮等，利用圆的性质可以更 好地设计出这些零件。
测量
圆的周长和面积的计算在生活中也有很多应用，例如测量圆形物体的周长和面积 等。
THANKS
感谢观看
证明定理
圆中的定理如帕斯卡定理、蝴蝶定理等，在证明其他几何结 论时有着重要作用。
圆在代数中的应用
求解方程
圆的一般方程为$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，通过求解方程可以得出圆心坐 标和半径长度。
研究函数
圆在函数中也常出现，例如圆心在原点的圆的一般方程是 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，通过研究函数的性质可以得出更多的结论。
圆的直径是圆周上任意两点间的距离。 圆具有封闭性，即圆的边界是封闭曲线。
最新版：圆的基本性质复习
3.同圆或等圆中：圆心角、弧、弦三者关系定理
在同圆或等圆中，如果两个 圆心角 ，两条弧 、 两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各 组量都分别相等． 知“一”得“二”，用来
D O
证明：
∵ ∠COD =∠AOB 等角 ∴
︵ =︵ AB CD
AB=CD
等弧 等弦
C A
B
4.圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相 等， 都等于这条弧所对的圆心角的一半．
F
G
C B2
●
A
B1
D
例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆
心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。5
B “垂线段OC”看做直径：
构造Rt△，运用 “勾股 定理及垂径定理”解题。
C半弦长4 A
弦心距3 半径
O
【例 2】
某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修
人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径。如图所 示是水平放置的破裂管道有水部分的截面．若这个输水 管道有水部分的水面宽AB＝16 cm，水面最深地方的高度
AB为直径
∠C= 900
3.在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 E
F
A
●
O
∵AB=CD ∴∠E=∠F ∵∠E=∠F ∴AB=CD
C
B D 圆周角相等
弧相等
6.圆内接四边形性质定理
圆内接四边形对角和互为补角（1800）； 一个外角等于它的内对角。 C D
内对角
●
外角 E
O
A
B
∵四边形ABCD内接于圆O ∴∠A+∠C=∠B+∠D=1800
为4 cm，求这个圆形截面的半径．
第一节 圆的基本性质
情况
圆心在圆周 角一条边上
圆心在圆 周角内部
理
圆心在圆 周角外部
图形
结论
∠APB = 15
1 AOB 2
推论1
推论2
半圆（或直径）所对
圆 内容 同弧或等弧所对的 的圆周角是⑯ 90°，
周
圆周角相等
90°的圆周角所对的
角
弦是⑰直径
推 论
表现 如∴∠图1，=(⑱1)∵∠2BD； BD
如图，(1)∵AB是直 径,∴∠C=⑲ 90°
及其
h表示弓形高，半径OC与弦AB垂直，则有：
推论 垂径
定理 （1）r=d+h；
简单 （2）r2=( 应用
1 2
1
a)
2
+d
2=( a
2
a)2+(r-h)2；
（3 h）
r
r
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心
圆
内容 角的⑭
1 2
周
角 定
形式 (2)∵DE BD , ∴∠2=∠3
(2)∵∠C=90°,∴AB 是直径
推论1
推论2
圆
周 角
图形
推
论 (1)连直径,得直角;
作用 证明圆周角相等 (2)确定圆的直径
1.如果一个多边形的所有顶点都在同一个 圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形 圆的内接 多边形
2.圆内接四边形的对角⑳ 互补
第六章 圆
第一节 圆的基本性质
考点精讲
与圆有关的概念及性质
圆 弧、弦、圆心角之间的关系
的 基
垂径定理及其推论
定理
本 性 质
圆周角定理及其推论 推论
圆的内接多边形 圆与多边形
人教版数学九年级上册第24课时 圆的基本性质(ppt版)-课件
【温馨提示】1.应用定理时一定注意“在同圆或等圆中” 同时要注意一条弦对着两条弧． 2．弦心距、半径、弦的一半构成的直角三角形，常用 于求未知线段或角，为构造这个直角三角形，常连接半 径或作弦心距，利用勾股定理求未知线段长．
提分必练
2．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A＝50°，则
∠BOC＝( A )
提分必练
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC＝40°， 则∠AOC的度数为( D ) A．20° B．40° C．60° D．80°
提分必练
5．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝
30°，∠APD＝70°，则∠B等于( C ) A.30° B. 35° C. 40° D. 50°
第一部分 夯实基础 提分多
第六单元 圆
第24课时 圆的基本性质
基础点巧练妙记 基础点 1 圆的相关的概念及性质
1．圆的基本概念(参考图(1)) (1)定义：平面内到定点距离等于定长的所 有点组成的图形叫做圆，这个定点叫做圆 心，定长叫做半径，即O为圆心，OA为半 径．
(2)弧、劣弧、优弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧， 简称弧．其中，小于半圆的部分叫做劣弧，A F 为劣弧； 大于半圆的部分叫做①__优__弧__，A E F 为优弧． (3)圆心角：顶点在圆心，角的两边都与圆相交的角叫做 圆心角，∠AOF叫做A F 所对的圆心角． (4)圆周角：顶点在圆上，角的两边都与圆相交的角叫做 圆周角，∠AEF为A F 所对的圆周角．
2．在遇到与直径有关的问题时，一般要构造直径所对 的圆周角，这样可以由直径转化出直角，从而解决问 题．
4．圆内接四边形的性质
(1)圆内接四边形的对角⑪_互__补_，如图(2)，∠A＋∠BCD ＝⑫1_8_0_°_，∠B＋∠D＝⑬1_8_0_°___；
九年级数学上册(人教版)第二十四章《圆》课件
O A 2023/1/4
︵ ︵ D ∵ ∠COD =∠AOB ∴ AB = CD C ∴AB=CD
．r
O
S = nπr2
360
2023/1/4
或
S
=
1
2
lr
4.圆柱的展开图:
A
D
h Br C
S侧 =2πr h S全=2πr h+2 π r2
2023/1/4
5.圆锥的展开图:
a h
r S侧 =πr a S全=πr a+ π r2
2023/1/4
a 侧面
底面
常见的基本图形及结论:
AC
A
2023/1/4
构成等腰解疑难； 灵活应用才方便。
2023/1/4
典型例题:
1.如图, ⊙O的直径AB=12,以OA为直径的 ⊙O1交大圆的弦AC于D,过D点作小圆的 切线交OC于点E,交AB于F.
C
DE A O1 O F B
(1)说明D是AC的中点.
(2)猜想DF与OC的位 置关系,并说明理由. (3)若DF=4,求OF的长.
． (3)弦心距
O
2023/1/4
二. 圆的基本性质 1.圆的对称性: (1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直 线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. (2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转 任何一个角度都能与自身重合,即圆具 有旋转不变性.
．
2023/1/4
2.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:
初中数学重点梳理：圆的基本性质
圆的基本性质知识定位圆在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识如圆与正多边形的关系，圆心角、三角形外接圆、弧、弦、弦心距间的关系，垂径定理是今后我们学习综合题目的重要基础。
圆的基本性质以及应用，必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中圆相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、圆的定义：（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 随之转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．⊙”，（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O读作“圆O”。
（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：同圆或等圆的半径相等．2、弦和弧：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．、为端点的圆弧记作AB，读作（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B弧AB．（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3、垂径定理：（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．4、圆心角和圆周角：（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．（3）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（4）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．5、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。
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圆的基本性质几何定义：线段AB绕点A旋转一周得到的图形叫做圆，其中，点A为圆心，AB 为半径。
集合定义：平面内到固定点等于定长的点的集合。
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作 AC”，读作“圆弧 AC”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示 ABC叫做优弧，•小于半圆的弧（如图所示） AC或 BC叫做劣弧．注意：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用．圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角，叫做圆心角。
弧度：圆弧所对应的圆心角。
有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，•相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角，叫做圆周角。
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．圆周角定理推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
例1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中 CD，点O是 CD的圆心，•其中CD=600m，E为 CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．例2.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=•60m ，水面到拱顶距离CD=18m ，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由．2∠和°，求例5.如图已知BC 为直径，G 为半圆上任一点，A 为⋂BG 中点，AP ⊥BC 于P ，求证：AE=BE=EF 。
课堂同步：1.如图，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（ ）．A ．CE=DEB ． BCBD = C ．∠BAC=∠BAD D ．AC>AD2．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．83．如图，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，•则下列结论中不正确的是（）A．AB⊥CD B．∠AOB=4∠ACD C．D．PO=PDAD BD4.下列命题中，真命题的个数为（）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③900的圆周角所对的弦是直径；④直径所对的角是直角；⑤圆周角相等，则它们所对的弧也相等；⑥同弧或等弧所对的圆周角相等．A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个5.如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都不对6.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD关系是（）A. AB=2 CDB. AB> CDC. AB<2 CDD.不能确定7.如图，⊙O中，如果 AB=2 AC，那么（）A．AB=AC B．AB=AC C．AB<2AC D．AB>2AC8.如图，A, B, C, D 是同一个圆上的顺次四点，则图中相等的圆周角共有（）A.2对B.4 对C.8 对D.16对9.如图，MN是半圆O的直径，K是MN延长线上一点，直线KP交半圆于点Q，P．若∠K=200，∠PMQ =400，则∠MQP等于（）A. 300B. 350C. 400 D . 50010.如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，且AB ≠AC ，∠ABC 和∠ACB 的平分线分别交⊙O 于点D, E ，且BD=CE ，则∠A 是（ )A.300B.450C.600D.90011.如图,⊙O 的直径为10cm,弦AB 为8cm,P 是弦AB 上一点,若OP 的长为整数, 则满足条件的点P 有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个12.如图，AB 为⊙O 直径，E 是 BC 中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____． 13.P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．14.如图,⊙O 的直径为10,弦AB=8,P 是弦AB 上的一个动点,那么OP 长的取值范围是_____.15.如图，A, B, C, D 是⊙O 上的点，已知∠1=∠2，则与AD 相等的弧是 ，与 BCD 相等的弧是 ，于是AD= , BD= .16.如图，AB 是半圆O 的直径， AC =600, 020BE =，∠AFC=∠BFD ，∠AGD=∠BGE ，则∠FDG 的度数为 .17.如图，以ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交BC 、AD 于E 、F ，若∠D=50°，求 BE的度数和 EF 的度数．18.如图， AB 是⊙O 的直径，C, D 是AB 上的点，且AC=BD; P ，Q 是⊙O 上在AB同侧的两点，且 AP BQ=,延长PC, QD 分别交⊙O 于点M, N ．求证： AM BN =.19.如图，Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 、AD 的长。
20.如图，BC 是⊙O 的直径，弦 AE ⊥BC ，垂足为点D, 12AB BF=,AE 与BF 相交于点G.求证：(1) BEEF =；(2)BG=GE课后练习：1.如果两条弦相等，那么（ ） A ．这两条弦所对的弧相等 B ．这两条弦所对的圆心角相等 C ．这两条弦的弦心距相等D ．以上答案都不对2.在⊙O 中，圆心角∠AOB=90°，点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径的长为（ ）A ．42B ．82C ．24D ．163.下列说法正确的是（ ）A ．顶点在圆上的角是圆周角B ．两边都和圆相交的角是圆周角C ．圆心角是圆周角的2倍D ．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半4.下列说法错误的是（ ）A ．等弧所对圆周角相等B ．同弧所对圆周角相等C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等 D．同圆中，等弦所对的圆周角相等5.如图，已知AB是半圆O的直径，∠BAC=200, D是 AC上任意一点，则∠D的度数是（）A . 1200 B. 1100 C .1000 D. 9006.如图所示的暗礁区，两灯塔A, B之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S）不进入暗礁区，那么S 对两灯塔A, B的视角∠ASB 必须 ( )A．大于600 B．小于600 C．大于300 D．小于3007.如图，AC是⊙O的直径，点B, D在⊙O上，那么图中等于12∠BOC的角有（）A. l 个B. 2 个C.3 个D. 4 个8.如图，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（）A．3：2 B．5：2 C．5：2D．5：49.如图,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( )A.0条B.1条C.2条D.4条10.如图，已知AB 是⊙O的直径，CD与AB相交于点E，∠ACD=600，∠ADC=500 ，则∠AEC= ．11.已知3cm长的一条弦所对的圆周角是1350 , 那么圆的直径是12.如图， AB, AC, AD是⊙O的三条弦，E是 AB上一点，AD是∠BAC的平分线，且∠BAC=600，则∠BED13.在⊙O中，直径CD＝15cm，弦AB⊥CD于点M，OM∶MD＝3∶2，则AB的长是14.若圆中一弦与弦高之和等于直径，弦高长为1，则圆的半径长为15.圆内一弦与直径相交成300的角，且分直径为1 cm和5 cm两段，则此弦长为16.如图，A, B, C为⊙O上三点，∠BAC=1200，∠ABC=450 , M, N 分别为BC, AC 的中点，则OM:ON的值为17.如图，⊙O中，半径CO垂直于直径AB，D为OC的中点，过D作弦EF∥AB，则∠CBE＝18.如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、DM•⊥CD，•分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由．19.如图，∠AOB=90°，C、D是AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD．20.如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．21.如图， A, B, C, D四点都在⊙O上， AD是⊙O的直径，且AD=6cm，若∠ABC=∠CAD．求弦AC的长．22.如图,⊙O表示一圆形工件,AB=15cm,OM=8cm,并且MB:MA=1:4, 求工件半径的长.23.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.24.如图，AB是半圆的直径，AC为弦，OD⊥AB，交AC于点D，垂足为O，⊙O的半径为4，OD=3，求CD的长．25.半径为5cm的⊙O中,两条平行弦的长度分别为6cm和8cm.则这两条弦的距离为多少?26.如图，公路MN和公路PQ在P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/时，那么学样受影响的时间为多少秒？27.如图，在⊙O中，两弦AC、BD垂直相交于M，若AB＝6，CD＝8，求⊙O的半径。
能力提高：1.在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为2和3，则∠BAC的度数为2.AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=•8，•求∠DAC 的度数．3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=2∠A ,BM平分∠ABC交外接圆于点M , ME//BC 交AB于点E．试判断四边形EBCM的形状，并加以证明.4.已知AB、CD为⊙O的弦,且AB⊥CD，AB将CD分成3cm和7cm两部分，求：圆心O到弦AB的距离.5.如图,点A是半圆上的三等分点,B是 BN的中点,P是直径MN上一动点.⊙O的半径为1,问P在直线MN上什么位置时,AP+BP的值最小?并求出AP+BP的最小值.6.如图，在△ABC中，AD, BE, CF是三条高，交点为H，延长AH交外接圆于点M，试证：DH =DM7.如图，⊙O的半径为10cm，G是直径AB上一点，弦CD经过点G，CD＝16cm，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求AE－BF的值。