余数问题
余数问题
1.把一个合数分解质因数，通常用短除法。
先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。
2.求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数。
3.求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。
4.成为互质关系的两个数：1和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质；当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质。
一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”;因为符号“∵”，所以的符号“∴”;二、整除判断方法：1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：1. 如果a、b能被c整除，那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。
余数问题
1、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。
其解法如下：2×70+3×21+2×15=233233-105×2=23符合条件的最小自然数是23。
2、一个三位数,被17除余5,被18除余12,那么它可能是________________;一个四位数,被131除余112,被132除余98,那么它可能是________;解答:设此三位数为17a+5=18b+12. 可得到17a=17b+b+7,所以b+7一定能被17整除,b=10,27,44.这个三位数为192,498,804.设此四位数为131x+112=132y+98,可得到131x=131y+y-14,所以y-14一定能被131整除,y=14,145(太大)3、一个数除以7余3,除以11余7,除以13余4,符合此条件的数最小是________;如果它是一个四位数,那么最大可能是________;解：满足除以7余3,除以11余7的最小数为73,设此数为73+77a=13b+4, 69-a=13b.a最小等于4.满足条件的最小数是381.设最大的四位数为381+1001x,最大的四位数为9390.1、自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和是25.这三个余数中最小的一个是_____.分析与解答:设这个自然数为,且去除63,90,130所得的余数分别为a,b,c,则63-a,90-b,130-c都是的倍数.于是(63-a)+ (90-b)+(130-c)=283-(a+b+c)=283-25=258也是的倍数.又因为258=2343.则可能是2或3或6或43(显然,86,129,258),但是a+b+c=25,故a,b,c中至少有一个要大于8(否则,a,b,c 都不大于8,就推出a+b+c不大于24,这与a+b+c=25矛盾).根据除数必须大于余数,可以确定=43.从而a=20,b=4, c=1.显然,1是三个余数中最小的.。
余数问题
余数问题除法计算过程中；一种是有余数的计算：被除数÷除数=商…余数（余数＜除数）；这个商叫做不完全商，我们把这种除法叫做带余数除法，简称带余除法。
一、带余除法例题：写出除213后余3的全部两位数。
213=210+3=2x3x5x7+3，利用分解质因数的方法寻找计算中的规律。
操练一1、写出除109后余4的全部两位数。
2、178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有那些？3、写出除1290后余3的全部三位数。
二、循环、周期性，寻找规律，发现规律计算。
例题：44444…4 ÷6，当商是整数时，余数是几？100个4注：以看出规律：每3个4组成的数被6整除，每次除得的余数分别是4、2、0。
可以把100个4分成一组，共分成100÷3=33（组）……1，即有33组还多1个4.这样剩4下的4除以6后余数就是4.操练二1、555…5÷13，商是整数时，余数是几？2001个42、当商是整数时，余数各是多少？（1）666......6÷4 （2）888……8÷7（3）111……1÷5三、 余数的和、差、积问题。
几个数同时除以一个数，余数不同，余数的和、差、积除以这个数，余数是它的和、差、积除以这个数的余数。
例题：甲数除以9余7，乙数除以9余5.（1）、甲、乙两数的和除以9余数是几？（2）、甲、乙两数的差除以9余数是几？（3）、甲、乙两数的积除以9余数是几？操练三1、 甲数除以5余3，乙数除以5余2，那么甲、乙两数的和除以5余数是几？甲、乙两数的差除以5余几？甲、乙两数的积除以5余数是几？2、 甲数除以9余7，乙数除以9余6，丙数除以9余5，那么（甲+乙+丙）÷9还有余数吗？课后练习1、把 化成小数，那么小数点后面第一位上的数字是多少？评语： 50个6 80个81 000个1 1 7。
数论问题之余数问题-余数问题练习题含答案
数论问题之余数问题:余数问题练习题含答案1.数11 1(2007个1),被13除余多少分析:根据整除性质知:13能整除111111,而2007 6后余3,所以答案为7.2.求下列各式的余数:(1)2461 135 6047 11 (2)2123 6分析:(1)5;(2)6443 19=339 2,212=4096 ,4096 19余11 ,所以余数是11 .3.1013除以一个两位数,余数是12.求出符合条件的所有的两位数.分析:1013-12=1001,1001=7 11 13,那么符合条件的所有的两位数有13,77,91 有的同学可能会粗心的认为11也是.11小于12,所以不行.大家做题时要仔细认真.4.学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班分析:所求班级数是除以118,67,33余数相同的数.那么可知该数应该为118-67=51和67-33=34的公约数,所求答案为17.5.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.6.求下列各式的余数:(1)2461 135 6047 11(2)2123 6分析:(1)5;(2)找规律,2的n次方被6除的余数依次是(n=1,2,3,4 ):2 ,4 ,2 ,4 ,2 ,4因为要求的是2的123次方是奇数,所以被6除的余数是2.7.(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果分析:此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313 7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240 2=238(个) ,313 7=306(个) ,(238,306)=34(人) .8.(第十三届迎春杯决赛) 已知一个两位数除1477,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是 .分析:1477-49=1428是这两位数的倍数,又1428=2 2 3 717=51 28=68 21=84 17,因此所求的两位数51或68或84.9.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.10.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.分析:127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.第二页：练习题含答案11 20题第三页：练习题含答案21 28题11.除以99,余数是______.分析:所求余数与19 100,即与1900除以99所得的余数相同,因此所求余数是19.12.求下列各式的余数:(1)2461 135 6047 11(2)19992000 7分析:(1)5;(2)1999 7的余数是4,19992000 与42000除以7 的余数相同.然后再找规律,发现4 的各次方除以7的余数的排列规律是4,2,1,4,2,1......这么3个一循环,所以由2000 3 余2 可以得到42000除以7 的余数是2,故19992000 7的余数是2 .13.(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果分析:此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313 7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240 2=238(个) ,313 7=306(个) ,(238,306)=34(人) .14.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.15.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.分析:127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.16.除以99的余数是______.分析:所求余数与19 100,即与1900除以99所得的余数相同,因此所求余数是19.17.19941994 1994(1994个1994)除以15的余数是______.分析:法1:从简单情况入手找规律,发现1994 15余14,19941994 15余4,199419941994 15余9,1994199419941994 15余14,......,发现余数3个一循环,1994 3=664...2,19941994 1994(1994个1994)除以15的余数是4;法2:我们利用最后一个例题的结论可以发现199419941994能被3整除,那么19941994199400 0能被15整除,1994 3=664...2,19941994 1994(1994个1994)除以15的余数是4.18.a b c 是自然数,分别除以11的余数是2,7,9.那么(a+b+c) (a-b) (b-c)除以11的余数是多少分析:(a+b+c) 11的余数是7;(a b) 11的余数是1l+2 7=6;(b c) 11的余数是11+7 9=9.所求余数与7 6 9 11的余数相同,是4.19.盒乒乓球,每次8个8个地数,10个10个地数,12个12个地数,最后总是剩下3个.这盒乒乓球至少有多少个？分析与解答:如果这盒乒乓球少3个的话,8个8个地数,10个10个地数,12个12个的数都正好无剩余,也就是这盒乒乓球减少3个后是8,10,12的公倍数,又要求至少有多少个乒乓球,可以先求出8,10,12的最小公倍数,然后再加上3.2 8 10 122 4 5 62 5 3故8,10,12的最小公倍数是22253=120.所以这盒乒乓球有123个.20.自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和是25.这三个余数中最小的一个是_____.分析与解答:设这个自然数为,且去除63,90,130所得的余数分别为a,b,c,则63-a,90-b,130-c都是的倍数.于是(63-a)+(90-b)+(130-c)=283-(a+b+c)=283-25=258也是的倍数.又因为258=2343.则可能是2或3或6或43(显然,86,129,258),但是a+b+c=25,故a,b,c中至少有一个要大于8(否则,a,b,c都不大于8,就推出a+b+c 不大于24,这与a+b+c=25矛盾).根据除数必须大于余数,可以确定=43.从而a=20,b=4,c=1.显然,1是三个余数中最小的.21.求123456789101112 199200除以9的余数是________;解答:一位数个位数字之和是1+2+3+ ..9=45二位数数字之和是1 10+1+2+3+ .9 (10-19)2 10+1+2+3+ .9 (20-29)9 10+1+2+3+ .9 (90-99) 余90,9余0,11余2故二位数总和为(1+2 ..+9) 10+1+2 ..+9=495100 199与1 99的区别在于百位多了100个1,共100所以原数数字值和为45+495+495+100+2=1137,除以9余3. 22: 222 22除以13所得的余数是_____.2000个分析与解答:因为222222=2111111 =21111001=211171113所以222222能被13整除. 又因为2000=6333+2 222 2=222 200+22 2000个19982213=1 9所以要求的余数是9.求除以9,11,99,101,999,1001,13和91的余数分别是多少;解答:23: 除以9的余数是0,11: 一个2007奇数位上数字和与偶数位上数字的和的差为5. 2007个2007奇数位上数字和与偶数位上数字的和的差为5 2007.5 2007 3(mod11),所以除以11的余数是399: 能被9整除,被11除余3的数最小是36,所以除以99余36200720072007能被7,13,37整除.999=27 37 1001=7 11 13 91=7 1313: 0(mod13) 除以13余091: 0(mod91) 除以91余0所以除以13,91,999的余数都是0.1001: 除以11余3,除以7,13余0,满足次条件的最小数是1092,1092除以1001余91.所以除以1001的余数是91.101: 我们发现9999=101 99,所以=0000+2007= 10000+2007= 9999++2007 +2007(mod101)同样道理+2007 +2007 2(mod101)以此类推2007 2007(mod101)=6824、今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物最少几何解答:此数除以3余2,除以5余3,除以7余2,满足条件最小数是2325、(23+105k)2)一个数除以7余3,除以11余7,除以13余4,符合此条件的数最小是________;如果它是一个四位数,那么最大可能是________;解答:满足除以7余3,除以11余7的最小数为73,设此数为73+77a=13b+4, 69-a=13b.a最小等于4.满足条件的最小数是381.设最大的四位数为381+1001x,最大的四位数为9390.(1732)26、今天周一,天之后是星期________;这个数的个位数字是________;天之后是星期________;解答:只要求出7的余数就可以知道天后是星期几. 52007(mod7),56 1(mod7)2007 3(mod6), 52007 53 6(mod7) s所以天之后是星期日2007的个位数字是720072的个位数字是920073的个位数字是320074的个位数字是120075的个位数字是127、一个三位数,被17除余5,被18除余12,那么它可能是________________;一个四位数,被131除余112,被132除余98,那么它可能是________;解答:设此三位数为17a+5=18b+12. 可得到17a=17b+b+7,所以b+7一定能被17整除,b=10,27,44.这个三位数为192,498,804.设此四位数为131x+112=132y+98,可得到131x=131y+y-14,所以y-14一定能被131整除,y=14,145(太大)这个四位数是194628、甲,乙,丙三个数分别为603,939,393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍,A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.A是________;解答:如果A除丙所得的余数是1份的话,那么A除乙所得余数就是2份,A除甲所得的余数就是4份.把2乙-甲,则没有余数,即2乙-甲使A的倍数;同理乙-2丙也同样没有余数,是A的倍数.939 2-603=1275,939-393 2=153A是1275和153的公约数,而1275与153的最大公约数是51,所以A可能是1,3,17,51再实验得到A为17,余数分别为8,4,2.。
小学数学拓展专题 余数问题 非常完整题型训练+答案
余数问题例题讲解：板块一：基础题型1. 72除以一个数，余数是7．商可能是多少？【答案】1或5【解析】72先减去7等于65，再分解质因数65＝5×13，还有1×65＝65，所以商可能是1或52. 100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？【答案】8或16【解析】100和84同余，做差后是这个数的倍数，差为16，所以这个除数可能是8或163. 20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？【答案】8；0，8；0【解析】一个数除以9的方法：各位数字之和除以9余8；除以8：末三位除以8余0；除以25：末两位除以25余8；除以11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差，余04. 4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为101、126、173、193.规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？【答案】5【解析】根据一个数除以3的方法，各位数字之和是3的倍数，最多打了5盘5．某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个．请问：最后一包有多少个零件？【答案】16【解析】余数问题，128×23×300÷17余数是166．(1) 220除以7的余数是多少？(2) 1414除以11的余数是多少？(3) 28121除以13的余数是多少？【答案】（1）4；（2）4；（3）2【解析】根据余数的特征，220除以7的余数是4；1414除以11的余数是4；28121除以13的余数是27．810888888个⨯⨯⨯++⨯+ 除以5的余数是多少？ 【答案】2【解析】根据余数的和等于和的余数的方法，除以5的余数是28．一个三位数除以21余17，除以20也余17.这个数最小是多少？【答案】437【解析】最小公倍数问题，【21，20】＝420，再加上17，这个数最小是4379．有一个数，除以3的余数是2，除以4的余数是1．请问：这个数除以12余数是几？【答案】5【解析】除以3的余数是2的数是5，而5恰好除以4余1，5除以12余数是510．100多名小朋友站成一列，从第一人开始依次按1，2，3，…，11的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9；如果按1，2，3，…，13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11.请问：一共有多少名小朋友？【答案】141【解析】根据题意，可转化为一个100多的数除以11余9，除以3余11，所以先求11和13的最小公倍数，再减去2就是所求，一共有141名小朋友板块二：中档题型1．1111除以一个两位数，余数是66. 求这个两位数．【答案】95【解析】先从1111里减去余数66，再分解质因数，所求的两位数要大于余数66，所以是952．(1) 42121421421421个除以4和125的余数分别是多少？(2) 80821808808808个除以9和11的余数分别是多少？【答案】（1）1，46；（2）3，5【解析】根据余数的特征分别求即可3．一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个，年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个．请问：最后一包有多少个零件？【答案】15【解析】先求出一年的总数，再除以19余数为154．自然数12222267-⨯⨯⨯⨯个的个位数字是多少？ 【答案】7【解析】找出2的n 次方的个位数字的周期，2，4，8，6…，再看67除以4的余数是3，所以个位数字是8－1＝75．算式20072007200720072006321++++ 计算结果的个位数是多少？【答案】1【解析】每个数乘方的个位数字的周期是4，2007除以4余3，所以原式就与1到2006的3次方的个位数字是一样的，以10个数为一个周期列出为1，8，7，4，5，6，3，2，9，0…，2006除以10余数为6，所以前6个的和即是所求1＋8＋7＋4＋5＋6＝31，所以个位数字是16．一个自然数除以49余23，除以48也余23.这个自然数被14除的余数是多少？【答案】9【解析】【49，48】＋23＝2375，被14除余97．一个自然数除以19余9，除以23余7．这个自然数最小是多少？【答案】237【解析】7+23k-9能被19整除，最小为2378．刘叔叔养了400多只兔子，如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有4只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？【答案】404【解析】根据题意是一个400多的数除以3余2，除以5余4，除以7余5，最后所求的数是4049． 123123123123123个除以99的余数是多少？【答案】90【解析】6个123能被99整除，123里有20个6余3，所以123123123除以99余数是9010．把63个苹果，90个橘子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25个水果没有分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？【答案】20【解析】三个数分别的余数不知道，但是余数的和是25，可以把这三个数相加，根据余数的和等于余数的和来计算，63＋90＋130－25＝258，再分解质因数，最后剩下个数最多的水果剩下20个11．有一个大于l 的整数，用它除300、262、205得到相同的余数，求这个数．【答案】19【解析】根据同余的两个数的差能被这个数整除，300－262＝38，262－205＝57，再求（38，57）＝1912．用61和90分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数是后一次的2倍，如果这个数大于1，那么这个数是多少？【答案】17【解析】先把余数变相同，再作差求解即可。
5年级-19-余数问题-难版
第19讲余数问题知识梳理一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r（也就是a=b×q+r）, 0≤r＜b；当r=0时，我们称a能被b整除；当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数相同，则称a，b对于模m同余。
记作：a≡b（mod ｍ）。
读做：ａ同余于ｂ模ｍ。
同余的性质比较多，主要有以下一些：性质（1）：对于同一个出书，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。
比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。
“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。
性质（2）：对于同意个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
性质（3）：对于同意个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。
性质（4）：对于同意个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。
应用同余性质几萼体的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。
把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。
典型例题【例1】★求1992×59除以7的余数。
【解析】可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。
1992除以7余4，59除以7余3。
根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。
因为1992×59≡4×3≡5（mod 7），以1992×59除以7的余数是5。
【小试牛刀】求4217×364除以6的余数。
【解析】2【例2】★（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
六年级数学余数问题
第11讲余数问题1．有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？2．已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？3．有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数．4．有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．5．甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A 除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少？6．20032003的和除以7的余数是________．2与27．有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和．⨯⨯⨯⨯⨯⨯的结果的末一位数字是多少？末两位数字是多少？末三位数字是多8．135791949少？课后展示1．有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1．问这个数除以12余数是几？2．有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？3．一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？4．1949 3790的计算结果除以19的余数为多少？5．用一个自然数去除836、642、254所得的余数之和为79，那么除数是多少？6．1 请将2、3、4、5…21这20个数分成10组，每组两个数，两数乘积除以23余数是1。
2能否将2、3、4、5…99这98个数分成49组，每组两个数，两数乘积除以101余数是1。
第12讲抽屉与最值1．从1，2，3，…，1988，1989这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于4？2．有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同．现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子?3．在边长为1的正方形内随意放进9个点，证明其中必有3个点构成的三角形的面积不大于18．4．从1，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数．证明：(1)在这51个数中，一定有两个数互质；(2)在这51个数中，一定有两个数的差等于50；(3)在这51个数中，一定存在9个数，它们的最大公约数大于1．5．从自然数1，2，3，，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？6．实验小学的礼堂一共有座位24排．每排有座位30个，全校有650个学生在礼堂开会，那么至少育多少排座位上坐的学生人数同样多?7．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这个10个自然数填到图中10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于p，则p的最大值是多少？8．老师给前来参加“迎春晚会”的31位同学发放编号：1,2,…31．如果有两位同学的编号的乘积是他们编号和的倍数，则称这两位同学是“好朋友”．从这31位同学中至少需要选出人，才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是“好朋友”．课后展示1．用0，1，2，…，9这10个数字各一次组成5个两位数a、b、c、d、e．请问：a – b + c – d + e 最大可能是多少？2．将135个人分成若干小组，要求任意两个组的人数都不同，最多可以分成多少组？这时，人数最少的那组有多少人？3．我们知道，很多自然数可以表示成两个不同质数的和，例如8 = 3 + 5．有的数有几种不同的表示方法，例如100 = 3 + 97 =11 + 89 =17 + 83.请问：恰好有两种表示方法的最小数是多少？4．将6、7、8、9、10这5个数按任意次序写在一圆周上，将每相邻两数相乘，再把所得的5个乘积相加，请问：所得和数的最小值是多少？最大值是多少？5．有5袋糖块，其中任意3袋的总块数都超过60.这5袋糖块总共最少有多少块？6. 一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键“ + ” 尚能使用，因此可以输入77，707这样只含数字7和0的数，并且能进行加法运算．为了显示出222222，最少要按“7”键多少次？第13讲方程综合1．某八位数形如2abcdefg，它与3的乘积形如4abcdefg，则七位数abcdefg应是．2．人参加测验？3．一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发现剩下的羊中，公羊与母羊的只数比是9:7；过了一会儿跑走的公羊又回到羊群，却又跑走了一只母羊，牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是7:5．这群羊原来有多少只？4．如图，图中5、8和10分别代表包含该数字的三个三角形的面积．试问：包含X这个字母的四边形面积是多少？X85105．三角形ABC 中，11111112AC B A C B A B B C C A ===，问：?DEF ABC S S ∆∆=DE FC 1B 1CA 1BA6．三张卡片上分另标有p 、q 、r 数码(整数)且0p q r <<<，游戏时将三张卡片随意分发给A 、B 、C 三个人，每人各一张，根据每个人得到卡片上的数码数分别给他们记分，如此重复游戏若干轮，结果A 、B 、三人得分总数分别为20、10、9．已知B 在最后一轮的得分是r ，那么⑴ 在第一轮得分是q ；（2）p 、q 、r 分别是 、 、 ．7．河水是流动的，在Q 点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从P 到Q ，然后穿过湖到R ，共用3小时．若他由R 到Q 再到P ，共需6小时．如果湖水也是流动的，速度等于河水的速度，那么从P 到Q 再到R 需52小时．问在这样的条件下，从R 到Q 再到P 需几小时？8．解不定方程1531003100x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩ (其中x 、y 、z 均为自然数)课后展示1 有一个六位数1abcde乘以3后变成1abcde，求这个六位数．2甲、乙、丙三人同乘汽车到外地旅行，三人所带行李的重量都超过了可免费携带行李的重量，需另付行李费，三人共付4元，而三人行李共重150千克．如果一个人带150千克的行李，除免费部分外，应另付行李费8元．求每人可免费携带的行李重量．3甲、乙两人在10年前的年龄比为2：3，现在他俩的年龄比为3：4，那么10年后他俩的年龄比为多少？4甲、乙两种商品的原来价格比是7:3．如果它们的价格各自上涨70元，它们的价格比变为7:4．求甲乙两种商品的原价各是多少元？5解方程180012008001600015a b ca b c++=⎧⎨++=⎩（其中a、b、c均为正整数）6有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需20元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需27元；则购买甲、乙、丙各1件，共需要元。
5年级-19-余数问题-难版
知识梳理一般地，如果a是整数,b是整数（0）,若有a * b=q ..................... r （也就是a=b x q+r）, 0< r < b;当r=0时，我们称a能被b整除；当r丰0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商两个整数a, b,如果它们除以同一自然数m所得的余数相同，则称a, b对于模m同余。
记作：a= b （mod m）。
读做：a同余于b模m。
同余的性质比较多，主要有以下一些：性质（1）:对于同一个出书，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。
比如：32除以5余数是2,19除以5余数是4,两个余数的和是2+4=6。
“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。
性质（2）：对于同意个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
性质（3）：对于同意个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。
性质（4）：对于同意个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。
应用同余性质几萼体的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。
把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。
*如典型例题【例1】★求1992 X 59除以7的余数。
【解析】可将1992 X 59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。
1992除以7余4，59除以7余3。
根据同余性质，“4 X 3”除以7的余数与“ 1992X 59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4 X 3”除以7的余数就可知道1992 X 59除以7的余数了。
因为1992X 59三4X 3三5 ( mod 7),以1992 X 59除以7的余数是5。
【小试牛刀】求4217 X 364除以6的余数。
【解析】2【例2】★(清华附中小升初分班考试) 甲、乙两数的和是1088 ,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数。
五年级余数问题
余数问题、余数的性质1、关于和的余数：（A+B）- M的余数=（A十M的余数+B十M的余数）十M的余数例如：求（635+493） -7的余数：635-7的余数是5, 493-7的余数是3, （5+3）-7的余数是1,所以（635+493）十7的余数就是1。
2、关于积的余数：（A X B）十M的余数=（A十M的余数）X（B十M的余数）十M 的余数例如：求（84X 907）十9的余数：84-9余数是3, 907- 9余数是7, 3X 7-9 的余数是3,所以（84X 907）十9的余数就是3。
3、两个数除以一个数,如果余数相同（我们叫这两个数同余）,那么这两个数的差（大减小）能被这个数整除。
例如：94-6=15……4; 64- 6=10……4,贝9（94-64）能被6 整除（30- 6=5）二、怎样求余数当被除数较大时,可以用“弃整法”来求余数。
三、除数是一些特殊数的余数的规律1、一个数除以2 的余数：这个数是奇数余数为1,这个数是偶数余数为0。
2、一个数除以3或9的余数,等于这个数的各位数字之和除以3或9的余数。
-3的余数=（5+2+5+4+7+8+9+6十3的余数，就是1。
3、一个数除以4的余数等于末两位数除以4的余数。
-4的余数=46- 4的余数，就是2。
4、一个数除以5的余数,等于这个数的末位数除以5的余数。
例如：127除以5的余数等于7除以5的余数,就是2。
5、一个数除以8的余数等于这个数的末三位数除以8的余数。
例如：5246123- 8的余数=123- 8的余数=3。
四、例题例题1、1586+35789除以7 的余数是多少765463+3545642除以4的余数是多少9645+567除以11 的余数是多少例题2、1586X 35789除以9的余数是多少455X163除以13的余数是多少654652X 5465129除以8的余数是多少725（也就是5个72相乘）除以7的余数是多少例题3、20082008…2008除以9的余数是多少2008 个2008例题4、2007年10月13日是星期六，问再过20082008（也就是2008个2008相乘）天是星期几例题5、1+2+3+4+…+2008除以3的余数是多少例题& 12 2232•…• 992 1002除以7的余数是多少例题7、找出数列0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……的规律，并求出这列数的第2008个数除以3的余数是多少例题8、一个数除以4的余数是3,除以5的余数是2,这个数最少是多少五、练习1、785+582除以3的余数是多少2、32567+12543除以4的余数是多少3、365X 541除以7的余数是多少4、17X 354X 409除以13的余数是多少5、20062006…2006除以9的余数是多少2006 个2006&今年国庆节是星期一。
余数问题
余数问题（一）若A mod C=B mod C,则C (A-B）证明：记A=nC＋x,B=mC＋x,(x<C),那么A-B=（n-m）C,所以C一定整除A与B的差。
（二）（A+B）mod C=A mod C+B mod C或（A+B）mod C=（A mod C+B mod C）mod C证明：记A=nC＋x,B=mC＋y,(x<C,y<C),那么A+B=(n+m)C+(x+y),当x+y<C时，即A+B的余数就是A的余数加B的余数；当x+y≥C时，A+B=(n+m+1)C+(x+y-C),x+y-C=x+y mod C.(三)A*B mod C=A modC*B modC或A*B mod C=（A modC*B modC）modC证明：记A=nC＋x,B=mC＋y,(x<C,y<C),那么A*B=nC*mC+x*mC+y*nC+xy,当xy<C时，得证；当xy≥C时，A*B mod C=xy mod C,得证。
例1：甲乙两数之和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲乙两数。
由题意得1088 mod乙=32，即乙1056，切1056÷乙=12，所以乙=1056÷12=88，甲=1000。
例2，有一个整数，用它去除70,110,160得到的三个余数之和是50，求这个数。
70+110+160-50=290能被这个数整除，290=2×5×29，如果是2，余数之和最大是3，如果是5，余数之和最大是12，如果是10，余数之和最大是29，如果是58,110÷58=1……52，不可能，如果是290，余数之和340，不可能，所以只有是29可能。
例3，两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人，两个代表团坐满若干辆后，第一个代表团余下的13人与第二个代表团余下的乘员正好又坐满一辆车．参观完，第一个代表团的每个成员分别与第二个代表团的每个成员两两合拍一张照片留念．如果每个胶卷可拍36张照片，拍完最后一张照片，照相机里胶卷还可以拍______张照片．解：首先我们先确定,假如甲乙两团分别有X、Y人,则按照上面你所说的方法,他们一共应拍照多少张?答案是：X*Y张.其次,确定他们应该多少人,假如是混坐（两团人员乱坐）,则这个题目无解.假如是集体坐（一个团的人员坐一起）,那么我们可以设：甲团部分人员坐满了X辆车（有36X个人）,乙团部分人员坐满了Y辆车（有36Y个人）,最后他们两团剩余人数又坐满一辆车,所以乙团剩余人数为36-11=25人.所以两团人数分别为(36X+11)和（36Y+25）再次,把他们的乘积展开后,只有11X25=275不是36的倍数（因为每个胶卷可拍36张照片）,所以当再照满7个胶卷（7X36=252）后,还有23张未照,在第8卷,可用36-23=13张。
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“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加”这是同余问题的口诀。
所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称
作同余问题。
首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数，下面以4、5、6为例，请记住
它们的最小公倍数是60。
1、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，
此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差
同减差”。
例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所
以取-3，表示为60n-3。
【60后面的“n”请见4、，下同】
2、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，
此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和
同加和”。
例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所
以取+7，表示为60n+7。
3、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，
此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余
同取余”。
例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取
+1，表示为60n+1。
4、最小公倍加：所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即上面1、2、
3中的60n）都满足条件，
称为：“最小公倍加”，也称为：“公倍数作周期”。
一.求被除数类 1. 同余加余，同差减差 例1.某数被7除余6，被5除余3，
被3除余3，求此数最小是多少？ 解：因为"被5除余3，被3除余3"中余数
相同，即都是3（同余），所以要先求满足5和3的最小数，
一.求被除数类
1. 同余加余，同差减差
例1.某数被7除余6，被5除余3，被3除余3，求此数最小是多少？
解：因为"被5除余3，被3除余3"中余数相同，即都是3（同余），所以
要先求满足5和3的最小数，[5、3]=15，
15+3=18，
18÷7=2„„4不余6，（不对）
15×2=30
（30+3）÷7=4„„5不余6（不对）
（15×3+3）÷7=6„„6（对）
所以满足条件的最小数是48。
例2.某数被3除余2，被5除余4，被7除余5，这个数最小是多少？
解：因为“被3除余2，被5除余4”中都差1就可整除，即同差，所以要
先满足5和3的最小数，[5、3]=15，
15-1=14，
14÷7=2„„0不余5（不对）
（15×6-1）÷7=12„„5
所以满足条件的最小数是89。
例3.一个四位数，它被131除余112，被132除余98，求这个四位数？
解：除数相差132-131=1，余数相差112-98=14，说明这个四位数中有14
个131还余112。所以131×14+112=1946。
二.求除数类
1.若a÷c=„„r；b÷c=„„r.则cㄏ（a-b）.
例1.一个数去除551，745，1133这3个数，余数都相同。问这个数最大可
能是几？
解：745-551=194，1133-745=388。（194，388）=194，所以这个数最大是
194。
2.若a÷c=„„r1；b÷c=„„r2， r1+ r2=d.则cㄏ（a+b-d）.
例2.有一个整数，用它分别去除157，234和324，得到的三个余数之和是
100。求这个整数？
解：157+324+234-100=615，615=3×5×41。100÷3=33„„1，即最小的除
数应大于34，小于157。所以满足条件的有41、123两个，经过验算可知正确答
案为41。
三.求余数类
例1.已知整数n除以42余12，求n除余21的余数？
解：由已知条件可知，n=42的倍数+12=21的2倍的倍数+12。所以，n除以
21的余数为12。
例2.有一个整数，除1200，1314，1048所得的余数都相同且大于5。问：
这个相同的余数是多少？
解：因为
1314-1200=114=3×38，
1200-1048=152=4×38。
某自然数应当是这两个差的公约数，即38。又因为
1200÷38=31（余22）
1314÷38=34（余22）。
所以，这个相同的余数是22。
例3.求19901990除以3所得的余数？
解：由同余的性质可知：对于同一个模，同余的乘方仍同余。
因为，
1990被3除余1，即19901990≡11990≡1，
所以19901990除以3所得的余数为1。
例4.有一个77位数，它的各位数字都是1，这个数除以7，余数是多少？
解：根据被7整除的特征知，111111能被7整除。
77 ÷6=12（余5），
11111÷7=1587（余2）。
所以，这个数除以7的余数是2。
例5.1，1，2，3，5，8，13，„„，90个数排成一列，从第三个数起，每
个数都等于它前面两个数的和。那么，这90个数的和除以5的余数是多少？
解：这一列数被5除的余数依次为1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，
3，2，0，2，2，4，1，0，„„。
余数从头起20个数一个周期循环出现，而且这20个数的和40又恰为5的
倍数。
90÷20=4（余10）
这列数中前10个数的余数和为
1+1+2+3+0+3+3+1+4+0=18
18÷5=3（余3）
所以，这90个数的和除以5的余数为3。
练习题：
1. 一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少？
2. 已知整数n除以3余2，求n除以12的余数？
3. 某数除以13余5，除以17余8，除以21余4，求此数最小是多少？
4. 号码分别为101，126，173，193的四个运动员进行乒乓球比赛，规定每
两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数。那么，打球盘数最多的运动
员打了多少盘？
5. 求21000除以13的余数是多少？
6. 当n是1到1992之间的一个自然数时，把它的各位数字相加，如果它的
和不是一个一位数，那么把它的各位数再相加，如此继续下去，直到得到一个从
1到9的一位数为止（例如：468→18→9）。问在1到1992这1992个自然数经
过上述方法处理后所得的1992个一位数中，3多还是4多？多几个？
7. 由2000个2组成的数除以13，所得的余数是几？