直线的投影

第四节直线的投影

空间两点确定一条空间直线段，空间直线的投影一般也是直线。直线段投影的实质，就是线段两个端点的同面投影的连线；所以学习直线的投影，必须于点的投影联系起来。

三、教学内容

（一）直线的投影图

空间一直线的投影可由直线上的两点（通常取线段两个端点）的同面投影来确定。如图所示的直线AB，求作它的三面投影图时，可分别作出A、B两端点的投影（a、a′、a″）、（b、b′、b″），然后将其同面投影连接起来即得直线AB的三面投影图（a b、a′ b′、a″b″）。

（a）（b）（c）

直线的投影

（二）直线对于一个投影面的投影特性

空间直线相对于一个投影面的位置有平行、垂直、倾斜三种，三种位置有不同的投影特性。

1、真实性当直线与投影面平行时，则直线的投影为实长。如图（a）所示。

2、积聚性当直线与投影面垂直时，则直线的投影积聚为一点。如图（b）所示。

3、收缩性当直线与投影面倾斜时，则直线的投影小于直线的实长。如图（c）所示。

（a）（b）（c）

直线的投影

（三）各种位置直线的投影特性

根据直线在三投影面体系中的位置可分为投影面倾斜线、投影面平行线、投影面垂直线三类。前一类直线称为一般位置直线，后两类直线称为特殊位置直线。

1、投影面平行线

平行于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。平行于V面的称为正平线；平行于H面的称为水平线；平行于W面的称为侧平线。

直线与投影面所夹的角称为直线对投影面的倾角。α、β、γ分别表示直线对H面、V 面、W面的倾角。

强调：（1）斜线反映实长；

（2）直线的倾角α、γ。

总结投影面平行线的投影特性：两平一斜。

要求学生必须掌握表中的图例。

对于投影面平行线的辨认：当直线的投影有两个平行于投影轴，

第三投影与投影轴倾斜时，则该直线一定是投影面平行线，且一定平

行于其投影为倾斜线的那个投影面。

讲解例题如图所示，已知空间点A，试作线段AB，长度为15，并使其平行V面，与H面倾角α＝30°（只需一解）。

（a）题目（b）解答

作正平线AB

2、投影面垂直线

垂直于一个投影面且同时平行于另外两个投影面的直线称为

投影面垂直线。垂直于V面的称为正垂线；垂直于H面的称为铅垂

线；垂直于W面的称为侧垂线。

举例说明：侧垂线的投影特性

强调：（1）两个投影反映实长；

（2）一个投影积聚为一点。

总结投影面平行线的投影特性：两线一点。要求学生必须掌握表中的图例。

对于投影面垂直线的辨认：直线的投影中只要有一个投影积聚为一点，则该直线一定是投影面垂直线，且一定垂直于其投影积聚为一点的那个投影面。

讲解例题如图所示，已知正垂线AB的点A的投影，直线AB长度为10毫米，试作直线AB的三面投影（只需一解）。

（a）题目（b）解答

作正垂线AB

3、一般位置直线

与三个投影面都处于倾斜位置的直线称为一般位置直线。

举例：如图（a）所示，直线AB与H、V、W面都处于倾斜位置，倾角分别为α、β、γ。其投影如图（b）所示。

（a）（b）

一般位置直线的投影特征可归纳为：

（1）直线的三个投影和投影轴都倾斜，各投影和投影轴所夹的角度不等于空间线段对相应投影面的倾角；

（2）任何投影都小于空间线段的实长，也不能积聚为一点。

对于一般位置直线的辨认：直线的投影如果与三个投影轴都倾斜，则可判定该直线为一般位置直线。

（一）直线上点的投影

1、直线上点的投影

点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，反之，若一个点的各个投影都在直线的同面投影上，则该点必定在直线上。

举例：如图2－27所示直线AB上有一点C，则C点的三面投影c、c′、c″必定分别在该直线AB的同面投影ab、a′ b′、a″b″上。

（a）（b）

直线上点的投影

2、直线投影的定比性

直线上的点分割线段之比等于其投影之比，这称为直线投影的定比性。

在图中，点C在线段AB上，它把线段AB分成AC和CB两段。根据直线投影的定比性，AC：CB = ac：cb = a′ c′：c′ b′ = a″c″：c″b″。

3、讲解例题如图（a），已知侧平线AB的两投影和直线上K点的正面投影k′，求K点的水平投影k 。

（a）题目（b）解法1 （c）解法2

求直线上点的投影

（二）两直线的相对位置

两直线的相对位置有平行、相交、交叉三种情况。

1、两直线平行

（1）特性

若空间两直线平行，则它们的各同面投影必定互相平行。如图所示，由于AB∥CD，则必定ab∥cd、 a′ b′∥c′ d′、a″b″∥c″d″。反之，若两直线的各同面投影互相平行，则此两直线在空间也必定互相平行。

（a）（b）

两直线平行

（2）判定两直线是否平行

1）如果两直线处于一般位置时，则只需观察两直线中的任何两组同面投影是否互相平行即可判定。

2）当两平行直线平行于某一投影面时，则需观察两直线在所平行的那个投影面上的投影是否互相平行才能确定。如图所示，两直线AB、CD均为侧平线，虽然ab∥cd、 a′b′∥c′d′，但不能断言两直线平行，还必需求作两直线的侧面投影进行判定，由于图中所示两直线的侧面投影a″b″与c″d″相交，所以可判定直线AB、CD不平行。

2、两直线相交

（1）特性

若空间两直线相交，则它们的各同面投影必定相交，且交点符合点的投影规律。如图2－31所示，两直线AB、CD相交于K点，因为K点是两直线的共有点，判断两直线是否平行

两直线的各同面投影相交，且各组同面投影的交点符合点的投影规律，则此两直线在空间也必定相交。

（a）（b）

两直线相交

（2）判定两直线是否相交

1）如果两直线均为一般位置线时，则只需观察两直线中的任何两组同面投影是否相交且交点是否符合点的投影规律即可判定。

2）当两直线中有一条直线为投影面平行线时，则需观察两直线在该投影面上的投影是否相交且交点是否符合点的投影规律才能确定；或者根据直线投影的定比性进行判断。如图所示，两直线AB、CD两组同面投影ab与cd、a′ b′与c′d′虽然

相交，但经过分析判断，可判定两直线在空间不相交。

（a）（b）

两直线在空间不相交

3、两直线交叉

两直线既不平行又不相交，称为交叉两直线。

（1）特性

若空间两直线交叉，则它们的各组同面投影必不同时平行，或者它们的各同面投影虽然相交，但其交点不符合点的投影规律。反之亦然。如图（a）所示。

（2）判定空间交叉两直线的相对位置

空间交叉两直线的投影的交点，实际上是空间两点的投影重合点。利用重影点和可见性，可以很方便地判别两直线在空间的位置。在图2－33（b）中，判断AB和CD的正面重影点 k′（l′）的可见性时，由于K、L两点的水平投影k比l的y坐标值大，所以当从前往后看时，

N不可见，可判定CD在AB的上方。

（a）（b）

两直线交叉

（三）直角投影定理

1、概念

空间垂直相交的两直线，若其中的一直线平行于某投影面时，则在该投影面的投影仍为直角。反之，若相交两直线在某投影面上的投影为直角，且其中有一直线平行于该投影面时，则该两直线在空间必互相垂直。这就是直角投影定理。

如图所示。已知AB⊥BC，且AB为正平线，所以ab必垂直于bc 。

（a）（b）

垂直相交的两直线的投影

2、讲解例题

（目的是帮助学生理解掌握利用直角投影定理图解空间几何问题的解题思路和解题方法）（1）求点A到直线BC的距离，如图（a）

（a）题目（b）解法

图2－35 求点到直线的距离

（2）如图（a）所示，已知菱形ABCD的一条对角线AC为一正平线，菱形的一边AB位于直线AM上，求该菱形的投影图。

（a）题目（b）解法

求菱形的投影图