阅读3.1 《数学阅读与欣赏》

第三章数学集锦阅读与欣赏
3.1名家谈数学学习
3.1.1从成语谈如何学习
1. 得意忘形：
成语“得意忘形”有两个意思，其一指因高兴而物我两忘，形容人高兴得忘乎所以，失去常态．其二指取其精神而遗忘其形式．
得意忘形实为人之本性．小孩子最容易得意忘形了．为一点芝麻大小的事情高兴起来就把大人的要求全部抛到脑后了．至于自己是谁，本来就不太清楚，忘就忘了吧．渐渐大了起来，越发知道自己是谁，反到不易得意忘形了．
换一种意思理解得意忘形，它也是人的本性之一．无论一个什么样的人，他所接触到的事物总会在他的脑子里留下点什么．当他回忆起某件事情时，首先想起的东西就是从该事物得到的启示．人们常问：你印象最深的是什么？这个最深的印象就是他得意的东西．一般的说来，人们总会忘掉一些细节，或者根本就不注意某些细节．最能说明问题的是，没有人对自己的童年、少年的事情记得很多，可是谁会否认这段时期对一个人一生的影响呢？
从这种意义上讲，一个人的得意是否得到了事物的本质那是另外一回事．这种得意与他的知识结构、思维方式、看问题的态度以及当时的心态等等都有关系．
我在香港访问期间，有一次和几个香港朋友一起聊天．谈话期间一位朋友突然问我：“你读过佛经吗？”我不是佛教徒当然也不是信佛．游山玩水时也曾去过一些寺庙．但从来也没有读过佛经．于是我反问他：“你为什么认为我读过佛经?”“你的话里有些佛教思想．”也许这点佛教思想是无意中得意的吧．
取其精神而遗忘其形式的“得意忘形”就是抽象．而抽象与得意忘形相比，还是得意忘形有趣得多，看看下面两句话．
数学是抽象的学问，数学是得意忘形之作．第一句使人感到数学难学，而第二句令人感到数学有趣．作为大学里的数学老师，我必须说明，数学并非仅是抽象的学问，抽象也并非数学的专利．
抽象能力是一个人的素质的组成部分．学习数学、语文和其他学科的知识都可以培养这一能力也需要这一能力，尤其是数学．
提起得意忘形，我就会想到背书．背书在一个人的学习中占了很大的比例．尤其为了在考试中取得更好的分数更离不开背．背是记忆知识的没有办法的办法．人的记忆是非常奇怪的，有些东西似乎并不留意就记住了，有些常见到也就熟了．我对记忆没有研究，只有一些感性认识．
我在学校里读了二十年书，回想起来，除了英文以外就没有背过什么，包括语文和政治，因为我不喜欢背书．其实我的记忆力还是很好的，一天背二、三百个英文单词不成问题．但是，与所用功夫相比，英文学得最差劲．
2. 一张一驰：
张：拉紧弓弦．弛：放松弓弦．成语“一张一驰”原指治理国家要宽严互相补充，交替使用．现多用以比喻生活和工作要劳逸结合．
学习是紧张的，尤其是初三、高三的学生．注意休息是必要的，听说有的高三学生一天只睡六个小时，甚至更少，几乎到了头悬梁锥刺骨的地步，更不要说放松放松自己了．偶尔为之倒也无妨，可是常年累月就会令人怀疑这样做的效果了．我多年读书的体会是用脑越多保证睡眠时间越重要．
记得上大学的时候，辅导老师曾要我给新入学的大学生谈谈学习的经验．我开玩笑地说，
我可以去讲，我会要他们做三好学生的．不过，我的三好是吃好、睡好、玩好，这样就会学习好了．辅导老师一听马上说，得了，你别去了．害得我直到当上老师才有机会炫耀我的经验之谈．其实，我是认为我们的新同学会将学习放在第一位的，再加上我的三好，一张一驰，挺好的．
一张一驰不仅只用于学习和休息，作为老师，给学生的学习内容也应该是一张一驰．有些内容是死的，别无选择，有些内容则是活的，允许学生自由发挥．
在大学读书时，我曾经听过我国著名数学家的数学方法论的系列讲座．印象最深刻的两个词是“发散”和“收敛”．这两个词在大学的数学里是最重要的基本概念．但是在讲座中这两词指的却是学习数学、进行数学研究的思维方式．
所谓“发散”就是驰，是指在数学学习研究中，人的思维可以是不严密的，不受任何限制．能想到什么地方就让思维走到哪，不必顾及逻辑的严谨，这样的思维方式有利于发现新
的、有创造性的东西．大数学家高斯曾说过：“没有大胆的猜测就不可能有伟大的发现．”
所谓“收敛”就是张，是指思维要严格遵守逻辑，也就是进行数学逻辑思维．思考的内容每一步都要严格，不能越雷池一步．
“发散”就是猜想、联想，就是异想天开．“收敛”就是验证，就是逻辑推理．“发散”思维和“收敛”思维是进行数学思维的两条腿，左膀右臂．学好数学需要这两种能力及综合二者的能力．
数学的学习和研究需要一张一驰，举一反三，其他学科也需如此．我国生物学家童第周
说过：“思想要奔放，工作要严密．”奔放就是驰，严密就是张．爱因斯坦说过：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的．而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识的源泉．”另一方面，歌德曾有这样的话：“有想象力而没有鉴别能力是世界上最可怕的事．”
有想象力是驰，有鉴别力是张．
再譬如写作文，首先，确定作文要表达的意思，也就是中心思想．此时先“发散”,想想可以有多少个意思，然后“收敛”到一个或多个意思．其次，选素材，与所要表达的意思相关的材料尽可能罗列出来，然后进行筛选，留下必要的，也是一张一驰．最后，将需要的素材有机地结合起来，完成作文．这一步应该算“收敛”．当然，具体的表达语言也可一张一驰．
有选择地读书是张，乱读书是驰．求甚解读书是张，不求甚解读书是驰．得意忘形是张，得意忘形也是驰．
3. 求同存异：
成语“求同存异”中的“求”是寻求的意思，“存”字是保存、保留的意思．该成语的意思是寻求共同之处，保留不同意见．讲的是不因个别分岐而影响主要方面的求得一致．有时“求同存异”也说成“求大同，存小异”．
现在将“求同存异”的意思理解成这样：寻求共同之处，保存有差别的地方，不在强调大同小异．则“求同存异”是一种学习和思维方法．
学生在学校的学习是循序渐进的，新的东西总是建立在学过的旧东西的基础上的．新旧内容总要有一些共同的东西，新，体现在与旧的差异上，其中数学内容最为明显．理解了旧内容，又知道了与新内容的差异，也就学会了新内容．例如：
分数的加、减、乘、除运算与整数的加、减、乘、除运算的差异就在分数的概念上．有理式的加、减、乘、除运算与整式的加、减、乘、除运算的差异就在有理式的概念上．
实数的加、减、乘、除运算与有理数的加、减、乘、除运算的差异就在负数和无限不循环小数的概念上．
整式的加、减、乘、除运算与整数的加、减、乘、除运算的差异就在整式的概念上．因而学习新知识的过程应该是求同存异的过程．求同存异就是找到相同和不同的东西，相同的东西已经知道了，再记住不同的东西就可以了．很多所谓新的东西不过就是有那么一点新的地方．
记一条路时，只要知道起止点、路上的一些特殊的地方，如转弯处、特殊标志等，就可以了．类似地，学习新知识时，自己不知道、不易理解或觉得困难的地方就是“异”，而知道或易于理解的地方就是“同”，知道了原来不知道的内容或克服了难点就是存了的“异”．读懂了一本书后回头总结理出眉目时，那些属于纲目的东西就是异，由纲目展开的内容就是同．做事情的时候，别无选择的地方就是“同”，可以选择的地方就是“异”．求同存异是发现、提出和解决问题的一种思维方法．当人们把某些事物联系在一起时，对它们进行求同存异，就会加深对这些事物的理解，就有可能发现新的问题．求同就是寻求某些事物的共同特征．共同特征可以是表面上，但是最重要的是内在的共同特征．求同的一个基本方法就是归纳方法．归纳方法又称实验归纳法．它是通过对个别的一些经验事实和感性材料进行概括和总结，从而获得普遍的结论的一种思维方法．数学中的许多猜想就是通过归纳的方法提出的．在中小学的数学教学内容和习题中，也有一些寻找规律的东西．求同的另一个方法是类比．类比就是把某个事物较熟悉的性质转移到和它相似的事物上去，从而作出相应的判断和推理，导致发现新的东西．
发现某事物的独特的东西就是存异，在某些具有一定相同性质的事物中发现它们之间的差别也是存异．发现某事物与其它事物有根本不同的性质的重要意义不但不小于发现共同特征，而且往往意义更大．在文学艺术创作中，文学家和艺术家的存异往往是在人们司空见惯的地方挖掘出闪光的东西，发现美好的东西．
求同存异由求同和存异两方面构成．求同的同时不能忽略存异，存异的同时不能忘记求同．无论是从求同角度出发寻找某些事物的规律，还是从存异的角度出发寻找某些事物的差别，最终得到的可能是大同小异，也可能是小同大异．
对于世界上的事物，从某个角度或某个层次观察时可能会是大同，而换一个角度或层次去看时却是大异，反之亦然．例如，对于今天和明天的太阳，人们不会觉得有什么不同，然而有人却说，每天的太阳都是新的．对于河流也有类似的说法，昨天的河流已不复存在了．再比如人吧，作为人的共同特征不必多说，而世界上的人的指纹却没有相同的，所以，认知世界时既要求同也要存异．
在进行创造性的工作时，人们追求的是标新立异．而标新立异的前提是求同存异．此时的求同存异是总结别人的出发点、得到的结果、处理的方法和工具等方面的相同和不同之处．在此基础上提出自己的与众不同的东西．
（选自《数学报》2001年第1、2、3期，北京大学数学系王鸣有删节）
3.1.2完成作业的策略
1. 高质量的听课：
虽然说，听课和做作业是两项不同的工作，但它们之间是有必然的联系的．听课过程中获取的知识和了解的方法，是完成作业的知识和技能的基础．如果没有这个基础，实际的解题过程无疑是要发生困难的．一旦学生在解题过程中发生困难，作业便会成为他们沉重的心理负担．因此，要解决好这个问题，还需要在课堂中去做文章，只有善于听好课，那么做起作业来才会轻而易举．
2. 在做作业之前，认真做好复习：。