函数图像的对称性问题

4
4
2
又∵f（x）=0 有 3 个实根，
∴f（x）=0
必有一根是
x1

1 2
，且其余两根
x2、x3
关于
x

1 2
对称，
∴
x2

x3

2
1 2

1
∴
x1

x2

x3

3 2
(5) 函数 y f (x) 的图像关于点 A（a，b）对称 f (x) f (2a x) 2b
【 f (a x) f (a x) 2b 】
22
解（1）：C1 的方程是： y (x t)3 (x t) s
证（2）：曲线 C 关于点 A( t , s ) 的对称曲线方程是：
22
y 2 s [(2 t x)3 (2 t x)] s [(t x)3 (t x)] (x t)3 (x t) s 即为曲
2
2
(4) 函数 y f (x) 的图象关于直线 x a b 对称
2
f (a x) f (b x) f (a b x) f (x)
证明：对任意 x∈R，都有 f（a＋x）=f（b－x）时，有点（a＋x，f（a
＋x））与点（b－x，f（b－x））存在关系： a x b x a b ，f（a＋x）=f
2
2
典例 1：函数 y sin(2x 5 ) 的图像的一条对称轴的方程是（ ）
2
A. x 2
B. x 4
C. x 8
D. x 5 4
解：函数 y sin(2x 5 ) 的图像的所有对称轴的方程是 2x 5 k ，
2
2
2
所以 x k ，显然取 k 1 时的对称轴方程是 x ，故选（A）。
为 （ x1， y1），（ x2， y2）， …，（ xm， ym）， 则 xi=（
）
A． 0
B．m
C． 2m
D． 4m
解 ： ∵函 数 f（ x）（ x∈R） 满 足 f（ x） =f（ 2﹣ x）， 故 函 数 f（ x） 的 图 象 关 于 直 线 x=1 对 称 ，函 数 y=|x2﹣ 2x﹣ 3|的 图 象 也 关 于 直 线 x=1 对称，故函数 y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f（x） 图象的交点也关于直线
（3）y=f(x)的图象与函数 y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；
（4）y=f(x)的图象与函数 y= f 1(x) 的图象关于直线 y=x 对称；【知道】
（5）函数 y f (x) 与 y f (2a x) 的图像关于直线 x a 成轴对称。
证明 设点 P(x0 , y0 ) 是 y f (x) 图像上任意一点，则 y0 f (x0 ) 。点 P(x0 , y0 ) 关于直线 x a 的对称点为 P'(2a x0 , y0 ) ，显然点 P'(2a x0 , y0 ) 在 y f (2a x) 的 图像上。
同理可证： y f (2a x) 图像上关于直线 x a 对称的点也在 y f (x) 图像
上。
推论 1.函数 y f (x) 与 y f (x) 的图像关于直线 y 轴对称。
2.两个函数 y=f (a x)与y f (a x) 的图象关于直线 x=0 对称.
3.两个函数 y=f (a x)与y f (b x) 的图象关于直线 x b a 对称.
性得证。
（充分性）设点 P(x0,y0)是 y = f (x)图像上任一点，则 y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a－x) =2b
∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即 2b－y0 = f (2a－x0) 。 故点 P‘（2a－x0，2b－y0）也在 y = f (x) 图像上，而点 P 与点 P‘关于点 A (a ,b) 对称，充分性得征。
图象关于
对称
解：由 f（x）+f（2－x）+2 = 0 得：f（x）+1 = －[f（2－x）+1]
令φ（x）= f（x）+1，则φ（2－x）=f（2－x）+1
∴φ（x）=－φ（2－x）
∴ φ（x）关于点（1，0）对称，又 f（x）=φ（x）－1
故由平移知识可得：f（x）关于点（1，－1）对称。 典例 5：【可不看】已知函数 f (x) a x 的反函数 f 1(x) 的图象的对称中心
2a
（3）正弦函数 y=sinx（x∈R）的图象关于直线 x=k + 对称：关于点（k ,
2
0）中心对称（k∈Z）
余弦函数 y=cosx(x∈R)的图象关于直线 x=k 对称：关于点（k ,0 ）
2
中心对称（k∈Z）.
正切函数 y=tanx(x k + )的图象关于点（k ,0）中心对称（k∈Z）.
）
A． 0
B．m
C． 2m
D． 4m
解 ： 函 数 f（ x）（ x∈R） 满 足 f（ ﹣ x） =2﹣ f（ x）， 即 为 f（ x） +f （ ﹣ x）=2，可 得 f（ x）关 于 点（ 0，1）对 称 ，函 数 y= ，即 y=1+
的 图 象 关 于 点 （ 0， 1） 对 称 ， 即 有 （ x1， y1） 为 交 点 ， 即 有 （ ﹣ x1， 2﹣ y1） 也 为 交 点 ，（ x2， y2） 为 交 点 ， 即 有 （ ﹣ x2， 2﹣ y2） 也 为 交 点 ， …
若在[0，m]有最小值 1，最大值 3，则的取值范围（ ）
（A）0＜m≤2 （B）m≥2 （C）m＞0 （D）2≤m≤4
解：由函数的轴对称性可知：二次函数 f（x）关于直线 x =2 对称，
又 f（2）=1，f（0）=3， ∴ f（x）在[0，2]上是减函数，
∴ f（x）在[2，+∞）上增函数，又由轴对称可知：f（2+2）=f（2－2）
则有 （xi+yi）=（x1+y1）+（x2+y2）+…+（xm+ym）
= [（x1+y1）+（﹣x1+2﹣y1）+（x2+y2）+（﹣x2+2﹣y2）+…+（xm+ym）+ （﹣xm+2﹣ym）]=m．故选 B． 2.不同函数之间的对称性探究 （1）y=f(x)的图象与函数 y=-f(x)的图象关于 x 轴对称. （2）y=f(x)的图象与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称；
2
一般【函数 y f (mx a)与函数y f (b mx) 的图象关于直线 x a b 对称】
2m
（6）函数 y f (x)与y 2b f (2a x) 的图像关于点 A(a, b) 成中心对称。
证明：设点 P(x0 , y0 )是y f (x) 图像上任一点，则 y0 f (x0 ) 。点 P(x0 , y0 ) 关于点 A(a, b) 的对称点为 P'(2a x0 , 2b y0 ) ，此点坐标满足 y 2b f (2a x) ，显然点 P'(2a x0 , 2b y0 ) 在 y 2b f (2a x) 的图像上。
同理可证： y 2b f (2a x) 图像上关于点 A(a, b) 对称的点也在 y f (x) 的
图像上。
特例：函数 y f (x) 与 y f (x) 的图像关于原点成中心对称。
典例 7：将函数 h(x)＝2sin(2x＋π4)的图象向右平移π4个单位，再向上平移 2 个 单位，得到函数 f(x)的图象，则函数 f(x)的图象与函数 h(x)的图象( )
即 f（4）=f（0）
∵ f（x）在[0，m]上有最小值 1，最小值 3，
∴ 2≤m≤4 选（D）
典例 3：函数 f（x）对一切实数 x 都满足 f (1 x) f ( 3 x) ，并且 f（x）=0
4
4
有 3 个实根，求这 3 个实根之和。
解：由 f (1 x) f ( 3 x) 可知：函数 f（x）关于直线 x 1 对称，
2
2
（b－x），由轴对称的定义可知：点（a＋x，f（a＋x））与点（b－x，f（b
－x））关于直线成轴对称，又由 x 的任意性可知：函数 y =f（x）关于直线
成轴对称。反之亦然。
特例： 函数 y f (x) 的图象关于直线 x a 对称
f (a x) f (a x) f (2a x) f (x)
证明：（必要性）设点 P(x ,y)是 y = f (x)图像上任一点， ∵点 P( x ,y)关于点 A (a ,b)的对称点 P‘（2a－x，2b－y）也在 y = f (x)
图像上，
∴ 2b－y = f (2a－x) 即 y + f (2a－x)=2b 故 f (x) + f (2a－x) = 2b，必要
2
2
2
线 C1
∴ 曲线 C 与曲线 C1 关于点 A( t , s ) 对称。
22
高考试题欣赏
【2016 全国百度文库 2 文】
12．（ 5 分 ） 已 知 函 数 f（ x）（ x∈R） 满 足 f（ x） =f（ 2﹣ x）， 若 函 数 y=|x2﹣ 2x﹣ 3|与 y=f（ x） 图 象 的 交 点
1 x 1
1 x 1
由等式的恒等性可知：2a－4 = 0 ∴ a = 2
选（A）
典例 6：设曲线 C 的方程是 y=x3－x，将 C 沿 x 轴、y 轴的正向分别平行移
动 t、s 单位长度后得曲线 C1
（1）写出曲线 C1 方程；
（2）求证：曲线 C 与 C1 关于点 A( t , s ) 对称。
特例：函数 y f (x) 的图像关于原点 O 对称 f (x) f (x) 0 【奇函
数是 5 的特例】
若 f (x) f (x 2a) ,则函数 y f (x) 的图象关于点 (a,0) 对称
典例 4：已知 f（x）+f（2－x）+2 = 0 对任意实数 x 恒成立，则函数 f（x）
函数 y f (x) 的图像关于 y 轴对称 f (x) f (x) 【偶函数是 4 的特例】 一般结论【函数 y f (x) 的图象关于直线 x a b 对称
2
f (a mx) f (b mx) f (a b mx) f (mx) 】
典例 2：二次函数 f（x）满足 f（2＋x）=f（2－x），又 f（2）=1，f（0）=3，
x a 1
是（－1，3），则实数 a 等于（ ）
（A）2
（B）3
（C）－2
解： f 1 (x) (a 1)x a
x 1
∵ f 1(x) 关于点（－1，3）对称，
（D）－4
∴ f 1 (x) =6－ f 1 （－1－x）
即： (a 1)(1 x) a 6 (a 1)(1 x) a ，也即：（2a－4）x = 0
A．关于直线 x＝0 对称
B．关于直线 x＝1 对称
C．关于(1,0)点对称
D．关于(0,1)点对称
解：D
【依题意，将 h(x)＝2sin(2x＋π)的图象向右平移π个单位，再向
4
4
上平移 2 个单位后得 y＝2sin[2(x－π)＋π]＋2，即 f(x)＝2sin(2x－π)
44
4
＋2 的图象，又∵h(－x)＋f(x)＝2，∴函数 f(x)的图象与函数 h(x)的图象
关于点(0,1)对称】
【可不看】（7）①函数 y f (x) 与 a x f (a y) 的图像关于直线 x y a 成轴
x=1 对称，故 xi= ×2=m，
故选：B 【2016 全国卷 2 理】 12．（ 5 分 ）已 知 函 数 f（ x）（ x∈R）满 足 f（ ﹣ x）=2﹣ f（ x），若 函 数 y= 与 y=f（ x） 图 象 的 交 点 为 （ x1， y1），（ x2， y2）， …，（ xm，
ym）， 则 （ xi+yi） =（
函数图像的对称性问题
函数图象的对称性反映了函数的特性 ,是研究函数性质的一个重要方
面，现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函
数对称性有关的性质。
1. 函数自身的对称性探究
（1）奇函数的图象关于原点成中心对称；偶函数的图象关于 y 轴对称.
（2）函数 f (x) ax2 bx c(a 0) （a≠0）的图象关于直线 x b 对称.