50条圆锥曲线性质和结论

50条圆锥曲线性质和结论
50条圆锥曲线性质和结论

椭圆与双曲线的对偶性质(必背的经典结论)

1.

2. 椭圆22

221x y a b

+=(a >b >0)的焦半径公式:

10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).

设过椭圆焦点F 作直线与椭圆椭 圆

3. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.

4. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.

5. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.

6. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

7.

若000(,)P x y 在椭圆

2

2

221x y

a b +=上,则过0

P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b

+=. 8. 若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点

弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y

a b

+=.

9. 椭圆22

221x y a b

+= (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点

12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan

2

F PF S b γ

?=.相交 P 、Q 两点,A 为椭圆

长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.

10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11.AB 是椭圆

2

2

221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则2

2

OM AB b

k k a ?=-, 即0

20

2y a x b K AB

-=。 12.若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是

22

00002222x x y y x y a b a b +=+. 13.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b

+=+.

双曲线

1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.

2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支)

5. 若000(,)P x y 在双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)上,则过0P 的双曲线的切线方程是

00221x x y y

a b

-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)外 ,则过Po 作双曲线的两条切

线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y

a b

-=.

7. 双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >o )的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为双曲线上任

意一点12F PF γ∠=,则双曲线的焦点角形的面积为1

2

2t 2

F PF S b co γ

?=.

8. 双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >o )的焦半径公式:(1(,0)F c - , 2(,0)F c

当00(,)M x y 在右支上时,10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.

当00(,)M x y 在左支上时,10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--

9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.

10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF.

11.AB 是双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的

中点,则0202y a x b K K AB OM =?,即020

2y a x b K AB =。

12.若000(,)P x y 在双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)内,则被Po 所平分的中点弦的方

程是22

00002222x x y y x y a b a b

-=-.

13.若000(,)P x y 在双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)内,则过Po 的弦中点的轨迹方程

是22002222x x y y x y a b a b

-=-. 椭圆与双曲线的对偶性质(会推导的经典结论)

椭 圆

1. 椭圆22

221x y a b

+=(a >b >o )的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直线

交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22

221x y a b

-=.

2. 过椭圆22

221x y a b

+= (a >0, b >0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直

线交椭圆于B,C 两点,则直线BC 有定向且20

20BC b x k a y =(常数).

3. 若P 为椭圆22

221x y a b

+=(a >b >0)上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点,

12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则

tan t 22

a c co a c αβ

-=+. 4. 设椭圆22

221x y a b

+=(a >b >0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)为椭圆

上任意一点,在△PF 1F 2中,记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有

sin sin sin c

e a

αβγ==+.

5. 若椭圆22

221x y a b

+=(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为L ,则当0

<e

1时,可在椭圆上求一点P ,使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.

6. P 为椭圆22

221x y a b

+=(a >b >0)上任一点,F 1,F 2为二焦点,A 为椭圆内一定点,

则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时,等号成立.

7. 椭圆22

0022

()()1x x y y a b

--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++. 8. 已知椭圆22

221x y a b

+=(a >b >0),O 为坐标原点,P 、Q 为椭圆上两动点,且OP OQ ⊥.

(1)22221111||||OP OQ a b +=+;(2)|OP|2+|OQ|2

的最大值为22224a b a b +;(3)OPQ S ?的

最小值是22

22a b a b +.

9. 过椭圆22

221x y a b

+=(a >b >0)的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦

MN 的垂直平分线交x 轴于P ,则

||||2PF e

MN =. 10.已知椭圆22

221x y a b

+=( a >b >0) ,A 、B 、是椭圆上的两点,线段AB 的垂直平

分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则2222

0a b a b x a a ---<<. 11.设P 点是椭圆22

221x y a b

+=( a >b >0)上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦

点记12F PF θ∠=,则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2

PF F S b γ

?=.

12.设A 、B 是椭圆22

221x y a b

+=( a >b >0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点,PAB α∠=,

PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ

=-.(2) 2

tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ?=-.

13.已知椭圆22

221x y a b

+=( a >b >0)的右准线l 与x 轴相交于点E ,过椭圆右焦点F

的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC 经过线段EF 的中点.

14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).

(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)

17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质(会推导的经典结论)

双曲线

1. 双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行

的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22

221x y a b

+=.

2. 过双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >o )上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补

的直线交双曲线于B,C 两点,则直线BC 有定向且20

20BC b x k a y =-(常数).

3. 若P 为双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F 1,

F

2

是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则

tan t

22

c a co c a αβ

-=+(或tan t 22

c a co c a βα

-=+). 4. 设双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异

5. 于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PF 1F 2中,记

6. 12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有

sin (sin sin )c

e a

αγβ==±-. 7. 若双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为L ,

则当1<e

1时,可在双曲线上求一点P ,使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.

8. P 为双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)上任一点,F 1,F 2为二焦点,A 为双曲线

内一定点,则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时,等号成立.

9. 双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是

22222A a B b C -≤.

10.已知双曲线22

221x y a b

-=(b >a >0),O 为坐标原点,P 、Q 为双曲线上两动

点,且OP OQ ⊥.

(1)

2222

1111||||OP OQ a b +=-;(2)|OP|2+|OQ|2

的最小值为22

224a b b a -;(3)OPQ S ?的

最小值是22

22a b b a

-.

11.过双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于

M,N 两点,弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ,则

||||2PF e

MN =. 12.已知双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0),A 、B 是双曲线上的两点,线段AB 的

垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a

+≥或22

0a b x a +≤-.

13.设P 点是双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2

为其焦点记12F PF θ∠=,则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122cot 2

PF F S b γ

?=.

14.设A 、B 是双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)的长轴两端点,P 是双曲线上的

一点,PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率,

则有(1)22222|cos ||||s |

ab PA a c co αγ=-.

(2) 2

tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB

a b S b a

γ?=+. 15.已知双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)的右准线l 与x 轴相交于点E ,过双曲

线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC 经过线段EF 的中点.

16.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

17.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点

的连线必与焦半径互相垂直.

18.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).

(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).

19.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.

20.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的点的焦半径之比为常数e(离心率).

(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).

21.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.

22.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

高考圆锥曲线基本性质综合复习

第一节焦点三角形 一、焦点三角形的周长 知识点:(1)已知21,F F 分别为椭圆122 22=+b y a x 的左、右焦点,P 是椭圆上的动点,则21F PF ?的周长恒为c a 22+; (2)已知21,F F 分别为椭圆122 22=+b y a x 的左、右焦点,l 过焦点1F 且与椭圆交于B A ,两点,则2ABF ?的周长恒为. 4a 例1,已知21,F F 分别为椭圆1:22 22=+b y a x E 的左、右焦点,过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于B A ,两点,且22,,BF AB AF 成等差数列,求E 的离心率.变式1,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点21,F F 在x 轴上,离心率为2 2,过点1F 的直线l 交C 于B A ,两点,且2ABF ?的周长为16,求椭圆的方程.二、焦点三角形的面积 知识点:(1)已知21,F F 分别为椭圆122 22=+b y a x 的左、右焦点,M 是椭圆上的动点,则21F MF ?的面积为)(2 tan 212MF F b y c S M ∠===θθ;(2)已知21,F F 分别为双曲线1-22 22=b y a x 的左、右焦点,M 是双曲线上的动点,则21F MF ?的面积为).(2 tan 212MF F b y c S M ∠===θθ

例2,已知双曲线122 2 =-y x 的焦点为21,F F ,点M 在双曲线上且021=?MF MF ,则点M 到x 轴的距离为_______. 变式2,已知双曲线1:22=-y x C 的焦点为21,F F ,点P 在C 上,02160=∠PF F ,则21PF PF ?=___________. 三、焦点三角形的角平分线 知识点:(1)在ABC ?中,AD 为ABC ?的角平分线,则CD BD AC AB =;(2)已知点P 是椭圆122 22=+b y a x 上的动点,21,F F 为椭圆的两个焦点,21F PF ?的内切圆的半径为r ,则). (21c a r S F PF +=?例3,已知21,F F 为椭圆112 162 2=+y x 的左右焦点,点)3,2(A 在椭圆上,求21AF F ∠的角平分线所在直线的方程. 变式3,已知21,F F 分别为双曲线127 9:2 2=-y x C 的左右焦点,A 为C 上一点,点M 的坐标为)0,2(-,AM 为21AF F ∠的角平分线,则._____2=AF

圆锥曲线知识点总结版

圆锥 曲线的方程与性质 1.椭圆 (1)椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a (大于21||F F )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点,则有21||||2MF MF a +=。 椭圆的标准方程为: 22 221x y a b +=(0a b >>)(焦点在x 轴上)或 122 22=+b x a y (0a b >>)(焦点在y 轴上)。 注:①以上方程中,a b 的大小0a b >>,其中222b a c =-; ②在22221x y a b +=和22 221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件,要分清焦点的位 置,只要看2 x 和2 y 的分母的大小。例如椭圆22 1x y m n +=(0m >,0n >,m n ≠)当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆;当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。 (2)椭圆的性质 ①范围:由标准方程22 221x y a b +=知||x a ≤,||y b ≤,说明椭圆位于直线x a =±,y b =±所围成的矩形里; ②对称性:在曲线方程里,若以y -代替y 方程不变,所以若点(,)x y 在曲线上时,点(,)x y -也在曲线上,所以曲线关于x 轴对称,同理,以x -代替x 方程不变,则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ,y -代替y 方程也不变,则曲线关于原点对称。 所以,椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原

点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心; ③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中,令0x =,得y b =±,则1(0,)B b -,2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±,即1(,0)A a -,2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。 所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时,线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a 和2b , a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ;在22Rt OB F ?中, 2||OB b =,2||OF c =,22||B F a =,且2222222||||||OF B F OB =-,即222c a b =-; ④离心率:椭圆的焦距与长轴的比c e a =叫椭圆的离心率。∵0a c >>,∴ 01e <<,且e 越接近1,c 就越接近a ,从而b 就越小,对应的椭圆越扁;反之,e 越接近于0,c 就越接近于0,从而b 越接近于a ,这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b =时,0c =,两焦点重合,图形变为圆,方程为222x y a +=。 2.双曲线 (1)双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线(12||||||2PF PF a -=)。 注意:①式中是差的绝对值,在1202||a F F <<条件下;12||||2PF PF a -=时为双曲线的一支; 21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支(含1F 的一支);②当122||a F F =时,12||||||2PF PF a -=表示两条射线; ③当122||a F F >时,12||||||2PF PF a -=不表示任何图形;④两定点12,F F 叫做双曲线的焦点,12||F F 叫做焦距。 (2)双曲线的性质

圆锥曲线经典性质总结材料及证明

圆锥曲线的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.(椭圆的光学性质) 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆,除去长轴的两个端点.(中位线) 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直 径的圆切.(第二定义) 4. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.(求 导) 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.(结合4) 6. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=.(余弦定理+面积公式+ 半角公式) 7. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).(第二定义) 8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF

9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. MN 其实就在准线上,下面证明他在准线上 根据第8条,证毕 10. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2OM AB b k k a ?=-, 即0 20 2y a x b K AB -=。(点差法)

圆锥曲线知识点整理

高二数学圆锥曲线知识整理 解析几何的基本问题之一:如何求曲线(点的轨迹)方程。它一般分为两类基本题型:一是已知轨迹类型求其方程,常用待定系数法,如求直线及圆的方程就是典型例题;二是未知轨迹类型,此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外,通常设法利用已知轨迹的定义解题,化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中,一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系),侧重于数的运算,一是寻找与动点有关的几何条件,侧重于形,重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中,除了直线、圆外,还有三种圆锥曲线:椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 (1)统一定义,三种圆锥曲线均可看成是这样的点集:? ?????>=0e ,e d |PF ||P ,其中 F 为定点,d 为P 到定直线的距离,如图。 因为三者有统一定义,所以,它们的一些性质,研究它们的一些方法都具有规律性。 当01时,点P 轨迹是双曲线;当e=1时,点P 轨迹是抛物线。 (2)椭圆及双曲线几何定义:椭圆:{P||PF 1|+|PF 2|=2a ,2a>|F 1F 2|>0,F 1、F 2为定点},双曲线{P|||PF 1|-|PF 2||=2a ,|F 1F 2|>2a>0,F 1,F 2为定点}。 (3)圆锥曲线的几何性质:几何性质是圆锥曲线内在的,固有的性质,不因为位置的改变而改变。 定性:焦点在与准线垂直的对称轴上 椭圆及双曲线中:中心为两焦点中点,两准线关于中心对称;椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称,关于中心成中心对称。 (4)圆锥曲线的标准方程及解析量(随坐标改变而变) 举焦点在x 轴上的方程如下: 椭 圆 双 曲 线 抛 物 线 标准方程 1b y a x 2 22 2=+ (a>b>0) 1b y a x 2 22 2=- (a>0,b>0) y 2=2px (p>0) 顶 点 (±a ,0) (0,±b ) (±a ,0) (0,0) 焦 点 (±c ,0) ( 2 p ,0) 准 线 X=±c a 2 x=2 p - 中 心 (0,0) 焦半径 P(x 0,y 0)为圆锥曲线上一点,F 1、F 2分别为左、右焦点 |PF 1|=a+ex 0 |PF 2|=a-ex 0 P 在右支时: |PF 1|=a+ex 0 |PF 2|=-a+ex 0 P 在左支时: |PF 1|=-a-ex 0 |PF 2|=a-ex 0 |PF|=x 0+ 2 p

圆锥曲线的定义性质与结论(解析版)

圆锥曲线的基本定义性质与结论 考点一 圆锥曲线的定义 (一) 椭圆及其标准方程 1.椭圆的定义:平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 2.椭圆的标准方程: ①x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0),焦点是()()0,0,21 c F c F ,-,且c 2=a 2?b 2. ② y 2a 2+ x 2b 2 =1(a >b >0),焦点是()()0,0,21c F c F ,-,且c 2=a 2?b 2. 3.椭圆的几何性质(用标准方程x 2 a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)研究): 1)范围:?a ≤x ≤a ,?b ≤y ≤b ; 2)对称性:以x 轴、y 轴为对称轴,以坐标原点为对称中心,椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心; 3)椭圆的顶点:椭圆与它的对称轴的四个交点,如图中的2121,,,B B A A ; 4)长轴与短轴:焦点所在的对称轴上,两个顶点间的线段称为椭圆的长轴,如图中线段的A 1A 2;另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴,如图中的线段B 1B 2. 5)椭圆的离心率:e =c a ,焦距与长轴长之比,0>=-b a b y a x ,焦点坐标为()()0,0,21c F c F ,-,c 2=a 2+b 2; ②)0,0(122 22>>=-b a b x a y ,焦点坐标为()()c F c F ,0,021,-,c 2=a 2+b 2; 3.双曲线的几何性质 1)范围:x ≥a 或x ≤?a ;如图. 2)对称性:以x 轴、y 轴为对称轴,以坐标原点为对称中心,这个对称中心又叫做双曲线的中心.

高考数学圆锥曲线的经典性质50条

For pers onal use only in study and research; not for commercial use 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8 . For pers onal use only in study and research; not for commercial use 椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论) 椭圆 点P处的切线PT平分△ PF1F2在点P处的外角. PT平分△ PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 若 F0(X 若 P0(X0 2 x ,y0)在椭圆一亍 a 2 、x ,y0)在椭圆一2 a 2 2 2 2 y - b y - b =1上,则过P0的椭圆的切线方程是一0厂?辔=1. a b =1外,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦 2 x 椭圆 一2 a 2 x 椭圆一 2 a 2 2 2 2 y b y - b =1 (a>b> 0)的左右焦点分别为F1, F2,点P为椭圆上任意一点一RPF2 - =1 ( a > b> 0)的焦半径公式: P1P2的直线方程是°2 - =1. a b 戈,则椭圆的焦点角形的面积为S A:1PF2 = b2 tan—

|MF i |=a ex o ,|MF 2p a-( Fj-c,0) , F 2(c,0) M (心 y °)). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、N 两点,贝U MF 丄NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A i 、A 2为椭圆长轴上的顶点, A i P 和A 2Q 交于点M , A 2P 和A i Q 交于点N ,则MF 丄NF. 2 2 2 2 -2 y ^ = 1内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是一2 y^ - ―02 - a b a b a b 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线 相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支) 2 2 5. 若F 0(x 0, y 0)在双曲线 令-占=1( a > 0,b > 0)上,则过F 0的双曲线的切线方程是 彎一呼 =1. a b a b 2 2 6. 若i =0(x 0, y 0)在双曲线—~2 ^2 -1(a >0,b >0)外,则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦 P 1P 2的直线方程是■X 0,__y°y = 11. AB 是椭圆 即 K AB 2 2 a 2 b 2 b 2X 0 —2 。 a y ° =1的不平行于对称轴的弦, M (x 0, y 0)为AB 的中点,_则k OM k AB = b 2 ~2 , a 12. F 0(X o , y o )在椭圆 2 2 7占=1内,则被Po 所平分的中点弦的方程是翠晋色 止 a 2 b 2 13. F 0(x 0,y °)在椭圆

高考数学圆锥曲线的经典性质50条

椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论) 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是002 21x x y y a b +=. 6. 若000 (,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为12 2 tan 2F PF S b γ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则2 2 OM AB b k k a ?=-, 即0 20 2y a x b K AB -=。

圆锥曲线经典性质总结及证明!!!

Gandongle 椭圆双曲线的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.(椭圆的光学性质) 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆,除去长轴的两个端点.(中位线) 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直 径的圆内切.(第二定义) 4. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.(求导) 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.(结合4) 6. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=.(余弦定理+面积公式+ 半角公式) 7. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).(第二定义) 8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF

圆锥曲线的统一性质

圆锥曲线的统一性质: 石家庄第一中学 冯伟冀 1. 第二定义的统一性 圆的准线在∞,0=e . 2. 极坐标方程的统一性 3. 曲线上一点光学性质的统一性 椭圆:点光源在一个焦点上,光线通过另一个焦点。 双曲线:点光源在一个焦点上,反射光线与另一焦点到反射点的连线在同一条直线上。 抛物线:点光源在焦点上,反射光线相互平行且垂直于准线。具体应用:探照灯 4. 一般弦长公式具有统一性 5. 过焦点弦长公式具有统一性 6. 过曲线上一点切线方程的统一性 7. 直径所对周角之斜率乘积的统一性 8. 焦点弦端点切线的交点轨迹的统一性 9. 过焦点且和焦点弦垂直的的直线和焦点弦端点切线的关系统一性 10. 过非等轴双曲线曲线上一点做互相垂直弦共有的性质 11. 过曲线上一点做倾斜角互补直线所成弦而具有共有的性质 12. 内部焦点弦被焦点分成两个焦半径倒数和为定值 13. 圆锥曲线内部外部点代入方程后不等式符号的统一性 14. 过同一焦点两任意焦点弦AB 和CD ,AC 和BD 交点轨迹统一 15. 任意一弦BA 延长交准线于E ,则FE 平分BFA 外角 16. 任意一弦BA 延长交准线于E ,则FE 平分BFA 外角,又任意一弦AN 延长 交准线于Q ,则FQ 平分BFA 外角后得到EFQ 是直角 17. 过一个焦点交圆锥曲线于MN ,做MN 的垂直平分线交轴与P 则离心率等于 2PF/MN 18. 二次曲线和二次曲线交于两点AB ,联立两方程消X 得0)(=Y H ,消Y 得 0)(=X G 则AB 为端点的圆的方程就是0)()(=+Y H X G (必须先保证X 和Y 系数相同) 19. 若有弦AB,AB 中点为),(00.y x P 则弦AB 方程为 0)2,2(),(00=---y y x x f y x f 20. 圆锥曲线通径长统一为定值ep 2 21. 利用统一的圆锥曲线方程中判别式可以判断曲线类型 22. F 是焦点,E 是F 对应准线L 和轴交点AD 垂直L ,BC 垂直L 则有BD 、AC 同时平分线段EF (一组关系) 23. F 是焦点,E 是F 对应准线L 和轴交点AB 是过焦点F 的弦,BC 平行FE ,N 是线段EF 的中点,则BC 和AN 交点C 在准线L 上 24 F 是焦点,E 是F 对应准线L 和轴交点,B 是圆锥曲线上一点,C 在L 上,BC 平行FE ,N 是线段EF 中点,则直线BF 和CN 的交点A 恰在圆锥曲线上 25过圆锥曲线准线L 上一点做圆锥曲线的两条切线MA 、MB 则切点弦必过焦点F 且和MF 垂直(一组关系) 25 F 是焦点,过曲线上一点P 的切线与相应于焦点F 的准线交于Q ,则PFQ 是直角 26 点P 在圆锥曲线上时过P 的切线方程和点P 不在曲线上的切点弦方程一致 27 截圆锥得到圆锥曲线的统一性:用垂直与锥轴的平面去截圆锥,得到的是圆;把平面渐渐倾斜,得到椭圆;当平面和圆锥的一条母线平行时,得到抛物线;当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”,把双曲线叫做“超曲线”,把抛物线叫做“齐曲线”。 28焦点关于切线的对称点的轨迹统一性问题 29过圆锥曲线外一点做和圆锥曲线有一个公共点的直线的统一性问题 30 圆锥曲线的以焦点为圆心以2a 为直径的特征大圆和以中心为圆点以a 为半径的特征小圆的统一性问题 31从圆锥曲线外一定点P 引两条切线P A 、PB ,A 、B 为切点,过圆锥曲线上的任一点引切线交P A 、PB 于C 、D ,则CFD ∠是定值. 32从圆锥曲线外准线上一点P 引两条切线P A 、PB ,A 、B 为切点,过圆锥曲线上的 任一点引切线交P A 、PB 于C 、D ,则2 π =∠CFD ,是定值. 33AB 是圆锥曲线的(直径,长轴,实轴,轴),过B 的直线l AB ⊥,点D 是圆锥曲线上除轴两端点外任意一点,直线AD 交直线l 于点E ,点C 是线段BE 的中点,那么DC 是圆锥曲线的切线。(一组关系) 34过圆锥曲线焦半径的端点作切线,与以轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 35已知圆锥曲线E 的焦点为F,其对应准线为L,L 与F 所在的对称轴交于点A,动弦BC 平行于L,直线AB 与圆锥曲线E 相交于D,则C,D,F 三点共线.

解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质

4.2解析几何--圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 1.(2010·安徽双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为 ( A. B. C. D.(,0 解析:∵原方程可化为-=1,a2=1, b2=,c2=a2+b2=, ∴右焦点为. 答案:C 2.(2010·天津已知双曲线-=1(a>0,b>0的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为 ( A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析:∵渐近线方程是y=x,∴=.① ∵双曲线的一个焦点在y2=24x的准线上, ∴c=6.② 又c2=a2+b2,③ 由①②③知,a2=9,b2=27, 此双曲线方程为-=1. 答案:B

4.(2010·辽宁设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为-,那么|PF|= ( A.4 B.8 C.8 D.16 解析:解法一:AF直线方程为: y=-(x-2, 当x=-2时,y=4,4A(-2,4. 当y=4时代入y2=8x中,x=6, 4P(6,4, 4|PF|=|PA|=6-(-2=8.故选B. 解法二:5PA∞l,4PA%x轴.

又5 AFO=60°,4 FAP=60°, 又由抛物线定义知PA=PF, 4≥PAF为等边三角形. 又在Rt≥AFF′中,FF′=4, 4FA=8,4PA=8.故选B. 答案:B 5.高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上,且相距10 m,则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为 ( A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析:如图1,假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆,P点为地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点,由于∠BPA=∠DPC,则Rt△ABP∽Rt△CDP,=,从而 PC=2PA.在平面APC上,以AC为x轴,AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2,则A(-5,0,C(5,0,设P(x,y,得=2 化简得x2+y2+x+25=0,显然,P点的轨迹为圆. 答案:A 二、填空题 解析:由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则c

圆锥曲线性质

圆锥曲线的性质 、基础知识 (一)椭圆: 1定义和标准方程: (1)平面上到两个定点F U F2的距离和为定值(定值大于F1F2)的点的轨迹称为椭圆,其中F1, F2称为椭圆的焦点,F1F2称为椭圆的焦距 (2)标准方程: ①焦点在x轴上的椭圆:设椭圆上一点P x,y ,F1 -c,0 , F2C,0,设距离和 2 2 PF i PF2 = 2a,则椭圆的标准方程为:-y2 =1,其中a b 0,b2二a2 - c2 a b ②焦点在y轴上的椭圆:设椭圆上一点P x,y ,F10^C ,F20,C,设距离和 2 2 PFi +|PF2;=2a,则椭圆的标准方程为:专+令二丨,其中(a Ab>0,b2=a2—c2) a b 焦点在哪个轴上,则标准方程中哪个字母的分母更大 2 2 2、椭圆的性质:以焦点在x轴的椭圆为例:笃?爲=1 a b 0 a b (1)a:与长轴的顶点有关:A - a,0 ,A a,0 ,A A =2a称为长轴长 b :与短轴的顶点有关: BdO,-b),B2(0,b ),IB1B2 =2b称为短轴长 C :与焦点有关:斤(—c,O )F? (c,O ), F1F2 =2c称为焦距 (2)对称性:椭圆关于x轴,y轴对称,且关于原点中心对称 (3)椭圆上点的坐标范围:设P x O,y O,则-a乞x O空a,-b乞y O乞b (4)通径:焦点弦长的最小值 ①焦点弦:椭圆中过焦点的弦 2b2 ②过焦点且与长轴垂直的弦,PQ|=—— a 说明:假设PQ过F r;_c,O ,且与长轴垂直,则P:L c, y O ,Q1. —c, - y O,所以

= (|PF i | +IPF 2I ) -2 PF 』PF 2 (1 +COSF 1PF2 ) .4c 2 =4a 2 -2 PF j|PF 2 1 cosFfF 2 PF 」|PF 2 = " _2c 1 +cosF 1PF 2 1 +cosF 1PF 2 比 2 .込各比出n 吐 1 COS RPF 2 2 F 1,F 2距离差为一个常数,则轨迹为双曲线的一支 2、标准方程: 厶 + 卑=1 二 y ; =3,可得 y 。-。则 PQ = a b a a 2b 2 (5) 离心率:e = c ,因为c a ,所以e - 0,1 a (6) 焦半径公式:称 P 到焦点的距离为椭圆的焦半径 ①设椭圆上一点 P(x 0,y 0 ),则 PR =a+ex), PF 2 ②焦半径的最值:由焦半径公式可得:焦半径的最大值为 (7)焦点三角形面积: S P FF 2二b 2 tan ;(其中n 1 证明:S PF ^- PF 1 - PF 2 sinRPF 2 2 + PF 且 F 1F 2 2 -2 PF 1H PF 2 cosRPF ? =a - e)(Q (可记为“左加右减”) a c ,最小值为a - c =PF 1F 2) 2b 2 1 〈PFf =2 PF 1 ' PF 2 1 sin F ]PF 2 : 2 1 cosPF F 2b 2 sin F |PF 2 1 因为 S PF/2 = 2 2c F 1PF 2 We%,所以2 =c y o ,由此得到的推论: ①.F 1PF 2的大小与 y 0之间可相互求出 ②? F 1 PF 2的最大值: F 1 PF 2 最大二 S PF 1 F 2 最大二 y o 最大=P 为短轴顶点 (二) 双曲线: 1、定义:平面上到两个定点 F 「F 2距离差的绝对值为一个常数(小于 F 1F 2)的点的轨迹 称为双曲线,其中 h,F 2称为椭圆的焦点, F 1F 2称为椭圆的焦距;如果只是到两个定点

江苏高考数学圆锥曲线性质总结

高考数学圆锥曲线性质总结 椭圆与双曲线的对偶性质 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为 122tan 2 F PF S b γ ?=.

8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线 于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N , 则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则2 2OM AB b k k a ?=-, 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的角.

Song神圆锥曲线的性质整理 (1)

数学 椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论) 椭圆必背的经典结论 1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角. x 2.PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的 轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. x 3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. x 4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. x 5.若 000 (,) P x y在椭圆 22 22 1 x y a b +=上,则过 P的椭圆的切线方程是 00 22 1 x x y y a b +=. x 6.若 000 (,) P x y在椭圆 22 22 1 x y a b +=外,则过Po作椭圆的两条切线切点

为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. x 7. 椭圆 2 2 22 1x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF θ∠=,则椭圆的焦点三角形的面积为 122tan 2 F PF S b θ ?=. x 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+, 20||MF a ex =- (1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). x 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴的一个 顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. x 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交 于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上 的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中

圆锥曲线知识点整理

高二数学圆锥曲线知识整理 知识整理 解析几何的基本问题之一:如何求曲线(点的轨迹)方程。它一般分为两类基本题型:一是已知轨迹类型求其方程,常用待定系数法,如求直线及圆的方程就是典型例题;二是未知轨迹类型,此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外,通常设法利用已知轨迹的定义解题,化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中,一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系),侧重于数的运算,一是寻找与动点有关的几何条件,侧重于形,重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中,除了直线、圆外,还有三种圆锥曲线:椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 (1)统一定义,三种圆锥曲线均可看成是这样的点集:? ?? ???>=0e ,e d |PF ||P ,其中F 为定点,d 为P 到定直线的距离,F ?,如图。 因为三者有统一定义,所以,它们的一些性质,研究它们的一些方法都具有规律性。 当01时,点P 轨迹是双曲线;当e=1时,点P 轨迹是抛物线。 (2)椭圆及双曲线几何定义:椭圆:{P||PF 1|+|PF 2|=2a ,2a>|F 1F 2|>0,F 1、F 2为定点},双曲线{P|||PF 1|-|PF 2||=2a ,|F 1F 2|>2a>0,F 1,F 2为定点}。 (3)圆锥曲线的几何性质:几何性质是圆锥曲线内在的,固有的性质,不因为位置的改变而改变。 ①定性:焦点在与准线垂直的对称轴上 椭圆及双曲线中:中心为两焦点中点,两准线关于中心对称;椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称,关于中心成中心对称。 ②定量: 椭 圆 双 曲 线 抛 物 线 焦 距 2c 长轴长 2a —— 实轴长 —— 2a 短轴长 2b (双曲线为虚轴) 焦点到对应 准线距离 P=2c b 2 p 通径长 2·a b 2 2p

最新各圆锥曲线的定义与性质整理

各圆锥曲线的定义与 性质整理

圆锥曲线的定义与性质 一、基本知识点 1、椭圆 ①椭圆的定义:椭圆的定义中,平面内动点与两定点?Skip Record If...?、?Skip Record If...?的距离的和大于|?Skip Record If...??Skip Record If...?|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|?Skip Record If...??Skip Record If...?|,则这样的点不存在;若距离之和等于|?Skip Record If...??Skip Record If...?|,则动点的轨迹是线段?Skip Record If...??Skip Record If...?. ②椭圆的标准方程:?Skip Record If...?(?Skip Record If...?>?Skip Record If...?>0),?Skip Record If...?(?Skip Record If...?>?Skip Record If...?>0). 椭圆的标准方程判别方法:判别焦点在哪个轴只要看分母的大小:如果?Skip Record If...?项的分母大于?Skip Record If...?项的分母,则椭圆的焦点在x轴上,反之,焦点在y轴上. 求椭圆的标准方程的方法:⑴正确判断焦点的位置;⑵设出标准方程后,运用待定系数法求解. 椭圆?Skip Record If...?(?Skip Record If...?>?Skip Record If...?>0)的参数方程为?Skip Record If...?(θ为参数). ③椭圆的简单几何性质:设椭圆方程为?Skip Record If...?(?Skip Record If...?>?Skip Record If...?>0). 1°范围: -a≤x≤a,-b≤x≤b,所以椭圆位于直线x=?Skip Record If...?和y=?Skip Record If...?所围成的矩形里. 2°对称性:分别关于x轴、y轴成轴对称,关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 3°顶点:有四个?Skip Record If...?(-a,0)、?Skip Record If...?(a,0)?Skip Record If...?(0,-b)、?Skip Record If...?(0,b). 线段?Skip Record If...??Skip Record If...?、?Skip Record If...??Skip Record If...?分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点,称为椭圆的顶点.

圆锥曲线的基本概念和性质汇总

圆锥曲线的基本概念和性质 圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性,都是考试的重点内容,要能够熟练运用;常用的解题技巧要熟记于心. 例1.已知P 是椭圆22x y 14 +=上的点,12F ,F 是椭圆的两个焦点,且12FPF 60∠=?,求12FPF ?的面积. 解答过程:依题意得:12PF PF 2a 4+==,在12 FPF ?中由余弦定理得 2221212PF PF 2PF PF cos60=+-?? =2 121212(PF PF )2PF PF 2PF PF cos60+-?-?? , 解之得:124PF PF 3?=,则12 FPF ?的面积为121PF PF sin 602??=小结:(1)圆锥曲线定义的应用在求解圆锥曲线问题中的作用举足轻重; (2)求解圆锥曲线上的点与其焦点围成的三角形问题中,正、余弦定理非常重要. 考点3. 曲线的离心率 曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用: (1)椭圆的离心率e =a c ∈(0,1) (e 越大则椭圆越扁); (2) 双曲线的离心率e =a c ∈(1, +∞) (e 越大则双曲线开口越大). 考点 利用向量求曲线方程 利用向量给出题设条件,可以将复杂的题设简单化,便于理解和计算. 典型例题: 练习.已知两点M (-1,0),N (1,0)且点P 使???,,成公差小于零的等差数列, (Ⅰ)点P 的轨迹是什么曲线? (Ⅱ)若点P 坐标为),(00y x ,θ为PN PM 与的夹角,求tan θ. 解:(Ⅰ)记P (x,y ),由M (-1,0)N (1,0)得 (1,),PM MP x y =-=---),1(y x ---=-=, )0,2(=-= .

圆锥曲线的经典结论

有关解析几何的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分12PF F ?在点 P 处的外角. (椭圆的光学性质) 2. PT 平分12PF F ?在点 P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. (中位线) 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. (第二定义) 4. 以焦点半径1PF 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. (第二定义) 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上,则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.(求导或用联立方程组法) 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过0P 作椭圆的两条切线切点为12,P P ,则切点弦12PP 的直线方程是00221x x y y a b += 7. 椭圆22 221x y a b += (0a b >>)的左右焦点分别为12,F F ,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=, 则椭圆的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=.(余弦定理+面积公式+半角公式) 8. 椭圆22 221x y a b +=(0a b >>)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c ,00(,)M x y ).(第二定义) 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交,P Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交 相应于焦点F 的椭圆准线于,M N 两点,则MF NF ⊥. 证明:x ky c =+, ()22222222222 22120x y a b k y b cky b c a b a b +=?++++=22222222222 2,P O P O b c a b b cky y y y y a b k a b k --=+=++, 222222222222 2,P O P O a c a b k a c x x x x a b k a b k -=+=++,

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