物理竞赛牛顿运动定律

1 / 15 xxmaFyymaF

zzmaF

竞赛专题二 牛顿运动定律 宋善炎 严娇 【基本知识】 一、惯性系和牛顿运动定律 1、惯性系 牛顿定律成立的参考系叫惯性系。 一切相对惯性系作匀速直线运动的参考系也是惯性系。实验证明：地球参考系可以近似看做惯性系。相对地面静止或匀速直线运动物体上的参考系可视为惯性系。 2、牛顿运动定律 （1）牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体的作用迫使它改变这种状态为止。 任何物体都有保持自已原有运动状态不变的性质叫惯性。惯性是物体固有的属性，可用质量来量度，惯性是维持物体运动状态的原因，力是物体运动状态变化的原因． （2）牛顿第二定律：在外力作用下，物体所获得的加速度的大小与所受合外力的大小成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同，其数学表达式为 maF

该定律只适用于质点或做平动的物体，只在惯性系中成立，遵从力的独立性原理（叠加原理）：作用在质点上的每一个力都各自产生对应的加速度，即aFmi 如在直角坐标系中，有分量式 在自然坐标系中，则有：

2,vmmaFdtdvmmaFnn

由加速度的定义，可以给出第二定律的微分形式 （3）牛顿第三定律 当物体A以F1作用在物体B上时，物体B也必同时以F2作用在物体B上，F1和F2在同一直线上，大小相等而方向相反，数学表达式为

21FF

牛顿三定律只适用于宏观、低速（远小于光速）的机械运动。 3、牛顿定律在曲线中的应用 （1）物体作曲线运动的条件：物体的初速度不为零，受到的合外力与初速度不共线且指向曲线“凹侧”。如图该时刻物体受到的合外力F与速度的夹角为，满足的条件是oo1800。

（2）圆周运动 物体做匀速圆周运动的条件是，物体受到始终与速度方向垂直、沿半径指向圆心、大小

恒定的力作用，其大小是RmRvmmaFn22 变速圆周运动中，合外力在法线方向和切向方向都有分量，法向分量产生向心加速度RmRvmmaFnn22，切向分量产生切向加速度tvmmaFrr。

22dddtrdmtv

mF



v F 

图1 2 / 15

（3）一般曲线运动 与变速圆周运动类似没在一般曲线运动中，合外力在法线方向和切线方向都有分量，法

向分量的大小为RvmmaFnn2，R为曲线在该处的曲率半径，切向分量的大小为

tvmmaFrr。

二、非惯性系中的力学问题 1、非惯性系 相对惯性系做变速运动的参考系，牛顿运动定律不适用，称为非惯性系。 2、惯性力 am惯F，其中a是非惯性系相对惯性系的加速度。

引入惯性力的概念后，牛顿方程在非惯性系中形式上得以成立，有'aFFm惯，式中，F为真实力，惯F为惯性力，'a为质点在非惯性系中的加速度，从产生的效果看，惯性力与真实力一样，都可以改变物体的运动状态,即产生加速度。惯性力的方向与非惯性系的加速度的方向相反，惯F具体形式与非惯性系的运动状态有关。 （1）平动加速系中的惯性力 在平动加速参考系中，oam惯F，oa为非惯性系的加速度。平动非惯性系中，惯性力由非惯性系相对惯性系的加速度及质点的质量决定，与质点的位置及质点相对于非惯性下速度无关。 （2）匀速转动系统中的惯性力——惯性力离心力

在转动参考系中，rm2F惯，式中为转动系的角速度，r为物体在转动系中的矢径． 三、万有引力 天体的运动 1、开普勒行星运动定律 （1）开普勒第一定律也叫椭圆轨道定律，它的具体内容是：所有行星分别在大小不同的轨道上围绕太阳运动。太阳在这些椭圆的一个焦点上。 （2）开普勒第二定律：对任意行星来说，他与太阳的连线（称为径矢）在相等的时间内扫过相等的面积。 （3）开普勒第三定律的具体表述是:行星绕太阳运动轨道半长轴a的立方与运动周期T

的平方成正比kTa23 2、万有引力定律 自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。 如果用m1和m2表示两个物体的质量，用r表示它们的距离，那么万有引力定律可以用

下面的公式来表示 2

21=

r

mmGF

3、宇宙速度 3 / 15 图3-1

（1）第一宇宙速度skmgRRGMv/9.71地地 如果发射速度小于7.9km/s，物体将落到地面，而不能成为一颗卫星；发射速度等于7.9km/s，它将在地面附近作匀速圆周运动；要发射一颗半径大于地球半径的人造卫星，发射速度必须大于7.9km/s。可见，向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星要困难。 第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球作匀速圆周运动所必须具有的速度，所以也称为环绕速度。

（2）第二宇宙速度skmgRRGMv/2.11222地地，使卫星挣脱地球的束缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度，也称为脱离速度。 发射速度大于7.9km/s，而小于11.2km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆；等于或大于11.2km/s时，卫星就会脱离地球的引力，不再绕地球运行。 （3）第三宇宙速度316.7/vkms，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，也称为逃逸速度。 发射速度大于11.2km/s，而小于16.7km/s，卫星绕太阳作椭圆运动，成为一颗人造行星。如果发射速度大于等于16.7km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 【例题解析】 例1如图2-1所示，已知物块A、B的质量分别为m1、m2，A、B间的摩擦因数为μ1，A与地面之间的摩擦因数为μ2，在水平力F的推动下，要使A、B一起运动而B不至下滑，力F至少为多大？

解析 B受到A向前的压力N，要想B不下滑，需满足的临界条件是：μ1N=m2g. 设B不下滑时，A、B的加速度为a，以B为研究对象，用隔离法分析，B受到重力，A对B的摩擦力、A对B向前的压力N，如图2-2所示，要想B不下滑，需满足：μ1N≥m2g,即：μ1m2a≥m2g,所以加速度至少为a=g/μ1 再用整体法研究A、B，根据牛顿第二定律，有：F—μ2（m1+m2）g=(m1+m2)g=(m1+m2)a,

所以推力至少为gmmF)1)((2121. 注释 隔离法就是从整个系统中将某一部分物体隔离出来，然后单独分析被隔离部分的受力情况和运动情况，从而把复杂的问题转化为简单的一个个小问题求解。 例2 六个完全相同的长条薄片1(iBAii、2、…、6）依次架在水平碗口上，一端搁在碗口，另一端架在另一薄片的正中位置（不计薄片的质量）. 将质量为m的质点置于A1A6的中点处，试求：A1B1薄片对A6B6的压力.

图 2-1 图2-2 4 / 15

图3-2 图3-3 图4

解析（递推法）本题共有六个物体，通过观察会发现，A1B1、A2B2、…、A5B5的受力情况完全相同，因此将A1B1、A2B2、…A5B5作为一类，对其中一个进行受力分析，找出规律，求出通式即可求解。以第i个薄片AB为研究对象，受力情况如图3-2所示，第i个 薄片受到前一个薄片向上的支持力Ni、碗边向上的支持力和后一个薄片 向下的压力Ni+1. 选碗边B点为轴，根据力矩平衡有

2,211iiii

NNLNLN得

所以65321)21(212121NNNN① 再以A6B6为研究对象，受力情况如图3-2所示，A6B6受到薄片A5B5向上的支持力N6、碗向上的支持力和后一个薄片A1B1向下的压力N1、质点向下的压力mg. 选B6点为轴，根据力矩平衡有

LNLmgLN61432

由①、②联立，解得 421mgN

所以，A1B1薄片对A6B6的压力为.42mg 例3 一根均匀柔软的绳长为L，质量为m，对折后两端固定在一个钉子上，其中一端突然从钉子上滑落，试求滑落的绳端点离钉子的距离为x时，钉子对绳子另一端的作用力是多大？ 解析 （微元法）钉子对绳子另一端的作用力随滑落绳的长短而变化，由

此可用微元法求解.如图3—8所示，当左边绳端离钉子的距离为x时，左边绳长为)(21xl，速度 gxv2， 右边绳长为).(21xl 又经过一段很短的时间△t以后，左边绳子又有长度tV21的一小段转移到右边去了，我们就分析这一小段绳子，这一小段绳子受到两力：上面绳子对它的拉 力T和它本身的重力lmgtv/(21为绳子的线密度），

根据动量定理，设向上方向为正 )21(0)21(vtvtgtvT 由于△t取得很小，因此这一小段绳子的重力相对于T来说是很小的，可以忽略， 所以有 gxvT221 因此钉子对右边绳端的作用力为

)31(21)(21lxmgTgxlF 例4 一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ=30°，如图5所示。一长为L的绳（质量不计），一端固定在圆锥体的顶点O处，另