广义勾股定理和勾股型不等式
勾股定理十种证明
勾股定理十种证明欧几里德是古典数学的代表人物，他提出的勾股定理被认为是数学史上最重要的定理之一。
勾股定理，即给定直角三角形的两条直角边a，b，其斜边的平方等于两边的平方和，即：a2+b2=c2。
今天，我们将为读者介绍十种证明勾股定理的方法。
第一种是利用重心法证明。
当定义等腰三角形ABC时，在线段AB上定义重心G。
将线段AG视为一直角三角形，AG和BG就构成直角三角形。
易知三角形AGC也是直角三角形，三角形ABC也就是一个等腰直角三角形，AG和BC就是一组等腰三角形。
易得：a2+b2=AC2+BC2，即：a2+b2=c2。
第二种是利用反证法证明。
假设勾股定理不成立，即a2+b2≠c2，那么，就会得到一条不等式：a2+b2>c2或a2+b2<c2。
因为a、b都是非负的，再加上c也是非负的，所以，有：a2>0、b2>0、c2>0，从而：a2+b2>0，由此可以得出矛盾：a2+b2>c2，但是c2>0。
这与原假设矛盾，则勾股定理成立。
第三是利用余弦定理证明。
设等腰三角形ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，则有：a2=b2+c2-2bc cosA，b2=a2+c2-2ac cosB，c2=a2+b2-2ab cosC，将三式相加，可得到：2a2+2b2=2c2，从而证明勾股定理。
第四是利用边缘法证明。
由边缘定理可知，在等腰三角形ABC 中：a2=b2=c2=2S2，其中S为ABC的面积。
令α、β、γ分别为三角形ABC的内角，及对应的外接圆的半径，令ΔO为三角形ABC的外切圆，则有：α+β+γ=180°，易知：a2+b2+c2=2(α2+β2+γ2)=2R2=c2，可以证明出勾股定理。
第五种是利用角和弧法证明。
在等腰三角形ABC中，用圆弧a 表示两边a和b的连接的圆弧，一条弧的长度是直径乘以圆心角的度数，即可推得：c2=a2+2aR-b2，将c2的左边加上b2，右边减去b2，即可得到：c2=a2+b2，从而证明出勾股定理。
第01讲勾股定理-—计算与证明(教案)
5.感受数学文化的魅力，增强对数学学科的兴趣与热爱，提升数学审美与人文素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理的概念、证明方法及其应用。
-重点讲解：
a.勾股定理的表述及其含义，强调直角三角形三边关系；
b.勾股定理的证明方法，特别是面积法、割补法的详细步骤和原理；
五、教学反思
在今天的课堂中，我发现学生们对勾股定理的概念和应用表现出浓厚的兴趣。他们对于如何运用定理解决实际问题感到好奇，这让我很欣慰。但在教学过程中，我也注意到了一些需要改进的地方。
首先，我在讲授勾股定理的证明方法时，发现部分学生对面积法的理解存在困难。在今后的教学中，我需要更加耐心地解释和演示，通过更多的实例让学生直观感受割补过程，以便他们能更好地理解这一证明方法。
第01讲勾股定理-—计算与证明（教案）
一、教学内容
第01讲勾股定理—计算与证明（教案）
本讲教学内容选自《数学》八年级上册第12章第1节。主要包括以下内容：
1.勾股定理的概念及表述；
2.勾股定理的证明方法（面积法、割补法、向量法等）；
3.勾股定理的应用：直角三角形的边长计算、斜边上的Байду номын сангаас、中线、角平分线等；
4.勾股定理的拓展：勾股数、勾股数列、广义勾股定理等；
5.相关实际问题的解决方法。
二、核心素养目标
本讲核心素养目标遵循新教材要求，致力于培养学生以下能力：
1.理解并掌握勾股定理及其证明方法，提升数学推理与逻辑思维能力；
2.能够运用勾股定理解决实际问题，增强数学应用意识与解决实际问题的能力；
3.通过勾股定理的探究与拓展，培养数学抽象、数学建模的核心素养；
勾股定理的应用ppt
你认为勾股定理在未来的应用前景如何？
物理学
02
勾股定理在物理学中被用来描述物体的运动规律和相互作用，如重力、弹力等。
工程应用
03
在各种工程应用中，勾股定理被用来设计建筑物、桥梁、隧道等结构的形状和尺寸，以确保其稳定性和安全性。
勾股定理可以用来解决直角三角形的问题，如求三角形的面积、高度、底边长度等。
xx年xx月xx日
勾股定理的应用
勾股定理的简介勾股定理的证明方法勾股定理的应用范围勾股定理的实际应用案例如何学习和掌握勾股定理拓展思考
contents
目录
勾股定理的简介
01
勾股定理是一种基本的几何定理，它指出在任何一个直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。
数学表示为：c² = a² + b²，其中c为斜边，a和b为直角边的长度。
勾股定理的重要性
勾股定理的证明方法
02
总结词
详细描述
证明过程
毕达哥拉斯证明法
严谨而经典
欧几里得证明法
欧几里得证明法是一种基于演绎推理的证明方法，它从一些基本的几何公理出发，经过逐步推导，得出勾股定理的结论。
欧几里得在其著作《几何原本》中给出了勾股定理的证明。他从两个已知的公理（两点之间线段最短和两个直角相等）出发，通过构造相似三角形，推出 a^2 + b^2 = c^2。
利用勾股定理求最短路径
总结词
在传输线路上，利用勾股定理可以求出最大功率。
要点一
要点二
详细描述
在传输线路上，信号的衰减与传输距离的平方根成正比，因此可以利用勾股定理来计算最大功率。具体来说，如果传输线路上某一点的最大可用功率为Pmax，传输距离为d，那么该点的功率P可以表示为 `P = Pmax / sqrt(d² + L²)`，其中L为该点到信号源的距离。因此，利用勾股定理可以求出最大功率。
第二次课 勾股定理及逆定理
（2）已知一等边三角形的高是 4 3 ，求面积．
（3）已知三角形的三边长分别为 2cm、3cm、4cm，求三条中线长．
A
5、 （1）若 P 是长方形 ABCD 内一点，求证： PA PC PB PD ．
2 2 2 2
D
（2）△ABC 中，D 为 BC 上一点，且 AB AD ，求证 AC 2 AB2 BC DC ．
B 综合应用 （一）有关计算
C
【例 11】四边形 ABCD 中， AB 7 ， BC 24 ， CD 20 ，对角线 AC 25 ，E 为 AC 的中点且 EB ED ，求边 AD 及四边形 ABCD 面积． 【巩固练习】1、已知 A 60 ， B D 90 ， AB 2 ， CD 1 ，求 BC 和 AD 的长． 2、已知：如图所示，在四边形 ABCD 中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，四边形 ABCD 的周长为 32，求 BC 和 CD 的长. C
【例 14】在△ABC 中，AD 为 BC 边上的高，点 E 是 AD 上任意一点，求证： AB2 EB2 AC 2 EC 2 ．
【巩固练习】 1、在△ABC 中， C 90 ，D 为 AB 的中点，E、F 分别在 AC、BC 上，且 DE DF ． 求证： AE 2 BF 2 EF 2 ． 2、已知：AD、BE、CF 分别是△ABC 的三条边上的高，求证： AE 2 CD2 BF 2 AF 2 BD2 CE 2 ． 【例 15】在△ABC 中， B 120 ，三边分别为 a、b、c．求证： b2 a2 c2 ac ．
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 2、已知三角形两边为 3 和 4，要使这个三角形是直角三角形，求第三边的长。 【例 5】 如图 3， 图中所有的四边形都是正方形， 所有的三角形都是直角三角形， 若所有的正方形的面积之和为 507cm2， 试求最大的正方形的边长。 )
勾股定理讲义
勾股定理 复习讲义【知识回顾】1.基础知识点： １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等c ba HGF EDC B Abacb ac ca bc ab ab cc baED C B A８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
《勾股定理》优秀说课稿（精选5篇）
《勾股定理》优秀说课稿（精选5篇）《勾股定理》优秀说课稿篇1一、说教材勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，它可以解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，在实际生活中用途很大。
教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际分析、拼图等活动，使学生获得较为直观的印象；通过联系和比较，理解勾股定理，以利于正确的进行运用。
据此，制定教学目标如下：1、理解并掌握勾股定理及其证明。
2、能够灵活地运用勾股定理及其计算。
3、培养学生观察、比较、分析、推理的能力。
4、通过介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感和钻研精神。
教学重点：勾股定理的证明和应用。
教学难点：勾股定理的证明。
二、说教法和学法教法和学法是体现在整个教学过程中的，本课的教法和学法体现如下特点：1、以自学辅导为主，充分发挥教师的主导作用，运用各种手段激发学生学习欲望和兴趣，组织学生活动，让同学们主动参与学习全过程。
2、切实体现学生的主体地位，让学生通过观察、分析、讨论、操作、归纳，理解定理，提高学生动手操作能力，以及分析问题和解决问题的能力。
3、通过演示实物，引导学生观察、操作、分析、证明，使学生得到获得新知的成功感受，从而激发学生钻研新知的欲望。
三、教学程序本节内容的教学主要体现在学生动手、动脑方面，根据学生的认知规律和学习心理，教学程序设计如下：（一）创设情境以古引新1、由故事引入，3000多年前有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦等于5。
这样引起学生学习兴趣，激发学生求知欲。
2、是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？教师要善于激疑，使学生进入乐学状态。
3、板书课题，出示学习目标。
第一章.勾股定理知识点与常见题型总结[1]2
第一章 勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理的内容及由来内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见证明方法如下：cbaHG F EDCBAbacbac cabcab a bcc baE D CBA方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：这1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证基本图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA二 典型例题精解题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长题型二：应用勾股定理建立方程例２. ⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c =例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =。
新人教版八年级数学下册勾股定理知识点和典型例习题
新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题基础知识点：1•勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a , b，斜边为c，那么a2 b2 4 c2勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为: 两直角边的平方和等于斜边的平方2 •勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：1方法一:4S S正方形EFGH S正方形ABCD，4 — ab (b a) c，化简可证.2 b a方法四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为1 2 2S 4 ab c 2ab c2大正方形面积为S (a b)2 a2 2ab b2所以a2 b2 c2方法三：5梯形2(a b) (a b)，囱形2S ADE S ABE 2 7b r2，化简得证5 .勾股定理的逆定理如果三角形三边长a , b , c满足a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2 b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若a2 b2 c2，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若a2 b2 c2，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a , b，c及a2 b2 c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a , b , c满足a2 c2 b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形6•勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2 b2 c2中，a , b , c为正整数时，称a , b , c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ; 6,8,10 ; 5,12,13 ; 7,24,25等7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题•在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.8••勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.9•勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体•通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决.常见图形：10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
勾股定理分析(共72张PPT)
出了勾股定理的使
由此猜想出：
用价值.
在直角三角形中，
.
各版本教材共性与不同：
引入部分：都设置一定的问题情景，人教版教材侧重从几何 知识引入，而其他三本教材侧重从代数知识引入；
证明方法：都突出了面积证法，主要介绍了赵爽炫图或青出朱 入图；
习题选择：计算和实际应用，题目类型全面，联系实际紧密；
阅读材料：内容丰富、 图文并茂，集趣味性、 知识性、 史料 性、 教育性于一身，是对教学内容的补充和拓展.
向
用．②在研究图形性质和运动、确定物体让位学置生等经过历程勾股定理 中，进一步发展空间观念；经历借助图形从思发考现问到题证的明的过程 过程，初步建立几何直观.
初中的课程内容中明确要求探索勾股定理及其逆定 理，能运用他们解决一些简单的实际问题
8
纵
高中：
高中课程有提高运算求解能力的目标，具体的说就是采 用度量计算等方法认识和探索几何图形的性质．勾股定
是三角形的三边长,求三角形的面积．
a A
2a
a
a2 b2 、 4a2 b2 、 a2 4b2 分别对应为线段
bB b
AB、BC、AC,而三角形的面积也就是:
S = 4ab-2.5a b= 1.5ab． A B C
勾股定理代数形式的结论， 刘徽证明勾股定理过程中 的“出入相补”原理是解
决上述问题的关键.
如何引导学生发现勾股定理？
•勾股定理的发现
第一次出现的情况------中国
中国最早的一部数学著作——《 周髀算经》中记载了有关勾 股定理的数学资料。公元前1100年西周时周公与商高的一段对 话，其中商高说：“故折矩以为广勾三，股修四，径隅五"。意 思是说，如果直角三角形两直角边的长度分别是3和4，那么它的 斜边的长度必定是5。商高提出了勾三股四弦五”的定理特例， 可以说是最早关于勾股定理应用的具体例子，因此，历史上称这 个定理为“商高定理”或“勾股定理”.
勾股定理的证明方法和相关故事
证明方法1
• 这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是 数学众多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition（ 《毕达哥 拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式。 有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的 泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本 三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股 定理的证明（参见循环论证）。 证法1 作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边 长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的 一个多边形，使D、E、F在一条直线上。 过点C作 AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线 上， 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD， ∴ ∠EGF = ∠BED ， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD， ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即 ∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°， BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长 为a的正方形。 同理，HPFG是一个边长为b的 正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 A^2+B^2=C^2.
勾股数组
• 满足勾股定理方程 a^2+b^2=c^2;的正整 勾股定 理 • 数组(a，b，c)。例如(3，4， 5)就是一组勾股数组。 由 于方程中含有3个未知数，故勾 股数组有无数多组。 勾股 数组的通式： a=M^2N^2 b=2MN c=M^2+N^2 (M>N,M,N 为正整数）
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图 １ 面 直 角 三 角 形
Ｄ ｌ ＞ Ｂ ｌ ｌ・Ｄ ｌ — Ｓ． Ｄ Ｄ Ｄ
证 明 （ ）式 ， ４ 因为 Ｓ ；一 （ Ｃ ・ Ｂ） ， ；一 （ Ｂ ・ Ｅ） ， 。 （ Ｄ ・ ） Ｄ Ｃ Ｓ Ｃ Ｃ 。Ｓ 一 Ａ 胞 。一 （ Ｃ ・ ） ， 以 Ｓ ＋ Ｂ 雎 。所 ｛
第 ２期
汪 文 贤 ： 义 勾 股 定 理 和勾 股 型 不 等式 广
和“ 股定 理 ” 勾 ．
定 理 ２ 在“ 直 角三 角形 ” ， 记两 “ 角边 ” 体 中 若 直 的体积 分别 为 。 ， ， 。 “ 斜边 ”的体 积为 Ｖ， 则
ｌ
＋ ２＞ Ｖ ，
本文 进 一步讨 论 勾股定 理 ， 与线段 相应 的二维 、 维 的几何 图形来 代 替 直 角三 角 形 中 的边 ， 造 所 用 三 构 谓 的“ 直角三 角形 ” “ 面 、 体直角 三角 形” 建 立 了广义 的勾 股 定理 ； ， 同时 ， 由勾 股 定理 的代 数 形 式 ， 获得 一 系
文献标识码 ： Ａ
中图分类号 ： ２ Ｏ１
众 所周 知 ， Ｒ ＡＡＢ 中 ， ａ ｂ和 Ｃ分别 表示两 直 角边 和斜边 的长 ， 在 ｔ Ｃ 以 ， 则有
一
ａ＋ ｂ＞ Ｃ ， 口 。＋ ｂ 。一 Ｃ ． 。
（） １ （） ２
（ ）式对 任意三 角形 都是 成立 的 ；２ 则 是著名 的毕 达哥 拉斯 定 理 ， １ （） 即勾 股 定理 ． 勾股 定 理 的 发 现 ， 数 学 对 研 究 产生 了巨大影 响 ， 导致 了无 理数 的产生 ； 此 ， 据 还提 出 了一 系 列 的数 学 问 题． 著 名 的 当是 费玛 大定 最 理 ， 不定 方程 ＋ 即“ ： （ ” ＞ ２ 一 Ｎ） 有整 数解 ” ， 没 ．
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第 ２ 第２ ２卷 期
２０ ０ ７年 ６月
安
徽
工
程
科
技
学 院
学
报
Ｖｏ ． ２ ＮＯ ２ １２ ． ．
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＡｎ ｕ ｉｅｓｔ ｆＴｅ ｈ ｏｏ ｙ ａ ｄ Ｓ ｉｎ ｅ ｏ ｒ ａ ｈ ｉ ｏ Ｕｎｖ ｒｉ ｏ ｃ ｎ ｌｇ ｎ ｃｅ ｃ ｙ
收 稿 日期 ：０ ７ ３ ０ ２ ０ ～０ —２
基 金 项 目 ： 江 省 教 改 基 金 资 助 项 目（ 教 计 Ｅ０ ６ １ １号 ） 浙 浙 ２０ ３８ 作者 简 介 ： 文 贤 （ ９ １ ）男 ， 江 常 山 人 ， 教 授 ． 汪 １５ 一 ， 浙 副
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Ｊ ｎ ２ ０ ｕ ．， ０ ７
文章 编 号 ：６ ２ ４ ７ ２０ ）２ ０ ６ ４ １ ７ —２ ７ （０ ７０ —０ ６ —０
广 义 勾股 定 贤
（ 江 工 业 大学 浙西 分 校 ， 江 衢 州 ３ ４ ０ ） 浙 浙 ２ ０ ０
摘 要 ： 直 角 三 角 形 中两 边 之 和 大 于 第 三边 和勾 股 定 理 出发 ， 过 构 造 “ 直 角 三 角 形 ” “ 直 角 三角 形 ” 以 从 通 面 和 体 ， 及 考 察 直 角 四棱 锥 ， 使 用 类 比 、 纳 、 称 和 推 广 等 方 法 的基 础 上 ， 出“ 直 角 三 角 形 ” “ 直 角 三 角 形 ” 在 归 对 作 面 、体 及 直 角 四 棱 锥 状 态 下 的相 应 猜 想 ， 对 这些 猜 想 进 行 了必 要 论 证 ， 而 建 立起 了 广 义勾 股 定 理 和 勾 股 型 不 等 式 ． 并 从 关 键 词 ： 股 定 理 ； 想 ； 义 勾 股 定 理 ； 股 型 不 等 式 勾 猜 广 勾
列 勾股型 不等 式．
１ 广 义 勾 股 定 理
１ １ 面直 角三 角形 ．
仿照直 角三 角形 的作 法 ， 我们 以矩 形 为“ ” 构造 一个 有 一个 直 二面 角 的所 谓 “ 直 角 三 角形 ” 如 图 边 ， 面 ，
ｌ 示． 所 我们把 这样 的 图形 与直角三 角形类 比 ， 称之 为“ 面直 角 三角 形 ” 即“ 直角 三 角 形 ”是 由矩 形 作 为 ． 面 “ 直角边 ”和“ 边 ” 且两 “ 角边 ”的“ 斜 ， 直 夹角”是 一个 直二 面角所 构成 的空 间 图形． 使 用类 比猜想 ， 我们 可得 以下关于 “ 面直 角三 角形 ” 两 边之 和大 于第 的“ 三 边定 理”及“ 勾股定 理 ” ． 定 理 １ 在“ 面直 角三角 形”中 ， 以 Ｓ ， 。 别 表示 直 二 面角 的两个 若 Ｓ 分 面， 即矩 形 Ａ Ｄ， Ｃ Ｆ 的面 积 ， ＢＣ Ｂ Ｅ Ｓ表示斜 面 ， 即矩 形 Ａ Ｆ 的面积 ， ＤＥ 则
Ｓ 一 （ Ｃ ・ Ｂ） （ Ｂ ・Ｃ 。一 （ Ｃ ＋ Ｃ Ｃ ｌ Ｄ Ｃ ＋ Ｃ Ｅ） Ｄ 。 Ｅ ）・ Ｂ ．
１ ２ 体直 角 三角 形 ．
取 一长 方体 ， 并将其 截 接成 一 个 “ 角 形 ” 使 得 它 “ 边”互 相 垂 直 ， 成 一 个 所 谓 的 “ 直 角 三 角 三 ， 两 形 体 形” 如 图 ２所示 ． ， 同样 ， 用类 比的方法 ， 使 我们 可得如 下 的所 谓 “ 直角 三角 形 两边 之和 大 于 第 三边 定 理” 体
Ｓｌ Ｓ ＋ ２＞ Ｓ ， Ｓ ＋ Ｓ ： Ｓ ． （） ３ （） ４
Ｃ Ｅ
证 明（ ） ， ３ 式 因为 Ｓ ＋ Ｓ 一 Ｄ ・ Ｂ ＋ Ｃ ・ Ｅ ＝ （ Ｃ Ｃ Ｂ Ｃ ＤＣ＋ Ｃ ・ Ｂ， ） Ｃ
Ｓ—Ａ ・ Ｄ ＤＥ — Ｂ ・ Ｅ ， Ｄ Ｃ Ｄ 而 Ｃ＋ Ｃ ＞ Ｄ ， 以 Ｓ ＋ Ｓ 一 （ Ｄｌ Ｅ Ｅ 所 ｌ ２ Ａｌ ＋Ａｌ １ ） Ｂ