微积分入门基本公式
大学数学微积分基本公式
空间解析几何和向量代数：
空间2点的距离：d = M 1 M 2 = ( x2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 + ( z 2 − z1 ) 2 向量在轴上的投影： Pr ju AB = AB ⋅ cos ϕ ,ϕ是 AB与u轴的夹角。 � � � � Pr ju (a1 + a 2 ) = Pr ja1 + Pr ja 2 � � � � a ⋅ b = a ⋅ b cosθ = a x bx + a y by + a z bz , 是一个数量, 两向量之间的夹角： cosθ =
n k ( n−k ) ( k ) (uv) ( n ) = ∑ C n u v k =0
= u ( n ) v + nu ( n−1) v′ +
n(n − 1) ( n− 2) n(n − 1)⋯(n − k + 1) ( n− k ) ( k ) u v′′ + ⋯ + u v + ⋯ + uv ( n ) 2! k!
dx 1 x ∫ a 2 + x 2 = a arctg a +C dx 1 x−a ∫ x 2 − a 2 = 2a ln x + a + C dx 1 a+x ∫ a 2 − x 2 = 2a ln a − x + C dx x ∫ a 2 − x 2 = arcsin a + C
π 2 π 2
1− x2 1 (arccos x)′ = − 1− x2 1 (arctgx)′ = 1+ x2 1 (arcctgx)′ = − 1+ x2
∫ tgxdx = − ln cos x + C ∫ ctgxdx = ln sin x + C ∫ sec xdx = ln sec x + tgx + C ∫ csc xdx = ln csc x − ctgx + C
(完整版)微积分基本公式
f ( x) sinx et2 dt , f ( x) esin2 x cos x ; 1
d x2 f (t )dt f ( x2 ) 2x .
dx a
d
x3
f (t)dt
f (x3)3x2
f (x2)2x .
dx x2
9
例2
设 f (x) 为连续函数, F(x)
ln x 1
11
例3 求下列极限.
x2 cos t 2 dt
(2) lim 0 x0 x sin x
分析：这是 0 型未定式， 0
等价无穷
x2 cos t 2 dt
解 原式 lim 0 x0
x2
小替换
2x cos lim
x4
limcos x4
1.
x0 2x
x0
12
例3 求下列极限.
1 et2 dt
(3) lim x0
cos x
x2
分析：这是 0 型未定式， 0
解 原式 lim ecos2 x ( sin x)
x0
2x
e cos2 x lim
1
.
x0 2
2e
13
例4 设 F( x) x2
x
f (t)dt ，其中 f ( x) 是连续函数,
xa a
则 lim F(x)
.
x a
x 2
x
f (t)dt
证 limF( x) lim a
xa a
x
( x a) f ( x) f (t)dt
证 F ( x)
a
(x a)2
x
只要证明 ( x a) f ( x) f (t)dt 0 即可. a
微积分公式与运算法则
微积分公式与运算法则 Jenny was compiled in January 2021微积分公式与运算法则1.基本公式（1）导数公式(2)微分公式(xμ)ˊ=μxμ-1d(xμ)=μxμ-1dx(a x)ˊ=a x lnad(a x)=a x lnadx(loga x)ˊ=1/(xlna)d(loga x)=1/(xlna)dx(sinx)ˊ=cosxd(sinx)=cosxdx(conx)ˊ=-sinxd(conx)=-sinxdx(tanx)ˊ=sec2xd(tanx)=sec2xdx(cotx)ˊ=-csc2xd(cotx)=-csc2xdx(secx)ˊ=secx·tanxd(secx)=secx·tanxdx(cscx)ˊ=-cscx·cotxd(cscx)=-cscx·cotxdx(arcsinx)ˊ=1/(1-x2)1/2d(arcsinx)=1/(1-x2)1/2dx(arccosx)ˊ=-1/(1-x2)1/2d(arccosx)=-1/(1-x2)1/2dx(arctanx)ˊ=1/(1+x2)d(arctanx)=1/(1+x2)dx(arccotx)ˊ=-1/(1+x2)d(arccotx)=-1/(1+x2)dx(sinhx)ˊ=coshxd(sinhx)=coshxdx(coshx)ˊ=sinhxd(coshx)=sinhxdx2.运算法则（μ=μ(x)，υ=υ（x），α、β∈R）（1）函数的线性组合积、商的求导法则（αμ+βυ）ˊ=αμˊ+βυˊ（μυ）ˊ=μˊυ+μυˊ（μ/υ）ˊ=(μˊυ-μυˊ)/υ2（2）函数和差积商的微分法则d（αμ+βυ）=αdμ+βdυd（μυ）=υdμ+μdυd（μ/υ）=(υdμ-μdυ)/υ23.复合函数的微分法则设y=f(μ)，μ=ψ(x),则复合函数y=f[ψ(x)]的导数为dy/dx=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x)所以复合函数的微分为dy=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x)dx由于fˊ[ψ(x)]=fˊ(μ)，ψˊ(x)dx=dμ，因此上式也可写成dy=fˊ(μ)dμ由此可见，无论μ是自变量，还是另一变量的可微函数，微分形式dy=fˊ(μ)dμ保持不变，这一性质称为微分形式不变性。
微积分：4.2 微积分基本公式
如果F ( x)是连续函数 f ( x)在区间[a, b]上
的一个原函数, 则
b
f ( x)dx F (b) F (a)
a
证 因为F(x)及 ( x)
x
f (t)dt
都是f(x)在[a,b]
a
上的原函数,故有 ( x) F( x) C, x [a, b]
C是待定常数,
即有 ax f (t)dt F (ax) C, x [a, b] a
错!
1, 当 1 x 0时,
已知函数
f
(
x
)
x,
当0 x 1时,
正确做法
x
1,
当1 x 2时.
求积分上限的函数 ( x)
x
f (t )dt.
1
当x [1,0)时,
x
••
( x)
x
f (t)dt
x
1dt x 1.
1
1
当x [0,1]时,
1 0
• • x•
1 0 1
当0 x 1 时, x(2x 1) 0; 2
当1 x 1时, x(2x 1) 0. 2
原式
1
2x(2x 1)dx
0
1
x(2x 1)dx
1
1
4
2
例 f ( x) C[0,1], f ( x) 2x 1 x2 f (t)dt,求f ( x). 0
解 f ( x) 2x 1 x2 f (t )dt 0
cos x 1
1, 当 1 x 0时,
例
已知函数
f
(
x)
x,
当0 x 1时,
x
1,
当1 x 2时.
6 微积分的基本公式
x
2 2 0
1 4 5
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例6 求 02 cos x d x
cos xdx sin x C
2 0 2 0
问题的关键是 如何求被积函 数的一个原函 数.
cos x d x sin x
Байду номын сангаас
sin sin 0 1. 2
b a
f ( x )dx F ( x ) | F (b) F (a )
b a
注意: 当 a b 时, 该公式仍成立.
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x 2 dx. 例4 求 0
1
x3 2 是 x 的一个原函数, 由牛顿-莱布尼茨公式得: 解 3 3 1 x 1 0 1 1 2 . 0 x dx 3 0 3 3 3
1 例5 求 2 dx. x
1
1 解 当 x 0 时, 的一个原函数是 ln | x |, x 1 1 1 2 dx ln | x | 2 ln 1 ln 2 ln 2. x
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2
1
2 xdx ?
0 2 1 0
解： 原式 2 xdx 2 xdx x
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2
0
sin x dx
2
sin xdx sin xdx
0
cos x 0 cos x
2
(1 1) (1 (1)) 4
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例7 计算 解
微积分公式-工程数学(非常实用)
x
2 1 x
六、高阶导数的运算法则 （1） u x v x （3） u ax b
n n
u x
n
v x
n
（2） cu x （4） u x v x
f cot x csc
2
xdx f tan x d tan x xdx f cot x d cot x
u tan x
u cot x
2
f arctan x 1 x f arcsin x
1
1
2
dx f arc ta n x d arc ta n x dx f arcsin x d arcsin x
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有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式（集锦）
a0 b n m 0 n n 1 a x a1 x an 一、 lim 0 m 0 （系数不为 0 的情况） nm x b x b x m 1 b 0 1 m n m 1 sin x （2）lim 1 x x e （3）lim n a (a o) 1 二、 重要公式 （1）lim 1 n x 0 0 x x
九、微分运算法则 ⑴ d u v du dv ⑵ d cu cdu
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⑶ d uv vdu udv 十、基本积分公式 ⑴ kdx kx c
⑷d
u vdu udv v2 v
⑵ x dx
u ex
x
f a a dx ln a f a d a
高数微积分公式大全
高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x xμμμ-= ⑶()sin cos x x '=⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅⑼()xxee'= ⑽()ln xxaaa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arccot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d xxdx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅ ⑼()xx d ee dx = ⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xad dx x a =⒀()arcsin d x =⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arccot 1d x dx x=-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dxx c x=+⎰ ⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan xdx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsinxc a=+ ln x c =+十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令nu x =，axdv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx =⑵形如arctan nx xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln nx xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin axe xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。
微积分24个基本公式
微积分24个基本公式微积分是数学中一个重要的分支，它的重要意义在于它关于空间、时间和速度的结构描述，它把自然界的复杂结构描述为简单的几何形状和数学结构，能够为任何一类科学研究提供客观、系统和深入的解释。
微积分的基本公式是非常重要的，它们不仅反映了微积分的基本概念和定律，而且支持了整个微积分体系的发展和实用应用，是科学研究的基石。
在实际运用中，24个基本公式是微积分中最为重要的公式之一，可以解释许多微积分的基本概念，并可用来解决各种不同的实际问题。
24个基本公式可以分为函数概念、导数概念、几何概念和无穷小概念四大块。
在函数概念中，包括函数定义、函数图像、最大最小值、函数极限等；在导数概念中，包括导数定义、导数方程、隐函数导数等；在几何概念中，包括几何变换、向量、曲线长度、曲率等；而在无穷小概念中，包括无穷小量与无穷大量的基本定律。
其中，函数概念的24个基本公式是：函数的定义：f（x）=y；函数的图像：图解函数的增减性；最大最小值：....；函数极限：极限的定义；极限的性质：极限的运算法则。
而在导数概念中包括：导数定义：导数的定义；导数方程：求导法则；隐函数导数：反函数求导公式；偏导数：多元函数的偏导数；曲率：曲率的定义。
在几何概念中，24个基本公式主要围绕几何变换、向量、曲线长度、曲率等概念构建而成，包括：几何变换：变换后图形的基本性质；向量：向量的定义及其运算；曲线长度：计算曲线长度的方法；曲率：曲率公式、曲率半径等。
最后，在无穷小概念中，24个基本公式包括：无穷小量与无穷大量的基本定律，以及无穷小量的定义和无穷大量的运算法则，几何意义上的无穷大量的定义，微积分法的求微分、积分计算等。
以上就是24个基本公式的详细内容，它们不仅涵盖了函数概念、导数概念、几何概念和无穷小概念四大块，而且介绍了一些能够解决实际问题的技巧：如图解函数的增减性、多元函数的偏导数、计算曲线长度的方法等，可以说，24个基本公式为学习微积分提供了非常重要的参考依据。
[理学]42微积分基本公式_OK
d[ dx
0 a( x)
f (t)dt
b( x) 0
f (t)dt]
f b( x)b( x) f a( x)a( x)
10
d x
(4) dx a g( x) f (t)dt
d
x
dx g( x) a f (t)dt
g( x)
x
f (t)dt g( x) f ( x)
a
11
x
例：( x) t sintdt
§4.2 微积分基本公式
一、问题的提出 ★二、积分上限函数及其导数
三、牛顿—莱布尼兹公式 (微积分基本公式)
1
一、问题的提出 (v(t)和s(t)的关系)
通过定积分的物理意义, 找到一个计算定 积分的有效、简便的方法.
例 设某物体作直线运动, 已知速度 v v(t)
是时间间隔[T1,T2 ]上t 的一个连续函数, 且v(t) 0,
f (t)dt
1
01dt
1
x
t
dt
1
x2
.
0
2
当x (1,2]时,
(x)
x f (t)dt
01dt
1
tdt
x
(t 1)dt
1
1
0
1
x2
29
x .
2
例 求极限lim 1 1 1
n n 1 n 2
nn
解 此极限为一积分和的极限.
n
lim
n i1
1 ni
lim n
f
(
x)
x,
当0 x 1时,
x 1, 当1 x 2时.
求积分上限的函数 ( x)
常用微积分公式大全
常用微积分公式基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式.因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。
(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记.公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与.当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次.特别当时，有.当时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清.当时，有.是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同.公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.例1 求不定积分.分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.解：（为任意常数）例2 求不定积分.分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.解：由于，所以（为任意常数）例3 求不定积分.分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式.解：(为任意常数 )例4 求不定积分.分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.解：（为任意常数）例5 求不定积分.分析：基本积分公式表中只有但我们知道有三角恒等式：解：（为任意常数）同理我们有：（为任意常数）例6（为任意常数）Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。