微分方程模型的基本原理
第二章动力学系统的微分方程模型
第二章：动力学系统的微分方程模型利用计算机进行仿真时，一般情况下要给出系统的数学模型，因此有必要掌握一定的建立数学模型的方法。
在动力学系统中，大多数情况下可以使用微分方程来表示系统的动态特性，也可以通过微分方程可以将原来的系统简化为状态方程或者差分方程模型等。
在这一章中，重点介绍建系统动态问题的微分方程的基本理论和方法。
在实际工程中，一般把系统分为两种类型，一是连续系统；其数学模型一般是高阶微分方程；另一种是离散系统，它的数学模型是差分方程。
§2.1 动力学系统统基本元件任何机械系统都是由机械元件组成的，在机械系统中有3种类型的基本机械元件：惯性元件、弹性元件和阻尼元件。
1 惯性元件：惯性元件是指具有质量或转动惯量的元件，惯量可以定义为使加速度（或角加速度）产生单位变化所需要的力（或力矩）。
惯量（质量）=）加速度（力（2/)s m N 惯量（转动惯量）=）角加速度（力矩（2/)s rad m N ⋅2 弹性元件：它在外力或外力偶作用下可以产生变形的元件，这种元件可以通过外力做功来储存能量。
按变形性质可以分为线性元件和非线性元件，通常等效成一弹簧来表示。
对于线性弹簧元件，弹簧中所受到的力与位移成正比，比例常数为弹簧刚度k 。
x k F ∆=这里k 称为弹簧刚度，x ∆是弹簧相对于原长的变形量，弹性力的方向总是指向弹簧的原长位移，出了弹簧和受力之间是线性关系以外，还有所谓硬弹簧和软弹簧，它们的受力和弹簧变形之间的关系是一非线性关系。
3 阻尼元件：这种元件是以吸收能量以其它形式消耗能量，而不储存能量，可以形象的表示为一个活塞在一个充满流体介质的油缸中运动。
阻尼力通常表示为：αxc R = 阻尼力的方向总是速度方向相反。
当1=α，为线性阻尼模型。
否则为非线性阻尼模型。
应注意当α等于偶数情况时，要将阻尼力表示为：||1--=αx xc R 这里的“-”表示与速度方向相反§2.2 动力学建模基本定理1 动力学普遍定理对于大多数力学问题，可以使用我们熟知的牛顿动力学基本定理来解决，动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能定理，以及其他变形形式，普遍定理的特点是比较直观，针对不同的问题可以选择不同的力学定理，在一般情况下利用普遍定理可以得到大多数动力学系统的数学模型。
常见的微分方程模型
常见的微分方程模型 微分方程是数学中一类重要的方程，广泛应用于自然科学、工程技术和社会经济等各个领域。
本文通过介绍常见的微分方程模型，帮助读者了解微分方程的基本概念和应用方法，并通过举例说明，使读者更加清楚地理解微分方程的实际应用。
一、常微分方程的基本概念 常微分方程是指未知函数与其导数之间的关系式，通常使用符号形式表示。
其中，未知函数是关于一个自变量的函数。
2. 方程类型 常微分方程包括一阶常微分方程和高阶常微分方程两种类型。
一阶常微分方程是指方程中未知函数的最高导数是一阶导数的微分方程。
高阶常微分方程是指方程中未知函数的最高导数是高于一阶导数的微分方程。
1. 简单增长模型 简单增长模型常用于描述物种的繁殖或种群的增长过程。
假设种群数量是一个未知函数N(t)，t表示时间。
简单增长模型的一阶常微分方程形式为dN/dt = kN，其中k是增长率常量。
举例：假设某个种群的初始数量是100个，增长率为0.05个/年，求10年后的种群数量。
解法：将初始条件代入简单增长模型方程，得到dN/dt =0.05N。
然后解这个一阶常微分方程，得到N = 100e^(0.05t)。
代入t = 10，可求得10年后的种群数量为N = 100 * e^(0.05*10)。
2. 简谐振动模型 简谐振动模型常用于描述弹簧振子或电路中的振荡状态。
假设振动的位移或电流是一个未知函数x(t)，t表示时间。
简谐振动模型的二阶常微分方程形式为d^2x/dt^2 + ω^2x = 0，其中ω是振动的角频率。
举例：某个弹簧振子的质量为1kg，弹簧的劲度系数为4N/m，初始位移为1m，初始速度为0m/s，求振子在t = 2s时的位移。
解法：将初始条件代入简谐振动模型方程，得到d^2x/dt^2 + 4x = 0。
然后解这个二阶常微分方程，得到x = 1 * cos(2t)。
代入t = 2，可求得振子在t = 2s时的位移为x = 1 * cos(4)。
微分方程的基本理论
数学建模方法
2020年10月18日星期日10时41分24
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1.3、微分方程模型的求解
>>在常微分方程（组）中影响结果的变量只有一个 ，而偏微分方程研究的是有多个变量影响结果时的 规律。求解微分方程的方法大致有两类：一类是通 过对微分方程两端积分得到显式表示的完全解，进 而通过解的表达式分析模型结果；另一类方法是数 值解法，这种解法通常需要计算软件的协助，解的 结果通常使用图形的方式表示，或者可以求出某些 关键点的函数值。本章将利用上述方法讨论具体的 微分方程的建模问题。
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2.1、治污中溶液浓度的变化 4) 推广应用 >>江河湖海污染的治理以及矿井和化工厂的通风问 题都可以仿照溶液浓度问题建立相应的微分方程模 型。
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2.2、侦破中死亡时间的推测
1)背景介绍
>>死亡时间指死后经历时间或死后间隔时间，是指发 现、检查尸体时距死亡发生时的时间间隔。注重尸表 检查、判定，具有实际价值。死亡时间推断是指推测 死亡至尸体解剖时经历或间隔时间。早在三百多年前， 意大利医生已经明确指出：死亡时间推断是法医学鉴 定中首先要解决的问题。 >>死亡时间推断意义：⑴推断死亡时间对确定发案时 间，认定和排除嫌疑人有无作案时间，划定侦察范围 乃至案件的最终侦破均具有重要作用；⑵死亡时间推 断在某些财产继承、保险理赔案件中也有一定的作用。
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1.2、微分方程模型建立
2)列方程的常见方法 ①利用导数的概念直接列方程
>>在数学、力学、物理、化学、经济等学科中许多 自然现象所满足的规律已为人们所熟悉，并直接由 微分方程所描述。如牛顿第二定律、热传导定律、 放射性物质的放射性规律等，如生产函数、财富的 积累等。我们常利用这些规律对某些实际问题列出 微分方程。
微分方程的稳定性模型_图文_图文
1) 甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲 乙一起生存时相互提供食物、促进增长。
2) 甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存 时相互提供食物、促进增长。
3) 甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存 时相互提供食物、促进增长。
模型 假设
• 甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律 ; 甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长 。 • 乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙 提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身 的阻滞作用 (服从Logistic规律)。
假设
• 解释(预测)双方军备竞赛的结局 1）由于相互不信任，一方军备越大，另一 方军备增加越快；
2）由于经济实力限制，一方军备越大，对 自己军备增长的制约越大；
3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存
在增加军备的潜力。
进一步 假设
1）2）的作用为线性；3）的作用为常数
建模 x(t)~甲方军备数量， y(t)~乙方军备数量
r1=1, N1=20, 1=0.1, w=0.2, r2=0.5, 2=0.18
相轨线趋向极限环 结构稳定
实质上，我们并不需求解上面的微分方程以得到x(t) 的动态变化过程，只希望知道渔场的稳定鱼量和保 持稳定的条件，即时间 t 足够长以后渔场鱼量 x(t) 的趋向，并由此确定最大持续产量。为此可以直接 求上面常微分方程的平衡点并分析其稳定性。
不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法
由于
讨论方程(1)的稳定性时，可用
对于消耗甲的资源而言
，乙(相对于N2)是甲(相
对于N1)的1 倍。
对甲增长的阻滞 作用，乙小于甲 乙的竞争力弱
2>1 甲的竞争力强
甲达到最大容量，乙灭绝
一阶常微分方程-高阶常微分方程-方程组-差分方程-偏微分方程模型
计可以通过
dN / dt r sN , s r
N
进行线性拟合。其中
Nm
dN / dt N / t
。而
模型的检验也可以通过这两个参数的估计
量与一个实际的人口数量之间进行比较加
以检验。
（5） 阻滞增长模型不仅能够大体上描述人 口及许多物种的变化规律，而且在社会经
济领域中有广泛的应用，如耐用消费品的 销售量也可以用此模型来描述。
新技术推广模型
一项新技术如何在有关企业中推广,是 人们最为关心的问题,也就是说,一旦一家企 业采用了一项新技术,那么行业中的其他企 业将以怎样的速度采用该技术？哪些因素 将影响到技术的推广？下面我们在适当的 条件下讨论此问题。
记p(t)为t 时刻采用该技术的企业数。并
设 p(t)连续可微。假设未采用该技术者之所 以决定采用该技术，是因为其已知有的企 业采用了该技术并具有成效。即是以“眼 见为实”作为决策依据的,亦即“示范效应” 在起作用。
增长率递增的现象），但是随着人口数的 增加，人口的年增长率将呈现逐年递减的 现象。再考虑到环境适应程度的制约，想 象人口的增长不可能超过某个度。
（2）对于其中常数增长率r 的估计可以使用 拟合或者参数估计的方法得到。
（3）在实际情况下，可以使用离散的近似 表达式 N (t) N0 (1 r)t 作为人口的预测表 达式。
在式 (1) 中，设
A A0ert ( A0 , r 0)
即自发支出有一个常数增长率r ，则式 (2) 的
解为
Y (t)
(
A0
r)
e t
Y0
(
A0
r)
e
t
由此可见：
(1)当
r
《微分方程 》课件
需要选择合适的代换变量。
详细描述
在使用变量代换法时，需要选择合适的代换变量，使得微 分方程能够被转化为更简单的形式。这个过程需要一定的 技巧和经验。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分方程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方程转化为积 分方程，从而简化求解过程。这种方法适用于具有特定 形式的一阶非线性微分方程。
总结词
通过引入新的变量代换，简化微分方程的形式。
详细描述
变量代换法是通过引入新的变量代换，将微分方程转化为 更简单的形式，从而简化求解过程。这种方法适用于具有 特定形式的高阶微分方程。
总结词
适用于高阶微分方程。
详细描述
变量代换法主要适用于高阶微分方程，通过引入新的变量 代换，可以将高阶微分方程转化为更简单的形式，从而简 化求解过程。
解法
通常需要使用迭代法、级数法或摄动法等非线性 求解方法。
3
特例
当 p(x,y,y') = 0, q(x,y,y') = a（常数）时，方程 简化为 y'' + ay = f(x)，其解法与二阶线性微分 方程类似。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 y'' + ay' + by = f(x) 的微分方程称为二阶常系数线性 微分方程。
《微分方程》PPT课件
目 录
• 微分方程简介 • 一阶微分方程 • 二阶微分方程 • 高阶微分方程 • 微分方程的解法 • 微分方程的应用实例
01
微分方程简介
微分方程的定义
总结词
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的方程，通过微分来描述函 数的变化率。
数学建模 微分方程模型讲解
量在初始阶段的增长情况比较相符。
（2）由（3—19）式推得，t=0 时显然 x=0,这一结果自然与
事实不符。产生这一错误结果的原因在于我们假设产品是自然推
销的，然而，在最初产品还没卖出之时，按照自然推销的方式，
便不可能进行任何推销。事实上，厂家在产品销售之初，往往是
通过广告、宣传等各种方式来推销其产品的。
? 1. 新产品推销模型 ? 一种新产品问世，经营者自然要关心产
品的卖出情况。下面我们根据两种不同 的假设建立两种推销速度的模型。
模型 A 假设产品是以自然推销的方式卖出，换句话说，被卖出的产品
实际上起着宣传的作用， 吸引着未来购买的消费者。 设产品总数与时刻 t 的关
系为 x(t), 再假设每一产品在单位时间内平均吸引 k 个顾客，则 x(t) 满足微
样，从根本上解决了模型 A 的不足。 由（3—20）式易看出， dx ? 0 ，即 x(t) 是关于时刻 t 的单调增
dt
加函数，实际情况自然如此，产品的卖出量不可能越卖越少。另外，
对（3—20）式两端求导，得
d 2x dt 2
?
k(M
?
2 x)
dx dt
故令 d 2x
dt 2
?
0 ，得到 x(t0 ) ?
Nm N0
)e? n
易看出，当t→? 时，当Ｎ（t） →Ｎm。这个模型称为Logistic 模型，其结果 经过计算发现与实际情况比较吻合。上面所画的是 Logistic 模型的的图形。
你也可从这个图形中，观察到微分方程解的某些性态。
捕鱼问题
在鱼场中捕鱼，捕的鱼越多，所获得的经济效益越大。但捕捞的鱼过多，
根据上面的假设，我们建立模型
dS ? P ? A(t) ? ??1 ? S (t) ?? ? ? S(t )
常微分方程模型
t0 1961 ,
x0 3.0610 ,
9
r 0.02,
x(t ) 3.0610 e
9
0.02( t 1961)
(4)
公式(4)能非常准确地反映了在1700-1961年间世 界估计人口总数,
8
但当t=2510年,
t=2635年, t=2670年,
x = 21014 (2万亿), x = 1.8 1015 (18万亿), x = 3.6 10 (36万亿),
(7)
dx ~ x 曲线 和 dt
根据(6),(7)两式可画出 图如图1-a及图1-b：
x~t
图1-a
图1-b
12
dx ~ x 是一条抛物线， 如图1-a, dt dx 他表示人口增长率 dt 随着人口数量 xm 的增加而先增后减，在 x 处达到 2
x
最大值。
如图1-b，x ~ t 是一条 型 xm 曲线 ，拐点在 x 处，当 x 2 m x 时，t
i i1
i2
(17)
制订生育政策就是确定 (t ) 和 hi (t ) ，通过 (t ) 控制 生育多少，通过hi (t )可以控制生育的早晚和疏密。 引入向量、矩阵记号：
x(t ) [ x1(t ), x2 (t ), xm (t )]
T
(18)
20
0 0 0 1 d1 ( t ) A( t ) 0 1 d 2 (t ) 0 0
3
影响人口增长的因素很多,人口的多少,出生率 的高低,人口男女比例的大小,人口年龄组成情况, 工农业生产水平高低,各民族的风俗习惯,自然灾害, 战争,人口迁移等等. 如果一开始把众多因素全考虑,则无从下手.我 们先把问题简化,只考虑影响人口的主要因素—增 长率(出生率减去死亡率),其余因素暂不考虑,建立 一个较粗的数学模型.在这个模型的基础上逐步考 虑次要因素的影响,从而建立一个与实际更加吻合 的数学模型.
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微分方程模型的基本原理
微分方程是数学中描述变化的一种重要工具，它能够描述系统中随时间、空间或者其他变量而发生的变化规律。
微分方程模型是一种基于微分
方程的数学模型，用于描述各种实际问题的变化过程。
1.变量与变化率的关系：微分方程模型描述了系统中变量随时间的变
化率，即变量的导数。
它指出了变量如何随时间而变化，从而提供了数量
化的描述。
2.初始条件和边界条件：微分方程模型需要给定初始条件和边界条件，以确定具体的解。
初始条件是在系统起始时给定的变量值，边界条件是在
系统边界上给定的限制条件。
这些条件可以是实际问题中必须满足的条件。
3.多变量之间的关系：微分方程模型可以涉及多个变量之间的相互作用。
这些变量可以表示不同的物理量或者变化过程，它们之间的关系可以
是线性的、非线性的、常系数的或者变系数的。
这些关系可以通过微分方
程进行描述。
4.具体问题的建模过程：微分方程模型的建立需要针对具体问题进行
分析和建模过程。
这个过程中需要确定问题中涉及的变量、关系以及边界
条件，并将其转化为合适的微分方程模型。
这个过程可以涉及到数学推理、物理实验、统计分析等多个方面。
微分方程模型的应用非常广泛，几乎涉及到各个学科领域。
例如，在
物理学中，微分方程模型可以用于描述粒子的运动、电磁场的分布、热传
导等问题；在经济学中，微分方程模型可以用于描述市场供需关系、经济
增长等问题；在生物学中，微分方程模型可以用于描述生物种群的演化、
药物动力学等问题。
微分方程模型的求解方法也非常丰富多样，可以通过数值方法、解析方法、近似方法等进行求解。
数值方法通过将微分方程转化为差分方程，然后采用逼近的方式进行求解。
解析方法通过数学推导和变量分离的方式求得方程的解析解。
近似方法通过针对特定问题的特殊性质，利用适当的近似方法得到问题的近似解。
总之，微分方程模型是一种重要的数学工具，广泛用于各个学科领域中的问题描述和解决。
它通过描述变量与变化率的关系，建立初始条件和边界条件，描述多变量之间的关系等方面，为实际问题提供了准确的数学描述和求解方法。