人教版高一数学必修一复习测试题及参考答案
人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(55)
人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,3,4,5}，B={2,3,6,7}，则B∩∁U A=( )A．{1,6}B．{1,7}C．{6,7}D．{1,6,7}2.对x∈R都成立的不等式是( )A．√x2+1≥√2x B．x2+1>2x C．1x2+1<1D．x2+4≥4x3.已知圆C:x2+y2=2，直线l:x−y+m=0，则“l与C相交”是“m<2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.下列区间中，函数f(x)=7sin(x−π6)单调递增的区间是( )A．(0,π2)B．(π2,π)C．(π,3π2)D．(3π2,2π)5.已知集合A={1,2,3}，B={1,2}，那么集合A∩B等于( )A．{3}B．{1,2}C．{1,3}D．{1,2,3} 6.下列不等式一定成立的是( )A．lg(x2+14)>lgx(x>0)B．sinx+1sinx≥2(x≠kπ,k∈Z)C．x2+1≥2∣x∣(x∈R)D．1x2+1>1(x∈R)7.函数y=2cos(2x+π4)的图象( )A．关于原点对称B．关于点(−3π8,0)对称C．关于y轴对称D．关于直线x=π4对称8.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)+a2cosωx(a>0,ω>0)，对任意x∈R，都有f(x)≤√3，若f (x ) 在 [0,π] 上的值域为 [32,√3]，则 ω 的取值范围是 ( )A ． [16,13]B ． [13,23]C ． [16,+∞)D ． [12,1]9. 已知集合 A ={x∣ x 2−2x −8<0}，B ={x∣ 2x −1>0}，则 A ∩B = ( ) A ． (−∞,−2) B ． (−2,12) C ． (4,+∞)D ． (12,4)10. −300∘ 的弧度数是 ( ) A ． −π6B ． −π3C ． −5π6D ． −5π3二、填空题（共10题）11. 函数 y =sin (2x −π6) 的最小正周期为 ．12. 已知 f (x )=ax 2+bx 是定义在 [a −1,2a ] 上的偶函数，则 a +b 的值是 ．13. 坐标平面内的点 (m 2,m ) 不在平面区域 x −3y +2>0 内，则 m 的范围是 ．14. 设函数 f (x )={32x −2x,x <2log 4(x 2−1),x ≥2,，则 f [f (3)]= ．15. 若函数 f (x )=log 2x +x −k (k ∈Z ) 在区间 (2,3) 内有零点，则 k = ．16. 已知集合 M ={x∣−4<x <2}，N ={x ∣x 2−x −6=0}，则 M ∩N = ．17. 已知函数 f (x )=sin (kx 5+π3)，其中 k ∈N ∗，当 x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f (x ) 至少有一个最大值与一个最小值，那么 k 的最小值为 ．18. 函数 y =(12)x 2−2的值域是 ．19. 用“>”“<”号填空：如果 a >b >0>c ，那么 ca cb ．20. 集合 {x∣ cos (πcosx )=0,x ∈[0,π]}= ．（用列举法表示）三、解答题（共10题）21. 已知集合 A ={x ∣1<ax <2}，B ={x ∣−1<x <1}，求满足 A ⊆B 的实数 a 的取值范围．22. 已知集合 A 含有两个元素 1 和 a 2，若 a ∈A ，求实数 a 的值．23. 已知集合 A ={x∣ x 2−4<0}，B ={x∣ (x −2a )(x +a )<0}(a >0)．(1) 若 a =1，求 A ∩B ；(2) 若 B ⊆A ，求实数 a 的取值范围．24. 已知函数 f (x )={−x 2+x,x ≤1log 13x,x >1，g (x )=∣x −k∣+∣x −2∣，若对任意的 x 1,x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2) 成立，求实数 k 的取值范围．25. 定义在 (−∞,0)∪(0,+∞) 上的函数 y =f (x ) 满足 f (xy )=f (x )−f (y )，且函数 f (x ) 在(0,+∞) 上是增函数．(1) 求 f (−1)，并证明函数 y =f (x ) 是偶函数． (2) 若 f (4)=2，解不等式 f (x −5)−f (3x )≤1．26. 我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v =5log 2O10，单位是 m/s ，其中 O 表示燕子的耗氧量． (1) 计算当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2) 当一只燕子的耗氧量是 40 个单位时，它的飞行速度是多少？27. 判断下列函数是否为幂函数．（1）y =x 4；（2）y =1x 2；（3）y =x −2；（4）y =x 12；（5）y =2x 2；（6）y =x 3+2；（7）y =1；（8）y =√x ．28. 已知 f (x )=x 2，g (x )=x ，求函数 p (x )=f (x )⋅g (x )，并画出其图象．29. 如何理解区间的概念？30.某商店某种商品（以下提到的商品均指该商品）进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件，商店为使销售该商品的月利润最高，每件商品定价应为多少元？答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【知识点】交、并、补集运算2. 【答案】D【解析】对于A项，x≥0，故错误；当x=1时，x2+1=2x，故B项错误；当x=0时，1x2+1=1，故C项错误；对于D项，当x∈R时，x2+4≥4x恒成立，故正确．【知识点】不等式的性质3. 【答案】A【解析】“l与C相交”⇔√2<√2，解得−2<m<2．所以“l与C相交”是“m<2”的充分不必要条件．【知识点】充分条件与必要条件4. 【答案】A【解析】因为函数y=sinx的单调递增区间为(2kπ−π2,2kπ+π2)(k∈Z)，对于函数f(x)=7sin(x−π6)，由2kπ−π2<x−π6<2kπ+π2(k∈Z)，解得2kπ−π3<x<2kπ+2π3(k∈Z)，取k=0，可得函数f(x)的一个单调递增区间为(−π3,2π3)，则(0,π2)⊆(−π3,2π3)，(π2,π)⊄(−π3,2π3)，A选项满足条件，B不满足条件；取k=1，可得函数f(x)的一个单调递增区间为(5π3,8π3)，(π,3π2)⊄(−π3,2π3)且(π,3π2)⊄(5π3,8π3)，(3π2,2π)⊄(5π3,8π3)，CD选项均不满足条件．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质5. 【答案】B【知识点】交、并、补集运算6. 【答案】C【解析】 x =12时，A 中的不等式不成立；x =π2时，B 中的不等式不成立；x =1 时，D 中的不等式不成立；选C ．【知识点】均值不等式的应用7. 【答案】B【解析】由 2x +π4=kπ，得到函数图象的对称轴方程为 x =kπ2−π8(k ∈Z )．把 x =0 代入，得 k =14∉Z ；把 x =π4 代入，得 k =34∉Z ．由此可排除C 、D ．由 2x +π4=kπ+π2，得到函数图象的对称中心的横坐标为 x =kπ2+π8(k ∈Z )．把 x =0，得 k =−14∉Z ，故排除A ； 把 x =−3π8代入，得 k =−1∈Z ，故B 正确．故选B ．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质8. 【答案】A【解析】 f (x )=sin (ωx +π6)+a2cosωx =√32sinωx +a+12cosωx ，f (x )max=√3=√(√32)2+(1+a 2)2，因为 a >0，所以 a =2，所以 f (x )=√3sin (ωx +π3)． 因为 0≤x ≤π，ω>0，所以 π3≤ωx +π3≤ωπ+π3， 因为 32≤f (x )≤√3，所以π2≤ωπ+π3≤2π3，所以 16≤ω≤13．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质9. 【答案】D【解析】因为 A ={x∣ x 2−2x −8<0}={x∣ −2<x <4}，B ={x∣ 2x −1>0}={x∣ x >12}，所以 A ∩B ={x∣ 12<x <4}．【知识点】二次不等式的解法、交、并、补集运算10. 【答案】D【知识点】弧度制二、填空题（共10题） 11. 【答案】 π【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质12. 【答案】 13【解析】依题意 b =0，且 2a =−(a −1)，所以 a =13，则 a +b =13． 【知识点】函数的奇偶性13. 【答案】 [1,2]【知识点】二次不等式的解法14. 【答案】 24【解析】先求 f (3)=log 48=32，再求 f (32)=33−3=24，即 f [f (3)]=24．【知识点】分段函数15. 【答案】 4【解析】因函数 f (x ) 在区间 (2,3) 内递增，则 f (2)f (3)<0，即 (log 22+2−k )⋅(log 23+3−k )<0，整理得 (3−k )⋅(log 23+3−k )<0， 解得 3<k <3+log 23，而 4<3+log 23<5． 因为 k ∈Z ，所以 k =4．【知识点】对数函数及其性质、零点的存在性定理16. 【答案】 {−2}【解析】 M ={x∣−4<x <2}，N ={x ∣x 2−x −6=0}={−2,3}，∴M ∩N ={−2}． 【知识点】交、并、补集运算17. 【答案】 32【解析】因为 T =10πk，且任意两个整数间的距离都大于等于 1，所以 T =10πk≤1，解得 k ≥10π， 取 k =32．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质18. 【答案】 (0,4]【解析】设 t =x 2−2≥−2， 因为 y =(12)t为减函数， 所以 0<(12)t ≤(12)−2=4，故函数 y =(12)x 2−2的值域是 (0,4]．【知识点】函数的值域的概念与求法、指数函数及其性质19. 【答案】 >【知识点】不等式的性质20. 【答案】 {π3,2π3}【知识点】集合的表示方法三、解答题（共10题）21. 【答案】①当 a =0 时，A =∅，满足 A ⊆B ．②当 a >0 时，A ={x ∣∣1a <x <2a }，又因为 B ={x ∣−1<x <1} 且 A ⊆B ， 如图作出满足题意的数轴： 所以 {a >0,1a ≥−1,2a≤1,所以 a ≥2．当 a <0 时，A ={x ∣∣2a<x <1a}，因为 A ⊆B ，如图， 所以 {a <0,2a ≥−1,1a≤1,所以 a ≤−2．综上所述，a 的取值范围是 {a ∣a =0或a ≥2或a ≤−2}．【知识点】包含关系、子集与真子集22. 【答案】由题意可知，a =1 或 a 2=a ．（1）若 a =1，则 a 2=1，这与 a 2≠1 相矛盾，故 a ≠1．（2）若 a 2=a ，则 a =0 或 a =1（舍去），又当 a =0 时，A 中含有元素 1 和 0，满足集合中元素的互异性，符合题意． 综上可知，实数 a 的值为 0．【知识点】元素和集合的关系、集合中元素的三个特性23. 【答案】(1) A =(−2,2)； 当 a =1 时，B =(−1,2)， 所以 A ∩B =(−1,2)．(2) A =(−2,2)，B =(−a,2a )，由 B ⊆A ，得不等式组：{−a ≥−2,2a ≤2, 解得 a ≤1，又因为 a >0， 所以 0<a ≤1．【知识点】交、并、补集运算、包含关系、子集与真子集24. 【答案】对任意的 x 1,x 2∈R ，都有 f (x 1)≤g (x 2) 成立，即 f (x )max ≤g (x )min ．观察 f (x )={−x 2+x,x ≤1log 13x,x >1 的图象可知，当 x =12 时，函数 f (x )max =14．因为 g (x )=∣x −k∣+∣x −2∣≥∣x −k −(x −2)∣=∣k −2∣， 所以 g (x )min =∣k −2∣，所以 ∣k −2∣≥14，解得 k ≤74或 k ≥94．故实数 k 的取值范围是 (−∞,74]∪[94,+∞)．【知识点】函数的最大（小）值、分段函数25. 【答案】(1) 令 x =y ≠0，则 f (1)=f (x )−f (y )=0，再令 x =1，y =−1 可得 f (−1)=f (1)−f (−1)=−f (−1)， 所以 f (−1)=0．令 y =−1 可得 f (−x )=f (x )−f (−1)=f (x )，所以f(x)是偶函数．(2) 因为f(2)=f(4)−f(2)，所以f(2)=12f(4)=1，又f(x−5)−f(3x )=f(x2−5x3)，所以f(x 5−5x3)≤f(2)，因为f(x)是偶函数，在(0,+∞)上单调递增，所以−2≤x 2−5x3≤2，且x2−5x3≠0，解得−1≤x<0或0<x≤2或3≤x<5或5<x≤6．所以不等式的解集为{x∣ −1≤x<0或0<x≤2或3≤x<5或5<x≤6}．【知识点】函数不等式的解法、函数的单调性、函数的奇偶性26. 【答案】(1) 由题意知，当燕子静止时，它的速度v=0，代入题中公式，可得0=5log2O10，解得O= 10个单位．(2) 将耗氧量O=40代入题中公式，得v=5log24010=5log24=10(m/s)．【知识点】函数模型的综合应用27. 【答案】（1）（2）（3）（4）（8）为幂函数，（5）（6）（7）不是幂函数．【知识点】幂函数及其性质28. 【答案】p(x)=x3，定义域为R．其大致图象如下：【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数图象29. 【答案】区间是表示数集的一种形式，因此对于集合的运算仍然成立；区间表示连续的数集，左端点必须小于右端点，开或闭不能混淆；∞是一个符号，而不是一个数，以“−∞”或“+∞”作为区间的一端时，这端必须用小括号．【知识点】函数的相关概念30. 【答案】设应将每件商品定价为x元，其月利润为y元，由题意得：y=(x−40)⋅[500−(x−50)×10]=−10x2+1400x−40000.=70时，y max=9000．当x=−14002×(−10)答：商店为使销售该商品的月利润最高，每件商品应定价70元．【知识点】函数模型的综合应用11。
人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(17)
人教A 版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 若函数 f (x )=x 2−3x −4 的定义域为 [0,m ]，值域为 [−254,−4]，则实数 m 的取值范围是( ) A ． (0,4] B ． [−254,−4]C ． [32,3]D ． [32,+∞)2. 已知 a,b ∈R ，则“ab =0”是“函数“f (x )=x ∣x +a ∣+b 是奇函数”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知集合 A ={−2,−1,0,1,2}，B ={x∣ (x −1)(x +2)<0}，则 A ∩B = ( ) A ． {−1,0} B ． {0,1} C ． {−1,0,1} D ． {0,1,2}4. 已知 f (1x )=11+x ，那么函数 f (x ) 的解析式是 ( ) A ． f (x )=x 1+x (x ≠−1)B ． f (x )=x 1+x （x ≠−1 且 x ≠0）C ． f (x )=11+xD ． f (x )=1+x5. 设 f (x )={√x,0<x <12(x −1),x ≥1若 f (a )=f (a +1)，则 f (1a )= ( )A ． 2B ． 4C ． 6D ． 86. 函数 f (x )=sinx −cos (x +π6) 的值域为 ( )A ． [−2,2]B ． [−√3,√3]C ． [−1,1]D ． [−√32,√32]7. 定义在 R 上的奇函数 f (x ) 满足：f (x )={2x −1,x ∈[0,1)∣x −3∣−1,x ∈[1,+∞)，则函数 g (x )=f (x )−a (0<a <1) 的所有零点之和为 ( ) A ． 2a −1B ． log 2(a −1)C ． log 2(a +1)D ． 2−a −18. 已知函数 f (x )={lnx,x ≥11e (x +2)(x −a ),x <1（a 为常数，e 为自然对数的底数）的图象在点 A (e,1) 处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ． −3−2√2<a <−3+2√2 B ． a <−2 或 −3+2√2<a <23 C ． −3+2√2<aD ． a <−3−2√2 或 −3+2√2<a <239. 已知函数 f (x )=x 2+mx +2，x ∈R ，若方程 f (x )+∣x 2−1∣=2 在 (0,2) 上有两个不等实根，则实数 m 的取值范围是 ( ) A ． (−52,−1)B ． (−72,−1]C ． (−72,−1)D ． (−52,−1]10. 函数 f (x )=2x −1+log 2x 的零点所在区间是 ( ) A ． (18,14)B ． (14,12)C ． (12,1)D ． (1,2)二、填空题（共6题）11. 若函数 f (x )=sin (x +φ)+cosx 为偶函数，则常数 φ 的一个取值为 ．12. 已知函数 f (x )={2x −1,0≤x ≤1f (x −1)+m,x >1在定义域 [0,+∞) 上单调递增，且对于任意 a ≥0，方程 f (x )=a 有且只有一个实数解，则函数 g (x )=f (x )−x 在区间 [0,2n ](n ∈N ∗) 上所有零点的和为 ．13. 将初始温度为 0∘C 的物体放在室温恒定为 30∘C 的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第n 次测量得到的物体温度记为 t n ，已知 t 1=0∘C ．已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为 k ）．给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为 ；（填写模型对应的序号） ① t n+1−t n =ktn −30；② t n+1−t n =k (30−t n )；③ t n+1=k (30−t n )．在上述模型下，设物体温度从 5∘C 上升到 10∘C 所需时间为 a min ，从 10∘C 上升到 15∘C 所需时间为b min，从15∘C上升到20∘C所需时间为c min，那么ab 与bc的大小关系是．（用“>”，“=”或“<”号填空）14.已知A=(−∞,−1)∪(5,+∞)，B=(a,a+4)，若A∪B=A，则实数a的取值范围是．15.函数y=x−√1−2x的最大值为．16.已知f(x)=x5+ax3+bx−8，f(−2)=10，则f(2)=．三、解答题（共6题）17.计算：(1) 0.001−13+1654+(√24)8．(2) 2log32−log3329+log38−log553．(3) 4log23+log128−lg516+lg25−lg(12)−3−ln√e3．18.已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3)．(1) 若f(1)=1，写出f(x)的单调区间；(2) 是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．19.已知函数f(x)=(log4x−3)⋅log44x．(1) 当x∈[14,16]时，求该函数的值域；(2) 令g(x)=f(x)+log4x2−2a⋅log4x，求g(x)在x∈[42,44]的最值．20.已知函数f(x)=2x(x∈R)，记g(x)=f(x)+f(−x)．(1) 解不等式：f(2x)−f(x)≤6；(2) 设k为实数，若存在实数x0∈(1,2]，使得g(2x0)=k⋅g2(x0)−1成立，求k的取值范围；(3) 记ℎ(x)=f(2x+2)+a⋅f(x)+b（其中a，b均为实数)，若对于任意的x∈[0,1]，均有∣ℎ(x)∣≤12，求a，b的值．21.指出下列命题中，p是q的什么条件：(1) p：{x ∣x>−2或x<3}；q：{x ∣x2−x−6=0}．(2) p：a与b都是奇数；q：a+b是偶数；；q：方程mx2−2x+3=0有两个同号且不相等的实根．(3) p：0<m<1322.如图，铁路线上的AB段长100km，工厂C到铁路的距离CA为20km，现要在AB上某一点D处，向C修一条公路，已知铁路每吨千米和公路每吨千米的运费的比为3:5，为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最省，D点应选在何处？答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】如图，作出y=x2−3x−4的图象．由图可知，m∈[32,3]．【知识点】函数的值域的概念与求法、函数的定义域的概念与求法2. 【答案】B【解析】由ab=0⇒a，b中至少有一个为零，由函数f(x)=x∣x+a∣+b是奇函数⇒f(−x)=−f(x)⇒−x∣−x+a∣+b=−x∣x+a∣−b⇒x∣x−a∣−b=x∣x+a∣+b⇒a=b=0，显然由a，b中至少有一个为零，不一定能推出a=b=0，但由a=b=0，一定能推出ab=0，故“ab=0”是“函数f(x)=x∣x+a∣+b是奇函数”的必要而不充分条件．【知识点】函数的奇偶性3. 【答案】A【解析】B={x∣ −2<x<1}，A={−2,−1,0,1,2}；所以A∩B={−1,0}．【知识点】交、并、补集运算4. 【答案】B【解析】令t=1x ，则x=1t（t≠0且t≠−1），所以f(t)=11+1t（t≠0且t≠−1），所以f(x)=xx+1（x≠−1且x≠0）．【知识点】函数的解析式的概念与求法5. 【答案】C【解析】当 a ≥1 时，由 f (a )=f (a +1)，得 2(a −1)=2a ，无解，所以 0<a <1，a +1>1．由 f (a )=f (a +1)，得 √a =2a ，解得 a =14（a =0 舍去），则 f (1a )=f (4)=2×(4−1)=6．【知识点】分段函数6. 【答案】B【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质7. 【答案】C【知识点】函数的零点分布8. 【答案】D【知识点】函数的零点分布、分段函数9. 【答案】C【解析】当 x ∈(0,1] 时，f (x )+∣x 2−1∣=2 可化为：x 2+mx +2−(x 2−1)=2， 整理得：mx =−1，当 x ∈(1,2) 时，f (x )+∣x 2−1∣=2 可化为：x 2+mx +2+(x 2−1)=2， 整理得：2x 2+mx −1=0，此方程必有一正、一负根．要使得方程 f (x )+∣x 2−1∣=2 在 (0,2) 上有两个不等实根，则 mx =−1 在 x ∈(0,1] 内有实数解，且方程 x 2+mx −1=0 的正根落在 (1,2) 内． 记 g (x )=x 2+mx −1，则 {g (1)<0,g (2)>0,0<−1m≤1,即：{2+m −1<0,8+2m −1>0,0<−1m≤1,解得：−72<m <−1． 【知识点】函数的零点分布10. 【答案】C【解析】方法一：由题可知 f (x ) 在 (0,+∞) 上为增函数，f (12)=−1，f (1)=1,所以 f (12)⋅f (1)<0，则零点在 (12,1) 之间．故选C ． 方法二：f (18)=2×18−1+log 218<0， f (14)=2×14−1+log 214<0， f (12)=2×12−1+log 212<0， f (1)=2−1+log 21>0， 所以 (12,1)． 故选C ．【知识点】零点的存在性定理二、填空题（共6题） 11. 【答案】 π2【解析】 f (x ) 为偶函数 ⇒f (x )=f (−x )． f (−x )=sin (−x +φ)+cos (−x )=sin (−x +φ)+cosx =sin (x +φ)+cosx.⇒ ① −x +φ=x +φ⇒x =0，与 φ 无关（舍）． ② −x +φ+x +φ=π+2kπ(k ∈Z )，φ=π2+kπ(k ∈Z )． 取 k =0，则 φ 的一个取值为 π2．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质12. 【答案】 2n−1+22n−1，n ∈N ∗【解析】因为函数 f (x )={2x −1,0≤x ≤1f (x −1)+m,x >1 在定义域 [0,+∞) 上单调递增，又因为对于任意 a ≥0，方程 f (x )=a 有且只有一个实数解，所以函数 f (x )={2x −1,0≤x ≤1f (x −1)+m,x >1 在定义域 [0,+∞) 上单调递增，且图象连续，21−1=f (1−1)+m ，即 1=20−1+m ， 所以 m =1．画出函数 f (x ) 的图象，如图所示．由图可知，函数 f (x ) 的图象与直线 y =x 的交点的横坐标分别为 0，1，2，3，⋯，所以函数 g (x )=f (x )−x 在区间 [0,2n ](n ∈N ∗) 上所有零点分别为 0，1，2，3，⋯，2n ， 所以所有零点的和为2n (1+2n )2=2n−1+22n−1，n ∈N ∗．【知识点】函数的零点分布、函数的单调性、分段函数13. 【答案】②； >【知识点】函数模型的综合应用14. 【答案】 (−∞,−5]∪[5,+∞)【解析】因为 A ∪B =A ， 所以 B ⊆A ，又 A =(−∞,−1)∪(5,+∞)，B =(a,a +4)， 所以 a +4≤−1 或 a ≥5，即 a ≤−5 或 a ≥5． 【知识点】包含关系、子集与真子集15. 【答案】 12【解析】由 1−2x ≥0，得 x ≤12．所以函数 y =x −√1−2x 的定义域为 (−∞,12]，因为函数 y =x 在 (−∞,12] 上为增函数，函数 y =−√1−2x 在 (−∞,12] 上为增函数，所以函数 y =x −√1−2x ，在 (−∞,12] 上为增函数，所以当 x =12 时，函数 y =x −√1−2x 有最大值为 12． 【知识点】函数的最大（小）值16. 【答案】−26【知识点】函数的奇偶性三、解答题（共6题）17. 【答案】(1)0.001−13+1654+(√24)8 =(10−3)−13+(24)54+(214)8 =10+32+4=46.(2)2log32−log3329+log38−log553=log34+log3932+log38−3=log2(4×932×8)−3=log39−3=2−3=−1.(3)4log23+log128−lg516+lg25−lg(12)−3−ln√e3=22log23+log12(12)−3−lg516+lg25−lg8−lne32=9−3−(lg516−lg25+lg8)−32=9−3−lg(516×125×8)−32=6−lg110−32=6+1−32=7−32=112.【知识点】对数的概念与运算、幂的概念与运算18. 【答案】(1) 因为f(1)=1，所以log4(a+5)=1，因此a+5=4，a=−1，此时f(x)=log4(−x2+2x+3)．由−x2+2x+3>0得−1<x<3，函数定义域为(−1,3)．令g(x)=−x2+2x+3，则g(x)在(−∞,1)上单调递增，在 (1,+∞) 上单调递减，又 y =log 4x 在 (0,+∞) 上单调递增， 所以 f (x ) 的单调递增区间是 (−1,1)， 单调递减区间是 (1,3)．(2) 假设存在实数 a 使 f (x ) 的最小值为 0， 则 ℎ(x )=ax 2+2x +3 应有最小值 1，因此应有 {a >0,12a−44a=1,解得 a =12．故存在实数 a =12，使 f (x ) 的最小值等于 0．【知识点】对数函数及其性质、函数的最大（小）值、函数的单调性19. 【答案】(1) f (x )=(log 4x )2−2log 4x −3，令 t =log 4x ，则 x ∈[14,16] 时，t ∈[−1,2]，此时有 y =t 2−2t −3， 所以 y ∈[−4,0]．(2) g (x )=(log 4x )2−2a ⋅log 4x −3，令 t =log 4x ，则 x ∈[42,44] 时，t ∈[2,4]，此时有 y =t 2−2a ⋅t −3．（ⅰ）当 a ≤2 时，y min =y ∣t=2=1−4a ；y max =y ∣t=4=13−8a ；（ⅰ）当 2<a ≤3 时，y min =y ∣t=a =−a 2−3；y max =y ∣t=4=13−8a ； （ⅰ）当 3<a <4 时，y min =y ∣t=a =−a 2−3，y max =y ∣t=2=1−4a ； （ⅰ）当 a ≥4 时，y min =y ∣t=4=13−8a ；y max =y ∣t=2=1−4a ．【知识点】对数函数及其性质、函数的最大（小）值、函数的值域的概念与求法20. 【答案】(1) 由 f (x )=2x ，得 f (2x )=22x ，代入 f (2x )−f (x )≤6，得 22x −2x −6≤0，即 (2x +2)(2x −3)≤0， 又因为 2x +2>0， 所以 2x ≤3，即 x ≤log 23， 故原不等式的解集为 {x∣ x ≤log 23}．(2) g (x )=2x +2−x ，g (2x 0)=22x 0+2−2x 0，g 2(x 0)=(2x 0+2−x 0)2=22x 0+2−2x 0+2 代入 g (2x 0)=k ⋅g 2(x 0)−1，得 22x 0+2−2x 0+1=k ⋅(22x 0+2−2x 0+2)，22x 0+2−2x 0+2≠0， 所以 k =22x 0+2−2x 0+122x 0+2−2x 0+2=1−14x 0+14x 0+2，由 x 0∈(1,2]，得 4<4x 0≤16， 设 t =4x 0，则 4<t ≤16，由于函数 y =t +1t 在区间 (4,16] 上是增函数，所以174<t +1t ≤25716， 所以254<4x 0+14x 0+2≤28916， 故 2125<k ≤273289．(3) f (2x +2)=4⋅4x ，ℎ(x )=f (2x +2)+a ⋅f (x )+b =4⋅4x +a ⋅2x +b ，即 ℎ(x )=4⋅(2x )2+a ⋅2x +b ，由 x ∈[0,1]，得 1≤2x ≤2，令 2x =u ，则 1≤u ≤2，所以任意的 u ∈[1,2]，均有 ∣4u 2+au +b ∣≤12（∗）， 令 ℎ(u )=4u 2+au +b ，当 −a 8≥2 时，a ≤−16，此时有 4+a +b ≤12，16+2a +b ≥−12，两式相减得 12+a ≥−1，即 a ≥−13，与条件不符；当 −a 8≤1，此时有 4+a +b ≥−12，16+2a +b ≤12，两式相减得 12+a ≤1，即 a ≤−11，与条件不符；当 −a 8∈(1,2) 时，有 4+a +b ≤12，16+2a +b ≤12，ℎ(−a 8)=−a 216+b ≥−12，得 4+a +b −(−a 216+b)≤1，16+2a +b −(−a 216+b)≤1， 分别解得 −12≤a ≤−4，−20≤a ≤−12，故 a =−12．此时（∗）变为 −12≤4u 2−12u +b ≤12 对于任意的 u ∈[1,2] 均成立，记 H (u )=4u 2−12u +b (1≤u ≤2)，则函数 H (u ) 需满足：{H (u )max ≤12,H (u )min ≥−12, 由 H (u )max =H (1)=H (2)=b −8≤12，得 b ≤172, ⋯⋯① 再由 H (u )min =H (32)=b −9≥−12，得 b ≥172, ⋯⋯② 由①②得172≤b ≤172， 故 b =172．【知识点】指数函数及其性质、函数的单调性、函数的最大（小）值、函数不等式的解法21. 【答案】(1) 因为 {x ∣x >−2或x <3}，{x ∣x 2−x −6<0}={x ∣−2<x <3}，所以 {x ∣x >−2或x <3}⇒{x ∣−2<x <3}，而 {x ∣−2<x <3}⇒{x ∣x >−2或x <3}．所以 p 是 q 的必要不充分条件．(2) 因为 a 、 b 都是奇数 ⇒a +b 为偶数，而 a +b 为偶数 ⇒a 、 b 都是奇数，所以 p 是 q 的充分不必要条件．(3) mx 2−2x +3=0 有两个同号不等实根 ⇔{Δ>03m>0⇔{4−12m >0m >0⇔{m <13m >0⇔0<m <13． 所以 p 是 q 的充要条件． 【知识点】充分条件与必要条件22. 【答案】设 AD 为 x 千米，铁路和公路每吨千米运费的运费分别为 3k 和 5k ，记 B 到 C 的总运费为 y ，则 y =5k√x 2+400+3k (100−x )，即 y−300k k =5√x 2+400−3x (x ∈[0,100])，令 t =y−300k k， 则 (t +3x )2=25(400+x 2)，即 16x 2−6tx +10000−t 2=0．又因为 x ∈R ，所以 Δ=36t 2−64(10000−t 2)≥0，解得 ∣t ∣≥80．当 t =80 时，x =15，即当 D 取在距 A 点 15 千米处时最省．【知识点】函数模型的综合应用。
人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(31)
人教A 版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1. 已知函数 f (x )=3cos (ωx +φ)(ω>0,−π<φ<0)，其图象的相邻两条对称轴间的距离为 π2，且满足 f (−π3+x)=f (−π3−x)，则 f (x ) 的解析式为 ( ) A ． 3cos (2x −2π3) B ． 3cos (2x −π3) C ． 3cos (12x −2π3) D ． 3cos (12x −π3)2. 设集合 A ={x∣ x 2−4≤0}，B ={x∣ 2x +a ≤0}，且 A ∩B ={x∣ −2≤x ≤1}，则 a 等于 ( ) A ． −4B ． −2C ． 2D ． 43. 已知定义在 R 上的函数 f (x )，当 x >−1 时，f (x )={2x +1,−1<x ≤0∣lnx ∣,x >0，且 f (x −1) 为奇函数，若方程 f (x )=kx +k (k ∈R ) 的根为 x 1 x 2，⋯，x n ，则 x 1+x 2+⋯+x n 的所有的取值为 ( ) A ． −6 或 −4 或 −2 B ． −7 或 −5 或 −3 C ． −8 或 −6 或 −4 或 −2 D ． −9 或 −7 或 −5 或 −34. 已知函数 f (x )={sinπx,0≤x ≤1log 2014x,x >1，若 a ，b ，c 互补相等，且 f (a )=f (b )=f (c )，则a +b +c 的取值范围是 ( ) A ． (1,2014) B ． [1,2014] C ． (2,2015) D ． [2,2015]5. 已知 cos (508∘−α)=1213，则 cos (212∘+α) 等于 ( ) A ． −1213B ．1213C ． −513D ．5136. q 是 p 的充要条件的是 ( ) A ． p ：3x +2>5；q ：−2x −3>−5 B ． p ：a >2，b >2；q ：a >bC ． p ：四边形的两条对角线互相垂直平分；q ：四边形是正方形D ． p ：a ≠0；q ：关于 x 的方程 ax =1 有唯一解7.已知偶函数f(x)满足f(4+x)=f(4−x)且f(0)=0，当x∈(0,4]时，f(x)=ln(2x)x，关于x的不等式[f(x)]2+a⋅f(x)>0在[−200,200]上有且只有200个整数解，则实数a的取值范围为( )A．(−13ln6,ln2]B．(−ln2,−13ln6)C．(−13ln6,ln2)D．(−ln2,−13ln6]8.已知映射f：A→B，其中集合A={−2,−1,0,1,2,3}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在集合B中和它对应的元素为∣a∣，则集合B的子集个数是( )A．4B．16C．32D．89.函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是( )A．B．C．D．10.定义函数序列：f1(x)=f(x)=x1−x，f2(x)=f(f1(x))，f3(x)=f(f2(x))，⋯，f n(x)=f(f n−1(x))，则函数y=f2019(x)与y=1x−2019的图象的交点坐标为( )A．(−1,−12020)B．(0,−12019)C．(1,−12018)D．(2,−12017)二、填空题（共10题）11.已知函数f(x)=∣∣∣log2∣∣x−2x ∣∣∣∣∣−a(a>0)，其所有的零点依次记为x1，x2，⋯，x i(i∈N∗)，则x1⋅x2⋯x i=．12.若关于x的不等式ax2−2x+3>0的解集为{x∣ −3<x<1}，则实数a=．13.已知函数f(x)=x2+2x−3的单调减区间为[−2,−1]，单调增区间为(−1,4]，则f(x)的值域是．14.设f(x)=lgx，若f(1−a)−f(a)>0，则实数a的取值范围是．15.已知log147=a，log145=b，则用a，b表示log3528=．16.对于任意的实数x∈[1,e]，总存在三个不同的实数m∈[−1,4]，使得m2xe1−m−ax−lnx=0成立，则实数a的取值范围为．17.满足不等式∣x−A∣<B(B>0,A∈R)的实数x的集合叫做A的B邻域，若a+b−2的a+b邻域是一个关于原点对称的区间，则1a +4b的取值范围是．18.设函数f(x)=3x+9x，则f(log32)=．19.设a,b∈R，集合A={1,a}，B={x∣ x(x−a)(x−b)=0}，若A=B，则a=，b=．20.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k−1∉A且k+1∉A，那么k是A的一个“单独元”．给定A={1,2,3,4,5}，则A的所有子集中，只有一个“单独元”的集合共有个．三、解答题（共10题）21.已知函数f(x)=3sin(2x+π4)．(1) 求f(x)的最小值及此时自变量x的取值集合；(2) 求函数f(x)在R上的单调递增区间．22.设ω>0，若函数y=sin(ωx+π3)+2的图象向右平移4π3个单位长度后与原图象重合，求ω的最小值．23.已知函数f(x)=−x2+2bx+c，设函数g(x)=∣f(x)∣在区间[−1,1]上的最大值为M．(1) 若b=2，试求出M；(2) 若M≥k对任意的b，c恒成立，试求k的最大值．24.已知tan(α+π4)=12，且−π2<α<0，求2sin2α+sin2αcos(α−π4)的值．25.已知函数f(x)=−x2+8x，g(x)=6lnx+m．(1) 求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值ℎ(t)；(2) 是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．26.已知sin(α+30∘)=1213，且60∘<α<90∘，求sinα的值．27.已知数集A={a1,a2,⋯,a n}(1≤a1<a2<⋯a n,n≥2)具有性质P；对任意的i,j(1≤i≤j≤n)，a i a j与a ja i两数中至少有一个属于A．(1) 分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P，并说明理由；(2) 证明：a1=1，且a1+a2+⋯+a na1−1+a2−1+⋯+a n−1=a n；(3) 证明：当n=5时，a5a4=a4a3=a3a2=a2a1．28.已知函数f(x)=sin2x−cos2x−2√3sinxcosx(x∈R)．(1) 求f(2π3)的值；(2) 求f(x)的最小正周期及单调递增区间．29.作出下列函数的图象：(1) f(x)=1−x（x∈Z且−2≤x≤2）．(2) y=x2−2x(x∈[0,3))．30.设a，b均为实数，求证：a2+b2+10≥2a+6b，并指出等号成立的条件．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】由其图象的相邻两条对称轴间的距离为 π2，可得函数的最小正周期 T =2⋅π2=π， 而 T =2πω，所以 ω=2，所以 f (x )=3cos (2x +φ)， 又因为 f (−π3+x)=f (−π3−x)， 所以对称性 x =−π3，所以 2⋅(−π3)+φ=kπ，k ∈Z ，−π<φ<0， 所以 φ=−π3，所以 f (x )=3cos (2x −π3)， 故选：B ．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质2. 【答案】B【知识点】交、并、补集运算3. 【答案】D【知识点】函数的零点分布4. 【答案】C【解析】当 0≤x ≤1 时，函数 f (x )=sinπx 的对称轴为 x =12，当 f (x )=1 时，由 log 2014x =1，解得 x =2014， 若 a ，b ，c 互不相等，不妨设 a <b <c ， 因为 f (a )=f (b )=f (c )，所以由图象可知 0<a <12，12<b <1，1<c <2014， 且a+b 2=12，即 a +b =1，所以 a +b +c =1+c ，因为 1<c <2014， 所以 2<1+c <2014， 即 2<a +b +c <2015，所以 a +b +c 的取值范围是 (2,2015)．【知识点】函数的零点分布5. 【答案】B【知识点】诱导公式6. 【答案】D【解析】由 3x +2>5 得 x >1，由 −2x −3>−5 得 x <1，故A 不符合题意；显然B 不符合题意；正方形的对角线互相垂直平分，但是对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形，可以是菱形，故C 不符合题意．故选D ． 【知识点】充分条件与必要条件7. 【答案】D【解析】当 0<x ≤4 时，fʹ(x )=1−ln2x x 2，令 fʹ(x )=0 得 x =e2，所以 f (x ) 在 (0,e2) 上单调递增，在 (e2,4) 上单调递减， 因为 f (x ) 是偶函数，所以 f (x +4)=f (4−x )=f (x −4)， 所以 f (x ) 的周期为 8，因为 f (x ) 是偶函数，且不等式 f 2(x )+af (x )>0 在 [−200,200] 上有且只有 200 个整数解， 所以不等式在 (0,200) 内有 100 个整数解， 因为 f (x ) 在 (0,200) 内有 25 个周期， 所以 f (x ) 在一个周期 (0,8) 内有 4 个整数解，①若 a >0，由 f 2(x )+af (x )>0，可得 f (x )>0 或 f (x )<−a ， 显然 f (x )>0 在一个周期 (0,8) 内有 7 个整数解，不符合题意； ②若 a <0，由 f 2(x )+af (x )>0，可得 f (x )<0 或 f (x )>−a ， 显然 f (x )<0 在区间 (0,8) 上无解，所以 f (x )>−a 在 (0,8) 上有 4 个整数解， 因为 f (x ) 在 (0,8) 上关于直线 x =4 对称， 所以 f (x ) 在 (0,4) 上有 2 个整数解， 因为 f (1)=ln2，f (2)=ln42=ln2，f (3)=ln63，所以 f (x )>−a 在 (0,4) 上的整数解为 x =1，x =2． 所以ln63≤−a <ln2，解得 −ln2<a ≤−ln63．【知识点】函数的奇偶性、函数的周期性、函数的零点分布、函数的单调性8. 【答案】B【解析】由题意可得 B ={0,1,2,3}，集合 B 中有 4 个元素，因此，集合 B 的子集个数为 24=16．【知识点】n 元集合的子集个数9. 【答案】A【解析】 f (x )=ln (x 2+1)，x ∈R ，当 x =0 时，f (0)=ln1=0，即 f (x ) 过点 (0,0)，排除B ，D ．因为 f (−x )=ln [(−x )2+1]=ln (x 2+1)=f (x )， 所以 f (x ) 是偶函数，其图象关于 y 轴对称． 【知识点】对数函数及其性质、函数图象10. 【答案】A【解析】因为 f 1(x )=f (x )=x1−x ， f 2(x )=f(f 1(x ))=x 1−x1−x 1−x=x1−2x ，f 3(x )=f(f 2(x ))=x1−3x ， ⋯⋯f n (x )=f(f n−1(x ))=x1−nx ， 所以函数 y =f 2019(x )=x 1−2019x ．令 x1−2019x =1x−2019，解得 x =1（舍去）或 x =−1， 将 x =−1 代入 y =1x−2019，得 y =−12020，所以函数 y =f 2019(x ) 与 y =1x−2019的图象的交点坐标为 (−1,−12020)，故选A ．【知识点】函数的零点分布二、填空题（共10题） 11. 【答案】 16【解析】函数f(x)=∣∣∣log2∣∣x−2x ∣∣∣∣∣−a(a>0)的零点，即f(x)=∣∣∣log2∣∣x−2x ∣∣∣∣∣−a=0，所以∣∣∣log2∣∣x−2x∣∣∣∣∣=a．去绝对值可得log2∣∣x−2x ∣∣=a或log2∣∣x−2x∣∣=−a，即2a=∣∣x−2x ∣∣或2−a=∣∣x−2x∣∣．去绝对值可得2a=x−2x 或−2a=x−2x，2−a=x−2x或−2−a=x−2x．当2a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2−2a⋅x−2=0，设方程的根为x1，x2，由韦达定理可得x1⋅x2=−2；当−2a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2+2a⋅x−2=0，设方程的根为x3，x4，由韦达定理可得x3⋅x4=−2；当2−a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2−2−a⋅x−2=0，设方程的根为x5，x6，由韦达定理可得x5⋅x6=−2；当−2−a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2+2−a⋅x−2=0，设方程的根为x7，x8，由韦达定理可得x7⋅x8=−2．综上可得所有零点的乘积为x1⋅x2⋅x3⋅x4⋅x5⋅x6⋅x7⋅x8=(−2)4=16．【知识点】对数函数及其性质、函数的零点分布12. 【答案】−1【解析】关于x的不等式ax2−2x+3>0的解集为{x∣−3<x<1}，所以关于x的方程ax2−2x+3=0的实数根为−3和1，由根与系数的关系知，3a=−3×1，解得a=−1．【知识点】二次不等式的解法13. 【答案】[−4,21]【解析】由题意得，函数的定义域为[−2,4]．因为二次函数f(x)图象的对称轴为直线x=−1，又−1∈[−2,4]，图象开口向上，且区间端点4离对称轴较远，所以f(4)>f(−2)，因为f(4)=21，f(−1)=−4，所以f(4)的值域是[−4,21]．【知识点】函数的单调性14. 【答案】 (0,12)【知识点】对数函数及其性质15. 【答案】2−a a+b【解析】因为log 3528=log 1428log 1435=log 14(14×147)log 145+log 147=log 14142−log 147log 145+log 147=2−log 147log 145+log 147,且 log 147=a ，log 145=b ， 所以 原式=2−aa+b ．【知识点】对数的概念与运算16. 【答案】 [16e 3,3e )【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质17. 【答案】 (−∞,12]∪[92,+∞)【解析】由题得 ∣x −(a +b −2)∣<a +b ，解得 x ∈(−2,2a +2b −2)， 又其关于原点对称，所以 2a +2b −2=2，即 a +b =2， 所以 1a +4b =a+b 2a +2(a+b )b=52+b2a +2a b ．若 a b >0，则 ba >0，此时 1a +4b =52+b2a +2a b ≥52+2√b 2a ⋅2a b=92，当且仅当 b =2a 时等号成立； 若ab <0，则 b a<0，1a +4b =52+b 2a +2a b=52−[(−b2a )+(−2ab)]≤52−2√(−b2a )⋅(−2ab)=12，当且仅当 b =2a 时等号成立． 所以 1a+4b∈(−∞,12]∪(92,+∞]．【知识点】均值不等式的应用18. 【答案】 6【解析】因为函数 f (x )=3x +9x ，所以 f (log 32)=3log 32+9log 32=2+9log 94=2+4=6． 【知识点】对数的概念与运算19. 【答案】0；1【知识点】集合相等20. 【答案】13【解析】因为k∈A，k−1∉A且k+1∉A，所以所求集合中满足题意的有{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,4,5}，{2,3,5}，{2,4,5}，{1,2,3,5}，{1,3,4,5}，共13个．【知识点】包含关系、子集与真子集三、解答题（共10题）21. 【答案】(1) 由题意可f(x)min=−3，此时2x+π4=−π2+2kπ，k∈Z，解得x=−3π8+kπ，k∈Z，即当f(x)取最小值时自变量x的取值集合为{x∣ x=−3π8+kπ,k∈Z}．(2) 令−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ，k∈Z，解得−3π8+kπ≤x≤π8+kπ，k∈Z，即f(x)的单调递增区间为[−3π8+kπ,π8+kπ]，k∈Z．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质22. 【答案】将y=sin(ωx+π3)+2的图象向右平移4π3个单位长度后，所得图象的函数解析式为y=sin[ω(x−4π3)+π3]+2=sin(ωx+π3−4ωπ3)+2．因为平移后的图象与原图象重合，所以有4ωπ3=2kπ(k∈Z)，即ω=3k2，又因为ω>0，所以k≥1，故ω=3k2≥32．故ω的最小值为32．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质23. 【答案】(1) 当 b =2 时，f (x )=−x 2+4x +c 在区间 [−1,1] 上是增函数， 则 M 是 g (−1) 和 g (1) 中较大的一个，又 g (−1)=∣−5+c∣，g (1)=∣3+c∣，则 M ={∣−5+c∣,c ≤1∣3+c∣,c >1．(2) g (x )=∣f (x )∣=∣−(x −b )2+b 2+c ∣，（ⅰ）当 ∣b∣>1 时，y =g (x ) 在区间 [−1,1] 上是单调函数，则 M =max {g (−1),g (1)}，而 g (−1)=∣−1−2b +c∣，g (1)=∣−1+2b +c∣， 则 2M ≥g (−1)+g (1)≥∣f (−1)−f (1)∣=4∣b∣>4，可知 M >2．（ⅰ）当 ∣b∣≤1 时，函数 y =g (x ) 的对称轴 x =b 位于区间 [−1,1] 之内， 此时 M =max {g (−1),g (1),g (b )}，又 g (b )=∣b 2+c ∣， ①当 −1≤b ≤0 时，有 f (1)≤f (−1)≤f (b )，则 M =max {g (b ),g (1)}≥12(g (b )+g (1))≥12∣f (b )−f (1)∣=12(b −1)2≥12； ②当 0<b ≤1 时，有 f (−1)≤f (1)≤f (b )，则 M =max {g (b ),g (−1)}≥12(g (b )+g (−1))≥12∣f (b )−f (−1)∣=12(b +1)2>12． 综上可知，对任意的 b ，c 都有 M ≥12．而当 b =0，c =12时，g (x )=∣∣−x 2+12∣∣ 在区间 [−1,1] 上的最大值 M =12， 故 M ≥k 对任意的 b ，c 恒成立的 k 的最大值为 12．【知识点】函数的最大（小）值、二次函数的性质与图像24. 【答案】由 tan (α+π4)=tanα+11−tanα=12，得 tanα=−13．又 −π2<α<0，所以 sinα=−√1010，故2sin 2α+sin2αcos(α−π4)=√22(=2√2sinα=−2√55.【知识点】两角和与差的正切、二倍角公式、两角和与差的余弦25. 【答案】(1) f (x )=−x 2+8x =−(x −4)2+16．当 t +1<4，即 t <3 时，f (x ) 在 [t,t +1] 上单调递增，ℎ(t )=f (t +1)=−(t +1)2+8(t +1)=−t 2+6t +7;当 t ≤4≤t +1，即 3≤t ≤4 时，ℎ(t )=f (4)=16;当 t >4 时，f (x ) 在 [t,t +1] 上单调递减，ℎ(t )=f (t )=−t 2+8t.综上，ℎ(t )={−t 2+6t +7,t <3,16,3≤t ≤4,−t 2+8t,t >4.(2) 函数 y =f (x ) 的图象与 y =g (x ) 的图象有且只有三个不同的交点，即函数 φ(x )=g (x )−f (x ) 的图象与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点．因为 φ(x )=x 2−8x +6lnx +m ，所以φʹ(x )=2x −8+6x=2x 2−8x+6x=2(x−1)(x−3)x(x >0).当 x ∈(0,1) 时，φʹ(x )>0，φ(x ) 是增函数；当 x ∈(1,3) 时，φʹ(x )<0，φ(x ) 是减函数； 当 x ∈(3,+∞) 时，φʹ(x )>0，φ(x ) 是增函数；当 x =1 或 x =3 时，φʹ(x )=0．∴φ(x )最大值=φ(1)=m −7,φ(x )最小值=φ(3)=m +6ln3−15. ∵ 当 x 充分接近 0 时，φ(x )<0，当 x 充分大时，φ(x )>0．∴ 要使 φ(x ) 的图象与 x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须 {φ(x )最大值=m −7>0,φ(x )最小值=m +6ln3−15<0,即7<m <15−6ln3.所以存在实数 m ，使得函数 y =f (x ) 与 y =g (x ) 的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为 (7,15−6ln3)． 【知识点】分段函数、函数的最大（小）值、利用导数研究函数的图象与性质26. 【答案】12√3+526． 【知识点】两角和与差的正弦27. 【答案】(1) {1,3,4} 不具有；{1,2,3,6} 具有． (2) 因为 A ={a 1,a 2,⋯a n } 具有性质 P ， 所以 a n a n 与a n a n中至少有一个属于 A ，由于 1≤a 1<a 2<⋯<a n ， 所以 a n a n >a n ，故 a n a n ∉A ，从而 1=an a n∈A ，所以 a 1=1．因为 1=a 1<a 2<⋯<a n ， 所以 a k a n >a n ，故 a k a n ∉A (k =2,3,⋯,n )，由A具有性质P可知a na k∈A(k=1,2,3,⋯,n)，又因为a na n <a na n−1<⋯<a na2<a na1，所以a na n =1，a na n−1=a2，⋯a na2=a n−1，a na1=a n，从而a na n =a na n−1+⋯+a na2+a na1=a1+a2+⋯+a n−1+a n，所以a1+a2+⋯+a na1−1+a2−1+⋯+a n−1=a n．(3) 由（2）知，当n=5时，有a5a4=a2，a5a3=a3，即a5=a2a4=a32，因为1=a1<a2<⋯<a5，所以a3a4>a2a4=a5，所以a3a4∉A，由A具有性质P可知a4a3∈A，由a2a4=a32，得a3a2=a4a3∈A，且1<a3a2=a2，所以a4a3=a3a2=a2，所以a5a4=a4a3=a3a2=a2a1=a2．【知识点】元素和集合的关系28. 【答案】(1) 由函数概念f(2π3)=sin22π3−cos22π3−2√3⋅sin2π3cos2π3，分别计算可得f(2π3)=2．(2) f(x)=−cos2x−√3sin2x =−2sin(2x+π6),所以f(x)的最小正周期是π．由正弦函数的性质得π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，k∈Z，解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间是[π6+kπ,2π3+kπ]，k∈Z．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质29. 【答案】(1) f(x)=1−x（x∈Z且−2≤x≤2）的图象如图（1）所示．(2) 因为x∈[0,3)，所以这个函数的图象是抛物线y=x2−2x在0≤x<3之间的一段弧，如图（2）所示．【知识点】函数图象30. 【答案】a2+b2+10−2a−6b=(a2−2a+1)+(b2−6b+9)=(a−1)2+(b−3)2≥0，当且仅当a=1且b=3时，等号成立．【知识点】不等式的性质。
人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(48)
人教A 版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1. 已知 a =1.70.3，b =0.31.7，c =log 0.31.7，则 a ，b ，c 的大小关系为 ( ) A ． a <b <c B ． c <b <a C ． c <a <b D ． b <a <c2. 已知 m ∈R ，“函数 y =2x +m −1 有零点”是“函数 y =log m x 在 (0,+∞) 上为减函数”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知 sin (α+β)=14，sin (α−β)=13，则 tanα:tanβ= ( )A ． −17B ． 17C ． −7D ． 74. 根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 f (x )=√x x <A√Ax ≥A （A ，c为常数），已知工人组装第 4 件产品用时 30 min ，组装第 A 件产品用时 15 min ，那么 c 和 A 的值分别是 ( ) A ． 75，25 B ． 75，16 C ． 60，25 D ． 60，165. 已知函数 f (x )={ln (x +1)+m,x ≥0ax −b +1,x <0(m <−1)，对于任意 s ∈R ，且 s ≠0，均存在唯一实数 t ，使得 f (s )=f (t )，且 s ≠t ，若关于 x 的方程 ∣f (x )∣=f (m2) 有 4 个不相等的实数根，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (−4,−2) B ． (−1,0)C ． (−2,−1)D ． (−4,−1)∪(−1,0)6. 已知 a >0 且 a ≠1，下列说法中正确的是 ( ) ①若 M =N ，则 log a M =log a N ； ②若 log a M =log a N ，则 M =N ； ③若 log a M 2=log a N 2，则 M =N ； ④若 M =N ，则 log a M 2=log a N 2． A ．①③B ．②④C ．②D ．①②③④7.定义在(−1,1]上的函数f(x)满足f(x)+1=1f(x+1)，当x∈[0,1]时，f(x)=x，若函数g(x)=∣∣f(x)−12∣∣−mx−m+1在(−1,1]内恰有3个零点，则实数m的取值范围是( )A．(32,+∞)B．(32,258)C．(32,2516)D．(23,34)8.实数α，β为方程x2−2mx+m+6=0的两根，则(α−1)2+(β−1)2的最小值为( )A．8B．14C．−14D．−2549.若a>b>0，c<d<0，则一定有( )A．ac −bd>0B．ac−bd<0C．ad>bcD．ad<bc10.一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积为( )A．12R2B．12R2Ssin1cos1C．12(1−sin1cos1)R2D．(1−sin1cos1)R2二、填空题（共10题）11.已知△ABC中，sin(A+B)=45，cosB=−23，则sinB=，cosA=．12.函数y=lg(x2+2x−a)的定义域为R，则实数a的取值范围是．13.已知函数y=f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间(0,6)内零点的个数的最小值是个．14.一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少．为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过小时才能开车．（精确到1小时，参考数据lg2≈0.30，lg3≈0.48）15.将函数y=√4+6x−x2−2(x∈[0,6])的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(0≤θ≤α)，得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则tanα的最大值为．16.设集合A为含有三个元素的集合，集合B={z∣z=x+y,x,y∈A,x≠y}，若B={log 26,log 210,log 215}，则集合 A = ．17. 已知 p:∣x −4∣>6，q:x 2−2x +1−a 2>0(a >0)，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a的取值范围为 ．18. 已知 α 为第二象限角，sinα+cosα=12，则 cos2α= ．19. 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f (x +2)=f (x )−2，当 x ∈(0,2] 时，f (x )={x 2−x −6,x ∈(0,1]−2x−1−5,x ∈(1,2]，若 x ∈(−6,−4] 时，关于 x 的方程 af (x )−a 2+2=0(a >0) 有解，则实数 a 的取值范围是 ．20. 已知函数 f (x )={x +2x −3,x ≥1lg (x 2+1),x <1，则 f(f (−3))= ，f (x ) 的最小值是 ．三、解答题（共10题）21. 已知一扇形的周长为 40 cm ，当它的半径和圆心角取何值时，能使扇形的面积最大，最大面积是多少？22. 已知实数 a ，b 是常数，函数 f (x )=(√1+x +√1−x +a)(√1−x 2+b)．(1) 求函数 f (x ) 的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由；(2) 若 a =−3，b =1，设 t =√1+x +√1−x ，记 t 的取值组成的集合为 D ，则函数 f (x )的值域与函数 g (t )=12(t 3−3t 2)(t ∈D ) 的值域相同．试解决下列问题：（i ）求集合 D ；（ii ）研究函数 g (t )=12(t 3−3t 2) 在定义域 D 上是否具有单调性？若有，请用函数单调性定义加以证明：若没有，请说明理由．并利用你的研究结果进一步求出函数 f (x ) 的最小值．23. 对于定义域为 R 的函数 g (x )，若存在正常数 T ，使得 cosg (x ) 是以 T 为周期的函数，则称g (x ) 为余弦周期函数，且称 T 为其余弦周期．已知 f (x ) 是以 T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为 R ．设 f (x ) 单调递增，f (0)=0，f (T )=4π． (1) 验证 g (x )=x +sin x3 是以 6π 为周期的余弦周期函数；(2) 设 a <b ，证明对任意 c ∈[f (a ),f (b )]，存在 x 0∈[a,b ]，使得 f (x 0)=c ；(3) 证明：“u 0 为方程 cosf (x )=1 在 [0,T ] 上的解，”的充要条件是“u 0+T 为方程 cosf (x )=1 在区间 [T,2T ] 上的解”，并证明对任意 x ∈[0,T ]，都有 f (x +T )=f (x )+f (T )．24. 已知函数 f (x )=(sinx +cosx )2+2cos 2x −1．(1) 求 f (x ) 的最小正周期；(2) 求 f (x ) 在 [0,π2] 上的单调区间．25. 已知函数 f (x )=a +b x (b >0,b ≠1) 的图象过点 (1,4) 和点 (2,16)．(1) 求 f (x ) 的表达式； (2) 解不等式 f (x )>(12)3−x2；(3) 当 x ∈(−3,4] 时，求函数 g (x )=log 2f (x )+x 2−6 的值域．26. 已知函数 f (x ) 的定义域为 D ，若对任意的 x 1∈D ，都存在 x 2∈D ，满足 f (x 1)=1f (x 2)，则称函数 f (x ) 为“L 函数”．(1) 判断函数 f (x )=sinx +32，x ∈R 是否为“L 函数”，并说明理由；(2) 已知“L 函数”f (x ) 是定义在 [a,b ] 上的严格增函数，且 f (a )>0，f (b )>0，求证：f (a )⋅f (b )=1．27. 记函数 f (x ) 的定义域为 D ，如果存在实数 a ，b 使得 f (a −x )+f (a +x )=b 对任意满足a −x ∈D 且 a +x ∈D 的 x 恒成立，则称 f (x ) 为 Ψ 函数． (1) 设函数 f (x )=1x −1，试判断 f (x ) 是否为 Ψ 函数，并说明理由； (2) 设函数 g (x )=12x +t ，其中常数 t ≠0，证明 g (x ) 是 Ψ 函数；(3) 若 ℎ(x ) 是定义在 R 上的 Ψ 函数，且函数 ℎ(x ) 的图象关于直线 x =m （m 为常数）对称，试判断 ℎ(x ) 是否为周期函数？并证明你的结论．28. 已知函数 f (x ) 和 g (x ) 的图象关于原点对称，且 f (x )=x 2+2x ．(1) 求函数 g (x ) 的解析式；(2) 若 ℎ(x )=g (x )−λf (x )+1 在区间 [−1,1] 上是增函数，求实数 λ 的取值范围．29. 解答题．(1) 已知 cosα=17，cos (α+β)=−1114，α，β 都是锐角，求 cosβ 的值；(2) 已知 π2<β<α<34π，cos (α−β)=1213，sin (α+β)=−35，sin2α．30.用五点法作出下列函数在[−2π,0]上的图象．(1) y=1−sinx；(2) y=sin(π+x)−1．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质2. 【答案】B【解析】若函数 y =f (x )=2x +m −1 有零点，则 f (0)=1+m −1=m <1， 当 m ≤0 时，函数 y =log m x 在 (0,+∞) 上为减函数不成立，即充分性不成立，若 y =log m x 在 (0,+∞) 上为减函数，则 0<m <1，此时函数 y =2x +m −1 有零点成立，即必要性成立，故“函数 y =2x +m −1 有零点”是“函数 y =log m x 在 (0,+∞) 上为减函数”的必要不充分条件． 【知识点】指数函数及其性质、充分条件与必要条件、对数函数及其性质3. 【答案】C【解析】 sin (α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=14，sin (α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=13， 所以 sinαcosβ=724，cosαsinβ=−124，所以 tanα:tanβ=sinαcosβcosαsinβ=−7． 【知识点】两角和与差的正切4. 【答案】D【知识点】函数的模型及其实际应用5. 【答案】A【解析】由题意可知 f (x ) 在 [0,+∞) 上单调递增，值域为 [m,+∞)，因为对于任意 s ∈R ，且 s ≠0，均存在唯一实数 t ，使得 f (s )=f (t )，且 s ≠t ， 所以 f (x ) 在 (−∞,0) 上是减函数，值域为 (m,+∞)， 所以 a <0，且 −b +1=m ，即 b =1−m ． 因为 ∣f (x )∣=f (m2) 有 4 个不相等的实数根，所以 0<f (m2)<−m ，又 m <−1，所以 0<am 2<−m ，即 0<(a2+1)m <−m ，所以 −4<a <−2，所以则 a 的取值范围是 (−4,−2)．【知识点】对数函数及其性质、函数的零点分布6. 【答案】C【解析】对于①，当 M =N ≤0 时，log a M ，log a N 都没有意义，故不成立； 对于②，log a M =log a N ，则必有 M >0，N >0，M =N ，故成立；对于③，当 M ，N 互为相反数且不为 0 时，也有 log a M 2=log a N 2，但此时 M ≠N ，故不成立； 对于④，当 M =N =0 时，log a M 2，log a N 2 都没有意义，故不成立． 综上，只有②正确． 【知识点】对数的概念与运算7. 【答案】C【解析】当 x ∈(−1,0) 时，x +1∈(0,1)，f (x )=1f (x+1)−1=1x+1−1，若函数 g (x )=∣∣f (x )−12∣∣−mx −m +1 在 (−1,1] 内恰有 3 个零点，即方程 ∣∣f (x )−12∣∣−mx −m +1=0 在 (−1,1] 内恰有 3 个根，也就是函数 y =∣∣f (x )−12∣∣ 与 y =mx +m −1 的图象有三个不同交点，作出函数图象如图：由图可知，过点 (−1,−1) 与点 (−13,0) 的直线的斜率为 32；设过点 (−1,1)，且与曲线 y =1x+1−1−12=−3x−12(x+1) 相切的切点为 (x 0,y 0)， 则 yʹ∣x=x 0=−1(x 0+1)2=y 0−1x0−(−1)， 又因为 y 0=−3x 0−12(x 0+1)，解得 {x 0=−15,y 0=−14,则切点为 (−15,−14)．所以切线的斜率为 k =1+14−1−(−15)=−2516，由对称性可知，过点 (−1,−1) 与曲线 ∣∣f (x )−12∣∣ 在 (−1,0) 上相切的切线的斜率为 2516．所以使函数 y =∣∣f (x )−12∣∣与 y =mx +m −1 的图象有三个不同交点的 m 的取值范围为(32,2516)．【知识点】函数的零点分布、利用导数求函数的切线方程8. 【答案】A【解析】因为 Δ=(2m )2−4(m +6)≥0， 所以 m 2−m −6≥0， 所以 m ≥3 或 m ≤−2．而(α−1)2+(β−1)2=α2+β2−2(α+β)+2=(α+β)2−2αβ−2(α+β)+2=(2m )2−2(m +6)−2(2m )+2=4m 2−6m −10=4(m −34)2−494,因为 m ≥3，或 m ≤−2，所以当 m =3 时，(α−1)2+(β−1)2 的最小值为 8，故选A ． 【知识点】函数的最大（小）值9. 【答案】D【解析】因为 c <d <0，所以 0<−d <−c ， 又 0<b <a ，所以 −bd <−ac ，即 bd >ac ， 又因为 cd >0，所以 bdcd >accd ，即 bc >ad ． 【知识点】不等式的性质10. 【答案】D【解析】 l =4R −2R =2R ，α=lR =2R R=2，可得：S 扇形=12lR =12×2R ×R =R 2，可得：S 三角形=12×2Rsin1×Rcos1=sin1⋅cos1⋅R 2，可得：S弓形=S扇形−S三角形=R2−sin1⋅cos1⋅R2 =(1−sin1cos1)R2.【知识点】弧度制二、填空题（共10题）11. 【答案】√53；6+4√515【知识点】两角和与差的余弦12. 【答案】a<−1【知识点】函数的定义域的概念与求法、对数函数及其性质13. 【答案】7【知识点】函数的零点分布、函数的周期性14. 【答案】5【解析】设经过n小时后才能开车，由题意得0.3(1−0.25)n≤0.09，所以(34)n≤0.3，所以nlg34≤lg310<0，所以n≥lg3−1lg3−2lg2=0.48−10.48−0.6=133，解得n≥133，故至少经过5小时才能开车．故答案为：5．【知识点】函数模型的综合应用15. 【答案】23【解析】将函数变形为方程，可得(x−3)2+(y+2)2=13,x∈[0,6],y≥0，其图象如图所示．过点O作该图象所在圆M的切线OA，将该函数的图象绕原点逆时针旋转时，其最大的旋转角为∠AOy，此时曲线C都是一个函数的图象，因为k OA=−1k OM =32，所以tan∠AOy=23．【知识点】函数的相关概念16. 【答案】 {1,log 23,log 25}【解析】设 A ={a,b,c }(a <b <c )，则 {a +b =log 26,b +c =log 215,c +a =log 210,所以 a +b +c =log 230，所以 a =1，b =log 23，c =log 25， 所以 A ={1,log 23,log 25}． 【知识点】元素和集合的关系17. 【答案】 0<a ≤3【知识点】充分条件与必要条件18. 【答案】 −√74【解析】因为 sinα+cosα=12，所以 1+2sinαcosα=14，所以 2sinαcosα=−34，则 (cosα−sinα)2=1−2sinαcosα=74． 又因为 α 为第二象限角，所以 cosα<0，sinα>0， 则 cosα−sinα=−√72，所以cos2α=cos 2α−sin 2α=(cosα+sinα)(cosα+sinα)=12×(−√72)=−√74. 【知识点】二倍角公式19. 【答案】 1≤a ≤√2【解析】因为函数 f (x ) 满足 f (x +2)=f (x )−2，所以若 x ∈(−6,−4] 时，则 x +2∈(−4,−2]，x +4∈(−2,0]， 若 x +6∈(0,2]，即若 x ∈(−6,−5] 时， 则 x +2∈(−4,−3]，x +4∈(−2,−1]， 若 x +6∈(0,1]，则f (x )=2+f (x +2)=4+f (x +4)=6+f (x +6)=6+(x +6)2−(x +6)−6=x 2+11x +30,若 x ∈(−5,−4] 时，则 x +2∈(−3,−2]，x +4∈(−1,0]， 若 x +6∈(1,2]，则 f (x )=2+f (x +2)=4+f (x +4)=6+f (x +6)=6−2x+6−1−5=1−2x+5,由 af (x )−a 2+2=0(a >0) 得 af (x )=a 2−2(a >0)， 即 f (x )=a −2a (a >0)．作出函数 f (x ) 在 x ∈(−6,−4] 的图象如图． 在函数的值域为 −1≤f (x )≤0， 由 −1≤a −2a≤0，得 {a −2a ≥−1,a −2a ≤0,即 {a 2+a −2≥0,a 2−2≤0, 即 {a ≥1 或 a ≤−2,−√2≤a ≤√2,因为 a >0，所以 1≤a ≤√2．【知识点】函数的零点分布20. 【答案】 0 ； 2√2−3【解析】因为 f (−3)=lg [(−3)2+1]=lg10=1，所以 f(f (−3))=f (1)=1+2−3=0．当x ≥1 时，x +2x −3≥2√x ⋅2x −3=2√2−3，当且仅当 x =2x ，即 x =√2 时等号成立，此时 f (x )min =2√2−3<0；当 x <1 时，lg (x 2+1)≥lg (02+1)=0，此时 f (x )min =0．所以f(x)的最小值为2√2−3．【知识点】函数的最大（小）值、分段函数三、解答题（共10题）21. 【答案】设扇形的圆心角为θ(0<θ<2π)，半径为r，弧长为l，面积为S，则l+2r=40，所以l=40−2r．S=12lr=12(40−2r)r=20r−r2=−(r−10)2+100．所以当r=10cm时，扇形的面积最大，最大值为100cm2，此时θ=lr =40−2×1010=2．【知识点】弧度制22. 【答案】(1) 因为实数a，b是常数，函数f(x)=(√1+x+√1−x+a)(√1−x2+b)，所以由{1+x≥0,1−x≥0,1−x2≥0.解得−1≤x≤1．所以函数的定义域是[−1,1]．对于任意x∈[−1,1]，有−x∈[−1,1]，且f(−x)=(√1+(−x)+√1−(−x)+a)(√1−(−x)2+b)=(√1−x+√1+x+a)(√1−x2+b)=f(x),即f(−x)=f(x)对x∈[−1,1]都成立．（又f(x)不恒为零）所以，函数f(x)是偶函数．（该函数是偶函数不是奇函数也可以）(2) 因为a=−3，b=1，所以f(x)=(√1+x+√1−x−3)(√1−x2+1)．设t=√1+x+√1−x(−1≤x≤1)，则t2=2+2√1−x2．所以0≤√1−x2≤1，2≤t2≤4(t≥0)，即√2≤t≤2．所以D=[√2,2]．于是，g(t)=12(t3−3t2)的定义域为D=[√2,2]．对于任意的t1,t2∈D，且t1<t2，有g(t1)−g(t2)=12[t13−3t12−(t23−3t22)]=12[(t1−t2)(t12+t1t2+t22)−3(t1−t2)(t1+t2)]=12(t1−t2)[(t12−2t1)+(t22−2t2)+(12t1t2−t1)+(12t1t2−t2)]=12(t1−t2)[t1(t1−2)+t2(t2−2)+12t1(t2−2)+12t2(t1−2)].又t1>0，t2>0，t1−t2<0，且t1−2≤0，t2−2≤0（这里二者的等号不能同时成立），所以12(t1−t2)[t1(t1−2)+t2(t2−2)+12t1(t2−2)+12t2(t1−2)]>0，即g(t1)−g(t2)>0，g(t1)>g(t2)．所以函数g(t)在D上是减函数．所以(g(t))min =g(2)=12×(23−3×22)=−2.又因为函数f(x)的值域与函数g(t)=12(t3−3t2)的值域相同，所以函数f(x)的最小值为−2．【知识点】函数的值域的概念与求法、函数的奇偶性23. 【答案】(1) g(x)=x+sin x3，所以cosg(x+6π)=cos(x+6π+sin x+6π3)=cos(x+sin x3)=cosg(x)，所以g(x)是以6π为周期的余弦周期函数．(2) 因为f(x)的值域为R；所以存在x0，使f(x0)=c；又c∈[f(a),f(b)]，所以f(a)≤f(x0)≤f(b)，而f(x)为增函数；所以a≤x0≤b；即存在x0∈[a,b]，使f(x0)=c；(3) 若u0+T为方程cosf(x)=1在区间[T,2T]上的解；则：cosf(u0+T)=1，T≤u0+T≤2T；所以cosf(u0)=1，且0≤u0≤T；所以u0为方程cosf(x)=1在[0,T]上的解；所以“u0为方程cosf(x)=1在[0,T]上得解”的充分条件是“u0+T为方程cosf(x)=1在区间[T,2T]上的解”；下面证明对任意x∈[0,T]，都有f(x+T)=f(x)+f(T)：①当x=0时，f(0)=0，所以显然成立；②当x=T时，cosf(2T)=cosf(T)=1；所以f(2T)=2k1π，(k1∈Z)，f(T)=4π，且2k1π>4π，所以k1>2；（1）若k1=3，f(2T)=6π，由（2）知存在x0∈(0,T)，使f(x0)=2π；cosf(x0+T)=cosf(x0)=1⇒f(x0+T)=2k2π，k2∈Z；所以f(T)<f(x0+T)<f(2T)；所以4π<2k2π<6π；所以2<k2<3，无解；（2）若k1≥5，f(2T)≥10π，则存在T<x1<x2<2T，使得f(x1)=6π，f(x2)=8π；则T，x1，x2，2T为cosf(x)=1在[T,2T]上的4个解；但方程cosf(x)=1在[0,2T]上只有f(x)=0，2π，4π，3个解，矛盾；（3）当k1=4时，f(2T)=8π=f(T)+f(T)，结论成立；③当x∈(0,T)时，f(x)∈(0,4π)，考查方程cosf(x)=c在(0,T)上的解；设其解为f(x1)，f(x2)，⋯，f(x n)，(x1<x2<⋯<x n)；则f(x1+T)，f(x2+T)，⋯，f(x n+T)为方程cosf(x)=c在(T,2T)上的解；又f(x+T)∈(4π,8π)；而f(x1)+4π,f(x2)+4π,⋯,f(x n)+4π∈(4π,8π)为方程cosf(x)=c在(T,2T)上的解；所以f(x i+T)=f(x i)+4π=f(x i)+f(T)；所以综上对任意x∈[0,T]，都有f(x+T)=f(x)+f(T)．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、二倍角公式24. 【答案】(1) 由已知得，f(x)=sin2x+cos2x+1=√2sin(2x+π4)+1．函数的最小正周期T=2π2=π．(2) 由2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2（k∈Z）得，kπ−3π8≤x≤kπ+π8（k∈Z），又x∈[0,π2]，所以x∈[0,π8]，所以f(x)的单调递增区间为[0,π8]，由2kπ+π2−≤2x+π4≤2kπ+3π2（k∈Z）得，kπ+π8≤x≤kπ+5π8（k∈Z），又x∈[0,π2]，所以x∈[π8,π2 ]，所以f(x)的单调递减区间为[π8,π2 ]．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质25. 【答案】(1) 由题意知 {4=a +b,16=a +b 2,解得 {a =0,b =4 或 {a =7,b =−3（舍去）， 所以 f (x )=4x ． (2) f (x )>(12)3−x2，所以 4x>(12)3−x2，所以 22x >2x 2−3， 所以 2x >x 2−3， 解得 −1<x <3，所以不等式的解集为 (−1,3)． (3) 因为g (x )=log 2f (x )+x 2−6=log 24x +x 2−6=2x +x 2−6=(x +1)2−7,因为 x ∈(−3,4]，所以当 x =−1 时，g (x )min =−7， 当 x =4 时，g (x )max =18，所以函数 g (x )=log 2f (x )+x 2−6 的值域为 [−7,18]．【知识点】函数的解析式的概念与求法、指数函数及其性质、函数的值域的概念与求法26. 【答案】(1) 不是； (2) 反证法，略．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质27. 【答案】(1) f (x ) 的定义域为 {x∣ x ≠0}．设 f (x )=1x −1 是为 Ψ 函数，则存在实数 a ，b ，使得 f (a −x )+f (a +x )=b 对任意满足 a −x ∈D 且 a +x ∈D 的 x 恒成立， 即 1a−x +1a+x −2=b ，所以 (b +2)(a 2−x 2)=2a 恒成立，所以 a =0，b =−2． 所以存在 a =0，b =−2，使得 f (a −x )+f (a +x )=b 对任意 x ≠±a 恒成立． 所以 f (x )=1x −1 是 Ψ 函数．(2) 若 g (a +x )+g (a −x )=12a−x +t +12a+x +t =b 恒成立， 则 2a+x +2a−x +2t =b (2a+x +t )(2a−x +t ) 恒成立， 即 (1−bt )(2a+x +2a−x )=b (22a +t 2)−2t 恒成立，所以 1−bt =0，b (22a +t 2)−2t =0，又 t ≠0，所以 b =1t ，a =log 2∣t∣． 所以存在实数 a ，b 使得 g (x ) 是 Ψ 函数．(3) 因为函数 ℎ(x ) 的图象关于直线 x =m （m 为常数）对称， 所以 ℎ(m −x )=ℎ(m +x )，所以当 m ≠a 时， ℎ(x +2m −2a )=ℎ[m +(x +m −2a )]=ℎ[m −(x +m −2a )]=ℎ(2a −x )=ℎ(a +(a −x )),又 ℎ(a +x )+ℎ(a −x )=b ，所以 ℎ(a +(a −x ))=b −ℎ[a −(a −x )]=b −ℎ(x )，所以 ℎ(x +2m −2a )=b −ℎ(x )，ℎ(x )=b −ℎ(x +2m −2a )=ℎ(x +2m −2a +2m −2a )=ℎ(x +4m −4a )．所以 ℎ(x ) 为周期函数，周期为 4m −4a ．若 m =a ，则 ℎ(a −x )=ℎ(a +x )，且 ℎ(a −x )=b −ℎ(a +x )， 所以 ℎ(a +x )=b2，显然 ℎ(x ) 是周期函数． 综上，ℎ(x ) 是周期函数．【知识点】函数的对称性、函数的周期性、幂函数及其性质、指数函数及其性质28. 【答案】(1) g (x )=−x 2+2x ，(2) ℎ(x )=−(1+λ)x 2+2(1−λ)x +1，当 λ=−1 时，ℎ(x )=4x +1 在 [−1,1] 上显然为增函数，当 λ≠−1 时，可得 {1+λ>0,1−λ1+λ≥1, 或 {1+λ>0,1−λ1+λ≤−1,⇒−1<λ≤0 或 λ<−1，综上所述，所求 λ 的取值范围是 λ=−1 或 −1<λ≤0 或 λ<−1，即 λ≤0．【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的单调性29. 【答案】(1) 由题知，sinα=4√37，sin (α+β)=5√314，所以，cosβ=cos (α+β−α)=cos (α+β)cosα+sin (α+β)sinα=12． (2) 因为 0<α−β<π4，cos (α−β)=1213，所以 sin (α−β)=513，因为 π<α+β<3π2，sin (α+β)=−35，所以 cos (α+β)=−45，所以 sin2α=sin [(α−β)+(α+β)]=sin (α−β)cos (α+β)+cos (α−β)sin (α+β)=−5665． 【知识点】两角和与差的正弦、两角和与差的余弦30. 【答案】(1) 找出关键的五个点，列表如下： x −2π−3π2−π−π2y =sinx 010−10y =1−sinx10121描点作图，如图所示．(2) 由于 y =sin (x +π)−1=−sinx −1，找出关键的五个点，列表如下： x −2π−3π2−π−π20y =sinx 010−10y =−sinx −1−1−2−10−1描点作图，如图所示． 【知识点】正弦函数的图象。
人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(63)
人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1.已知集合A={−1,0,1,2,3}，B={x∣ x−1≥0}，则A∩B=( )A．{0,1,2,3}B．{1,2,3}C．{2,3}D．{3}2.下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是( )A．B．C．D．3.下列顺序能客观反映教科书中指数幂的推广过程的是( )A．整数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂B．有理数指数幂→整数指数幂→无理数指数幂C．整数指数幂→无理数指数幂→有理数指数幂D．无理数指数幂→有理数指数幂→整数指数幂4.无论a取何正实数，函数f(x)=a x+1−2恒过点( )A．(−1,−1)B．(−1,0)C．(0,−1)D．(−1,−3)5.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p:∀x∈A，2x∈B，则( )A．¬p:∀x∈A，2x∉B B．¬p:∀x∉A，2x∉BC．¬p:∃x∉A，2x∈B D．¬p:∃x∈A，2x∉B6.若函数f(x)=ka x−a−x（a>0且a≠1）是(−∞,+∞)上的单调递增的奇函数，则g(x)=log a(x+k)的图象是( )A．B．C．D．7.已知a,b,c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是( )A．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2<3B．若a+b+c=3，则a2+b2+c2<3C．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2≥3D．若a2+b2+c2≥3，则a+b+c=38.命题“∀x>0，lnx≥1−1x”的否定是( )A．∃x0≤0，lnx0≥1−1x0B．∃x0≤0，lnx0<1−1x0C．∃x0>0，lnx0≥1−1x0D．∃x0>0，lnx0<1−1x09.已知集合A={0,1,2}，集合B={x∣ x>2}，则A∩B=( )A．{2}B．{0,1,2}C．{x∣ x>2}D．∅10.已知集合A={x∣x≥1}，B={−1,0,1,2}，则A⋂B=( )A．{2}B．{1,2}C．{0,1,2}D．{x∣ x≥−1}二、填空题（共10题）11.设函数f(x)={x2+1,x≤12x,x>1，则f(f(3))=．12.本场数学考试时间2小时，请问这段时间时针旋转弧度．13.不等式(x−1)(2−x)≥0的解集是．14.设全集U={−1,0,1,2}，若集合A={−1,0,2}，则∁U A=．15.如果某人x秒内骑车行进了1千米，骑车的速度为y千米/秒，那么y=．16.设集合A={1,3,5,7}，B={x∣ 4≤x≤7}，则A∩B=．17.设集合A={x∣ −1≤x≤2}，B={x∣ 0≤x≤4}，则A∩B=．18.已知偶函数f(x)，且当x∈[0,+∞)时都有(x1−x2)[f(x2)−f(x1)]<0成立，令a=f(−5)，b=f(12)，c=f(−2)，则a，b，c的大小关系是（用“>”连接）．19.已知A={x∣ 2x≤1}，B={−1,0,1}，则A∩B=．20.已知集合M={x∣ x>2}，集合N={x∣ x≤1}，则M∪N=．三、解答题（共10题）21.已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．22.求证：cos2(A+B)−sin2(A−B)=cos2Acos2B．23.指数函数的定义．一般地，函数y=a x（a>0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R．问题：为何指数函数的概念中规定a>0且a≠1？24.a，b是实数，比较a2+b2与2(a+b−1)的大小．25.如何记忆一元二次方程根的分布满足的条件？26.用列举法表示下列给定的集合．(1) 大于1且小于6的整数组成的集合A．(2) 方程x2−9=0的实数根组成的集合B．(3) 小于8的质数组成的集合C．(4) 一次函数y=x+3与y=−2x+6的图象的交点组成的集合D．27.初中我们学习过哪些函数？试举几个具体的例子．28.函数的表示方法主要有哪几种？29.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=x2−2x．(1) 求函数f(x)的单调递增区间；(2) 若a∈R，函数y=f(x)−a的零点个数为F(a)，求F(a)的解析式．30.一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式有何联系？答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【解析】画数轴，选B．【知识点】交、并、补集运算2. 【答案】C【知识点】二分法求近似零点3. 【答案】A【知识点】幂的概念与运算4. 【答案】A【解析】f(−1)=−1，所以函数f(x)=a x+1−2的图象一定过点(−1,−1)．故选A．【知识点】指数函数及其性质5. 【答案】D【解析】命题p:∀x∈A，2x∈B是一个全称量词命题，其命题的否定¬p应为：∃x∈A，2x∉B．故选D．【知识点】全（特）称命题的否定6. 【答案】C【解析】函数f(x)=ka x−a−x（a>0且a≠1）是奇函数，f(−x)=−f(x)对于任意x∈R 恒成立，即ka−x−a x=a−x−ka x对于任意x∈R恒成立，即(k−1)⋅(a x+a−x)=0对于任意x∈R恒成立，故只能是k=1，此时函数f(x)=a x−a−x，由于这个函数单调递增，故只能是a>1．函数g(x)=log a(x+k)的图象是把函数y=log a x的图象沿x轴左移一个单位得到的．【知识点】对数函数及其性质、函数的奇偶性、指数函数及其性质7. 【答案】A【解析】“a+b+c=3”的否定是“a+b+c≠3”，“a2+b2+c2≥3”的否定是“a2+b2+c2<3”．【知识点】全（特）称命题的否定8. 【答案】D【解析】“∀x>0，lnx≥1−1x ”的否定为∀x>0，lnx≥1−1x不恒成立，即“∃x0>0，lnx0<1−1x0”．故选D ．【知识点】全（特）称命题的否定9. 【答案】D【解析】由题意可知集合 A 表示的三个实数 0，1，2，而集合 B 表示的是大于 2 的所有实数，所以两个集合的交集为空集． 【知识点】交、并、补集运算10. 【答案】B【知识点】交、并、补集运算二、填空题（共10题） 11. 【答案】139【解析】 f (3)=23，f(f (3))=f (23)=49+1=139．【知识点】分段函数12. 【答案】 −π3【知识点】弧度制13. 【答案】 [1,2]【知识点】二次不等式的解法14. 【答案】 {1}【知识点】交、并、补集运算15. 【答案】 x −1【知识点】函数模型的综合应用16. 【答案】 {5,7}【知识点】交、并、补集运算17. 【答案】 [0,2]【知识点】交、并、补集运算18. 【答案】 a >c >b【解析】 x 1,x 2∈[0,+∞)，在 x 1>x 2 时，f (x 2)<f (x 1)，在 x 1<x 2 时，f (x 2)>f (x 1)，由上可知，f (x ) 在 [0,+∞) 上单调递增，由 f (x ) 为偶函数，a =f (−5)=f (5)，c =f (−2)=f (2)， 12<2<5，即 f (12)<f (2)<f (5)， 故 a >c >b ．【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性19. 【答案】 {−1,0}【解析】 A =(−∞,12]，B ={−1,0,1}，所以 A ∩B ={−1,0}． 【知识点】交、并、补集运算20. 【答案】 (−∞,1]∪(2,+∞)【知识点】交、并、补集运算三、解答题（共10题）21. 【答案】由题意可知，a =1 或 a 2=a ．（1）若 a =1，则 a 2=1，这与 a 2≠1 相矛盾，故 a ≠1．（2）若 a 2=a ，则 a =0 或 a =1（舍去），又当 a =0 时，A 中含有元素 1 和 0，满足集合中元素的互异性，符合题意． 综上可知，实数 a 的值为 0．【知识点】元素和集合的关系、集合中元素的三个特性22. 【答案】左边=1+cos (2A+2B )2−1−cos (2A−2B )2=cos (2A+2B )+cos (2A−2B )2=12(cos2Acos2B −sin2Asin2B +cos2Acos2B +sin2Asin2B )=cos2Acos2B =右边.所以原等式成立． 【知识点】二倍角公式23. 【答案】①若 a =0，则当 x >0 时，a x =0；当 x ≤0 时，a x 无意义；②若 a <0，则对于 x 的某些数值，可使 a x 无意义．如 (−2)x ，这时对于 x =14，x =12，⋯，在实数范围内函数值不存在； ③若 a =1，则对于任何 x ∈R ，a x =1，是一个常量，没有研究的必要性．【知识点】指数函数及其性质24. 【答案】 a 2+b 2−2(a +b −1)=(a −1)2+(b −1)2≥0，所以 a 2+b 2≥2(a +b −1)． 【知识点】不等式的性质25. 【答案】虽然上述表格中的公式比较复杂，但结合图形理解会比较简单，因此上述公式不要死记硬背，结合图形理解其含义即可． 【知识点】二次不等式的解法26. 【答案】(1) A ={2,3,4,5}．(2) B ={−3,3}． (3) C ={2,3,5,7}． (4) D ={(1,4)}．【知识点】集合的概念27. 【答案】正比例函数 y =x ，一次函数 y =x +1，反比例函数 y =1x ，二次函数 y =x 2．【知识点】函数的相关概念28. 【答案】（1）解析法：解析法是将定义域与值域之间的对应法则用解析式表示．（2）列表法：是将定义域和值域中所有变量的对应法则用表格形式一一列出． （3）图象法：图象法是借助于二维的坐标系刻画两个变量之间的对应法则．【知识点】函数的表示方法29. 【答案】(1) 当 x ∈(−∞,0) 时，−x ∈(0,+∞)，因为 y =f (x ) 是定义域为 R 的奇函数，所以 f (x )=−f (−x )=−[(−x )2−2(−x )]=−x 2−2x ，f (0)=0， 所以 f (x )={x 2−2x,x ≥0,−x 2−2x,x <0.当 x ≥0 时，函数图象开口向上，增区间是 [1,+∞)； 当 x <0 时，函数图象开口向下，增区间是 (−∞,−1]． 所以函数 f (x ) 的单调递增区间是 (−∞,−1]，[1,+∞)．(2) 由（1）可得 f (x ) 的解析式，据此可作出函数 y =f (x ) 的图象，根据图象得，若方程 f (x )=a 恰有 3 个不同的解，则 a 的取值范围是 (−1,1)，此时 F (a )=3，当 a =±1 时，F (a )=2，当 a >1 或 a <−1 时，F (a )=1． 综上可得 F (a )={1,a <−1或a >12,a =±13,−1<a <1．【知识点】函数的单调性、函数的奇偶性、函数的零点分布30. 【答案】（1）一元二次函数与 x 轴的交点为一元二次方程的根；（2）一元二次函数 x 轴上方的部分对应元二次不等式大于 0，下方的部分对应一元二次不等式小于 0；（3）一元二次不等式解集的两个端点恰好为一元二次方程的根．【知识点】二次不等式的解法。
人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(66)
人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1.设函数f(x)=ax+bx2+c的图象如图所示，则a，b，c满足( )A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a2.将函数f(x)=2sin(2x+π3)图象上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π12个单位得到数学函数g(x)的图象，在g(x)图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为( )A．x=−π24B．x=π4C．x=5π24D．x=π123.函数f(x)=−2sin2x+sin2x+1，给出下列四个命题：①在区间[π8,5π8]上是减函数；②直线x=π8是函数图象的一条对称轴；③函数f(x)的图象可由函数y=√2sin2x的图象向左平移π4个单位得到；④若x∈[0,π2]，则f(x)的值域是[0,√2]．其中，正确的命题的序号是( )A．①②B．②③C．①④D．③④4.设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B等于( )A ． {1,2,3,4}B ． {1,2,3}C ． {2,3,4}D ． {1,3,4}5. 函数 f (x ) 在 (−∞,+∞) 单调递增，且为奇函数，若 f (1)=1，则满足 −1≤f (x −2)≤1 的 x 的取值范围是 ( ) A ． [−2,2] B ． [−1,1] C ． [0,4] D ． [1,3]6. 已知 U =R ，集合 M ={x∣ log x 23>1}，N ={x∣ lg∣ 3x −1∣ >0}，则 ( ) A ． M ∪N =R B ． M ∩N =[23,+∞) C ． N ⫋∁U MD ． ∁U M ∪N =R7. 关于 x 的方程 (13)∣x∣−a −1=0 有解，则 a 的取值范围是 ( ) A ． 0<a ≤1B ． −1<a ≤0C ． a ≥1D ． a >08. 若 x ，a ，b 均为任意实数，且 (a +2)2+(b −3)2=1，则 (x −a )2+(lnx −b )2 的最小值为 ( ) A ． 3√2B ． 18C ． 3√2−1D ． 19−6√29. 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f (x )={2x +2,0≤x <14−2−x ,−1≤x <0 且 f (x −1)=f (x +1)，则函数g (x )=f (x )−3x−5x−2在区间 [−1,5] 上的所有零点之和为 ( )A ． 4B ． 5C ． 7D ． 810. 关于 x 的不等式 x 2−x −5>3x 的解集是 ( ) A ． {x∣ x ≥5或x ≤−1} B ． {x∣ x >5或x <−1} C ． {x∣ −1<x <5} D ． {x∣ −1≤x ≤5}二、填空题（共10题）11. 已知 cos (π4−α)=13，则 cos 2(3π4+α)−sin (α+π4) 的值为 ．12. 函数 f (x )=√1−x3+x 的定义域为 ．13. 函数 f (x )=√x −2 的定义域为 ．14. 已知 a >0，b >0，c >0，若点 P (a,b ) 在直线 x +y +c =2 上，则4a+b+a+b c的最小值为 ．15. 函数 f (x )=sin 2x +sinxcosx +1 的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．16. 设函数 y =f (x ) 的定义域为 D ，若对任意 x 1∈D ，存在 x 2∈D ，使得 f (x 1)⋅f (x 2)=1，则称函数 f (x ) 具有性质 M ，给出下列四个结论： ①函数 y =x 3−x 不具有性质 M ； ②函数 y =e x +e −x2具有性质 M ；③若函数 y =log 8(x +2)，x ∈[0,t ] 具有性质 M ，则 t =510； ④若函数 y =3sinx+a4具有性质 M ，则 a =5．其中，正确结论的序号是 ．17. 若函数 y =f (2x −1) 的定义域是 [0,2]，则函数 y =f (x +1) 的定义域是 ．18. 已知全集 U ={x∣ 1≤x ≤5}，A ={x∣ 1≤x <a }，若 ∁U A ={x∣ 2≤x ≤5}，则 a = ．19. 定义域为 R 的函数 f (x ) 同时满足以下两条性质：①存在 x 0∈R ，使得 f (x 0)≠0； ②对于任意 x ∈R ，有 f (x +1)=2f (x )． 根据以下条件，分别写出满足上述性质的一个函数． （ⅰ）若 f (x ) 是增函数，则 f (x )= ； （ⅰ）若 f (x ) 不是单调函数，则 f (x )= ．20. 已知函数 f (n )=log (n+1)(n +2)(n ∈N ∗)，定义使 f (1)⋅f (2)⋅f (3)⋅⋯⋅f (k ) 为整数的数k (k ∈N ∗) 叫做企盼数，则在区间 [1,2017] 内的企盼数共有 个．三、解答题（共10题）21. 已知 cosα=35，α∈(−π2,0)．(1) 求 sinα 和 tanα 定义域； (2) 求 sin (α+π3) 的值．22. 判断下列函数的奇偶性：(1) y=x(tanx+cotx)；(2) y=tanx⋅cotx．23.经过函数性质的学习，我们知道“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形”的充要条件是“y=f(x)为偶函数”．(1) 若f(x)为偶函数，且当x≤0时，f(x)=2x−1，求f(x)的解析式，并求不等式f(x)>f(2x−1)的解集；(2) 某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形”的充要条件是“y=f(x+a)为偶函数”．若函数g(x)的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，g(x)=x2−1x．①求g(x)的解析式；②求不等式g(x)>g(3x−1)的解集．24.下列每组对象能否构成一个集合？（1）我们班的所有高个子同学；（2）不超过20的非负数；（3）直角坐标平面内第一象限的一些点；（4）√3的近似值的全体．25.共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益（单位：元）满足分段函数ℎ(x)={400x−12x2,0<x≤40080000,x>400，其中x是新样式单车的月产量（单位：辆），利润=总收益−总成本．(1) 试将自行车厂的利润y（单位：元）表示为关于月产量x的函数；(2) 当月产量为多少辆时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？26.设幂函数y=x m2−2m−3(m∈Z)在区间(0,+∞)上是严格减函数．(1) 求该函数的表达式；(2) 设f(x)=x m2−2m−3（m为奇数），g(x)=a√f(x)−bxf(x)，且函数y=g(x)的图象关于原点对称，写出实数a，b满足的条件．27.求函数y=log2x+log x(2x)的定义域和值域．28.函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数f(x)=√1−sinx+√1+sinx的性质，并在此基础上填写下表，作出f(x)在区间[−π,2π]上的图象．29.已知集合A={x∣ x≥3}，B={x∣ 1≤x≤7}，C={x∣ x≥a−1}．(1) 求A∩B，A∪B；(2) 若C∪A=A，求实数a的取值范围．30.已知函数f(x)=sin2x−sin2(x−π6)，x∈R．(1) 求f(x)的最小正周期；(2) 求f(x)在区间[−π3,π4]上的最大值和最小值．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】因为函数 f (x ) 的图象关于 y 轴对称，所以函数 f (x ) 是偶函数， 所以 f (−x )=f (x )，即−ax+b x 2+c=ax+b x 2+c恒成立，所以 a =0．又由图知，当 x =0 时，函数取得最大值，且最大值时一个大于 1 的实数， 所以 f (0)=bc >1．又因为函数 f (x ) 的定义域为 R ，所以 x 2+c =0 无解， 所以 c >0，所以 b >c >0，所以 b >c >a ． 【知识点】函数的奇偶性、函数图象2. 【答案】A【解析】将函数 f (x )=2sin (2x +π3) 的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到 y =2sin (4x +π3)，再将所得图象向左平移 π12 个单位得到函数 g (x ) 的图象， 即 g (x )=2sin [4(x +π12)+π3]=2sin (4x +2π3)，由 4x +2π3=π2+kπ，k ∈Z ，得 x =14kπ−π24，k ∈Z ，当 k =0 时，离原点最近的对称轴方程为 x =−π24．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质3. 【答案】A【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质4. 【答案】A【解析】因为 A ={1,2,3}，B ={2,3,4}， 所以 A ∪B ={1,2,3,4}． 【知识点】交、并、补集运算5. 【答案】D【解析】 f (x ) 是奇函数，故 f (−1)=−f (1)=−1；又 f (x ) 是增函数，−1≤f (x −2)≤1，即 f (−1)≤f (x −2)≤f (1)， 则有 −1≤x −2≤1，解得 1≤x ≤3． 【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性6. 【答案】D【知识点】对数函数及其性质7. 【答案】B【解析】方程 (13)∣x∣−a −1=0 有解等价于存在 x ∈R 使得 (13)∣x∣−1=a 成立，设 f (x )=(13)∣x∣−1={(13)∣x∣−1,x ≥03x −1,x <0，易得函数 f (x ) 的值域为 (−1,0]，所以 a 的取值范围为 −1<a ≤0，故选B ．【知识点】零点的存在性定理、指数函数及其性质8. 【答案】D【知识点】对数函数及其性质、圆的切线9. 【答案】B【知识点】函数的周期性、函数的零点分布10. 【答案】B【解析】因为 x 2−x −5>3x ， 所以 x 2−4x −5>0，则 (x −5).(x +1)>0，解得 x >5 或 x <−1． 【知识点】二次不等式的解法二、填空题（共10题） 11. 【答案】 −29【解析】因为 cos (3π4+α)=cos [π−(π4−α)]=−cos (π4−α)=−13，所以 cos 2(3π4+α)=19．又因为 sin (α+π4)=sin [π2−(π4−α)]=cos (π4−α)=13， 所以 cos 2(3π4+α)−sin (α+π4)=19−13=−29．【知识点】诱导公式12. 【答案】(−3,1]【知识点】函数的定义域的概念与求法13. 【答案】[2,+∞)【解析】由x−2≥0，得x≥2．所以函数f(x)=√x−2的定义域为[2,+∞)．【知识点】函数的定义域的概念与求法14. 【答案】2+2√2【知识点】均值不等式的应用15. 【答案】π；[3π8+kπ,7π8+kπ]，k∈Z【解析】原式=1−cos2x2+sin2x2+1=√22sin(2x−π4)+32,故f(x)的最小正周期为π，令2kπ+π2≤2x−π4≤2kπ+3π2(k∈Z)，得kπ+3π8≤x≤kπ+78π(k∈Z)，所以f(x)的单调递减区间为[3π8+kπ,7π8+kπ]，k∈Z．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质16. 【答案】①③【解析】①当x1=1时，f(1)=0，显然不存在x2，使得f(x1)⋅f(x2)=0，故函数y=x3−x不具有性质M．故①正确；②因为e x>0，则y=e x+e−x2=12(e x+1e x)≥12⋅2√e x⋅1e x=1，当且仅当e x=1e x即x=0时等号成立，所以y≥1恒成立，所以当x1≠0时，f(x1)⋅f(x2)>1恒成立，故函数y=e x+e−x2不具有性质M．故②错误；③函数y=log8(x+2)在[0,t]上是单调增函数，其值域为[log82,log8(t+2)]，要使得其具有M性质，则{1log8(t+2)≤log82,log8(t+2)≤1log82,即log82×log8(t+2)=1，解得(t+2)=83，故t=510．故③正确；④若函数y=3sinx+a具有性质M，一方面函数值不可能为零，也即3sinx+a≠0对任意的x恒成立，解得a>3或a<−3，在此条件下，另一方面，y=13sinx+a的值域是y=3sinx+a值域的子集．y=3sinx+a的值域为[a−3,a+3]，y=13sinx+a 的值域为[1a+3,1a−3]，要满足题意，只需1a+3≥a−3，1a−3≤a+3，解得a2−9=1，故a=±√10．故④错误．综上所述，正确的是①③．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质17. 【答案】[−2,2]【解析】函数y=f(2x−1)的定义域是[0,2]，则x∈[0,2]，所以2x−1∈[−1,3]，所以x+1∈[−1,3]，解得x∈[−2,2]．所以函数y=f(x+1)的定义域是[−2,2]．【知识点】函数的定义域的概念与求法18. 【答案】2【知识点】交、并、补集运算19. 【答案】2x；2x sin2πx（答案不唯一）【知识点】指数函数及其性质、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、函数的单调性20. 【答案】9【解析】令g(k)=f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅⋯⋅f(k)，因为f(k)=log(k+1)(k+2)=lg(k+2)lg(k+1)，所以g(k)=lg3lg2×lg4lg3×⋯×lg(k+2)lg(k+1)=lg(k+2)lg2=log2(k+2)．若g(k)为企盼数，则k+2=2n，n∈N∗．因为k∈[1,2017]，所以k+2∈[3,2019]，即2n∈[3,2019]．因为22=4，⋯，210=1024，211=2048，所以可取n=2,3,⋯,10．因此在区间[1,2017]内的企盼数共有9个．【知识点】对数函数及其性质三、解答题（共10题） 21. 【答案】(1) 由 cosα=35，α∈(−π2,0)， 所以 sinα=−√1−cos 2α=−45．所以 tanα=sinαcosα=−43．(2)sin (α+π3)=sinαcos π3+cosαsin π3=−45×12+35×√32=−4+3√310.【知识点】两角和与差的正弦22. 【答案】(1) 偶函数． (2) 偶函数．【知识点】正切函数的性质、函数的奇偶性23. 【答案】(1) 设 x >0，则 −x <0，则 f (−x )=2⋅(−x )−1=−2x −1， 又因为 f (x ) 为偶函数，所以 f (x )=f (−x )=−2x −1， 所以 f (x )={2x −1,x ≤0−2x −1,x >0．因为 f (x ) 为偶函数，且 f (x ) 在 [0,+∞) 上是减函数， 所以 f (x )>f (2x −1) 等价于 ∣x ∣<∣2x −1∣， 即 x 2<(2x −1)2，解得 x <13 或 x >1．所以不等式的解集是 {x∣ x <13或x >1}．(2) ①因为 g (x ) 的图象关于直线 x =1 对称， 所以 y =g (x +1) 为偶函数，所以 g (1+x )=g (1−x )，即 g (x )=g (2−x ) 对任意 x ∈R 恒成立． 又因为当 x <1 时，2−x >1，所以 g (x )=g (2−x )=(2−x )2−12−x =x 2−4x +4+1x−2，所以 g (x )={x 2−1x ,x ≥1x 2−4x +4+1x−2,x <1． ②任取 x 1,x 1∈[1,+∞)，且 x 1<x 2，则 g (x 1)−g (x 2)=x 12−1x 1−(x 22−1x 2)=(x 1−x 2)(x 1+x 2+1x 1x 2)，因为 x 1<x 2，所以 x 1−x 2<0，又因为 x 1+x 2>0，1x 1x 2>0，所以 (x 1−x 2)⋅(x 1+x 2+1x 1x 2)<0，即 g (x 1)<g (x 2)， 所以函数 y =g (x ) 在 [1,+∞) 上是增函数，又因为函数 g (x ) 的图象关于直线 x =1 对称，所以 g (x )>g (3x −1) 等价于 ∣x −1∣>∣3x −2∣，即 (x −1)2>(3x −2)2，解得 12<x <34． 所以不等式的解集为 {x∣ 12<x <34}． 【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性24. 【答案】（1）“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合；（2）任给一个实数 x ，可以明确地判断是不是“不超过 20 的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x >20 或 x <0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过 20 的非负数”能构成集合；（3）“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；（4）“√3 的近似值”不明确精确到什么程度，因此无法判断一个数（如“2”）是不是它的近似值，所以（4）不能构成集合．【知识点】集合的概念25. 【答案】(1) 依题设知，总成本为 (20000+100x ) 元，则 y ={−12x 2+300x −20000,0<x ≤400,且x ∈N 60000−100x.x >400,且x ∈N． (2) 当 0<x ≤400 时，y =−12(x −300)2+25000，故当 x =300 时，y max =25000；当 x >400 时，y =60000−100x 是减函数，故 y <60000−100×400=20000．所以当月产量为 300 辆时，自行车厂的利润最大，最大利润为 25000 元．【知识点】建立函数表达式模型、函数模型的综合应用26. 【答案】(1) 由题意，可知 m 2−2m −3<0，解得 −1<m <3，又 m ∈Z ，所以 m =0,1,2，当 m =0 或 m =2 时，y =x −3；当 m =1 时，y =x −4，所以 y =x −3 或 y =x −4．(2) 由 m 为奇数，可知 f (x )=x −4，得 g (x )=ax −2−bx 3，由题意知 g (−x )=−g (x )，可得 a =0，b ≠0．【知识点】幂函数及其性质、函数的单调性、函数的对称性27. 【答案】由 {x >0,x ≠1,2x >0得 x >0 且 x ≠1，所以此函数的定义域为 (0,1)∪(1,+∞)．由 y =log 2x +log x (2x )=log 2x +log x 2+1，则：当 x >1 时，log 2x >0，log 2x +log x 2≥2（当且仅当 x =2 时，等号成立），得 y ≥3； 当 0<x <1 时，log 2x <0，log 2x +log x 2≤−2（当且仅当 x =12 时，等号成立），得 y ≤−1． 综上所述，此函数的值域为 (−∞,−1]∪[3,+∞)．【知识点】对数函数及其性质、函数的定义域的概念与求法、函数的值域的概念与求法28. 【答案】因为 1−sinx ≥0 且 1+sinx ≥0 在 R 上恒成立，所以函数的定义域为 R ；因为 f 2(x )=(√1−sinx +√1+sinx)2=2+2∣cosx∣，所以由 ∣cosx∣∈[0,1]，f 2(x )∈[2,4] 可得函数的值域为 [√2,2]；因为 f (x +π)=√1+sinx +√1−sinx =f (x )，所以函数的最小正周期为 π．因为当 x ∈[0,π2] 时，f (x )=√1−sinx +√1+sinx =2cos x 2，在 [0,π2] 上为减函数； 当 x ∈[π2,π] 时，f (x )=√1−sinx +√1+sinx =2sin x 2，在 [π2,π] 上为增函数． 所以 f (x ) 在 [kπ−π2,kπ] 上递增，在 [kπ,kπ+π2] 上递减 (k ∈Z )．因为 f (−x )=f (x ) 且 f (π2−x)=f (π2+x)，所以f(x)在其定义域上为偶函数，结合周期为π得到图象关于直线x=kπ2对称．因此，可得如下表格：【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质29. 【答案】(1) A∩B={x∣ x≥3}∩{x∣ 1≤x≤7}={x∣ 3≤x≤7}，A∪B={x∣ x≥3}∪{x∣ 1≤x≤7}={x∣ x≥1}．(2) 因为C∪A=A，所以C⊆A，所以a−1≥3，即a≥4．故实数a的取值范围为{a∣ a≥4}．【知识点】交、并、补集运算30. 【答案】(1) 由已知，有f(x)=1−cos2x2−1−cos(2x−π3)2=12(12cos2x+√34sin2x)−12cos2x=√34sin2x−14cos2x=12sin(2x−π6),所以的最小正周期T=2π2=π；(2) 当−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z时，函数f(x)单调递增，所以−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z时，f(x)单调递增，所以f(x)在区间(−π3,−π6)上是减函数，在区间[−π6,π4]上是增函数，f(−π3)=−14，f(−π6)=−12，f(π4)=√34，所以f(x)在区间[−π3,π4]上的最大值为√34，最小值为−12．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质。
人教版高一数学必修一各章知识点总结测试题组全套(含答案)
9、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
6.已知函数 ，求函数 ， 的解析式
7.已知函数 满足 ，则 =。
8.设 是R上的奇函数，且当 时, ,则当 时 =
在R上的解析式为
9.求下列函数的单调区间：
⑴ ⑵
10.判断函数 的单调性并证明你的结论．
第二章基本初等函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 >1，且 ∈ *．
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致(两点必须同时具备)
2．值域:先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3.函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A)定义法：
高一数学必修一集合复习练习题及单元测试含及解析
集合练习题1．设集合 A ＝ {x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，那么A∪B等于()A． {x|x≥3}B． {x|x ≥ 2}C．{x|2≤x＜3}D．{x|x≥4}2．集合A＝ {1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，那么A∩ B＝()A． {3,5}B．{3,6}C．{3,7}D．{3,9}3. 集合A＝ {x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，那么A∪B＝()A． {x|x≥－1}B．{x|x≤2 }C．{x|0<x≤2}D．{x|－1≤x≤2} 4. 满足 M?{，，，} ，且 M∩{，，} ＝ {，} 的集合M 的个数是 () A． 1B ．2C ．3D．45．集合A＝ {0,2 ， a} ， B ＝ {1 ，} ．假设 A∪ B＝ {0,1,2,4,16}，那么a的值为() A． 0B．1C．2D．46．设S＝ {x|2x ＋ 1>0} ， T＝ {x|3x － 5<0} ，那么 S∩ T＝ ()A． ?B．{x|x<－1/2}C． {x|x>5/3}D．{x|－1/2<x<5/3}7． 50 名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30 名，参加乙项的学生有25 名，那么仅参加了一项活动的学生人数为________ ．8．满足 {1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合 A 的个数是 ________ ．9．集合A＝ {x|x ≤1} ， B＝ {x|x ≥a} ，且 A∪B ＝R，那么实数 a 的取值范围是________ ．10. 集合A＝ { － 4,2a － 1，} ， B＝ {a － 5,1 － a,9} ，假设 A ∩B＝ {9} ，求 a 的值．..11 ．集合A＝ {1,3,5}，B＝{1,2，－1}，假设A∪ B＝{1,2,3,5}，求x 及A∩B.12 ． A ＝ {x|2a ≤ x≤a＋ 3} ， B＝{x|x<－1或x>5}，假设A∩ B＝?，求a的取值范围．13 ． (10 分 ) 某班有36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有 6 人，同时参加物理和化学小组的有 4 人，那么同时参加数学和化学小组的有多少人？集合测试一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分。