高中高一数学下学期期末考试试题分析
2021-2022学年天津市河西区、四十一中高一下学期期末考试数学试题(解析版)
天津市河西区、四十一中2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．实部为2-，虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限〖解 析〗实部为2-，虚部为1的复数所对应的点的坐标为(2,1)-，位于第二象限． 〖答 案〗B2．在频率分布直方图中，各个长方形的面积表示( ) A ．落在相应各组的数据的频数 B ．相应各组的频率C ．该样本所分成的组数D ．该样本的样本容量〖解 析〗频率分布直方图中，各个长方形的面积表示相应数据的频率， 它等于这组的频数除以样本容量的值， 小长方形的个数表示该样本所分成的组数． 〖答 案〗B3．已知(5,2)a =-，(4,3)b =--，(,)c x y =，若230a b c -+=，则(c = ) A ．8(1,)3B ．138(,)33C ．134(,)33D ．134(,)33-- 〖解 析〗由题意可得：23(133,43)0a b c x y -+=++=， 所以1330x +=，并且430y +=，所以133x =-，43y =-． 〖答 案〗D4．将无盖正方体纸盒展开如图，则直线AB 、CD 在原正方体中的位置关系是( )A ．平行B ．相交且垂直C ．相交成60︒D ．异面〖解 析〗将正方体还原得到A ，B ，C ，D 的位置如图因为几何体是正方体，所以连接AC ，得到三角形ABC 是等边三角形，所以60ABC ∠=︒；〖答 案〗C5．已知||4a =，e 为单位向量，当向量a 与e 的夹角θ等于150︒时，则向量a 在向量e 上的投影向量为( ) A ．2eB ．2e -C ．3eD ．3e -〖解 析〗||4a =，e 为单位向量，向量a 与e 的夹角θ等于150︒时，∴||||cos15041(a e a e ⋅=︒=⨯⨯=-∴向量a 在向量e 上的投影||a ee ⋅为-a 在向量e 上的投影向量为3e -． 〖答 案〗D6．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数．则下列事件是互斥事件但不是对立事件的是( ) A ．恰好有1件次品和恰好有2件次品B ．至少有1件次品和全是次品C ．至少有1件正品和至少有1件次品D ．至少有1件次品和全是正品〖解 析〗从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，∴在A 中，恰好有1件次品和恰好有2件次品不能同时发生，但能同时不发生， ∴恰好有1件次品和恰好有2件次品是互斥事件但不是对立事件，故A 成立；在B 中，至少有1件次品和全是次品，能同时发生， ∴至少有1件次品和全是次品不是互斥事件，故B 不成立；在C 中，至少有1件正品和至少有1件次品能同时发生， ∴至少有1件正品和至少有1件次品不是互斥事件，故C 不成立；在D 中，至少有1件次品和全是正品不能同时发生，也不能同时不发生， ∴至少有1件次品和全是正品是对立事件，故D 不成立．〖答 案〗A7．两条异面直线与同一平面所成的角，不可能是( ) A ．两个角均为锐角 B ．一个角为0︒，一个角为90︒ C ．两个角均为0︒D ．两个角均为90︒〖解 析〗两条异面直线与同一平面所成的角，两个角均为锐角，所以A 正确， 如果异面直线互相垂直时，一条直线与平面平行，另一条直线与平面垂直， 满足一个角为0︒，一个角为90︒，所以B 正确；如果两条异面直线都与平面平行，此时两条异面直线与同一平面所成的角两个角均为0︒，所以C 正确；如果两个角均为90︒，则两条直线与平面垂直，两条直线是平行线，所以D 不正确． 〖答 案〗D8．袋子中有大小和质地完全相同的4个球，其中2个红球，2个白球，不放回地从中依次随机摸出2个球．设A = “两个球颜色相同”， B = “两个球颜色不同”，则( ) A ．P （A ）P =（B ） B ．2P （A ）P =（B ）C ．P （A ）2P =（B ）D ．3P （A ）P =（B ）〖解 析〗袋子中有大小和质地完全相同的4个球，其中2个红球，2个白球，不放回地从中依次随机摸出2个球．基本事件总数246n C ==， 设A = “两个球颜色相同”， B = “两个球颜色不同”，则A 中包含的基本事件个数221222m C C =+=，B 中包含的基本事件个数112224m C C ==， P ∴（A ）2163==，P （B ）4263==，2P ∴（A ）P =（B ）． 〖答 案〗B9．如图，圆柱OO '中，AA '是侧面的母线，AB 是底面的直径，C 是底面圆上一点， 则( )A ．BC ⊥平面A AC 'B ．BC ⊥平面A AB 'C ．AC ⊥平面A BC 'D ．AC ⊥平面A AB '〖解 析〗C 是底面圆周上异于A ，B 的任意一点，且AB 是圆柱底面圆的直径，BC AC ∴⊥，AA '⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，AA BC '∴⊥，AA AC A '=，AA '⊂平面AA C '，AC ⊂平面AA C '，BC ∴⊥平面A AC '．〖答 案〗A二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.10．已知i 是虚数单位，若复数z 满足(1)2i z +=，则z 的虚部为 ；z = ． 〖解 析〗(1)2i z +=，22(1)11(1)(1)i z i i i i -∴===-++-， 故z 的虚部是1-，1z i =+． 〖答 案〗1-，1i +11．某中学有高中生3500人，初中生1500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为 ． 〖解 析〗分层抽样的抽取比例为701350050=， 总体个数为350015005000+=，∴样本容量1500010050n =⨯=． 〖答 案〗10012．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则四棱锥111A BB D D -的体积为 ．〖解 析〗由题意可知四棱锥111A BB D D -的底面是矩形，边长：1四棱锥的高：1112AC =．则四棱锥111A BB D D -的体积为：11133⨯=．〖答 案〗1313．从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是 ． 〖解 析〗从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数共有2510C =种情况， 和为5的有(1，4)(2，3)两种情况，故所求的概率为：20.210=． 〖答 案〗0.214．已知a ，b ，c 是直线，给出下列命题： ①若//a b ，//b c ，则//a c ； ②若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥； ③若//a b ，b c ⊥，则a c ⊥；④若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直． 其中真命题是 （写出所有正确命题的序号） 〖解 析〗已知a ，b ，c 是直线，给出下列命题：①若//a b ，//b c ，根据平行线的传递性可得：//a c ，正确； ②若a b ⊥，b c ⊥，则a 与c 平行、相交或为异面直线，因此不正确； ③若//a b ，b c ⊥，则a c ⊥，正确；④若a 与b 异面，则有无数条直线与a ，b 都垂直，因此不正确． 其中真命题是 ①③． 〖答 案〗①③15．在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =．若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 ． 〖解 析〗如图所示，ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =，2BD DC =，∴AD AB BD =+23AB BC =+2()3AB AC AB =+-1233AB AC =+，又()AE AC AB R λλ=-∈，∴12()()33AD AE AB AC AC AB λ⋅=+⋅-221212()3333AB AC AB AC λλ=-⋅-+221212()32cos603243333λλ=-⨯⨯⨯︒-⨯+⨯=-， ∴1113λ=，解得311λ=． 〖答 案〗311三、解答题：本大题共5小题，共49分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（9分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F ，G 分别是AD ，BC 的三等分点1(3AF AD =，13BG BC =．设AB a =，AD b =．（1）用a ，b 表示EF ，EG ； （2）如果3||||2b a =，EF ，EG 有什么位置关系？用向量方法证明你的结论． 解：（1）11113232EF AF AE AD AB b a =-=-=-，1111122323EG EB BG AB AF AB AD a b =+=+=+=+， （2）EF EG ⊥，证明：由（1）得，1132EF b a =-，1132EG b a =+，∴2222111111191()()0323294944EF EG b a b a b a a a ⋅=-⋅+=-=⨯-=，∴EF EG ⊥，EF EG ∴⊥．17．（10分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin cos()6b A a B π=-． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）设2a =，3c =，求b ． 解：（Ⅰ） 在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=，又sin cos()6b A a B π=-．可得sin cos()6B B π=-，1sin sin 2B B B ∴=+，则tan B ． 又(0,)B π∈，可得3B π=．（Ⅱ） 在ABC ∆中，由余弦定理及2a =，3c =，3B π=，2222cos 49223cos73b ac ac B π∴=+-=+-⨯⨯⨯=，解得b =．18．（10分）为了了解某学校高一年级的712名学生身高的情况，现从该学校386名女生中抽取一个样本容量为27的样本，其观测数据（单位：)cm 如下： 163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0 （1）计算女生身高的样本平均数；（2）若该学校男生平均身高为170.6cm ，试估计该校高一年级学生的平均身高； （3）根据女生的样本数据估计该学校高一年级女生身高的第75百分位数． 解：（1）根据题意，女生身高的样本平均数1(163.0164.0161.0157.0162.0165.0158.0155.0164.0162.5154.027x =++++++++++ 154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0155.0148.0172.0162.5158.0155.5157.0163.0172.0)160.6cm ++++++++++++++++≈，（2）根据题意，高一年级共712名学生，其中女生386名，则男生有712386326-=， 则高一年级学生的平均身高为386160.6326170.6165.2712cm ⨯+⨯=，（3）根据题意，女生身高从小到大排列为：148、149、154、154、155、155.5、157、157、158、159、161、161、162、162.5、162.5、163、163、164、164、164、165、170、171、172、172， 又由2775%20.25⨯=，则女生身高的第75百分位数为第21个数据，即164， 故该学校高一年级女生身高的第75百分位数为164cm ．19．（10分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14． （1）记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求0X =，1X =的概率； （2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解：（1）由题意可知1111(0)(1)(1)(1)2344P X ==-⨯-⨯-=，11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=． （2）两辆车共遇到1个红灯的概率为11111111142424448P =⨯+⨯=， 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148． 20．（10分）如图，在四面体ABCD 中，ABC ∆是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，2AB =，AD =90BAD ∠=︒．（Ⅰ）求证：AD BC ⊥；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．（Ⅰ）证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ⋂平面ABD AB =，AD AB ⊥， 得AD ⊥平面ABC ，故AD BC ⊥；（Ⅱ）解：取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ，M 为棱AB 的中点，故//MN BC ，DMN ∴∠（或其补角）为异面直线BC 与MD 所成角，在Rt DAM ∆中，1AM =，故DM =，AD ⊥平面ABC ，故AD AC ⊥，在Rt DAN ∆中，1AN =，故DN ==在等腰三角形DMN 中，1MN =，可得12cos MNDMN DM ∠==．∴异面直线BC 与MD （Ⅲ）解：连接CM ，ABC ∆为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM AB ⊥，CM =又平面ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ，则CDM ∠为直线CD 与平面ABD 所成角．在Rt CAD ∆中，4CD =，在Rt CMD ∆中，sin CM CDM CD ∠==．∴直线CD 与平面ABD ．。
2024届辽宁省大连大世界高中数学高一第二学期期末经典试题含解析
2024届辽宁省大连大世界高中数学高一第二学期期末经典试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为（ ） A ．720B ．716C ．1320D ．9162．已知点G 为ABC ∆的重心，若AB a =，AC b =，则BG =( ) A ．2133a b + B ．2133a b -+ C ．2133a b - D ．2133a b -- 3．下列函数中，最小值为2的函数是（ ） A ．1y x x=+B ．1sin 0sin 2y πθθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭C ．1sin (0)sin y θθπθ=+<< D ．2y =4．某船从A 处向东偏北30方向航行B 处，然后朝西偏南60的方向航行6千米到达C 处，则A 处与C 处之间的距离为（ ）AB ．C ．3千米D ．6千米5．若某扇形的弧长为2π，圆心角为4π，则该扇形的半径是（ ） A ．14 B ．12C ．1D ．26．已知02πα-<<，则点(cot ,cos )αα在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n (λ－n )－6，若数列{a n }单调递减，则λ的取值范围是 A ．(－∞，2)B ．(－∞，3)C ．(－∞，4)D ．(－∞，5)8．已知数列{}n a 满足1113,340n n a a a +=+-=，n S 为其前n 项和，则不等式1|9|1000n S n -->的n 的最大值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．109．已知ππ042βα<<<<，且sin cos 5αα-=，π4sin 45β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()sin αβ+=（ ）A ．10B ．10-C D ．10-10．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024届上海市七宝高中数学高一下期末学业质量监测试题含解析
2024届上海市七宝高中数学高一下期末学业质量监测试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若直线30x y a -+=平分圆22240x y x y ++-=的周长，则a 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．3D ．52．若110b a<<，则下列不等式不成立．．．的是( ) A ．11a b a >- B ．a b <C ．a b >D ．22a b >3．若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式中正确的是（ ） A ．11b a> B ．22a b >C ．a b ac bc >D ．33a b >4．已知ABC ∆中，2a =，3b =，60B =，那么角A 等于（ ）A ．135B ．45C ．135或45D ．905．下列函数中，既是偶函数又在上是单调递减的是（ ） A ．B ．C ．D ．6．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin b A =3cos a B ．则B =A ．B ．4π C ． D ．7．已知,αβ∈R ，两条不同直线1sin sin sin cos x yαβαβ+=++与1cos sin cos cos x yαβαβ+=++的交点在直线y x =-上，则sin cos sin cos ααββ+++的值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．-18．若a 、b 、R c ∈，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．a b b c +≥-B ．ac bc ≥C ．20c a b>-D ．()20a b c -≥9．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则311b b +=（ ） A ．3B ．6C ．7D ．810．设a ，b ，c 均为正实数，则三个数1a b +，1b c +，1c a+( ) A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024届浙江省杭州市西湖高中数学高一下期末考试试题含解析
2024届浙江省杭州市西湖高中数学高一下期末考试试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数2()sin 223cos 3f x x x =+-，()cos(2)2 3 (0)6g x m x m m π=--+>，若对任意1[0,]4x π∈，存在2[0,]4x π∈，使得12()()g x f x =成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4(1,)3B ．2(,1]3C ．2[,1]3D ．4[1,]32．若0a b >>，则下列结论成立的是（ ） A ．22a b < B ．1122b a⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．a bb a+的最小值为2 D ．2a bb a+> 3．若将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后，所得图象对应的函数为（ ） A ．2sin 2y x =B ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2cos2y x=D ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭4．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π- B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联5．在等比数列{a n }中，若a 2，a 9是方程x 2﹣2x ﹣6＝0的两根，则a 4•a 7的值为（） A ．6B ．1C ．﹣1D ．﹣66．已知()2,1a =，()1,1b =-，则a 在b 方向上的投影为（ ） A ．22-B ．22C ．55-D ．557．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为3，线段B 1D 1上有两个动点E ，F 且EF ＝1，则当E ，F 移动时，下列结论中错误的是（ ）A ．AE ∥平面C 1BDB ．四面体ACEF 的体积不为定值C ．三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值D ．四面体ACDF 的体积为定值8．函数()()()tan 0f x x πωω=+>的图象的相邻两支截直线1y =所得的线段长为3π，则12f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是（ ） A ．0B ．33C ．1D ．39．设等差数列的前项和为，若，，则中最大的是( ).A ．B ．C ．D ．10．下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
湖北省武汉2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷含答案
武汉2023-2024学年度下学期期末考试高一数学试卷（答案在最后）命题教师：考试时间：2024年7月1日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2.△ABC 中，60A =︒，BC =AC =C 的大小为（）A.75︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可得sin B =45B = ，由三角形内角和即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin BC AC A B=,故32sin 2B ==,由于60A =︒，故0120B ︒︒<<,故45B = ，18075C A B =--= ,故选：A3.已知数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，则数据131x +，231x +，L ，931x +的标准差为（）A.25B.75C.15D.【答案】C 【解析】【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可.【详解】因为数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，所以另一组数据131x +，231x +，L ，931x +的方差为2325225⨯=，15=.故选：C4.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+的值为（）A.43B.53C.158D.2【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.【详解】在正方形ABCD 中，以点A 为原点，直线AB ，AD 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，令||2AB =，则(2,0),(2,2),(0,2),(2,1)B C D M ，(2,2),(2,1),(2,2)AC AM BD ===-，(22,2)AM BD λμλμλμ+=-+ ，因AC AM BD λμ=+ ，于是得22222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得41,33λμ==，53λμ+=所以λμ+的值为53.故选：B5.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.32【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B ⋂=，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以11111133133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C b c C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A.332⎛⎝ B.332⎛⎝ C.332⎣ D.332⎡⎢⎣【答案】A 【解析】【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=∴cos cos sin sin sin B C AB bc C ⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴sin cos cos 3sin 3A cB bC C ⋅+⋅==∴23sin sin cos cos sin 3AC B C B +=∴23sin sin()sin 3AB C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin cos )3226a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+ 203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤即2a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边：①利用正弦定理：sin 2aA r=，sin 2b B r =，sin 2c C r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7.设O 为△ABC 的外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为（）A.4B.4C.4-D.4【答案】D 【解析】【分析】设ABC 的外接圆半径为R ，由已知条件可得,2AC BO = ，所以12AC R =，且//AC BO ，取AC的中点M ，连接OM 可得π2BOM ∠=，计算cos sin BOC MOC ∠=-∠的值，再由余弦定理求出BC ，在ABC 中，由正弦定理即可求解.【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，因为2AO AB AC =+ ,2AC AO AB BO =-=，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ⊥，因为//AC BO ，所以OM BO ⊥，即π2BOM ∠=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R ⎛⎫∠=+∠=-∠=-=-=-=- ⎪⎝⎭,在BOC中由余弦定理可得：2BC R ===，在ABC中，由正弦定理得：2sin 224RBCBAC RR ∠===.故选：D8.高为8的圆台内有一个半径为2的球1O ，球心1O 在圆台的轴上，球1O 与圆台的上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球2O ，使得球2O 与球1O 、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点.除球2O ，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【详解】作过2O 的圆台的轴截面，如图1.再作过2O 与圆台的轴垂直的截面，过截面与圆台的轴交于圆O .由图1.易求得24OO =.图1这个问题等价于：在以O 为圆心、4为半径的圆上，除2O 外最多还可放几个点，使以这些点及2O 为圆心、3为半径的圆彼此至多有一个公共点.由图2，3sin45sin sin604θ︒<=︒，有4560θ︒<<︒.图2所以，最多还可以放入36013122θ︒⎡⎤-=-=⎢⎣⎦个点，满足上述要求.因此，圆台内最多还可以放入半径为3的球2个.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（）A.从高中生中抽取了460人B.每名学生被抽到的概率为1125C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%D.估计高中学生的近视人数约为44000【答案】BD 【解析】【分析】根据分层抽样、古典概型、频率公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】高中生抽取5500020004401200007500055000⨯=++人，A 选项错误.每名学生被抽到的概率为200011200007500055000125=++，B 选项正确.学生总人数为1200007500055000250000++=，估计该地区中小学生总体的平均近视率为1200007500055000132.50.30.70.80.53250000250000250000250⨯+⨯+⨯==，C 选项错误.高中学生近视人数约为550000.844000⨯=人，D 选项正确.故选：BD10.G 是ABC 的重心，2,4,120,AB AC CAB P ∠=== 是ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A.0GA GB GC ++= B.AB 在AC上的投影向量等于12- AC .C.3AG =D.()AP BP CP ⋅+ 的最小值为32-【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A ，根据投影向量的定义，判断B ；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C ；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.【详解】A.以,GB GC 为邻边作平行四边形GBDC ，,GD BC 交于点O ，O 是BC 的中点，因为G 是ABC 的重心，所以,,A G O 三点共线，且2AG GO =，所以2GB GC GD GO +== ，2GA AG GO =-=- ，所以0GA GB GC ++=，故A 正确；B.AB 在AC 上的投影向量等于1cos1204AC AB AC AC ⨯=-，故B 错误；C.如图，因为()12AO AB AC =+ ，所以()222124AO AB AC AB AC =++⋅,即211416224342AO ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，即3AO = 因为点G 是ABC 的重心，22333AG AO ==，故C 正确；D.取BC 的中点O ，连结,PO PA ，取AO 中点M ，则2PA PO PM += ，()12AO AB AC =+，()()2221124816344AO AB AB AC AC =+⋅+=⨯-+= ,则()()()()221224AP BP CP PA PB PC PA PO PA PO PA PO ⎡⎤⋅+=⋅+=⋅=⨯+--⎢⎥⎣⎦，222132222PM OA PM =-=- ,显然当,P M 重合时，20PM = ，()AP BP CP ⋅+ 取最小值32-，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1B F ∥平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为22C.三棱锥1F BC M -的体积为43D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为45,225⎡⎢⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1B GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹为线段GH ；选项C ：根据选项B 可得出GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，再结合线面垂直及等体积法，利用四棱锥的体积求解所求三棱锥的体积；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径3R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ．由正方体的性质可得11B H C M ∥，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1C M //平面1B GH ，同理可得：1BC //平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，11,BC C M ⊂平面1BC M ，所以平面1B GH ∥平面1BC M ，而1B F ∥平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，其长度为12222⨯=，故B 错误；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，过点B 作1BP B H ⊥，因为11B C ⊥平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，所以11B C BP ⊥，又1111⋂=B C B H B ，111,B C B H ⊂平面11B C MH ，所以BP ⊥平面11B C MH ，所以1111111111114252232335F BC M H BC M B C MH B B C MH B C MHV V V V S BP ----====⨯=⨯⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11AA D D ∥平面11BB C C ，所以1AM C N ∥，同理可证1AN C M ∥，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得3h =.综上，可知1AQ 长度的取值范围是,3⎡⎢⎣，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数()221i i()z m m m =-++⋅∈R 表示纯虚数，则m =________．【答案】1-【解析】【分析】根据2i 1=-和复数的分类要求得出参数值；【详解】因为复数()()2221ii=11i()z m m mm m =-++⋅-+-⋅∈R 表示纯虚数，所以210,10,m m ⎧-=⎨-≠⎩解得1m =-，故答案为：1-.13.定义集合(){},02024,03,,Z |A x y x y x y =≤≤≤≤∈，则从A 中任选一个元素()00,x y ，它满足00124x y -+-<的概率是________．【答案】42025【解析】【分析】利用列举法求解符合条件的()00,x y ，即可利用古典概型的概率公式求解.【详解】当0y =时，02024,Z x x ≤≤∈，有2025种选择，当1,2,3y =时，02024,Z x x ≤≤∈，分别有2025种选择，因此从A 中任选一个元素()00,x y ，共有202548100⨯=种选择，若00y =，则022y -=，此时由00124x y -+-<得012x -<，此时0x 可取0，1，2，若01y =或3，则021y -=，此时由00124x y -+-<得013x -<，此时0x 可取0，1，2，3，若02y =，则020y -=，此时由00124x y -+-<得014x -<，此时0x 可取0，1，2，3，4，综上可得满足00124x y -+-<的共有342516+⨯+=种情况，故概率为16481002025=故答案为：4202514.在ABC 和AEF △中，B 是EF的中点，1,6,AB EF BC CA ====，若2AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于__________.【答案】23【解析】【分析】【详解】由题意有：()()2AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF ⋅+⋅=⋅++⋅+=,即22AB AB BE AC AB AC BF +⋅+⋅+⋅= ，而21AB =，据此可得：11,AC AB BE BF ⋅=⨯-=- ，即()112,2BF AC AB BF BC +⋅--=∴⋅= ，设EF 与BC 的夹角为θ，则2cos 2,cos 3BF BC θθ⨯⨯=∴= .四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在[70,80)的有10个．（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在[60,70)和[70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在[70,80)中的概率．【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；（3）25【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在[70,80)的频率为0.2，这个组学生有10人，由此能求出n ，由乙样本数据直方图能求出a ；（2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数；（3）由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，利用列举法能求出这两人分数都在[70,80)中的概率．【小问1详解】解：由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为0.020100.20⨯=，则100.20n=，解得50n =；由乙样本数据直方图可知，(0.0060.0160.0200.040)101a ++++⨯=，解得0.018a =；【小问2详解】解：甲样本数据的平均值估计值为(550.005650.010750.020850.045950.020)1081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.0060.0160.02)100.420.75++⨯=<，前4组的频率之和为(0.0060.0160.020.04)100.820.75+++⨯=>，所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为x ，(80)0.040.420.75x -⨯+=，解得88.25x =，所以乙样本数据的第75百位数为88.25，即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；【小问3详解】解：由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：12(,)A A ，11(,)A b ，12(,)A b ，13(,)A b ，14(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，23(,)A b ，24(,)A b ，12()b b ,，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个，所抽取的两人分数都在[70,80)中的基本事件有6个，即这两人分数都在[70,80)中的概率为62155=．16.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥11A BCC B -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，△ABC 是正三角形，四边形11BCC B 是正方形，D 是AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BDC ；（2）求直线BC 和平面1BDC 所成角的正弦值的大小．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，由中位线的性质，可知1//OD AB ，再由线面平行的判定定理，得证；（2）过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，可证CE ⊥平面1BDC ，从而知CBE ∠即为所求，再结合等面积法与三角函数的定义，得解．【小问1详解】连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，则O 为1B C 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BDC ，1AB ⊄平面1BDC ，所以1AB ∥平面1BDC ．【小问2详解】过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，因为四边形11BCC B 是正方形，所以1BC CC ⊥，又平面ABC⊥平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以1CC ⊥平面ABC ，因为BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，因为ABC 是正三角形，且D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC AC C =I ，1,⊂CC AC 平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，所以BD CE ⊥，又1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC ，所以CBE ∠就是直线BC 和平面1BDC 所成角，设2BC =，在1Rt DCC 中，11CE DC CD CC ⋅=⋅，所以5CE ==，在Rt BCE 中，5sin 25CE CBE BC ∠===.17.甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为25，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率.【答案】（1）875（2）44675【解析】【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率.【小问1详解】设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，该局打4个球甲赢为事件C ，由题知，2()3P A =，2()5P B =，则C ABAB =，所以23228()()()(()()353575P C P ABAB P A P B P A P B ===⨯⨯⨯=，所以该局打4个球甲赢的概率为875.【小问2详解】设该局打5个球结束时甲赢为事件D ，乙赢为事件E ，打5个球结束为事件F ，易知D ，E 为互斥事件，D ABABA =，E ABABA =，F D E =⋃，所以()()()()()()()P D P ABABA P A P B P A P B P A ==2222281135353675⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()P E P ABABA P A P B P A P B P A ==2222241113535375⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以8444()()()()67575675P F P D E P D P E =⋃=+=+=，所以该局打5个球结束的概率为44675.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos a c b C -=.（1）求B ；（2）若点D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC （包括顶点）上，π6EDF ∠=，2b c ==.设BDE α∠=，将DEF 的面积S 表示为α的函数，并求S 的取值范围.【答案】（1）π3（2）3ππ,π328sin 23S αα=≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,84S ⎡∈⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由题干及余弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理即可求解；（2）由题可得ABC 为等边三角形，ππ32α≤≤，在BDE 与CDF 中，分别由正弦定理求出DE ，DF ，根据三角形面积公式可得3ππ,2ππ3216sin sin 36S ααα=≤≤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解.【小问1详解】因为22cos a c b C -=，所以222222222a b c a b c a c b ab a +-+--=⋅=，即222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由π3B=及2b c==可知ABC为等边三角形.又因为π6EDF∠=，BDEα∠=，所以ππ32α≤≤.在BDE中，2π3BEDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDE BDB BED∠=，即32π2sin3DEα=⎛⎫-⎪⎝⎭.在CDF中，π6CFDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDF CDC CFD∠=，即π2sin6DFα=⎛⎫-⎪⎝⎭.所以31π3ππsin,2ππ2ππ8632 sin sin16sin sin3636Sααααα=⨯⨯=≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为2ππ11sin sin cos sin sin cos362222αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213313sin cos cos sin sin2cos224444αααααα=-+=-1πsin223α⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为ππ32α≤≤，所以ππ2π2,333α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π3sin2,132α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦，所以1π1sin2,2342α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦.所以2ππ16sin sin36αα⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以33,2ππ8416sin sin36αα⎡∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以333,2ππ8416sin sin36Sαα⎡=∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以S 的取值范围为3,84⎡⎢⎣⎦.19.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱ADP BCQ -中，侧面ABCD 为矩形．（1）若PD⊥面ABCD ，22PD AD CD ==，2NC PN =，求证：DN BN ⊥；（2）若二面角Q BC D --的大小为θ，π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2cos 2AD AB θ=⋅，设直线BD 和平面QCB 所成角为α，求sin α的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】【分析】（1）问题转化为证明DN⊥平面BCP ，即证明ND BC ⊥和DN PC ⊥，ND BC ⊥转化为证明BC ⊥平面PQCD ，而ND BC ⊥则只需证明PDN PCD△△（2）作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，列出sin α的表达式，最后把问题转化为函数最值问题.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PQCD ，又ND ⊂平面PQCD ，所以ND BC ⊥，在Rt PCD 中，2PD ==，则CD =3PC =，所以2NC =，1PN =，由PN PDND PC=，DPN CPD ∠=∠，所以PDN PCD △△，所以DN PC ⊥，又因为ND BC ⊥，PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面BCP ，所以DN⊥平面BCP ，又因为BN ⊂平面BCP ，所以DN BN ⊥.【小问2详解】在平面QBC 中，过点C 作CF BC ⊥，因为ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，所以DCF ∠为二面角Q BC D --的平面角，且DCF θ∠=，又⋂=CF CD C ，,CD CF ⊂平面CDF ，所以BC ⊥平面CDF ，在平面CDF 中，过点D 作DG FC ⊥，垂足为G ，连接BG ，因为BC ⊥平面CDF ，DG ⊂平面CDF ，所以DG BC ⊥，又BC FC C ⋂=，,BC FC ⊂平面BCQ ，所以DG ⊥平面BCQ ，所以DBG ∠为直线BD 与平面QCB 所成的角，即DBG α∠=，sin DG DC θ=，又因为2cos 2AD AB θ=⋅，所以222sin 32cos 14cos 2DGBDAB AD αθθ===+++π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12cos ,22θ⎡∈-⎢⎣⎦，21cos 0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设32cos t θ=+，2,32t ⎤∈+⎥⎦，则23cos 2t θ-=，()2223sin 1cos 14t θθ-=-=-，所以()2222563125651sin 14222t t t t α⎛⎫-++ ⎪--+⎝⎭=-=≤=，当且仅当25t =时等号，所以sin α51-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，然后写出sin α的表达式，最后求函数最值问题利用了换元法和基本不等式.。
2024届山东省枣庄市部分重点高中数学高一第二学期期末统考模拟试题含解析
2024届山东省枣庄市部分重点高中数学高一第二学期期末统考模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数()()()1f x ax x b =-+，如果不等式()0f x >的解集为()1,3-，那么不等式()20f x -<的解集为（ ）A ．31(,)(,)22-∞-+∞ B ．31,22⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．13(,)(,)22-∞-+∞ D ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭2．已知向量()()2,1,,2a b x ==-，若//a b ，则a b +=（ ） A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-3．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若ABC 的面积为2224b c a +-，则角A =（ ）A ．π2 B ．π3 C ．π4D ．π64．已知x y 与之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为,y bx a =+若某同学根据上表中的前两组数据()1,0和()2,2求得的直线方程为,y b x a ''+'=则以下结论正确的是（ ）A ．,b b a a '>'>B ．,b b a a '>'<C ．,b b a a ''D ．,b b a a '<'<5．已知全集{}{}0,1,2,3,1,3U A ==，则集合U C A = A ．{}0B ．{}1,2C ．{}0,2D ．{}0,1,26．若实数,x y 满足26403xy x x ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，则41x y +的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．327．某校高一年级有男生540人，女生360人，用分层抽样的方法从高一年级的学生中随机抽取25名学生进行问卷调查，则应抽取的女生人数为 A ．5 B ．10C ．4D ．208．若直线和直线互相垂直，则( ) A ．或B ．3或1C ．或1D ．或39．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若sin 5sin 2A cB b=，7sin B =，57ABC S =△b =（ ） A ．3B ．27C 15D 1410．ABC 三边,,a b c ，满足222a b c ab bc ca ++=++，则三角形ABC 是（ ） A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．直角三角形二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
山东高一高中数学期末考试带答案解析
山东高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若实数a ，b ，c ，d 满足a ＞b ，c ＞d ，则下列不等式成立的是（ ）. A ．a ﹣c ＞b ﹣dB ．a+c ＞b+dC ．ac ＞bdD ．＞2.已知直线ax+2y+2=0与3x ﹣y ﹣2=0平行，则系数a=（ ）. A ．﹣3B ．﹣6C ．D ．3.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中AB 的中点为M ，DD 1的中点为N ，则异面直线B 1M 与CN 所成的角是（ ）.A ．0°B ．45°C ．60°D ．90°4.在等差数列{a n }中，若a 3+a 7=10，则等差数列{a n }的前9项和S 9等于（ ）. A ．45 B ．48 C ．54D ．1085.圆x 2+y 2=1和圆x 2+y 2﹣6y+5=0的位置关系是（ ）. A ．外切 B ．内切 C ．外离D ．内含6.不等式x （2﹣x ）≤0的解集为（ ） A ．{x|0≤x≤2} B ．{x|x≤0，或x≥2}C ．{x|x≤2}D ．{x|x≥0}7.把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥C ﹣ABD 的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．8.设甲、乙两楼相距20m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是（ ） A ．B ．C ．D ．9.如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，SO ⊥底面ABC ，O 为垂足，则侧棱SA 与底面ABC 所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．10.已知x ＞0，y ＞0，且是3x 与33y 的等比中项，则+的最小值是（ ） A ．2B ．2C ．4D ．211.已知S n 是数列{a n }的前n 项和，若，则= _________ ．二、填空题1.△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a=4，b=4，∠A=30°，∠B= _________ ．2.已知数列{a n }的通项公式a n =，若前n 项和为6，则n= _________ ．3.若实数x ，y 满足不等式组，则z=2x ﹣4y 的最小值是 _________ ．4.如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，底面是边长为1的正方形，SD ⊥底面ABCD ，且SD=，则平面BSC 与底面ABCD 所成锐二面角的大小为 _________ ．三、解答题1.已知三角形的三个顶点是A （4，0），B （6，6），C （0，2）． （1）求AB 边上的高所在直线的方程； （2）求AC 边上的中线所在直线的方程．2.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b=3，c=8，角A 为锐角，△ABC 的面积为6．（1）求角A 的大小； （2）求a 的值．3.已知以点C （1，﹣2）为圆心的圆与直线x+y ﹣1=0相切． （1）求圆C 的标准方程；（2）求过圆内一点P （2，﹣）的最短弦所在直线的方程．4.某企业要建造一个容积为18m 3，深为2m 的长方体形无盖贮水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，怎样设计该水池可使得能总造价最低？最低总造价为多少？5.如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，且△ABC 为正三角形，AA 1=AB=6，D 为AC 的中点． （1）求证：直线AB 1∥平面BC 1D ； （2）求证：平面BC 1D ⊥平面ACC 1A ； （3）求三棱锥C ﹣BC 1D 的体积．6.已知单调递增的等比数列{a n }满足a 1+a 2+a 3=14，且a 2+1是a 1，a 3的等差中项． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ；（3）若存在n ∈N *，使得S n+1﹣2≤8n 3λ成立，求实数λ的最小值．山东高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.若实数a ，b ，c ，d 满足a ＞b ，c ＞d ，则下列不等式成立的是（ ）. A ．a ﹣c ＞b ﹣dB ．a+c ＞b+dC ．ac ＞bdD ．＞【答案】B【解析】试题分析:选项A:当，则，故A 错误； 选项B ：,，故B 正确； 选项C:当，则，故C 错误选项D:当，则，故D 错误;故选B.【考点】不等式的性质.2.已知直线ax+2y+2=0与3x ﹣y ﹣2=0平行，则系数a=（ ）. A ．﹣3B ．﹣6C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析:可化为，其斜率；可化为，其斜率；因为直线ax+2y+2=0与3x ﹣y ﹣2=0平行，所以，即，解得.【考点】两条直线平行的判定.3.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中AB 的中点为M ，DD 1的中点为N ，则异面直线B 1M 与CN 所成的角是（ ）.A ．0°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】D【解析】试题分析:取的中点,连接.易知,所以四边形是平行四边形，则,所以所成的角是异面直线B 1M 与CN 所成的角或其补角；,,即,所以异面直线B 1M 与CN 所成的角是. 【考点】异面直线所成的角.4.在等差数列{a n }中，若a 3+a 7=10，则等差数列{a n }的前9项和S 9等于（ ）. A ．45 B ．48 C ．54D ．108【答案】A 【解析】试题分析:.【考点】等差数列的性质与前项和公式.5.圆x 2+y 2=1和圆x 2+y 2﹣6y+5=0的位置关系是（ ）. A ．外切 B ．内切 C ．外离D ．内含【答案】A【解析】试题分析:圆x 2+y 2=1的圆心为,半径；圆x 2+y 2﹣6y+5=0，即的圆心,半径；两圆的圆心距，所以两圆外切.【考点】两圆的位置关系.6.不等式x （2﹣x ）≤0的解集为（ ） A ．{x|0≤x≤2} B ．{x|x≤0，或x≥2}C ．{x|x≤2}D ．{x|x≥0}【答案】B【解析】试题分析:，，；即不等式的解集为. 【考点】解不等式.7.把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥C ﹣ABD 的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析:由三视图可知，，即.,则该三棱锥的左视图是一个等腰直角三角形，且,其面积为.【考点】空间几何体的三视图.8.设甲、乙两楼相距20m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析:由图可知，在中，,则；在中，,则，；即甲、乙两楼的高分别是.【考点】解直角三角形.9.如图，在三棱锥S﹣ABC中，底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，SO⊥底面ABC，O为垂足，则侧棱SA与底面ABC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析:由题意得，SO⊥底面ABC，O为垂足，则侧棱SA与底面ABC所成角即;该三棱锥是正三棱锥，在底面上的射影是的中心,也是重心，由重心定理得,又因为,所以,即侧棱SA与底面ABC所成角的余弦值为.【考点】直线与平面所成的角.10.已知x＞0，y＞0，且是3x与33y的等比中项，则+的最小值是（）A．2B．2C．4D．2【答案】C【解析】试题分析:由题意，得，即；（当且仅当且，即时取等号）.【考点】基本不等式.11.已知Sn 是数列{an}的前n项和，若，则=_________．【答案】8.【解析】试题分析:由题意得.【考点】数列的通项公式与的关系.二、填空题1.△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a=4，b=4，∠A=30°，∠B= _________ ．【答案】. 【解析】试题分析:由正弦定理得,解得;又因为，所以,则.【考点】正弦定理.2.已知数列{a n }的通项公式a n =，若前n 项和为6，则n= _________ ．【答案】48 【解析】试题分析:，；令，解得.【考点】数列的前项和.3.若实数x ，y 满足不等式组，则z=2x ﹣4y 的最小值是 _________ ．【答案】-26.【解析】试题分析:作出可行域与目标函数基准直线（如图）,将目标函数化成，当直线向左上方平移时，直线在轴上的截距变大，即变小，，当直线经过点时，求得最小值；易知,即.【考点】简单的线性规划.4.如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，底面是边长为1的正方形，SD ⊥底面ABCD ，且SD=，则平面BSC 与底面ABCD 所成锐二面角的大小为 _________ ．【答案】. 【解析】试题分析:;因为底面是边长为1的正方形,所以;又因为所以是平面BSC 与底面ABCD 所成二面角的平面角；在中，,则,即平面BSC 与底面ABCD 所成锐二面角的大小为.【考点】二面角.三、解答题1.已知三角形的三个顶点是A（4，0），B（6，6），C（0，2）．（1）求AB边上的高所在直线的方程；（2）求AC边上的中线所在直线的方程．【答案】(1)x+3y﹣6=0;(2)5x﹣4y﹣5=0.【解析】解题思路：(1)因为AB边上的高所在直线经过点C（0，2），且与AB垂直，所以先求出AB的斜率，再根据垂直求出CD的斜率，然后写出直线的点斜式方程，化成一般式即可；（2）因为AC边上的中线所在直线经过点B与CD 的中点，所以先求出CD的中点坐标，写出直线的两点式方程，化成一般式即可.规律总结：求直线方程，要根据题意恰当地设出直线方程的形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式），再利用直线间的位置关系（平行、垂直、相交）进行求解.试题解析：（1）∵A（4，0），B（6，6），C（0，2），∴=3，∴AB边上的高所在直线的斜率k=﹣，∴AB边上的高所在直线的方程为y﹣2=﹣，整理，得x+3y﹣6=0．（2）∵AC边的中点为（2，1），∴AC边上的中线所在的直线方程为，整理，得5x﹣4y﹣5=0.【考点】1.直线方程；2.中点坐标公式；3.两直线间的位置关系.2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=3，c=8，角A为锐角，△ABC的面积为6．（1）求角A的大小；（2）求a的值．【答案】（1）；（2）7.【解析】解题思路：（1）先利用求得，再结合角的范围求;(2)利用余弦定理直接求边.规律总结：解三角形问题，主要涉及三角关系、三边关系、边角关系和面积；所用知识主要有正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等.试题解析：（1）∵S=bcsinA=×3×8×sinA=6，∴sinA=，△ABC∵A为锐角，∴A=．（2）由余弦定理知a===7.【考点】1.三角形的面积公式；2.余弦定理.3.已知以点C（1，﹣2）为圆心的圆与直线x+y﹣1=0相切．（1）求圆C的标准方程；（2）求过圆内一点P（2，﹣）的最短弦所在直线的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】解题思路：（1）因为圆与直线x+y﹣1=0相切，所以利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离即为圆的半径，写出圆的标准方程即可；（2）先判定过P点的最短弦所在直线与过P点的直径垂直，再进行求解.规律总结：直线圆的位置关系，主要涉及直线与圆相切、相交、相离，在解决直线圆的位置关系时，要注意结合初中平面几何中的直线与圆的知识.试题解析：（1）圆的半径r==，所以圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2．圆的圆心坐标为C（1，﹣2），则过P点的直径所在直线的斜率为﹣，由于过P点的最短弦所在直线与过P点的直径垂直，∴过P点的最短弦所在直线的斜率为2，∴过P点的最短弦所在直线的方程y+=2（x﹣2），即4x﹣2y﹣13=0.【考点】1.圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系.4.某企业要建造一个容积为18m3，深为2m的长方体形无盖贮水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，怎样设计该水池可使得能总造价最低？最低总造价为多少？【答案】将水池的地面设计成边长为3m的正方形时总造价最低，最低总造价为5400元.【解析】解题思路：设出未知量，根据容积为18，得出未知量间的关系，列出函数表达式，利用基本不等式进行求最值. 规律总结：解决数学应用题的步骤：①审题，设出有关量，注明自变量的取值范围；②列出函数表达式；③求函数的最值；④作答.试题解析：设底面的长为xm ，宽为ym ，水池总造价为z 元， 则由容积为18m 3，可得：2xy=16，因此xy=9，z=200×9+150（2×2x+2×2y ）=1800+600（x+y ）≥1800+600•2=5400 当且仅当x=y=3时，取等号．所以，将水池的地面设计成边长为3m 的正方形时总造价最低，最低总造价为5400元. 【考点】基本不等式.5.如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，且△ABC 为正三角形，AA 1=AB=6，D 为AC 的中点． （1）求证：直线AB 1∥平面BC 1D ； （2）求证：平面BC 1D ⊥平面ACC 1A ； （3）求三棱锥C ﹣BC 1D 的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【解析】解题思路：（1）构造三角形的中位线，得出线线平行，再利用线面平行的判定定理进行证明；（2）利用线面垂直的性质及等边三角形的三线合一得出线线垂直，进而利用面面垂直的判定定理进行证明；（3）合理转化三棱锥的顶点求体积.规律总结：证明空间中的线线、线面、面面的平行、垂直关系，关键合理选择性质定理或判定定理，进行三者之间的相互转化，线线关系是关键；求几何体的体积，要合理选择顶点与底面，以便容易求得高与面积. 试题解析：（1）证明：连接B 1C 交BC 1于点O ，连接OD ，则点O 为B 1C 的中点． ∵D 为AC 中点，得DO 为△AB 1C 中位线，∴A 1B ∥OD ．∴直线AB 1∥平面BC 1D ；（2）证明：∵AA 1⊥底面ABC ，∴AA 1⊥BD ， ∵底面ABC 正三角形，D 是AC 的中点 ∴BD ⊥AC∵AA 1∩AC=A ，∴BD ⊥平面ACC 1A 1， ,;（3）由（2）知，△ABC 中，BD ⊥AC ，BD=BCsin60°=3，∴S △BCD ==，∴V C ﹣BC1D =V C1﹣BCD =••6=9.【考点】1.空间中的平行与垂直的判定；2.空间几何体的体积.6.已知单调递增的等比数列{a n }满足a 1+a 2+a 3=14，且a 2+1是a 1，a 3的等差中项． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ；（3）若存在n ∈N *，使得S n+1﹣2≤8n 3λ成立，求实数λ的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】解题思路：（1）设出等比数列的首项与公比，列出关于的方程组，解得即可；（2）由（1）得出，利用错位相减法求和；（3）先进行变量分离，转化为求关于的函数的最值问题.规律总结：涉及等差数列或等比数列的通项问题，往往列出关于基本量的方程组，进而求出基本量，数列求和的方法主要有：倒序相加法、裂项抵消法、分组求和法、错位相减法. 注意点：存在n ∈N *，使得成立，只需，而不是最大值.试题解析：（1）设等比数列的公比为q ， ∵a 1+a 2+a 3=14，且a 2+1是a 1，a 3的等差中项， ∴，解得q=2，a 1=2，或q=，a 1=8（舍） ∴a n =2n ．（2）b n =a n log 2a n =n•2n ， ∴，①2S n =1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1，② ①﹣②，得=， ∴．（3）由（2）知，原问题等价于：存在n ∈N *，使得成立， 令f （n ）=，只需λ≥f （n ）min 即可，∵f （n+1）﹣f （n ）==，∴f （n+1）﹣f （n ）的正负取决于n 2﹣2n ﹣1=（n ﹣1）2﹣2的正负， ∴f （1）＞f （2）＞f （3），f （3）＜f （4）＜… ∴f （n ）min =f （3）=，即，∴λ的最小值是．.【考点】1.数列的通项公式；2.数列的前项和.。
山东高一高中数学期末考试带答案解析
山东高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列给出的赋值语句中正确的是（）A．4＝M B．B＝A＝3C．x＋y＝0D．M＝－M2.（）A．B．C．D．3.下列向量组中,可以把向量表示出来的是（）A．B．C．D．4.用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为125，则第1组中按此抽签方法确定的号码是（）A．7B．5C．4D．35.设P是所在平面内的一点，，则（）A．B．C．D．6.样本数据的标准差为（）A．B．C．D．7.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5,25），[25，27.5），[27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A．56B．60C．140D．1208.若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）A．B．C．D．9.在平面直角坐标系中，已知点分别为轴，轴上一点，且，若点，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．2.如图，矩形中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内随机取一个点Q，则点Q取自内部的概率等于．3.设向量，，则，的夹角等于．4.执行如图所示的程序框图，若输入的值为2，则输出的值为．5.函数（是常数，）的部分图象如图所示，下列结论：①最小正周期为；②将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数；③；④.其中正确命题的序号是．三、解答题1.（Ⅰ）已知，求；（Ⅱ）已知，求.2.经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数（0＜≤10）与销售价格（单位：万元/辆）进行整理,得到如下的对应数据：使用年数246810售价16139.57 4.5（Ⅰ）试求关于的回归直线方程；（附：回归方程中，（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为万元,根据（Ⅰ）中所求的回归方程,预测为何值时,小王销售一辆该型号汽车所获得的利润最大.3.在某次考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示.（Ⅰ）求甲班的平均分；（Ⅱ）从甲班和乙班成绩90100的学生中抽取两人，求至少含有甲班一名同学的概率.4.（Ⅰ）已知在求；（Ⅱ）已知向量且向量与向量平行，求的值．5.已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在上的单调递增区间.6.已知向量，且．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）若函数．①当时求的最小值和最大值；②试求的最小值．山东高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.下列给出的赋值语句中正确的是（）A．4＝M B．B＝A＝3C．x＋y＝0D．M＝－M【答案】D【解析】由题意得，根据赋值语句的概念，可知只有D选项为赋值语句，故选D．【考点】算法语句．2.（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，，故选B．【考点】诱导公式、三角函数求值．3.下列向量组中,可以把向量表示出来的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，设，即，解得，即，故选D．【考点】平面向量的基本定理．4.用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为125，则第1组中按此抽签方法确定的号码是（）A．7B．5C．4D．3【答案】B【解析】由题意得，由系统抽油知等距离的故障可看成公差为，第项为的等差数列，即，所以，第一组确定的号码是，故选B．【考点】系统抽样．【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式及抽样方法——系统抽样的考查，在系统抽样的过程中，每个个体被抽到的可能性是相等的，结合系统抽油的特征构造等差数列使我们解决系统抽样的常用方法，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，其中正确理解系统抽样的方法和系统的规则是解答此类问题的关键．5.设P是所在平面内的一点，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，所以，所以，所以，故选B．【考点】向量的加法及其几何意义；向量的三角形法则．6.样本数据的标准差为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，样本的平均数为，方差为，所以数据的标准差为．【考点】数列的平均数、方差与标准差．7.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5,25），[25，27.5），[27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A．56B．60C．140D．120【答案】C【解析】由题意得，自习时间不少于小时的频率为，故自习时间不少于小时的频率为，故选C.【考点】频率分布直方图及其应用．8.若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，将函数的图象向左平移个单位长度，得到，由，得，即平移后的函数的对称轴方程为，故选C．【考点】三角函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了三角函数的图象与性质，着重考查了三角函数的图象变换及三角函数的对称轴方程的求解，通过将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的解析式，即可求解三角函数的性质，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力．9.在平面直角坐标系中，已知点分别为轴，轴上一点，且，若点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则，所以，所以，所以，令，则，当时，的取得最大值；当时，的取得最小大值，故选D．【考点】平面向量的坐标运算；三角函数的最值．【方法点晴】本题主要考查了平面向量的坐标表示及其运算、三角函数的图象与性质的应用，属于中档试题，本题解答的关键在于利用向量的坐标运算表示得出，在设出，得出，即可利用三角的图象与性质求解取值范围，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力及其推论运算能力．二、填空题1.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．【答案】【解析】因为高校甲乙丙丁四个专业分别有名学生，所以本校共有学生名，因为用分层抽样的方法从该校四个专业共抽取名学生进行调查，所以每个个体被抽到的概率是，因为丙专业有人，所以要抽取人．【考点】分层抽样．2.如图，矩形中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内随机取一个点Q，则点Q取自内部的概率等于．【答案】【解析】由题意得，根据几何概型及其概率的计算方法，可以得出所求事件的概率为．【考点】几何概型．3.设向量，，则，的夹角等于．【答案】【解析】由题意得，，所以，所以向量，的夹角等于．【考点】平面向量的夹角的计算．4.执行如图所示的程序框图，若输入的值为2，则输出的值为．【答案】【解析】由题意得，输入，则第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：，此时满足判断条件，输出结果．【考点】循环结构．【方法点晴】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，属于基础题，本题解答的关键是根据给定的程序框图，把握每次循环的计算式，正确得到每次循环的计算结果是解答的关键，直到满足判断的条件，输出计算的结果，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，同时考查了学生的推理与运算能力．5.函数（是常数，）的部分图象如图所示，下列结论：①最小正周期为；②将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数；③；④.其中正确命题的序号是．【答案】①④【解析】由题意得，的最小值为，所以，且，所以，所以，所以①正确；因为，所以，令，得，所以，所以，所以②不正确；，所以③不正确；令，解得，所以的对称轴的方程为，所以的图象关于直线对称，因为，因为，所以，所以④正确．【考点】三角函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了三角函数的图象与性质，三角函数的图象变换等知识点的综合应用，属于中档试题，本题解答中根据函数图象的周期和特殊点求出函数的解析式，在根据函数单调性，对称性及其三角函数的图象变换进行合理的判断是解答本题的关键，着重考查了学生识图、用图和分析问题和解答问题的能力．三、解答题1.（Ⅰ）已知，求；（Ⅱ）已知，求.【答案】（I）；（II）．【解析】（I）利用，求得，则，即可求解结果；（II）由，即可进而求解的值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以则；（II）因为所以.【考点】三角函数的化简求值．2.经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数（0＜≤10）与销售价格（单位：万元/辆）进行整理,得到如下的对应数据：使用年数246810售价16139.57 4.5（Ⅰ）试求关于的回归直线方程；（附：回归方程中，（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为万元,根据（Ⅰ）中所求的回归方程,预测为何值时,小王销售一辆该型号汽车所获得的利润最大.【答案】（I）；（II）预测当时,销售利润取得最大值．【解析】（I）由表中的数据，计算出的值，求出，即可写出回归直线方程；（II）写出利润的函数，利用二次函数的图象与性质，求出当时,销售利润取得最大值．试题解析：（Ⅰ）由已知得由解得,所以回归直线的方程为（Ⅱ）z＝－1.45x＋18.7－（0.05x2－1.75x＋17.2）＝－0.05x2＋0.3x＋1.5＝－0.05（x－3）2＋1.95所以预测当x＝3时,销售利润z取得最大值．【考点】回归分析及回归直线方程．3.在某次考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示.（Ⅰ）求甲班的平均分；（Ⅱ）从甲班和乙班成绩90100的学生中抽取两人，求至少含有甲班一名同学的概率.【答案】（I）；（II）【解析】（I）利用茎叶图中的数据，利用平均数的计算公式，即可求出甲班的平均分；（II）首先求出甲乙两班学生在的人数，利用古典概率及其概率的计算公式，即可求解抽取两人中至少含有甲班一名同学的概率．试题解析：（Ⅰ）甲班的平均分为；（Ⅱ）甲班90-100的学生有2个，设为，；乙班 90-100的学生有4个，设为a,b,c,d从甲班和乙班90-100的学生中抽取两人,共包含，，,，，，，，，，，,,，，15个基本事件.设事件M=“至少含有甲班一名同学”，则事件M包含，，,，，，，，，9个事件，所以事件M概率为.【考点】茎叶图；古典概率及其概率的计算．4.（Ⅰ）已知在求；（Ⅱ）已知向量且向量与向量平行，求的值．【答案】（I）；（II）．【解析】（I）根据题设条件，先求出的值，在利用向量的化简，即可代入求解得到结果；（II）根据向量共线，得到，即可求解的值．试题解析：（Ⅰ）因为，的夹角为，所以=.则.（Ⅱ）因为，所以，则【考点】向量的运算与向量共线的应用．5.已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在上的单调递增区间.【答案】（I）；（II）函数的单调递增区间是．【解析】（I）根据三角恒等变换的公式，化简得到，即可求解函数的最小正周期；（II）令函数的单调递增区间，又，即可求解函数的单调递增区间．试题解析：（Ⅰ）定义域为.所以最小正周期.（Ⅱ）令函数的单调递增区间是由,得设，易知.所以,当时,在区间上单调递增.【考点】三角函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了三角函数的恒等变换、三角函数的图象与性质及三角函数的单调区间的求解，本题的解答中利用三角恒等变换的公式求解函数的解析式是解答的关键，进而再利用三角函数的性质即可得到结论，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的化简与运算能力．6.已知向量，且．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）若函数．①当时求的最小值和最大值；②试求的最小值．【答案】（I），；（II）①；②【解析】（I）直接利用数量积的坐标运算求出；利用向量的坐标运算求得，进而求解的值；（II）①把代入，求出的范围后利用换元法求出的最值；②换元，然后求出二次函数的对称轴方程，在对分段求出的最小值．试题解析：，∵，∴，∴（2）①∵，∴∴∵，∴，∴；②∵，∴（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，综上所述：.【考点】三角函数的恒等变换；平面向量的数量积的运算；三角函数的最值．【方法点晴】本题主要考查了三角函数的恒等变换；平面向量的数量积的运算；三角函数的最值等知识的综合应用，本题的解答中①把代入，求出的范围后利用换元法求出的最值；②换元，然后求出二次函数的对称轴方程，在对分段求出的最小值是解答的关键，着重考查了学生推理与运算能力和分析问题和解答问题的能力．。
精品解析：广东省惠州市2021-2022学年高一下学期期末数学试题(解析版)
惠州市2021—2022学年度第二期期末质量检测试题高一数学全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上．2、作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效．3、非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，作图题可先用铅笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效．4、作答作图题时，请用2B 铅笔、直尺等工具作图．一、单项选择题：本题共8小题，每小题滴分5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1.已知复数z 满足iz 1i=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部是（）A.12B.22C.1D.【答案】A 【解析】【分析】求出11z i 22=-+即得解.【详解】解：由题得i i(1+i)1i 11z i 1i (1i)(1+i)222-+====-+--.所以z 的虚部是12.故选：A2.已知向量()1,1e x = ，()22,3e x =-共线，则x 的值为（）A.-1B.0C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】由向量共线的坐标表示可得3(2)0x x --=，即可求x 的值.【详解】由题意，3(2)0x x --=，解得1x =-.故选：A3.小红、小明、小芳参加技能展示比赛，他们约定用“石头、剪子、布”的方式确定出场的先后顺序．问在1个回合中3个人都出“布”的概率是（）A.19B.13 C.16D.127【答案】D 【解析】【分析】先求得三个人各自出“布”的概率，再根据独立事件的概率公式求解即可.【详解】由题，三个人各自出“布”的概率为13，所以1个回合中3个人都出“布”的概率为311327⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选：D4.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和估计抽取的高中生近视人数分别为（）A.180，40B.180，20C.180，10D.100，10【答案】B 【解析】【分析】利用总量乘以抽取比例即可得到样本容量；根据图表可知高中生近视率从而估计抽取的高中生近视人数【详解】所有学生数为3000+4000+2000=9000，故样本容量为9000×2%=180，根据图甲以及抽取百分比可知，样本中高中生人数为2000×2%=40，根据图乙可知，抽取的高中生近视人数为40×50%=20，故选：B ．5.在ABC 中，D 为BC 上一点，且2BD DC =，则AD =（）A.13AB AC+ B.13AB AC-C.2133AB AC +D.1233AB AC +【答案】D 【解析】【分析】根据向量加法、减法的三角形法则及数乘向量的运算性质即可求解.【详解】解：因为在ABC 中，D 为BC 上一点，且2BD DC =，所以()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，故选：D.6.一个直角三角形的两条直角边长分别为2和转一周所围成的几何体的表面积为（）A.(6π+ B.(6π- C.D.6π【答案】A 【解析】【分析】先判断出旋转体为两个圆锥拼接在一起的几何体，再按照圆锥侧面积计算旋转体表面积即可.【详解】如图所示旋转体为两个圆锥拼接在一起的几何体，设直角三角形为ABC ，斜边为AC ，过B 作BD AC ⊥，由题意知，三角形的斜边AC =4=，斜边上的高BD =24⨯=，圆锥底面圆的半径为两个圆锥的母线长分别为2和()12(262ππ⨯+=.故选：A7.已知甲、乙两个企业生产同一款产品的合格率分别为80%和90%，通过市场调查发现甲、乙两企业产品的市场占有率分别为34和14．现从市场上随机购买一件该产品，则买到的产品是合格品的概率为（）A.740 B.910 C.3340 D.78【答案】C【解析】【分析】根据题意，分别计算买到的合格品是甲厂生产的和乙厂生产的概率，由互斥事件概率的加法公式计算可得答案．【详解】解：根据题意，若买到的合格品是甲厂生产的，其概率13380% 45P=⨯=，若买到的合格品是乙厂生产的，其概率21990% 440P=⨯=，则从市场上买到一个合格品的概率123933 54040P P P=+=+=，故选：C．8.某校为调查高一年级的某次考试的数学成绩情况，随机调查高一年级甲班10名学生，成绩的平均数为90，方差为3，乙班15名学生，成绩的平均数为85，方差为5，则这25名学生成绩的平均数和方差分别为（）A.87，10.2B.85，10.2C.87，10D.85，10【答案】A【解析】【分析】按照平均数和方差的性质计算即可得到答案【详解】由题意可知这25名学生成绩的平均数为1090+1585=8725⨯⨯这25名同学成绩的方差为2210[3(9087)]15[5(8587)]10.225⨯+-+⨯+-=故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题滴分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9.有甲､乙两种报纸供市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，事件F为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸”，事件H为“不订甲报纸”，事件I为“一种报纸也不订”.下列命题正确的是（）A.E与G是互斥事件B.F与I是互斥事件，且是对立事件C.F与G不是互斥事件D.G 与I 是互斥事件【答案】BC 【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件的概念判断即可.【详解】对于A 选项，E 、G 事件有可能同时发生，不是互斥事件；对于B 选项，F 与I 不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且是对立事件；对于C 选项，F 与G 可以同时发生，不是互斥事件；对于D 选项，G 与I 也可以同时发生，不是互斥事件.故选：BC.【点睛】在一次实验中，不可能同时发生的两个事件成为互斥事件，不可能同时发生且发生的概率之和为1的两个事件成为对立事件.10.已知圆锥的底面半径为1，S 为顶点，A ，B 为底面圆周上两个动点，则（）A.圆锥的体积为33πB.圆锥的侧面展开图的圆心角大小为π2C.圆锥截面SABD.从点A 出发绕圆锥侧面一周回到点A 的无弹性细绳的最短长度为【答案】AC 【解析】【分析】对于A ：直接求出圆锥的体积即可判断；对于B ：直接求出圆锥的侧面展开图的圆心角即可判断；对于C ：先判断出圆锥截面SAB 为轴截面时，其面积最大，然后可判断；对于D ：利用圆锥的侧面展开图可求解判断.【详解】对于A ：因为圆锥的底面半径为123113π3π13V Sh ==⨯⨯=，故A 正确；对于B ：设圆锥的母线为l ，则2l ==，设圆锥的侧面展开图的圆心角为θ，由弧长公式得：2l r θπ=，即22θπ=，解得：πθ=，故B 错误；对于C ：显然当圆锥截面SAB 为轴截面时，其面积最大，此时112222S r h =⋅⋅⋅⋅==C 正确；对于D ：由B 可得该圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，所以从点A 出发绕圆锥侧面一周回到点A 的无弹性细绳的最短长度为4，故D 错误；故选：AC11.将一组数据从小到大排列为：1211,,a a a ，中位数和平均数均为a ，方差为21s ，从中去掉第6项，从小到大排列为：1210,,,b b b ，方差为22s ，则下列说法中一定正确的是（）A.6a a= B.1210,,,b b b 的中位数为a C.1210,,,b b b 的平均数为a D.2212s s >【答案】AC 【解析】【分析】由中位数的定义即可判断A 、B 选项；由平均数的定义即可判断C 选项；由方差的定义即可判断D 选项.【详解】由1211,,a a a 的中位数和平均数均为a ，可知6a a =，121111a a a a ++=+ ，故A 正确；1210,,,b b b 的中位数为565722b b a a ++=，57a a +不一定等于2a ，故1210,,,b b b 的中位数不一定为a ，B 错误；2612101111110b a b b a a a a a ++++=-=-+=+ ，故1210,,,b b b 的平均数为a ，C 正确；()()()()()()222222121112102212,1110a a a a a ab a b a b a s s -+-++--+-++-==，由于()260a a -=，故()()()()()()22222212111210a a a a a a b a b a b a-+-++-=-+-++- ，故2212s s <，D 错误.故选：AC.12.如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 垂直的是（）A. B. C.D.【答案】ABD 【解析】【分析】根据正方体的性质，结合线面垂直的判定定理依次讨论各选项即可得答案.【详解】对于A 选项，如图，因为,,M N Q 为所在棱的中点，故由正方体的性质易得11,,//,//BB AB CD AB MQ CD MN BB ⊥⊥，所以,MQ AB MN AB ⊥⊥，由于MQ MN M ⋂=，故AB ⊥平面MNQ ，故A 选项正确；对于B 选项，如图，因为,,M N Q 为所在棱的中点，所以1//,//MN CD MQ A C ，由正方体的性质得11111,,AB CD CD BB AB BB B ⊥⊥= ，所以CD ⊥平面1ABB ，故CD AB ⊥，所以MN AB ⊥，同理得MQ AB ⊥，MN MQ M ⋂=，故AB ⊥平面MNQ ，故B 选项正确；对于C 选项，如图，因为,,M N Q 为所在棱的中点，所以1111//,//MN A B AC A B ，所以在ABC 中，AB 与AC 夹角为π3，故异面直线MN 与AB 所成的角为π3，故AB ⊥平面MNQ 不成立，故C 选项错误；对于D 选项，同A 选项，可判断AB ⊥平面MNQ ，故D 选项正确；故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分；其中第16题的第一个空2分，第二个空3分13.已知复数2022i i z =-+，其中i 为虚数单位，则z =___________．【解析】【分析】根据i 的多次方的周期性，可知()505202242i i i 1=⋅=-，进而根据复数的模的公式求解即可.【详解】因为2i 1=-，3i i =-，41i =，所以()505202242i i i 1=⋅=-，所以1i z =+，则z ==，14.高一某班举行党史知识竞赛，其中12名学生的成绩分别是：61、67、73、74、76、82、82、87、90、94、97、98，则该小组12名学生成绩的75%分位数是____________．【答案】92【解析】【分析】利用百分位数的计算公式进行计算.【详解】0127590⨯=，故选取第9个和第10个数的平均数作为75%分位数，即9094922+=故答案为：9215.已知向量()()1,2,1,1a b =-= ，则向量a 在向量b上的投影向量的坐标为___________．【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据投影向量的求法，代入数据，即可求得答案.【详解】由题，向量a 在向量b上的投影向量为112111cos ,,1122b a b b a a b a b b a b b ⋅⨯-⨯⎛⎫⋅<>⋅=⋅==-- ⎪+⎝⎭⋅，故答案为：11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭16.如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体有________个面，其体积为________．【答案】①.20②.323-【解析】【分析】由图形可直接得到几何体面的个数，几何体体积等于两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积，根据直观图分别进行求解即可.【详解】由图形观察可知，几何体的面共有2(242)20⨯⨯+=个，该几何体的直观图如图所示，该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积.两个四棱柱的体积和为222432V =⨯⨯⨯=.交叉部分的体积为四棱锥S ABCD -的体积的2倍.在等腰ABS 中，2,SB SB =边上的高为2，则 6.SA =由该几何体前后，左右上下均对称，知四边形ABCD 6的菱形.设AC 的中点为H ，连接,BH SH 易证SH 即为四棱锥S ABCD -的高，在Rt ABH 中，2262 2.BH AB AH =-=-=又22AC SB ==所以122222ABCD S =⨯⨯= 因为BH SH =，所以1182222333ABCD S ABCD V S -=⨯=⨯=四棱柱，所以求体积为821623223233-⨯=-故答案为：20；162323-【点睛】本题考查空间组合体的结构特征，棱柱、棱锥的体积，关键需要弄清楚几何体的组成，属于较易题目.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤17.已知复数()()22815918i z m m m m =-++-+，其中i 为虚数单位．（1）若复数z 是纯虚数，求实数m 的值：（2）若复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m 的取值范围．【答案】（1）5（2）35m <<【解析】【分析】（1）纯虚数需满足实部为0，虚部不为0，进而求解即可；（2）由对应点位于第三象限可知实部，虚部均为负数，根据不等式组求解即可.【小问1详解】因为复数z 是纯虚数，所以2281509180m m m m ⎧-+=⎨-+≠⎩，解得5m =.【小问2详解】因为复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，所以2281509180m m m m ⎧-+<⎨-+<⎩，解得35m <<.18.已知向量()3,4OA =- ，()6,3OB =- ，()5,3OC m m =--- .（1）若点A ，B ，C 能够成三角形，求实数m 应满足的条件；（2）若ABC 为直角三角形，且A ∠为直角，求实数m 的值.【答案】（1）12m ≠；（2）74m =.【解析】【分析】(1)点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即AB 与BC 不共线，利用向量共线的坐标公式计算即可．(2)ABC 为直角三角形，且A ∠为直角，则AB AC ⊥，利用向量的数量积坐标公式计算即可．【详解】（1）已知向量()3,4OA =- ，()6,3OB =- ，()5,3OC m m =--- ，若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即AB 与BC 不共线.()3,1AB =uu u r ，()2,1AC m m =-- ，故知()312m m -≠-，∴实数12m ≠时，满足条件.（2）若ABC 为直角三角形，且A ∠为直角，则AB AC ⊥ ，∴()()3210m m -+-=，解得74m =.【点睛】本题考查平面向量共线的坐标公式和数量积的坐标运算，考查学生逻辑思维能力，属于基础题．19.2022年4月开始，新冠奥密克戎病毒在上海等地肆虐，感染病毒人数急剧上升．全国各地积极应对，认真做好新冠病毒防控工作，实现社会面动态清零．为保障抗疫一线医疗物资的供应，惠州市某企业加班加点生产口罩、防护服，消毒水等防疫物品．在加大生产的同时，该公可狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量．该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[40，50），[50，60），[60，70） ，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求出直方图中m 的值：（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数．（中位数精确到0.1）【答案】（1）0.03m =（2）平均数为71，中位数为73.3【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，解得即可；（2）根据频率分布直方图中平均数、中位数计算公式计算可得；【小问1详解】解：由频率分布直方图可得()100.010.0150.0150.0250.0051m ⨯+++++=，解得0.03m =；【小问2详解】解：平均数为()450.01550.015650.015750.03850.025950.0051071⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=因为0.10.150.150.40.5++=<，0.10.150.150.30.70.5+++=>，所以中位数位于[)70,80之间，设中位数为x ，则()0.10.150.15700.030.5x +++-⨯=，解得22073.33x =≈，所以可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.3；20.在①()cos 2cos A B C =+，②sin cos a C A =这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，______．（1）求角A ；（2）若2b =，4c =，求ABC 的BC 边上的中线AD 的长．【答案】（1）3π（2【解析】【分析】（1）若选①，由已知可得22cos 1cos A A -=-，可求出cos A ，进而求出A ；若选②：由正弦定理，得sin sin cos A C C A =，可求出tan A ，进而求出A ；（2）AD 是ABC 的BC 边上的中线，1()2AD AB AC =+ ，利用向量法可求AD 的长．【小问1详解】解：（1）若选①，即cos 2cos()A B C =+，得22cos 1cos A A -=-，22cos cos 10A A ∴+-=，1cos 2A ∴=或cos 1A =-（舍去），(0,)A π∈ ，3A π∴=；若选②：sin cos a C A =，由正弦定理，得sin sin cos A C C A =，A，(0,)C π∈，sin 0C ∴>，则sin A A =，tan A ∴=，3A π∴=；【小问2详解】解：AD 是ABC 的BC 边上的中线，∴1()2AD AB AC =+ ，∴222211()(2)44AD AB AC AB AB AC AC =+=+⋅+ ()22124AB AB AC AC =+⋅+221(2cos )43c c b b π=+⋅+，221(4242cos 2)743π=+⨯⨯⨯+=，AD ∴=．21.如图，在Rt ABC △中．90C ∠=︒，3BC =，6AC =，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且//DE BC ，将ADE 沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A D CD ⊥，如图．（1）求证：BC ⊥平面1A DC ；（2）若2CD =，F 为1A D 的中点，作出过F 且与平面1A BC 平行的截面，并给出证明；【答案】（1）证明见解析（2）作图见解析，证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得1AD DE ⊥，再由1A D CD ⊥，即可得到1A D ⊥平面BCDE ，则1A D BC ⊥，再结合BC CD ⊥，即可得证；（2）过点F 作1//FM A C 交CD 于M ，过F 作//FG DE 交1A E 于G ，过点M 作//MN BC 交BE 于N ，连接GN ，推导出//FG MN ，从而G ，F ，M ，N 四点共面，推导出//FM 平面1A BC ，//MN 平面1A BC ，由此能证明平面//GFMN 平面1A BC ．【小问1详解】证明：在ABC 中，90C ∠=︒，//DE BC ，所以AD DE ⊥，所以1AD DE ⊥．又1A D CD ⊥，CD DE D = ，,CD DE ⊂平面BCDE ，所以1A D ⊥平面BCDE ，由BC ⊂平面BCDE ，所以1A D BC ⊥．又BC CD ⊥，1CD A D D = ，1,CD A D ⊂平面1A DC ，所以BC ⊥平面1A DC ．【小问2详解】解：如图，过点F 作1//FM A C 交CD 于M ，过F 作//FG DE 交1A E 于G ，过点M 作//MN BC 交BE 于N ，连接GN ，则平面//GFMN 平面1A BC ．证明如下：//FG DE ，//MN BC ，且//DE BC ，//FG MN ∴，G ∴，F ，M ，N 四点共面．1//FM A C ，FM ⊂/平面1A BC ，1AC ⊂平面1A BC ，//FM ∴平面1A BC ，同理//MN 平面1A BC又FM M N M = ，FM ⊂平面GFMN ，MN ⊂平面GFMN ，∴平面//GFMN 平面1A BC ．22.为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，惠州市某学校组织防疫知识挑战赛，每位选手挑战时，主持人从电脑题库中随机抽出3道题，并编号为1T ，2T ，3T ，并依次展示题目，选手按规则作答．挑战规则如下：①选手每答对一道题目得5分，每答错一道题目扣3分：②选手若答对第i T 题，则继续作答第1i T +题：选手若答错第i T 题，则失去第1i T +题的答题机会，从第2i T +题开始继续答题：直到3道题目回答完，挑战结束：③选手初始分为0分，若挑战结束后，累计得分不低于7分，则选手挑战成功，否则挑战失败．选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为34，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：（1）挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题的概率；（2）选手甲挑战成功的概率．【答案】（1）716（2）916【解析】【分析】（1）设i A 为选手答对i T 题，其中1i =，2，3，设挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题为事件B ，选手甲恰好作答了2道题即选手甲第一题答错或第一题答对且第2题答错，即112B A A A = ，结合概率的加法公式和事件独立性的定义，即可求解．（2）设选手甲挑战成功为事件C ，若选手甲挑战成功，则选手甲共作答了3道题，且选手甲只可能作答2道题或3道题，“选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了2道题”的对立事件，结合对立事件的性质，即可求解．【小问1详解】解：设i A 为选手答对i T 题，其中1i =，2，3设挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题为事件B ，选手甲恰好作答了2道题即选手甲第一题答错或第一题答对且第2题答错，∴112B A A A =，由概率的加法公式和事件独立性的定义得1121123337()()()()(1)(1)44416P B P A A A P A P A A ==+=-+⨯-= ．即挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题的概率为716；【小问2详解】解：设选手甲挑战成功为事件C ，若选手甲挑战成功，则选手甲共作答了3道题，且选手甲只可能作答2道题或3道题，∴“选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了2道题”的对立事件，∴C B=根据对立事件的性质得79()()1()11616P C P B P B ==-=-=．所以选手甲挑战成功的概率9 16；。
高中高一数学下学期期末考试试卷分析
高中2021年高一数学下学期期末考试试卷分析本文导航 1、首页2、高一数学下学期期末考试试卷分析-23、高一数学下学期期末考试试卷分析-34、高一数学下学期期末考试试卷分析-45、高一数学下学期期末考试试卷分析-5高中2021年高一数学下学期期末考试试卷分析【】高中生各科考试，各位考生都在厉兵秣马，枕戈待旦，把自己调整到最佳作战状态。
在这里查字典数学网为各位考生整理了高中2021年高一数学下学期期末考试试卷分析，希望能够助各位考生一臂之力，祝各位考生金榜题名，前程似锦!!一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)1.化简[3-52] 的结果为 ()A.5B.5C.-5D.-5解析：[3-52] =(352) =5 =5 =5.答案：B2.若log513log36log6x=2，则x等于 ()A.9B.19C.25D.125解析：由换底公式，得lg 13lg 5lg 6lg 3lg xlg 6=2，-lg xlg 5=2.lg x=-2lg 5=lg 125.x=125.答案：D3.(2021江西高考)若f(x)= ，则f(x)的定义域为 ()A.(-12，0)B.(-12，0]C.(-12，+)D.(0，+)解析：f(x)要有意义，需log (2x+1)0，即01，解得-12答案：A4.函数y=(a2-1)x在(-，+)上是减函数，则a的取值范围是()A.|a|1B.|a|2C.a2 D .12解析：由012.答案：D本文导航 1、首页2、高一数学下学期期末考试试卷分析-23、高一数学下学期期末考试试卷分析-34、高一数学下学期期末考试试卷分析-45、高一数学下学期期末考试试卷分析-55.函数y=ax-1的定义域是(-，0]，则a的取值范围是 ()A.a0B.a1C.0解析：由ax-10得ax1，又知此函数的定义域为(-，0]，即当x0时，ax1恒成立，0答案：C6.函数y=x12x|x|的图像的大致形状是 ()解析：原函数式化为y=12x，x0，-12x，x0.答案：D7.函数y=3x-1-2， x1，13x-1-2， x1的值域是 ()A.(-2，-1)B.(-2，+)C.(-，-1]D.(-2，-1]解析：当x1时，031-1=1，-23x-1-2-1.当x1时，(13)x(13)1，0(13)x-1(13)0=1，则-2 (13)x-1-2 1-2=-1.答案：D8.某工厂6年来生产甲种产品的情况是：前3年年产量的增大速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来生产甲种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图像为解析：由题意知前3年年产量增大速度越来越快，可知在单位时间内，C的值增大的很快，从而可判定结果.答案：A9.设函数f(x)=log2x-1， x2，12x-1， x2，若f(x0)1，则x0的取值范围是 ()A.(-，0)(2，+)B.(0,2)C.(-，-1)(3，+)D.(-1,3)解析：当x02时，∵f(x0)1，本文导航 1、首页2、高一数学下学期期末考试试卷分析-23、高一数学下学期期末考试试卷分析-34、高一数学下学期期末考试试卷分析-45、高一数学下学期期末考试试卷分析-5 log2(x0-1)1，即x0当 x02时，由f(x0)1得(12)x0-11，(12)x0(12)-1，x0-1.x0(-，-1)(3，+).答案：C10.函数f(x)=loga(bx)的图像如图，其中a，b为常数.下列结论正确的是 ()A.01B.a1,0C.a1，b1D.0解析：由于函数单调递增，a1，又f(1)0，即logab0=loga1，b1.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11.若函数y=13x x[-1，0]，3x x0，1]，则f(log3 )=________. 解析：∵-1=log3f(log3 )=(13)log3 =3-log3 =3log32=2.答案：212.化简： =________.解析：原式==a a =a.[答案：a本文导航 1、首页2、高一数学下学期期末考试试卷分析-23、高一数学下学期期末考试试卷分析-34、高一数学下学期期末考试试卷分析-45、高一数学下学期期末考试试卷分析-5 13.若函数y=2x+1，y=b，y=-2x-1三图像无公共点，结合图像求b的取值范围为________.解析：如图.当-11时，此三函数的图像无公共点.答案：[-1,1]14.已知f(x)=log3x的值域是[-1,1]，那么它的反函数的值域为________.解析：∵-1log3x1，log313log3xlog33，133.f(x)=log3x的定义域是[13，3]，f(x)=log3x的反函数的值域是[13，3].答案：[13，3]三、解答题(本大题共4个小题，共50分)15.(12分)设函数y=2|x+1|-|x-1|.(1)讨论y=f(x)的单调性，作出其图像;(2)求f(x)22的解集.解：(1)y=22，x1，22x， -11，2-2， x-1.当x1或x-1时，y=f(x)是常数函数不具有单调性，当-11时，y=4x单调递增，故y=f(x)的单调递增区间为[-1,1)，其图像如图.(2)当 x1时，y=422成立，当-11时，由y=22x22=22 =2 ，得2x32，x34，341，当x-1时，y=2-2=1422不成立，综上，f(x)22的解集为[34，+).本文导航 1、首页2、高一数学下学期期末考试试卷分析-23、高一数学下学期期末考试试卷分析-34、高一数学下学期期末考试试卷分析-45、高一数学下学期期末考试试卷分析-5 16.(12分)设a1，若对于任意的x[a,2a ]，都有y[a，a2]满足方程logax+logay=3，求a的取值范围.解：∵logax+logay=3，logaxy=3.xy=a3.y=a3x.函数y=a3x(a1)为减函数，又当x=a时，y=a2，当x=2a时，y=a32a=a22 ，a22，a2[a，a2].a22a.又a1，a2.a的取值范围为a2.17.(12分)若-3log12x-12，求f(x)=(log2x2)(log2x4)的最大值和最小值.解：f(x)=(log2x-1)(log2x-2)=(log2x)2-3log2x+2=(log2x-32)2-14.又∵-3log x-12，12log2x3.当log2x=32时，f(x)min=f(22)=-14;当log2x=3时，f(x)max=f(8)=2.18.(14分)已知函数f(x)=2x-12x+1，(1)证明函数f(x)是R上的增函数;(2)求函数f(x)的值域;(3)令g(x)=xfx，判定函数g(x)的奇偶性，并证明.解：(1)证明：设x1，x2是R内任意两个值，且x10，y2-y1=f(x2)-f(x1)=2x2-12x2+1-2x1-12x1+1=22x2-22x12x1+12x2+1=22x2-2x12x1+12x2+1，当x10.又2x1+10,2x2+10，y2-y10，f(x)是R上的增函数;(2)f(x)=2x+1-22x+1=1-22x+1，∵2x+11，022x+12，即-2-22x+10，-11-22x+11.f(x)的值域为(-1,1);(3)由题意知g(x)=xfx=2x+12x-1x，易知函数g(x)的定义域为(-，0)(0，+)，g(-x)=(-x)2-x+12-x-1=(-x)1+2x1-2x=x2x+12x-1=g(x)，函数g(x)为偶函数.查字典数学网高中频道为大家整理了高中2021年高一数学下学期期末考试试卷分析。
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高中2019年高一数学下学期期末考试试题分析
【】多了解一些考试资讯信息，对于学生和家长来讲非常重要，为大家整理了高中2019年高一数学下学期期末考试试题分析一文，希望对大家有帮助。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分;每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1. =( )
A. B. - C. D.-
2.函数y=cosx+2(xR)是().
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.无法确定
3. 要得到函数y=sin2x-4的图象，可以把函数y=sin 2x的图象 ()
A.向左平移8个单位
B.向右平移8个单位
C.向左平移4个单位
D.向右平移4个单位
4.已知角的终边经过点P(-1,2)，则cos 的值为( )
A.-55
B.-5
C.255
D.52
5.若函数y=Asin(x+)+m(A0，0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2，直线x=3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( )
A.y=4sin4x+6
B.y=2sin2x+3+2
C.y=2sin4x+3+2
D.y=2sin4x+6+2
6. 设向量a=(-1,2)，b=(1，-1)，c=(3，-2)，用a，b作基底可将c表示为c=pa+qb，则实数p，q的值为().
A.p=4，q=1
B. p=1，q=4
C.p=0，q=4
D.p=1，q=-4
7若a=(2,3)，b=(-4,7)，则a在b方向上的投影为
A.655
B.65
C.135
D.13
8.如果sin x+cos x=15，且0
A.-43
B.-43或-34
C.-34
D.43或-34
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9.点O是△ABC所在平面内的一点，满足OAOB=OBOC=OCOA，则点O是△ABC的().
A.三个内角的角平分线的交点
B.三条边的垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
10.如图，在四边形ABCD中，下列各式中成立的是().
A.BC-BD=CD
B.CD+DA=AC
C.CB+AD+BA=CD
D.AB+AC=BD+DC
11. 函数的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
12. 函数y=Asin(x+0,0)的部分图象如图所示，
则f(1)+f(2)+f(3)++f(11)的值等于( )
A.2
B.
C.
D.
二.填空题本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13. 设点P是函数f(x)=sin x的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的最小值是8，则f(x)的最小正周期是________.
14. 若向量 =(2，3)， =(4，7)，则 =______.
15.函数的定义域是___________
16.关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：
①若ab=ac，则b=c;②若a=(1，k)，b=(-2,6)，a∥b，则k=-3;③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|，则a与a+b的夹角为60.
其中真命题的序号为_______.(写出所有真命题的序号) 三.解答题(本大题共6小题,满分70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知求，，，的坐标
18.(本小题满分12分)已知为第二象限角，
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(1)化简
(2)若 = , 求的值
(3)若 =-1380，求的值
19. (本小题满分12分)已知函数的最大值为，最小值为 .
(1)求的值;
(2)已知函数，当时求自变量x的集合.
20. (本小题满分12分)已知tan =3，求下列各式的值：
(1)3cos--sin+3cos2++sin32-
(2)2sin2-3sin cos -1.
21. (本小题满分12分)已知|a|=4，|b|=3，
(2a-3b)(2a+b)=61.
(1)求a与b的夹角
(2)求|a+b|和|a-b|.
22.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=Asin(x+0，0，|2在一个周期内的图象如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)设0
高中2019年高一数学下学期期末考试试题分析就为您介绍完了，的编辑将第一时间为您整理信息，供大家参考!
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第3组
30 ②
第4组
20 0.200
第5组
10 0.100
合计 100 1.00
22、某高校在2019年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示.
(1)请求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上画出频率分布直方图;
(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，
求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? 高考频道第一时间为您发布高中2019年高二下学期数学期末考试题。