直角三角形全等判定定理知识点小结及其相应练习题
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题一(含答案) (48)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题一（含答案)按要求画图，并解答问题（1）如图，取BC边的中点D，画射线AD；（2）分别过点B、C画BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F；（3）BE和CF的位置关系是；通过度量猜想BE和CF的数量关系是．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）BE∥CF，BE＝CF．【解析】【分析】（1）根据中点的定义和射线的概念作图即可；（2）根据垂线的概念作图即可得；（3）根据平行线的判定以及全等三角形的判定与性质进行解答即可得．【详解】解：（1）如图所示，射线AD即为所求；（2）如图所示BE、CF即为所求；（3）由测量知BE∥CF且BE＝CF，∵BE⊥AD、CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∴BE∥CF，又∵∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴BE＝CF，故答案为：BE∥CF，BE＝CF．【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握中点、射线、垂线的概念、平行线的判定及全等三角形的判定与性质等知识点．72．已知：如图，∠1＝∠2，AD＝AB，∠AED＝∠C，求证：△ADE≌△ABC．【答案】见解析【解析】【分析】根据AAS证明△ADE≌△ABC．【详解】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠DAE＝∠BAC，在△ADE 和△ABC 中，∵DAE BAC AED C AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADE ≌△ABC （AAS ）．【点睛】此题考查全等三角形的判定定理AAS ，根据图形的特点选择恰当的判定定理是解题的关键.73．在△ABC 中，AB 、AC 边的垂直平分线分别交BC 边于点M 、N（1）如图①，若∠BAC ＝110°，则∠MAN ＝ °，若△AMN 的周长为9，则BC ＝（2）如图②，若∠BAC ＝135°，求证：BM 2+CN 2＝MN 2；（3）如图③，∠ABC 的平分线BP 和AC 边的垂直平分线相交于点P ，过点P 作PH 垂直BA 的延长线于点H ．若AB ＝5，CB ＝12，求AH 的长【答案】（1）40；9；（2）见详解；（3）3.5【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AM ＝BM ，NA ＝NC ，根据等腰三角形的性质得到BAM ＝∠B ，∠NAC ＝∠C ，结合图形计算即可；（2）连接AM 、AN ，仿照（1）的作法得到∠MAN ＝90°，根据勾股定理证明结论；（3）连接AP、CP，过点P作PE⊥BC于点E，根据线段垂直平分线的性质得到AP＝CP，根据角平分线的性质得到PH＝PE，证明Rt△APH≌Rt△CPE 得到AH＝CE，证明△BPH≌△BPE，得到BH＝BE，结合图形计算即可．【详解】解：（1）∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，∵AB边的垂直平分线交BC边于点M，∴AM＝BM，∴∠BAM＝∠B，同理：NA＝NC，∴∠NAC＝∠C，∴∠MAN＝110°﹣（∠BAM+∠NAC）＝40°，∵△AMN的周长为9，∴MA+MN+NA＝9，∴BC＝MB+MN+NC＝MA+MN+NA＝9，故答案为：40；9；（2）如图②，连接AM、AN，∵∠BAC＝135°，∴∠B+∠C＝45°，∵点M 在AB 的垂直平分线上，∴AM ＝BM ，∴∠BAM ＝∠B ，同理AN ＝CN ，∠CAN ＝∠C ，∴∠BAM+∠CAN ＝45°，∴∠MAN ＝∠BAC ﹣（∠BAM+∠CAN ）＝90°，∴AM 2+AN 2＝MN 2，∴BM 2+CN 2＝MN 2；（3）如图③，连接AP 、CP ，过点P 作PE ⊥BC 于点E ，∵BP 平分∠ABC ，PH ⊥BA ，PE ⊥BC ，∴PH ＝PE ，∵点P 在AC 的垂直平分线上，∴AP ＝CP ，在Rt △APH 和Rt △CPE 中，PA PC PH PE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △APH ≌Rt △CPE （HL ），∴AH ＝CE ，在△BPH 和△BPE 中，BHP BEP PBH PBE BP BP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BPH ≌△BPE （AAS ）∴BH ＝BE ，∴BC ＝BE+CE ＝BH+CE ＝AB+2AH ，∴AH ＝（BC ﹣AB ）÷2＝3.5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．74．如图，点A 、F 、C 、D 在同一条直线上，已知AC ＝DF ，∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，求证：BC ∥EF【答案】见详解【解析】【分析】由全等三角形的性质SAS 判定△ABC ≌△DEF ，则对应角∠ACB ＝∠DFE ，故证得结论．【详解】证明：在△ABC 与△DEF 中，AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴∠ACB ＝∠DFE ，∴BC ∥EF ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件．75．已知：如图，∠B ＝∠D ，∠1＝∠2，AB ＝AD ，求证：BC ＝DE ．【答案】见解析【解析】【分析】先利用ASA 证明△ABC ≌△ADE ，再根据全等三角形的性质即得结论．【详解】证明：∵∠1＝∠2，∴∠DAC +∠1＝∠2+∠DAC∴∠BAC ＝∠DAE ，在△ABC 和△ADE 中，B D AB ADBAC DAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△ADE （ASA ），∴BC ＝DE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于基础题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答的关键．76．(l)观察猜想：如图①，点B 、A 、C 在同一条直线上，DB BC ⊥，EC BC ⊥ 且90DAE ︒∠=，AD AE = ，则ADB ∆和EAC ∆是否全等？__________（填是或否），线段,,,AB AC BD CE 之间的数量关系为__________（2）问题解决：如图②，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AC = ，6AB = ，以AC 为直角边向外作等腰Rt DAC ∆ ，连接BD ，求BD 的长。
八年级上册数学直角三角形全等判定(基础)知识讲解+巩固练习
直角三角形全等判定（基础）【学习目标】1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL ”）.2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.【要点梳理】要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS ”，“ASA ”或“SAS ”判定定理. 要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL ”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt ”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、 已知：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC ．求证：（1）AB ＝CD ：（2）AD ∥BC ．【思路点拨】先由“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △CDB ，再由内错角相等证两直线平行.【答案与解析】证明：（1）∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠ABD ＝∠CDB ＝90°在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，AD BC BD DB ⎧⎨=⎩＝ ∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （HL ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）（2）由∠ADB ＝∠CBD∴AD ∥BC .【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.举一反三：【变式】已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．【答案】证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，∴∠DAE＝∠CBA＝90°在Rt△DAE 与Rt△CBA中，ED ACAE AB⎧⎨⎩＝＝，∴Rt△DAE≌Rt△CBA （HL）∴∠E＝∠CAB∵∠CAB＋∠EAF＝90°，∴∠E＋∠EAF＝90°，即∠AFE＝90°即ED⊥AC．2、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和斜边对应相等；（）（3）两直角边对应相等；（）（4）一条直角边和斜边对应相等．（）【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”. 【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.举一反三：【变式】下列说法正确的有（）（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等；（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等；（4）有两条边相等的两个直角三角形全等；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】C ．解：（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等，根据AAS 可判定两个直角三角形全等；（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据AAS 或ASA 可判定两个直角三角形全等；（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等，缺少“边”这个条件，故不可判定两个直角三角形全等；（4）有两条边相等的两个直角三角形全等，根据SAS 或HL 可判定两个直角三角形全等；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据HL 可判定两个直角三角形全等．所以说法正确的有4个．故选C ．3、（2016春•深圳校级月考）如图，AB ⊥AC 于A ，BD ⊥CD 于D ，若AC=DB ，则下列结论中不正确的是（ ）O B C DAA ．∠A=∠DB ．∠ABC=∠DCBC ．OB=OD D ．OA=OD【思路点拨】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．【答案与解析】解：∵AB ⊥AC 于A ，BD ⊥CD 于D∴∠A=∠D=90°（A 正确）又∵AC=DB ，BC=BC∴△ABC ≌△DCB(HL)∴∠ABC=∠DCB （B 正确）∴AB=CD又∵∠AOB=∠C∴△AOB ≌△DOC(AAS)∴OA=OD （D 正确）C 中OD 、OB 不是对应边，不相等．故选C ．【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4、已知：如图1，在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，C=∠C′=90° 求证：Rt△ABC 和Rt△A′B′C′全等．（1）请你用“如果…，那么…”的形式叙述上述命题；（2）将△ABC 和△A′B′C′拼在一起，请你画出两种拼接图形；例如图2：（即使点A 与点A′重合，点C 与点C′重合．）（3）请你选择你拼成的其中一种图形，证明该命题．【答案与解析】解：（1）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等．（2）如图：图②使点A与点A′重合，点B与点B′重合图③使点A与B′重合，B与点A′重合．（3）在图②中，∵A和A′重合，B和B′重合，连接CC′．∵∠ACB=∠A′C′B′=90°，∠ACB﹣∠ACC′=∠A′C′B′﹣∠AC′C，即∠BCC′=∠BCC′，∴BC=B′C′．在直角△ABC和直角△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．【总结升华】本题考查了直角三角形的全等中HL定理的证明，正确利用等腰三角形的性质是关键．【巩固练习】一、选择题1．（2015春•深圳校级期中）下列语句中不正确的是（）A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等B．有两边对应相等的两个直角三角形全等C．有两个锐角相等的两个直角三角形全等D．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等2．如图，AB＝AC，AD⊥ BC于D，E、F为AD上的点，则图中共有（）对全等三角形．A．3 B．4 C．5 D．63. 能使两个直角三角形全等的条件是( )A.斜边相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.两直角边对应相等4. 在Rt △ABC 与Rt △'''A B C 中, ∠C ＝ ∠'C ＝ 90︒, ∠A ＝ ∠'B , AB ＝''A B , 那么下列结论中正确的是( )A. AC ＝ ''A CB.BC ＝ ''B CC. AC ＝ ''B CD. ∠A ＝ ∠'A5. （2016春•蓝田县期末）如图，∠B=∠D=90°，BC=CD ，∠1=40°，则∠2=（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．75°6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（ ）A.一定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是二、填空题7．如图，BE ，CD 是△ABC 的高，且BD ＝EC ，判定△BCD ≌△CBE 的依据是“______”．8. 已知，如图，∠A ＝∠D ＝90°，BE ＝CF ，AC ＝DE ，则△ABC ≌_______.9. 如图，BA ∥DC ，∠A ＝90°，AB ＝CE ，BC ＝ED ，则AC ＝_________.10.（2016春•普宁市期末）如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE,若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是．11．有两个长度相同的滑梯，即BC＝EF，左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等，则∠ABC＋∠DFE＝________．12. 如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF＝AC，FD＝CD.则∠BAD＝_______.三、解答题13. 如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B点处打开，墙壁厚是35cm，B点与O点的铅直距离AB长是20cm，工人师傅在旁边墙上与AO水平的线上截取OC＝35cm，画CD⊥OC，使CD＝20cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从B点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．14.（2014秋•黄石港区校级月考）如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在∠AOB的两边上分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则得到OP平分∠AOB．请用你所学的知识说明其中的道理．15. 如图，已知AB＝AC，AE＝AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分别是点E、F.求证：∠1＝∠2.【答案与解析】一、选择题1. 【答案】C；【解析】解：A、∵直角三角形的斜边和一锐角对应相等，所以另一锐角必然相等，∴符合ASA定理，故本选项正确；B、两边对应相等的两个直角三角形全等，若是两条直角边，可以根据SAS判定全等，若是直角边与斜边，可根据HL判定全等．故本选项正确；C、有两个锐角相等的两个直角三角形相似，故本选项错误；D、有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形符合ASA定理，可判定相等，故本选项正确．故选C．2. 【答案】D；【解析】△ABD≌△ACD；△ABF≌△ACF；△ABE≌△ACE；△EBF≌△ECF；△EBD≌△ECD；△FBD≌△FCD.3. 【答案】D；4. 【答案】C；【解析】注意看清对应顶点，A对应'B，B对应'A.5. 【答案】B；【解析】解：∵∠B=∠D=90°,在Rt△ABC和Rt△ADC中∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）∴∠2=∠ACB=90°﹣∠1=50°．故选B．6. 【答案】C；【解析】如果这对角不是直角，那么全等，如果这对角是直角，那么不全等.二、填空题7. 【答案】HL ；8. 【答案】△DFE9. 【答案】CD ；【解析】通过HL 证Rt △ABC ≌Rt △CDE.10.【答案】AC=DE ；【解析】解∵AB ⊥DC ，∴∠ABC=∠DBE=90°，在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，AC DE BE BC=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △DBE （HL ），故答案为：AC=DE ．11.【答案】90°；【解析】通过HL 证Rt △ABC ≌Rt △DEF ，∠BCA ＝∠DFE.12.【答案】45°；【解析】证△ADC 与△BDF 全等，AD ＝BD ，△ABD 为等腰直角三角形.三、解答题13.【解析】解：在Rt △AOB 与Rt △COD 中，(3590AOB COD AO CO A C ∠=∠⎧⎪==⎨⎪∠=∠=︒⎩对顶角相等）∴Rt △AOB ≌Rt △COD （ASA ）∴AB ＝CD ＝20cm .14.【解析】解：在Rt △OPM 和Rt △OPN 中，，所以Rt △OPM ≌Rt △OPN （HL ），所以∠POM=∠PON ，即OP 平分∠AOB ．15.【解析】证明：∵AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，∴△AEC 、△AFB 为直角三角形，在Rt △AEC 与Rt △AFB 中，AB AC AE AF⎧⎨⎩＝＝∴Rt △AEC ≌Rt △AFB （HL ），∴∠EAC＝∠FAB，∴∠EAC－∠BAC＝∠FAB－∠BAC，即∠1＝∠2.。
三角形的证明详细知识点、例题、习题)
三角形的证明详细知识点、例题、习题)1.定义：全等三角形指的是能够完全相等的三角形。
2.性质：全等三角形的对应边和对应角都相等。
3.判定方法：XXX、SSS、ASA、AAS、HL。
需要注意的是，SSA和AAA不能作为判定三角形全等的方法，必须有边的参与。
若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角。
4.证题思路：找夹角（SAS）已知两边，找直角（HL）找第三边（SSS）若边为角的对边，则找任意角（AAS）已知一边一角，边为角的邻边找已知边的对角（AAS）找已知角的另一边（SAS）找夹已知边的另一角（ASA）找两角的夹边（ASA）已知两角，找任意一边（AAS）1.等腰三角形的性质：两个底角相等（等边对等角）。
2.判定方法：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）。
3.等边三角形的性质：三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。
判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形。
4.含30°的直角三角形的边的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
1.勾股定理及其逆定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
2.命题与逆命题：命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的。
3.直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
需要注意的是，勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”。
1.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
2.判定方法：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
初二全等三角形知识点总结和常考题训练
全等三角形专项训练【要点总结】1．基本定义：（1）全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．（2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（3）对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点．（4）对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边．（5）对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角．2．基本性质：（1）三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性．（2）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．3．全等三角形的判定定理：（1）边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等．（2）边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．（3）角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．（4）角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．4．角平分线：（1）尺规作图画法：（2）性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等．（3）性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．5．垂直平分线：（1）尺规作图画法：（2）性质定理：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．（3）性质定理的逆定理：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上．6．证明的基本方法：（1）明确命题中的已知和求证．（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）（2）根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证．（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．【强化训练】一、选择题（共14小题）1．使两个直角三角形全等的条件是（ ）A ．一个锐角对应相等B ．两个锐角对应相等C ．一条边对应相等D ．两条边对应相等 2．如图，已知AE CF =，AFD CEB ∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF ≌△CBE 的是（ ）A ．∠A=∠CB ．AD=CBC ．BE=DFD ．AD ∥BC（第2题图） （第3题图） （第5题图）3．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ） A ．SSS B ．SAS C ．AAS D ．ASA4．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）A ．三条中线的交点B ．三条高的交点C ．三条边的垂直平分线的交点D ．三条角平分线的交点5．如图，△ACB ≌△A′CB′，30BCB ∠'=︒，则ACA ∠'的度数为（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°6．如图，直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）A ．1处B ．2处C ．3处D ．4处（第6题图） （第7题图） （第8题图）7．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC =7，DE =2，AB =4，则AC 长是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．58．如图，在△ABC 和△DEC 中，已知AB DE =，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC ，不能添加的一组条件是（ ）A ．BC EC =，B E ∠=∠ B ．BC EC =，AC DC = C ．BC DC =，AD ∠=∠ D ．BE ∠=∠，A D ∠=∠9．如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，5BC =，2DE =，则△BCE 的面积等于（ ） A ．10 B ．7C ．5D ．4（第9题图） （第10题图） （第11题图）10．要测量河两岸相对的两点A ，B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD BC =，再定出BF的垂线DE ，使A ，C ，E 在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC ≌△ABC ，得ED AB =，因此测得ED 的长就是AB 的长，判定△EDC ≌△ABC 最恰当的理由是（ ） A ．边角边 B ．角边角C ．边边边D ．边边角11．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 等于（ ）A ．1：1：1B ．1：2：3C ．2：3：4D ．3：4：512．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA ，OB 于C ，D ，再分别以点C ，D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP 由作法得△OCP ≌△ODP的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS13．下列判断正确的是（ ）A ．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B ．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等 （第12题图）C ．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等14．如图，已知12∠=∠，AC AD =，增加下列条件：①AB AE =；②BC ED =；③C D ∠=∠；④B E ∠=∠．其中能使△ABC ≌△AED 的条件有（ ） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个（第14题图）二、填空题（共11小题）15．如图，在△ABC中，90BD=cm，那么点D到线段AB的距离BC=cm，5∠=︒，AD平分∠CAB，8C是________cm．16．如图，△ABC中，90AB=，2CD=，则△ABD的面积是________．∠=︒，AD平分∠BAC，5C17．如图为6个边长等的正方形的组合图形，则123∠+∠+∠=________°．18．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=________．19．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带________去玻璃店．20．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若9CF=cm，则BD=________cm．AB=cm，521．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：90B C∠=∠=︒，E是BC的中点，DE平分∠ADC，35CED∠=︒，如图，则EAB∠是多少度?大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是________度．22．如图，△ABC≌△ADE，100B∠=︒，30BAC∠=︒，那么AED∠=________度．23．如图所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使A A′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△O A′B′的理由是________．24．如图，在四边形ABCD中，90A∠=︒，4AD=，连接BD，BD⊥CD，ADB C∠=∠．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为________．25．如图，△ABC中，90C∠=︒，CA CB=，点M在线段AB上，12GMB A∠=∠，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若8MH=cm，则BG=________cm．三、解答题（共15小题）26．已知：如图，C 为BE 上一点，点A ，D 分别在BE 两侧，AB ∥ED ，AB CE =，BC ED =．求证：AC CD =．27．已知：如图，OP 是∠AOC 和∠BOD 的平分线，OA OC =，OB OD =．求证：AB CD =．28．已知，如图所示，AB AC =，BD CD =，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，求证：DE DF =．29．如图，C 是AB 的中点，AD BE =，CD CE =．求证：A B ∠=∠．30．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC DC =，CF 平分∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC于点E ．求证： （1）△BFC ≌△DFC ； （2）AD DE =．31．如图，已知，EC AC∠=∠，A E=．=，BCE DCA∠=∠；求证：BC DC32．如图，把一个直角三角形ACB（90∠=︒）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上ACB的一点D，点A到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF BG=，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF DG=；（2）求出∠FHG的度数．33．已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，90ACB DCE∠=∠=︒，D为AB边上一点．求证：=．BD AE34．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM CN=，AM交BN于点P．（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求∠APN的度数．35．如图，四边形ABCD 中，E 点在AD 上，其中90BAE BCE ACD ∠=∠=∠=︒，且BC CE =，求证：△ABC与△DEC 全等．36．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，且90BAC ∠=︒，90DAE ∠=︒，B ，C ，D 在同一条直线上．求证：BD CE =．37．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AB CB =，AD CD =．对角线AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥AB ，OF ⊥CB ，垂足分别是E ，F ．求证OE OF =．38．如图，在△ABC 中，90ACB ∠=︒，CE ⊥AB 于点E ，AD AC =，AF 平分∠CAB 交CE 于点F ，DF 的延长线交AC 于点G ．求证：（1）DF ∥BC ；（2）FG FE =．39．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD AC=，在CF的延长线上截取CG AB=，连接AD、AG．（1）求证：AD AG=；（2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由．40．如图，已知△ABC中，10BC=cm，点D为AB的中点．==cm，8AB AC（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A 点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等?（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?【要点总结】全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线．也可将图对折看，对称以后关系现．角平分线平行线，等腰三角形来添．角平分线加垂线，三线合一试试看．线段垂直平分线，常向两端把线连．要证线段倍与半，延长缩短可试验．三角形中两中点，连接则成中位线．三角形中有中线，延长中线等中线．1．等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题．思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2．倍长中线：遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3．角平分线常见三种添辅助线：（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形．（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形．4．垂直平分线连接线上点与线段两端点：过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”．5．用“截长法”或“补短法”：具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目，常见于二条线段长之和等于第三条线段的长这类题型．6．图形补全法：有一个角为60°或120°的把该角添线后构成等边三角形．7．角度数为30°、60°的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30°或60°，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30°—60°—90°的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
专题1-8 HL判定三角形全等-重难点题型(举一反三)(苏科版)(解析版)
专题1.8 HL判定三角形全等-重难点题型【苏科版】【题型1 HL判定三角形全等的条件】【例1】（2020秋•秦淮区期末）结合图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的推理形式：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF∴Rt△ABC≌Rt△DEF．【分析】根据条件可知，少一组斜边，所以可添加为：AB＝DE．【解答】解：∵∠C＝∠F＝90°，∴在Rt△ABC和Rt△DEF中，{AC=DFAB=DE，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故答案为：AB＝DE．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定定理，【变式1-1】（2020秋•金乡县期中）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是．（不添加字母和辅助线）【分析】根据：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB＝DC．【解答】解：∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，∴在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB＝DC．故答案为：AB＝DC（答案不唯一）【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．【变式1-2】（2021春•宝安区期中）如图，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据直角三角形的全等的条件进行判断，即可得出结论．【解答】解：①当AC＝AD时，由∠C＝∠D＝90°，AC＝AD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；②当∠ABC＝∠ABD时，由∠C＝∠D＝90°，∠ABC＝∠ABD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS）；③当BC＝BD时，由∠C＝∠D＝90°，BC＝BD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；故选：D．【点评】本题主要考查了直角三角形全等的判定，直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时直角三角形又是特殊的三角形，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．【变式1-3】（2021春•金水区校级月考）下列说法正确的有（）①两个锐角分别相等的的两个直角三角形全等；②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等；③两边分别相等的两个直角三角形全等；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等．A．1B．2C．3D．4【分析】根据直角三角形全等的判定方法逐条判定即可得到结论，【解答】解：①两个锐角分别相等的的两个直角三角形不一定全等，故该说法错误；②如图，已知：∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，AM＝BM，DN＝EN，CM＝FN，求证：△ABC≌△DEF，证明：∵∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，CM＝FN，∴Rt△BCM≌Rt△EFN（HL），∴BM＝EN∵AM＝BM，DN＝EN，∴AB＝DE，∴Rt△ABC≌Rt△EFN（SAS），故一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等的说法正确；③两对应边分别相等的两个直角三角形全等，如果是一个直角三角形的两条直角边和另一个直角三角形的一条直角边和一条斜边分别相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误；④一个锐角和一条边分别对应相等的两个直角三角形不一定全等，如果一个直角三角形的一条直角边和另一个直角三角形的一条斜边相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误；故选：A．【点评】本题主要考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形判定方法是解决问题的关键．【题型2 直角三角形全等的判定与性质（求角的度数）】【例2】（2020秋•昌平区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F分别是BC，AC上的点，DE⊥AB，垂足为E，CF＝BE，DF＝DB，则∠ADE的度数为（）A．40°B．50°C．70°D．71°【分析】根据已知条件得出△CDF≌△EDB，从而得出CD＝DE，从而得出△ACD≌△AED，从而得出∠DAE＝20°，即可得出答案．【解答】解：根据题意：在Rt△CDF和Rt△EDB中，{FC=BEDF=DB，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CD＝DE，∵在Rt△ACD和Rt△AED中{CD=DEAD=AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴∠DAE＝20°，∴∠ADE＝70°．故选：C．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及全等三角形的性质，难度适中．【变式2-1】（2021春•娄底月考）如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O．（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．【分析】（1）根据HL证明两个三角形全等；（2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论．【解答】（1）证明：∵AE＝DB，∴AE+EB＝DB+EB，即AB＝DE，在Rt△ACB和Rt△DFE中，{AC=DFAB=DE，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝51°，∴∠ABC＝∠C﹣∠A＝90°﹣51°＝39°，由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠ABC＝∠DEF．∴∠DEF＝39°，∴∠BOF＝∠ABC+∠BEF＝39°+39°＝78°．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，尤其是掌握直角三角形特殊的全等判定：HL，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．【变式2-2】（2021春•姑苏区期末）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）若∠CAE＝30°，∠BAC＝45°，求∠ACF的度数．【分析】（1）由AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，AE ＝CF ，即可利用HL 证得Rt △ABE ≌Rt △CBF ；（2）由AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，即可求得∠ACB 的度数，即可得∠BAE 的度数，又由Rt △ABE ≌Rt △CBF ，即可求得∠BCF 的度数，则由∠ACF ＝∠BCF +∠ACB 即可求得答案．【解答】（1）证明：∵∠ABC ＝90°，∴∠CBF ＝∠ABE ＝90°，在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，{AE =CF AB =BC， ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF （HL ）；（2）解：∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝45°，∴∠ACB ＝45°，又∵∠BAE ＝∠CAB ﹣∠CAE ＝45°﹣30°＝15°，由（1）知：Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠BCF ＝∠BAE ＝15°，∴∠ACF ＝∠BCF +∠ACB ＝45°+15°＝60°．【点评】此题考查了直角三角形全等的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．【变式2-3】（2020秋•鹿城区校级月考）如图，已知BC ＝ED ，∠B ＝∠E ＝Rt ∠，∠ACD ＝∠ADC ．（1）求证：△ABC ≌△AED ；（2）当∠BAE ＝140°时，求∠BCD 的度数．【分析】（1）由∠ACD ＝∠ADC 知AC ＝AD ，再利用“HL ”即可证明△ABC ≌△AED ；（2）由Rt △ABC ≌Rt △AED 可设∠BAC ＝∠EAD ＝x ，∠CAD ＝y ，根据∠BAE ＝140°知2x +y ＝140°，由∠B ＝90°得∠ACB ＝90°﹣x 、AC ＝AD 知∠ACD ＝∠ADC ＝90°−12y ，再根据∠BCD ＝∠ACB +∠ACD 求解可得．【解答】证明：（1）∵∠ACD ＝∠ADC ，∴AC ＝AD ，在Rt △ABC 和Rt △AED 中，∵{BC =ED AC =AD， ∴Rt △ABC ≌Rt △AED （HL ）；（2）∵Rt △ABC ≌Rt △AED ，∴可设∠BAC ＝∠EAD ＝x ，∠CAD ＝y ，∵∠BAE ＝140°，∴2x +y ＝140°，∵∠B ＝90°，∴∠ACB ＝90°﹣x ，又∵AC ＝AD ，∴∠ACD ＝∠ADC =180°−∠CAD 2=90°−12y ， 则∠BCD ＝∠ACB +∠ACD＝90°﹣x +90°−12y＝180°−12（2x +y ）＝180°﹣70°＝110°．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握直角三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质．【题型3 直角三角形全等的判定与性质（求线段长度）】【例3】（2020秋•西城区校级期中）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，D 是AC 上一点，E 在BC 的延长线上，且AE ＝BD ，BD 的延长线与AE 交于点F ．若CD ＝3，则求CE 的长．【分析】证明△BDC≌△AEC得出：CD＝CE．【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°．在Rt△BDC与Rt△AEC中，{BC=ACBD=AE，∴Rt△BDC≌Rt△AEC（HL）．∴CD＝CE＝3；【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．【变式3-1】（2020秋•承德校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB上一点，且BE＝BC，过E 作DE⊥AB交AC于D，如果AC＝5cm，则AD+DE等于（）A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm【分析】根据HL证Rt△BED≌Rt△BCD，推出DE＝DC，得出AD+DE＝AD+DC＝AC，代入求出即可．【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°＝∠C，在Rt△BED和Rt△BCD中{BD=BDBE=BC，∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL），∴DE＝DC，∴AD+DE＝AD+CD＝AC＝5cm，故选：C．【点评】本题考查了直角三角形全等的性质和判定，注意：全等三角形的对应边相等，判断直角三角形全等的方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．【变式3-2】（2020秋•平谷区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，连接AD，过D 点作DE⊥AB，且DE＝DC．若AB＝5，AC＝3，则EB＝．【分析】由“HL”可证Rt△ADE≌Rt△ADC，可得AC＝AE＝3，即可求BE．【解答】解：在Rt△ADE和Rt△ADC中，{AD=ADDE=DC，∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），∴AC＝AE＝3，∴BE＝AB﹣AE＝2，故答案为2．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．【变式3-3】（2020秋•兰山区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15cm，BC＝8cm，AX⊥AC于A，P、Q两点分别在边AC和射线AX上移动．当PQ＝AB，AP＝时，△ABC和△APQ全等．【分析】分情况讨论：①AP＝BC＝8cm时，Rt△ABC≌Rt△QP A（HL）；②当P运动到与C点重合时，Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），此时AP＝AC＝15cm．【解答】解：①当P运动到AP＝BC时，如图1所示：在Rt △ABC 和Rt △QP A 中，{AB =QP BC =PA， ∴Rt △ABC ≌Rt △QP A （HL ），即AP ＝B ＝8cm ；②当P 运动到与C 点重合时，如图2所示：在Rt △ABC 和Rt △PQA 中，{AB =PQ AC =PA， ∴Rt △ABC ≌Rt △PQA （HL ），即AP ＝AC ＝15cm ．综上所述，AP 的长度是8cm 或15cm ．故答案为：8cm 或15cm ．【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解．【题型4 直角三角形全等的判定与性质（证垂直）】【例4】（2021春•万柏林区校级月考）如图，AC ∥BD ，∠C ＝90°，AC ＝BE ，AB ＝DE ，求证：DE ⊥AB ．【分析】先根据平行线的性质求出∠DBE＝∠C＝90°，再由HL定理可判定△ACB≌△EBD，由全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：设AB与DE相交于点M，∵AC∥BD，∴∠C+∠DBE＝180°，∵∠C＝90°，∴∠DBE＝90°，在Rt△ACB与Rt△EBD中，{AC=BE，AB=DE∴Rt△ACB≌Rt△EBD（HL），∴∠ABC＝∠D，∵∠D+∠MEB＝90°，∴∠ABC+∠MEB＝90°，∴∠EMB＝180°﹣∠ABC﹣∠MEB＝90°，∴DE⊥AB．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据HL判定Rt△ACB≌Rt△EBD是解题的关键．【变式4-1】（2021•三水区一模）如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．（1）求证△AMB≌△CNA；（2）求证∠BAC＝90°．【分析】（1）由HL证明△AMB≌△CNA即可；（2）先由全等三角形的性质得∠BAM＝∠ACN，再由∠CAN+∠ACN＝90°，得∠CAN+∠BAM＝90°，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，∴∠AMB＝∠CNA＝90°，在Rt△AMB和Rt△CNA中，{AB=CABM=AN，∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）；（2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，∴∠BAM＝∠ACN，∵∠CAN+∠ACN＝90°，∴∠CAN+∠BAM＝90°，∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式4-2】（2020秋•西湖区校级月考）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；（2）试判断CE和DE的关系，并说明理由．【分析】（1）由∠1＝∠2，可得DE＝CE，根据证明直角三角形全等的“HL”定理，证明即可；（2）由∠1＝∠2，可得DE＝CE，再根据题意，∠AED+∠ADE＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°，又∠AED ＝∠BCE，∠ADE＝∠BEC，所以，∠AED+∠BEC＝90°，即可证得∠DEC＝90°，即可得出．【解答】解：（1）结论：Rt△ADE≌Rt△BEC；理由如下：∵∠1＝∠2，∴DE＝CE，而∠A＝∠B＝90°，AE＝BC∴在Rt△ADE和Rt△BEC中，DE＝CE，AE＝BC，∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；（2）结论：DE＝CE且DE⊥CE，理由如下：∵∠1＝∠2∴DE＝CE，∵Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠AED＝∠BCE，∠ADE＝∠BEC，又∵∠AED+∠ADE＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°，∴2（∠AED+∠BEC）＝180°，∴∠AED+∠BEC＝90°，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥CE．【点评】本题主要考查了直角三角形的判定与性质，证明三角形全等时，关键是根据题意选取适当的条件．【变式4-3】（2020秋•城北区校级月考）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．【分析】猜想：BF⊥AE，先证明△BDC≌△AEC得出∠CBD＝∠CAE，从而得出∠BFE＝90°，即BF⊥AE．【解答】解：猜想：BF⊥AE．理由：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°．∴在Rt△BDC与Rt△AEC中{BC=ACBD=AE，∴Rt△BDC≌Rt△AEC（HL）．∴∠CBD＝∠CAE．又∴∠CAE+∠E＝90°．∴∠EBF+∠E＝90°．∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE．【点评】主要考查全等三角形的判定方法，以及全等三角形的性质．猜想问题一定要认真观察图形，根据图形先猜后证．。
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题九(含答案) (62)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题九（含答案)在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，(4,0)A-，(0,3)B，若在该坐标、、重合）为一个顶点的直角三角形与平面内有以点P（不与点A B O∆有一条公共边，则∆全等，且这个以点P为顶点的直角三角形Rt ABORt ABO所有符合的三角形个数为（）。
A．9B．7C．5D．3【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，分别以OA、OB、AB为边、根据直角三角形全等的判定定理作出符合条件的三角形即可．【详解】如图：分别以OA、OB、AB为边作与Rt△ABO全等的三角形各有3个，则则所有符合条件的三角形个数为9，故选：A.【点睛】本题考查的知识点是直角三角形全等的判定和坐标与图形性质，解题关键是注意不要漏解.12．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF；其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④【答案】D【解析】【分析】根据SAS证△ABD≌△EBC，可得∠BCE＝∠BDA，结合∠BCD＝∠BDC 可得①②正确；根据角的和差以及三角形外角的性质可得∠DCE＝∠DAE，即AE＝EC，由AD＝EC，即可得③正确；过E作EG⊥BC于G点，证明Rt△BEG≌Rt△BEF和Rt△CEG≌Rt△AEF，得到BG＝BF和AF＝CG，利用线段和差即可得到④正确．【详解】解：①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∴在△ABD和△EBC中，BD BCABD CBD BE BA⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD≌△EBC（SAS），①正确；②∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA，∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE＝∠BDA，∴∠BCE＋∠BCD＝∠BDA＋∠BDC＝180°，②正确；③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∠BDA＝∠DAE＋∠BEA，∠BCD＝∠BEA，∴∠DCE＝∠DAE，∴△ACE为等腰三角形，∴AE＝EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD＝EC，∴AD＝AE＝EC．③正确；④过E作EG⊥BC于G点，∵E是∠ABC的角平分线BD上的点，且EF⊥AB，∴EF＝EG（角平分线上的点到角的两边的距离相等），∵在Rt△BEG和Rt△BEF中，BE BE EF EG=⎧⎨=⎩，∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），∴BG＝BF，∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，AE CE EF EG=⎧⎨=⎩，∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），∴AF＝CG，∴BA＋BC＝BF＋FA＋BG−CG＝BF＋BG＝2BF，④正确．故选D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等的性质是解题的关键．13．如图，小明把一块三角形玻璃打碎成三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，则最省事的方法是带第③块去，理由是根据全等的判定定理（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA【答案】D【解析】【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．【详解】根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形，只有第三块玻璃包括了两角和它们的夹边，只有带③去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的．故选D【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS14．小明不小心将三角形的玻璃打破成如图的三块，他只带了第(3)块碎片去玻璃店就配了一块与原三角形的玻璃全等的三角形玻璃．小明利用的三角形全等判定定理是( )．A．AAS B．ASA C．SAS D．SSS【答案】B【解析】【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【详解】第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃.故选B.【点睛】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键.15．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，且A、C、B在同一直线上，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM ＝CN；③AC＝DN；④PC平分∠APB；⑤∠APD＝60°，其中正确结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】B【解析】【分析】利用边角边即可证明△ACE与△DCB全等，然后根据全等三角形对应角相等可得∠CAM＝∠CDN，再利用角边角证明△ACM≌△DCN，根据全等三角形对应边相等可得CM＝CN，DN＝AM，同理可证明△BCN≌△ECM，根据全等三角形对应边相等可得BN＝EM，根据三角形面积公式求出CQ＝CH，即可判断④，根据三角形外角性质推出∠APD＝60°．【详解】∵△DAC和△EBC都是等边三角形，∴∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACE＝∠DCB＝120°，在△ACE与△DCB中，AC＝DC，∠ACE＝∠DCB，CB＝CE，∴△ACE≌△DCB(SAS)，故①正确；∴∠CAM＝∠CDN，在△ACM与△DCN中∠CAM＝∠CDN，AC＝DC，∠ACM＝∠DCN＝60°，∴△ACM≌△DCN(ASA)，∴CM＝CN，故②正确；DN＝AM，在△AMC中，AC＞AM，∴AC≠DN，故③错误；过C作CQ⊥DB于Q，CH⊥AE于H，∵△ACM≌△DCN，∴△ACM和△DCN的面积相等，∵DN＝AM，∴由三角形面积公式得：CQ＝CH，∴CP平分∠APB，∴④正确；∵△ACE≌△DCB，∴∠AEC＝∠DBC，∵∠ECB＝60°，∴∠EAC＋∠AEC＝∠ECB＝60°，∴∠APD＝∠EAC＋∠ABP＝∠EAC＋∠AEC＝60°∴⑤正确；故选B.【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形是解题的关键.∆的作图痕迹，则此作图的已知条件是（）16．如图是作ABCA．已知两边及夹角B．已知三边C．已知两角及夹边D．已知两边及一边对角【答案】C【解析】【分析】∆的作图痕迹，可得此作图的条件.观察ABC【详解】∆的作图痕迹，可得此作图的已知条件为：∠α，∠β，及线解：观察ABC段AB,故已知条件为：两角及夹边，故选C.【点睛】本题主要考查三角形作图及三角形全等的相关知识.17．如图，在△ABC中，线段BC的垂直平分线交线段AB于点D，若AC=CD，∠A=50°，则∠ACB的度数为（）A．90°B．95°C．100°D．105°【答案】D【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【详解】∵AC=CD，∠A=50°，∴∠CDA=∠A=50°，∵段BC的垂直平分线交线段AB于点D，∴BD=DC，∴∠B=∠DCB=25°，∵∠ACD=180°-50°-50°=80°，∴∠ACB=105°，故选D．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．18．下列条件中，不能作出唯一三角形的是( )A．已知三角形两边的长度和夹角的度数B．已知三角形两个角的度数以及两角夹边的长度C．已知三角形两边的长度和其中一边的对角的度数D．已知三角形的三边的长度【答案】C【解析】【分析】看是否符合所学的全等的公理或定理即可．【详解】A、符合全等三角形的判定SAS，能作出唯一三角形；B、两个角对应相等，夹边确定，如这样的三角形可作很多则可以依据ASA判定全等，因而所作三角形是唯一的；C、已知两边和其中一边的对角对应相等，也不能作出唯一三角形，如等腰三角形底边上的任一点与顶点之间的线段两侧的三角形；D、符合全等三角形的判定SSS，能作出唯一三角形；故选C.【点睛】本题主要考查由已知条件作三角形，可以依据全等三角形的判定来做．二、解答题19．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°,AC 、BD 相交于点E,点G 、H 分别是AC 、BD 的中点.(1)求证：HG ⊥AC ；(2)当AC=8cm ，BD=10cm 时，求GH 的长．【答案】（1）见解析；（2）3.【解析】【分析】连接AH 和CH ，根据直角三角形斜边上中线性质得出12AH CH BD ==，根据等腰三角形性质求出HG AC ⊥；利用（1）所得结果，再利用勾股定理即可求.【详解】（1）如图，连接AH 、CH ，∵∠BAD=∠BCD=90°，H 为BD 的中点∴AH=CH=12BD ∵G 为AC 的中点，∴GH⊥AC （2）∵BD=10∴AH=12BD =5∵AC=8∴AG=12AC =4∵GH⊥AC，即∠HGA=90°∴3==【点睛】本题考查的知识点是直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题关键是能求出HG AC⊥．20．已知：如图，M是ABC△的边BC上一点，F、E在AM上，且B E / / C F，B E=C F试说明AM是BC边上的中线．【答案】见解析【解析】【分析】要证AM是BC边上的中线，只要证明BM CM=即可，只要证BEM≌()CFM ASA即可得，由条件很易证明．【详解】BE CF，证明：//∠=∠，∴∠=∠，MBE MCFCFM BEM=，又BE CFCFM ASA，∴≌()BEM∴=，BM MC即AM是BC边上的中线．【点睛】考查了三角形全等的判定，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去找什么条件．。
湘教版八年级下册数学直角三角形全等的判定21同步测试题
1.3 直角三角形全等的判定要点感知斜边、直角边定理：斜边和__________条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简称“斜边、直角边”或“HL”.预习练习如图,AB=CD,AE⊥BC于点E,DF⊥BC于点F,若BE=CF,则△ABE≌△__________,其依据是________.知识点1 直角三角形全等的判定1.如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，则△ABC≌△DCB的依据是( )A.HLB.ASAC.AASD.SAS第1题图第3题图第4题图2.在下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( )A.两条直角边对应相等B.两个锐角对应相等C.一个锐角和它所对的直角边对应相等D.一条斜边和一条直角边对应相等3.如图所示,AB=CD,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,AE=CF,则图中全等的三角形有( )A.1对B.2对C.3对D.4对4.已知：如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AE=DF，AB=DC，则△ABE≌△__________.5.如图,已知BD⊥AE于点B,C是BD上一点,且BC=BE,要使Rt△ABC ≌Rt△DBE,应补充的条件是∠A=∠D或__________或__________或__________.第5题图第6题图第7题图6.已知：如图，BE、CD为△ABC的高，且BE=CD，BE、CD交于点P，若BD=2，则CE=__________.7.已知：如图，AB=CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE=BF，∠D=60°，则∠A=__________.8.已知：如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AB⊥BE，DE⊥BE，垂足分别为B、E且AC=DF，连接AC、DF.求证：∠A=∠D.9.已知：如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，DE=BF.求证：AB∥CD.知识点2 作直角三角形10.已知一条斜边和一条直角边，求作直角三角形，作图的依据是__________.11.已知Rt△ABC，∠ACB=90°，请利用直角三角形全等的判定HL，求作三角形Rt△DEF，使Rt△DEF≌Rt△ABC.12.用三角尺可按下面方法画角平分线：如图，在已知∠AOB两边上分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，两垂线交于点P，画射线OP，则OP平分∠AOB.作图过程用到了△OPM≌△OPN，那么△OPM≌△OPN的依据是__________.第12题图第13题图第14题图13.如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加一个条件__________.14.如图,在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA,过点D作DE⊥BC交AB于点E,则有( )A.DE=DBB.DE=AEC.AE=BED.AE=BD15.如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2.求证：△ADE≌△BEC.16.如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，若有BF=AC，FD=CD，试探究BE与AC的位置关系.17.用尺规作一个直角三角形，使其中一条边长为a，这条边所对的角为30°.18.已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等,且OB ＝OC.(1)如图1,若点O在边BC上,求证：∠ABO＝∠ACO；(2)如图2,若点O在△ABC的内部,求证：∠ABO=∠ACO.参考答案要点感知一预习练习DCF HL1.A2.B3.C4.DCF5.AB=DB AC=DE ∠ACB=∠DEB6.27.30°8.证明：∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC.即BC=EF.∵AB⊥BE，DE⊥BE，∴∠B=∠E=90°.在Rt△ABC与Rt△DEF中，∵AC=DF，BC=EF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠A=∠D.9.证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB＝∠CED＝90°.在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CD,DE=BF，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴∠ACD=∠CAB.∴AB∥CD.10.HL11.作法：(1)作∠MFN=90°.(2)在FM上截取FD，使FD=CA.(3)以D为圆心，以AB为半径画弧，交FN于点E，连接DE.则△DEF为所求作的直角三角形.12.HL 13.AB=AC 14.B15.证明：∵∠1=∠2，∴DE=CE.∵AD∥BC，∠A=90°，∴∠B=90°.∴△ADE和△EBC是直角三角形.而AD=BE，DE=CE，∴△ADE≌△BEC(HL).16.BE与AC垂直.理由：∵AD是△ABC的高，∴∠BDF=∠ADC=90°.∴在Rt△BDF和Rt△ADC中，BF=AC，FD=CD.∴Rt△BDF≌△Rt△ADC(HL).∴∠DBF=∠DAC.∵∠ADC=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°.∴∠DBF+∠ACD=90°.∴∠BEC=90°.∴BE⊥AC.17.已知：线段a，求作：Rt△ABC，使BC=a，∠ACB=90°，∠A=30°.作法：(1)作∠MCN=90°.(2)在CN上截取CB，使CB=a.(3)以B为圆心，以2a为半径画弧，交CM于点A，连接AB.则△ABC为所求作的直角三角形.18.证明：(1)过点O分别作OE⊥AB,OF⊥AC,E、F分别是垂足，再利用“HL”证明Rt△OEB≌Rt△OFC.∴∠ABO=∠ACO.(2)过点O分别作OE⊥AB,OF⊥AC,E、F分别是垂足,再利用“HL”证明Rt△OEB≌Rt△OFC.∴∠ABO=∠ACO.八年级下册数学期末测试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．请将正确答案的字母代号填在下表中．）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）以下列各组数为边长能构成直角三角形的是（）A．1，1，B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，113．（3分）在下列所给出坐标的点中，在第三象限的是（）A．（2，3）B．（﹣2，﹣3） C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）4．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，点D 为AB的中点，则CD=（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm5．（3分）已知▱ABCD的周长是26cm，其中△ABC的周长是18cm，则AC的长为（）A．12cm B．10cm C．8cm D．5cm6．（3分）菱形的两条对角线长为6cm 和8cm，那么这个菱形的周长为（）A．40 cm B．20 cm C．10 cm D．5 cm7．（3分）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线平分一组对角B．对角线互相垂直平分C．对角线相等D．四条边相等8．（3分）汽车由重庆驶往相距400千米的成都，如果汽车的平均速度是100千米/时，那么汽车距成都的路程s（千米）与行驶时间t （小时）的函数关系用图象表示为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）已知点P（3，2）在一次函数y=x+b的图象上，则b= ．10．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为．11．（3分）已知y与x成正比例，且当x=1时，y=2，则当x=4时，y= ．12．（3分）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是．（写一种即可）13．（3分）将点P （﹣3，4）先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得到点Q，则点Q的坐标是．14．（3分）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长是．15．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过O 的直线分别交AD、BC于点E、F，已知AD=4cm，图中阴影部分的面积总和为6cm2，对角线AC长为cm．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为（用n表示）．三、解答题（本大题共8个小题，共计72分）17．（6分）在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，（1）B点关于y轴的对称点坐标为；（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；（3）在（2）的条件下，A1的坐标为．18．（8分）已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E CF⊥AD于F，且BC=DC．求证：BE=DF．19．（8分）已知一次函数y=（2m+1）x+m﹣3．（1）若这个函数的图象经过原点，求m的值；（2）若这个函数的图象经过一、三、四象限，求m的取值范围．20．（8分）已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积．21．（10分）为了进一步了解某校八年级学生的身体素质情况，体育老师对该校八年级（1）班50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，图表如下所示：组别次数x 频数（人数）第1组80≤x＜100 6第2组100≤x＜120 8第3组120≤x＜140 a第4组140≤x＜160 18第5组160≤x＜180 6请结合图表完成下列问题：（1）求表中a的值；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）若在一分钟内跳绳次数少于120次的为测试不合格，则该校八年级共1000人中，一分钟跳绳不合格的人数大约有多少？22．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是32cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．23．（10分）甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系．请根据图象，解答下列问题：（1）线段CD表示轿车在途中停留了h；（2）货车的平均速度是km/h；（3）求线段DE对应的函数解析式．24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=1cm，AD=3cm，点Q 从A点出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D运动，点P从点C出发，以1cm/s的速度沿CB向终点B运动，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，两点同时出发，运动了t秒．（1）当0＜t＜3，判断四边形BQDP的形状，并说明理由；（2）求四边形BQDP的面积S与运动时间t的函数关系式；（3）求当t为何值时，四边形BQDP为菱形．2016-2017学年湖南省张家界市永定区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．请将正确答案的字母代号填在下表中．）1．（3分）（2017春•永定区期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（3分）（2017春•永定区期末）以下列各组数为边长能构成直角三角形的是（）A．1，1，B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，11【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵12+12=2=（）2，∴能构成直角三角形，故本选项正确；B、∵22+32=25≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；C、∵42+52=41≠62，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；D、∵62+82=100≠112，∴不能构成直角三角形，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．3．（3分）（2017春•永定区期末）在下列所给出坐标的点中，在第三象限的是（）A．（2，3）B．（﹣2，﹣3） C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．【解答】解：A、（2，3）第一象限，B、（﹣2，﹣3）第三象限，C、（﹣2，3）第二象限，D、（2，﹣3）第四象限，故选：B．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．4．（3分）（2017春•永定区期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，点D为AB的中点，则CD=（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】根据直角三角形的性质得到AB=2BC=8cm，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，∴AB=2BC=8cm，∵点D为AB的中点，∴CD=4cm，故选：B．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半、斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．5．（3分）（2017春•永定区期末）已知▱ABCD的周长是26cm，其中△ABC的周长是18cm，则AC的长为（）A．12cm B．10cm C．8cm D．5cm【分析】根据题意得出平行四边形的邻边长的和为13cm，进而利用△ABC的周长是18cm求出AC即可．【解答】解：如图所示：∵▱ABCD的周长是26cm，∴AB+BC=13cm，∵△ABC的周长是18cm，∴AC=18﹣13=5（cm）．故选：D．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，得出AB+BC=13cm是解题关键．6．（3分）（2017春•永定区期末）菱形的两条对角线长为6cm 和8cm，那么这个菱形的周长为（）A．40 cm B．20 cm C．10 cm D．5 cm【分析】首先根据题意画出图形，由菱形ABCD中，AC=6，BD=8，即可得AC⊥BD，OA=AC=3，OB=BD=4，然后利用勾股定理求得这个菱形的边长．【解答】解：∵菱形ABCD中，AC=6，BD=8，∴AC⊥BD，OA=AC=3，OB=BD=4，∴AB==5．即这个菱形的周长为：20．故选B．【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意菱形的对角线互相平分且垂直．7．（3分）（2017春•博兴县期末）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线平分一组对角B．对角线互相垂直平分C．对角线相等D．四条边相等【分析】根据正方形和菱形的性质容易得出结论．【解答】解：正方形的性质：正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等；故选：C．【点评】本题考查了正方形和菱形的性质；熟练掌握正方形和菱形的性质是解题的关键；注意区别．8．（3分）（2004•四川）汽车由重庆驶往相距400千米的成都，如果汽车的平均速度是100千米/时，那么汽车距成都的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系用图象表示为（）A．B．C．D．【分析】先根据题意列出s、t之间的函数关系式，再根据函数图象的性质和实际生活意义进行选择即可．【解答】解：根据题意可知s=400﹣100t（0≤t≤4），∴与坐标轴的交点坐标为（0，400），（4，0）．要注意x、y的取值范围（0≤t≤4，0≤y≤400）．故选C．【点评】主要考查了一次函数的图象性质，首先确定此函数为一次函数，然后根据实际意义，函数图象为一条线段，再确定选项即可．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）（2017春•永定区期末）已知点P（3，2）在一次函数y=x+b 的图象上，则b= ﹣1 ．【分析】直接把点P（3，2）代入一次函数y=x+b即可．【解答】解：∵P（3，2）在一次函数y=x+b的图象上，∴3+b=2，解得b=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．10．（3分）（2016•乌鲁木齐）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 6 ．【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，则内角和是720度，720÷180+2=6，∴这个多边形是六边形．故答案为：6．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．11．（3分）（2017春•永定区期末）已知y与x成正比例，且当x=1时，y=2，则当x=4时，y= 8 ．【分析】首先根据y与x成正比例列出函数关系式，然后代入x、y的值即可求解．【解答】解：∵y与x成正比例，∴y=kx（k≠0）．∵当x=1时，y=2，∴k=2，∴y与x之间的函数解析式是y=2x，∴当x=4时，y=8．故答案为：8．【点评】本题考查的是利用待定系数法求一次函数的解析式，此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将一对未知数的值代入解析式，利用方程解决问题．12．（3分）（2017春•永定区期末）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是AC=BD ．（写一种即可）【分析】根据“HL”添加AC=BD或BC=AD均可．【解答】解：可添加AC=BD，∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C=∠D=90°，在Rt△ABC和Rt△BAD中，∵，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），故答案为：AC=BD．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键．13．（3分）（2017春•永定区期末）将点P （﹣3，4）先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得到点Q，则点Q的坐标是（﹣1，1）．【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．【解答】解：根据题意，知点Q的坐标是（﹣3+2，4﹣3），即（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）．【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．14．（3分）（2017春•永定区期末）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长是16 ．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解．【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴BC=2EF=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4BC=4×4=16．故答案为16．【点评】本题主要考查了菱形的四条边都相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出菱形的边长是解题的关键．15．（3分）（2017春•永定区期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过O的直线分别交AD、BC于点E、F，已知AD=4cm，图中阴影部分的面积总和为6cm2，对角线AC长为 5 cm．【分析】根据矩形的性质，采用勾股定理求解即可．【解答】解：∵图中阴影部分的面积总和为6cm2，AD=4cm，则AD ×CD=×4×CD=6，CD=3，在直角三角形ACD中AD=4，CD=3，由勾股定理得AC=5，∴对角线AC长为5cm．故答案为5．【点评】本题主要考查矩形的性质、勾股定理，是基础知识比较简单．16．（3分）（2013•聊城）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为（2n，1）（用n 表示）．【分析】根据图形分别求出n=1、2、3时对应的点A4n+1的坐标，然后根据变化规律写出即可．【解答】解：由图可知，n=1时，4×1+1=5，点A5（2，1），n=2时，4×2+1=9，点A9（4，1），n=3时，4×3+1=13，点A13（6，1），所以，点A4n+1（2n，1）．故答案为：（2n，1）．【点评】本题考查了点的坐标的变化规律，仔细观察图形，分别求出n=1、2、3时对应的点A4n+1的对应的坐标是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共计72分）17．（6分）（2014•湘潭）在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，（1）B点关于y轴的对称点坐标为（﹣3，2）；（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；（3）在（2）的条件下，A1的坐标为（﹣2，3）．【分析】（1）根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等解答；（2）根据网格结构找出点A、O、B向左平移后的对应点A1、O1、B1的位置，然后顺次连接即可；（3）根据平面直角坐标系写出坐标即可．【解答】解：（1）B点关于y轴的对称点坐标为（﹣3，2）；（2）△A1O1B1如图所示；（3）A1的坐标为（﹣2，3）．故答案为：（1）（﹣3，2）；（3）（﹣2，3）．【点评】本题考查了利用平移变换作图，关于y轴对称点的坐标，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．18．（8分）（2017春•永定区期末）已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E CF⊥AD于F，且BC=DC．求证：BE=DF．【分析】根据角平分线的性质就可以得出CE=CF，再由HL证明△CEB ≌△CFD就可以得出结论．【解答】证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E CF⊥AD于F，∴∠F=∠CEB=90°，CE=CF．在Rt△CEB和Rt△CFD中，∴△CEB≌△CFD（HL），∴BE=DF．【点评】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明△CEB≌△CFD是关键．19．（8分）（2017春•永定区期末）已知一次函数y=（2m+1）x+m ﹣3．（1）若这个函数的图象经过原点，求m的值；（2）若这个函数的图象经过一、三、四象限，求m的取值范围．【分析】（1）由一次函数图象经过原点，可得出m﹣3=0，解之即可得出结论；（2）由一次函数图象经过一、三、四象限，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵一次函数y=（2m+1）x+m﹣3的图象经过原点，∴m﹣3=0，解得：m=3．（2）∵一次函数y=（2m+1）x+m﹣3的图象经过一、三、四象限，∴，解得：﹣＜m＜3．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，找出m﹣3=0；（2）根据一次函数图象与系数的关系，找出关于m的一元一次不等式组．20．（8分）（2017春•永定区期末）已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积．【分析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：连接AC．∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2，∴AC==，在△ACD中，AC2+CD2=5+4=9=AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S四边形ABCD=AB•BC+AC•CD，=×1×2+××2，=1+．故四边形ABCD的面积为1+．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键．21．（10分）（2017春•永定区期末）为了进一步了解某校八年级学生的身体素质情况，体育老师对该校八年级（1）班50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，图表如下所示：组别次数x 频数（人数）第1组80≤x＜100 6第2组100≤x＜120 8第3组120≤x＜140 a第4组140≤x＜160 18第5组160≤x＜180 6请结合图表完成下列问题：（1）求表中a的值；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）若在一分钟内跳绳次数少于120次的为测试不合格，则该校八年级共1000人中，一分钟跳绳不合格的人数大约有多少？【分析】（1）本题需先根据表中所给的数据以及频数与频率之间的关系即可求出答案；（2）本题需根据频数分布表中的数据即可将直方图补充完整；（3）从表格中可以知道在一分钟内跳绳次数少于120次的有两个小组，共6+8=14人，然后除以总人数即可求出该校九年级（1）班学生进行一分钟跳绳不合格的概率，然后即可得出人数；【解答】解：（1）a=50﹣（6+8+18+6）=12；（2）频数分布直方图如图所示：（3）抽样调查中不合格的频率为：=0.28，估计该年级学生不合格的人数大约有1000×0.28=280（个）答：估计该年级学生不合格的人数大约有280个人．【点评】此题主要考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．（10分）（2017春•永定区期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC 与∠BAD的度数比为1：2，周长是32cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．【分析】（1）首先证明△ABC是等边三角形，解直角三角形OAB即可解决问题；（2）菱形的面积等于对角线乘积的一半；【解答】解：（1）菱形ABCD的周长为32cm，∴菱形的边长为32÷4=8cm∵∠ABC：∠BAD=1：2，∠ABC+∠BAD=180°（菱形的邻角互补），∴∠ABC=60°，∠BCD=120°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=8cm，∵菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，∴AO=CO，BO=DO且AC⊥BD，∴BO=4cm，∴BD=8cm；（2）菱形的面积=AC•BD=×8×8=32（cm2）．【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是证明△ABC是等边三角形，属于中考常考题型．23．（10分）（2017春•永定区期末）甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系．请根据图象，解答下列问题：（1）线段CD表示轿车在途中停留了0.5 h；（2）货车的平均速度是60 km/h；（3）求线段DE对应的函数解析式．【分析】（1）根据点C、D的横坐标，即可求出轿车在途中停留的时间；（2）根据速度=路程÷时间，即可求出货车的平均速度；（3）观察函数图象，找出点的坐标，利用待定系数法即可求出线段DE对应的函数解析式．【解答】解：（1）2.5﹣2=0.5（h）．故答案为：0.5．（2）300÷5=60（km/h）．故答案为：60．（3）设线段DE对应的函数解析式为y=kx+b（2.5≤x≤4.5），将点D（2.5，80）、点E（4.5，300）代入y=kx+b，，解得：．∴线段DE对应的函数解析式为y=110x﹣195（2.5≤x≤4.5）．【点评】本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）利用点D的横坐标﹣点C的横坐标，求出停留时间；（2）根据数量关系，列式计算；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出线段DE的函数解析式．24．（12分）（2017春•永定区期末）如图，在矩形ABCD中，AB=1cm，AD=3cm，点Q从A点出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D运动，点P从点C出发，以1cm/s的速度沿CB向终点B运动，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，两点同时出发，运动了t秒．（1）当0＜t＜3，判断四边形BQDP的形状，并说明理由；（2）求四边形BQDP的面积S与运动时间t的函数关系式；（3）求当t为何值时，四边形BQDP为菱形．【分析】（1）先判断出AD∥BC，AD=BC=3，再由运动知，AQ=PC=t，即可得出结论；（2）利用平行四边形的面积公式即可得出结论；（3）利用勾股定理表示出BQ，再由BQ=BP建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC=3，由运动知，AQ=t，PC=t，∴AQ=PC，∴AD﹣AQ=BC﹣PC，∴DQ=BP，∵AD∥BC，∴四边形BQDP为平行四边形，（2）由（1）知，四边形BQDP是平行四边形，∵PC=t，∴BP=BC﹣PC=3﹣t，∴S=BP×AB=（3﹣t）×1=﹣t+3（3）如图，在Rt△ABQ中，AQ=t，AB=1，根据勾股定理得，BQ==，由运动知，CP=t，∴BP=3﹣t，∵平行四边形BQDP是菱形，∴BQ=BP，∴=3﹣t，∴t=，当时，四边形BQDP为菱形．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解（1）的关键是得出AQ=PC，解（2）的关键是利用平行四边形的面积公式求解，解（3）的关键是表示出BQ，用BQ=BP建立方程求解，是一道中等难度的题目．厚薄读书法：复习课本要厚薄结合著名数学家华罗庚先生说:“书要能从薄读到厚,还要能从厚读到薄。
2.7 直角三角形全等判定(原卷版)
2.7 直角三角形全等判定考查题型一直角三角形全等判定定理1．老师在画∠AOB的平分线OP时，设计了①，②两种做法，这两种做法均可由△OMP≌△ONP得知，其全等的依据分别是（）①如图1，在边OA，OB上分别取OM＝ON，调整角尺，使角尺的顶点到点M，N的距离相等，此时，角尺的顶点为P，画出射线OP；②如图2，在边OA，OB上分别取OM＝ON，再分别过点M，N，作OA，OB的垂线，交点为P，画出射线OP．A．SSS；HL B．SAS；HL C．SSS；SAS D．SAS；SSS2．如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E，AF分别交BE，BC于点F，D，AE=BE，若依据“HL”说明△AEF≌△BEC，则下列所添条件合理的是（）A．EF=CE B．∠AFE=∠C C．BD⊥AD D．AF=BC3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是AB上的一点，且BE=BC，过E作DE⊥AB交AC于D，如果AC=5cm，则AD+DE等于（ ）A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm4．如图，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ=PQ，PR=PS，下面结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△ARP≌△ASP，正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③5．如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．(1)Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由．(2)若DE=2，求DC的长．6．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠DAB，CB⊥AB，CE⊥AD交AD的延长线于点E．(1)求证：△ACD是等腰三角形；(2)连接BE，与AC相交于点F，求证：AC垂直平分BE．7．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．8．如图，DE⊥AB交AB延长线于E，DF⊥AC于F，BD=CD，BE=CF．(1)求证：AD平分∠BAC；(2)直接写出AB+AC与AE之间的数量关系．9．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BCA=90°，点D在CA上，点E在BC的延长线上，且BD=AE．(1)求证：△BCD≌△ACE；(2)若∠BAE=80°，求∠DBA的度数．考查题型二角平分线性质定理10．如图，OC是∠MON内部一条射线，P为射线OC上一点，PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B．下面不能判定OP是∠MON的平分线的是（）A．∠MOC=∠NOC B．PA=PB C．OA=OB D．PB=OB11．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB,OC．若∠BOC=120°，则∠A的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．70°12．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，角平分线BE，CD相交于点P，若AP=4，AC=6，则S△APC=（）．A．4B．6C．12D．2413．两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为P，其中一把直尺边缘和射线OA重合，另一把直尺的下边缘与射线OB重合，连接OP并延长．若∠BOP=28°，则∠AOB的度数为（ ）A．62°B．56°C．52°D．46°14．如图，在△ABC中，点D在边BC的延长线上，∠ACB=106°，∠ABC的平分线BE与外角∠CAF的平分线AD 交于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H．(1)求∠AEB的度数．(2)若∠CEH=∠AEB，AB+BD=16，AC=6，且S△ACE=12，求△ABD的面积．15．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，过C点引射线CF交BA延长线于F点．过B点作BE⊥CF于E点、分别交AD、AC于点G，H．(1)求证：△ABH≌△ACF；(2)若AH=AG；①判断BE是否是△CBF的角平分线，并说明理由；②说明BH=2CE．A．1个B．A．120°19．如图，在△ABC21．在△ABC中，AD平分∠BAC(1)当∠A=30°时，直接写出线段AD与BD的大小关系：(2)若∠A为任意锐角，则线段AD与BD的大小关系是AD结论：直角三角形一条直角边的垂直平分线交斜边于一点，这点到三个顶点之间的距离(3)如图2，P是△FHG的边HG上的一个动点，PM⊥23．已知△ABC和△DBE，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°．(1)将△ABC和△DBE按如图1所示位置摆放，点E落在AB上，DE的延长线交AC于点F，连接FB，且FB平分∠CFE．①求证BC=BE；②猜想DE，EF与AF之间的数量关系是__________；(2)若将图1中的△DBE按如图2所示位置摆放，DE交AB于点P，DE的延长线交AC于点F，∠EBP<60°，连接FB，且FB平分∠CFE．试判断（1）中②猜想的结论还成立吗？并说明理由；(3)若将图1中的△DBE按如图3所示位置摆放，DE，DB分别交AC的延长线于点F，P，连接FB，且FB平分∠CFE．你认为（1）中②猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出AF，EF 与DE之间的数量关系．。
全等三角形知识点演练(5大核心考点,91题)讲练)2023年中考数学一轮大单元复习
专题4.3 全等三角形考点1：全等形和全等三角形性质例1．（1）（2022秋·江苏连云港·八年级校考阶段练习）下列图标中，不是由全等图形组合成的是（）A．B．C．D．（2）（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，△ABC≌△DEF，且∠A=55°，∠B=75°，则∠F=______°．（3）（2022秋·湖南岳阳·八年级校考期中）如图，△ABC≌△DEC，点B、C、D在同一直线上，且BD=12，AC=7，则CE长为____________．知识点训练1．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）与下图全等的图形是（）A．B．C．D．2．（2020秋·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）找出下列各组图中的全等图形（）A．②和⑥B．②和⑦C．③和④D．⑥和⑦3．（2022秋·福建龙岩·八年级统考期末）如图，△DBC≌△ECB，且BE与CD相交于点A，下列结论错误的是（）A．BE=CD B．AB=ACC．∠D=∠E D．BD=AE4．（2023秋·四川自贡·八年级统考期末）如图所示，△ABC≌△AEF，∠B=∠E，有以下结论：①AC=AE；②EF=BC；③∠EAB=∠FAC；④∠EFA=∠AFC．其中正确的个数是（）5．（河北省唐山市2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题）如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一条直线上，且CE=1，CD=3，则BD的长是（）A．1.5B．2C．3.5D．46．（2023秋·四川南充·八年级统考期末）如图，点A，E，C在同一直线上，△ABC≌△DEC，AE=3，CD=8，则BC的长为（）A．3B．5C．8D．117．（2023秋·天津·八年级统考期末）如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，DF与BC交于点G．若∠A=26°，∠CGF=83°，则∠E的度数是（）A．34°B．36°C．38°D．40°8．（2022秋·河南许昌·八年级统考期中）如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中AD=0.8，BC=1.6，则AF=（）9．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期中）下列说法正确的是（）A．形状相同的两个三角形全等B．三个角都分别相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等D．所有的等边三角形全等10．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）下列说法：①角是轴对称图形；②等腰三角形有三条对称轴；③关于某直线成轴对称的两个三角形全等；④两个全等三角形一定关于某条直线成轴对称．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则∠1−∠2−∠3的度数为（）．A．30°B．45°C．55°D．60°12．（2023·福建南平·统考一模）如图，在△ABC中，∠BAC=135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E．当点A、D、E在同一条直线上时，下列结论不正确．．．的是（）A．△ABC≌△DEC B．AE=AB+CDC．AD=√2AC D．AB⊥AE13．（2021秋·陕西商洛·八年级统考期末）在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，A(−4,0)，B(0,3)．若在该坐标平面内有一点P（不与点A、B、O重合）为一个顶点的直角三角形与Rt△ABO全等，且这个以点P 为顶点的直角三角形与Rt△ABO有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（）A．3个B．4个C．6个D．7个14．（2023秋·云南曲靖·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,0)，点B的坐标为(0,6)，点C在x轴上运动（不与点A重合），点D在y轴上运动（不与点B重合），当以点C、O、D为顶点的三角形与△AOB全等时，则点D的坐标为______．15．（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）如图，△AOD≌△BOC，∠A=30°，∠C=50°，∠AOC=150°，则∠COD=______°．16．（2023秋·四川南充·八年级统考期末）如图，△ABC绕点C旋转得到△DEC，点E在边AB上，若∠B=75°，则∠ACD的度数是_________．考点2：全等三角形的判定及应用例2．（1）（2023秋·山东威海·七年级统考期末）为了测量湖的宽度AB，小明同学先从A点走到点O处，再继续向前走相同的距离到达点C（即OC=OA），然后从点C沿与AB平行的方向，走到与点O，B共线的点D处，测量C，D间的距离就是湖的宽度．下列可以判断△OCD≌△OAB的是（）A．SSS B．SSA C．SAS D．ASA（2）（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，已知∠CAE=∠DAB，AC=AD，请你再添加一个条件：___________，使△ABC≌△AED．（3）（2023秋·江苏徐州·八年级统考期末）根据下列条件，能确定△ABC（存在且唯一）的是（）A．AB=2，BC=3，AC=6B．AC=4，BC=3，∠A=60°C．AB=5，BC=3，∠B=30°D．∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°（4）（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=65°，∠BAC=70°，AD⊥BC于点D，BM⊥AC于点M，AD与BM交于点P，则∠BPC=______．例3（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC于点O，P是OC的中点，D是BC延长线上一点，满足PB=PD．(1)求证∠1=∠2；(2)探究CD与AP之间的数量关系，并给出证明．例4．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）综合与实践【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图（1），△ABC中，AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图得到△ADC≌△EDB的理由是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL(2)求得AD的取值范围是___________．【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】(3)如图（2），AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．知识点训练1．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘,∠ABC=25∘，O为斜边中点，将线段OA绕点O逆时针旋转a(0∘<α<90∘)至OP，若CB=CP，则α的值为（）A．80∘B．65∘C．50∘D．40∘2．（2023秋·山东威海·七年级统考期末）如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，BE=2，CE=4，则AE=（）A．6B．5C．8D．73．（海南省海口市（部分校）2022-2023学年八年级上学期期末检测数学试题（A））如图，直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，等腰直角△ABC的三个顶点A、B、C分别在直线l2、l1、l3上，∠ACB=90°，则△ABC的面积为（）D．25A．10B．12C．2524．（2022秋·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则∠2+∠3的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°5．（2022秋·安徽黄山·八年级统考期末）如图，已知等边△ABC和等边△BPE，点P在BC的延长线上，EC的延长线交AP于点M，连接BM，有下列结论：①AP=CE；②∠PME=60°；③MB平分∠AME；④AM+MC=BM，其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④6．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，点E，F在线段AC上，AE=CF，AD⊥DF，CB⊥BE，要根据“HL”证明Rt△ADF≌Rt△CBE，则还需添加的一个条件是（）A．AF=CE B．∠A=∠C C．AD=CB D．AD∥BC7．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点O为△ABC的内心，∠B=60°，BM≠BN，点M，N分别为AB，BC上的点，且OM=ON．甲、乙、丙三人有如下判断：甲：∠MON=120°；乙：四边形OMBN的面积为定值；丙：当MN⊥BC时，△MON的周长有最小值．则下列说法正确的是（）A．只有甲正确B．只有乙错误C．乙、丙都正确D．只有丙错误8．（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，AB与CD相交于点O，且OA=OB，添加下列选项中的一个条件，不能判定△AOC和△BOD全等的是（）A．OC=ODB．∠A=∠BC．AC=BDD．AC∥BD9．（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，射线OC为∠AOB的平分线，点M，N分别是边OA，OB上的两个定点，且OM<ON，点P在OC上，满足PM=PN的点P的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．无数个10．（2023秋·河南新乡·八年级统考期末）在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，∠A=∠D，下列条件：①AC= DF；②∠B=∠E；③∠C=∠F；④BC=EF．其中一定能判定△ABC≌△DEF的个数为（）A．1B．2C．3D．411．（2022秋·四川广安·八年级统考期末）如图，AB=DC，若要用“SSS”证明△ABC≌△DCB，需要补充一个条件，这个条件是__________．12．（2022秋·福建莆田·八年级统考期末）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对△ABC及△A′B′C′的对应边或对应角添加一组等量条件（点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定△ABC与△A′B′C′全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．1甲AB=A′B′=2cm2乙∠A=∠A′=35°3甲…上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是___________．（填写所有正确结论的序号）①若第3轮甲添加∠C=∠C′=45°，则甲获胜；②若第3轮甲添加BC=B′C′=3cm，则甲必胜；③若第2轮乙添加条件修改为∠A=∠A′=90°，则乙必胜；④若第2轮乙添加条件修改为BC=B′C′=3cm，则此游戏最多4轮必分胜负．13．（2023秋·山东淄博·七年级统考期末）如图，点C，E，B，F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BF=CE．说明AC∥DF．14．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）如图AB=AD,CB=CD,AC,BD相交于点E．(1)求证△ABC≅△ADC；(2)求证BE=DE．15．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，CA的延长线上，且CD=AE．求证：∠D=∠E．16．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，已知点O在等边△ABC的内部，∠AOB=105°，∠BOC=α，以OC为边作等边△COD，连接AD．(1)求证：AD=BO；(2)当α=150∘时，试判断△AOD的形状，并说明理由；17．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，连接BD，AB∥CD，且AB=CD．(1)求证：△ABD≅△CDB；(2)若AB=BD，∠ABD=48°，求∠C的度数．18．（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，P为CD边上的一点，BC∥AD．AP、BP 分别是∠BAD、∠ABC的角平分线．(1)若∠BAD=70°，则∠ABP的度数为_______，∠APB的度数为____________；(2)求证：AB=BC+AD；(3)设BP=3a，AP=4a，过点P作一条直线，分别与AD，BC所在直线交于点E、F，若AB=EF，直接写出AE的长（用含a的代数式表示）考点3：角平分线性质定理和逆定理例5.（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BD=CD,BE=CF．(1)求证：AD 平分∠BAC ；(2)请猜想AB +AC 与AE 之间的数量关系，并给予证明．例6.（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）如图，在△ABC 中，E 是BC 中垂线上一点，EM ⊥AB 于M ，EN ⊥AC 于N ，BM =CN ．求证：AE 平分∠BAC ．知识点训练1．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点B 的坐标为(6,0)，OC 平分∠AOB 交AB 于点C ，反比例函数y =k x (x >0)的图象经过点A ，C ．若S △AOC :S △BOC =2:3，则k 的值为（ ）A ．5√716B ．45√716C ．454D ．916 2．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60°，以顶点B 为圆心、适当长为半径作弧，在边BC 、BA 上截取BE 、BD ；然后分别以点D 、E 为圆心、以大于DE 的长为半径作弧，两弧在∠CBA 内交于点F ；作射线BF 交AC 于点G ．若AC =6，P 为边AB 上一动点，则GP 的最小值为（ ）A．3B．2C．1D．无法确定3．（2023秋·山东淄博·七年级统考期末）如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线MD交AC于点D，AB于点M，以下结论：①△BCD是等腰三角形；②BD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C△BCD=AC+ BC；④△ADM≌△BCD．正确的有（）A．①③B．①②C．①②③D．③④4．（2023秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，BD，CE交于点F，连接AF，下列结论：①BD=CE；②∠AEF=∠ADF；③BD⊥CE；④AF 平分∠CAD；⑤∠AFE=45°，其中结论正确的序号是（）A．①②③④B．①②④⑤C．①③④⑤D．①②③⑤5．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．B．角平分线上的点到角两边的距离相等．C．三角形三个内角的平分线交于同一个点．D．三角形三个内角的平分线的交点到三条边的距离相等．6．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，角平分线BE，CD相交于点P，若AP=4，AC=6，则S△APC=（）．A．4B．6C．12D．247．（2023秋·江苏泰州·八年级统考期末）已知，如图，△ABC中，∠ABC=48°，∠ACB=84°，点D、E分别在BA、BC延长线上，BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，连接AP，则∠PAC的度数为（）A．45°B．48°C．60°D．66°8．（2023秋·河北沧州·八年级统考期末）如图，在△AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD,OA<OC,∠AOB=∠COD=108∘，连接AC，BD交于点M，连接OM．甲、乙、丙三人的说法如下，下列判断正确的是（）甲：AC=BD；乙：∠CMD>∠COD；丙：MO平分∠BMCA．乙错，丙对B．甲和乙都对C．甲对，丙错D．甲错，丙对9．（2023秋·重庆大足·八年级统考期末）如图，△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB:S△OBC:S△OAC的值为（）A．4:3:2B．5:3:2C．2:3:4D．3:4:510．（2022秋·甘肃庆阳·八年级统考期中）庆阳市是传统的中药材生产区，优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕育了丰富的中药植物资源和优良品种，素有“天然药库”“中药之乡”的美称．如图，三条公路把A、B、C三个盛产中药材的村庄连成一个三角形区域，此地区决定在这个三角形区域内修建一个中药材批发市场，要使批发市场到三条公路的距离相等，则这个批发市场应建在（）A．三角形的三条中线的交点处B．三角形的三条角平分线的交点处C．三角形的三条高的交点处D．以上位置都不对11．（2022秋·海南海口·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，BC=12，AD=4，则△DBC的面积为__________．12．（2023·湖南衡阳·校考一模）如图所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC=30°），OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM=ON，则∠ABO=_______度．13．（2023秋·湖北省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，△ABC与△BDE都为等边三角形，连接AE与CD，延长AE交CD于点F，连接FB．给出下面四个结论：①AE=CD；②∠AFC=60°；③BF平分∠EBD；④FB 平分∠EFD.其中所有正确结论的序号是__________．14．（2023春·浙江金华·八年级浙江省义乌市后宅中学校考阶段练习）已知：OP平分∠MON，点A，B分别在边OM，ON上，且∠OAP+∠OBP=180°．(1)如图1，当∠OAP=90°时，求证：OA=OB；(2)如图2，当∠OAP<90°时，作PC⊥OM于点C．求证：①PA=PB；②请直接写出OA，OB，AC之间的数量关系．15．（2022春·广东茂名·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，CM平分∠ACB交AB 于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，若AN=1，求BC的长．考点4：线段垂直平分线性质定理和逆定理例7. (1)（2023秋·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校考期末）如图，△ABC中，AB<AC<BC，如果要使用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PB=BC，那么符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．(2)（2023秋·云南曲靖·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=110°，EF是边AB的垂直平分线，垂足为E，交BC于F．MN是边AC的垂直平分线，垂足为M，交BC于N．连接AF、AN则∠FAN的度数是（）A．70B．55C．40D．30(3)（2022秋·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）电信部门要再S区修建一座手机信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路OC，OD的距离也必须相等，则发射塔应建在（）A．∠COD的平分线上任意某点处B．线段AB的垂直平分线上任意某点处C．∠COD的平分线和线段AB的交点处D．∠COD的平分线和线段AB垂直平分线的交点处例8.（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD⊥BC于点D，且D为CE的中点．(1)求证：BE=AC；(2)若∠C=70°，求∠BAC的度数．知识点训练1．（2022秋·海南海口·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，若AB=6，AC=8，则△ABD 的周长等于（）A．11B．13C．14D．162．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是24，E为腰AB的垂直平分线MN上一动点．点D为BC的中点，则△BDE的周长的最小值为（）A．6B．8C．10D．113．（2023秋·福建泉州·八年级校联考期末）如图，根据尺规作图的痕迹，计算∠α的度数为（）A．56∘B．68∘C．28∘D．34∘4．（2023秋·山东东营·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADCAB，连接OE．下列结论：①S▱ABCD=AD⋅BC；②DB平分∠CDE；③AO=交AB于点E，∠BCD=60°，AD=12DE；④OE垂直平分BD．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；（2）连接AD，BD，CD，AD与BC交于点E，则下列结论中错误的是（）A．△ABD≌△ACD B．△DBE≌△DCEC．△BCD是等边三角形D．BC垂直平分AD6．（2023秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=75°，DE垂直平分AB，交AB于点D，交BC于点E，若BE=8cm，则AC为______cm．7．（2023秋·重庆万州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，若AD是∠BAC的角平分线，且AB=AD时，则∠B=___________°．8．（2023秋·山东淄博·七年级统考期末）如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，垂足为点F．E是AB上的一点，∠CEF=30°，CF=2．试求△CED的周长．9．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=BC，EF是AB的垂直平分线，交AB于点E，交BC于点F．(1)按要求作图：作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，交EF于点O，连接OA，OC（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；(2)求证：点O在BC的垂直平分线上；(3)若∠CBD=20°，求∠COF的度数．10．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，∠AOB=30°，M，N分别是射线OA,OB上的动点，OP平分∠AOB，OP=9，则△PMN的周长的最小值为（）C．6D．27A．9B．9211．（2022秋·山东临沂·八年级校考期末）.如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（保留作图痕迹）12．（2023·全国·九年级专题练习）如图，∠HAB=30°，点B与点C关于射线AH对称，连接AC．D点为射线AH 上任意一点，连接CD．将线段CD绕点C顺时针旋转60°，得到线段CE，连接BE．(1)求证：直线EB是线段AC的垂直平分线；(2)点D是射线AH上一动点，请你直接写出∠ADC与∠ECA之间的数量关系．13．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）综合与实践问题情境：课堂上老师展示了一张直角三角形纸片．请同学们进行折纸活动，已知在Rt△ABC中．∠ACB=90°，点D、F分别是BC、AB上的一点．连接DF．(1)如图1．小红将△BDF 沿直线DF 折叠，点B 恰好落在BC 上点E 处，若S △BDF S 四边形ACEF=17，则DEDC的值______．(2)如图2，小明将△BDF 沿直线DF 折叠，点B 落在AC 上点E 处，若FE ⊥AC ，求证：四边形BDEF 是菱形； (3)如图3．小亮将△BDF 沿直线DF 折叠，点B 落在AC 延长线上点E 处，且EF 平分∠AED ，若AC =3，BC =4，求CE 的长．14．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）（1）如图1，在△ABC 中，∠A =30°，∠C =90°．求证BC =12AB ．①补全证明过程．证明：如图2，取AB 中点D ，连接CD ． ∴BD =AD =12AB ．在△ABC 中，∠C =90°， ∴______； ∴CD =BD ． 又∠A =30°，∴∠B =90°−∠A =60°． ∴△BCD 为______三角形． ∴BC =BD =12AB ．②请用文字概括①所证明的命题：____________．（2）如图3，某市三个城镇中心D，E，F恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇D为出发点设计了三种连接方案：方案1：DE+EF；方案2：DG+EF（G为EF的中点）；方案3：OD+OE+OF（O为△DEF三边的垂直平分线的交点）．①设DE=6，通过计算，比较三种连接方案中铺设的光缆长度的长短；②不计算，比较三种连接方案中铺设的光缆长度的长短，并说明理由．15．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图1，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连接PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．解答下列问题：(1)请你结合图形把已知和求证补充完整，并写出证明过程．已知：如图1，MN⊥AB，垂足为点C，______，点P是直线MN上的任意一点．求证：______．(2)证明：如图2，CD是线段AB垂直平分线，则∠CAD与∠CBD有何关系？请说明理由．考点5：全等三角形的综合问题例9.（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，AD=AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G．(1)求证：DF∥BC；(2)若AE=6，CE=8，求线段GF的长．例10.（2022秋·湖北黄冈·八年级统考期末）已知OM是∠AOB的平分线，点P是射线OM上一定点，点C、D分别在射线OA、OB上，连接PC、PD．(1)如图①，当PC⊥OA，PD⊥OB时，则PC与PD的数量关系是___________；(2)如图②，点C、D在射线OA、OB上滑动，且∠AOB=90∘，当PC⊥PD时，PC与PD在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由．(3)在问题（2）中，若OC+OD=6，则四边形ODPC的面积S是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．知识点训练1．（2022秋·河南商丘·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D,E分别为边AC,BC上一点，连接BD,DE．已知AB=BE,AD=DE．(1)求证：BD平分∠ABC；(2)若∠A=55°，求证：∠CDE=14∠ADB．2．（2023秋·湖北荆州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，BC=2AB，D是AC上一点，∠ABD=20°，E 是BD上一点，EA⊥AB，EB=EC．(1)求证：BD平分∠ABC；(2)求∠DEC的度数．3．（2023秋·重庆长寿·九年级统考期末）在图（1）至图（2）中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1=∠2=45°．(1)如图（1），若AO=OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；(2)将图（1）中的MN绕点O顺时针旋转得到图（2），其中AO=OB．求证：AC=BD，AC⊥BD．4．（2023秋·重庆万州·八年级统考期末）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得CE=15cm,AD=2cm．(1)试说明OE=BD；(2)求DE的长．5．（2022秋·海南海口·八年级校联考期末）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D，∠MDN=90°，将∠MDN绕点D顺时针旋转，它的两边分别交AB、AC于点E、F．(1)求证：△BDE≌△ADF；(2)如图2，若DM=DN，连接BM、NA，求证：BM=AN．6．（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，已知AC平分∠BAF，CE⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，且BC= DC．(1)求证：BE=DF；(2)若AB=21，AD=9，求DF的长．7．（2023秋·广西南宁·九年级统考期末）如图，将矩形ABCD绕点B旋转得到矩形BEFG，点E在AD上，延长DA交GF于点H.(1)求证：△ABE≅△FEH；(2)连接BH，若∠EBC=30°，求∠ABH的度数．8．（2023秋·山东威海·七年级统考期末）在四边形ABDE中，点C是BD边的中点．(1)如图①，AC平分∠BAE，∠ACE=90°，写出线段AE，AB，DE间的数量关系及理由；(2)如图②，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE=120°，写出线段AB，BD，DE，AE间的数量关系及理由．9．（2022秋·广西柳州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A(a,0)，B(0,b)，且a，b满足(a−3)2+|b−3|=0，连接AB．(1)求点A，B点的坐标；(2)如图1，动点C从点O出发，以1个单位/秒的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t秒(0<t<3)，连接AC，过点C作CD⊥AC，且CD=CA，点D在第一象限，请用含有t的式子表示点D的坐标；(3)在（2）的条件下，如图2，连接并延长DB交x轴于点E，连接AD和AB，过点B作线段BF交x轴于点F，使得∠OBF=∠DCB，已知此时点F的坐标为(−1,0)，求△ADE的面积．10．（2023秋·福建福州·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，点A(0,a)，B(b,0)，C(c,0)，点D在第四象限，其中a>0，b<0，c>0，∠BAC+∠BDC=180°，AC⊥CD．(1)如图1，求证：∠BAO=∠CBD；(2)若|a−c|+b2+6b+9=0，且AB=BD．①如图1，求四边形ACDB的面积；（用含a的式子表示）②如图2，BD交y轴于点E，连接AD，当E关于AD的对称点K落在x轴上时，求CK的长．。
全等三角形判定基础练习(有答案)
全等三角形判定基础练习（有答案）一．选择题（共3小题）1．如图，已知AD=AE，添加下列条件仍无法证明△ABE≌△ACD的是（）A．AB=AC B．∠ADC=∠AEB C．∠B=∠C D．BE=CD2．判定两个三角形全等，给出如下四组条件：①两边和一角对应相等；②两角和一边对应相等；③两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等；④三个角对应相等；其中能判定这两个三角形全等的条件是（）A．①和②B．①和④C．②和③D．③和④3．如图，下列各组条件中，不能得到△ABC≌△BAD的是（）A．BC=AD，∠ABC=∠BAD B．BC=AD，AC=BDC．AC=BD，∠CAB=∠DBA D．BC=AD，∠CAB=∠DBA二．解答题（共6小题）4．如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．5．如图所示，有两个直角三角形△ABC和△QPA按如图位置摆放C，P，A在同一条直线上，并且BC=PA．当QP与AB垂直时，△ABC能和△QPA全等吗，请说明理由．6．如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，CF、BE相交于点D，且BD=CD．求证：AD平分∠BAC．7．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E．求证：△ABC≌△BDE．8．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且BD=CE．求证：△ABE≌△ACD．9．如图，已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ABE≌△ACD．全等三角形判定（孙雨欣）初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．如图，已知AD=AE，添加下列条件仍无法证明△ABE≌△ACD的是（）A．AB=AC B．∠ADC=∠AEB C．∠B=∠C D．BE=CD【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，看看条件是否符合判定定理即可．【解答】解：A、∵在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），正确，故本选项错误；B、∵在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），正确，故本选项错误；C、∵在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS），正确，故本选项错误；D、根据AE=AD，BE=CD和∠A=∠A不能推出△ABE和△ACD全等，错误，故本选项正确；故选D．【点评】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．2．判定两个三角形全等，给出如下四组条件：①两边和一角对应相等；②两角和一边对应相等；③两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等；④三个角对应相等；其中能判定这两个三角形全等的条件是（）A．①和②B．①和④C．②和③D．③和④【分析】认真分析各选项提供的已知条件，结合全等三角形判定方法对选项提供的已知条件逐一判断．【解答】解：①两边和一角对应相等不正确，应该是两边的夹角，故本选项错误，②两角和一边对应相等，符合AAS，故本选项正确，③两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等，符合SAS，故本选项正确，④三个角对应相等，可以相似不全等，故本选项错误，故选C．【点评】本题主要考查了对全等三角形的判定方法的理解及运用．常用的判定方法有AAS，SSS，SAS 等，难度适中．3．如图，下列各组条件中，不能得到△ABC≌△BAD的是（）A．BC=AD，∠ABC=∠BAD B．BC=AD，AC=BDC．AC=BD，∠CAB=∠DBA D．BC=AD，∠CAB=∠DBA【分析】根据图形可得公共边AB=AB，再加上选项所给条件，利用判定定理SSS、SAS、ASA、AAS分别进行分析即可．【解答】解：根据图形可得公共边：AB=AB，A、BC=AD，∠ABC=∠BAD可利用SAS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；B、BC=AD，AC=BD可利用SSS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；C、AC=BD，∠CAB=∠DBA可利用SAS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；D、BC=AD，∠CAB=∠DBA不能证明△ABC≌△BAD，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．二．解答题（共7小题）4．如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．【分析】利用∠1=∠2，即可得出∠ABE=∠CBF，再利用全等三角形的判定SAS得出即可．【解答】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠FBE=∠2+∠FBE，即∠ABE=∠CBF，在△ABE与△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．5．如图所示，有两个直角三角形△ABC和△QPA按如图位置摆放C，P，A在同一条直线上，并且BC=PA．当QP与AB垂直时，△ABC能和△QPA全等吗，请说明理由．【分析】首先根据∠QAP=90°，AB⊥PQ可证出∠PQA=∠BAC，在加上条件BC=AP，∠C=∠QAP=90°，可利用AAS定理证明△ABC和△QPA全等．【解答】△ABC能和△QPA全等；证明：∵∠QAP=90°，∴∠PQA+∠QPA=90°，∵QP⊥AB，∴∠BAC+∠APQ=90°，∴∠PQA=∠BAC，在△ABC和△QPA中，，∴△ABC≌△QPA（AAS）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．6．如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，CF、BE相交于点D，且BD=CD．求证：AD平分∠BAC．【分析】要证AD平分∠BAC，只需证DF=DE．可通过证△BDF≌△CDE（AAS）来实现．根据已知条件，利用AAS可直接证明△BDF≌△CDE，从而可得出AD平分∠BAC．【解答】证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°．在△BDF与△CDE中，，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（AAS）．∴DF=DE，∴AD是∠BAC的平分线．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．发现并利用△BDF≌△CDE是正确解答本题的关键．7．如图AB，CD相交于点O，AD=CB，AB⊥DA，CD⊥CB，求证：△ABD≌△CDB．【分析】首先根据AB⊥DA，CD⊥CB，可得∠A=∠C=90°，再利用HL定理证明Rt△ABD≌Rt△CBD即可．【解答】证明：∵AB⊥DA，CD⊥CB，∴∠A=∠C=90°，在Rt△ABD和Rt△CBD中，∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且BD=CE．求证：△ABE≌△ACD．【分析】由AB=AC可得∠B=∠C，然后根据BD=CE可证BE=CD，根据SAS即可判定三角形的全等．【解答】证明∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵BD=EC，∴BE=CD，在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9．如图，已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ABE≌△ACD．【分析】根据全等三角形的判定定理ASA推出即可．【解答】证明：∵在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（ASA）．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．10．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E．求证：△ABC≌△BDE．【分析】利用已知得出∠A=∠DBE，进而利用ASA得出△ABC≌△BDE即可．【解答】证明：在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠DBE=90°，∵BE⊥AC，∴∠ABE+∠A=90°，∴∠A=∠DBE，∵DE是BD的垂线，∴∠D=90°，在△ABC和△BDE中，∵，∴△ABC≌△BDE（ASA）．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，三角形内角和定理的应用，正确发现图形中等量关系∠A=∠DBE是解题关键．。
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1
A
B
D
F
C
E
（第3题）
第6课时 三角形全等的条件（5）
一、选择题
1．使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等 D。一
直角边和斜边对应相等
二、填空题
2．如图，BE和CF是△ABC的高，它们相交于点O，且BE=CD，则图中有 对
全等三角形，其中能根据“HL”来判定三角形全等的有 对．
3．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑
梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC＋∠DFE＝___________度．
三、解答题
4．已知：如图，AC=DF，BF=CE，AB⊥BF，DE⊥BE，垂足分别为B，E．
求证：AB=DE
5．已知：点 A、C、B、D在同一条直线，AC=BD，∠M=∠N=90°，AM=CN
求证： MB∥ND
6．如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，
BE
交AD于点F，且有BF=AC，FD=CD．求证：BE⊥AC．
1、如右图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC
2．如图，△ABC中，D是BC边的中点, AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥
AC于F.求证：（1）DE= DF；（2）∠B =∠C．
3、如右图，AB＝AD ，∠BAD＝∠CAE，AC=AE ，求证：AB=AD
4、已知：如图，AB＝CD，AB∥DC．求证：，AD∥BC， AD＝BC
5、如图，在△ABC中，AB⊥AC，且AB＝AC，
点E在AC上，点D在BA的延长线上，AD＝AE．求证：
（1）△ADC≌△AEB；（2）BE=CD．
FEDCBA
A
B
C
E
D
（第2题）
O
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
A
B C D
A
B
C
D
E
F
（第5题）