2019学年高中数学 第三章 直线与方程 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.2 第1课时 两直线的交点坐标
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行直线间的距离》16PPT课件
提问：在公路旁的A处是一个居民房子，如何测量房子到公路的距离？
如何测量路宽？
主要是培养学生的解决问题的能力，能够把房子抽化为点， 路宽的界限当成两条平行线的距离
把房子抽化成点，路的两个界限为两条平行线，所以抽化成两个数学问 题：点到直线的距离和两条平行线的距离
如何定义两条平行线间的距离？ 平行线具有怎样的性质？（考察了初中的部分知识）
（1）平行线间距离公式的推导 （2）平行线间距离公式的运用
相应练习册：固学案 第三课时
本节课内容不是很难，还是要让学生 们多独立思考
两条平行线间的距离
教学目标：
知识目标：理Leabharlann 两条平行线间的距离的概念，会将直线间的距离转 化为点到直线的距离来求。 能力目标：提升自主探究能力，充 分体会转化思想。 情感目标：通过对问题的探究活动， 获得成功的体验和克服困难的经 历，增进学习数学的信心，优化 数学思维品质
教学重点：两条平行直线的距离公式 的推导、应用；线线距与点线距的转 化 教学难点：两条平行直线间的距离的 求法及灵活应用
求证：两条平行直线
的距离
证明：在直线 ，
上任取一点
，则
。根据上边的讲解得知只需求P点到
的距离即可。所以
。得证。
小组讨论应用此公式 时需注意的问题
直线方程必须是 一般式
两条直线方程x，y的 系数必须一致
练习1：求下列平行直线的距离d （1）
（2）
练习2：求与直线 直线方程。
平行且到l的距离为2的
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行直线间的距离》310PPT课件
两条平行直线间的距离
已知两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By
|C1－C2| ＋C2＝0(C1≠C2)，则 l1 与 l2 之间的距离为 d A2＋B2
＝
.
3．l1与l2之间的距离公式是如何推导的？ 提示：在直线l1上任取一点P(x0，y0)，则Ax0＋By0＝－ C1.点P到直线l2的距离为d＝|Ax0＋AB2＋y0B＋2C2|＝ |CA1－2＋CB2|2.
6－－3
故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和 y＋1＝－ 3(x＋3)，即 3x＋y－20＝0 和 3x＋y＋10＝0.
【解后反思】 通过数形结合思想和函数思想与方法， 根据题中的已知点不动，而两条平行直线可以绕点转动，我 们很容易直观感受到两条平行直线间距离的变化情况，从而 求出两条平行直线间的距离的范围．
4
2 .
1．点到直线的距离的几种特殊情况 (1)点 P(x0，y0)到 x 轴的距离 d＝|y0|； (2)点 P(x0，y0)到 y 轴的距离 d＝|x0|； (3)点 P(x0，y0)到与 x 轴平行的直线 y＝a(a≠0)的距离 d ＝|y0－a|； (4)点 P(x0，y0)到与 y 轴平行的直线 x＝a(a≠0)的距离 d ＝|x0－a|.
【解】 方法1：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0. 在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0(0，12)， 点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为 d＝|－512＋2×－12＋12C2|＝|C1－3 6|. 由题意，得|C1－3 6|＝2. ∴C＝32或C＝－20. ∴所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
高中数学 第3章 直线与方程 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标教材梳
3.3.1 两条直线的交点坐标疱丁巧解牛知识·巧学一、两条直线的交点如果两条直线相交，则交点坐标分别适合两条直线的方程，即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解.把两条直线的方程组成方程组，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数个解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.要点提示直线相交的问题转化为求方程组的解的问题,且解的个数决定两条直线的位置关系.两直线的交点坐标对应的就是两直线方程所组成方程组的解.二、直线系方程具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，表示直线系的方程叫做直线系方程.方程的特点是除含坐标变量x 、y 以外，还含有待定系数(也称参变量).(1)共点直线系方程：经过两直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0，l 2：A 2x+B 2y+C 2=0交点的直线方程为A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2)=0，其中λ是待定系数.在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A 2x+B 2y+C 2=0，因此它不能表示直线l 2.(2)平行直线系：与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+λ=0(λ≠C)，λ是参变量.(3)垂直直线系方程：与Ax+By+C=0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+λ=0.(4)特殊平行线与过定点(x 0，y 0)的直线系：当斜率k 一定而m 变动时，y=kx+m 表示斜率为k 的平行线系，y-y 0=k(x-x 0)表示过定点(x 0，y 0)的直线系(不含直线x=x 0).要点提示 如果在求直线方程的问题中,有一个已知条件,另一个条件待定时,可选用直线系方程来求解.直线系是直线和方程的理论发展,是数学符号语言中一种有用的工具,是一种很有用的解题技巧,应注意掌握和应用.问题·探究问题1 设两条直线的方程为l 1:A 1x+B 1y+C 1=0和l 2:A 2x+B 2y+C 2=0，如果这两条直线相交，你能分析它们的系数满足什么关系吗？探究:我们可以先解由两直线方程联立的方程组⎩⎨⎧=++=++).2( 0C y B x A ),1( 0C y B x A 222111 ①×B 2-②×B 1,得(A 1B 2-A 2B 1)x+B 2C 1-B 1C 2=0.当A 1B 2-A 2B 1≠0时，得x=12211121B A B A B C C B --；再由①×A 2-②×A 1，当A 1B 2-A 2B 1≠0时，可得y=12212112B A B A C A C A --.因此，当A 1B 2-A 2B 1≠0时，方程组有唯一一组解x 、y. 这时两条直线相交，交点的坐标就是(x ，y).因此这两条直线相交时，系数满足的关系为A 1B 2-A 2B 1≠0.问题2 请你探究一下三条直线l 1:ax+y+1=0,l 2:x+ay+1=0,l 3:x+y+a=0构成三角形的条件是什么？探究:三直线构成三角形，则需任意两条直线都相交，且不能相交于一点.注意不要忽略三线交于同一点的情况.所以可以从正反两个方向来思考.解法一:任两条直线都相交，则a a 11≠,111≠a ,故a≠±1.又有三条直线不交于同一点， 故其中两条直线⎩⎨⎧=++=++0a y x 0,1ay x 的交点(-1-a,1)不在直线ax+y+1=0上，即a(-1-a)+1+1≠0,a 2+a-2≠0，(a+2)(a-1)≠0,∴a≠-2,a≠1.综合上述结果，三条直线构成三角形的条件是a≠±1,a≠-2.解法二:因为三条直线能构成三角形,所以三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行，且三线不共点.可以把不能构成三角形的情况排除掉.若三条直线交于同一点，则其中两条直线⎩⎨⎧=++=++0a y x 0,1ay x 的交点(-1-a,1)在直线ax+y+1=0上，∴a(-a-1)+1+1=0,∴a=1或a=-2.若l 1∥l 2，则有11-=-a ,a=1；若l 1∥l 3，则有11-=-a,a=1；若l 2∥l 3，则有a a-=-1,a=±1. 所以若三条直线构成三角形，则需a≠±1,a≠-2.典题·热题例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点.(1)l 1：2x-y=7和l 2：3x+2y-7=0;(2)l 1：2x-6y+4=0和l 2：4x-12y+8=0;(3)l 1：4x+2y+4=0和l 2：y=-2x+3.思路解析：判定两直线的位置关系，可以转化为讨论方程组解的情况.若两直线方程组成的方程组有且仅有一组解时，说明两直线相交；若方程组无解，说明两直线平行；若方程组有无数多组解，则说明两直线重合.解：(1)方程组⎩⎨⎧=+=07-2y 3x 0,7-y -2x 的解为⎩⎨⎧==-1,y 3,x 因此直线l 1和l 2相交，交点坐标为(3，-1).(2)方程组⎩⎨⎧=+=+0812y -4x 0,46y -2x 有无数组解，这表明直线l 1和l 2重合. (3)方程组⎩⎨⎧=+=++03-y 2x 0,42y 4x 无解，这表明直线l 1和l 2没有公共点，故l 1∥l 2.深化升华 根据两直线方程判断两直线的位置关系时，当已知形式是直线的斜截式方程时，利用斜率以及纵截距来判定两直线是否相交、平行或重合更方便.当已知直线的一般式方程时，若系数中含有字母，因为直线斜率是否存在不清楚，若再使用斜率判定，则要进行分类讨论，但用一般式的系数关系来判断则不用讨论，显得较为简单易行.例2 已知两直线l 1：x+my+6=0，l 2：(m-2)x+3y+2m=0，当m 为何值时，直线l 1与l 2(1)平行;(2)重合;(3)相交？思路解析：对于平行及重合的判断，可以通过斜率与截距来分析.而对于l 1与l 2相交的情况，只能通过解方程组来寻求规律.解：当m=0时，l 1：x+6=0，l 2：2x-3y=0，此时l 1与l 2相交.当m≠0时，l 1：y=m x m 61--，l 2：y=m x m 3232---. (1)若l 1∥l 2，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≠--=-,326,321m m m m 解得m=-1(m=3舍去). (2)若l 1与l 2重合，则62312m m m ==-， 解得m=3.故m=-1时,l 1∥l 2;m=3时,l 1与l 2重合.(3)由l 1的方程得x=-my-6，代入l 2的方程得(m-2)(-my-6)+3y+2m=0，即(m 2-2m-3)y=12-4m.显然，m 2-2m-3=0时无解，只有当m 2-2m-3≠0，即m≠-1且m≠3时，方程才有解，且是唯一解，故只有当m≠-1且m≠3时两直线相交.深化升华 具体的两条直线的位置关系的判断方法：实际上，对于两条直线平行，可以将两直线的方程分别化为斜截式，通过斜率相等，纵截距不相等来判断；对于两条直线重合的情况，实际上是两条直线的方程完全相同，只是化简的程度不同，此时，可通过对应项的系数的比值相等来判断.例3 求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程. 思路解析：根据本题的条件，一种思路是先求出交点坐标，再设所求直线的点斜式方程求出所要求的直线方程；另一种思路是利用直线系(平行系或过定点系)直接设出方程，根据条件求未知量，得出所求直线的方程.解：(方法一)由方程组⎩⎨⎧=++=0,2y x 0,3-3y -2x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.57,53y x ∵直线l 和直线3x+y-1=0平行，∴直线l 的斜率k=-3.∴根据点斜式有y-(57-)=-3［x-(53-)］， 即所求直线方程为15x+5y+16=0.(方法二)∵直线l 过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点，∴设直线l 的方程为2x-3y-3+λ(x+y+2)=0，即(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0.∵直线l 与直线3x+y-1=0平行， ∴1321332--≠-=+λλλ.解得λ=211. 从而所求直线方程为15x+5y+16=0.拓展延伸 直线系是指具有某一共同特征的直线的集合.表示直线系的方程叫做直线系方程.除了本题的共点直线系外，还有过定点的直线系、平行直线系和垂直直线系等.对于求与已知直线有着一定联系的直线的方程时，可以通过特定的直线系方程利用待定系数法来求解.注意要根据题中条件灵活地选择方程进行求解.变式：求与直线2x+3y+1=0垂直，且过点P(1，-1)的直线l 的方程.思路解析：本题可以先求得直线的斜率，应用直线的点斜式方程求得.也可以由垂直直线系方程设出直线的方程求待定的系数.解：设与直线2x+3y+1=0垂直的直线l 方程为3x-2y+c=0.因为点P(1，-1)在直线l 上，所以3×1-2×(-1)+c=0，解之,得c=-5.所以所求直线方程为3x-2y-5=0.例4 求证：不论m 取什么实数，直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标.思路解析：题目所给的直线方程的系数含有字母m ，给m 任何一个实数值，就可以得到一条确定的直线，因此所给的方程是以m 为参数的直线系方程.要证明这个直线系中的直线都过一定点，就是证明它是一个共点的直线系，我们可以给出m 的两个特殊值，得到直线系中的两条直线，它们的交点即是直线系中任何直线都过的定点.另一个思路是：由于方程对任意的m 都成立，那么就以m 为未知数，整理为关于m 的一元一次方程，再由一元一次方程有无数个解的条件求得定点的坐标.解：解法一：对于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0，令m=0，得x-3y-11=0；令m=1，得x+4y+10=0.解方程组⎩⎨⎧=++=0,104y x 0,11-3y -x 得两条直线的交点为(2，-3).将点(2，-3)代入已知直线方程左边，得(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=4m-2-3m-9-m+11=0.这表明不论m 为什么实数，所给直线均经过定点(2，-3).解法二：将已知方程以m 为未知数，整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0.由于m 的取值的任意性，有⎩⎨⎧=++=+0.113y x -0,1-y 2x 解得⎩⎨⎧==-3.y 2,x所以所给直线不论m 取什么实数，均经过定点(2，-3).深化升华 含参直线过定点问题的解题思路有二：一是曲线过定点，即与参数无关，则参数的同次幂的系数为0，从而求出定点；二是分别令参数为两个特殊值，得方程组，求出点的坐标，代入原方程满足，则此点为所求定点.。
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1．两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2| ＝ x1－x22＋y1－y22的形式？
提示：可以，原因是 x2－x12＋y2－y12 ＝ x1－x22＋y1－y22，也就是说公式中 P1，P2 两点的位 置没有先后之分．
2．求两平行直线的距离时可直接用公式 d＝ |CA1－2＋CB22| . 使用两平行直线的距离公式的前提是：①把直线方程转化成 一般式；②两直线方程中 x，y 的系数必须对应相等．
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直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2的 距离为5，求l1、l2的方程．
两点间线段的长 点到直线的垂__线__段_
度
的长度
两条平行直线间 的距离
夹在两条平行直 线间公垂线段 的 长
图示
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类别
两点之间的距离
点到直线的距 两条平行直线间
离
的距离
公式(或 求法)
点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)间的
距离|P1P2|＝
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2．点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0或P在直线l上的特 殊情况是否还适用？
提示：适用． ①当 A＝0 时，B≠0，直线 l 的方程为 By＋C＝0， 即 y＝－CB，d＝y0＋CB＝|By|0B＋| C|，适合公式；
②当 B＝0 时，A≠0，直线 l 的方程为 Ax＋C＝0， x＝－CA，d＝x0＋CA＝|Ax|0A＋| C|，适合公式；
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d=
C1 - C2 A2 + B2
课后练习
2、求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的 直线方程. 答案: 2x+11y-38=0
课后作业
课本习题3.3 (A组)第 9 题
(B组)第 4 题
By0 A2 B2
C2
Ax0 By0 C1 PQ C2 C1
（两平行线间 的距离公式）
A2 B2
注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为 对应相同的形式。
两条平行直线间的距离：
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直
线间的公垂线段的长.
y
P l1
两条平行线 l1:Ax+By+C1=0与
yP
l 思考：任意两条平行线的距离是多少呢？
1
Q l2
任意两条平行直线都可以写成如下形式：
O
x
l1 :Ax+By+C1=0
l2 :Ax+By+C2=0
在直线 l1上任取一点Px0, y0 ,过点P作直线 l2的垂线,垂足为Q
则点P到直线l2的距离为: PQ Ax0 Q 点P在直线l1上， Ax0 By0 C1 0
取一特殊点,再求这一点到另一直线的距离.
解:
l1的斜率k1
2 7
, l2的斜率k 2
2. 7
因为k1 k2,所以l1 // l2.
l1与x轴的交点 A的坐标为(4,0).
点A到直线l2的距离
d | 6 4 21 0 1| 23 23 53.
62 212
3 53 159
所以l1与l2间的距离为12539 53.
解:
l1的斜率k1
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行线间的距离》879PPT课件
Q x
d C1 - C2 A2 B2
题型一：公式应用
求下列两条平行直线间的距离：
（1）2x+3y-8=0
2x+3y+18=0
d | 2 4 7 0 18 | 26 13 2 13
22 32
13
（2）3x+4y=10
3x+4y=0
d | 3 2 4 1| 10 2
32 42
3.3.4两条平行线之间的距离
复习： P0(x0,y0)，直线l:Ax+By+C=0
点到直线 的距离
d | Ax0 By0 C | A2 B2
1、求点A(-2，3)到直线3x+4y+3=0的距离.
| 3 (2) 4 3 3 | 9
d
32 42
5
2、求点P0(2，-1)到直线2x+y-10=0的距离.
P到l1的距离等于l1与l2的距离
2 3 7 0 8 14 14 53
d
22 (7)2
53 53
直线到直线的距离转化为点到直线的距离
思考：任意两条平行线的距离是多少呢？
y
l1
P
任意两条平行直线都可以写成如 下形式：
Q
l2
x
O
Q 点P在直线l1上， Ax0 By0 C1 0 Ax0 By0 C1
| 2 2 (1) 10 | 7 5
d
22 12
5
问题：
求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。
思考：
求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。
y
O
l1:2x-7y+8=0
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[随堂训练]
1．若点(2，k)到直线 5x－12y＋6＝0 的距离是 4，则 k 的值是( )A．1 B．－3C．1或5 3
D．－3
或17 3
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解析：d＝|2×55－2＋121k2＋2 6|＝|16－1312k|＝4 ∴|16－12k|＝52，∴16－12k＝52 或 16－12k＝－52，
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1．求过点 M(－2,1)且与 A(－1,2)，B(3,0)两点距离相等的直线方程． 解析：当斜率存在时，设直线方程为 y－1＝k(x＋2)，即 kx－y＋2k＋1
＝0.
由条件得|－k－2＋2k＋1|＝|3k＋2k＋1|，
k2＋1
k2＋1
解得 k＝0，或 k＝－12.
所以 P19，3178即为同时满足条件的点．
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解决探索性问题时，可先假设需探究的问题存在，以此为出发点寻找满 足的条件．若求出的结论符合要求，则问题有解．若求出的结论与要求 不符，则说明原探究问题无解．另外，运用公式解决问题要注意适用的 范围及使用特点．
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由点 A 到它的距离为 2，可得 2＝|k－1k＋2＋4－1 3k|， 解得 k＝152，所以直线方程为 y－4＝152(x－3)， 即 5x－12y＋33＝0. 综上，所求直线的方程为 x＝3 或 5x－12y＋33＝0.
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高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行直线间的距离》140PPT课件
注意 当A=0或B=0，此公式也成立.
1.此公式的作用是求点到直线的距离； 2.此公式是在A、B≠0的前提下推导的； 3.如果A=0或B=0，此公式恰好也成立； 4.如果A=0或B=0，一般不用此公式； 5.用此公式时直线要先化成一般式.
例1 求点P1, 2到下列直线的距离. 1 2x y 10 0 ; 2 3x 2 .
已知两条平行直线 l1 : Ax By C1 0,
l2 : Ax By C2 0,C1 C2 .
设 P(x0 , y0 ) 是直线 l2 上的任意一点，则 Ax0 By0 C2 0, 即 Ax0 By0 C2.
d | Ax0 By0 C1 | | C1 C2 |
A2 B2
A2 B2
就是直线 l1 和 l2 间的距离．
注意：两条平行直线的方程必须化为一般式，即为
l1 : Ax By C1 0, l2 : Ax By C2 0 .
例3 已知直线 l1 : 2x 7 y 8 0 l1与l2是否平行？若 l2 : 6x 21y 1 0
平行，求l1与l2间的距离.
解：因为l1，l2的斜率分别为
2 k1 7 , k2
6 2. 21 7
所以l1，l2平行.
先求l1与x轴的交点A的坐标，易得A（4,0），
点A到直线l2的距离为
6 4 210 1 23 23
d
62 212
3 53 159
53,
所以l1，l2间的距离为
23 159
53.
1．点(0，5)到直线y=2x的距离是（ B ）
解:（1）根据点到直线的距离公式，得
d | 21 2 10 | 10 2 5.
22 12
5
（2）根据点到直线的距离公式，得
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两条平行线间的距离
情境导入
学习目标
1.了解两平行线距离公式的推导；（难点） 2.会求两条平行线之间的距离。（重点）
课堂探究
（1）复习回顾：
P0 (x0 , y0 ) 到直线 l : Ax By C 0
的距离为 d | Ax 0 By 0 C 1
2 7
所以l1，l2平行。
先求l1与x轴的交点A的坐标，易得A（4,0），
点A到直线l2的距离为 d
6 4 21 0 1 62 212
23 3 53
23 159
53,
所以l1，l2间的距离为
23 159
53
d
23 13
点评：把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离。
求证：两平行线Ax+By+C 1 =0与Ax+By+C 2 =0间的 距离为d=|C1 C2 |
（2）探究： 设直线 ，如何求它们之间的距离？ 能否将平行线间的距离转化为点到直线的距离? 如何取点，可使计算简单？
例1 已知直线： l1 : 2x 7 y 8 0 l2 : 6x 21y 1 0
l1与l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离。
解：因为l1，l2的斜率分别为k1
2 7
,
1.求下列两条平行线的距离：
(1) l1:2x+3y-8=0 ，l2 :2x+3y+18=0
d = | 18 - (-8) | = 26 = 2 13
22 + 32
13
(2) l1: 3x+4y=10 ，l2: 3x+4y-5=0
d = | -5 - (-10) | = 1 32 + 42
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行线间的距离》729PPT课件
第三单元·直线与方程
3.3.4两条平行直线间的距离
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知识点二 两条平行直线间的距离
思考 直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)，B(0,1)，C(－1,2)三点，直线l2：x＋ y＋1＝0与直线l1平行，那么点A，B，C到直线l2的距离分别为多少？有什 么规律吗？ 答案 点 A，B，C 到直线 l2 的距离分别为 2， 2， 2.规律是当两直线平 行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等.
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解答
(2)求d取最大值时，两条直线的方程. 解 由(1)知 dmax＝3 10，此时 k＝－3， 两直线的方程分别为3x＋y－20＝0或3x＋y＋10＝0.
解答
总结 两平行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利 用数形结合思想得到两平行线间距离的最值.
变式训练 已知P，Q分别是直线3x＋4y－5＝0与6x＋8y＋5＝0上的动点，
C1≠C2
时，d＝
|C1－C2| A2＋B2
.
但必须注意两直线方程中 x，y 的系数对应相等.
变式训练 (1)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程； 解 设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，
|C－6| 由两平行直线间的距离公式，得 2＝ 52＋－122， 解得C＝32或C＝－20， 故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
解析 由题意，得63＝m1 ，∴m＝2，
将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，
|－1＋6| 由两平行线间的距离公式，得 62＋22＝
540＝
10 4.
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- 1 -
第1课时 两直线的交点坐标、两点间的距离
A级 基础巩固
一、选择题
1．两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值为( )
A．－24 B．6
C．±6 D．24
解析：在2x＋3y－k＝0中，令x＝0中得y＝k3，将0，k3代入x－ky＋12＝0，解得k＝±6.
答案：C
2．已知点P(a，2)，A(－2，－3)，B(1，1)，且|PA|＝|PB|，则a的值为( )
A．－92 B．－7
C．－5 D．4
解析：由于|PA|＝|PB|，所以（a＋2）2＋（2＋3）2＝
（a－1）2＋（2－1）2，化简得6a＝－27，
解得a＝－92.
答案：A
3．直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为( )
A．12 B．10
C．－8 D．－6
解析：将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0可求得m＝5，将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0得
n
＝5，所以m＋n＝10.
答案：B
4．过两直线l1：3x＋y－1＝0与l2：x＋2y－7＝0的交点，并且与直线l1垂直的直线方程是
( )
A．x－3y＋7＝0 B．x－3y＋13＝0
C．2x－y＋7＝0 D．3x－y－5＝0
解析：直线l1：3x＋y－1＝0与l2：x＋2y－7＝0的交点为(－1，4)，与l1垂直，得斜率为13，
由点斜式得y－4＝13(x＋1)，即x－3y＋13＝0，故选B.
答案：B
- 2 -
5．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线( )
A．恒过定点(－2，3) B．恒过定点(2，3)
C．恒过点(－2，3)和点(2，3) D．都是平行直线
解析：(a－1)x－y＋2a＋1＝0化为ax－x－y＋2a＋1＝0，
因此－x－y＋1＋a(x＋2)＝0
由－x－y＋1＝0，x＋2＝0得x＝－2，y＝3.
答案：A
二、填空题
6．无论m为何值，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0恒过一定点P，则点P的坐标为
________．
解析：将直线l的方程整理得(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0，
令2x＋y－7＝0，x＋y－4＝0，得x＝3，y＝1，
即点P的坐标为(3，1)．
答案：(3，1)
7．已知△ABC的顶点坐标为A(－1，5)，B(－2，－1)，C(2，3)，则BC边上的中线长为________．
解析：由中点坐标公式得，BC的中点坐标为(0，1)，所以BC边上的中线长为
（0＋1）2＋（1－5）2＝17.
答案：17
8．经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点，且与直线3x＋y－1＝0平行的直线
l
的方程为________．
解析：由方程组2x－3y－3＝0，x＋y＋2＝0，
得x＝－35，y＝－75，
所以两条直线的交点为－35，－75.
因为直线l和直线3x＋y－1＝0平行，
所以直线l的斜率k＝－3.
所以y－－75＝－3x－－35，
即所求直线方程为15x＋5y＋16＝0.
答案：15x＋5y＋16＝0
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三、解答题
9．点A在第四象限，点A到x轴的距离为3，到原点的距离为5，求点A的坐标．
解：点A在第四象限，A点到x轴的距离为3，故设A(a，－3)，a＞0，到原点的距离为5，
所以（a－0）2＋（－3－0）2＝5，解得a＝4，故点A的坐标为(4，－3)．
10．求经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方
程．
解：解方程组3x＋2y＋6＝0，2x＋5y－7＝0，得交点(－4，3)，
因此可设所求直线方程为y－3＝k(x＋4)，即y＝k(x＋4)＋3.
令x＝0，得y＝4k＋3，令y＝0，得x＝－4k＋3k，
于是4k＋3＝－4k＋3k，即4k2＋7k＋3＝0，
解得k＝－34或k＝－1，
故所求直线方程为3x＋4y＝0或x＋y＋1＝0.
B级 能力提升
1．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且线段AB的中点
为P0，10a，则线段AB的长为( )
A．11 B．10
C．9 D．8
解析：依题意a＝2，P(0，5)，设A(x，2x)，B(－2y，y)，故x－2y＝0，2x＋y＝10，则A(4，8)，B(－
4，2)，所以|AB|＝（4＋4）2＋（8－2）2＝10，故选B.
答案：B
2．等腰△ABC的顶点是A(3，0)，底边|BC|＝4，BC边的中点为D(5，4)，则腰长为________．
解析：|BD|＝12|BC|＝2，|AD|＝（5－3）2＋（4－0）2＝25，
在Rt△ADB中，由勾股定理得腰长为|AB|＝22＋（25）2＝
26.
答案：26
3．已知点A(1，－1)，B(2，2)，点P在直线y＝12x上，求|PA|2＋|PB|2取最小值时P点的
坐标．
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解：设P(2t，t)，则|PA|2＋|PB|2＝(2t－1)2＋(t＋1)2＋(2t－2)2＋(t－2)2＝10t2－14t＋10.
当t＝710时，|PA|2＋|PB|2取得最小值，此时有P75，710， 所以|PA|2＋|PB|2取得最小值时
P
点的坐标为75，710.