费根堡姆常数

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单摆的复杂运动

单摆的复杂运动摘要：采用相图方法和庞加莱截面法描述单摆的复杂运动，研究单摆运动中的分岔，混沌等非线性特征。

关键词：单摆；混沌；相图；庞加莱映射正文：物理学家伽利略观察比萨大教堂吊灯的摆动，发现了单摆定律：摆动的周期与摆幅无关。

惠更斯利用摆的“等时性”发现了钟表，直至电子表出现前，摆始终是计时装置的心脏，均匀韵律的象征。

在高中，大学的物理教材中没有不讲单摆定律的，在物理实验中，没有不做单摆实验的。

单摆是物理学中最简单的模型之一，传统力学教材一般只讨论单摆在摆幅很小的条件下作简谐振动，阻尼振动和受迫振动的特征。

事实上，如果不限制其摆幅，单摆在周期性策动力的作用下，其运动将有意想不到的复杂性，本文将从单摆的动力学方程出发，采用相图，牌庞加莱截面等描述方法研究单摆的复杂运动。

1.单摆模型的动力学方程我们把传统的单摆模型一般化：单摆的摆线换成质量可忽略不计的刚性杆，摆角θ的取值范围不受限制，设摆长为L ，摆球的质量为m ，沿切向受阻力yl θ∙-(y 为阻尼系数)，重力的分力sin mg θ-以及周期策动力cos F t ω作用，由牛顿第二定律得此单摆所满足的动力学方程为 sin cos ml rl mg F t θθθω∙∙∙∙=--+ （1）为使（1）式各物理量无量纲化，作如下标度变换：令20/g l ω=，wt τ=，0/ωωΩ=，02Y m βω=，20F F f ml mg ω==，则（1）式变为： 222sin cos d d f d d θθβθπττ=--+Ω （2）引入新变量ω，ϕ，将（2）式化成自治方程形式：2sin cos f θωθβωθϕ∙∙==--+ （3）这是一个反映单摆运动所遵循的动力学规律的不显含时间的微分方程组。

（3）式中有3个可调参量；β，f 和Ω，每个变量的改变都会引起解的变化。

可以通过控制Ω，β，f 参量的变化，从而得出反映系统运动特征的信息。

2 单摆运动的相图及庞加莱截面描述方法由于（3）式含有非线性项。

费根鲍姆常数的计算

i f (y2==x)exit e nd do e nd do i f (s>0)exit e nd do p ause e nd p rogram fgbmr
计算后得到最大的两个控制参数值为:3.5546400914609 和3.56667009115699 第二步
p rogram fgbma i mplicit n one r eal*8::a(2)=(/3.5546400914609,3.56667009115699/),r,x,x1,x2,y1,ran i nteger*4::time,i,j,k,m,x0 x0=time() o pen(1,file='output1.txt') o pen(2,file='output2.txt') d o i=1,2 r=a(i) x1=ran(x0) d o j=1,500000 x2=r*x1*(1-x1) x1=x2 e nd do m=0 y1=x2 d o k=1,100000 x2=r*x1*(1-x1) x1=x2 i f((abs(x2-0.5)>=0.00001).and.(abs(x2-0.5)<0.05))then
从图1周期分岔过程中可以看出若考察相邻两个分岔点之间的控制参数之间的距离?rr??r费根鲍姆发现当n?1n?1nn很大时前面两个分岔点的控制参数之间的距离是后面两个分岔点控制参数之间的距离倍即
费根鲍姆常数的计算
符维成
摘要：本文借助数值的方法计算了 Logistic 映射的费根鲍姆常数. 关键词：Logistic 映射；费根鲍姆常数；李雅普诺夫指数引言：确定性非线性系统中混沌现象的发现是 20 世纪继相对论，量子力学之后的第三次物理学中的革命. 内在随机性是混沌的本质 ,无特征尺度是分形的研究对象[1].由于随机性的存在，非线性系统表现出对初值的敏感依赖性和系统状态的长期不可预测性.那么这种随机性和不可预测性是不是就等于杂乱无章，无规律可循呢？这个答案是否定，混沌不等于混乱，它还是有一些普遍的规律的.美国康奈尔大学的物理学家费根鲍姆证明了在 Logistic 映射中发现的通向混沌的道路——费根鲍姆道路——在向混沌转变的过程中的标度行为决定于两个普适常数即费根鲍姆常数.费根鲍姆常数的存在反映了混沌演化过程中的有序性.[2]在混沌理论中，菲根鲍姆常数也是一个重要内容.费根鲍姆，发现了被誉为“本世纪最伟大”的发现------在倍周期分岔现象中更深层次的规律-----从而揭示出系统从有秩序转向混沌的秘密.本文就 Logistic 映射计算费根鲍姆常数.

北航基础物理实验第二学期满分研究性报告非线性电路混沌现象的模拟、探究及费根鲍姆常数的测量.

基础物理实验研究性报告非线性电路混沌现象的模拟、探究及费根鲍姆常数的测量Chaos in nonlinear circuit simulation, explorationandFeigenbaum ConstantsAuthor 作者姓名陈涵 ChenHanSchool number作者学号 39071210Institute所在院系机械工程及自动化学院SMEA Major攻读专业机械制造及自动化mechanical engineering2011年5月20日摘要 (3)Abstract (3)关键词 (3)一、引言——非线性科学介绍 (3)二、混沌电路简介及实验综述 (4)三、实验原理 (4)3.1 蔡氏电路及其动力学方程 (4)3.2通向混沌道路方式简述 (5)四、实验仪器 (6)4.1 有源非线性负阻元件： (6)4.2 NCE-1非线性混沌实验仪 (6)五、实验现象的观察及物理量测量 (7)5.1 倍周期分岔的观察 (7)5.2 非线性电阻 (8)六、实验数据的处理 (10)6.1 真实实验数据线性拟合 (10)6.2 matlab模拟分析： (12)七、混沌实验电路装置的另一种设想。

(18)八、费根鲍姆常数测量实验的设计 (19)九、结语 (20)9.1自学能力大大提升 (21)9.2培养实事求是的学风与态度 (21)9.3各项课程的互助提高 (21)十、参考文献 (21)2本文由传统非线性电路“蔡氏电路”的混沌现象着手，记录实验现象及数据，分析后用一元线性回归拟合了有源非线性负阻伏安特性曲线，同时使用matlab 进行四阶-库塔方法编程模拟混沌现象并得出一些拟合曲线。

而后提出了一种新的简单混沌电路的设想和实验方式，最终提出了以G和U为状态参数的费根鲍姆常数测量的方法，并推导了近似公式。

AbstractThis article from the traditional non-linear circuits, "Chua's circuit, "the chaos started, record experimental results and data analysis, linear regression with a nonlinear negative resistance of active volt-ampere characteristic curve, while the fourth order using matlab - Kutta methods programmed simulation of chaotic phenomena and draw some curve fitting. Then, a new vision of a simple chaotic circuit and experimental methods, and ultimately presented to G and U for the status parameters of the Feigenbaum constant measurement method, and deduced the approximate formula.关键词：混沌现象蔡氏电路四阶-库塔方法简单混沌电路费根鲍姆常数一、引言——非线性科学介绍非线性科学是一门新兴的科学,是研究和探索自然界和人类社会中种种复杂的非线性问题及其共同特征的一门综合性学科。

杜芬方程的倍周期分岔

2. 阵发性混沌机理
狭窄走廊中的迭代
走廊中的迭代很象是在不动点附近的迭代，因此它相应于周期的运动。走出了走廊后，迭代是无规则的大幅度跳跃。当随机地再进入到某个走廊入口附近时，又会重复出现以上走廊中的迭代过程。由于重复是不可能准确相同的，每次走廊中的迭代次数也不会相同。当μ- μt = 0 时，迭代穿越时间趋向于无穷长，即达到完全周期的状态。
倾倒的幅频特性
3．杜芬方程的倍周期分岔
杜芬方程的倍周期分岔
杜芬方程：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d 2x dx 3 x x = F cos t 2 dt dt 设γ=0.4,κ=1,ζ=4, F=0.115，从小到大改变驱动频率。
计算表明，在 ≥0.8时，杜芬方程的解是反对称的极限环，极限环呈椭圆形状；当 <0.8时，极限环的反对称性虽然仍存在，但椭圆形状已明显变形。当到达 ≈0.535处时出现对称性破缺，极限环分裂为两个周期 1 的不对称极限环，这两个不对称的极限环互为反演。在 ≈0.53杜芬方程的解开始倍周期分岔。由于两个吸引子在 <0.53保持互为反演，可以在观察 <0.53时的分岔特性可以只考虑其中一个极限环。
μ=3.7时，每次迭代计算得到的 xn 值既不趋向于零或稳定值，也不是重复，而是随机地出现。随迭代计算将无限地延续下去，迭代值偶尔出现先前得到过某个迭代值点附近，但并没有准确相同，于是在继续迭代计算中又很快地分离开来了，说明系统已从周期运动进入到了非周期运动或称混沌运动。
1.倍周期分岔道路
平方映射的分岔图
lim
mn mn 1 = = 4.6692 k m n 1 m n
此外，他发现2n周期分岔的超稳定点之间的距离dn 之比也趋于一个常数： α，称为费根鲍姆第二常数。

第三篇走向混沌的道路

第三章走向混沌的道路咱们明白，一个动力学系统运动的充分进展是进入混沌状态。

进入混沌状态有哪些方式呢？这是非线性动力学研究中的一个重要问题。

本章将讨论通向混沌的倍周期分岔道路、阵发性混沌、同步与混沌、湍流道路、保守系统中的不规那么运动、电子电路中的混沌和操纵混沌与同步混沌等内容。

第一节第一节由倍周期分岔走向混沌前面已经见到，在平方映射等的数学模型中，在液氦对流实验等的动力学体系中普遍存在着倍周期分岔现象，说明倍周期分岔是许多非线性动力学进程中的常见的现象，也是进入混沌的一种重要方式。

本节先以平方映射为例，说明一个由单峰映射描述的动力学系统能够通过倍周期分岔，以费根鲍姆常数的收敛速度从周期运动走向混沌，接着以杜芬方程为例说明一个物理系统也可从倍周期分岔进入混沌的道路。

1. 平方映射的倍周期分岔道路上一章对平方映射的计算说明，随着参数μ的增加，平方映射发生一系列的倍周期分岔。

但是倍周期分岔将在一临界点c μ=…时终止，从c μ开始的大部份区域，每次迭代取得的值是随机地显现的。

图3-1是μ值为时的迭代情形。

由图可见每次迭代计算取得的n x 值既不趋向于零或稳固值，也不是重复，而变成随机地显现了，因此迭代计算能够无止境的延续下去，偶然地某个迭代值会出此刻先前取得过的某点周围但并无准确相同，于是在继续迭代计算中又专门快地分离开来了。

说明系统已从周期运动进入到了非周期运动或称混沌运动。

事实上上一章对平方映射的计算仅取了少数几个特殊的μ值，因此对平方映射通过倍周期分岔进入混沌尚未一个完整的印象，此刻利用运算机编写的程序，能够由小到大逐个对μ值进行计算。

图3-2的上部确实是平方映射通过倍周期分岔进入混沌的分岔图。

图3-2是从8.2=μ开始计算的，平方映射的分岔现象实际是在1=μ处开始的，从那个地址迭代由零值进入到单周期运动即显现了一次霍夫分岔；随后在＝3处开始了倍周期分岔，从那个地址先由单周期分岔为二周期，然后在＝处由二周期分岔为周围期，接着在处从周围期分岔为八周期，如此一直分岔下去，每次分岔运动周期增加一倍，一直到c μμ=为止。

-非线性电路混沌现象的探究以及基于Multisim的仿真设计

-非线性电路混沌现象的探究以及基于Multisim的仿真设计D非线性电路混沌现象的探究以及基于Multisim的仿真设计一、引言混沌是二十世纪最重要的科学发现之一，被誉为继相对论和量子力学之后的第三次物理革命，它打破了确定性与随机性之间不可逾越的分界线，将经典力学研究推进到一个崭新的时代。

由于混沌信号是一种貌似随机而实际却是由确定信号系统产生的信号，使得混沌在许多领域（如保密通信，自动控制，传感技术等）得到了广泛的应用[1]。

20多年来混沌一直是举世瞩目的前沿课题和研究热点，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性、有序性和无序的统一，大大拓宽了人们的视野，加深了人们对客观世界的认识。

目前混沌控制与同步的研究成果已被用来解决秘密通信、改善和提高激光器性能以及控制人类心律不齐等问题。

混沌(chaos)作为一个科学概念，是指一个确定性系统中出现的类似随机的过程。

理论和实践都证明，即使是最简单的非线性系统也能产生十分复杂的行为特性，可以概括一大类非线性系统的演化特征。

混沌现象出现在非线性电路中是极为普遍的现象，通过改变电路中的参数可以观察到倍周期分岔、阵法混乱和奇异吸引子等现象。

二、混沌电路简介对电路系统来说，在有些二阶非线性非自治电路或三阶非线性自治电路中，出现电路的解既不是周期性的也不是拟周期的，但在状态平面上其相轨迹始终不会重复，但是有界的，而且电路对初始条件十分敏感，这便是非线性电路中的混沌现象。

根据Li-York定义，一个混沌系统应具有三种性质：（1）存在所有阶的周期轨道；（2）存在一个不可数集合，此集合只含有混沌轨道，且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，而是两种状态交替出现，同时任一轨道不趋于任一周期轨道，即此集合不存在渐近周期轨道；（3）混沌轨道具有高度的不稳定性。

可见，周期轨道与混沌运动有密切关系，表现在两个方面：第一，在参数空间中考察定常的运动状态，系统往往要在参量变化过程中先经历一系列周期制度，然后进入混沌状态；第二，一个混沌吸引子里面包含着无穷多条不稳定的周期轨道，一条混沌轨道中有许许多多或长或短的片段，它们十分靠近这条或那条不稳定的周期轨道。

费根保姆常数

费根保姆常数
费根保姆常数（Feigenbaum constant）是一个在混沌理论中被广泛应用的数学常数，它的出现让我们对混沌现象有了更深入的理解。

费根保姆常数由美国物理学家米切尔·费根鲍姆（Mitchell Feigenbaum）在20世纪70年代提出，通过研究非线性动力系统中的分岔现象而得出。

费根保姆常数的值约为4.6692，这个常数的主要作用是描述动力系统中的分岔现象。

在非线性动力系统中，当参数变化时，系统的行为会发生分岔，这种分岔是一种由稳定态向混沌态过渡的特殊现象。

费根保姆常数描述了这种分岔的规律性，即在系统参数逐渐变化时，分岔的倍增方式会呈现出一种普遍的规律性。

这种规律性被称为费根保姆定律，它表明在非线性动力系统中，分岔的倍增比值会趋向于一个常数，而这个常数就是费根保姆常数。

费根保姆常数的发现对混沌理论产生了深远的影响。

混沌现象的出现一度被认为是一种偶然性的现象，但费根保姆的研究表明，混沌现象具有一定的规律性和可预测性。

这种可预测性虽然不完美，但
却为我们提供了一种新的视角来理解复杂的非线性系统。

费根保姆常数的发现也为混沌理论的发展提供了有力的支持，使混沌理论成为了一个独立的研究领域，并在许多领域中得到了广泛的应用。

总之，费根保姆常数的发现为我们提供了一种全新的理解非线性动力系统中复杂行为的方法，它揭示了混沌现象的一种普遍规律性，对于我们理解自然界中的复杂现象具有重要的意义。

费根保姆常数的研究也为混沌理论的发展提供了重要的支持，使我们对非线性动力系统有了更深入的认识。

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费根堡姆常数
费根堡姆常数是物理学中一个重要的常数，由美国物理学家莱纳德费根堡姆于1911年在巴黎大学提出。

它是物理学和化学中科学家
研究宇宙的基本参数，在宇宙尺度分析中具有重要意义。

费根堡姆常数由费根堡姆提出，它是物质和能量之间的基本关系。

根据费根堡姆定律，在定容中，任何物质的压强P和该物质的容量V 之间的关系如下：PV=常数。

由此推出，当物质的容积变化时，压强
也会随之变化。

这种容积变化和压强之间相互作用的关系，也被称为费根堡姆定律。

费根堡姆常数是一个物理量，可以用来描述宇宙中物质和能量的变化。

它能够用来研究宇宙中的热力学和材料力学等问题，可以应用到物质的状态、物质的性质和宇宙的演化中去。

费根堡姆常数也被用于于化学和物理学的研究中，是一个有重要意义的数字。

在物理学的研究中，费根堡姆常数最初被广泛用于量子力学的研究中，并被用于解决物理学和化学的问题。

随着物理学和化学技术的进步，费根堡姆常数也被应用到更加复杂的科学领域，如天体物理学、地球物理学、大气物理学、临界点理论、原子核物理学、新物理学、太阳物理学等。

无论是物理学还是化学，极端环境中物质和能量的变化，都可以用费根堡姆常数来描述。

费根堡姆常数的应用范围广泛，它对宇宙的研究具有重要意义，它的研究也为深入了解宇宙的奥秘提供了重要的参考。

因此，费根堡姆常数不仅在物理学和化学的研究中具有重要的意义，而且在宇宙研
究中也具有重要的意义。