传热学大作业(2)

传热学大作业(2)

二维稳态计算练习1、原始题目及要求

二维平壁的节点划分及边界条件如上图所示，计算要求如下：

1. 写出各未知温度节点的代数方程

2. 分别给出G-S迭代和Jacobi迭代程序

3. 程序中给出两种自动判定收敛的方法

4. 考察三种不同初值时的收敛快慢

5. 上下边界的热流量（λ=1W/(m℃））

6. 绘出最终结果的等值线

报告要求如下：

1. 原始题目及要求

2. 各节点的离散化的代数方程

3. 源程序

4. 不同初值时的收敛快慢

5. 上下边界的热流量（λ=1W/(m℃））

6. 计算结果的等温线图

7. 计算小结

2. 各节点的离散化的代数方程

将上图二维平壁的节点编号如下

各节点的离散化代数方程如下：

由于（5，1）为歧义点，现将其近似认为对流边界外部拐点，其节点离散化代数方程为：3.源程序

（1）、G-S迭代算法Matlab源程序：

t=zeros(5,5);

t0=zeros(5,5);

e=0.001;

h=10;

n=1;

tf=10;

for j=1:5 %上边界节点

t(1,j)=200;

end

for i=1:5 %右边界节点

t(i,5)=100;

end

for k=1:100

for i=2:4 %内部节点

for j=2:4

t(i,j)=(t(i-1,j)+t(i+1,j)+t(i,j-1)+t(i,j+1))/4;

end

end

for i=2:4;%左边界节点

t(i,1)=(2*t(i,2)+t(i-1,1)+t(i+1,1)+2*h*tf/n)/(4+2*h/n); end

for j=2:4; %下边界节点

t(5,j)=(t(5,j-1)+t(5,j+1)+2*t(4,j))/4;

end

t(5,1)=(t(4,1)+t(5,2)+2*h*tf/n)/(2+2*h/n); %(5,1)节点dtmax=0;

for i=1:5

for j=1:5

dtmax=max(abs(t(i,j)-t0(i,j)),dtmax);

end

end

contour(t',30);

t0=t;

t

pause;

if dtmax

end

（2）Jacobi迭代Matlab源程序

t=zeros(5,5);

t0=zeros(5,5);

e=0.001;

h=10;

n=1;

tf=10;

Num=0;

for j=1:5 %上边界节点

t(1,j)=200;

end

for i=1:5 %右边界节点

t(i,5)=100;

end

t0=t;

for k=1:100

for i=2:4 %内部节点

for j=2:4

t(i,j)=(t0(i-1,j)+t0(i+1,j)+t0(i,j-1)+t0(i,j+1))/4; end

end

for i=2:4;%左边界节点

t(i,1)=(2*t0(i,2)+t0(i-1,1)+t0(i+1,1)+2*h*tf/n)/(4+2*h/n); end

for j=2:4; %下边界节点

t(5,j)=(t0(5,j-1)+t0(5,j+1)+2*t0(4,j))/4;

end

t(5,1)=(t(4,1)+t(5,2)+2*h*tf/n)/(2+2*h/n); %(5,1)节点dtmax=0;

for i=1:5

for j=1:5

dtmax=max(abs(t(i,j)-t0(i,j)),dtmax);

end

end

contour(t',30);

t0=t;

t

pause;

Num=Num+1;

Num

if dtmax

end

比较两种方法的收敛速度：

G-S法最终输出结果如下：

t =

200.0000 200.0000 200.0000 200.0000 100.0000

26.2727 107.4214 135.1054 135.4873 100.0000

15.7010 68.3085 97.5138 106.8443 100.0000

13.9343 52.5990 79.7981 94.3766 100.0000

13.5242 48.3564 74.7042 90.8644 100.0000

Num =

29

Jacobi法最终结果如下：

t =

200.0000 200.0000 200.0000 200.0000 100.0000

26.2695 107.3899 135.0717 135.4675 100.0000

15.6897 68.2189 97.4308 106.7988 100.0000

13.8464 52.3668 79.6357 94.2985 100.0000

11.8916 47.7681 74.4495 90.7611 100.0000

Num =

53

由此可见，G-S法比Jacobi法收敛速度快，就本题初值为0而言，收敛速度大概为其两倍左右。

4.不同初值时的收敛快慢

讨论不同初值时的收敛快慢问题以G-S法为例，下面分别给出初值从0—200变化时计算次数的曲线：

由上图可以非

常清晰地看出在初

始值取75的时候计算次数最少为15次，也即对于本问题来说，初值取75时收敛速度最快。

5.上下边界的热流量

由于下边界绝热，所以下边界的热流量

上边界的热流量算法如下：

=358.865W

最终结果：?

上

6.计算结果等温图

7.计算小结

数值分析方法是解决稳态导热的重要解法。数值解是借助于计算方法和计算机对微分方程求解，即数值计算。数值计算首先必须将物理现象发生的区域离散化，每个单元体的物理量用划分节点的物理量代替，常用的方法是有限差分法和有限元法。

利用G-S迭代法或者Jacobi迭代算法都能得到比较良好的计算结果，但从分析来看，G-S 算法比Jacobi算法迭代速度更快，然而有资料显示Jacobi算法比G-S算法更为稳定。

Matlab是一款强大的数学工具，特别是在矩阵计算方面有它的独特之处。从本题计算来看，Matlab计算运行速度较快，并且代码量少，画图简单易行，使稳态导热问题的求解变得更为方便。