离散数学知识汇总
离散知识点公式总结
离散知识点公式总结1. 集合论集合是离散数学中的基本概念，它是由一些确定的对象所组成的一个整体。
集合之间的运算包括并集、交集、差集、补集等。
其相关公式如下：- 并集：对于集合A和B，它们的并集定义为包含A和B中所有元素的集合，记作A∪B。
公式：A∪B={x|x∈A或x∈B}- 交集：对于集合A和B，它们的交集定义为同时属于A和B的所有元素的集合，记作A∩B。
公式：A∩B={x|x∈A且x∈B}- 差集：对于集合A和B，A与B的差集定义为属于A但不属于B的元素所组成的集合，记作A-B。
公式：A-B={x|x∈A且x∉B}- 补集：对于集合A，相对于全集合U而言，A的补集定义为全集合中不属于A的元素所组成的集合，记作A'。
公式：A'={x|x∈U且x∉A}2. 关系和函数关系是一种描述元素之间的对应关系的数学工具，而函数则是一种特殊的关系。
在离散数学中，关系和函数的定义和性质是非常重要的内容。
其相关公式如下：- 关系R：对于集合A和B，关系R定义为A和B的笛卡尔积中的元素对所组成的集合。
公式：R={(a,b)|a∈A且b∈B}- 函数f：对于集合A和B，如果f是从A到B的一个映射，那么对于任意元素a∈A，都有唯一的元素b∈B与之对应。
公式：f:A→B3. 图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是由顶点和边组成的数学结构。
图论的基本概念包括图的类型、路径和回路、连通性、树等。
其相关公式如下：- 有向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是有方向的，则称G为有向图。
公式：G=(V,E)，E={(u,v)|u,v∈V，u→v}- 无向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是无方向的，则称G为无向图。
公式：G=(V,E)，E={{u,v}|u,v∈V，u≠v}- 路径：在图G中，顶点v1,v2,...,vn的一个路径是图G中的一个顶点序列，其中相邻的顶点用一条边连接。
公式：v1,v2, (v)- 回路：在图G中，如果一条路径的起点和终点是同一个顶点，则称其为回路。
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结总结离散数学知识点第二章命题逻辑1.→，前键为真，后键为假才为假；，相同为真，别同为假；2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积；3.求极小项时，命题变元的确信为1，否定为0，求极大项时相反；4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能浮现一次，求极小项时变元别够合取真，求极大项时变元别够析取假；5.求范式时，为保证编码别错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写；6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取；8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；9.推证蕴含式的办法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假)10.命题逻辑的推理演算办法：P规则，T规则①真值表法；②直截了当证法；③归谬法；④附加前提法；第三章谓词逻辑1.一元谓词：谓词惟独一具个体，一元谓词描述命题的性质；多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；第四章集合1.N，表示自然数集，1,2,3……，别包括0；2.基：集合A中别同元素的个数，|A|；3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)；4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2；5.集合的分划：(等价关系)①每一具分划基本上由集合A的几个子集构成的集合；②这几个子集相交为空，相并为全(A)；6.集合的分划与覆盖的比较：分划：每个元素均应浮现且仅浮现一次在子集中；覆盖：只要求每个元素都浮现，没有要求只浮现一次；第五章关系1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基2种别同的关系；数为mn，A到B上能够定义mn2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个别同的关系；3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性；空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性；4.前域(domR)：所有元素x组成的集合；后域(ranR)：所有元素y组成的集合；5.自反闭包：r(R)=RUI;x对称闭包：s(R)=RU1-R;传递闭包：t(R)=RU2R U3R U……6.等价关系：集合A上的二元关系R满脚自反性，对称性和传递性，则R 称为等价关系；7.偏序关系：集合A上的关系R满脚自反性，反对称性和传递性，则称R 是A上的一具偏序关系；8.covA={|x,y属于A，y盖住x}；9.极小元：集合A中没有比它更小的元素(若存在也许别唯一)；极大元：集合A中没有比它更大的元素(若存在也许别唯一)；最小元：比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)；最大元：比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)；10.前提：B是A的子集上界：A中的某个元素比B中任意元素都大，称那个元素是B的上界(若存在，也许别唯一)；下界：A中的某个元素比B中任意元素都小，称那个元素是B的下界(若存在，也许别唯一)；上确界：最小的上界(若存在就一定唯一)；下确界：最大的下界(若存在就一定唯一)；第六章函数2种别同的关系，有m n种别同的函1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有mn 数；2.在一具有n个元素的集合上，能够有22n种别同的关系，有n n种别同的函数，有n!种别同的双射；3.若|X|=m,|Y|=n，且m,满脚f(a*b)=f(a)^f(b),则f为由到的同态映射；若f是双射，则称为同构；第八章群1.广群的性质：封闭性；半群的性质：封闭性，结合律；含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元；群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元；2.群没有零元；3.阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；4.循环群中幺元别能是生成元；5.任何一具循环群必然是阿贝尔群；第十章格与布尔代数1.格：偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界；2.格的基本性质：1) 自反性a≤a 对偶: a≥a2) 反对称性a≤b ^ b≥a => a=b对偶:a≥b ^ b≤a => a=b3) 传递性a≤b ^ b≤c => a≤c对偶:a≥b ^ b≥c => a≥c4) 最大下界描述之一a^b≤a 对偶avb≥aA^b≤b 对偶avb≥b5）最大下界描述之二c≤a,c≤b => c≤a^b对偶c≥a,c≥b =>c≥avb6) 结合律a^(b^c)=(a^b)^c对偶 av(bvc)=(avb)vc7) 等幂律a^a=a 对偶 ava=a8) 汲取律a^(avb)=a 对偶 av(a^b)=a9) a≤b a^b=a avb=b10) a≤c,b≤d => a^b≤c^d avb≤cvd11) 保序性b≤c => a^b≤a^c avb≤avc12）分配别等式av(b^c)≤(avb)^(avc) 对偶a^(bvc)≥(a^b)v(a^c)13）模别等式a≤c av(b^c)≤(avb)^c3.分配格：满脚a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc)；4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；5.链格一定是分配格，分配格必然是模格；6.全上界：集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格的全上界，记为1；(若存在则唯一)全下界：集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格的全下界，记为0；(若存在则唯一)7.有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；8.补元：在有界格内，假如a^b=0,avb=1，则a和b互为补元；9.有补格：在有界格内，每个元素都至少有一具补元；10.有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格；11.布尔代数：一具有补分配格称为布尔代数；第十一章图论1.邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接；2.关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联；3.平庸图：惟独一具孤立点构成的图；4.简单图：别含平行边和环的图；5.无向彻底图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；有向彻底图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；6.无向彻底图有n(n-1)/2条边，有向彻底图有n(n-1)条边；7.r-正则图：每个节点度数均为r的图；8.握手定理：节点度数的总和等于边的两倍；9.任何图中，度数为奇数的节点个数必然是偶数个；10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；11.每个节点的度数至少为2的图必然包含一条回路；12.可达：关于图中的两个节点v,j v，若存在连接i v到j v的路，则称iv与j v相互可达，也称i v与j v是连通的；在有向图中，若存在i v到j v i的路，则称v到j v可达；i13.强连通：有向图章任意两节点相互可达；单向连通：图中两节点至少有一具方向可达；弱连通：无向图的连通；(弱连通必然是单向连通)14.点割集：删去图中的某些点后所得的子图别连通了，假如删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集；割点：假如一具点构成点割集，即删去图中的一具点后所得子图是别连通的，则该点称为割点；15.关联矩阵：M(G)，m是i v与j e关联的次数，节点为行，边为列；ij无向图：点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2；有向图：点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1，关联矩阵的特点：无向图：①行：每个节点关联的边，即节点的度；②列：每条边关联的节点；有向图：③所有的入度(1)=所有的出度(0);16.邻接矩阵：A(G)，a是i v邻接到j v的边的数目，点为行，点为ij列；17.可达矩阵：P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列；P(G)=A(G)+2A(G)+3A(G)+4A(G)可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路；A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1的通路条数；2A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为2的通路条数；3A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为3的通路条数；4A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为4的通路条数；P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数；18.布尔矩阵：B(G)，v到j v有路为1，无路则为0，点为行，点为i列；19.代价矩阵：邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0；20.生成树：只拜访每个节点一次，通过的节点和边构成的子图；21.构造生成树的两种办法：深度优先；广度优先；深度优先：①选定起始点v；②挑选一具与v邻接且未被拜访过的节点1v；③从v动身按邻接方向接着拜访，当遇到一具节点所有邻接1点均已被拜访时，回到该节点的前一具点，再寻求未被拜访过的邻接点，直到所有节点都被拜访过一次；广度优先：①选定起始点v；②拜访与v邻接的所有节点1v,2v,……,k v,这些作为第一层节点；③在第一层节点中选定一具节点v为起点；1④重复②③，直到所有节点都被拜访过一次；22.最小生成树：具有最小权值(T)的生成树；23.构造最小生成树的三种办法：克鲁斯卡尔办法；管梅谷算法；普利姆算法；（1）克鲁斯卡尔办法①将所有权值按从小到大罗列；②先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序；③再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，挑选时要满脚别能浮现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序；④重复③，直到所有节点都被拜访过一次；（2）管梅谷算法(破圈法)①在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图；②在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图；③重复②，直到所有节点都被拜访过一次；（3）普利姆算法①在图中任取一点为起点v，连接边值最小的邻接点2v；1②以邻接点v为起点，找到2v邻接的最小边值，假如最小边值2比v邻接的所有边值都小(除已连接的边值)，直截了当连接，否则退回1。
离散数学的基础知识
离散数学的基础知识离散数学是计算机科学、数学和信息科学的一门重要学科，它研究的是离散结构，即不连续的数学对象，例如集合、图、函数和关系等。
离散数学的基础知识对于我们理解和应用计算机科学中的算法、数据结构、逻辑和推理等方面都至关重要。
本文将介绍离散数学的一些基本概念和应用。
一、集合论在离散数学中，集合是一个重要的概念。
集合是由确定的对象组成的整体，这些对象被称为集合的元素。
集合的运算有并、交、补、差等。
集合还可以用列表、描述法、泛函法等方式表示。
在计算机科学中，集合常用于表示数据的存储和操作。
二、逻辑与命题逻辑是离散数学中的另一个基础知识，它研究的是推理和论证的规律。
逻辑主要包含命题逻辑和谓词逻辑两个方面。
命题逻辑研究的是命题的真假和推理的方法，谓词逻辑则扩展了命题逻辑，研究的是谓词和量词的运算。
命题是一个陈述句，它要么为真，要么为假。
命题可以用真值表、逻辑公式等方式表示。
逻辑运算包括非、与、或、蕴含和等价等。
命题逻辑的推理方法有代入法、消解法、假设法等。
三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是图的性质和图的应用。
图是由节点和边组成的数学模型，用来表示事物之间的关系。
图论主要研究顶点的度、路径的搜索、连通性、环的存在性等问题。
图可以分为有向图和无向图，有向图的边有方向，无向图的边没有方向。
在图中，节点之间的连接关系称为边，边可以有权重。
图的表示方法有邻接矩阵、邻接表等。
图的应用包括网络分析、城市规划、路线规划等。
四、组合数学组合数学是离散数学中的一个分支，它研究的是集合的选择和排列方式。
组合数学在计算机科学中有重要的应用，例如密码学、编码理论和算法设计等方面。
组合数学的基本概念包括排列、组合、二项式系数等。
排列是从一组元素中选取特定顺序的方式，组合是从一组元素中选取特定组合的方式。
二项式系数是计算排列和组合数量的重要方法。
组合数学的应用有很多，包括选择算法、排列算法、图的着色等。
五、数论数论是离散数学中研究整数性质的一个分支，它研究的是整数之间的关系和性质。
离散数学公式及重要知识点
离散数学公式及重要知识点
这里谈论的是离散数学，一门用来探索和研究计算机科学领域中有限集合之间相互关系和操作的数学学科。
它包括概率，组合学，图论，算法理论和程序设计等。
它与连续数学有明显的不同，可以更好地应用到实际的计算机问题中。
离散数学的重要概念包括：基本集合操作，关系和函数，算法，图和树，定理证明，集合论和元素的结构，组合，概率和统计学等。
基本集合操作是离散数学中最重要的概念，它既用于描述有限的项目集，也用于描述和表达集合内部元素之间的关系。
比如，一个集合中元素之间的加法可以表示为一个总和。
算法是离散数学中不可或缺的概念，它是一组步骤，用来解决特定问题。
它们有助于模拟解决实际问题的过程，帮助计算机完成指定任务，并解决特定类型的概率问题。
例如，有一个算法可以确定一小时内最多可以完成多少份工作。
图是另一个离散数学的重要概念，它利用节点和边来表示元素之间的关系。
它们可以用来模拟物理和社会网络/关系，以及实现特定的算法和搜索引擎。
每个节
点都代表一种实体，边表示实体之间的关系。
定理证明是离散数学中另一个非常重要的概念。
它涉及在一定条件下确定假设的真伪，定理有助于发现特定类型的解决方案，特别是那些可以在数学问题中使用的解决方案，这也是离散数学如此重要的原因之一。
离散数学有着多种重要的概念和应用，被用于许多不同的领域。
它的理论和实践得到了计算机科学家们的使用，并成功地应用于操作系统，多媒体，自动导航，视觉计算，建模和可视化，信息安全等。
02324离散数学知识点
02324离散数学知识点
离散数学是研究离散对象和离散结构的数学分支，其知识点包括但不限于集合论、图论、逻辑学、组合数学等。
以下是其中一些重要的知识点：
1. 集合论：集合论是离散数学的基石，它研究集合、集合之间的关系和集合的性质。
2. 图论：图论是离散数学的重要组成部分，它研究图（由节点和边构成的结构）的性质和分类。
3. 逻辑学：逻辑学是离散数学的另一个重要组成部分，它研究推理的规则和形式。
在离散数学中，逻辑通常用于描述和证明一些结构或系统的性质。
4. 组合数学：组合数学是离散数学的一个分支，它研究计数、排列和组合问题。
5. 离散概率论：离散概率论是离散数学的另一个分支，它研究离散随机事件的数学模型。
6. 离散概率分布：离散概率分布是描述离散随机事件发生概率的数学模型。
7. 离散随机变量：离散随机变量是能够取到可数无穷多个值的随机变量。
8. 离散概率空间：离散概率空间是一个集合，它包含一个可数无穷多的元素，每个元素都有一个与之相关的概率值。
9. 离散随机过程：离散随机过程是离散随机事件在时间或空间上的序列。
这些知识点都是离散数学的重要组成部分，它们在计算机科学、数学、物理学等领域都有广泛的应用。
离散数学必备知识点总结资料
离散数学必备知识点总结资料离散数学是指离散的数学概念和结构，独立于连续的数学。
它是在计算机科学、信息科学、数学基础研究、工程技术等领域中的基础课程之一。
以下是离散数学必备的一些知识点总结。
一、逻辑与集合1. 命题与谓词：命题是一个陈述，可以被判断为真或假，而谓词是一种用来描述命题所涉及实体之间关系的语句。
2. 命题逻辑：重点关注命题真假和与或非等运算关系，包括真值表和主范式。
3. 一阶谓词逻辑：注意包含全称量词和存在量词，也包括a|b, a//b等符号的理解。
4. 集合与运算：集合是指不同元素组成的一个整体。
基本的集合运算包括并、交、差等。
5. 关系与函数：关系是一种元素之间的对应关系，而函数是一种具有确定性的关系，即每一个自变量都对应唯一的函数值。
6. 等价关系与划分：等价关系是指满足自反性、对称性和传递性的关系。
划分是指将一个集合分成若干个不相交的子集，每个子集称为一个等价类。
二、图论1. 图的定义和基本概念：图由节点和边构成，节点间的连线称为边。
包括度、路径、连通性等概念。
2. 图的表示方法：邻接矩阵和邻接表。
3. 欧拉图与哈密顿图：欧拉图是指能够一笔画出的图，哈密顿图是指含有一条经过每个节点恰好一次的路径的图。
4. 最短路径与最小生成树：最短路径问题是指在图中找出从一个节点到另一个节点的最短路径。
最小生成树问题是指在图中找出一棵覆盖所有节点的树，使得边权之和最小。
三、代数系统1. 代数结构：包括群、环、域等概念。
2. 群的定义和基本概念：群是在一个集合中定义一种二元运算满足结合律、单位元存在和逆元存在的代数结构。
四、组合数学1. 排列、组合和二项式系数：排列是指从n个元素中任选r个进行排序，组合是指从n个元素中任选r个但不考虑排序，二项式系数是指组合数。
2. 生成函数：将组合数与多项式联系起来的一种工具，用于求出某种算法或结构的某些特定函数。
3. 容斥原理：一个集合的容斥原理指在集合的并、交、补之间的关系。
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结 一、各章复习要求与重点第一章 集 合[复习知识点]1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集2、集合的交、并、差、补等运算及其运算律（交换律、结合律、分配律、吸收律、 De Morgan 律等），文氏（V enn ）图3、序偶与迪卡尔积本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明 [复习要求]1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。
2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补等基本运算。
3、掌握集合运算基本规律，证明集合等式的方法。
4、了解序偶与迪卡尔积的概念，掌握迪卡尔积的运算。
[本章重点习题]P5~6，4、6； P14~15，3、6、7； P20，5、7。
[疑难解析] 1、集合的概念因为集合的概念学生在中学阶段已经学过，这里只多了一个幂集概念，重点对幂集加以掌握，一是掌握幂集的构成，一是掌握幂集元数为2n 。
2、集合恒等式的证明通过对集合恒等式证明的练习，既可以加深对集合性质的理解与掌握；又可以为第三章命题逻辑中公式的基本等价式的应用打下良好的基础。
实际上，本章做题是一种基本功训练，尤其要求学生重视吸收律和重要等价式在B A B A ~⋂=-证明中的特殊作用。
[例题分析]例1 设A ，B 是两个集合，A={1，2，3}，B={1，2}，则=-)()(B A ρρ 。
解}}3,2,1{},3,2{},3,1{},2,1{},3{},2{},1{,{)(φρ=A}}2,1{},2{},1{,{)(φρ=B于是}}3,2,1{},3,2{},3,1{},3{{)()(=-B A ρρ例2 设{}{}Φ=,,,,b a b a A ，试求：(1){}b a A ,-； (2)Φ-A ； (3){}Φ-A ； (4){}{}A b a -,； (5)A -Φ； (6){}A -Φ。
解 (1){}{}{}Φ=-,,,b a b a A (2)A A =Φ- (3){}{}{}b a b a A ,,,=Φ- (4){}{}Φ=-A b a , (5)Φ=-ΦA (6){}Φ=-ΦA 例3 试证明()()()()B A B A B A B A ~~~~⋂⋃⋂=⋃⋂⋃ 证明()()()()()()()()()()()()()()()()()()B A B A B A B A B B B A A B A A B B A A B A B A B A ~~~~~~~~~~~~~⋂⋃⋂=Φ⋃⋂⋃⋂⋃Φ=⋂⋃⋂⋃⋂⋃⋂=⋂⋃⋃⋂⋃=⋃⋂⋃第二章 二元关系[复习知识点]1、关系、关系矩阵与关系图2、复合关系与逆关系3、关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性）4、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）5、等价关系与等价类6、偏序关系与哈斯图（Hasse ）、极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界7、函数及其性质（单射、满射、双射）8、复合函数与反函数本章重点内容：二元关系的概念、关系的性质、关系的闭包、等价关系、半序关系、映射的概念 [复习要求]1、理解关系的概念：二元关系、空关系、全关系、恒等关系；掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图、关系的运算。
大一离散数学知识点整理
大一离散数学知识点整理
离散数学是计算机科学和数学交叉的研究领域，涵盖了许多知识点。
在大一阶段，学生需要掌握以下离散数学的知识点：
1.逻辑：包括命题逻辑、谓词逻辑，以及逻辑证明、真值表等基本概念和方法。
2.集合论：包括集合运算、子集关系、函数、映射、等价关系等。
3.图论：包括图的基本概念、连通性、路径、回路、树、最短路径等。
4.组合数学：包括排列、组合、二项式定理、抽屉原理、容斥原理等。
5.数论：包括整除性、最大公约数、最小公倍数、同余、素数等基本概念和方法。
6.离散数学中的应用：包括密码学、计算机算法、人工智能、计算机图形学等。
总的来说，离散数学是计算机科学中必不可少的基础知识之一，学生需要认真学习，牢固掌握，并将其与计算机实践相结合，才能在今后的学习和职业生涯中取得成功。
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离散数学笔记第一章命题逻辑合取析取定义 1. 1。
3否定：当某个命题为真时，其否定为假，当某个命题为假时，其否定为真定义1。
1。
4条件联结词，表示“如果……那么……"形式的语句定义 1. 1。
5双条件联结词，表示“当且仅当"形式的语句定义 1.2。
1合式公式（1）单个命题变元、命题常元为合式公式,称为原子公式。
（2)若某个字符串A 是合式公式，则⌝A、(A)也是合式公式。
(3)若A、B 是合式公式，则A ∧B、A∨B、A→B、A↔B 是合式公式.(4)有限次使用(2）～(3)形成的字符串均为合式公式。
1.3等值式1.4析取范式与合取范式将一个普通公式转换为范式的基本步骤1。
6推理定义 1.6。
1 设 A 与 C 是两个命题公式， 若 A → C 为永真式、 重言式,则称 C 是 A 的有 效结论，或称 A 可以逻辑推出 C ，记为 A =〉 C 。
（用等值演算或真值表)第二章 谓词逻辑2。
1、基本概念∀：全称量词 ∃：存在量词一般情况下, 如果个体变元的取值范围不做任何限制即为全总个体域时， 带 “全称量词"的谓词公式形如”∀x （H(x)→B(x))，即量词的后面为条件式,带“存在量词”的谓词公式形如∃x(H （x)∨WL(x)），即量词的后面为合取式 例题R(x)表示对象 x 是兔子，T （x)表示对象 x 是乌龟, H(x ，y)表示 x 比 y 跑得快,L(x ，y ）表示x 与 y 一样快，则兔子比乌龟跑得快表示为: ∀x ∀y(R （x ）∧T(y)→H(x,y))有的兔子比所有的乌龟跑得快表示为：∃x ∀y （R(x ）∧T(y ）→H （x ，y)）2.2、谓词公式及其解释定义 2.2.1、 非逻辑符号： 个体常元(如 a ，b ，c ）、 函数常元(如表示22y x 的 f （x,y)）、 谓词常元（如表示人类的 H （x ）)。
定义 2。
2。
2、逻辑符号:个体变元、量词(∀∃）、联结词（﹁∨∧→↔）、逗号、括号。
定义 2。
2。
3、项的定义：个体常元、变元及其函数式的表达式称为项（item ）。
定义 2。
2.4、原子公式:设 R （n x x ...1）是 n 元谓词，n t t ...1是项,则 R （t ）是原子公式.原子公式中的个体变元，可以换成个体变元的表达式(项），但不能出现任何联结词与量词，只能为单个的谓词公式。
定义 2。
2。
5 合式公式：(1）原子公式是合式公式;（2）若 A 是合式公式，则(﹁A ）也是合式公式；(3）若 A ，B 合式，则 A ∨B, A ∧B, A →B ， A ↔B 合式(4)若 A 合式，则∀xA 、∃xA 合式(5）有限次使用（2)~(4)得到的式子是合式。
定义 2。
2.6 量词辖域：∀xA 和∃xA 中的量词∀x/∃x 的作用范围，A 就是作用范围。
定义 2。
2。
7 约束变元:在∀x 和∃x 的辖域 A 中出现的个体变元 x ，称为约束变元，这是与量词相关的变元，约束变元的所有出现都称为约束出现.定义 2。
2。
8 自由变元：谓词公式中与任何量词都无关的量词，称为自由变元,它的每次出现称为自由出现。
一个公式的个体变元不是约束变元，就是自由变元。
注意：为了避免约束变元和自由变元同名出现，一般要对“约束变元"改名，而不对自由变元改名.定义 2.2。
9 闭公式是指不含自由变元的谓词公式从本例（已省)可知， 不同的公式在同一个解释下, 其真值可能存在， 也可能不存在， 但是对于没有自由变元的公式(闭公式），不论做何种解释，其真值肯定存在 谓词公式的类型：重言式(永真式）、矛盾式（永假式)、可满足公式三种类型 定义 2.2.10 在任何解释下，公式的真值总存在并为真，则为重言式或永真式。
定义 2。
2。
11 在任何解释下，公式的真值总存在并为假，则为矛盾式或永假式。
定义 2.2.12 存在个体域并存在一个解释使得公式的真值存在并为真，则为可满足式。
定义 2。
2。
13 代换实例 设 n p p p ,...,,21是命题公式 0A 中的命题变元， n A A A ,...,,10是 n 个谓 词公式，用i A 代替公式 0A 中的i p 后得到公式 A ，则称 A 为 0A 的代换实例.如 A （x ）∨﹁A(x ），∀xA(x) ∨﹁∀ xA （x)可看成 p ∨﹁ p 的代换实例，A(x) ∧﹁A （x ）,∀xA （x) ∧﹁ ∀x A(x ）可看成 p ∧﹁ p 的代换实例。
定理 2.2.1 命题逻辑的永真公式之代换实例是谓词逻辑的永真公式， 命题逻辑的永假公式之代换实例是谓词逻辑的永假式。
（代换前后是同类型的公式）2.3、谓词公式的等值演算定义 2.3.1 设 A 、B 是两个合法的谓词公式，如果在任何解释下，这两个公式的真值都相等,则称 A 与 B 等值，记为 A ⇔ B 。
当 A ⇔B 时，根据定义可知,在任何解释下,公式 A 与公式 B 的真值都相同,故 A ↔B 为永真式，故得到如下的定义。
定义 2。
3。
2 设 A 、B 是两个合法谓词公式，如果在任何解释下， A ↔ B 为永真式, 则 A 与 B 等值,记为 A ⇔ B 。
一、利用代换实例可证明的等值式(p ↔﹁﹁p 永真，代换实例∀ xF(x) ↔﹁﹁∀ xF(x ）永真) 二、个体域有限时，带全称量词、存在量词公式的等值式如：若D=｛n a a a ,...,,21 ｝，则∀ xA(x) ⇔ A （1a ）∧A(2a )∧…∧A(n a ） 三、量词的德摩律1、﹁∀xA （x) ⇔ ∃x ﹁A(x ）2、﹁∃xA （x) ⇔ ∀x ﹁A （x) 四、量词分配律1、∀x （A （x ）∧B(x)） ⇔ ∀xA （x)∧∀xB(x ）2、∃x （A （x)∨B （x)） ⇔ ∃xA （x ）∨∃xB(x ） 记忆方法：∀与∧，一个尖角朝下、一个尖角朝上,相反可才分配。
2 式可看成 1 式的对偶式 五、量词作用域的收缩与扩张律A(x)含自由出现的个体变元 x ，B 不含有自由出现的 x ，则有：1、∀/∃(A(x ）∨B) ⇔ ∀/∃A(x)∨B2、∀/∃(A （x ）∧B ） ⇔ ∀/∃A(x)∧B 对于条件式 A(x ）↔B ， 利用 “基本等值一" 将其转换为析取式, 再使用德摩律进行演算六、置换规则若 B 是公式 A 的子公式，且B ⇔ C ，将 B 在 A 中的每次出现,都换成 C 得到的公式记为 D ，则 A ⇔D 七、约束变元改名规则将公式 A 中某量词的指导变元及辖域中约束变元每次约束出现,全部换成公式中未出现的字母,所得到的公式记为 B ，则 A B 例证明步骤:2。
4、谓词公式的范式从定理证明过程,可得到获取前束范式的步骤: （1）剔除不起作用的量词；（2）如果约束变元与自由变元同名，则约束变元改名；（3）如果后面的约束变元与前面的约束变元同名，则后的约束变元改名； (4)利用代换实例,将→、↔转换﹁∨∧表示；(5)利用德摩律，将否定﹁深入到原子公式或命题的前面；(6）利用量词辖域的扩张与收缩规律或利用量词的分配律，将量词移到最左边2.5、谓词推理定义 2.5.1 若在各种解释下 B A A A n →∧∧...21只能为真即为永真,则称为前提n A A A ...21∧∧可推出结论 B 。
定义 2。
5.2 在所有使 n A A A ...21∧∧ 为真的解释下,B 为真，则称为前提 n A A A ...21∧∧可推出结论 B 。
谓词逻辑的推理方法分为以下几类：一、谓词逻辑的等值演算原则、规律：代换实例、量词的德摩律、量词的分配律、量词辖域的扩张与收缩、约束变元改名。
二、命题逻辑的推理规则的代换实例，如假言推理规则、传递律、合取与析取的性质律、CP 规则、反证法等。
三、谓词逻辑的推理公理第三章集合与关系3.1、基本概念在离散数学称“不产生歧义的对象的汇集一块”便构成集合。
常用大写字母表示集合, 如R 表示实数，N 表示自然数, Z 表示整数，Q 表示有理数，C 表示复数。
描述一个集合一般有“枚举法" 与“描述法" ，“枚举法”。
元素与集合之间有“属于∈”或“不属于∉”二种关系。
定义 3.1.1设A，B 是两个集合,如果 A 中的任何元素都是B 中的元素，则称A 是B的子集，也称B 包含于A，记为B⊆A，也称A 包含B，记为A⊇B。
3。
2集合运算性质定义 3。
2。
1 设 A 、B 为集合，A 与 B 的并集 A ⋃B 、A 与 B 的的交集 A ⋂B 、A —B 的定 义：A ⋃B=｛x ｜x ∈A ∨x ∈B}，A ⋂B=｛x|x ∈A ∧x ∈B}，A —B={x ｜x ∈A ∧x ∉B}定 义 3。
2.2 设 A 、 B 为 集 合 ， A 与 B 的 对 称 差 ， 记 为 A ⊗B=｛x|(x ∈A ∧x ∉B ）∨（ x ∉A ∧x ∈B ）}= A ⋃B - A ⋂B 。
定义 3。
2。
3 设 A 、B 是两个集合，若 A ⊆B 、B ⊆A 则 A=B ，即两个集合相等. 幂等律 A ⋃A=A 、A ⋂A=A结合律A ⋃B ⋃C= A ⋃(B ⋃C)= (A ⋃B)⋃C A ⋂B ⋂C= A ⋂(B ⋂C ）= （A ⋂B)⋂C交换律 A ⋃B=B ⋃A 、A ⋂B=B ⋂A 分配律 A ⋃（B ⋂C ）=（A ⋃B)⋂（A ⋃C ）A ⋂（B ⋃C ）=(A ⋂B ）⋃（A ⋂C)同一/零律 A ⋃Ø = A 、A ⋂Ø= Ø 排中/矛盾律 A ⋃⌝A=E 、A ⋂⌝A= Ø吸收律（大吃小） A ⋂(B ⋃A)=A 、 A ⋃（B ⋂A ）=A 德摩律 ⌝ (A ⋂B)= ⌝A ⋃⌝B 、⌝ （A ⋃B)= ⌝A ⋃⌝B 双重否定 ⌝⌝A=A 3。
3、有穷集的计数定理 3.3。
1 二个集合的包含排斥原理 |21A A ⋃ ｜ = |1A ｜ + ｜2A ｜ - |21A A ⋂｜3。
4、序偶定义 3.4.2 令<x ，y>与〈u,v 〉是二个序偶，如果 x=u 、y=v ，那么〈x,y>=〈u ，v 〉即二个序偶相等。
定义 3。
4.3 如果〈x ，y 〉是序偶，且〈〈x ，y>，z 〉也是一个序偶，则称〈x ，y ，z>为三元组。
3。
5、直积或笛卡尔积定义 3。
5。
1 令 A 、B 是两个集合， 称序偶的集合｛〈x ，y 〉｜x ∈A ， y ∈B ｝为A 与B 的直积或笛卡尔积，记为 A ⨯B.如：A={1,2，3｝，B=｛a,b,c ｝则A ⨯B={1，2,3}⨯｛a ，b,c ｝={<1,a 〉，<1,b 〉，<1,c>，〈2，a>,<2，b 〉,<2,c>,〈3，a 〉，〈3,b>,<3,c 〉} 直积的性质1、A ⨯（B ⋃C ）= A ⨯ B ⋃ A ⨯ C2、A ⨯ （B ⋂C)= A ⨯ B ⋂ A ⨯ C3、（B ⋃ C ） ⨯ A = B ⨯ A ⋃ C ⨯ A4、(B ⋂ C) ⨯ A = B ⨯ A ⋂ C ⨯ A5、A ⊆B ⇔A ⨯C ⊆ B ⨯ C ⇔ C ⨯ A ⊆ C ⨯ B6、A ⊆B ，C ⊆D ⇔A ⨯ C ⊆ B ⨯ D定义 3.5。