28道基本不等式均值不等式练习题
均值不等式
1 1． 2006 江西文、理）若不等式 x + ax +1≥0 对一切 x ∈ 0， 成立，则a 的最小值 江西文、 （ 2 5 0 − 为（ ） Ａ． Ｂ．−2 Ｃ． Ｄ．−3 2
2
2.（2000 全国，7）若 a＞b＞1，P＝ lg a ⋅ lg b ， （ 全国， ） ＞ ＞ ， ＝ Q＝ （lga＋lgb） ＝ lg（ ＝ ，R＝ （ ＋ ） ， A.R＜P＜Q ＜ ＜
1 2
D． D． 1
2
4.（ 4. （ 08 辽宁卷 4 ） 已知 0 < a <1 ， x = loga 2 + loga 3 ， y = loga 5 ，
z = loga 21 − loga 3 ，则（
） C． y > x > z D． z > x > y
A． x > y > z
B． z > y > x
10 n 10 + n + 0.1n 2 = + +1 ≥ 3 = n n 10
当
10 n ,即n = 10时, y有最小值 有最小值3. 即 时 有最小值 = n 10
因此,使用 年报废最合算 年平均费为3万元 因此 使用10年报废最合算 年平均费为 万元 使用 年报废最合算,年平均费为 万元.
如图,为处理含某种杂质的污水 要制造一底宽为2 的无盖长 为处理含某种杂质的污水,要制造一底宽为 练习 如图 为处理含某种杂质的污水 要制造一底宽为 m的无盖长 方体沉淀箱污水从A孔流入 经沉淀后从B孔流出 设箱体的长度为a 孔流入,经沉淀后从 孔流出,设箱体的长度为 方体沉淀箱污水从 孔流入 经沉淀后从 孔流出 设箱体的长度为 m,高度为 m,已知流出的水中 设杂质的质量分数与 的乘积 成 高度为b 已知流出的水中 设杂质的质量分数与a,b的乘积 已知流出的水中,设杂质的质量分数与 的乘积ab成 高度为 反比,现有制箱材料 现有制箱材料60m2,问a,b各为多少时 经沉淀后流出的水中 该 各为多少时,经沉淀后流出的水中 反比 现有制箱材料 问 各为多少时 经沉淀后流出的水中,该 杂质的质量分数最小. 杂质的质量分数最小
均值不等式练习题.
利用均值不等式求最值的方法一．均值不等式1.（1）若R ba,，则ab ba222(2)若R ba,，则222b aab（当且仅当b a时取“=”）2. (1)若*,R ba ，则ab ba 2(2)若*,R b a ，则ab ba 2（当且仅当b a时取“=”）(3)若*,R ba ，则22ba ab(当且仅当b a时取“=”）3.若0x ，则12xx(当且仅当1x 时取“=”）;若0x ，则12xx(当且仅当1x 时取“=”）若0x ，则11122-2x xxx xx即或 (当且仅当b a时取“=”）3.若0ab，则2ab ba(当且仅当b a时取“=”）若0ab ，则22-2a b a b a b bababa即或(当且仅当b a 时取“=”）4.若R ba,，则2)2(222b ab a （当且仅当b a时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．一、配凑1. 凑系数例1. 当04x 时，求y x x ()82的最大值。
解析：由04x知，820x，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2828x x ()为定值，故只需将y x x ()82凑上一个系数即可。
y x x x x x x()[()]()821228212282282·当且仅当282x x ，即x ＝2时取等号。
所以当x ＝2时，y x x ()82的最大值为8。
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
2. 凑项例2. 已知x54，求函数f x xx()42145的最大值。
均值不等式练习题
均值不等式知识点:二、习题讲解：例1： (1)求y = x+Z(x>O)的最小值(2)求y = x + 2(x ≥ 2)的最小值X(3)己知x>2,求y = x+ —的最小值x-2变式训练：41.已知x>o,求y = 2- X -一的最大值X2.当x>-l时，求f(x)= x+ —的最小值x + 13•已知xv-∙求函数y=4x-2+—-一的最上值4 4x-54•己知JU b. c ∈ R »求证：a2 +b2 + c2≥ ab+bc+ acy= 2-3x--(x>0)的最大值是2-4石5・X6.y = ZxH—-—,x>3x-37.y = 2sinx÷-—,xu(O,τr)Sin X例2： (1)已知OVXV丄，求y =ZX(I-2x)的最衣值2 2(2)已知：a、b都是正数，Ka + b = l, α=a÷i, β = b+-f求a+β的最小值a b变式训练：1.己知OVXV 求函数y =x(l - 3x)的最大值2.当0 Cx <4时，求y =χ(8 - 2x)的最人值。
3.设0 <xv扌，求函数y = 4x(3-2x)的最人值。
4已知Ovxvl,求函数y =Jx(I-X)的最大值.：o<x<-,求怖数y = Jx(2-3x)5. 36若x+2y = l,则2x + 4y的最小值是_______7.已知x,yeRJ且满足- + ∑ = 1,则Xy的绘大值为__________2.设x ∈f θ,-1,则函数y = 2血x + 1的最小值为2 丿 sin2x5 Z X Y - — 4x+ S3.己知Xnz 则f(x)=-~~ 的最小值2 2x-4 y=手宀的最小值是4. √X 2 + 2IK X 2 + 7x+10 “ 一… 求y= (x>-l)的值域。
χ- + 56求函数y =-==的值域。
7•设x ，y,z 为正实数.且满足x-2y+3z = 0 •则的最小值例 4：己知a,b,cwR+,且a + b+c = l∙求证：丄 + —+ - ≥9变式训练：1 41.己知a >0,b >0,a +b= 2 >则y = — +二的最小值是 2正数x 5y 满足X +2y = l,求l∕x+l∕ y 的最小值。
经典均值不等式练习题
均值没有等式之阳早格格创做均值没有等式又名基原没有等式、均值定理、要害没有等式.是供范畴问题最有利的工具之一，正在形式上均值没有等式比较简朴，然而是其变更百般、使用机动.更加要注意它的使用条件（正、定、等）.1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时与“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时与“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时与“=”）3. 均值没有等式链：若b a 、皆是正数，则2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时等号创造.（注：以上四个式子分别为：调战仄衡数、几许仄衡数、代数仄衡数、加权（仄圆）仄衡数）一、 基原本领本领1：凑项例 已知54x <，供函数14245y x x =-+-的最大值. 本领2：分散配凑例 供2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 本领3：利用函数单调性例 供函数2y =的值域.本领4：完全代换 例 已知0,0x y >>，且191x y+=，供x y +的最小值. 典型例题1. 若正真数X ，Y 谦脚2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是2. 已知x ＞0,y ＞0，x,a,b,y 成等好数列，x,c,d,y 成等比数列，则()cd b a 2+的最小值是( )A.0B.1C.2D. 43. 若没有等式x 2+ax+4≥0对于十足x ∈（0，1］恒创造，则a 的与值范畴为( )A.[)+∞,0B.[)+∞-,4C.[)+∞-,5D.[]4,4-4. 若曲线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）仄分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0，则a 2+b 1的最小值是( )A.1B.5C.42D.3+225. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y 的最小值是.6. 已知,x y R +∈，且谦脚134x y +=，则xy 的最大值为. 7. 设0,0.a b >>若1133a b a b+与的等比中项，则的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D 14 8. 若正数x ，y 谦脚x +3y =5xy ，则3x +4y 的最小值是 ( ) A. 245 B. 2859. 若0,0,2a b a b >>+=，则下列没有等式对于十足谦脚条件的,a b 恒创造的是(写出所有精确命题的编号)．①1ab ≤； ③ 222a b +≥； ④333a b +≥； ⑤112a b +≥ 10.设0a ＞b ＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）411.下列命题中精确的是A 、1y xx=+的最小值是2B 、2y =的最小值是2 C 、423(0)y x x x =-->的最大值是2-D 、423(0)y x x x=-->的最小值是2-12. 若21x y +=，则24x y +的最小值是______。
均值不等式练习题
均值不等式一、 知识点：二、习题讲解：例1：（1）求的最小值（2）求的最小值（3）已知2>x ，求21-+=x x y 的最小值变式训练：1. 已知0>x ，求x x y 42--=的最大值2.当1->x 时，求()11++=x x x f 的最小值3.已知45<x ，求函数54124-+-=x x y 的最大值4.已知R c b a ∈、、，求证：ac bc ab c b a ++≥++2225.423(0)y x x x =-->的最大值是243- 6. 12,33y x x x =+>-7.12sin ,(0,)sin y x x xπ=+∈ 例2：（1）已知210<<x ，求()x x y 2121-=的最大值（2）已知：a 、b 都是正数，且1a b +=，1a a α=+，1b b β=+，求αβ+的最小值变式训练： 1.已知310<<x ，求函数()x x y 31-=的最大值2.当时，求(82)y x x =-的最大值。
3.设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
4.已知01x <<，求函数(1)y x x -的最大值.；5.203x <<，求函数(23)y x x -6.若21x y +=，则24x y +的最小值是______7.已知,x y R +∈，且满足134x y +=，则xy 的最大值为 ________。
例3：求函数()11332->+++=x x x x y 的最小值变式训练： 1.231,(0)x x y x x ++=>2.设⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx ，则函数x x y 2sin 1sin 22+=的最小值为3. 已知25≥x ，则()42542-+-=x x x x f 的最小值4.2y =5.求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
经典均值不等式练习题
均值不等式 【2 】均值不等式别名根本不等式.均值定理.主要不等式.是求规模问题最有利的对象之一,在情势上均值不等式比较简略,但是其变化多样.应用灵巧.尤其要留意它的应用前提（正.定.等）.1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3. 均值不等式链：若b a 、都是正数,则2211222b a b a ab ba +≤+≤≤+,当且仅当b a =时等号成立. （注：以上四个式子分别为：折衷平均数.几何平均数.代数平均数.加权（平方）平均数）一、 根本技能技能1：凑项例 已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值. 技能2：分别配凑例 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 技能3：应用函数单调性例求函数2y =的值域.技能4：整体代换例 已知0,0x y >>,且191x y+=,求x y +的最小值. 典范例题1. 若正实数X,Y 知足2X+Y+6=XY , 则XY 的最小值是2. 已知x ＞0,y ＞0,x ,a ,b ,y 成等差数列,x ,c ,d ,y 成等比数列,则()cdb a 2+的最小值是( )A.0B.1C.2D. 4 3. 若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0,1］恒成立,则a 的取值规模为( )A.[)+∞,0B.[)+∞-,4C.[)+∞-,5D.[]4,4-4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）等分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0,则a 2+b1的最小值是( )A.1B.5C.42D.3+225. 已知x>0,y>0,x+2y+3xy=8,则x+2y 的最小值是.6. 已知,x y R +∈,且知足134x y +=,则xy 的最大值为.7. 设0,0.a b >>1133a b a b +与的等比中项，则的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D 148. 若正数x ,y 知足x +3y =5xy ,则3x +4y 的最小值是 ( ) A. 245 B. 285C.5D.6 9. 若0,0,2a b a b >>+=,则下列不等式对一切知足前提的,a b 恒成立的是(写出所有准确命题的编号)．①1ab ≤; ②≤; ③ 222a b +≥; ④333a b +≥; ⑤112a b+≥ 10.设0a ＞b ＞,则()211a ab a a b ++-的最小值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）411.下列命题中准确的是 A.1y xx =+的最小值是2B.2y =的最小值是2C.423(0)y x x x =-->的最大值是2-D.423(0)y x x x=-->的最小值是2-12. 若21x y +=,则24x y +的最小值是______。
经典均值不等式练习题
均值不等式之五兆芳芳创作 均值不等式又名根本不等式、均值定理、重要不等式.是求规模问题最有利的东西之一，在形式上均值不等式比较复杂，但是其变更多样、使用灵活.尤其要注意它的使用条件（正、定、等）. 1. (1)若Rba,，则abba222 (2)若Rba,，则222baab （当且仅当ba时取“=”） 2. (1)若*,Rba，则abba2 (2)若*,Rba，则abba2
（当且仅当ba时取“=”） (3)若*,Rba，则22baab (当且仅当ba时取“=”） 3. 均值不等式链：若ba、都是正数，则
2211222babaabba
，当且仅当ba时等号成立.
（注：以上四个式子辨别为：调战争均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均数） 一、 根本技能 技能1：凑项 例 已知54x，求函数14245yxx的最大值. 技能2：别离配凑 例 求2710(1)1xxyxx的值域. 技能3：利用函数单调性 例 求函数2254xyx的值域. 技能4：整体代换 例 已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值. 典型例题 1. 若正实数X，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是 2. 已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则cdba2的最小值是( ) A.0 B.1 C.2 D. 4 3. 若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈（0，1］恒成立，则a的取值规模为( ) A.,0B.,4C.,5D.
4,4
4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b∈R+）平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，
则a2+b1的最小值是( )
A.1 B.5 C.42D.3+22
5. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是.
不等式-均值不等式-练习题
即 2 a2c b2a c2b a b c bc ca ab .
4.解：由于
2010 i 1
1
x 2008 i
x 2009 i
2010
x i1 i
x 2009 i
1
x 2009 i
.
令 yi xi
1
x 2009 i
，则对任意的1 i 2010 ，有
4
3
我们有 ab bc ac 1 a b c2 1 1 a ，（1）
4
3
4 12 4
以及 ab bc ac 1 a b c 1 bc
4
4
a 1 a 1 bc 1 1 bc bc ，（2）
4
44
y2009 i
1 2009
2009
x2009 i
1
x2009 i
2009
1
2009xi2009
2009
2009
2010
1
x2009 i
2010
1 2009
20092010 2010
1
即有
yi
1 2009
2009 2010
2009
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基本不等式习题
1．若,0>>b a 则下列不等式成立的是 （ ） A.ab b a b a >+>
>2 B.b ab b a a >>+>2
C.ab b b a a >>+>2
D.b b a ab a >+>>2
2．已知点(,)A m n 在直线21x y +=上，其中0mn >，则21m n +的最小值为 （ ）A. 42
B.8
C.9
D.12
3．已知0,2b a ab >>=，则22
a b a b
+-的取值范围是（ ） A ．(],4-∞- B ．(),4-∞- C ．(],2-∞- D ．(),2-∞-
4．已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y
+的最小值是 A ．6 B ．5 C ．322+ D ．42
5．设0,1a b >>，若3121
a b a b +=+-，则的最小值为 A.23 B.8 C.43 D.423+
6．若正数,x y 满足35,x y xy +=则34x y +的最小值是（ ）
A.245
B.285
C.6
D.5 8．若0a b >> 且3322a b a b -=-，则+a b 的取值范围是（ ）
A ．()0,+∞
B ．()1,+∞
C ．()1,2
D ．41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
9．若两个正实数y x ,满足141=+y x ，且不等式m m y x 34
2-<+有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．)4,1(- B ．),4()1,(+∞--∞ C ．)1,4(- D ．),3()0,(+∞-∞
10．已知正数,,a b c 满足,,a b ab a b c abc +=++=则c 的取值范围是（ ）
A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛34,0
B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛34,21
C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛3431，
D ．⎥⎦
⎤ ⎝⎛34,1 11．已知0,0a b >>，如果不等式
212m a b a b
+≥+恒成立，那么m 的最大值等于（ ）A ．10 B ．7 C ．8 D ．9
13．正实数a ，b 满足123a b
+=，则()()12a b ++的最小值是 ． 15．若b a ab b a +=+则）
（,log 43log 24的最小值是 ． 16．若点()1,1A 在直线022=-+ny mx 上，其中,0>mn 则11m n
+的最小值为 ． 18．若221a ab b -+=，a ，b 是实数，则a b +的最大值是 ．
19．若实数,0x y >且1xy =，则2x y +的最小值是 ，22
42x y x y
++的最小值是 ． 20．已知0,0,2,2x y xy x y xy m >>=+≥-若恒成立，则实数m 的最大值为 . 21．0,0>>y x ，112
=+y
x ，若m m y x 222+>+恒成立，则m 的取值范围是 ． 22．已知实数,x y 满足0x y >>，且2x y +=，则
1224x y x y ++-的最小值为 ． 23．若正实数,a b 满足115a b a b
+++=，则a b +的最大值是________． 24．设,0,5a b a b >+=,则1++3a b +的最大值为________.
25．已知正数y x ,满足111=+y
x ，则1914-+-y y x x 的最小值为 ． 26．若0,0>>y x ，且
2421=+++y x y x ，则y x 57+的最小值为__________． 27．已知32
x ≥，则22211x x x -+-的最小值为 ． 28．已知0x >，0y >，1x y +=，则22
21x y x y +++的最小值为 ．。