初一数学期中复习(因式分解)
江苏省金湖县实验中学七年级数学《因式分解》复习课件
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/152022/1/15January 15, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/152022/1/152022/1/151/15/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/152022/1/15
引例二：
我们学校要建一个综合游乐 园，分三个单场：一个飞镖场； 一个碰碰车场：一个体育场。其 边长和面积如下图：
它的总面积可表示为：
第八章 因式分解
一、因式分解 ： 像这样：ma+mb+mc=m（a+b+c）把一个多项式化成几
个整式a+b+c）=ma+mb+mc是整式乘法 （2）式：ma+mb+mc=m（a+b+c）是因式分解
二、典型例题
•
第一节 提公因式法
一、定义 像ma+mb+mc=m（a+b+c），等式左边要分解的多项式
的各项都含有m。我们把一个多项式各项都有含有的公共的 因式叫做这个多项式各项的公因式。
像ma+mb+mc=m（a+b+c），在分解因式时，如果一个 多项式的各项含有公因式，就可以提出这个公因式作为多项 式的一个因式；用这个因式去除这个多项式，所得的商式就 是另一个因式；再把这个多项式写成这两个因式的积。这种 分解因式的方法叫做提公因式法。
七年级数学因式分解知识点
七年级数学因式分解知识点数学是我们学生最怵的科目之一，尤其是在初中的时候，很多同学对数学课程的难度感到非常不满意，但是，如果我们掌握了数学的基础知识，那么我们就可以在学习过程中获得更大的成就感。
其中，因式分解是数学中相当重要的一个知识点，它不仅对我们解题有帮助，更是我们学习高中数学的重要基础。
今天，我将为大家详细介绍七年级数学中因式分解的知识点。
一、因式分解的概念及其特点因式分解是将一个多项式分解为两个或两个以上的乘式的过程。
一般情况下，我们将多项式中的常数和各项整数因式分解后，就可以说这个多项式“被分解因式”。
因式分解的特点在于它需要满足以下两个条件：1. 分解出的乘积中每一项因式不能再分解；2. 分解出的两项或两项以上的乘积相乘后，可以得出原来的多项式。
二、因式分解的方法因式分解可以分为两种常用的方法：公因式法和分组法。
1. 公因式法公因式法又称“提公因式法”，通过找出多项式中各项的公因式，将多项式分解为一个公因式和其他不含公因式项的乘积。
具体的步骤如下：a. 找出多项式中各项的公因式；b. 将公因式提出，把多项式分解成包含公因式的乘积和其他不含公因式因子的乘积；c. 继续对其他不含公因式的乘积进行因式分解。
2. 分组法分组法是指将多项式中的各项按照某种特定的规则进行划分，然后分别因式分解。
具体的步骤如下：a. 将多项式中的各项按照某种特定的方式进行分组；b. 对每组内的项进行提公因式，将公因式提出，把多项式分解为各组的乘积之和和其他不含公因式因子的乘积；c. 对各组的乘积再次使用公因式法进行分解，直到无法分解为止。
三、因式分解的例题下面是一些七年级因式分解的例题：例1: $6a+12$解：$6a+12=6(a+2)$例2: $10x^2-20x$解：$10x^2-20x=10x(x-2)$例3: $16a^2-49$解：$16a^2-49=(4a+7)(4a-7)$例4: $4x^2+8x+3$解：$4x^2+8x+3=(2x+1)(2x+3)$例5: $3m^2+9mn$解：$3m^2+9mn=3m(m+3n)$以上的例题仅供参考，如果想更好的掌握因式分解的知识，同学们可以尝试进行更多的练习，这样才能真正理解并掌握这一知识点。
七年级因式分解知识点总结
七年级因式分解知识点总结因式分解是数学中一个非常重要的知识点，不仅在七年级数学中频繁出现，而且在高中、大学阶段乃至日常生活中也经常用到。
因此，理解和掌握因式分解知识点不仅有助于提升数学成绩，更能够帮助我们更好地理解和解决日常生活中的实际问题。
一、因式及因式分解的概念因式即指将一个数分解成若干个数的乘积，每个数即为因式。
而因式分解则是指将一个代数式分解成若干个代数式相乘的形式。
例如：6可以分解成2×3，其中2、3即为因式；x^2+y^2可以分解成（x+y）×（x-y），其中（x+y）和（x-y）即为因式。
二、整式的因式分解1、公因式提取法当一个代数式中含有一个公共因子时，可以利用公因式提取法进行因式分解。
例如：8x^2+12x可以通过提取公因数4x得到4x(2x+3)的结果。
2、完全平方公式完全平方公式即指两个同类项的平方和可以表示为某一次幂加或减某一常数的平方。
例如：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 和a^2-2ab+b^2=(a-b)^2即为完全平方公式。
3、二次差公式二次差公式即指两个同类项的平方之差可以表示为某一次幂减某一次幂的形式。
例如：a^2-b^2=(a+b)(a-b)即为二次差公式。
三、分式的因式分解1、分子、分母同时进行因式分解当分子、分母同步进行因式分解时，可以通过约分简化分式。
例如：(x^2+3x+2)/(x+2)可以因式分解为(x+1)(x+2)/(x+2)=(x+1)。
2、分子分母因式分解后约分当分子、分母分别进行因式分解后，可以对分子、分母进行约分，从而得到简洁的结果。
例如：(x^3+2x^2)/(x^2-1)可以通过分别对分子、分母进行因式分解为x^2(x+2)/(x-1)(x+1)，再进行约分得到x^2/(x-1)的结果。
综上所述，因式分解是数学中重要且实用的知识点。
通过对整式和分式的因式分解，可以更好地理解数学中的概念和实际应用。
因此，在学习中应注重掌握各类因式分解方法，并将其灵活应用于实际问题中。
初一数学因式分解试题
初一数学因式分解试题1.下列因式分解中，错误的是（）A．1﹣9x2=（1+3x）（1﹣3x）B．a2﹣a+=C．﹣mx+my=﹣m（x+y）D．ax﹣ay﹣bx+by=（x﹣y）（a﹣b）【答案】C【解析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．解：﹣mx+my=﹣m（x﹣y）所以C错了．A、B、D正确．故选C．2.下列分解因式错误的是（）A．15a2+5a=5a（3a+1）B．﹣x2+y2=﹣（y+x）（y﹣x）C．ax+x﹣ay﹣y=（a+1）（x﹣y）D．﹣a+4ax﹣4ax2=﹣a（2x﹣1）2【答案】B【解析】把15a2+5a提公式5a，则可对A进行判断；由于﹣x2+y2=y2﹣x2，然后利用平方差公式分解，即可对B进行判断；先把ax+x﹣ay﹣y分组后提公因式，可对C进行判断；把﹣a+4ax﹣4ax2先提﹣a，然后利用完全平方公式分解，则可对D进行判断．解：A、15a2+5a=5a（3a+1），所以A选项的分解正确；B、﹣x2+y2=﹣（x2﹣y2）=﹣（x+y）（x﹣y），所以B选项的分解错误；C、ax+x﹣ay﹣y=a（x﹣y）+（x﹣y）=（a+1）（x﹣y），所以C选项的分解正确；D、﹣a+4ax﹣4ax2=﹣a（1﹣4x+4x2）=﹣a（2x﹣1）2，所以D选项的分解正确．故选B．3.分解因式4﹣x2+2x3﹣x4，分组合理的是（）A．（4﹣x2）+（2x3﹣x4）B．（4﹣x2﹣x4）+2x3C．（4﹣x4）+（﹣x2+2x3）D．（4﹣x2+2x3）﹣x4【答案】A【解析】把4﹣x2+2x3﹣x4的前两项分为一组，后两项分为一组，这样每组有公因式（2﹣x），然后利用提公因式法分解．解：4﹣x2+2x3﹣x4=（4﹣x2）+（2x3﹣x4）=（2+x）（2﹣x）+x3（2﹣x）=（2﹣x）（2+x+x3）=﹣（x﹣2）（x3+x+2）．故选A．4.分解因式：xy2﹣2xy+2y﹣4=．【答案】（xy+2）（y﹣2）【解析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．xy2﹣2xy可提公因式，分为一组；2y﹣4可提公因式，分为一组．解：xy2﹣2xy+2y﹣4=xy（y﹣2）+2（y﹣2）=（xy+2）（y﹣2）．5.分解因式：16+8xy﹣16x2﹣y2=．【答案】（4+4x﹣y）（4﹣4x+y）【解析】乘积项为8xy，那么后三项为一组，运用完全平方公式展开，进而用平方差公式求解．解：16+8xy﹣16x2﹣y2=16﹣（16x2﹣8xy+y2）=16﹣（4x﹣y）2=（4+4x﹣y）（4﹣4x+y）．6.把多项式ax2﹣ax﹣2a分解因式，下列结果正确的是（）A．a（x﹣2）（x+1）B．a（x+2）（x﹣1）C．a（x﹣1）2D．（ax﹣2）（ax+1）【答案】A【解析】先提取公因式a，再根据十字相乘法的分解方法分解即可．解：ax2﹣ax﹣2a=a（x2﹣x﹣2）=a（x﹣2）（x+1）．故选A．7.一个关于x的二次三项式，其x2项的系数是1，常数项是﹣12，且能分解因式，这样的二次三项式是（）A．x2﹣11x﹣12或x2+11x﹣12B．x2﹣x﹣12或x2+x﹣12C．x2﹣4x﹣12或x2+4x﹣12D．以上都可以【答案】D【解析】首先利用十字相乘法将x2﹣11x﹣12、x2+11x﹣12、x2﹣x﹣12、x2+x﹣12、x2﹣4x﹣12、x2+4x﹣12分解因式，即可求得答案．解：∵x2﹣11x﹣12=（x﹣12）（x+1），x2+11x﹣12=（x+12）（x﹣1），x2﹣x﹣12=（x﹣4）（x+3），x2+x﹣12=（x+4）（x﹣3），x2﹣4x﹣12=（x﹣6）（x+2），x2+4x﹣12=（x+6）（x ﹣2），∴x2﹣11x﹣12或x2+11x﹣12或x2﹣x﹣12或x2+x﹣12或x2﹣4x﹣12或x2+4x﹣12都能分解因式．故选D．8.下列式子可利用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式的是（）A．x2﹣3x+2B．3x2﹣2x+1C．x2+x+3D．3x2+5x+7【答案】A【解析】根据公式进行分解即可．解：x2﹣3x+2=x2+（﹣1﹣2）x+（﹣1）×（﹣2）=（x﹣1）（x﹣2），故本选项正确；B、C、D都不能用公式进行分解，故选A．9.分解因式x2﹣5x﹣6的结果为（）A．（x﹣6）（x+1）B．（x﹣6）（x﹣1）C．（x+6）（x﹣1）D．（x+6）（x+1）【答案】A【解析】因为﹣6×1=﹣6（常数项），﹣6+1=﹣5（一次项系数），所以利用十字相乘法分解因式即可．解：x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）．故选A．10.分解因式：x2﹣2x﹣8=．【答案】（x﹣4）（x+2）【解析】因为﹣4×2=﹣8，﹣4+2=﹣2，所以利用十字相乘法分解因式即可．解：x2﹣2x﹣8=（x﹣4）（x+2），故答案为：（x﹣4）（x+2）．。
初中数学复习多项式的运算与因式分解
初中数学复习多项式的运算与因式分解初中数学复习多项式的运算与因式分解多项式是数学中常见的一种表达形式，包含有代数项及其运算符号。
在数学中，多项式的运算和因式分解是非常重要的基础知识。
本文将详细介绍多项式的运算和因式分解的相关概念及方法。
一、多项式的基本概念多项式是由若干个代数项相加（或相减）得到，每个代数项又由若干个字母的乘积及其系数构成。
例如，3x²+5xy-2y³就是一个多项式，其中的3x²、5xy、-2y³是代数项。
二、多项式的运算多项式的运算主要包括加法、减法、乘法和除法。
1. 多项式的加法和减法多项式的加法和减法都是将对应的代数项相加（或相减）。
例如，将3x²+5xy-2y³与2x²-3xy+4y³进行相加，结果为5x²+2xy+2y³。
2. 多项式的乘法多项式的乘法是将每个代数项相乘，并将乘积进行相加。
例如，将3x²+5xy-2y³乘以2x²-3xy+4y³，结果为6x⁴-9x³y+12x²y³+10x³y-15xy²+20y⁴-4xy³+6y⁴。
3. 多项式的除法多项式的除法是将一个多项式除以另一个多项式，得到一个商式和余式。
例如，将5x³+2x²-3x+4除以x+2，商式为5x²-8x+13，余式为26。
三、多项式的因式分解因式分解是将一个多项式表示为若干个不可再分解的因式的乘积。
下面介绍两种常见的因式分解方法。
1. 提取公因式法提取公因式法是将一个多项式中的公因式提取出来，形成一个公因式和其他部分的乘积。
例如，将2x³-4x²+6x的公因式2x提取出来，得到2x(x²-2x+3)。
2. 公式法公式法是基于平方差公式、立方差公式等进行因式分解。
七年级数学试卷整式乘法与因式分解易错压轴解答题复习题(含答案)
七年级数学试卷整式乘法与因式分解易错压轴解答题复习题(含答案)一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题1．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；……根据这一规律计算：（1）（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝________.（x﹣1）（x n+x n﹣1+…+x+1）＝________. （2）22020+22019+22018+…+22+2+1.（3）32020﹣32019+32018﹣32017+…+32﹣3+1.2．如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．（1）图2中的阴影部分的面积为；（2）观察图2请你写出，，之间的等量关系是________；（3）根据（2）中的结论，若，，则 ________；（4）实际上我们可以用图形的面积表示许多恒等式，下面请你设计一个几何图形来表示恒等式．在图形上把每一部分的面积标写清楚．3．好学小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：( x+4)(2x+5)(3x-6)的结果是一个多项式，并且最高次项为：x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×(-6)=-120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是： ×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次项为-3x．请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．（1）计算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多项式的一次项系数为________．（2）( x+6)(2x+3)(5x-4)所得多项式的二次项系数为________．（3）若计算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多项式不含一次项，求a的值；（4）若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021，则a2020=________．4．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如， ···，因此都是奇巧数.（1）是奇巧数吗？为什么？（2）奇巧数是的倍数吗？为什么？5．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 .例如：是的一种形式的配方，是的另一种形式的配方请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出的两种不同形式的配方；（2）已知，求的值；（3）已知，求的值.6．【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题。
初中数学 因式分解(一)
1．定义：把一个多项式化成几个既约整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式．2．因式分解结果的要求：因式分解结果的标准形式 常见典型错误或者不规范形式符合定义，结果一定是乘积的形式 ()()()x x x +1+2+3+7既约整式，不能含有中括号 []()()x x +12+3-1 最后的因式的不能再次分解 ()()x x 2-1-1单项式因式写在多项式因式的前面()()x x x -1+1 相同的因式写成幂的形式 ()()()x x x x -1+1-1 每个因式第一项系数一般不为负数 ()()x x x -+1+1 每个因式第一项系数一般不为分数x x x 12⎛⎫⎛⎫-+1+1 ⎪⎪33⎝⎭⎝⎭因式中不能含有分式 x x x 21⎛⎫+ ⎪⎝⎭因式中不能含有无理数()()()x x x +1+2-23．因式分解基本解法：“一提二代三分解”是因式分解的三种常见基本解法，“提”指的是提取公因式法，“代”指的是公式法（完全平方公式，平方差公式，立方差和立方和公式，三项完全平方公式），“分解”指的是分组分解的方法．①提取公因式法几个整式都含有的因式称为它们的公因式． 例如：()ma mb mc m a b c 2+4+6=2+2+3把每项的公因式，包括数和字母全部提出，当然有的时候把一个式子看成一个整体． ②公式法因为因式分解和整式的乘法是互逆的，所以说常见的乘法公式要特别熟悉． 平方差公式()()a b a b a b 22+-=- 完全平方公式：()a b a ab b 222+=+2+()a b a ab b 222-=-2+立方差公式：()()a b a ab b a b 2233-++=- 立方和公式：()()a b a ab b a b 2233+-+=+三项完全平方公式：()a b c a b c ab ac bc 2222++=+++2+2+2 完全立方公式：()a b a a b ab b 33223+=+3+3+()a b a a b ab b 33223-=-3+3-大立方公式：()()a b c abc a b c a b c ab ac bc 333222++-3=++++---（1）下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）A ．()ab a b a b ab 223+=3+3B ．x x x x 222⎛⎫2+4=21+ ⎪⎝⎭C ．()()a b a b a b 22-4=+2-2D ．()x xy x x x y 23-6+3=3-2（2）如果下列式子是因式分解的结果，请判断下列式子形式是否正确，如果错误，请说明理由．①()x y x y 224-3+7；②()m m 23-4；③()()a b a b -4+2-2；④()[()]y x 22+1-1-3；⑤x x x 1⎛⎫+ ⎪⎝⎭；⑥()x x x 1⎛⎫+1-2 ⎪2⎝⎭；⑦()()y x x 2-+3-+3；⑧()()()()x y x y x y x y 2244++++．（1）C ；（2）③正确，①②④⑤⑥⑦⑧错误．【教师备课提示】这道题主要讲解因式分解的概念：（1）因式分解是一种恒等变形．（2）因式分解的结果必须是乘积的形式，每一个因式必须是整式，且不可再分解．（1）多项式x y x y x y 3222236-3+12的公因式是___________．（2）多项式()()()x y z a b x y z a b x y z a b 23433232545-24-+20-+8-公因式是_________．（3）观察下列各式：①a b 2+和a b +；②()m a b 5-和a b -+；③()a b 3+和a b --；④x y 22-和x y 22+，其中有公因式的是___________．（1）x y 223；（2）()x y z a b 223-4-；（3）②③．【教师备课提示】这道题主要讲解怎么找公因式，数和式子单独来看，数找公因数，式子找公因式．模块二 提取公因式法模块一 因式分解的概念因式分解：（1）a x abx y acx 232212+6-15（2）()()()()a b x y b c a b x y b c 223322++-6++（3）()()()x y x y x y 322+-2++2+ （4）abx acx ax 43-3+-（5）()()()()x y x y y x x y 2-33-2+2-32+3（6）a b a b ab 3223273-6+4这6道小题反映了提取公因式法的6大原则：（1）一次提净：应当先检查数字系数，然后再一个个字母逐个检查，将各项的公因式提出来，使留下的式子没有公因式可以提取． 原式()ax ax by c 2=34+2-5（2）视“多”为一：把多项式（如x y +，b c +等）分别整个看成是一个字母．原式2322()()(33)a b x y b c x y ab ab c =+++--（3）切勿漏“1”：当多项式的某一项恰好是所提取公因式时，剩下的式子里应当留下“1”，千万不要忽略掉．原式2(2)[(2)(2)1]x y x y x y =++-++22(2)(4421)x y x xy y x y =+++--+ （4）提负数：原式32(31)ax bx cx =--+（5）提相反数：原式(32)[(23)(23)]x y x y x y =---+6(32y x y =--）（6）化“分”为整：在提出一个分数因数（它的分母是各项系数的公分母）后，我们总可以使各项系数都化为整数（这个过程实质上就是通分）．并且，还可以假定第一项系数是正整数，否则可用前面说过的方法，把1-作为公因数提出，使第一项系数称为正整数．原式32231(122427)4a b a b ab =-+223(489)4ab a b ab =-+．因式分解（随堂练习）：（1）x y xyz xy 25-10+5（2）()()()a x a b a x x a -+--- （3）()()()x x a x x -2+1++1++1（4）()()()()x m x m y m m x m y -----（5）n n b b 3-12-131+26（n 是正整数）（6）()()()p x p x p x 32226-1-8-1-21-（1）=()xy x z 5-2+1原式；（2）=()()()a x a b x a x a -----原式()()x a a b =---1； （3）()()x x a =+1-2++1原式()()x x a =-+12--1；（4）()()m x m y 2=---原式；（5）()n n b b 2-11=9+16原式；（6）()[()]p x x p 2=2-13-1-4-1原式()()p x x p 2=2-13-4-4． 【教师备课提示】例3和例4主要考查提取公因式因式分解．因式分解：（1）()x 2-1-9 （2）()()m n m n 229--4+（3）()()a b a b 22-4-+16+ （4）()()a b a b 222222-3-5+5-3 （5）x xy y 229-24+16 （6）a a 28-4-4 （7）()c a b a b 222222---4（1）()()x x +2-4；（2）[()()][()()]m n m n m n m n =3-+2+3--2+原式()()m n m n m n m n =3-3+2+23-3-2-2 ()()m n m n =5--5；（3）原式()()a b a b 43++3=；（4）()()a b a b a b a b 22222222=5-3+3-55-3-3+5原式()()a b a b 2222=8-82+2 ()()()a b a b a b 22=16+-+；（5）()x y 2=3-4原式；（6）()a a 2=-4-2+1原式()a 2=-4-1；（7）原式()()()()c a b c a b c a b c a b +--+++--=．因式分解（随堂练习）：（1）()a b 216-3+2 （2）x y x y 62575-12（3）a b c 444-81+16 （4）()()a b a b 2222223---3（5）()()x y z x y z 22+-6++9 （6）()x y x y 22222+-4（7）m m 4216-72+81模块三 公式法（1）()()a b a b =4+3+24-3-2原式；（2）()x y x y 244=325-4原式()()x y x y x y 22222=35+25-2；（3）()()c a b c a b 222222=4-94+9原式()()()c ab c ab c a b 222=2+32-34+9； （4）()()a b a b a b a b 22222222=3-+-33--+3原式()()a b a b 2222=4-42+2()()()a b a b a b 22=8+-+；（5）原式()x y z 2+-3=； （6）原式()()x y x y 22=+-；（7）()()m m 2222=4-2⋅4⋅9+9原式()m 22=4-9()()m m 22=2-32+3． 【教师备课提示】例5和例6主要考查平方差公式和完全平方公式因式分解．因式分解：（1）x 38+27 （2）y 3-+64（3）x x y 5239-72 （4）a b 66+ （5）a b 66-（1）()()x x x 2=2+34-6+9原式； （2）()()y y y 2=4-+4+16原式；（3）()x x y 233=9-8原式()()x x y x xy y 222=9-2+2+4； （4）()()a b 2323=+原式()()a b a a b b 224224=+-+； （5）()()a b 3232=-原式()()a b a b 3333=+-()()()()a b a b a ab b a ab b 2222=+--+++另解：()()a b 2323=-原式()()a b a a b b 224224=-++()()()a b a b a a b b a b 422422=+-+2+- ()()()()a b a b a ab b a ab b 2222=+--+++；【教师备课提示】这道题主要考查立方差和立方和公式． 因式分解：（1）a b c bc ca ab 2224+9+9-18-12+12（2）x x y xy y 32238-36+54-27（1）()a b c 2=2+3-3原式；（2）()x y 3=2-3原式．【教师备课提示】这道题主要考查三项完全平方和完全立方公式．下列因式分解正确的是（ ）A ．()()()a b a b a b a b 2222-4+4=-4-4=-4+2-2B ．()m m m m 323-12=3-4C ．()x y x y x y x y 422224-12+7=4-3+7D ．()()m m m 24-9=2+32-3D ．因式分解：（1）abc a b a b 2336-14+12 （2）a a a 324-6+15-12 （3）()x a x a x 22224+--（4）()()p q p 22-1-4-1（5）()()()(a b m p a b m p 5-22+3-2-72+3） （6）()()()x y x y x y 232++6+-4+（1）()ab a c ab 22=26+3-7原式； （2）()a a a 22-34+2-5=原式； （3）()()a x x 22=+4-1原式； （4）原式()()p p q =2-1-2-1； （5）=()()m p a b 2+33+5原式；（6）()[()()]x y x y x y 2=2+1+3+-2+原式()()x y x y x y xy 22=2+1+3+3-2-2-4．模块二 提取公因式法模块一 因式分解的概念已知b c a +-=-2，求()()a a b c b c a b c b c a 22221⎛⎫--+-++2+2-2 ⎪33333⎝⎭的值．()()a b c a b c 2=----3原式()a b c 22=--3．∵b c a +-=-2，∴a b c --=2，则原式8=3．因式分解：（1）()y z x 224-2-（2）(m x y mn 2232--3）（3）x y 88-（4）x x 516-（5）()()x x x x 22225+2-3--2-3 （6）()()x x x x 2222+4+8+4+16（7）n n n a a a +2-2+8+16（1）=()()y z x y z x 2+2-2-2+原式；（2）原式=()()m x y n x y n 32-+2--；（3）=()()x y x y 4444-+原式()()()x y x y x y 222244=-++()()()()x y x y x y x y 2244=+-++；（4）()()()x x x x x 422=16-1=4-14+1原式()()()x x x x 2=2-12+14+1； （5）()()x x x 22=6-64+4原式()()()x x x x =24+1-1⋅⋅+1()()x x x 2=24-1+1； （6）()x x 22=+4+4原式()x 4=+2；（7）()n a a a -242=+8+16原式()n a a -222=+4．因式分解：（1）a b c 3338-1（2）a b b 33932-4（3）x y y 631564+（1）()()abc a b c abc 222=2-14+2+1原式；（2）=原式()b a b 33648-()()b a b a ab b 32224=42-4+2+； （3）()y x y 3612=64+原式()()y x y x x y y 3244248=4+16-4+．模块三 公式法。
因式分解单元分类总复习-2021-2022学年七年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义(浙教版)
《因式分解》单元分类总复习考点一因式分解知识总结：1.因式分解与整式乘法的关系：互为逆运算（故：将因式分解的结果乘出来可以用来检验因式分解的正误）2.因式分解基本步骤：一“提”→提取公因式（公因式可以是单独数字、单独字母、数字与字母乘积类的单项式；也可以是一个整体的多项式；提公因式一定要一次提完）二“套”→套用乘法公式（两项想平方差公式、三项想完全平方公式）3.分解因式时，一定要按照步骤，先观察能否提取公因式，再考虑用公式法分解，对于结果，一定要进行检查，看是否已分解彻底【例题典析】1．（2021春•拱墅区校级期中）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．x3﹣xy2＝x（x﹣y）2B．﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2C．x2+4x﹣4＝x（x+4）﹣4D．4x2+2xy+y2＝（2x+y）2【分析】根据因式分解的概念进行逐项分析解答即可．（把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解）【解答】解：A、x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y），是因式分解不完全，故这个选项不符合题意；B、﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2，是因式分解，故这个选项符合题意；C、结果不是整式的积的形式，不是因式分解，故这个选项不符合题意；D、4x2+4xy+y2＝（2x+y）2，左右两边不相等，所以因式分解错误，故这个选项不符合题意．故选：B．2．（2021春•罗湖区校级期末）下列各式从左到右因式分解正确的是（）A．2x﹣6y+2＝2（x﹣3y）B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1C．x2﹣4＝（x﹣2）2D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而得出答案．【解答】解：A、2x﹣6y+2＝2（x﹣3y+1），故原式分解因式错误，不合题意；B、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，故原式分解因式错误，不合题意；C、x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），故原式分解因式错误，不合题意；D、x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1），正确．故选：D．3．（2020春•绍兴期中）下列多项式可以用平方差公式进行因式分解的有（）①﹣a2+b2；②x2+x+；③x2﹣4y2；④（﹣m）2﹣（﹣n）2；⑤﹣121a2+36b2；⑥﹣s2+2s．A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】直接利用平方差公式分别分解因式得出答案．【解答】解：①﹣a2+b2＝（b+a）（b﹣a），可以用平方差公式进行因式分解；②x2+x+＝（x+）2，不可以用平方差公式进行因式分解；③x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），可以用平方差公式进行因式分解；④（﹣m）2﹣（﹣n）2＝（m+n）（m﹣n），可以用平方差公式进行因式分解；⑤﹣121a2+36b2＝（6b﹣11a）（6b+11a），可以用平方差公式进行因式分解；⑥﹣s2+2s＝﹣s（s﹣4），不可以用平方差公式进行因式分解；故选：C．4．下列多项式能分解因式的是（）A．﹣m2﹣n2B．m2+2m+1C．m2﹣m+D．m2﹣n【分析】根据因式分解的方法逐个判断即可．【解答】解：A．不能分解因式，故本选项不符合题意；B．能用完全平方公式分解因式，故本选项符合题意；C．不能分解因式，故本选项不符合题意；D．不能分解因式，故本选项不符合题意；故选：B．5．（2021秋•十堰期末）下列多项式中，不能在有理数范围进行因式分解的是（）A．﹣a2+b2B．﹣a2﹣b2 C．a3﹣3a2+2a D．a2﹣2ab+b2﹣1【分析】根据提公因式法，公式法进行分解即可判断．【解答】解：A．﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a），故A不符合题意；B．﹣a2﹣b2在有理数范围不能进行因式分解，故B符合题意；C．a3﹣3a2+2a＝a（a﹣1）（a﹣2），故C不符合题意；D．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1），故D不符合题意；故选：B．6．（2021秋•黄石港区期末）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（）A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【分析】根据左图中阴影部分的面积是a2﹣b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），利用面积相等即可解答．【解答】解：∵左图中阴影部分的面积是a2﹣b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a ﹣b）＝（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：B．7．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A．a2﹣1B．a2+a C．（a﹣1）2﹣a+1D．（a+2）2﹣2（a+2）+1【分析】根据因式分解的意义求解即可．【解答】解：A、原式＝（a+1）（a﹣1），故A不符合题意；B、原式＝a（a+1），故B不符合题意；C、原式＝（a﹣1）（a﹣1﹣1）＝（a﹣2）（a﹣1），故C符合题意；D、原式＝（a+1）2，故D不符合题意；故选：C．8．（2021春•拱墅区校级期中）因式分解（1）﹣a2+1；（2）2x3y+4x2y2+2xy3；（3）4（x+2y）2﹣25（x﹣y）2；（4）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．【分析】（1）运用平方差公式进行因式分解．（2）先提公因式，再运用完全平方公式．（3）先运用平方差公式，再提公因式．（4）运用十字相乘法进行因式分解，注意分解彻底．【解答】解：（1）﹣a2+1＝（1+a）（1﹣a）．（2）2x3y+4x2y2+2xy3＝2xy（x2+2xy+y2）＝2xy（x+y）2．（3）4（x+2y）2﹣25（x﹣y）2＝[2（x+2y）+5（x﹣y）][2（x+2y）﹣5（x﹣y）]＝（2x+4y+5x﹣5y）（2x+4y﹣5x+5y）＝（7x﹣y）（﹣3x+9y）＝﹣3（7x﹣y）（x﹣3y）．（4）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12＝（a2+a﹣2）（a2+a﹣6）＝（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）．9．（2021春•长清区期末）因式分解：（1）mx2﹣my2；（2）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）．【分析】（1）直接提取公因式m，再利用平方差公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式（a﹣b），进而分解因式即可．【解答】解：（1）mx2﹣my2＝m（x2﹣y2）＝m（x+y）（x﹣y）；（2）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）＝2m（a﹣b）+3n（a﹣b）＝（a﹣b）（2m+3n）．10．（2021春•北仑区期中）分解因式：（1）4x2﹣；（2）3a﹣6a2+3a3．【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式3a，再利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）4x2﹣＝（2x﹣）（2x+）；（2）3a﹣6a2+3a3＝3a（1﹣2a+a2）＝3a（1﹣a）2．考点二因式分解方法拓展知识总结：分组分解因式：当多项式有四项及以上时常需要分组。
初中数学中考复习教案《因式分解
初中数学中考复习教案《因式分解》一、教学目标：1. 理解因式分解的概念和意义。
2. 掌握常用的因式分解方法，如提取公因式法、十字相乘法、分组分解法等。
3. 能够运用因式分解解决实际问题，提高解决问题的能力。
二、教学内容：1. 因式分解的概念和意义。
2. 提取公因式法：提取公因式，再对余下的多项式进行因式分解。
3. 十字相乘法：两数之和或差的乘积，转化为两个一次因式的乘积。
4. 分组分解法：将多项式中的项进行合理分组，再进行因式分解。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：因式分解的概念、意义和常用方法。
2. 教学难点：提取公因式法、十字相乘法、分组分解法的运用。
四、教学过程：1. 导入：通过复习已学过的整式乘法，引出因式分解的概念和意义。
2. 讲解：讲解提取公因式法、十字相乘法、分组分解法的步骤和应用。
3. 练习：给出典型例题，让学生独立完成，巩固因式分解的方法。
4. 拓展：引导学生思考如何将实际问题转化为因式分解问题，提高解决问题的能力。
五、课后作业：1. 完成教材后的练习题，巩固因式分解的方法。
2. 选取一道实际问题，运用因式分解解决，并将解题过程写下来。
教学评价：通过课后作业的完成情况，评估学生对因式分解的理解和应用能力。
在下一节课开始时，进行课堂小测，检验学生对因式分解的掌握程度。
六、教学策略与方法：1. 案例分析：通过分析具体的数学题目，让学生理解因式分解在解决问题中的重要性。
2. 互动讨论：鼓励学生参与课堂讨论，分享彼此在解决因式分解问题时的方法和经验。
3. 练习巩固：设计具有梯度的练习题，让学生在实践中掌握因式分解的各种方法。
七、教学评价与反馈：1. 课堂练习：课堂上设置不同难度的练习题，实时监测学生的学习效果。
2. 课后作业：布置因式分解相关的作业，要求学生独立完成，以检验其掌握程度。
3. 学生反馈：定期收集学生对教学内容的反馈，以便及时调整教学方法和策略。
八、教学拓展与提升：1. 研究课题：鼓励学生研究因式分解在更高级数学中的应用，如高等代数、解析几何等。
初中数学 因式分解 练习题(含答案)
因式分解的常用方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下： 一、提公因式法.如多项式),(c b a m cm bm am ++=++其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．【例1】分解因式322x x x -- 解：原式()221x x x =--二、运用公式法.运用公式法，即用))((,)(2),)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=- 写出结果．【例2】分解因式2244a ab b ++ 解：原式()22a b =+三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式 【例3】分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。
【例4】分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --练习1：分解因式255m n mn m +--解：原式()()()()255555m m mn n m m n m m n m =--+=---=--（二）分组后能直接运用公式【例5】分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
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因式分解
（一）学习目标
（1）掌握因式分解概念：把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。
（2）因式分解的两种方法：提公因式法；应用公式法
（3）公因式概念：多项式中各项都含有的因式叫做多项式的公因式。
（4）如何确定公因式通常分两步：通常多项式的各项系数都是整数时，首先取各项系数的最大的公约数，其次再取相同字母的最低次幂。
（5）在因式分解中平方差公式为：))((22b a b a b a -+=-
完全平方公式为：222)(2b a b ab a +=++
222)(2b a b ab a -=+-
（二）典型例题
例1：应用提公因式法将下列多项式因式分解
①ab b a b a 246332--
②22242axy y x a --
③2)(6)(3y x y x ---
④m m m 616423-+-
⑤y x y x --+2)( ⑥32)(10)(5a b b a ---
例2：应用平方差公式将下列多项式因式分解
①4224925b a c -
②12-x
③44y x -
④424
1y x +-
⑤22)(9)(4n m n m --+ ⑥2
04.0b +-
例3：应用完全平方公式将下列多项式因式分解
①122+-x x
②962
+-m m
③xy y x 4422++
④4)(4)(2++++y x y x
⑤1)2(2)2(222++++x x x x ⑥1)2(2)2(222+---x x x x
例4：灵活应用因式分解方法将下列多项式因式分解
①50182-a
②y xy y x 8822+-
③4224167281y y x x +-
④222)42()2(+-+x x x
⑤222224)(b a b a -+
⑥)()(22x y b y x a -+-
⑦6444-a
⑧42248118y y x x +-
⑨222)1()(y y x ---
⑩22363ay axy ax +-
⑾ab b a b a -+-22332
⑿x x 212
+--
（三）拓展延伸
例5：已知32232,3,5ab b a b a ab b a ++==+求的值。
例6：（1）已知b a ，a b a ,0526422求=+-++的值。
（2）已知32223,05824y x y x y x -=+--+求的值。
（3）已知222.0|2|)165(y x y x y x -=+++--求的值。
（4）计算)1011()411)(311)(211(2222-⋅⋅⋅---
（5）已知n 是任意正整数，试说明n n n 310343
12⨯+⨯-++能被7整除。
（6）已知M a a a a +++++)4)(3)(2)(1(是一个完全平方式，求M 的值。
（7）已知k x x x x ++++)3)(2)(1(是一个完全平方式，求k 的值。
（8）已知9)3()3(2
=---n m m m ，求m n n m -+22
2的值。
（9）2124211220++++-m m m m b a b a
（10）若25)3(22+-+x m x 可以用完全平方公式来分解因式，则常数m= 。
（11）已知x,y 有任意有理数，若xy N y x M 2,22=+=，比较M 与N 的大小。
（12）a ，b ，c 为△ABC 的三边长，则代数式2222224)(b a c b a --+的值是正数还是负数。
（13）若)32)(32)(94(81)2(2-++=-x x x x n ，求n 的值。
（14）已知x,y 互为相反数，且4)2()2(22=+-+y x ，求y x -的值。