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28道基本不等式均值不等式练习题

基本不等式习题

1．若,0>>b a 则下列不等式成立的是 （ ） A.ab b a b a >+>

>2 B.b ab b a a >>+>2

C.ab b b a a >>+>2

D.b b a ab a >+>>2

2．已知点(,)A m n 在直线21x y +=上，其中0mn >，则21m n +的最小值为 （ ）A. 42

B.8

C.9

D.12

3．已知0,2b a ab >>=，则22

a b a b

+-的取值范围是（ ） A ．(],4-∞- B ．(),4-∞- C ．(],2-∞- D ．(),2-∞-

4．已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y

+的最小值是 A ．6 B ．5 C ．322+ D ．42

5．设0,1a b >>，若3121

a b a b +=+-，则的最小值为 A.23 B.8 C.43 D.423+

6．若正数,x y 满足35,x y xy +=则34x y +的最小值是（ ）

A.245

B.285

C.6

D.5 8．若0a b >> 且3322a b a b -=-，则+a b 的取值范围是（ ）

A ．()0,+∞

B ．()1,+∞

C ．()1,2

D ．41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭

9．若两个正实数y x ,满足141=+y x ，且不等式m m y x 34

2-<+有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．)4,1(- B ．),4()1,(+∞--∞ C ．)1,4(- D ．),3()0,(+∞-∞

10．已知正数,,a b c 满足,,a b ab a b c abc +=++=则c 的取值范围是（ ）

A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛34,0

B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛34,21

C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛3431，

D ．⎥⎦

⎤ ⎝⎛34,1 11．已知0,0a b >>，如果不等式

212m a b a b

+≥+恒成立，那么m 的最大值等于（ ）A ．10 B ．7 C ．8 D ．9

13．正实数a ，b 满足123a b

+=，则()()12a b ++的最小值是 ． 15．若b a ab b a +=+则）

（,log 43log 24的最小值是 ． 16．若点()1,1A 在直线022=-+ny mx 上，其中,0>mn 则11m n

+的最小值为 ． 18．若221a ab b -+=，a ，b 是实数，则a b +的最大值是 ．

19．若实数,0x y >且1xy =，则2x y +的最小值是 ，22

42x y x y

++的最小值是 ． 20．已知0,0,2,2x y xy x y xy m >>=+≥-若恒成立，则实数m 的最大值为 . 21．0,0>>y x ，112

=+y

x ，若m m y x 222+>+恒成立，则m 的取值范围是 ． 22．已知实数,x y 满足0x y >>，且2x y +=，则

1224x y x y ++-的最小值为 ． 23．若正实数,a b 满足115a b a b

+++=，则a b +的最大值是________． 24．设,0,5a b a b >+=,则1++3a b +的最大值为________.

25．已知正数y x ,满足111=+y

x ，则1914-+-y y x x 的最小值为 ． 26．若0,0>>y x ，且

2421=+++y x y x ，则y x 57+的最小值为__________． 27．已知32

x ≥，则22211x x x -+-的最小值为 ． 28．已知0x >，0y >，1x y +=，则22

21x y x y +++的最小值为 ．

均值不等式练习题

利用均值不等式求最值的方法 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们 的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 一、配凑 1. 凑系数 例1. 当04 <x ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2828x x +-=()为定值，故只需将y x x =-()82凑上一个系 数即可。 y x x x x x x =-=-≤+-=()[()]()8212282122822 82· 当且仅当282x x =-，即x ＝2时取等号。 所以当x ＝2时，y x x =-()82的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

20道均值不等式练习题总结

最新模拟题均值不等式练习题总结 1.在平面直角坐标系中，A(-4，0)，B(-1，0)，点P(a ，b )(ab ≠0)满足 AP BP =，则 2 241 a b +的最小值为( ) A.4 B.9 C. 32 D. 94 2已知x ＞0，y ＞0，2x +y =2，则xy 的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 3. 下列函数中，最小值为4的是（ ） A. x x y 4+ = B.)0(sin 4sin π<<+=x x x y C.x x e e y 4 + = D.81log log 3x x y += 4、已知0x >，0y >，lg 2lg8lg 2x y +=，则1 1 3x y + 的最小值是（ ） A ．2 B ． ．4 D ．5.设为正数，且，则（ ） A. B. C. D. 6.若直线220(0,0)ax by a b -+=>>被圆22 2410x y x y ++-+=截得弦长为 4，则41 a b +的最小值是（ ） .A 9 .B 4 . C 12 .D 1 4 7、已知0,0x y >>，182x y x y -=-，则2+x y 的最小值为( ) A B ． C ． D ．4

8．已知0,0,2a b a b >>+=，则14y a b =+的最小值是（ ） A ．72 B. 92 C ．5 D ．4 9．已知0,0,,a b a b >>的等比中项为2，则11a b b a +++的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ． 10．已知0m >，0xy >，当2x y +=时，不等式24m x y +≥恒成立，则m 的取值范围是 A ．)+∞ B ．[)2,+∞ C ．( D ．(]0,2 11．设， 是与的等比中项，则1 1a b +的最小值为（ ） A ． B ． C ．3 D ．4 12已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ?的最大值为______________； 13.设1,0>>b a ,若2=+b a ,则1 1 4-+b a 的最小值为 __________________． 答案 1. D 2. A 3. C 4. 【答案】C 【解析】∵lg2x +lg8y ＝lg2，∴lg （2x ?8y ）＝lg2，∴2x +3y ＝2，∴ 0a >0b >3a 3b 28 3

均值不等式习题

均值不等式练习题: 1.a>0. b>0 a+b=3, 求√(1+a)+√(1+b)的最大值. 2. 求函数y=x+a／x (a>0)的值域 3. 已知两直角边长分别为a，b的直角三角形的面积大小与周长大小相等，则ab的最小值为多少 4. a>0,b>0,ab=a+b+3,求a+b最小值。 答案： 1. 因为(x+y)^2<=2(x^2+y^2) 所以[√(a+1)+ √(b+1)]^2 <= 2 {[√(a+1)]^2 + [ √(b+1)]^2} =2[(a+1)+(b+1)]=10 因此√(a+1)+ √(b+1)<= √10 2. 当x>0,则y=x+(a/x)≥2√a,当且仅当x=a/x,即x=√a时， 有最小值2√a,此时[2√a,+∞） 当x<0,则y=-(-x+a/(-x))≤-2√a,当且仅当-x=a/-x,即x=-√a时， 有最大值-2√a, 此时（-∞，-2√a] 综上(-∞,-2√a]U[2√a,+∞） 3. a+b+√(a^2+b^2)=ab/2 a+b>=2√(ab) √(a^2+b^2)>=√(2ab) 于是 ab/2 = a+b+√(a^2+b^2)>= 2√(ab)+ √(2ab)= (2+√2)√(ab) a,b为直角边的长，所以a,b均大于0 也就有 √(ab)/2>=(2+√2)【由两边除以√(ab)得】 于是 ab>=[2(2+√2)]^2=4(2+√2)^2=24+16√2 当a=b时取等号时 ab有最小值为24+16√2 4. a+b=ab-3<=(a+b)^2/4-3 令t=a+b 则t<=t^2/4-3

即t^2-4t-12>=0 解得t<=2或t>=6 所以t的最小值为6

经典均值不等式练习题

均值不等式 均值不等式又名基本不等式、 均值定理、重要不等式。是求范围问题最有利的工具之一, 在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。尤其要注意它的使用条件 定、等）。 2 2 1. ⑴若a,b R ，则a 2 b 2 _ 2ab ⑵若a,b R ，则ab 空 ~— （当且仅当 _ 2 时取“=”） * a + b ________________ * 2. ⑴若a,b ? R ，则 ab ⑵若a,b ? R ，则a ? b _ 2?? ab （当且仅当 2 时取“=”） （3）若a,b ? R *，则ab 空 a b （当且仅当a =b 时取“=”） 飞2丿 2 I — a + b 则 ab < 1丄 2 a b 时等号成立。 （注：以上四个式子分别为：调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均 数） 技巧1：凑项 例 已知X ：：： ◎，求函数y =4x _2 - 的最大值。 4 4x —5 技巧2 :分离配凑 2 x + 7x +10 例求y （x ? T ）的值域 x +1 技巧3:利用函数单调性 2 x +5 例 求函数y 的值域 Jx 2 +4 3.均值不等式链：若a 、b 都是正数, a 2 b 2 当且仅当 （正 、 a = b a = b a 二 基本技巧

技巧4:整体代换 例 1 9 已知x . 0, y 0，且1，求x y的最小值。 x y 典型例题 1. 若正实数X, Y满足2X+Y+6=XY ,则XY的最小值是 _____________ 2. 已知x>0,y >0, x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值 cd 是（） A.0 B.1 C.2 D. 4 3. 若不等式x2+ax+4>0对一切x€ （0,1]恒成立，则a的取值范围为（） A. b,] B. ] C. !-5, ■ ■- i D. 1-4,4] 4. 若直线2ax +by-2=0 （a, b €氏）平分圆x2+y2-2 x-4 y-6=0，则2+丄的最小值 a b 是（） A.1 B.5 C.4 2 D.3+2 2 5. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,贝U x+2y 的最小值是 6. 已知x, y = R，且满足——=1，则xy的最大值为___________ .___ 3 4 7. 设a 0,b 0.若是3a与3b的等比中项，贝V -，丄的最小值为（） a b 1 A 8 B 4 C 1 D - 4 8. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（） 24 28 A. B. C.5 D.6 5 5 9. 若a 0,b 0, a ^2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是（写出所有正确命题的编号）?

28道基本不等式均值不等式练习题

基本不等式习题 1．若,0>>b a 则下列不等式成立的是 （ ） A.ab b a b a >+> >2 B.b ab b a a >>+>2 C.ab b b a a >>+>2 D.b b a ab a >+>>2 2．已知点(,)A m n 在直线21x y +=上，其中0mn >，则21m n +的最小值为 （ ）A. 42 B.8 C.9 D.12 3．已知0,2b a ab >>=，则22 a b a b +-的取值范围是（ ） A ．(],4-∞- B ．(),4-∞- C ．(],2-∞- D ．(),2-∞- 4．已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是 A ．6 B ．5 C ．322+ D ．42 5．设0,1a b >>，若3121 a b a b +=+-，则的最小值为 A.23 B.8 C.43 D.423+ 6．若正数,x y 满足35,x y xy +=则34x y +的最小值是（ ） A.245 B.285 C.6 D.5 8．若0a b >> 且3322a b a b -=-，则+a b 的取值范围是（ ） A ．()0,+∞ B ．()1,+∞ C ．()1,2 D ．41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 9．若两个正实数y x ,满足141=+y x ，且不等式m m y x 34 2-<+有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．)4,1(- B ．),4()1,(+∞--∞ C ．)1,4(- D ．),3()0,(+∞-∞ 10．已知正数,,a b c 满足,,a b ab a b c abc +=++=则c 的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛34,0 B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛34,21 C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛3431， D ．⎥⎦ ⎤ ⎝⎛34,1 11．已知0,0a b >>，如果不等式 212m a b a b +≥+恒成立，那么m 的最大值等于（ ）A ．10 B ．7 C ．8 D ．9

均值不等式含答案

均值不等式 教学重点： 掌握均值不等式的证明及应用，会用均值不等式求函数的最大值或最小值； 教学难点： 利用均值不等式的证明。 1. 算术平均值与几何平均值 （1） 算术平均值：对任意两个正实数,a b ，数 2 a b + 叫做,a b 的算术平均值 （2） 几何平均值：对任意两个正实数,a b 叫做,a b 的几何平均值 2. 均值定理 如果,a b R + ∈ ，那么 2 a b +≥，当且仅当a b =时，等号成立 3. 均值不等式的常见变形 （1 ）) ,a b a b R ++≥∈ （2）()2 ,2a b ab a b R +⎛⎫ ≤∈ ⎪⎝⎭ （3）2b a a b +≥（,a b 同号且不为0） （4） )2 ,11a b R a b +≤∈+ 类型一： 均值不等式的理解 例1. 设0,0a b >>，则下列不等式不成立的是（） A.2b a a b +≥ B.4422 2a b a b +≥ C. 22b a a b a b +≥+ D.1122a b a b +≥++

解析：特值法，令1a b ==，则A,B,C 项都成立，而D 项中，1 122,23a b a b +=+=+ 显然不成立，故D 项不成立。 答案：D 练习1. 若a 、b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C ．1a ＋1b >2ab D ．b a ＋a b ≥2 答案：D 练习2. 设0

均值不等式练习题及答案

均值不等式练习题及答案 均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。尤其要注意它的使用条件。 a2?b21. 若a,b?R，则a?b?2ab 若a,b?R，则ab? 22 2. 若a,b?R，则 时取“=”）*a?b?ab 2若a,b?R，则a?b?*2ab ???2?* a?ba2?b2 ?ab??3. 均值不等式链：若a、b都是正数，则，当且仅当a?b22?ab2 时等号成立。 平均数） 一、基本技巧 技巧1：凑项 例已知x? 技巧2：分离配凑4，求函数y?4x?2?1的最大值。x?5 x2?7x?10的值域。例求y?x?1 技巧3：利用函数单调性 例 求函数y?2的值域。

技巧4：整体代换 例已知x?0,y?0，且 19??1，求x?y的最小值。xy 典型例题 1. 若正实数X，Y 满足2X+Y+6=XY ，则XY 的最小值是 ?a?b?22. 已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则的最小值cd 是 A.0 B.1 C. D. 23. 若不等式x+ax+4≥0对一切x∈平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则2+1的最小值是ab A.1 B. C.4 D.3+22 5. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是 . 6. 已知x,y?R?，且满足xy??1，则xy的最大值为34 ab11?的最小值为ab 1A B C 1 D 7. 设a?0,b? 0.3与3的等比中项，则 8. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 A.428B. C.D.65

基本不等式练习(含答案)

§3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b 2 基本不等式的常用推论 1. ①，、)(222 22 2R b a b a ab ab b a ∈+≤?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222 +∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(333 33333+∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：b a 112 +2a b +≤≤≤2 22b a +。 2.(1)当x >0时，x ＋1x ≥2；当x <0时，x ＋1x ≤－2. (2)当ab >0时，b a ＋a b ≥2；当ab <0时，b a ＋a b ≤－2 例1 已知 ，求函数y=x （1-3x ）的最大值 例3 求22515(1)1x x y x x ++=>-在最小值 例4 已知正数x 、y 满足611x y +=，求32x y +的最小值 130x 13,,3 x y x x x 例2 若函数当为何值时，函数有最大值，并求其最大值。>=+-

一、选择题 1．已知正数01)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4 D ．－4 答案 B 3．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16 D ．不存在 答案 B 解析 ∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3. ∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝42(x ＝32，y ＝3 4时取等号)． 4．已知x ≥5 2，则f (x )＝x 2－4x ＋5 2x －4有( ) A ．最大值5 2 B ．最小值5 4 C ．最大值1 D ．最小值1 答案 D 解析 f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝(x －2)2 ＋1 2(x －2) ＝12??? ??? (x －2)＋1x －2≥1. 当且仅当x －2＝1 x －2，即x ＝3时等号成立． 5.若14<<-x ，则222 2)(2-+-=x x x x f 有（ ） A.最小值1 B. 最大值1 C. 最小值-1 D.最大值-1 6.函数1)(+=x x x f 的最大值为（ ） A.52 B. 21 C. 22 D. 1 7．若实数b a ,满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是( ) (A)18 (B)6 (C)32 (D)432 8.若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 9.设a>0,b>0,2 21 2b a ,则_______________

均值不等式练习题及答案解析

均值不等式练习题及答案解析 一．均值不等式 1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab 2. 若a,b?R*，则 a?b2 ? * ? a?b2 22 a?b时取“=”） ab 若a,b?R，则a?b?2 2 ab a?b?若a,b?R，则ab??） ?? ? 2 a?b2 注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”

均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域 y＝3x解：y＝3x＋ 11 y＝x＋xx 1 3x ＝∴值域为[，+∞） 2x 1 x· ＝2； x 1 x· =－2 x 1 ≥22x1 当x＞0时，y＝x＋≥x 11 当x＜0时， y＝x＋= －≤－2 xx ∴值域为 解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?

54 ，求函数y ?4x?2? 14x?5 的最大值。 1 解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x? 54 ,?5?4x?0，?y?4x?2? 1 4x?5 不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项， 2?3?1 ??3? 1? 5?4x? 4x?55?4x? 当且仅当5?4x? 15?4x ，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数

例1. 当时，求y?x的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。 当 ，即x＝2时取等号当x＝2时，y?x的最大值为8。 32 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设0?x? ，求函数y?4x的最大值。 3 2 2x?3?2x?9 解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2 222?? 当且仅当2x?3?2x,即x? 3 ?3? ??0,?时等号成立。?2? 技巧三：分离 例3. 求y?

(完整版)均值不等式专题20道-带答案

均值不等式专题3 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．若则的最小值是__________． 2．若,且则的最大值为______________. 3．已知，且，则的最小值为______． 4．已知正数满足，则的最小值是_______. 5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______． 6．设正实数满足，则的最小值为________ 7．已知，且，则的最小值是________ 8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______ 9．已知，函数的值域为，则的最小值为________． 10．已知，，且，则的最小值为__________． 11．若正数x，y满足，则的最小值是______． 12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______． 14．若，则的最小值为________. 15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______． 16．已知，且，则的最小值为______． 17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____． 19．已知正实数，满足，则的最大值为______.

20．已知，，则的最小值为____．

参考答案 1． 【解析】 【分析】 根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】 则，即 由题意知，则， 则 当且仅当，即时取等号 本题正确结果： 【点睛】 本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式. 2． 【解析】 【分析】 先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值. 【详解】 当时，，，所以最大值为1， 当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为， 综上的最大值为

经典均值不等式练习题

均值不等式 均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。尤其要注意它的使用条件（正、定、等）。 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3. 均值不等式链：若b a 、都是正数，则2 211222b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时等号成立。 （注：以上四个式子分别为：调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均数） 一、 基本技巧 技巧1：凑项 例 已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧2：分离配凑 例 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。

技巧3：利用函数单调性 例 求函数2 y =的值域。 技巧4：整体代换 例 已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值。 典型例题 1. 若正实数X ，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是 2. 已知x ＞0,y ＞0，x ,a ,b ,y 成等差数列，x ,c ,d ,y 成等比数列，则()cd b a 2+的最小值是( ) A.0 B.1 C.2 D. 4 3. 若不等式x 2+ax+4≥0 对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围为( ) A.[)+∞,0 B.[)+∞-,4 C.[)+∞-,5 D.[]4,4- 4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）平分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0，则a 2+b 1的最小值是( ) A.1 B.5 C.42 D.3+22 5. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y 的最小值是 . 6. 已知,x y R +∈，且满足134x y +=，则xy 的最大值为 . 7. 设0,0.a b >>1133a b a b +与的等比中项，则的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D 14 8. 若正数x ，y 满足x +3y =5xy ，则3x +4y 的最小值是 ( ) A. 245 B. 285 C.5 D.6

均值不等式及其应用练习题含答案

均值不等式及其应用练习题（1） 1. 如果二次函数y=ax2+bx+1的图象的对称轴是x=1，并且通过点A(−1, 7)，则() A.a=2，b=4 B.a=2，b=−4 C.a=−2，b=4 D.a=−2，b=−4 2. 在下列函数中，最小值是2的是() A.y=x 2+2 x B.y=√x2+2 √x2+2 C.y=7x+7−x D.y= x2+8 x (x>0) 3. 下列不等式中，正确的是( ) A.a+4 a ≥4 B.a2+b2≥4a b C.√ab≥a+b 2 D.x2+3 x2 ≥2√3 4. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学 家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现 证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC=a，BC= b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．则该图形可以完成的所有的无字证明为( ) A.a+b 2 ≥√ab(a>0, b>0) B.a2+b2≥2ab(a>0, b>0) C.√ab≥21 a +1 b (a>0, b>0) D.a2+b2 2 ≥a+b 2 (a≥0, b>0) 5. 若0e x−y C.x nlog y x

6. 下列函数中，最小值是2的是（ ） A.y = a 2−2a+2a−1 (a >1) B.y =√x 2+2√x 2+2 C.y =x 2+1x 2 D.y =x 2 +2 x 7. 若2x +4y =4，则x +2y 的最大值是________． 8. 已知x ，y 均为正实数，且满足1 x +1 y + 3xy =1，则x +y 的最小值为________． 9. 定义max {a,b}={a(a ≥b) b(a b ，则下列不等式正确的是________.(填序号) (1)a +c >b +c ；(2)ac b 2. 11. 已知函数f(x)＝−2x 2+7x −3． （1）求不等式f(x)>0的解集； （2）当x ∈(0, +∞)时，求函数y =f(x)x 的最大值，以及y 取得最大值时x 的值． 12. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y （单位：万元）与机器运转时间x （单位：年）的关系式为y =−x 2+18x −25(x ∈N ∗)．则当每台机器运转多少年时，年平均利润最大，并求最大值． 13. 设函数y ＝ax 2+bx +3(a ≠0)． （1）若不等式ax 2+bx +3>0的解集为(−1, 3)，求a ，b 的值； （2）若a +b ＝1，a >0，b >0，求1 a +4 b 的最小值．

经典均值不等式练习题

均值不等式 均值不等式又名大体不等式、均值定理、重要不等式。是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，可是其转变多样、利用灵活。尤其要注意它的利用条件（正、定、等）。 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3. 均值不等式链：若b a 、都是正数，则2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当 b a =时等号成立。 （注：以上四个式子别离为：调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均数） 一、 大体技术 技术1：凑项 例 已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技术2：分离配凑 例 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。

技术3：利用函数单调性 例 求函数2 y =的值域。 技术4：整体代换 例 已知0,0x y >>，且 191x y +=，求x y +的最小值。 典型例题 1. 若正实数X ，Y 知足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是 2. 已知x ＞0,y ＞0，x ,a ,b ,y 成等差数列，x ,c ,d ,y 成等比数列，则()cd b a 2+的最小值是( ) D. 4 3. 若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围为( ) A.[)+∞,0 B.[)+∞-,4 C.[)+∞-,5 D.[]4,4- 4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）平分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0，则a 2+b 1的最小值是( ) 2 +22 5. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y 的最小值是 . 6. 已知,x y R +∈，且知足134 x y +=，则xy 的最大值为 . 7. 设0,0.a b >>1133a b a b +与的等比中项，则 的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D 14 8. 若正数x ，y 知足x +3y =5xy ，则3x +4y 的最小值是 ( ) A. 245 B. 285 9. 若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切知足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)． ①1ab ≤； ≤ ； ③ 222a b +≥； ④333a b +≥； ⑤112a b +≥ 10.设0a ＞b ＞，则() 211a ab a a b ++-的最小值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 11.下列命题中正确的是

经典均值不等式练习题

均值不等式 【2 】 均值不等式别名根本不等式.均值定理.主要不等式.是求规模问题最有利的对象之一,在情势上均值不等式比较简略,但是其变化多样.应用灵巧.尤其要留意它的应用前提（正.定.等）. 1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈,则2 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3. 均值不等式链：若b a 、都是正数,则2 211222b a b a ab b a +≤+≤≤+,当且仅当 b a =时等号成立. （注：以上四个式子分别为：折衷平均数.几何平均数.代数平均数.加权（平方）平均数） 一、 根本技能 技能1：凑项 例 已知54x <,求函数14245 y x x =-+-的最大值. 技能2：分别配凑 例 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域. 技能3：应用函数单调性 例 求函数2y =的值域. 技能4：整体代换

例 已知0,0x y >>,且191x y +=,求x y +的最小值. 典范例题 1. 若正实数X,Y 知足2X+Y+6=XY , 则XY 的最小值是 2. 已知x ＞0,y ＞0,x ,a ,b ,y 成等差数列,x ,c ,d ,y 成等比数列,则()cd b a 2+的最小值是( ) A.0 B.1 C.2 D. 4 3. 若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0,1］恒成立,则a 的取值规模为 ( ) A.[)+∞,0 B.[)+∞-,4 C.[)+∞-,5 D.[]4,4- 4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）等分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0,则a 2+b 1的最小值是( ) A.1 B.5 C.42 D.3+22 5. 已知x>0,y>0,x+2y+3xy=8,则x+2y 的最小值是. 6. 已知,x y R +∈,且知足134 x y +=,则xy 的最大值为. 7. 设0,0.a b >>1133a b a b +与的等比中项，则 的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D 14 8. 若正数x ,y 知足x +3y =5xy ,则3x +4y 的最小值是 ( ) A. 245 B. 285 C.5 D.6 9. 若0,0,2a b a b >>+=,则下列不等式对一切知足前提的,a b 恒成立的是(写出所有准确命题的编号)．

均值不等式的应用(习题+答案)

均值不等式应用 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42) 45 x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭ 231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数

均值不等式练习题

一、选择题 1．若0≥x ，0≥y 且，那么2 32y x +的最小值为（ ） A. 2 B. D. 0 2．设若的最小值 ( ) A. 2 B. C. 4 D. 8 3．若c b a >>集合{|},{|}2a b M x b x N x x a +=<< =<<，则集合M N 等于（ ） A.{|x b x < B.{|}x b x a << C.{}2a b x x +<< D.{|}2 a b x x a +<< 4．对于函数)(x f y =(I x ∈),)(x g y =(I x ∈),若对任意I x ∈,存在0x 使得)()(0x f x f ≥, )()(0x g x g ≥且)()(00x g x f =,则称)(x f ,)(x g 为“兄弟函数”,已知q px x x f +++=2)(, ,那么函数)(x f 在区间 B. 2 C. 4 D.5．若0x >，则 ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6．若实数,x y 满足 ） A.[)2,+∞ B.()2,6 C.[]2,6 D.[]4,0- 7．设0,0a b >>，若1a b +=，则 ） A ．8 B ．4 C ．1 D 8．正数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为 A ．18 B ．14 C ．1 D ．32 9．已知，则的最小值是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

10．已知关于x 的不等式在),(+∞∈a x 上恒成立，则实数a 的最小值为 ( ) A. 1 B. 32 C. 2 D. 11．设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是. B. 2 C. 4 D. 8 12．在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意,R a b ∈，a b *为唯一确定的实 数，且具有性质： （1）对任意R a ∈，0a a *=； （2）对任意,R a b ∈，(0)(0) a b ab a b *=+*+*. ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．8 13．若直线01=+-by ax 平分圆C ：014222=+-++ y x y x 的周长，则ab 的取值范围是 14．已知关于x 的不等式022 >++b x ax (0≠a )，且b a >，则 A ．2 C.．1 15．在R 上定义运算：对R y x ∈,，有y x y x +=⊕2，如果1 =⊕b a (0>ab )的最小值是（ ） A ． 10 B ．9 C 16．若0>>b a ，则代数式( ) A.2 B. 3 C.4 D. 5 17．若0>a ，0>b ，且2=+b a ,则下列不等式恒成立的是( )

经典均值不等式练习题

均值不等式之杨若古兰创作 均值不等式别名基本不等式、均值定理、主要不等式.是求范围成绩最有益的工具之一，在方式上均值不等式比较简单，但是其变更多样、使用灵活.特别要留意它的使用条件（正、定、等）. 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且 仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3. 均值不等式链：若 b a 、都是负数，则221122 2b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时等号成立. （注：以上四个式子分别为：调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均数） 一、 基本技巧 技巧1：凑项 例 已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值. 技巧2：分离配凑 例 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域. 技巧3：利用函数单调性

例 求函数2 y = 的值域. 技巧4：全体代换 例 已知0,0x y >>，且 191x y +=，求x y +的最小值. 典型例题 1. 若正实数X ，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是 2. 已知x ＞0,y ＞0，x,a,b,y 成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则()cd b a 2 +的最小值是( ) A.0 B.1 C.2 D. 4 3. 若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围为( ) A.[)+∞,0 B.[)+∞-,4 C.[)+∞-,5 D.[]4,4- 4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）平分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0，则a 2+b 1的最小值是( ) A.1 B.5 C.42D.3+22 5. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y 的最小值是. 6. 已知,x y R +∈，且满足134 x y +=，则xy 的最大值为. 7. 设 0,0.a b >>1133a b a b +与的等比中项，则的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D 14 8. 若负数x ，y 满足x +3y =5xy ，则3x +4y 的最小值是 ( ) A. 245 B. 285 9. 若0,0,2a b a b >>+=，则以下不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是(写出所有准确命题的编号)．

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