图的k-顶点着色与k-边着色的Groebner基求解

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海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版
２ ０ １ ３正
显然 ｉ 的值为 ｛ １ ， ２ ， …， ｋ ｝ 中的一个 ， 即 的取值是满足方程（ 一 １ ） （ 一 ２ ） …（ ｉ — ｋ ） ＝ ０ ， ｉ ＝ １ ， ２ ， …， ／ ＇ Ｌ ．因为相邻的顶点不能染相同的颜色 ， 故任意一对相邻顶点 ｉ 与 ， 其着色分别为 ｉ 和 ， 满足 １ ≤ 一
ｌ ≤七一１ ．不 等式 １ ≤ｌ 一 Ｉ ≤ 一１等价 于方程 （Ｉ ｘ — Ｉ —１ ） （ １ 一 ｌ 一 ２ ） …（ Ｉ — Ｉ 一（ ｋ一１ ） ）＝ ０ 的 根 ．又 因为方 程 （ Ｉ ｘ — ｌ 一１ ） （ 一 Ｉ 一２ ） …（ — 。 ｌ 一（ ｋ一１ ） ）＝ ０等价 于 方程 （ （ — ） 一１ ） （ （ — ） 一 ２ ） …（ （ — ） 一（ ｋ一１ ） ）＝ ０ ．综 上可知 ， 得 到关 于 ， ， …， 的多元多项 式方 程组
１ 预 备 知 识
主要介 绍 图着色 的基 本概 念 ， 参 见 文献 ［ １— ４ ］ ． 给定 图 Ｇ＝（ ， Ｅ） ， 其 中 Ｇ的顶 点集 Ｖ＝｛ 一 ， １ ３ ｝ ， 边集 Ｅ＝｛ ｅ 一， ｅ ｝ ． 定义 １ 一 顶 点着 色是 指 ｋ 种 颜色 ｛ １ ， ２ ， …， ｋ ｝ 对 于 Ｇ的各 顶 点 的一 种 分 配 ， 使得 任 意 ２个 相 邻 的顶
对 图 Ｇ的 一 顶点 着色 引入 向量 Ｘ ：（ ， ， …， ） ， 其 中
１ ， 顶点 ｖ ｉ 染颜色 １ ２ ，顶点 染 颜色 ２
，
．
ｋ ，顶点 ｖ ｉ 染颜 色 ｋ
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ ８— ０ １
基金项 目：国家 自然科 学基金资助项 目（ １ ０ ９ ７ １ ０ ４ ４ ） 作者简介 ： 尹杰杰 （ １ ９ ９ ０～） ， 男， 广东韶关人 ， 海南 大学信 息科 学技术学院 ２ ０ １ ２级硕士研 究生
点被染上不同的颜色． 也就是 ， Ｇ的一个顶点着色 ： （ Ｇ ） ｛ １ ， ２ ， …， ｋ ｝ ， 使对每一个 ｉ （ ｉ ＝ １ ， ２ ， …， ｋ） ，
（ ） 是 独立 集或 空集．
定 义 ２ 若 存 在 Ｇ的一个 ｋ顶点 着 色则称 图 Ｇ是 ｋ可着 色的． 令 （ Ｇ）＝ ａｉ ｒ ｎ ｛ ｋ Ｉ Ｇ是 ｋ可着 色 的 ｝ ， 称 （ Ｇ ） 为 Ｇ的点色数 ， 简 称为 色数 ．若 （ Ｇ）＝ ｋ ， 则 称 Ｇ为 ｋ色 的． 定义 ３ 一 边 着色 是指 ｋ种颜 色 ｛ １ ， ２ ， …， ｋ ｝ 对 Ｅ（ Ｇ） 中元 素 的一种 分配 ， 使得 相邻 ２条边 所染 颜色 不 同． 即 Ｇ中的 ｋ 边 着色 是 映射 ｃ ： Ｅ（ Ｇ） 一｛ １ ， ２ ， …， ｋ ｝ ， 使得 对每 一个 ｉ （ １ ， ２ ， …， ｋ ） ， ｃ （ ｉ ） 是 匹配 或者
图的 ｋ 一 顶点着色与 ｋ 一 边着色的 Ｇ ｒ ６ ｂ ｎ ｅ ｒ 基 求解
尹 杰 杰
（ 海南大学 信息科学技术 学院 ， 海南 海 口 ５ ７ ０ ２ ２ ８ ）
摘 要 ：利用 Ｇ ｒ ６ ｂ ｎ ｅ ｒ 基方法给 出了任意有 限图的 一 顶点着 色与 七 ． 边着 色的求解 方案 ， 从而求得 图的 ． 顶点
定理 １ 给出（ Ｓ ） 的解与 图 Ｇ的 ． 顶点 着色方 案 的对应 关系． 定理 １ （ Ｓ ） 的每个解 对应 图 Ｇ的一个 Ｊ ｊ ｝ ． 顶点着 色 ， 反 之亦 然 ， 且该ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ对应 是一一 对应． 证明
， 、
『 （ ｉ —１ ） （ 一 ２ ） …（ ｆ 一 ）＝ ０ ， ｌ ≤ ≤ｎ ，
， ． 、
Ｉ （ （ — ） 一 １ ） （ （ 一 ） 一 ２ ） …（ （ 一 Ｘ ｔ ） 一 （ ｋ 一 １ ） ） ＝ ０ ， Ｖ ｖ 与 相邻 ．
空集 ．
定义４ 若存在 Ｇ的一种 后 ． 边着色 ， 则称 Ｇ是 Ｊ ｊ ｝ 一 边可着色的． （ Ｇ ） ＝ ｍ ｉ ｎ ｛ ｋ Ｉ Ｇ是 ｋ 边可着色的 ｝ 称为 Ｇ的边 色 数．
２ 图的 ｋ － 顶 点 着 色 与 多 元 多项 式 方 程 组 的 解
考察 Ｇ的 ｋ ． 顶点 着色 问题 ， 并 给 出该 问题 的一个 多项式 方程 组 的求解 模型．
着 色方案和顶点色数 ， 一 边 着色方案和边色数． 关键 词 ：图； ｋ － 顶点着色 ； ｋ － 边着色 ； 色数 ； Ｇ ｒ Ｏ ｂ ｎ ｅ ｒ 基
中 图 分 类 号 ：０ １ ５ ７ ． ５ 文 献 标 志 码 ：Ａ
给 出 了任意有 限图 Ｇ的 ． 顶点 着色 与 ． 边 着色 问题 分 别 等价 于一 个 多元 多 项式 方 程 组 在 ｛ １ ， ２ ， …， ｋ ｝范 围 内的求解 问题 ． 因为多元 多项 式 方程 组在 ｛ １ ， ２ ， …， ｋ ｝范 围 内的解 （ 若 存在 ） 是 有 限 的 ，由 Ｇ ｒ ｔ ｉ ｂ ｎ ｅ ｒ 基 方法 ， 就 能通 过计算 得 出 图的 ｜ ｊ ｝ 一 顶点着色与 ． １ ｝ ． 边 着 色 的有 效 判别 与求 解方 法 ， 从 而 求得 图 的 ． １ ｝ 一 顶 点 着 色 方案 和顶 点 色数 ， ｋ ． 边 着 色方案 和边 色数 ．
第３ １ 卷 第４期
２ ０ １ ３年 ｌ ２月
海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版
ＮＡＴＵＲＡＬ Ｓ ＣＩ ＥＮＣＥ Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ｏＦ ＨＡＩ ＮＡＮ Ｉ ｉ Ⅳ ＥＲＳ Ｉ Ｔ Ｙ
Ｖ０ Ｊ ． ３１ Ｎｏ ． ４
Ｄｅ Ｃ ． ２ ０１ ３
文章编号 ： １ ０ ０ ４—１ ７ ２ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４— ０ ２ ９ ５— ０ ５