《解三角形》题型归纳
1《解三角形》题型归纳
【题型归纳】
题型一正弦定理、余弦定理的直接应用
例1ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2sin()8sin 2B
A C +=.
(1)求cos B
(2)若6a c +=,ABC ?面积为2,求b .
【答案】(1)15
cos 17B =(2)2b =.
【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin 2B
B =,故sin 4(1cos )B B =-.
上式两边平方,整理得217cos 32cos 150B B -+=,
解得cos 1B =(舍去),15
cos 17B =.
(2)由15cos 17B =得8sin 17B =,故1
4
sin 217ABC S ac B ac ?==.
又2ABC S ?=,则17
2ac =.
由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )
b a
c ac B a c ac B =+-=+-+17
15
362(14217=-??+=.
所以2b =.
【易错点】二倍角公式的应用不熟练,正余弦定理不确定何时运用
【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出
例2ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B =.【答案】π3【解析】1
π
2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B A C C A A C B B B =+=+=?=?=.
高中数学必修基本初等函数常考题型幂函数
高中数学必修基本初等 函数常考题型幂函数 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
幂函数 【知识梳理】 1.幂函数的概念 一般地,函数y =x 叫做幂函数.其中x是自变量,α是常数.2.常见幂函数的图象与性质 解析式y=x y=x2y=x3y=1 x y= 1 2 x 图象 定义域R R R{x|x≠0}[0,+∞)值域R[0,+∞)R{y|y≠0}[0,+∞) 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函 数 单调性在(-∞, +∞)上单 调递增 在(-∞, 0]上单调递 减,在(0, +∞)上单 调递增 在(-∞, +∞)上单 调递增 在(-∞, 0)上单调递 减,在(0, +∞)上单 调递减 在[0,+ ∞)上单调 递增 定点(1,1) (1)所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,并且图象都过点(1,1). (2)α>0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数.
特别地,当α>1时,幂函数的图象下凸; 当0<α<1时,幂函数的图象上凸. (3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴;当x 趋于+∞时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴. 【常考题型】 题型一、幂函数的概念 【例1】 (1)下列函数:①y=x 3 ;②y=12x ?? ? ?? ;③y=4x 2;④y=x 5 +1;⑤y=(x -1)2;⑥y=x ;⑦y=a x (a>1).其中幂函数的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 (2)已知幂函数y =()2 2231m m m m x ----,求此幂函数的解析式,并指出定义域. (1)[解析] ②⑦为指数函数,③中系数不是1,④中解析式为多项式,⑤中底数不是自变量本身,所以只有①⑥是幂函数,故选B. [答案] B (2)[解] ∵y=()2 2231m m m m x ----为幂函数, ∴m 2-m -1=1,解得m =2或m =-1. 当m =2时,m 2-2m -3=-3,则y =x -3,且有x≠0; 当m =-1时,m 2-2m -3=0,则y =x 0,且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y =x -3,{x|x≠0}或y =x 0,{x|x≠0}. 【类题通法】 判断一个函数是否为幂函数的方法
解直角三角形题型归纳梳理
解直角三角形题型归纳梳理 专题一、 求直角三角形锐角三角函数的方法 题型一 直接运用定义求锐角三角函数值 【典例1】(2019?金堂校级期末)如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,且AC =1,BC =2,则sin ∠A = 2√5 5 . 【解析】解:∵∠C =90°,∴AC 2+BC 2=AB 2, ∵AC =1,BC =2,∴AB =√5;∴sin ∠A =BC AB = 25=2√5 5,故答案为2√55 . 【典例2】(2019?镇海区一模)如图,直线y =3 4x +3与x 、y 轴分别交于A 、B 两点,则cos ∠BAO 的值是( ) A .4 5 B .3 5 C .4 3 D .5 4 【解析】解:当x =0时,y =3,当y =0时,x =﹣4, ∴直线y =3 4x +3与x 、y 轴的交点A 的坐标(﹣4,0)、B (0,3),∴OA =4,OB =3, 由勾股定理得,AB =5,则cos ∠BAO =OA AB =4 5,故选:A . 【典例3】(2019?咸宁模拟)如图,P (12,a )在反比例函数y =60 x 图象上,PH ⊥x 轴于H ,则tan ∠POH 的值为 512 .
【解析】解:∵P (12,a )在反比例函数y = 60x 图象上,∴a =6012 =5, ∵PH ⊥x 轴于H ,∴PH =5,OH =12,∴tan ∠POH =5 12,故答案为: 5 12 . 【典例4】(2019?成都)如图,在正方形ABCD 中,M 是AD 的中点,BE =3AE ,试求sin ∠ECM 的值. 【解析】解:设AE =x ,则BE =3x ,BC =4x ,AM =2x ,CD =4x ,∴EC =√(3x)2+(4x)2=5x , EM =√x 2+(2x)2=√5x ,CM =√(2x)2+(4x)2=2√5x , ∴EM 2+CM 2=CE 2,∴△CEM 是直角三角形,∴sin ∠ECM = EM CE =√5 5 . 题型二 利用等角转换求锐角三角函数值 【典例5】(2019?雁塔区校级月考)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于点D ,BC =3, AC =4,则cos ∠DCB 的值为( ) A .3 5 B .4 5 C .3 4 D .4 3 【解析】解:在Rt △ABC 中,AB =√BC 2+AC 2=√32+42=5,∵CD ⊥AB ,∴∠DCB +∠B =90°,
三角形解答题单元培优测试卷
三角形解答题单元培优测试卷 一、八年级数学三角形解答题压轴题(难) 1.已知在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°. (1)∠ABC+∠ADC=°; (2)如图①,若DE平分∠ADC,BF平分∠ABC的外角,请写出DE与BF的位置关系,并证明; (3)如图②,若BE,DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角(即∠CDE=1 4 ∠CDN,∠CBE =1 4 ∠CBM),试求∠E的度数. 【答案】(1)180°;(2)DE⊥BF;(3)450 【解析】 【分析】 (1)根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解; (2)延长DE交BF于G,根据角平分线的定义可得∠CDE=1 2 ∠ADC,∠CBF= 1 2 ∠CBM, 然后求出∠CDE=∠CBF,再利用三角形的内角和定理求出∠BGE=∠C=90°,最后根据垂直的定义证明即可; (3)先求出∠CDE+∠CBE,然后延长DC交BE于H,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可. 【详解】 (1)解:∵∠A=∠C=90°, ∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°; 故答案为180°; (2)解:延长DE交BF于G, ∵DE平分∠ADC,BF平分∠CBM, ∴∠CDE=1 2 ∠ADC,∠CBF= 1 2 ∠CBM, 又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-(180°-∠ADC)=∠ADC,∴∠CDE=∠CBF, 又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE, ∴∠BGE=∠C=90°,
∴DG⊥BF, 即DE⊥BF; (3)解:由(1)得:∠CDN+∠CBM=180°,∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角, ∴∠CDE+∠CBE=1 4 ×180°=45°, 延长DC交BE于H, 由三角形的外角性质得,∠BHD=∠CDE+∠E,∠BCD=∠BHD+∠CBE, ∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E, ∴∠E=90°-45°=45° 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理,四边形的内角和定理,角平分线的定义,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,熟记各性质是解题的关键,要注意整体思想的利用. 2.如图,在△ABC 中,记∠A=x 度,回答下列问题: (1)图中共有三角形个. (2)若 BD,CE 为△ABC 的角平分线,则∠BHC= 度(结果用含 x 的代数式 表示),并证明你的结论. (3)若 BD,CE 为△ABC 的高线,则∠BHC= 度(结果用含 x 的代数式表示),并证明你的结论. 【答案】(1)图中共有三角形 8 个;(2)(90+1 2 x ) ;(3)(180-x). 【解析】 【分析】 本题考查的是三角形内角和定理,分析题意观察图形,根据三角形内角和为180°可知
三角恒等变换各种题型归纳分析
三角恒等变换 α/4
题型一:公式的简单运用 例1: 题型二:公式的逆向运用 例2: 题型三:升降幂功能与平方功能的应用 例3. 提高题型: 题型一:合一变换 例1 方法:角不同的时候,能合一变换吗? . cos sin ,,cos sin .cos sin cos sin ) (;cos sin cos sin ) (.cos )(;cos )(;sin )(;sin )(.x x x x x 2203 132212212221221121420131240111和求已知化简:化简下列各式: πθ θθθθ θθθαα<<=+--+-++-+-?+-?+).2tan(,21)tan(,,2,53sin ][).22tan(,2tan ,5 4 cos ][.tan ,cos ,sin ,,22,13122cos ][.4tan ,4cos ,4sin ,24,1352sin ][y x y x x B A B A ABC -=-??? ??∈=+==?? ? ??∈-=<<=求已知提高练习求中,在△课本例题求已知同型练习求已知课本例题πππαααππαααααπ απα? ?? ?? ? ? -??? ??---? -? -???72cos 36cos )2(;12 5cos 12 cos )1(.34cos 4sin )3(;2 3tan 23tan 1) 2(;2 cos 2 sin )1(.275sin 21)3(;15tan 115tan 2)2(;5.22cos 5.22sin )1(.12 4 4 2 2 ππ παα παα α α 求值:化简下列各式: 求下列各式的值:. )70sin(5)10sin(3.3. 2cos )31(2sin )31(,.212 cos 312 sin .1的最大值求大值有最大值?并求这个最 取何值时当锐角?++?+=- ++-x x y θθθπ π
(推荐)高中数学必修1基本初等函数常考题型:幂函数
幂函数 【知识梳理】 1.幂函数的概念 一般地,函数y =x 叫做幂函数.其中x 是自变量,α是常数. 2.常见幂函数的图象与性质 解析式 y =x y =x 2 y =x 3 y =1x y =12 x 图象 定义域 R R R {x|x≠0} [0,+∞) 值域 R [0,+∞) R {y|y≠0} [0,+∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 单调性 在(-∞,+ ∞)上单调递增 在(-∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增 在(-∞,+∞)上单调递增 在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递减 在[0,+∞)上单调递增 定点 (1,1) (1)所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,并且图象都过点(1,1). (2)α>0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数. 特别地,当α>1时,幂函数的图象下凸; 当0<α<1时,幂函数的图象上凸. (3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴;当x 趋于+∞时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴. 【常考题型】 题型一、幂函数的概念
【例1】 (1)下列函数:①y=x 3 ;②y=12x ?? ??? ;③y=4x 2;④y=x 5+1;⑤y=(x -1)2 ; ⑥y=x ;⑦y=a x (a>1).其中幂函数的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 (2)已知幂函数y =( ) 22 23 1m m m m x ----,求此幂函数的解析式,并指出定义域. (1)[解析] ②⑦为指数函数,③中系数不是1,④中解析式为多项式,⑤中底数不是自变量本身,所以只有①⑥是幂函数,故选B. [答案] B (2)[解] ∵y=( ) 22 23 1m m m m x ----为幂函数, ∴m 2 -m -1=1,解得m =2或m =-1. 当m =2时,m 2 -2m -3=-3,则y =x -3 ,且有x≠0; 当m =-1时,m 2 -2m -3=0,则y =x 0 ,且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y =x -3 ,{x|x≠0}或y =x 0 ,{x|x≠0}. 【类题通法】 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y =x α (α为常数)的形式,即函数的解析式为一个幂的形式,且需满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)系数为1.反之,若一个函数为幂函数,则该函数应具备这一形式,这是我们解决某些问题的隐含条件. 【对点训练】 函数f(x)=( ) 22 3 1m m m m x +---是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,求f(x) 的解析式. 解:根据幂函数的定义得 m 2 -m -1=1.解得m =2或m =-1. 当m =2时,f(x)=x 3 在(0,+∞)上是增函数; 当m =-1时,f(x)=x -3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求. 故f(x)=x 3 . 题型二、幂函数的图象
解直角三角形知识点及典型例题
解直角三角形 本章知识结构梳理 一、锐角三角函数 1、梯子越陡——倾斜角_____ 倾斜角越大——铅直高度与梯子的比_____ 倾斜角越大——水平宽度与梯子的比_____ 倾斜角越大——铅直高度与水平宽度的比____ 2、直角三角形AB 1C 1 和直角三角形ABC 有什么关系? 边之间的关系呢? 3、三角函数定义: 注意:sinA ,cosA ,tanA 都是一个完整的符号,单独的sin ,cos ,tan 是没有意义的,其中A 前面的“∠”一般省略不写 例1、把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′,那么锐角A ,A ′的余弦值的关系为( ) A .cosA=cosA ′ B .cosA=3cosA ′ C .3cosA=cosA ′ D .不能确定 例2、在△ABC 中,∠C=90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别是a ,b ,c ,则下列各项中正确的是( ) A .a=c ·sin B B .a=c ·cosB C .a=c ·tanB D .以上均不正确 例3、在Rt △ABC 中,∠C=90°,cosA= 23 ,则tanB 等于( ) 锐角三角函数 1锐角三角函数的定义 ⑴、正弦; ⑵、余弦; ⑶、正切。 2、30°、45°、60°特殊角的三角函数值。 3、各锐角三角函数间关系 ⑴、定义; ⑵、直角三角形的依据 ⑶、解直角三角形的应用。 ①、三边间关系; ②、锐角间关系; ③、边角间关系。
A . 35 B .3 C .2 5 D . 2 例4、已知:α是锐角,tan α= 7 24 ,则sin α=_____,cos α=_______. 4、取值范围:0<sinA <1,0<cosA <1,tanA >0 解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用,如在测量高度、距离、角度,确定方案时常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题,常通过作辅助线构造直角三角形来解决。 坡度(坡比) 方向角度 俯角仰角 例6、如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2,CD=3,求AB ?的值. 例7、如图,∠C=90°,∠DBC=30°,AB=BD ,根据此图求tan15°的值.