五年级余数问题
余数题目[精华]
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民间传说着一则故事——“韩信点兵”。
秦朝末年，楚汉相争。
一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。
苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。
当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。
只见远方尘土飞扬，杀声震天。
汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。
韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。
他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。
韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。
汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。
于是士气大振。
一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。
交战不久，楚军大败而逃。
解：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数解答: 23。
70×2＋21×3+15×2-105×2＝23那么韩信点的兵在1000-1500之间，应该是70×2＋21×3+15×2+105×9=1073在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题："今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？"意思是，"一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2.求适合这个条件的最小数."这个问题称为"孙子问题".关于孙子问题的一般解法，国际上称为"中国剩余定理".如何求符合上述条件的正整数N呢？《孙子算经》给出了一个非常有效的巧妙解法。
术曰：“三、三数之剩二，置一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三。
以二百一十减之，即得。
凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。
5年级-19-余数问题-难版
第19讲余数问题知识梳理一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r（也就是a=b×q+r）, 0≤r＜b；当r=0时，我们称a能被b整除；当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数相同，则称a，b对于模m同余。
记作：a≡b（mod ｍ）。
读做：ａ同余于ｂ模ｍ。
同余的性质比较多，主要有以下一些：性质（1）：对于同一个出书，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。
比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。
“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。
性质（2）：对于同意个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
性质（3）：对于同意个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。
性质（4）：对于同意个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。
应用同余性质几萼体的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。
把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。
典型例题【例1】★求1992×59除以7的余数。
【解析】可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。
1992除以7余4，59除以7余3。
根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。
因为1992×59≡4×3≡5（mod 7），以1992×59除以7的余数是5。
【小试牛刀】求4217×364除以6的余数。
【解析】2【例2】★（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
五年级余数问题
余数问题一、余数的性1、关于和的余数：〔A+B〕÷M的余数=〔A÷M的余数+B÷M的余数〕÷M的余数例如：求〔635+493〕÷7的余数：635÷7的余数是5，493÷7的余数是3，〔5+3〕÷7的余数是1，所以〔635+493〕÷7的余数就是1。
2、关于的余数：〔A×B〕÷M的余数=〔A÷M的余数〕×〔B÷M的余数〕÷M的余数例如：求〔84×907〕÷9的余数：84÷9余数是3，907÷9余数是7，3×7÷9的余数是3，所以〔84×907〕÷9的余数就是3。
3、两个数除以一个数，如果余数相同〔我叫两个数同余〕，那么两个数的差〔大减小〕能被个数整除。
例如：94÷6=15⋯⋯4；64÷6=10⋯⋯4，〔94-64〕能被6整除〔30÷6=5〕二、怎求余数当被除数大，可以用“弃整法〞来求余数。
例如：求除以7的余数。
先弃得到37360，再弃35350得到2021，除以7的余数是1。
三、除数是一些特殊数的余数的律1、一个数除以2的余数：个数是奇数余数1，个数是偶数余数0。
2、一个数除以3或9的余数，等于个数的各位数字之和除以3或9的余数。
例如：÷3的余数=〔5+2+5+4+7+8+9+6〕÷3的余数，就是1。
3、一个数除以4的余数等于末两位数除以4的余数。
1/4例如：6÷4的余数=46÷4的余数，就是2。
4、一个数除以5的余数，等于这个数的末位数除以5的余数。
例如：127除以5的余数等于7除以5的余数，就是2。
5、一个数除以8的余数等于这个数的末三位数除以8的余数。
例如：5246123÷8的余数=123÷8的余数=3。
五年级奥数-数论之余数问题
数论之余数问题余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b=q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理0r =0r ≠a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m 同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
五年级下册数学奥数学案-余数问题 苏教版
五年级下册数学奥数学案-余数问题苏教版一、导言在五年级下册的数学奥数学案中，余数问题是一个非常重要的内容。
掌握余数问题不仅能够帮助学生巩固对除法的理解，还能够培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
在本文档中，我们将针对苏教版五年级下册的数学奥数学案中的余数问题进行详细的介绍和讲解。
二、什么是余数在进行除法运算时，如果除数不能整除被除数，则会产生一个余数。
余数表示了除数除不尽被除数的部分。
在数学中，余数通常用符号“%”表示。
例如，对于除法算式15÷7，我们可以得到商为2，余数为1。
表达成数学式就是15÷7=2，余1。
三、如何计算余数在计算余数时，我们可以使用数学中的除法算法来进行计算。
下面以一个例子来进行说明：例子：计算1234÷19的余数。
首先，我们将除数19写在左边，被除数1234写在左上方，然后从左往右逐位进行计算：19---------1234第一步，我们将19除以1（个位上的数字），得到的商为1，余数为0。
然后将余数0写在个位上。
19---------1234接下来，我们将余数0和2（十位上的数字）组合成为02，然后将02÷19进行计算。
得到的商为0，余数为2。
19---------123402最后，我们将余数2和3（百位上的数字）组合成为23，然后将23÷19进行计算。
得到的商为1，余数为4。
19---------1234124所以，1234÷19的商为1，余数为4。
四、余数问题的应用除了进行基本的余数计算，我们还可以将余数问题应用到其他数学问题中。
下面通过一些例子来说明：例子1：小明买糖果小明有27元，他想买一些糖果。
每颗糖果的价钱是3元。
小明想知道他能买多少颗糖果以及还剩下多少钱。
解答：首先，我们可以通过27÷3计算出可以买的整颗糖果的数量，得到的商为9。
然后，我们可以通过27%3计算出剩下的钱，得到的余数为0。
所以，小明能够买到9颗糖果，剩下的钱为0元。
五年级奥数余数问题
五年级奥数余数问题一、题目。
1. 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数最小是多少？解析：我们先列出除以3余2的数：2、5、8、11、14、17、20、23、26…再列出除以5余3的数：3、8、13、18、23、28…然后列出除以7余2的数：2、9、16、23、30…可以发现23同时满足这三个条件，所以这个数最小是23。
2. 有一个数，除以4余1，除以5余2，除以6余3，这个数最小是多少？解析：这个数加上3就能被4、5、6整除。
4、5、6的最小公倍数是4 = 2×2，5 = 5，6=2×3，最小公倍数LCM = 2×2×3×5 = 60。
所以这个数最小是60 3=57。
3. 一个数除以5余4，除以8余3，求这个数最小是多少？解析：设这个数为x。
根据除以5余4，可设x = 5a+4（a为整数）。
又因为除以8余3，所以5a + 4=8b+3（b为整数），即5a=8b 1。
通过试值法，当b = 2时，a = 3。
此时x=5×3 + 4=19，19除以8余3，所以这个数最小是19。
4. 一个数除以9余7，除以11余9，这个数最小是多少？解析：这个数加上2就能被9和11整除。
9和11互质，它们的最小公倍数是9×11 = 99。
所以这个数最小是99 2 = 97。
5. 某数除以7余1，除以8余2，除以9余3，求这个数最小是多少？解析：这个数加上6就能被7、8、9整除。
7、8、9的最小公倍数为7×8×9=504。
所以这个数最小是504 6 = 498。
6. 一个数除以3余1，除以5余2，除以7余3，这个数最小是多少？解析：中国剩余定理：先求5×7 = 35，35除以3余2，2×2 = 7，7除以3余1。
再求3×7=21，21除以5余1，1×2 = 2，2除以5余2。
然后求3×5 = 15，15除以7余1，1×3=3，3除以7余3。
五年级数学第14讲 余数问题
第14讲余数问题在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。
（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。
例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。
注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。
注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。
将5056分解质因数，得到5056=26×79。
由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2 被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
五年级奥数：第14讲 余数问题
五年级奥数：第14讲余数问题在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。
（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。
例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。
注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c 的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。
注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。
将5056分解质因数，得到5056=26×79。
由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2 被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
五年级余数问题
五年级余数问题【例 1】 (2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【解析】 被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=(2083-13)÷(17+1)=115，所以被除数=2083-115=1968．【例 2】 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？【解析】 本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目．由题意所求的自然数一定是2008-10即1998的约数，同时还要满足大于10这个条件．这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数，319982337=⨯⨯，共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数，其中1，2，3，6，9是比10小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11个．【例 3】 有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数．【解析】 (法1) 39336-=，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【例 4】 (2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．【解析】 (70110160)50290++-=，50316......2÷=，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，11058 1......52÷=，5052>，所以除数不是58．7029 2......12÷=，11029 3......23÷=，16029 5......15÷=，50152312=++，所以除数是29【巩固】 (2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________．【解析】 n 能整除258251299163=-++．因为2538...1÷=，所以n 是258大于8的约数．显然，n 不能大于63．符合条件的只有43．【例 5】 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？【解析】 这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90164254+=后所得的余数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是25422034-=的约数，又大于10，这个自然数只能是17或者是34．如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16，不符合题目条件；如果这个数是17，那么他去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16，符合题目条件，所以这个自然数是17．【例 6】 甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A 除甲数所得余数是A 除乙数所得余数的2倍，A 除乙数所得余数是A 除丙数所得余数的2倍．求A 等于多少？【解析】 根据题意，这三个数除以A 都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：11603A K r ÷= 22939A K r ÷= 33393A K r ÷=由于122r r =，232r r =，要消去余数1r ， 2r ， 3r ，我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以2，使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4．于是我们可以得到下面的式子：11603A K r ÷= ()22939222A K r ⨯÷= ()33393424A K r ⨯÷=这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被A 整除．93926031275⨯-=，3934603969⨯-=，()1275,96951317==⨯．51的约数有1、3、17、51，其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以A 等于17．【例 7】 (2003年南京市少年数学智力冬令营试题) 20032与22003的和除以7的余数是________．【解析】 找规律．用7除2，22，32，42，52，62，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…，2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为20033667222⨯+=，所以20032除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以22003除以7余1．故20032与22003的和除以7的余数是415+=．【巩固】 2008222008+除以7的余数是多少？【解析】 328=除以7的余数为1，200836691=⨯+，所以200836691366922(2)2⨯==⨯＋，其除以7的余数为：669122⨯=；2008除以7的余数为6，则22008除以7的余数等于26除以7的余数，为1；所以2008222008+除以7的余数为：213+=．【例 8】 (2009年走美初赛六年级)有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？【解析】 由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．所以这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，……可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数．由于200954014÷= ，所以前2009个数中，有401个是5的倍数．【巩固】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？【解析】 斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数，为0．【例 9】 (1997年全国小学数学奥林匹克试题)将12345678910111213......依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是 ________．【解析】 本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和．19～共有9个数字，1099～共有90个两位数，共有数字：902180⨯= (个)， 100999～共900个三位数，共有数字：90032700⨯= (个)，所以数连续写，不会写到999，从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，(19979180)36--÷=，即有602个三位数，第603个三位数只写了它的百位和十位．从100开始的第602个三位数是701，第603个三位数是9，其中2未写出来．因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是：702978÷= (组)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为9-27 =．【例 10】 有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和．【解析】 本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数．因为这是一个一定正确的算式，所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以9的余数分别为1和8，所以等式一边除以9的余数为8，那么□1031除以9的余数也必须为8，□只能是3．将31031分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，即31031311001143217=⨯=⨯所以两个三位数是143和217，那么两个三位数的和是360【例 11】 设20092009的各位数字之和为A ，A 的各位数字之和为B ，B 的各位数字之和为C ，C 的各位数字之和为D ，那么D =？【解析】 由于一个数除以9的余数与它的各位数字之和除以9的余数相同，所以20092009与A 、B 、C 、D 除以9都同余，而2009除以9的余数为2，则20092009除以9的余数与20092除以9的余数相同，而6264=除以9的余数为1，所以()334200963345652222⨯+==⨯除以9的余数为52除以9的余数，即为5．另一方面，由于20092009803620091000010<=，所以20092009的位数不超过8036位，那么它的各位数字之和不超过9803672324⨯=，即72324A ≤；那么A 的各位数字之和9545B <⨯=，B 的各位数字之和9218C <⨯=，C 小于18且除以9的余数为5，那么C 为5或14，C 的各位数字之和为5，即5D =．。
五年级第6讲 余数问题
第6讲余数问题
1.一个两位数除210，余数是27，求这样的两位数。
2.有一个大于1的整数，用它除285、253、229得到相同的余数，求这个数？
3.某年级有200多名学生．有一次演出节目排队时发现：如果每5人站成一列则多余2人；如果改为每6人站成一列则仍多余2人；如果每7人结成一列，结果还是多余2人。
该年级共有学生多少名？
4.智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按3人一行排队，结果多出1人，按4人一行排队，结果多出3人，按5人一行排队，结果多出1人，老人说我知道你们年级人数应该是________人。
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余数问题
一、余数的性质
1、关于和的余数：（A+B）÷M的余数=（A÷M的余数+B÷M的余数）÷M的余数
例如：求（635+493）÷7的余数：635÷7的余数是5，493÷7的余数是3，（5+3）÷7的余数是1，所以（635+493）÷7的余数就是1。
2、关于积的余数：（A×B）÷M的余数=（A÷M的余数）×（B÷M的余数）÷M 的余数
例如：求（84×907）÷9的余数：84÷9余数是3，907÷9余数是7，3×7÷9的余数是3，所以（84×907）÷9的余数就是3。
3、两个数除以一个数，如果余数相同（我们叫这两个数同余），那么这两个数的差（大减小）能被这个数整除。
例如：94÷6=15……4；64÷6=10……4，则（94-64）能被6整除（30÷6=5）二、怎样求余数
当被除数较大时，可以用“弃整法”来求余数。
三、除数是一些特殊数的余数的规律
1、一个数除以2的余数：这个数是奇数余数为1，这个数是偶数余数为0。
2、一个数除以3或9的余数，等于这个数的各位数字之和除以3或9的余数。
÷3的余数=（5+2+5+4+7+8+9+6）÷3的余数，就是1。
3、一个数除以4的余数等于末两位数除以4的余数。
÷4的余数=46÷4的余数，就是2。
4、一个数除以5的余数，等于这个数的末位数除以5的余数。
例如：127除以5的余数等于7除以5的余数，就是2。
5、一个数除以8的余数等于这个数的末三位数除以8的余数。
例如：5246123÷8的余数=123÷8的余数=3。
四、例题
例题1、1586+35789除以7的余数是多少
765463+3545642除以4的余数是多少
9645+567除以11的余数是多少
例题2、1586×35789除以9的余数是多少
455×163除以13的余数是多少
654652×5465129除以8的余数是多少
572（也就是5个72相乘）除以7的余数是多少
例题3、 2008
2008200820082008个除以9的余数是多少
例题4、2007年10月13日是星期六，问再过20082008
（也就是2008个2008相乘）天是星期几
例题5、1+2+3+4+…+2008除以3的余数是多少
例题6、2222210099321+++++ 除以7的余数是多少
例题7、找出数列0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……的规律，并求出这列数的第2008个数除以3的余数是多少
例题8、一个数除以4的余数是3，除以5的余数是2，这个数最少是多少
五、练习
1、785+582除以3的余数是多少
2、32567+12543除以4的余数是多少
3、365×541除以7的余数是多少
4、17×354×409除以13的余数是多少
5、 2006
2006200620062006个除以9的余数是多少
6、今年国庆节是星期一。
再过100100天是星期几
7、1+2+3+4+5+……+1001除以4的余数是多少
8、2222210099321+++++ 除以6的余数是多少
9、有一串数1、2、4、7、11、16、22、……，它的规律是什么这列数的前100个数中，被3除余1的数有多少个
10、一个数除以6余数是4，除以8余数是5，你能找出这个数吗为什么
11、一个数除以3余数是2，除以7余数是5，这个数最小是多少
12、一个数除以7余数是2，如果将被除数扩大9倍，那么它除以7的余数是多
少
六、作业
1、890021+5458012除以9的余数是多少
3、630302×706除以7的余数是多少
4、12341234除以5的余数是多少
5、 456
456456456456个除以9的余数是多少
6、有一串数1、1、2、3、5、8、13、21、……，它的规律是什么在这串数的前2008个数中，有多少个是5的倍数
7、一个数除以5余数是3，除以7的余数是2，这个数最小是多少。