《函数与方程》教案5(苏教版必修1)
高一数学教案范文：函数与方程教案
高一数学教案范文：函数与方程教案教学目标：1. 了解函数的定义和性质；2. 掌握函数的表示方法；3. 能够根据函数的性质解决实际问题；4. 了解方程的定义和基本性质；5. 能够解一元一次方程；6.能够用方程解决实际问题。
教学重点：1. 函数的定义和性质；2. 函数的表示方法；3. 方程的定义和基本性质；4. 一元一次方程的解法。
教学难点：1. 函数的性质的理解和应用；2. 方程的解法的灵活运用。
教学准备：教师准备讲义、教具以及相关习题。
教学过程：第一课时：1. 导入：教师引导学生回顾函数的概念和性质，并提醒学生函数在数学中的重要作用。
2. 观察与思考：给出一个实际问题，让学生思考如何用函数的方法来解决。
3. 学习：教师向学生讲解函数的定义和性质，并介绍函数的表示方法。
4. 实践：教师带领学生通过例题的讲解和解题实践，巩固对函数的理解和应用。
5. 小结：教师对本节课的内容进行小结，并提醒学生复习函数的知识点。
第二课时：1. 导入：教师引导学生回顾方程的概念和性质，并提醒学生方程在数学中的应用。
2. 观察与思考：给出一个实际问题，让学生思考如何用方程的方法来解决。
3. 学习：教师向学生讲解方程的定义和基本性质，并介绍一元一次方程的解法。
4. 实践：教师带领学生通过例题的讲解和解题实践，巩固对方程的理解和应用。
5. 小结：教师对本节课的内容进行小结，并提醒学生复习方程的知识点。
第三课时：1. 导入：教师引导学生回顾函数和方程的概念，并提醒学生函数和方程在数学中的联系。
2. 学习：教师讲解如何用函数和方程解决实际问题，并通过例题讲解和解题实践来加深学生的理解。
3. 实践：教师布置一些综合性的习题，让学生通过解题来巩固所学内容。
4. 总结：教师对本节课的内容进行总结，并提醒学生复习整个教学内容。
教学反思：本节课的教学过程比较严谨，通过导入、观察与思考、学习、实践、小结等环节的设计，使学生能够逐步理解函数和方程的概念，并能够灵活运用所学知识解决实际问题。
高中必修1——函数与方程 (教案)
函数与方程【知识导图】知识讲解知识点一 函数零点的定义一般地，如果函数()y f x =在实数α处的值等于零，即()0f α= 则α叫做这个函数的零点.重点强调：①零点不是点，是一个实数；②等价关系：函数()y f x =有零点⇔()0f x =有实数根⇔函数()y f x =图像与x 轴有公共点；③求函数零点的步骤：令()0f x =⇒解方程()0f x =⇒写出零点. 知识点二 零点存在性定理如果函数()y f x =在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间（a ,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的根. 注意：①存在性定理只能判出有零点，定理不成立不能说没有零点；②存在性定理只能判出有零点，不能判出零点的个数；③函数存在性定理判出的都是变号零点.知识点三 二分法二分法求零点：对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε；（2）求区间a (，)b 的中点1x ；（3）计算)(1x f ：①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点；②若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）；③若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）；（4）判断是否达到精度ε；即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4.注意：二分法的条件)(a f ·)(b f 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点.判断函数()y f x =零点个数的常用方法：(1) 直接法：令()0,f x =则方程实根的个数就是函数零点的个数；(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()·0,f a f b <再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题. 例题讲解类型一 求函数的零点【例题1】若函数f (x )的零点与g (x )＝2x －2的零点相同，则f (x )可以是( )A ．f (x )＝4x －1B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝x 2＋4x －5D ．f (x )＝x 2－1【解析】令g (x )＝2x －2＝0，得x ＝1，∴g (x )的零点为1.由题意知方程f (x )＝0只有x ＝1一个根．只有选项B 中函数f (x )＝(x －1)2满足．【答案】 B【例题2】已知x ＝－1是函数f (x )＝a x＋b (a ≠0)的一个零点，则函数g (x )＝ax 2－bx 的零点是( ) A ．－1或1 B ．0或－1 C ．1或0 D ．2或1【解析】∵x ＝－1是函数f (x )＝a x＋b (a ≠0)的一个零点，∴－a ＋b ＝0，∴a ＝b . ∴g (x )＝ax 2－ax ＝ax (x －1)(a ≠0)，令g (x )＝0，得x ＝0或x ＝1，故选C.【答案】C【例题3】方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( )A.(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3)【解析】设函数f (x )＝e x －x －2，计算易得f (1)·f (2)<0，因此方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为(1,2)．【答案】C类型二 零点个数的判断【例题1】函数y ＝x 3－16x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 令x 3－16x ＝0，易解得x ＝－4,0,4，由函数零点的定义知，函数y ＝x 3－16x 的零点有3个．【答案】 D【例题2】若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则该函数的零点个数为( )A ．1B ．2C ．0D ．不能确定【解析】 由f (1)＝0，得a ＋b ＋c ＝0，又a >b >c ，∴a >0，c <0，∴Δ＝b 2－4ac >0.故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根，所以函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 有两个零点．【答案】 B【例题3】函数x x g x x x x x f -=⎩⎨⎧>≤-=3)(,1,lg 1,12)(，则函数)()()(x g x f x h -=的零点个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 0【答案】A【解析】函数)(x h 的零点满足0)()(=-x g x f ，即)()(x g x f =，绘制函数f (x )与g (x )的图像，交点的个数即函数零点的个数，如图所示，观察可得：函数)()()(x g x f x h -=的零点个数是2.类型三 求参数取值【例题1】已知函数()22,032,0x x f x x x x +<⎧=⎨-+≥⎩，函数()()g x f x a =-恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A . 1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B . 1,24⎛⎫- ⎪⎝⎭C . [)2,+∞D . [)0,2 【解析】函数g (x )=f (x )−a 恰有三个不同的零点，即y =f (x )和y =a 恰有三个不同的交点，画出函数f (x )的图象，如图所示： ，x >0时,f (x )的最小值是−14， 结合图象,−14<a <2. 【答案】B【例题2】若方程|x 2－4x |－a ＝0有四个不相等的实根，则实数a 的取值范围是________.【解析】 由|x 2－4x |－a ＝0，得a ＝|x 2－4x |，作出函数y ＝|x 2－4x |的图象，则由图象可知，要使方程|x 2－4x |－a ＝0有四个不相等的实根，则0＜a ＜4.【答案】 (0,4)课堂练习基础1.下列函数没有零点的是( )A ．f (x )＝0B ．f (x )＝2C ．f (x )＝x 2－1 D ．f (x )＝x －1x 2.方程lgx +x =3的解所在区间为（）A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，+∞)3.若函数)(x f y =在区间[a ,b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c fB ．若0)()(<b f a f ，存在且只存在一个实数),(b a c ∈使得0)(=c fC ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c fD ．若0)()(<b f a f ，有可能不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f4.函数()1lg 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭零点的个数为（ ） A . 0 B . 1 C . 2 D . 3 答案与解析1.【答案】B【解析】函数f (x )＝2，不能满足方程f (x )＝0，因此没有零点．2. 【答案】C【解析】利用零点与方程的联系，利用存在性定理解答；也可做出x y lg =与x y -=3的图象，看两个图象交点个数.3. 【答案】C【解析】由零点存在性定理可知选项D 不正确；对于选项B ，可通过反例“)1)(1()(+-=x x x x f 在区间]2,2[-上满足0)2()2(<-f f ，但其存在三个解}1,0,1{-”推翻；同时选项A 可通过反例“)1)(1()(+-=x x x f 在区间]2,2[-上满足0)2()2(>-f f ，但其存在两个解}1,1{-”；选项C 正确，见实例“1)(2+=x x f 在区间]2,2[-上满足0)2()2(>-f f ，但其不存在实数解”.4.【答案】B 【解析】函数()1lg 2x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()0f x =，可得1lg 2x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，作出12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和lg y x =的图象，可得它们有1个交点，则()f x 的零点个数为1，故选B .巩固1.已知函数f (x )＝x 2－2 015x ＋2 016与x 轴的交点为(m,0)，(n,0)，则(m 2－2 016m ＋2 016)(n 2－2 016n ＋2 016)的值为________．2.若一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根，则有( )A ．a <0B ．a >0C ．a <－1D ．a >13.若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在(0,1)内，另一根在(1,2)内，则k 的取值范围为________.4. 函数()223,02,0x x x f x lnx x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3答案与解析1.【答案】2 016【解析】由题意，f (m )＝m 2－2 015m ＋2 016＝0，f (n )＝n 2－2 015n ＋2 016＝0，mn 是方程x 2－2 015x ＋2 016＝0的两根，mn ＝2 016，∴(m 2－2 016m ＋2 016)(n 2－2 016n ＋2 016)＝mn ＝2 016.2.【答案】 A【解析】设方程的两根为x 1，x 2，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧>-=∆<=,044,0121a a x x ∴0,1,0<⇒⎩⎨⎧<<a a a . 3.【答案】⎪⎭⎫⎝⎛3221，【解析】.设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.∵f (x )＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴⎪⎩⎪⎨⎧><>,0)2(,0)1(,0)0(f f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>-+-+<-+-+>-,012424,01221,012k k k k k∴12<k <23. 4.【答案】C【解析】由()0f x =得23,x x e =-=所以零点个数为2，选C ． 拔高1.已知函数1)(,ln )(,2)(--=+=+=x x x h x x x g x x f x 的零点分别为321,,x x x ，则321,,x x x 的大小关系是（ ）A . 312x x x <<B . 321x x x <<C . 231x x x <<D . 132x x x <<2. 已知a x x x f －－－32=)(2，问a 取何值时分别满足下列条件．（1）有2个零点；（2）有3个零点；（3）有4个零点．3.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足()()[]20,1f x f x x =+∈，当时， ()2f x x =，若方程()0(0)ax a f x a +-=>恰有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A . 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B . []0,2C . ()1,2D . [)1,+∞答案与解析1.【答案】B 【解析】在同一坐标系中作出函数1,ln ,2,--===-=x y x y y x y x 的图象，如图所示：由图可知321x x x <<.故选B .2.【答案】当0=a或4>a 时，函数a x x x f －－－32=)(2有2个零点； 当4=a 时，函数a x x x f －－－32=)(2有3个零点；当4<<0a 时，函数a x x x f －－－32=)(2有4个零点. 【解析】函数a x x x f －－－32=)(2的零点，即函数32=)(2－－x x x g 与函数a x h =)(的交点 的横坐标．作函数32=)(2－－x x x g 的图象，可知 （1）当0=a或4>a 时，函数a x x x f －－－32=)(2有2个零点； （2）当4=a 时，函数a x x x f －－－32=)(2有3个零点；（3）当4<<0a 时，函数a x x x f －－－32=)(2有4个零点. 3.【答案】A【解析】由()()2f x f x =+可得函数()f x 的周期为2，当[]0,1x ∈时， ()2f x x =，又()f x 为偶函数，则当[]1,0x ∈-时， ()2f x x =-，由()0(0)ax a f x a +-=>得()f x ax a =+，作出()y f x =和y ax a =+即()1y a x =+的图象，可知直线()1y a x =+斜率为a 且过定点()1,0-.要使方程()0(0)ax a f x a +-=>恰有三个不相等的实数根，则由图象可得直线()1y a x =+的斜率必须满足AC AB k a k <<，由题意可得()()()1,0,1,2,3,2A B C -，则12AC k =， 1AB k =．即有112a <<．故选A ． 达标训练基础1. 函数442y x x =--的零点所在区间为（ ）A.)01(，-，(0,1)B.)12(--，，(1,2)C.)01(，-，(1,2)D.)12(--，，(0,1)2.函数f (x )＝x ＋x1的零点个数为( ) A . 0 B . 1 C . 2 D . 33. 函数()()()22232f x x x x =--+的零点是____________. 4.函数()22x f x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是. 答案与解析1.【答案】C【解析】根据零点存在定理，对照选项，只须验证f （-1），f （0），f （1），f （2），f （-2）等的符号情况即可．2.【答案】A 【解析】令10x x +=，即210x x +=，显然该方程无解，即函数()1f x x x=+的零点个数为0；故选A .3.2.【解析】由f (x )=(x 2−2)(x 2−3x +2)=0，得x 2−2=0，或x 2−3x +2=0，解得123412x x x x ===，.4.【答案】()0,3【解析】由于函数()22x f x a x =--在()1,2上单调递增，且函数()22x f x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则有()10f a =-<且()230f a =->，解得03a <<.巩固1. 函数xx x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21)(21的零点个数为( ) A . 3 B . 2 C . 1 D . 02. 已知函数()ln 4f x x x =+-的零点在区间(),1k k +内，则正整数k 的值为___________.3. 函数2()(21)2f x x a x a =+-+-的一个零点比1大,另一个零点比1小,则实数a 的取值范围是.4.已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[－2,2]的图象如下图所示：则方程f [g (x )]＝0有且仅有________个根．答案与解析1.【答案】C【解析】函数f (x )的定义域为[0,+∞)21x y = 在定义域上为增函数,x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21在定义域上为增函数 ∴函数x x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21)(21在定义域上为增函数， 而021)1(,01)0(>=<-=f f ， 故函数x x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21)(21的零点个数为1个 本题选择C 选项.1. 【答案】2【解析】由函数的解析式可得函数在(0,+∞)上是增函数，且f (2)=ln 2+2−4<0,f (3)=ln 3+3−4>0，故有f (2)f (3)<0，根据函数零点的判定定理可得函数在区间(2,3)上存在零点.结合所给的条件可得，故k =2.3.【答案】23a < 【解析】由于二次函数图像开口向上，只需令0)1(<f 即可.4.【答案】6【解析】由图可知f (x )＝0有三个根，设为x 1，x 2，x 3，－2<x 1<－1，x 2＝0,1<x 3<2.令g (x )＝x 1，由g (x )图象可知方程g (x )＝x 1有两个根，令g (x )＝0得两个根，令g (x )＝x 3得两个根，∴f [g (x )]＝0有6个根．拔高1.设二次函数)0()(2>+-=a a x x x f ,若0)(<m f ,则)1(-m f 的值为 ( )A.正数B.负数C.非负数D.正数、负数和零都有可能2. 设)(x f 与)(x g 是定义在同一区间],[b a 上的两个函数，若函数)()(x g x f y -=在],[b a x ∈上有两个不同的零点，则称)(x f 和)(x g 在],[b a 上是“关联函数”，区间],[b a 称为“关联区间”．若43)(2+-=x x x f 与m x x g +=2)(在]3,0[上是“关联函数”，则实数m 的取值范围为 （）A ．]4,49[- B.]4,49(- C. ]2,49[-- D. ]2,49(-- 3. 已知函数f (x )＝|x 2－2x －2 018|，若关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有四个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝__________．答案与解析1. 【答案】A【解析】)0()1()(2>+-=+-=a a x x a x x x f ，设)1()(-=x x x g 的零点是0,1,与x 轴交点为（0，0）、（1，0），)(x f 函数图象可看作由)(x g 向上平移a 个单位长度得到的，由于a >0，易得0)0(>f ，0)1(>f ，与x 轴交点的区间长度小于1，0)(<m f ，所以)1(-m f >0.2. 【答案】D【解析】略3.【答案】4【解析】不妨设x1＜x2＜x3＜x4，则x1＋x4＝2，x2＋x3＝2. x1＋x2＋x3＋x4＝4。
年高中数学苏教版必修一3.4.1《函数与方程》ppt教学课件(2)
＋
2
2.25 2.5
3
－＋
2 2.1252.25 2.5
3
－＋
2 2.1252.25 2.5
3
2.0625
数学应用：
例2 利用计算器，求方程lgx＝3－x的近似解(精确到0.1)．
小结：
选
取
定
区
初
间
始
的
区
中
间
点
否
中点函数值为0
是 结束
否
取 新 区 间
是 方程的解满足精确度
作业：
P96练习第1，2，3题．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的 问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
《函数与方程》课件1(苏教版必修1)
根的条件 (x1<x2，m<n<a<b)
根的 分布
在(m，n)上
有2个根 只有1个根
x1∈(-∞，m) x2∈(m，+∞)
f(x)=ax2 +bx+c图
象位置
条件
ìïïïïïíïïïïïî
D> 0
m<f (m ) > f (n ) >
b 2a 0 0
<
n
f(m)f(n)<0
f(m)<0
3.使方程ax2+bx+c=0 （a>0）在相应区间内有
有两相等实根 △=0；
没有实根 △<0
2.韦达定理:x1
x2
b a
;
x1
x2
c a
两根同号 x1 x2 0 ;两根异号 x1 x2 0
有两正根
x1 x1
x2 0 x2 0
;有两负根
x1 x1
x2 0 x2 0
3.使方程ax2+bx+c=0 （a>0）在相应区间内有
，故不存
(2)若-1 ≤ k≤1,只需△＝4k2-4(2k+1)<0, 求得 1<k ≤1
(3)若k>1时，只需f(1)>０，求得k>1
综上所述，k的取值范围是k>1-
例４：求
解：
的值域。
又因为原函数为奇函数，所以当sinx<0时，y≤-2 所以原函数的值域为（－∞，－２］∪［２，＋∞）
练习作业
例1、已知f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与
高中数学二次函数与一元二次方程教案[整理二套]苏教版 必修1
![高中数学二次函数与一元二次方程教案[整理二套]苏教版 必修1](https://img.taocdn.com/s3/m/14de58679a6648d7c1c708a1284ac850ad020440.png)
思考：当二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）时，是否也有同样的结论呢？
二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系，可以推广到一般情形.为此，先给出函数零点的概念：
对于函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点.
所以，函数f（x）=2x2+3x－7的图象与x轴有两个不同的交点，即方程2x2+3x－7=0有两个不相等的实数根.
【例2】求下列函数的零点.
（1）y=－x2－x+20；
（2）y=（x2－2）（x2－3x+2）.
方法引导：函数y=f（x）的零点就是方程f（x）=0的根，因此，求函数的零点问题通常可转化为求相应的方程的根的问题，反之也成立.这是函数与方程的统一.
【例1】求证：一元二次方程2x2+3x－7=0有两个不相等的实数根.
师：根据我们前面研究的结论，你觉得应该如何完成上题的证明呢？
（生交流得出如下结论）
证法一：因为一元二次方程2x2+3x－7=0的判别式Δ=32－4×2×（－7）=65＞0，所以方程2x2+3x－7=0有两个不相等的实数根.
证法二：设f（x）=2x2+3x－7，因为函数的图象是一条开口向上的抛物线，且顶点在x轴的下方，即f（－ ）=2（－ ）2+3×（－ ）－7=－7＜0.
（师生共同结合函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的不同情形，得出如下结论）
知识拓展：
设二次方程为ax2+bx+c=0（a≠0），相应的二次函数为y=ax2+bx+c（a≠0），其判别式
高中数学 3.4.1函数与方程(一)配套课件 苏教版必修1
第十八页，共26页。
研一研•问题探究、课堂(kètáng)更高效
3.4.1（一）
例 3 求函数 f(x)＝ln x＋2x－6 的零点个数． 解 用计算器或计算机作出 x、f(x)的对应值表和图象如下：
x1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x) －4 －1.306 9 1.098 6 3.386 3 5.609 4 7.791 8 9.945 9 12.079 4 14.197 2
－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
方程 ax2＋bx
有两个相
有两个不相等的
没有实数
＋c＝0(a≠0)
等的实数
的根
实数根 x1、x2 根 x1＝x2
根
第八页，共26页。
研一研•问题探究、课堂(kètáng)更高效
3.4.1（一）
函数 y＝ax2＋bx ＋c (a≠0)的图
象
函数的图象与 x
轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
第十一页，共26页。
研一研•问题探究、课堂(kètáng)更高 效
3.4.1（一）
跟踪训练 1 已知函数 y＝ax2＋bx＋c，若 ac＜0，则函数 f(x)
的零点个数为_____2___．
解析 因为 ac<0，所以 Δ＝b2－4ac>0，所以函数 y＝ax2＋bx
＋c 的图象与 x 轴有两个交点，即函数 f(x)的零点个数为 2.
第十三页，共26页。
研一研•问题探究(tànjiū)、课堂更高效
3.4.1（一）
方法二 如右图所示，因为 f(2)＝－1<0，f(3)＝ 2>0，而二次函数 f(x)＝x2－2x－1 在区间(2,3)上的 图 象是不 间断的 ，这表 明此函 数图象 在区间 (2,3) 上一定穿过 x 轴，即函数在区间(2,3)上存在零点．
高中数学 函数与方程(师生共用)导学案 苏教版必修1
例 3：当关于 x 的方程的根满足下列条件时，求实数 a 的取值范围： （1）方程 x2 ax a 2 7 0 的两个根一个大于 2，另一个小于 2；
（2）方程 ax2 3x 4a 0 的两根都小于 1 ； （3）方程 x2 (a 4) x 2a2 5a 3 0 的两根都在区间 [1,3] 上； （4）方程 7 x2 (a 13) x a2 ； （5）方程 x 2 ax 2 0 至少有一个实根小于 1
三：当堂检测 1．函数 y x2 2x 3 的零点是 _____
1 1 2．关于 x 的不等式 ax 2 bx 2 0 的解集是 (, ) ( , ) ，则 ab 等于 2 3
3．已知函数 f ( x) x2 2(1 m) x m2 的图象在 x 轴的上方，则实数 m 的取值范 围是 ____________
班 级
小 组
3. 推广 ⑴函数的零点的概念________________________________________________ ___________________________________________________________________ ⑵函数的零点与对应方程的关系_______________________________________
____________________________________________________________________
姓 名
二：课堂活动 例 1：求证：一元二次方程 2 x 2 3x 7 0 有两个不相等的实数根．
例 2：右图是一个二次函数 y f ( x) 的图象． （1）写出这个二次函数的零点； （2）写出这个二次函数的解析式； （3）试比较 f (4) f (1) ， f (0) f (2) 与 0 的大小关系．
2022-2023学年高一数学 苏教版必修第一册5-1 函数的概念和图象同步教案
【教学目标】1. 理解函数的概念，掌握函数的符号表示；2. 了解函数的基本性质，如奇偶性、周期性等；3. 掌握函数图象的特点和绘制方法。
【教学重点】1. 函数的定义和符号表示；2. 函数的基本性质；3. 函数图象的特点和绘制方法。
【教学难点】函数图象的绘制方法。
【教学过程】【Step 1】导入新课引入“函数”的概念，提问学生：你们对函数的了解有哪些？【Step 2】函数的定义和符号表示1. 讲解函数的定义：函数是一种从一个集合$A$到另一个集合$B$的映射，它将$A$中的每个元素映射到$B$中唯一的一个元素上。
2. 引导学生了解函数的符号表示和基本性质：单调性、奇偶性、周期性、单调区间、零点等。
【Step 3】函数图象的绘制1. 讲解函数图象的概念和特点：在平面直角坐标系中，函数的自变量作为横坐标，因变量作为纵坐标，所有点的集合即为函数的图象。
2. 通过例题讲解函数图象的绘制方法，特别是采取画出部分图象逐渐推导出整个函数图象的方法。
【Step 4】函数的实际应用1. 提出一个实际问题：一辆汽车行驶了100公里，时间为2小时。
求该车的平均速度。
2. 引导学生利用函数知识解决实际问题，特别是解决瞬时速度等实际问题。
【Step 5】总结归纳1. 总结函数的定义和基本性质；2. 总结函数图象的绘制方法；3. 强调函数在实际问题中的应用。
【Step 6】课堂练习1. 判断函数$y=x^2$的单调性；2. 写出函数$y=cosx$的零点所在的区间；3. 绘制函数$y=\dfrac{1}{x}$的图象。
【Step 7】作业布置】1. 完成教材上的相关习题；2. 搜集有关函数图象的实用题目，进行练习。
【教学反思】本课时通过引入函数的概念，让学生了解函数定义及其符号表示，并掌握函数的基本性质，如单调性、奇偶性、周期性等。
同时，通过例题的演示，讲解函数图象的特点和绘制方法，让学生能够熟练掌握函数图象的绘制方法。
通过实际问题的引入，帮助学生理解函数在实际问题中的应用。
高一数学 函数与方程1(函数零点)课件 苏教必修1
＞”)．
Ob
dx
在区间(c,d)上______(有/无)零点；
三、若函数f(x)=x-1, f(-1)·f(1)__<___0(“＜”或
“＞”)．在区间定义域D上______(有/无)零点；
二.函数零点存在性定理：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上图象是连续 不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么， 函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点.
在区间[-2，1]上有零点_－__1___；
ff((--22))=·f_(1_)___5_______，0（f(1“)=＜__”－__或4__“_，＞”）．
2 1
在区间(2，<4)上有零点______；
-2 -1 O 1 2 3 4 x
f(2)·f(4)____0（“＜”或“3 ＞”）．
-1 -2
<
无实数根
y
5 4 3 2 1
－1 0 1 2 3 x
无交点
问题3:从该表你可以得出什么结论？
问题4： 若将上面特殊的一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)推广到
一般的一元二次方程及相应二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x 轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？（我们以a>0为例）
结论：一元二次方程的实数根就是相应二次函数图
我的零点 是10
（1）.f(x)=lgx-1; （2）.f(x)=x2 2x 3 （3）.f(x)=3x +1
我的零点是-1 和3
不好意思，我没 有零点，你答对
了吗？
问题7:在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a,b] 上存在零点？
问题7:在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a,b]上存在零点？
【全版】数学必修ⅰ苏教版函数与方程课件1推荐PPT
2
综上所述，k的取值范围是k>1-
f(x)=ax 所以函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点,即方程2x2+3x-7=0有两个不相等的实数根。
求证：一元二次方程22x2+3x-7=0有两个不相等的实数根。
+bx+c图 一元二次函数、方程、不等式的关系
解：当 m=0 时，f(x) = -3x+1与x轴交点为
象位置 f(0)=2 × 02+3 × 0-7=-7<0
所以函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点,即方程2x2+3x-7=0有两个不相等的实数根。
或x=x2 }
解：原不等式化为cos２x-2kcosx+2k+1>0, 令t = cosx 则 | t |≤１，令f(t)=t2-2kt+2k+1, 即f(t)的图象在 [-1,1]内与横轴没有交点，对称轴为 t
| x1<x<x2}
Φ
Φ
例1.求证：一元二次方程2x2+3x-7=0有两个 不相等的实数根。 证法1：因为△=32-4×2×(-7)=65>0
所以方程2x2+3x-7=0有两个不相等的实数根。
f(x)= 2x2+3x-7
如图因为函数的图象是一条开口向 上的抛物线，且
f(0)=2 × 02+3 × 0-7=-7<0
例2、关于x的方程lg(kx)=2lg(x+1)有且仅有一个 实数解，求实数k的取值范围 。 解：原方程可化为：lg(kx)=lg(x+1)2,它等价于
kkxxx10(x01)2kxxx2(012k)x10有且仅有一个实数解
⑴方程有两个相等的实根，此根大于－１，且不为０，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数与方程
教学目标：理解零点的意义，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系；会用
二分发求函数零点的近似值.
教学重点：函数零点的概念击求法；利用零点做函数的草图；会用二分发求函数零点的近似
值.
教学过程：
1、复习一元二次方程的解法，根的判别式；二次函数的图像和性质
2、通过实例引入零点的概念：
如果函数)(xfy在实数处的值为0，即0)(f，则叫作这个函数的零点.
3、提出以下问题
（1） 如何求函数的零点？
（2） 函数零点与函数图像的关系?
（3） 讨论函数的零点、方程的根、不等式的解集之间的关系？
4、二次函数零点的判定同根的判定
5、图像连续的函数的零点的性质
（1） 函数的图像是连续的，当它通过零点时（非偶次零点），函数值变号.
推论：函数在区间],[ba上的图像是连续的，且0)()(bfaf，那么函数)(xf在区
间],[ba上至少有一个零点.
（2） 相邻两个零点之间的函数值保持同号
6、应用
（1）利用函数的零点研究函数的性质作函数的简图
例1、 求函数2223xxxy的零点，并画出函数的简图.
7、通过实力讲解二分法的方法
例2、 求函数22)(23xxxxf的一个为正数的零点（误差不超过0.1）
力求讲清：程序：详见教材第78页，
练习：用二分法求函数22xy的零点
【典型例题】
1．函数零点的讨论
1．如果关于x的方程2350xxa的一根大于2但小于0，另一根大于1但小于3，那
么实数a的取值范围是 ．
2．实数m为何值时，函数2()(2)5fxmxmxm的两个零点满足一个大于2，一
个小于2？
3．下列说法正确的个数是（ ）
①当240bac时，二次函数2(0)yaxbxca有两个零点；②函数的零点即函数
的图象与x轴的公共点；③对任意函数()fx，在相邻两个零点之间所有函数值保持同号；
④函数38yxx的零点为0，22，22．
Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个
4．对于任意定义在R上的函数()fx，若实数0x满足00()fxx，则称0x是函数()fx的
一个不动点，若二次函数2()1fxxax没有不动点，则实数a的取值范围
是 ．
5．一元二次方程20(0)axbxca的根与相应二次函数2(0)yaxbxca的零点之
间的关系为 ．
2、一般函数零点的求法——二分法
1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（ ）
2．用二分法求函数零点，若函数的零点总位于区间[]nnab，上，则当nnab时，函数的
近似零点与真正零点的误差不超过（ ）
Ａ．12ε Ｂ．14ε Ｃ． Ｄ．2ε
3．函数2()816fxxx在区间［3，5］上（ ）
Ａ．没有零点 Ｂ．有一个零点 Ｃ．有两个零点 Ｄ．无数个零点
4．方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是
________．
5．若方程2210axx在（0，1）内恰有一解，则a的取值范围是多少？
6．用二分法求方程x3＋4x2－10＝0在区间[1，2]上的根．（精确到5个有效数字）
参考答案：
【基础练习】
1．二次函数2221()yxmxmmR为偶函数，则此函数的零点为 ．
答案：1．
2．若函数2()2fxaxbx的两个零点是12，13，则ab的值为（ ）
Ａ．14 Ｂ．14 Ｃ．10 Ｄ．10
答案：Ｂ．
3．已知1x，2x是函数22(2)(35)yxkxkk（k为实数）的两个零点，则
22
12
xx
的最大值为（ ）
Ａ．18 Ｂ．19 Ｃ．559 Ｄ．不存在
答案：Ａ．
4．若函数2()2fxxxa没有零点，则实数a的取值范围是（ ）
Ａ．a＜1 Ｂ．a＞1 Ｃ．a≤1 Ｄ．a≥1
答案：Ｂ
5．对于函数2()fxxmxn，若()0fa且()0fb，则函数()fx在区间()ab，内（ ）
Ａ．一定有零点 Ｂ．一定没有零点 Ｃ．可能有两个零点 Ｄ．至多有一个零
点
答案：Ｃ
【典型例题】
1．函数零点的讨论
1．如果关于x的方程2350xxa的一根大于2但小于0，另一根大于1但小于3，那
么实数a的取值范围是 ．
答案：120a．
2．实数m为何值时，函数2()(2)5fxmxmxm的两个零点满足一个大于2，一
个小于2？
答案：解：由二次函数的图象可知：(2)0mf，
4(2)250mmmm∴
，
(79)0mm∴
，907m∴．
3．下列说法正确的个数是（ ）
①当240bac时，二次函数2(0)yaxbxca有两个零点；②函数的零点即函数
的图象与x轴的公共点；③对任意函数()fx，在相邻两个零点之间所有函数值保持同号；
④函数38yxx的零点为0，22，22．
Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个
答案：B
4．对于任意定义在R上的函数()fx，若实数0x满足00()fxx，则称0x是函数()fx的
一个不动点，若二次函数2()1fxxax没有不动点，则实数a的取值范围
是 ．
答案：(31)，．
5．一元二次方程20(0)axbxca的根与相应二次函数2(0)yaxbxca的零点之
间的关系为 ．
答案：设24bac，有：（1）当0时，一元二次方程有两个不相等的实数根12xx，，
相应的二次函数的图象与x轴有两个交点12(0)(0)xx，，，，相应的二次函数有两个零点；（2）当
Δ=0时，一元二次方程有两个相等实数根12xx，相应的二次函数图象与x轴有惟一的交
点1(0)x，，相应的二次函数有一个二重的零点；（3）Δ＜0时，一元二次方程没有实数根，
相应的二次函数的图象与x轴没有交点，相应的二次函数无零点.
2、一般函数零点的求法——二分法
1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（ ）
答案：B
2．用二分法求函数零点，若函数的零点总位于区间[]nnab，上，则当nnab时，函数的
近似零点与真正零点的误差不超过（ ）
Ａ．12ε Ｂ．14ε Ｃ． Ｄ．2ε
答案：C
3．函数2()816fxxx在区间［3，5］上（ ）
Ａ．没有零点 Ｂ．有一个零点 Ｃ．有两个零点 Ｄ．无数个零点
答案：Ｂ
4．方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是
________．
答案：[2，2.5]
5．若方程2210axx在（0，1）内恰有一解，则a的取值范围是多少？
解：令2()21fxaxx．
()0fx∵
在(01)，内恰有一解，
(0)(1)0ff∴·，即1(22)0a·
，
1a∴
．
6．用二分法求方程x3＋4x2－10＝0在区间[1，2]上的根．（精确到5个有效数字）
答案：1.3652296066284186．