人教版同步教参九年级数学-锐角三角函数：解直角三角形及应用
人教版九年级数学下册：28.2解直角三角形的应用(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解锐角三角函数的基本概念。锐角三角函数是指在直角三角形中，锐角的正弦、余弦和正切值。它们是解决直角三角形问题的关键，广泛应用于工程测量、建筑设计等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具ห้องสมุดไป่ตู้的案例。这个案例展示了如何利用锐角三角函数测量建筑物的高度，以及它如何帮助我们解决问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“解直角三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-正弦、余弦、正切函数的定义及图形表示；
-锐角三角函数在解直角三角形中的应用，特别是如何根据已知信息求解未知边或角；
-实际问题中的直角三角形求解，如测量物体高度、计算角度等。
举例：在求解直角三角形的问题中，重点在于让学生掌握如何使用正弦、余弦、正切函数，以及如何将实际问题转化为数学模型。
2.教学难点
4.在课堂总结环节，学生对本节课的知识点掌握程度较好，但仍有个别学生存在疑问。我意识到，在课后需要关注这部分学生的辅导，确保他们能够跟上教学进度。
5.本次教学中，我尽量采用生动形象的语言和丰富的教学手段，以提高学生的学习兴趣。但从学生的反馈来看，仍有改进空间。在今后的教学中，我将尝试更多有趣的教学方法，激发学生的学习热情。
人教版九年级数学下册：28.2解直角三角形的应用（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学下册：28.2解直角三角形的应用。本节课我们将围绕以下内容进行教学：
九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.1解直角三角形 新人教版
3
3 AD AD
∵sinC＝5，AC＝5，∴sinC＝5＝AC＝ 5 ，
∴AD＝3，∴CD＝4，BD＝3，
1
1
21
则△ABC 的面积是2·AD·BC＝2×3×(3＋4)＝ 2 .
精选ppt
6.如图 K－19－4，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，若 BD
是△ABC 的角平分线，BD＝8，则△ABC 的三边长分别是( D )
＝8，则 BC 的长是( D )
A.4 3 3
B．4
C．8 3
D．4 3
[解析] D ∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，
BC
BC
AB＝8，cosB＝AB，即 cos30°＝ 8 ，
∴BC＝8× 23＝4 3.
精选ppt
图K－19－2
4．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝ 5，AC＝ 15，则∠A 的度 数为链接听课例1归纳总结( D ) A．90° B．60° C．45° D．30°
解： (1)∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°. ∵cosA＝bc，∴c＝cobsA＝cos1600°＝110＝20，
2 ∴a＝ c2－b2＝ 202－102＝10 3. (2)c＝ a2＋b2＝ （2 5）2＋（2 15）2＝4 5.
a2 5 3 ∵tanA＝b＝2 15＝ 3 ， ∴∠A＝30°， ∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.
精选ppt
[解析] ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD＋∠BCD＝∠BCD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠ACD.
3
AC 3
∵tan∠ACD＝4，∴tanB＝BC＝4.
设 AC＝3x，BC＝4x.
人教版九年级下册数学《解直角三角形应用举例》锐角三角函数研讨复习说课教学课件
学以致用
如图水坝的横断面是梯形，迎水坡的坡角∠B＝30°，背
水坡的坡度为1: 2 (坡面的铅直高度DF与水平宽度AF的
比)，坝高CE(DF)是45米，求AF、BE的长，迎水坡BC的长，
以及BC的坡度.
AF=45 2 m BE=45 3
BC=90m
= 1: 3
知识点二：坡度、坡角的实际应用
角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
课堂小结
1.坡度：我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度 l 的比
叫坡度（或叫坡比）用字母 i 表示：
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课件
课件
个人简历：课件/jianli/
课件
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手抄报：课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
D.500
米
第5课时 解直角三角形
解直角三角形的应用
探索新知
例 1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔
80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯
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个人简历：课件/jianli/
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典例讲评
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡
AB的坡度i=1:3，斜坡CD的坡度i' =1:2.5,求坝底宽AD和斜坡AB
的长.
(精确到0.1m，tan18°26′ ≈0.3333，sin18°26′≈0.3162)
课件
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人教版九年级下册数学：第二十八章锐角三角函数解直角三角形及其应用
计算器
由锐角求三角函数值 由三角函数值求锐角
解直角三角形的原则：
有斜用弦, 无斜用切； 宁乘毋除, 取原避中。
A
温故而知新
B
c a
┌
b
C
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤:
1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)
2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直 角三角形; 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.
解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90° A D
tan 1 2
1.5 3
i=1:1.5 Bα
6m FE
i=1:3
β
C
33.69
在Rt△CDE中，∠CED=90°
(2)已知，tan2AF 6
3 BFBF
BF 9
tan 1
3
18.43
在RtABF中，由勾股定理 A B 6 2 9 211 37 13
例题讲解
例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东 65°方向，距离灯塔80n mile的A处，它
沿正南方向航行一段时间后，到达位于
灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时， 65° A
海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果P
取整数）？
C
解：如图 ，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos（90°－65°）
34°
在Rt△＝B8P0C×中co，s2∠5°B≈7＝2.3540°5sinB PC
P B sP iB n C 7 s.i5 3 2 n 0 4 1 53 (n0m ) iPlBe
B
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130海里．
人教版九年级下册数学第28章 锐角三角函数 利用解直角三角形解含方位角、坡角(坡度)的应用
感悟新知
知1－练
1. 如图，海中有一个小岛A，它周围8nmile内有暗礁. 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏
东60°方向上，航行12nmile到达D点，这时测得小 岛A在北偏东30° 方向上.如果渔船不改 变航线继续向东航行， 有没有触礁的危险？
感悟新知
解：如图，过点A作AC⊥直线BD，垂足为点C.
C．200D3．300
3
感悟新知
知识点 2 用解直角三角形解坡角问题
探究
B
一、如图是某一大坝的横断面：
坡面AB的垂直高度与 水平宽度AE的长度之 比是α的什么三角函数？
Aα
E
知2－练
C
D
tan
BE 坡面AB与水平面的夹角叫做坡角.
AE
感悟新知
坡度的定义：
知2－练
坡面的垂直高度与水平宽度之比
B
叫做坡度，记作i.
感悟新知
例1 如图, 一艘海轮位于灯塔P的北 偏东65°方向，距离灯塔 80nmile的A处，它沿正南方向 航行一段时间后，到达位于灯
塔P的南偏东34°方向上的B处. 这时，B处距离灯塔P有多远 （结果取整数)？
北 65°
P 34°
知1－练
A
C
B
感悟新知
解：如图，在Rt△APC中， PC=PA•cos(90°-65°) =80×cos25° ≈72. 505. 在Rt△BPC中，∠B=34°，
第二十八章锐角三角函数
28.2解直角三角形及其应用
第6课时利用解直角三 角形解含方位角、坡角 （坡度）的应用
学习目标
1 课时讲解 用解直角三角形解方位角问题
用解直角三角形解坡角（或坡度） 问题
人教版数学九年级下册《解直角三角形及其应用》教案
28．2 解直角三角形及其应用28．2.1 解直角三角形教学目标知识与技能1．使学生理解解直角三角形中五个元素的关系，什么是解直角三角形．2．会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 过程与方法通过综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．情感、态度与价值观渗透数形结合的数学思想，培养学生综合运用知识的能力和良好的学习习惯．重点难点重点直角三角形的解法．难点三角函数在解直角三角形中的灵活运用．教学过程一、创设情境，导入新课在直角三角形中，共有三条边、三个角(六个元素)，你能根据所学谈谈它们之间的关系吗？教师提出问题，引导学生思考，然后小组内讨论、回答．教师根据学生的回答归纳．在直角三角形中：1．三边之间关系：a 2＋b 2＝c 2(勾股定理)2．锐角之间关系：∠A ＋∠B ＝90°.3．边角之间关系正弦函数：sin A ＝∠A 的对边斜边余弦函数：cos A ＝∠A 的邻边斜边正切函数：tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边以上三点是解直角三角形的依据，熟知后运用．教师提出问题，引导提示学生思考总结(引问：边与边、角与角、边与角之间的关系)． 学生尝试总结回答，教师讲评汇总．二、合作交流，探究新知探究：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°.(1)若∠A ＝35°，AB ＝10，你能求出这个直角三角形中的其他元素吗？(2)若AB ＝10，BC ＝5，你能求出这个直角三角形中的其他元素吗？(3)若∠A ＝35°，∠B ＝55°，你能求出这个直角三角形中的其他元素吗？(4)在直角三角形中知道几个元素就可以求出其他元素？(只探讨方法，不解出结果)归纳：1.在直角三角形的六个元素中，除直角外的五个元素只要知道两个元素(其中至少有一条边)，就可以求出其余的三个元素．2．定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．3．解直角三角形，只有下面两种情况：(1)已知两条边；(2)已知一条边和一个锐角．【教学说明】1.教师提出问题引导学生思考分析，并作简要讲评．2．学生思考回答，注意在解题过程中方法的多样性．3．教师根据学生回答汇总归纳．4．学生理解归纳，重点在于理解解直角三角形的方法．三、运用新知，深化理解例1 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，按下列条件解直角三角形．(1)若a ＝36，∠B ＝30°，求∠A 的度数和边b 、c 的长；(2)若a ＝6 2，b ＝6 6，求∠A ，∠B 的度数和边c 的长．分析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形．解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°，a ＝36，∴∠A ＝90°－∠B ＝60°，∵cos B ＝a c，即c ＝a cos B ＝3632＝24 3，∴b ＝sin B ·c ＝12×24 3＝12 3； (2)在Rt △ABC 中，∵a ＝6 2，b ＝6 6，∴tan A ＝a b ＝33，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∴c ＝2a ＝12 2.方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解．例2 一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝12 2，试求CD 的长．分析：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，求出BM 与CM 的长度，然后在△EFD 中可求出∠EDF ＝60°，利用解直角三角形解答即可．解：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，AC ＝12 2，∴BC ＝AC ＝12 2.∵AB ∥CF ，∴BM ＝BC sin45°＝12 2×22＝12，CM ＝BM ＝12.在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝30°，∴∠EDF ＝60°，∴MD ＝BM tan60°＝4 3，∴CD ＝CM－MD ＝12－4 3.方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．例3 如图，在△ABC 中，已知∠C ＝90°，sin A ＝37，D 为边AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6.求△ABC 的面积．分析：首先利用正弦的定义设BC ＝3k ，AB ＝7k ，利用BC ＝CD ＝3k ＝6，求得k 值，从而求得AB 的长，然后利用勾股定理求得AC 的长，再进一步求解．解：∵∠C ＝90°，∴在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB ＝37，设BC ＝3k ，则AB ＝7k (k ＞0)，在Rt △BCD 中，∵∠BCD ＝90°，∠BDC ＝45°，∴∠CBD ＝∠BDC ＝45°，∴BC ＝CD ＝3k ＝6，∴k ＝2，∴AB ＝14.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2－BC 2＝142－62＝410，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×410×6＝1210.即△ABC 的面积是1210. 方法总结：若已知条件中有线段的比或可利用的三角函数，可设出一个辅助未知数，列方程解答．四、课堂练习，巩固提高1．教材P74练习．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂测评”内容．五、反思小结，梳理新知本节学了哪些内容？你有哪些认识和收获？1．直角三角形中边与边、角与角、边与角之间的关系(基础)．2．解直角三角形定义．3．解直角三角形方法(重点)．教师引导学生自我总结，梳理知识结构，结合实例归纳解法，明晰思路．六、布置作业1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．2．教材P77习题28.2第1题．7C 学科网，最大最全的中小学教育资源网站，教学资料详细分类下载！。
人教版九年级下册数学同步备课教案-第28章 锐角三角函数-28.1 锐角三角函数
28．1 锐角三角函数 第1课时 正弦教学目标一、基本目标 【知识与技能】1．利用相似的直角三角形，探索直角三角形的锐角确定时，它的对边与斜边的比是固定值，从而引出正弦的概念．2．理解锐角的正弦的概念，并能根据正弦的概念进行计算． 【过程与方法】通过探究锐角的正弦的概念的形成，体会由特殊到一般的数学思想方法，培养学生的归纳、推理能力．【情感态度与价值观】让学生在通过探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的快乐，感悟数学的实用性，培养学生学习数学的兴趣．二、重难点目标 【教学重点】理解正弦的意义，会求锐角的正弦值． 【教学难点】理解直角三角形的锐角确定时，它的对边与斜边的比是固定值．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P61～P63的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半.2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦 ，即sin A ＝a c.3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，b ＝4，则sin B ＝45.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求sin A 和sin B 的值．【互动探索】(引发学生思考)要求sin A 和sin B 的值，需要分别找出∠A 、∠B 的对边和斜边的比．【解答】详细解答过程见教材P63例1.【例2】已知等腰三角形的一腰长为25 cm ，底边长为30 cm ，求底角的正弦值． 【互动探索】(引发学生思考)转化法：将已知条件转化为几何示意图，再作出辅助线构造出直角三角形求解．【解答】如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D. ∵AB ＝AC ＝25 cm ，BC ＝30 cm ，AD 为底边上的高， ∴BD ＝12BC ＝15 cm ，∴在Rt △ABD 中，由勾股定理，得AD ＝AB 2－BD 2＝20 cm ， ∴sin ∠ABC ＝AD AB ＝2025＝45.即底角的正弦值为45.【互动总结】(学生总结，老师点评)求三角函数值一定要在直角三角形中求，当图形中没有直角三角形时，要通过作高构造直角三角形解答．活动2 巩固练习(学生独学) 1．如图，sin A 等于( C )A ．2B ．55C.12D ． 52．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝23，则AB 的长为( B )A.83 B ．6 C ．12D ．83．如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin B 的值为22.4．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，若AD ＝9，DC ＝5，E 为AC 的中点，求sin ∠EDC 的值．解：∵AD ⊥BC ， ∴∠ADC ＝90°. ∵AD ＝9，DC ＝5，∴AC ＝AD 2＋DC 2＝92＋52＝106. ∵E 为AC 的中点， ∴DE ＝AE ＝EC ＝12AC ，∴∠EDC ＝∠C ，∴sin ∠EDC ＝sin C ＝AD AC ＝9106＝9106106.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，BC ＝6，AC ＝8，求sin ∠ABD 的值．【互动探索】首先根据垂径定理得出∠ABD ＝∠ABC ，然后由直径所对的圆周角是直角，得出∠ACB ＝90°，从而由勾股定理算出斜边AB 的长，再根据正弦的定义求出sin ∠ABC 的值，进而得出sin ∠ABD 的值．【解答】∵AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ， ∴AC ︵ ＝AD ︵，∴∠ABD ＝∠AB C. ∵AB 为直径， ∴∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，∵BC ＝6，AC ＝8， ∴AB ＝BC 2＋AC 2＝10， ∴sin ∠ABD ＝sin ∠ABC ＝AC AB ＝45.【互动总结】(学生总结，老师点评)求三角函数值时必须在直角三角形中．在圆中，由直径所对的圆周角是直角可构造出直角三角形．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 1．如图，sin A ＝∠A 的对边斜边.2．求一个锐角的正弦值一定要放到直角三角形中，若没有直角三角形，可通过作垂线构造直角三角形．练习设计请完成本课时对应练习！第2课时 锐角三角函数教学目标一、基本目标 【知识与技能】1．掌握余弦、正切的定义． 2．了解锐角∠A 的三角函数的定义．3．能运用锐角三角函数的定义求三角函数值． 【过程与方法】通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．【情感态度与价值观】通过观察、思考、交流、总结等数学活动，体验数学学习充满着探索与发现，培养学生积极思考，勇于探索的精神．二、重难点目标【教学重点】余弦、正切的概念，并会求指定锐角的余弦值、正切值． 【教学难点】利用锐角三角函数的定义解决有关问题．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P64～P65的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .(1)∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，即cos A ＝b c ；(2)∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，即tan A ＝ab .2．锐角A 的正弦、余弦、正切叫做∠A 的锐角三角函数.3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，b ＝4，则cos B ＝35，tan B ＝43.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，求sin A 、cos A 、tan A.【温馨提示】详细解答过程见教材P65例2.【例2】如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求cos C 的值．【互动探索】(引发学生思考)观察图形，cos C ＝DC AC ，所以需要通过tan ∠BAD ＝34和已知条件求出DC 、AC 的长度，再代入求值．【解答】∵在Rt △ABD 中，tan ∠BAD ＝BD AD ＝34，∴BD ＝AD ·tan ∠BAD ＝12×34＝9，∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5， ∴AC ＝AD 2＋CD 2＝122＋52＝13， ∴cos C ＝DC AC ＝513.【互动总结】(学生总结，老师点评)在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义分清它们的边角关系，再根据勾股定理解答．活动2 巩固练习(学生独学)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，则cos A ＝( C ) A.513 B ．512C.1213D ．1252．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝43，BC ＝8，则AC 等于( A )A ．6B ．323C ．10D ．123．如图所示，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB ＝12.4．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，AC ＝2，CD ＝1，设∠CAD ＝α.(1)求sin α、cos α、tan α的值； (2)若∠B ＝∠CAD ，求BD 的长．解：在Rt △ACD 中，∵AC ＝2，DC ＝1， ∴AD ＝AC 2＋CD 2＝ 5.(1)sin α＝CD AD ＝15＝55，cos α＝AC AD ＝25＝255，tan α＝CD AC ＝12.(2)在Rt△ABC中，∵tan B＝AC BC，而∠B＝∠CAD，∴tan α＝2BC＝12，∴BC＝4，∴BD＝BC－CD＝4－1＝3.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据三角函数定义尝试说明：(1)sin2A＋cos2A＝1；(2)sin A＝cos B；(3)tan A＝sin Acos A.【互动探索】用定义表示出sin A、cos A、cos B、tan A→计算等式的左边与右边→得出结论．【证明】(1)由勾股定理，得a2＋b2＝c2，而sin A＝ac，cos A＝bc，∴sin2A＋cos2A＝a2c2＋b2c2＝c2c2＝1.(2)∵sin A＝ac，cos B＝ac，∴sin A＝cos B.(3)∵tan A＝ab，sin Acos A＝acbc＝ab，∴tan A＝sin Acos A.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．题目中的三个结论应熟记．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)锐角三角函数⎩⎪⎨⎪⎧正弦→对比斜余弦→邻比斜正切→对比邻练习设计请完成本课时对应练习！第3课时 特殊角的三角函数值教学目标一、基本目标 【知识与技能】1．掌握30°，45°，60°角的三角函数值，能够用它们进行计算． 2．能够根据30°，45°，60°角的三角函数值说出相应锐角的大小． 【过程与方法】1．通过探索特殊角的三角函数值的过程，培养学生观察、分析、发现的能力． 2．通过推导特殊角的三角函数值，了解知识间的联系，提升综合运用数学知识解决问题的能力．【情感态度与价值观】在探索特殊角的三角函数值中，学生积极参与数学活动，培养学生独立思考问题的能力． 二、重难点目标 【教学重点】根据30°，45°，60°角的三角函数值进行有关计算． 【教学难点】正确理解与记忆30°，45°，60°角的三角函数值．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P65～P67的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．sin 30°＝12，cos 30°＝32，tan 30°＝33.2．sin 60°＝32，cos 60°＝12，tan 60°＝ 3. 3．sin 45°＝22，cos 45°＝22，tan 45°＝1. 环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】求下列各式的值： (1)cos 260°＋sin 260°； (2)cos 45°sin 45°－tan 45°. 【互动探索】(引发学生思考)熟记特殊角的三角函数值→代入算式求值． 【解答】(1)cos 260°＋sin 260°＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1. (2)cos 45°sin 45°－tan 45°＝22÷22－1＝0. 【互动总结】(学生总结，老师点评)特殊角的三角函数值必须熟练记忆，既能由角得值，又能由值得角，记忆这个结果，可以结合直角三角形三边的大小关系，也可以结合数值的特征，30°，45°，60°的正弦值分母都是2，分子分别为1，2，3，而它们的余弦值分母都是2，分子正好相反，分别为3，2，1；其正切值分别为1÷3，1,1× 3.【例2】数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B 、C 、E 在同一直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．【互动探索】(引发学生思考)根据正切的定义求出AC →根据正弦的定义求出CF →AF ＝AC －F C.【解答】在Rt △ABC 中，∵BC ＝2，∠A ＝30°， ∴AC ＝BC tan A ＝23，∴EF ＝AC ＝2 3. ∵∠E ＝45°，∴FC ＝EF ·sin E ＝6， ∴AF ＝AC －FC ＝23－ 6.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是特殊角的三角函数值的应用，掌握锐角三角函数的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．活动2 巩固练习(学生独学)1．若3tan (α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( A )A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°2．若∠A 为锐角，且tan 2A ＋2tan A －3＝0，则∠A ＝45度． 3．计算．(1)2sin 30°－2cos 45°； (2)tan 30°－sin 60°·sin 30°； (3)(1－3tan 30°)2. 解：(1)0. (2)312. (3)3－1. 4．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，D 是边AB 上一点，∠BDC ＝45°，AD ＝4，求BC 的长．解：∵∠B ＝90°，∠BDC ＝45°， ∴△BCD 为等腰直角三角形， ∴BD ＝B C.在Rt △ABC 中，∵tan A ＝tan 30°＝BC AB ，∴BC BC ＋4＝33，解得BC ＝2(3＋1)． 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足(1－tan A )2＋⎪⎪⎪⎪sin B －32＝0，试判断△ABC 的形状．【互动探索】根据非负性的性质求出tan A 及sin B 的值→根据特殊角的三角函数值求出∠A 及∠B 的度数→判断△ABC 的形状．【解答】∵(1－tan A )2＋⎪⎪⎪⎪sin B －32＝0， ∴1－tan A ＝0，sin B －32＝0， ∴tan A ＝1，sin B ＝32， ∴∠A ＝45°，∠B ＝60°， ∴∠C ＝180°－45°－60°＝75°， ∴△ABC 是锐角三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)特殊角的三角函数值：30°45°60°sin α122232cos α322212tan α331 3练习设计请完成本课时对应练习！第4课时用计算器求锐角三角函数值及锐角教学目标一、基本目标【知识与技能】1．能利用计算器求锐角三角函数值．2．已知锐角三角函数值，能用计算器求相应的锐角．3．能用计算器辅助解决含三角函数的实际问题．【过程与方法】使用计算器可以解决部分复杂问题，通过求值探讨三角函数问题的某些规律，提高学生分析问题的能力．【情感态度与价值观】通过计算器的使用，了解科学在人们日常生活中的重要作用，激励学生热爱科学、学好文化知识．二、重难点目标【教学重点】运用计算器处理三角函数中的值或角的问题．【教学难点】用计算器求锐角三角函数值时的按键顺序．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P67～P68的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．用计算器求sin 24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是(A)A.sin24°′″37°′″18°′″＝B.24°′″37°′″18°′″sin＝C.2ndF sin24°′″37°′″18°′″＝D.sin24°′″37°′″18°′″2ndF＝2．使用计算器求下列三角函数值．(精确到0.0001)(1) sin 24°≈0.4067；(2)cos 35°≈0.8192；(3)tan 46°≈1.0355.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】按要求解决问题：(1)求sin 63°52′41″的值；(精确到0.0001)(2)求tan 19°15′的值；(精确到0.0001)(3)已知tan x＝0.7410，求锐角的值．(精确到1′)【互动探索】(引发学生思考)熟悉用科学计算器求锐角三角函数值的操作流程．【解答】(1)在角度单位状态设定为“度”，再按下列顺序依次按键：sin 63°′′′52°′′′41°′′′＝显示结果为0.897 859 012.所以sin 63°52′41″≈0.8979.(2)在角度单位状态设定为“度”，再按下列顺序依次按键：tan 19°′′′15°′′′＝显示结果为0.349 215 633 4.所以tan 19°15′≈0.3492.(3)在角度单位状态设定为“度”，再按下列顺序依次按键：SHIFT tan 0.7410＝显示结果为36.538 445 77.再按°′′′，显示结果为36°32′18.4″.所以x ≈36°32′.【互动总结】(学生总结，老师点评)不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三角函数键，再按数字键；或先输入数字后，再按三角函数键，因此使用计算器时一定先要弄清输入顺序．【例2】如图，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝9，∠A ＝48°.求： (1)AB 边上的高(精确到0.01)； (2)∠B 的度数(精确到1′)．【互动探索】(引发学生思考)观察图形→作辅助线→利用相似锐角三角函数解直角三角形．【解答】(1)作AB 边上的高CH ，垂足为H . ∵在Rt △ACH 中，sin A ＝CH AC ，∴CH ＝AC ·sin A ＝9sin 48°≈6.69. (2)∵在Rt △ACH 中，cos A ＝AH AC ，∴AH ＝AC ·cos A ＝9cos 48°，∴在Rt △BCH 中，tan B ＝CH BH ＝CH AB －AH ＝9sin 48°8－9cos 48°，∴∠B ≈73°32′.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用三角函数求非直角三角形的边或角，一般情况下要构造直角三角形．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝2，AC ＝3，若用科学计算器求∠A 的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是( )A.tan 2÷3＝B.tan 2÷3DMS ＝C.2ndF tan (2÷3)＝D.2ndF tan (2÷3)DMS ＝2．用计算器求下列锐角的三角函数值．(精确到0.0001) (1)tan 63°27′； (2)cos 18°59′27″； (3)sin 67°38′24″； (4)tan 24°19′48″. 解：(1)2.0013. (2)0.9456. (3)0.9248. (4)0.4521. 3．根据下列条件求锐角A 的度数．(精确到1″) (1)cos A ＝0.6753； (2)tan A ＝87.54； (3)sin A ＝0.4553； (4)sin A ＝0.6725.解：(1)47°31′21″. (2)89°20′44″. (3)27°5′3″. (4)42°15′37″. 环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)用计算器求锐角三角函数值⎩⎪⎨⎪⎧求已知角的三角函数值由锐角三角函数值求锐角练习设计请完成本课时对应练习！。
九年级数学人教版下册第二十八章锐角三角函数 解直角三角形及其应用 解直角三角形课件
＝20，解这个直角三角形(结果保留小数点后一位)．
解： A ＝ 9 0 º － B ＝ 9 0 º － 3 5 º ＝ 5 5 º ，A
∵ tanB＝b ,
c
b
a
20
∴ a ＝ tan bB ＝ tan 20 35°≈ 28. 6 ． C
35° a
B
二、探究新知
∵ sinB＝b , c
A． b＝a·tan A
B． b＝c·sin A
C． b＝c·cos A
D． a＝c·cos A
四、课堂训练
3．如图，在菱形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，EC＝4， sin B＝ 4 ，则菱形的周长是( C )．
5 A．10 B．20 C．40 D．28
A
D
B
EC
四、课堂训练
4．如图，已知 AC＝4，求 AB 和 BC 的长．
一般地，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元 素的过程，叫做解直角三角形．
二、探究新知
(1)在直角三角形中，除直角外还有哪几个元素？ (2)结合右图说一说这几个元素之间有哪些关系？ (3)知道这几个元素中的几个，就可以求其余元素？ 解：(1)在 Rt△ABC 中除直角外还有五个元素，三边： AB，AC，BC 或 a，b，c 两锐角：∠A ，∠B．
∴ c＝ sin bB ＝ sin 23 05°≈ 34. 9． 注意：选取函数关系求值时尽可能用原始数据，减少因 为近似产生的累积误差．
二º，∠B＝72º，c＝14，解这个
直角三角形． A
解： A ＝ 9 0 º － 7 2 º ＝ 1 8 º ，
， B
二、探究新知
在 Rt△ABC 中，∠C＝90º，a＝30，b＝20．解这个直 角三角形． 在 Rt△ACD 中，
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锐角三角函数第 2 节 解直角三角形及应用 【知识梳理】一、解直角三角形一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角。
由直角三角形中的一直元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。
二、解直角三角形的应用1、解直角三角形应用问题中的常见概念 （1）仰角、俯角如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。
（2）方向角以观测者的位置作为原点，按东、南、西、北四个方向把平面划为四个象限，以正北或正南方向为始边，旋转到观测目标的方向线的锐角叫做方向角。
在找方向角时，要选准原点，在说方向角时，要先说“南或北”，后说“东或西”。
（3）坡度（坡比）、坡角如图，坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，又称坡比，用i 表示，tan hi lα==，其中坡面与水平面的夹角α叫做坡角。
2、利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案。
【诊断自测】1、如图，在Rt ABC V 中，90C ∠=︒，10AB =，2sin 5A =，求BC 的长和tan B 的值。
2、河堤横断面如图所示，堤高6BC m =，迎水坡AB 的坡比为1:则AB 的长为（ ）A.12米B.C. 米D.3、如图，矩形ABCD 中，DE AC ⊥与E ，设ADE α∠=，且3cos 5α=，4AB =，则AD 的长为________。
4、在ABC V 中，AB AC =，8AB =，15B ∠=︒，则AB 边上的高CD=________。
5、Rt ABC V 中，90C ∠=︒，20a =，c =B ∠=______度。
【考点突破】类型一、已知两直角边解直角三角形例1、如图，ABC V 中，90C ∠=︒，1AC =，BC =，则B ∠的度数为（ ）A ．25︒ B. 30︒ C. 45︒ D. 60︒ 答案：B解析：∵1AC =，BC =，∴tan3AC B BC ===，∴30B ∠=︒，故选B例2、菱形ABCD 的对角线AC =6BD =，则菱形的四个角的度数分别是_________。
答案：60,120,60,120︒︒︒︒解析：如图，作菱形ABCD ，则AC BD ⊥。
1122AE AC ==⨯= 116322DE BD ==⨯=在Rt AED V 中，6AD ==∴6AB AD BD ===∴ABD V 是等边三角形。
∴60DAB ∠=︒，120ADC ∠=︒∴菱形的四个内角分别是60,120,60,120︒︒︒︒例3、如图，在Rt ABC V 中，90C ∠=︒，a ，b ，c 分别为A ∠，B ∠，C ∠的对边，a =6b =，解这个直角三角形。
答案：30A ∠=︒，60B ∠=︒，c =解析：∵a =6b =，∴tan a A b === ∴30A ∠=︒，9060B A ∠=︒-∠=︒∴2c a ==类型二、已知一直角边和斜边解直角三角形例4、在Rt ABC V 中，90C ∠=︒，AB =BC =，则B ∠的度数为________。
答案：60︒解析：如图，∵在Rt ABC V 中，90C ∠=︒，又∵AB =BC =，∴1cos 2BC B AB ===，∴60B ∠=︒。
例5、如图，90ACB ∠=︒，13AB =，12AC =，BCM BAC ∠=∠，求sin BAC ∠和点B 到直线MC 的距离。
答案：5sin 13BAC ∠=，点B 到直线MC 的距离为2513解析：如图，在Rt ABC V 中，5BC =5sin 13BC BAC AB ∠== 作BE MC ⊥于点E ，则525sin 51313BE BC BCE =⋅∠=⨯=例6、如图，AD 为BAC ∠的平分线，且2AD =，AC =90C ∠=︒，求BC 的长及ABC V 外接圆的直径。
答案：3BC =，ABC V 外接圆的直径为解析：∵2AD =，AC =90C ∠=︒，∴cos 1AC AD ∠==130∠=︒ ∵AD 为BAC ∠的平分线∴12303060BAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒∴tan 3BC AC BAC =⋅∠== ∵ABC V 是直角三角形，∴其外接圆的直径为直角三角形的斜边长，∵cos cos 60AC AB BAC ===∠︒∴ABC V 外接圆直径为类型三、已知一直角边及一锐角解直角三角形例7、如图，ABC V 中，90B ∠=︒，30C ∠=︒，1AB =，将ABC V 绕顶点A 旋转180︒，点C 落在点'C 处，则'CC 的长为（ ）A ． B. 4 C. D. 答案：B解析：在ABC V 中，90B ∠=︒，30C ∠=︒，1AB =∴2AC =∵将ABC V 绕顶点A 旋转180︒，点C 落在点'C 处 ∴'AC AC = ∴'24CC AC ==例8、在Rt ABC V 中，90C ∠=︒，60B ∠=︒，AC =BC 的长为_________。
答案：1解析：∵在Rt ABC V 中，90C ∠=︒，60B ∠=︒，AC =∴1tan 60AC BC ===︒类型四、已知斜边及一锐角解直角三角形例9、在Rt ABC V 中，90C ∠=︒，35B ∠=︒，7AB =，则BC 的长为（ ） A. 7sin35︒ B. 7cos35︒C. 7cos35︒D. 7tan35︒答案：C解析：∵在Rt ABC V 中，90C ∠=︒，35B ∠=︒，7AB =∴cos 7BC BCB AB ==，∴7cos 7cos35BC B ==︒ 例10、如图，在Rt ABC V ，90C ∠=︒，45B ∠=︒，a ，b ，c 分别为A ∠，B ∠，C ∠的对边，10c =，解这个直角三角形。
答案： 45A ∠=︒，a b ==解析：∵45B ∠=︒，∴904545A ∠=︒-︒=︒∴10a b === 类型五、圆与解直角三角形例11、如图，已知ABC V 的一边BC 与以AC 为直径的O e 相切于点C ，若4BC =，5AB =，则tan B =__________。
答案：34解析：∵BC 与O e 相切于点C ，∴AC BC ⊥∴ABC V 为直角三角形由勾股定理3AC =∴3tan 4AC B BC == 类型六、仰角、俯角问题例12、在离电视塔底部s m 的地面A 处测得塔顶的仰角为α，则此电视塔高为（ ）A ．tan s α⋅m B. tan s α m C. sin s α m D. cos sαm 答案：A解析：设电视塔的高为h ，根据仰角的定义，结合题意可得：tan hsα=，∴tan h s α= 类型七、方位角问题例13、如图，轮船从B 处以每小时50海里的速度沿南偏东30︒的方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东75︒方向上，轮船航行半小时到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东60︒方向上，则A ，B 之间的距离是（ ）A ． B. C. 50海里 D. 25海里 答案：B解析：根据题意得1230∠=∠=︒∵60ACD ∠=︒，∴306090ACB ∠=︒+︒=︒ ∴753045CBA ∠=︒-︒=︒， ∴ABC V 为等腰直角三角形∵500.525BC =⨯=，∴25AC BC ==海里类型八、坡度、坡角问题例14、如图是某水库大坝横断面示意图。
其中AB ，CD 分别表示水库上下地面的水平线，120ABC ∠=︒，BC 的长是50m ，则水库大坝的高度h 是（ ）A. B. 25m C. m D. 3m 答案：A解析：过点C 作CE AB ⊥于点E ，∵120ABC ∠=︒，∴60CBE ∠=︒在Rt CBE V 中，50BC m =，∴sin 60CE BC =⋅︒=，故选A【易错精选】1、在Rt ABC V 中，锐角A 的正弦值为57，那么这个三角形的两条直角边长不可能是（ ）A ．5和 B. 5和7 C. 10和 D.522、如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上在数，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为（ ）A ．5cos α B.5cos α C. 5sin α D. 5sin α3、如图，小雅家（图中点O 处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A 处）在她家北偏东60度500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是（ ）A. 250mB.C.D.4、在ABC V 中，120BAC ∠=︒，AB AC =，4BC =，建立如下图的平面直角坐标系，则A 、B 、C 各点的坐标分别是_________________。
【精华提炼】一、解直角三角形的类型与方法Rt ABC V计算边时可选用以下口诀来解题：有斜求对乘正弦，有斜求邻乘余弦，无斜求对来正切二、解非直角三角形的方法对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来求解，作辅助线的一般思路是： （1）作垂线构成直角三角形；（2）利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。
三、运用解直角三角形的知识解决与视角有关的问题与视角有关的解直角三角形问题主要有以下两类：（1）实际问题中已知有关视角的度数求边长时，应先根据题意画出直角三角形，求出这个角的三角函数值，再利用三角函数的定义求得相应边长。
（2）利用锐角三角函数求实际问题中视角的度数时，应先根据题意画出直角三角形，并根据已知条件求出这个角的锐角三角函数值，再求出角的度数。
【本节训练】训练【1】如图，在ABC V 中，cos B =，3sin 5C =，5AC =，则ABC V 的面积是（ ） A ．212B. 12C. 14D. 21训练【2】有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底为6米，下底长为10米，高为则此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别为（ ）A ．2︒ B. ︒ C. ︒ D.2︒训练【3】如图，在ABC V 中，CD AB ⊥于点D ，45A ∠=︒，AC =，1AB =，则ABC ∠的度数为_________，边BC 的长为_________。
训练【4】为了测量某建筑物的高AB ，在距离B 点35m 的D 处安置测角仪，测得点A 的仰角45α=︒，若测角仪的高CD 为1.4m ，则AB=__________。
基础巩固1、在ABC V 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，与BC 相交于点D ，且AB =AD 的长。
2、如图，某山坡的坡面200AB =米，坡角30BAC ∠=︒，则该山坡的高BC 的长为___米。